Bài giảng về PT-HPT-BPT-HBPT

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
§.PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
1. PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ĐẶC BIỆT
( )
− − + =
− + − +
− + − + − =
 
−
− − − − + =
 ÷
 
3 2
3 2
5 4 3 2
5 4 3 3
1. 8 12 0
2. 9 27 27 0
3. 8 20 20 19 12 0 1,3,4
1 3
4.6 5 5 4 34 12 0 ,2,
3 2
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.
4 3
4 3 2
1. 5 20 16 0
2. 7 11 7 10 0

x x x
x x x x
− + − =
+ + + + =
3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
4 2
2 2 2 4
2
2 2
1. 4 3 4 2 0
2. 1 6 1 5 0
3. 16 3 9 0
x x x x x x
x x x x x x
x x x
+ + + + + + =
− + − − + + =
− − + =
4. PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI BẬC BA.
3
3 2
0 víi
d c
ax bx cx d

a b
 
+ + + = =
 ÷
 
Phương trình có một nghiệm là:
0
c
x
b
= −
5. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:

+ = ∀

− = ∀ >


3
3
4 3 ,
4 3 , : 1
x x m m
x x m m m
Phương trình có nghiệm duy nhất.
Ta nghiên cứu các khai triển sau:
3
3
3 3
3 3

3
3
3
3
3
3
3
3
1 1 1 1 1 1 1 3 1
* 3
2 8 8
1 1 1 1 1 1
4 3
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 3
2 2 2
1
*
a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a
a
 
         
+ = + + + ⇒ + = + + +

 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
 
         
 
 
     
⇒ + = + + +
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
   
     
⇒ + − + = +
 ÷  ÷  ÷
   
     
   
 
− =
 ÷
 
3
3
3
3
1 1
3
1 1 1 1 1 1
4 3

2 2 2
a
a a
a a a
a a a
 
− − −
 ÷
 
   
     
⇒ − + − = −
 ÷  ÷  ÷
   
     
   
Do đó với việc chọn a thích hợp ta có được một nghiệm của phương trình.
6. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
− = ∀ ≤
3
4 3 , : 1x x m m m
Phương trình có không quá ba nghiệm
Tác giả: Hu nh Thanh Ln ỳ
Trang 1
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Đặt
( )
[ ]
cos cos 2 ; 0;m
α α π α π

= = ± ∈
. Khi đó:
( )
3
3
cos 4 cos 3cos
3 3
2 2
cos 2 4 cos 3cos
3 3
m
m
α α
α
α π α π
α π
= = −
± ±
= ± = −
Vậy phương trình có ba nghiệm:
2
cos ; cos
3 3
x x
α α π
±
= =
7. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
+ + + =
3 2

0t at bt c
B1: Khử bậc hai bằng cách đặt:
3
3
a
t y y py q
= − → − =
B2: Đưa về pt cơ bản:
± =
3
4 3x x m
bằng cách đặt
2
3
p
y =
8. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG.
Cho phương trình
( )
4 2 2
1 2 1 0x a x a
+ − + − =
. Đònh tham số để:
1. Pt vô nghiệm.
2. Phương trình có một nghiệm.
3. Phương trình có hai nghiệm.
4. Phương trình có 3 nghiệm.
5. Phương trình có bốn nghiệm.
6. Phương trình có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng.
9. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG :

( ) ( )
4 4
x x
α β χ
+ + + =
( ) ( )
( ) ( )
4 4
4 4
1. 4 6 2
2. 4 2 82
x x
x x
+ + + =
+ + + =
( ) ( )
4 4
2 3 2 5 706x x
+ + − =
10. PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUI BẬC BỐN.
2
4 3 2
0, ®k:
e d
ax bx cx dx e
a b
 
+ + + + = =
 ÷
 

4 3 2
4 3 2
1.4 12 47 12 4 0.
2.2 21 74 105 50 0.
x x x x
x x x x
+ + + + =
− + − + =
3.Đònh mđể phương trình vô nghiêïm:
4 3 2
1 0x mx mx mx
+ + + + =
.
11. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
( ) ( ) ( ) ( )
,x a x b x c x d e a b c d
+ + + + = + = +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
1. 1 2 3 4 10
2. 6 5 3 2 1 35
x x x x
x x x
+ + + + =
+ + + =
12. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
( ) ( )
2
2 2

