BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8

GIÁO ÁN BỒI DƯ ỠNG HỌC SINH GIỎI
CHỦ ĐỀ I: PHÉP NHÂN ĐA THỨC
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức
a) A = x
5
- 15x
4
+ 16x
3
- 29x
2
+ 13x tại x = 14
b) B = x
14
- 10x
13
+ 10x
12
- 10x
11
+ ... + 10x
2
- 10x + 10 tại x = 9
c) C =
105
4
651.315
4
651

650
3.
105
1
651
1
.
315
1
2
+−−
Bài 2: Cho biểu thức: M = (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) + x
2
Tính M theo a,b,c biết rằng
cbax
2
1
2
1
2
1
++=
Bài 3:Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab -2 chia hết cho
3
Bài 4: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng M = N = P với:
M = a(a+b)(a+c); N = b(b+c)(b+a); P = c(c+a)(c+b)
I. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
B. BÀI TẬP
Bài 1:

1. Chứng minh : ( a + b)
2
– (a – b)
2
= 4ab
2. Rút gọn: ( a +2)
2
– ( a + 2)(a – 2)
3. Tìm x,biết : ( 2x + 3)
2
– 4(x – 1)(x + 1) = 49
4. Tìm giá trị biểu thức:
( ) ( )
2
1
3 3 ( 3) 2( 2)( 4),
2
Q x x x x x cho x= + + + − − + − =
Bài 2:
1. Rút gọn biểu thức :
2 2
(4 )(2 )(2 )A x y x y x y= + + −
2. Chứng minh: (7x + 1)
2
– (x + 7)
2
= 48(x
2
– 1)
3. Tìm x,biết : 16x

2
- (4x – 5)
2
= 15
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x
2
+ 2x + 3
1
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
3
3 2 2 3
3
3 2 2 3
3 3 2 2
3 3 2 2
2
2

3 3
3 3
A B A AB B
A B A AB B
A B A B A B
A B A A B AB B
A B A A B AB B
A B A B A AB B
A B A B A AB B
• + = + +
• − = − +
• − = − +
• + = + + +
• − = − + −
• + = + − +
• − = − + +
GIÁO ÁN BỒI DƯ ỠNG HỌC SINH GIỎI
Bài 3:
1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào m:
2 2
(2 5) (2 5) 40A m m= − − + +
2. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ
3. Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)
2
– 10x – (x – 4)(x +4).
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x
2
– 4x +5.
Bài 4:
1. Chứng minh rằng: (x – y)

2
– (x + y)
2
= - 4xy
2. Chứng minh: (7n – 2)
2
– (2n – 7)
2
luôn luôn chia hết cho 9,
với mọi n là giá trị nguyên
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x
2
+ 6x +1.
4. Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2

Bài 5:
1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b
2
+ c
2
+ 2bc – a

2
= 4p(p – a).
2. CMR nếu a
2
+ b
2
+ c
2
= ab +bc + ca thì a = b = c.
3. Tìm x,y biết : x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 5 = 0.
Bài 6:
1. Chứng minh : (a + b)
3
– 3ab(a +b) = a
3
+ b
3
2. Tính x
3
+ y
3
,biết x + y = 3 và xy = 2
3. Cho a + b = 1.Chứng minh : a
3
+ b
3

= 1 – 3ab.
Bài 7:
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) x
2
- 2x -1 b) 4x
2
+ 4x + 5
Bài 8:