0A x ax B x ax C+ + + + =
4 3 2
4 3 2
1. 4 3 14 6 0
2.3 6 5 2 5 0
x x x x
x x x x
+ − − + =
− + − − =
13. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
( )
( )
2
2
2
x a x
α β
+ = +
Tác giả: Hu nh Thanh Ln ỳ
Trang 2
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
4
4 2
4 2
1. 4 1 0
2. 3 10 4 0
3. 2 8 4 0
x x
x x x
x x x

+ − =
− − − =
+ + − =
LUYỆN TẬP:
Bài tập12:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
− + + =
− + − =
+ + + + =
− − = − −
− + − + − + − + =
− + + + − + = −
− − − =
− − + − = − ±
4 4
4 4
4 3 2
2
2 3 2
8 7 6 5 4 3 2
2 2 2
2
2
2

4 3 2
1. 1 1 16
2. 2 3 2 5 2
3. 6 16 21 12 0
4. 6 9 4 9
5.2 9 20 33 46 66 80 72 32 0
6. 3 1 3 2 9 20 30
7. 6 2 3 81
8. 2 6 16 8 0 2;2; 1 3
9.
x x
x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x
x
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
α
− + − + = =
+ + + − + = + + − +
⇔ + =
− + + +
⇔ + =
+ − + +

− + =
→ − + = =
− + − − + − + =
4 3 2
2 2 2 2
2 2
6 2
3
7 6 5 4 3 2
4 3 8 4 0 1
10.2 2 3 13 2 5 3 6 2 3 2 5 3
2 13
6
2 5 3 2 3
2 13
6
3 3
2 5 2 1
11. 7 6 0
7 6 0 6
12. 2 3 3 2 1 0
x x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
t t t
x x x x x x x

Phương trình hồi qui với các hệ số đối xứng và bậc lẻ nên phương trình sẽ có
nghiệm đặc biệt
1x
= −
và thu được phương trình hồi qui bậc chẵn giải bằng cách
chia số hạng chính giữa.
( )
( )
6 5 4 3 2
1 3 6 7 6 3 1 0x x x x x x x
→ + − + − + − + =
Bài tập13:
Cho phương trình :
4 3 2
1 0x ax x ax
+ + + + =
. Đònh tham số để phương trình :
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có không ít hơn hai nghiệm âm phân biệt.
Bài tập14:
Cho phương trình :
( )
4 3 2
2 1 1 0x ax a x ax
− − + + + =
. Đònh tham số để phương trình :
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
Tác giả: Hu nh Thanh Ln ỳ
Trang 3
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT

2. Có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Bài tập15:
Tìm m để phương trình :
( ) ( ) ( )
3 2
2 1 3 1 1 0x m x m x m
− + + + − + =
có 3 nghiệm dương phân
biệt.
Bài tập16:
Giải và biện luận:
( )
( )
3 2 2 2
2 1 2 0x a x a a x a
− + + + − =
Bài tập17:
Cho phương trình :
( )
4 3 2
4 4 2 2 0x x m x mx m
+ + + + + =
.
1. Giải phương trình khi m = 1.
2. Giải và biện luận.
Bài tập18:
Cho phương trình :
4 3
2 2x x x a
− + + =

.
1. Giải phương trình khi a = 132.
2. Giải và biện luận.
Bài tập19:
Cho phương trình :
4 3
4 8 2x x x a
− + + =
.
1. Giải phương trình khi a = 5.
2. Giải và biện luận.
Bài tập20:
Cho phương trình
3 2
2 8 0.mx x x m
− − + =
Đinh m để:
1. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
2. Phương trình có nghiệm bội.
3. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt bé hơn -1.
ĐỊNH LÝ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO.
Bài tập21:
Cho phương trình
3 2
3 3 3 2 0x mx x m
+ − − + =
1. Xác đònh m để phương trình có 3 nghiệm và tổng bình phương 3 nghiệm của
chúng đạt giá trò nhỏ nhất.
2. Xác đònh m để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng.
Bài tập22: Xác đònh tham số để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số

cộng.
( )
( )
3 2 2
3 2 3
3 2
3 2
1. 2 1 9 0
2. 3 4 0
3. 3 9 0
4. 3 9 1 0
x mx m m x m m
x ax x a
x x x m
x x a x b
− + + + − +
− − + =
− − − =
− + − + − =
Bài tập23:
Giả sử phương trình
3 2
0x ax bx c
+ + + =
có ba nghiệm
1 2 3
, ,x x x
. Hãy tính
1 2 3
n n n

n
S x x x
= + +
Bài tập24:
Tác giả: Hu nh Thanh Ln ỳ
Trang 4
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Giả sử phương trình
3 2
0, , ,x ax bx c a b c
+ + + = ∈
¢
có ba nghiệm
1 2 3
, ,x x x
. Cho f(x) là
một đa thức nguyên.
1 2 3
: ( ) ( ) ( )CMR f x f x f x+ + ∈ ¢
.
Hd: Ta cm qui nạp dưa vào công thức :
1 2 3
0
n n n n
S aS bS cS
− − −
+ + + =
.
§.DÙNG ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.
A. Hiểu về ẩn phụ:

1. Là ẩn mà do người giải tự đưa vào chứ trong đề bài không nói tới.
2. Ta đưa ẩn phụ vào là để chuyển dạng bài toán về dạng mới dễ nhận dạng hơn
hay là dạng đã quen thuộc.
B. Điều kiện cho ẩn phụ:
1. nghóa, lý do:
− Tìm điều kiện cho ẩn phụ tức là đi tìm mxđ cho bài toán mới.
− Tuỳ vào mục đích của ẩn phụ mà ta tìm đk ẩn phụ như thế nào là phù
hợp nhất ( dễ, không gây sai bài toán ).
2.Có hai kiểu tìm ẩn đk cho phụ:
− Tìm đk đúng cho ẩn phụ.
− Tìm thừa đk cho ẩn phụ.
C. Một số dạng đặt ẩn phụ:
Dạng 1: Giữ nguyên số ẩn.
( )
( )
( )
( )
( )
4
2 2
3 2
3 2
2
2
2 3
2 2
2 2
2 2
2
1, 1 1 2

2,10 8 3 6
3, 1 3 1
4,2 1 7 1 13 1
5, 5 14 9 20 5 1
6, 8
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x
a x
x a
x a
− − + + − =
+ = − +
− = + −
+ + − − = −
+ + − − − = +
+ =
+
Có một số bài toán đặc biệt rất gọn nếu dùng ẩn phụ lượng giác. Dùng ẩn
phụ lượng giác tức là ta lợi dụng các công thức lượng giác để tự phá căn thức mà
không dùng phép nâng luỹ thừa. Vì hàm lượng giác là hàm tuần hoàn nên ta cần lưu
ý chọn miền xác đònh sao cho có lợi nhất.
( ) ( )
( ) ( )
(
)
+ − = −
+ −

= −
 
+ − − − + = + −
 
 
+ − = + −
3
3 2 2
2
2
3 3
2 2
2 2
7, 1 1
1 2 1
8, 1 2
2
9, 1 1 1 1 2 1
10, 1 1 1 2 1
x x x a x
x x
x
x x x x
x x x
Tác giả: Hu nh Thanh Ln ỳ
Trang 5
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
( ) ( )
( )
+ − − + =

+ + − = ≥
+ − − =
+ − − = − + +
x x x
a x a x a a
ax ax x
a x a x a x x a x
11, 1 1 1 1 2
12, , 0
13, 1 1
14,2
( ) ( )
   
+ −
+ + − − + − = + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
x x
x x x x m HD
2 2
3 6
15, 3 6 3 6 ; : 1
3 3
16, Tìm nghiệm của phương trình sau trên
[ ]
1;1−
:
( ) ( )
2 4 2

8 1 2 8 8 1 1x x x x− − + =
17, Tìm nghiệm của phương trình sau trên
[ ]
0;1
:
( ) ( )
2
2 2
1
32 1 2 1 1x x x
x
− − = −
Dạng 2: Thay đổi số ẩn, thường là tăng thêm số ẩn để giảm nhẹ sự rắc rối, đơn
giản trong tính toán.
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
3 32 2
3
2 2
3
3
4 4
3
3
3 3
3 3
1, 3 10 5
2, 2 2 4

3, 3 3 3 6 3
4, 1 8 1 8 3
5, 9 3 6
6, 5 1 2
7, 24 12 6
8, 7 1
34 1 1 34
9, 30
34 1
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
+ + − =
+ + + − − =
− + + − + =
+ + − + + − =
− = − +
− + − =
+ + − =
+ − =
− + − + −
=
− − +

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
− − −
= −
− + −
 
− = − − −
 
+ − − − − − = −
+ − + − = − + + −
+ + − = + + −
− + − − = + + + − +
+ + − =
+ =
2 2
3 3
3 3
4
2 3
4
3 2
4 4
4
2 2 2 2
3 3
sin cos
7 5
10. 6
7 5

1
: 6 7 5
2
11. 1 2 1 2 1 1
12. 1 1 1 1
13. 8 1 3 5 7 4 2 2
14. 2 1 3 2 2 2 3 2
15. 7 2 3
16.81 81 30
x x
x x
x
x x
HD x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x
tgx tgx
Tác giả: Hu nh Thanh Ln ỳ
Trang 6
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
+ =
+ − + − =
  
− −
+ =
 ÷ ÷
+ +
  

 
   
− + −
− + =
 ÷
 ÷  ÷
+ −
−
   
 
3 3
3
2 2
2 2
2 2
2
2
17. sin cos 4
18.sin 2 sin sin 2 sin 3
5 5
19. 6
1 1
2 2 4
20.20 5 48 0
1 1
1
x x
x x x x
x x
x x

x x
x x x
x x
x
Dạng 3: Chuyển theo phương trình ẩn phụ và xem ẩn ban đầu là tham số.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
3 3
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
1. 3 log 2 4 2 log 2 16
2. 4 1 1 2 2 1
3.4 1 1 3 2 1 1
4.2 1 2 1 2 1
5.1 2 3 1 2 1
6.4 5 6 10 12 3
7. 12 1 36
8. sin sin sin cos 1
9.4 3 4 sin 2 cos
2

x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x y
x x x y
+ + + + + =
− + = + +
+ − = + + + −
− + − = − −
+ − = − − +
+ + + + =
+ + + =
+ + + =
+
 
− + +
 ÷
 
( )
2
13 4 cos
1 1 1
10.2 1 3 0
x y
x

x x
x x x
 
= + +
 
 
−
+ − − − − =
Dạng 4: Chuyển về hệ phương trình gồm ẩn phụ và ẩn chính.
Dạng này hay dùng đối với phương trình chứa hai hàm số ngược nhau.
Loại 1:
( )
n
n
ax b px q x
α β γ
+ = + + +
( )
− + =
+ + =
= − −
+ + = − + + − < <
3 3
2
2
2
2 2
1, 3 3 2 2
2, 1 1
3, 5 5

1 1 1
4, 2 ;0
16 16 4
x x
x x
x x
x ax a a x a


= − + + −


= + + →


= − ± + −


2
2
2
1
1
16
: 2
16
1
16
y a a x
HD y x ax

x a a y

Tác giả: Hu nh Thanh Ln ỳ
Trang 7
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
( )
+ + =
+ + =
= − −
+ + =
2
2
2
2
5,3 3
6, 5 5
7,
8,
x x
x x
x a b a bx
x x a a
9,
2
29 12 61
3
6 36
x
x x
+

+ − =
2 2
29 12 61
3 18 6 29 12 61
6 36
x
x x x x x
+
+ − = ⇔ + − = +
Vì
2
( ) 18 6 29f x x x= + −
=>
( )
'( ) 6 6 1= + →f x x
Đặt
12 61 6 1x y+ = +
10,
2
2004 1 16032 2004x x x− − + =

(Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004).
Xét hàm số f(x) = x
2
– x – 2004 => f’(x) = 2x – 1. Đặt
2
1
,12160321 ≥−=+ ttx

Ta có hệ PT sau:






=−
=−
txx
xtt
4008
4008
2
2
11,
3
2
3
63 3 9
3
8 3 2 4
x
x x x− = − +
3
2 3 2
3
3
63 3 9 2 9
3 24 63 3
8 3 2 4 3 2
x

x x x x x x x− = − + ⇔ − = − +
Xét hàm số f(x) =
( ) ( )
3 2 2
2 9 9
3 ' 2 6 '' 4 6
3 2 2
x x x f x x x f x x− + ⇒ = − + ⇒ = −
Đặt
3
24 63 2 3x y− = −

12,( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT sau:

2
3
4
2881
23
3
−+−=− xxxx
Xét hàm số f(x) =
2
3
4
2
23
−+−
xxx
=> f’(x) = 3x

2
– 4x + 4/3
=> f’’(x) = 6x – 4. Đặt
23881
3
−=− yx
13)
22
2
+−= xx
14) 534
2
+=−− xxx
15)
3
3
2332 −=+ xx
16)
513413
2
−+−=+ xxx
17) 541
2
++=+ xxx
18)
xx
x
77
28
94

2
+=
+
Tác giả: Hu nh Thanh Ln ỳ
Trang 8
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
19)
2
9 5 3 2 3x x x− = + +
Các phương trình kể trên là các phương trình đối xứng, tuy nhiên hai ví dụ sau
cũng cần nghiên cứu.
( )
2
2
20,4 3 1 5 13
2 3 3 1 4
x x x
x x x
+ + + =
⇔ − = − + + +
Đặt
( )
( )
2
2
2 3 2 1
3 1 2 3
2 3 3 1
x y x
x y

y x

− = + +

− + = − →

− = +


( )
3 2
3
3
3
21,8 53 36 3 5 5
2 3 3 5 2
x x x x
x x x
+ = + − +
⇔ − = − + −
Đặt
( )
( )
3
3
3
2 3 2 5
3 5 2 3
2 3 3 5
x y x

x y
y x

− = + −

− = − →

− = −


Loại 2:
( )
log
x
a
a b px q cx d
α β
+
= + + +
PP: Đặt:
( )
log
a
px q y
α β
+ = +
( )
( )
( )
2

3
7
3
2sin
4
22,7 2log 6 1 1
23,3 1 log 1 2
1 1
24, cos2 log 3cos2 1
2 2
x
x
x
x
x x
x x
= + +
= + + +
 
+ = + −
 ÷
 
§. PHƯƠNG PHÁP “MÒ” NGHIỆM
2 2
3
1
1, 3 1 2
1
x x x x
x

+ + + + + = +
+
VT đồng biến, VP nghòch biến
⇒
có không quá một nghiệm.
“Mò”
0x =
là một nghiệm.
( )
1
2, 3 2 2
x
x−
− =
Lập bảng biến thiên
⇒
có không quá hai nghiệm.
“Mò”
2, 4x x= =
là nghiệm.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
3,
x a x b x b x c x c x a
c c a c b a a b a c b b c b a x

− − − − − −
+ + =
− − − − − −
Trong đó a, b, c là ba số khác nhau và khác không.
Pt bậc 3 nên có không quá 3 nghiệm.
“Mò” có ba nghiệm a, b, c.
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 3 2
2 2 2 2
4, 1 1a a x x a a x x− − + = − + −
Xét TH đặc biệt
Tác giả: Hu nh Thanh Ln ỳ
Trang 9
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
TQ: Pt bậc 6 nên có không quá 6 nghiệm.
NX: Nếu
0
x
là nghiệm thì
0
0
1
&1 x
x
−
cũng là nghiệm, do đó
0 0
0
1 1 1
,1 ,

1
1
1
x x
x
−
−
−
cũng là
nghiệm. Dễ thấy a là một nghiệm.
2
3 2
4
5, 2 7 2 7 35
6, 3 8 40 8 4 4 0
x x x x x
x x x x
+ + + + + <
− − + − + =
Mò được nghiệm
3x
=
nên ta sẽ phân tích ra thừa số chung
( )
3x −
.
3 2
4
3 2
4

3 8 40
4 4
8
3 8 40
2 4 4 2
8
x x x
x
x x x
x
− − +
⇔ = +
− − +
⇔ − = + −
5 3
2 2
3 5
4
3 2
7, 1 3 4 0
8, 15 3 2 8
9, 1 5 7 7 5 13 7 8
1 1 1
10,5 4 3 2 2 5 7 17
2 3 6
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x

x x x
+ − − + =
+ = − + +
+ + − + − + − <
+ + + = + + − + − +
§. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Phương pháp này hay dùng trong phương trình có nhiều ẩn, có nhiều loại hàm số,
biểu thức phức tạp.
2 2
2 2
2 2
tan tan
1, sin sin
1 tan tan
+
= +
+ +
x y
x y
x y
Đặt
2 2
tan , tan , 0= = ⇒ ≥a x b y a b
Trở thành:
1 1 1
+
= +
+ + + +
a b a b
a b a b

Ta có:
1 1
1 1 1 1
1 1

≤


+ + +
⇒ + ≤ +

+ + + + + +

≤

+ + +

a a
a b a b
a b a
b b
a b a b a b
a b b
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2, 5 2 6 2 5 2 4+ + + + + = + +x yz y zx z xy x y z
Xét 2 vector
( )
( )

2 2 2
5; 6; 5 , 2 ; 2 ; 2= = + + +
r r
a b x yz y zx z xy
Khi đó,
. ; .= =
r r r r
VT a b VP a b
36 4
3, 28 4 2 1
2 1
+ = − − − −
− −
x y
x y
Dùng CauChy.
Tác giả: Hu nh Thanh Ln ỳ
Trang 10
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
2
4
4 4
2
4
4; 1 1 1 3
*) 1 1
− + − + + =
− ≤
x x x
x

4 4
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
2 2
*) 1 1 2
2 2 2 2
+ − + +
+ +
+ − + +
− + + ≤ + ≤ + =
x x
x x
x x
2
4
4 4 4 4
0
1 1 1 3 1 1 1 0
1 1 1
=


⇒ − + − + + = ⇔ − = + = ⇔ =


− = + =

x
x x x x x x

x x
( )
( )
( )
4 4 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
5;tan tan 2cot .cot 3 sin
2tan .tan 2cot .cot 4 tan .tan .cot .cot 4
3 1 4
tan tan
tan tan
tan tan
1
tan .tan cot .cot tan .tan
tan .tan
sin 1
sin 1
+ + = + +
≥ + ≥ =
≤ + =

=
=
=




→ = ⇔ = ⇔
 
 
+ =


+ =

x y x y x y
VT x y x y x y x y
VP
x y
x y
x y
x y x y x y
x y
x y
x y
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
tan .tan 1
sin 1

4 2
tan 1
4 2
tan 1 , )
4 2
2
cos 0
4 2
2
(b»ng c¸ch rót theo
π π
π π
π π
π π
π
π


=


+ =


= +



=


= +


 
⇔ = ⇔ = + ⇔
  
  
= + −
+ =
 


+ = +


x y
x y
x k
x
x k
y y l l m k
y m k
x y
x y m
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( )
2
2

2
6; 4 6 2 , 4;6
: 1 6
: 6,
4 6
*) 4 6 5
2
*) 2 1 1 5
T×m m ®Ó
§kc
§k®
+ − ≤ − + ∀ ∈ −
= → ≥
≥
+ + −
+ − ≤ =
− + = − + − ≥
x x x x m x
x m
gs m
x x
x x
x x m x m
Tác giả: Hu nh Thanh Luân ỳ
Trang 11
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
( )
( )
( )
( )

( )
( ) ( )
2
2 2
2
2
2
2
2 2
7; 2 4 6 11
*) 2 4 1 1 2 4 2
*) 6 11 3 2 2
8; 1 3 2 3 2 2
*) 1 3 1 1 1 3
1 3
9;sin 2sin 2 sin 3 2 2
*)sin 2sin 2 sin 3 2cos2 .sin 2sin 2

− + − = − +
− + − ≤ + − + − =
− + = − + ≥
− + − ≥ − + −
 
− + − ≤ + − + −
 
⇒ − = −
− − =
− − = − −
x x x x
x x x x

x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x
x x x x x x
( ) ( )
( )
2 2
2
0
2
2cos2 2sin 2 sin 1 2 2
2cos2 2sin 2
sin 1
sin 1

 
≤ − + − + ≤
 
− −

=

→ →


=

x x x

x x
vn
x
x
2 8
0
8 4
4 2
3
10, 2
8
2
*) :
2
1
*)2
8
1
*)
4
x x
Nn x
x x
x x
= +
= ±
+ ≥
+ ≥
( ) ( )
2

2
2
11, 4 5 2 2 3
*) 4 5 2 2 3 3 3 1 1 0 1
x x x
x x x x x x
+ + = +
+ + = + ≤ + + ⇔ + ≤ ⇔ = −
2
0
2 2
1 5
12,8
2
1
*) :
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5
*)8 8
4 4 4 4 2
x
x
Nn x
x x
x x x x x
+ =
=
+ = + + + + ≥
Tác giả: Hu nh Thanh Luân ỳ
Trang 12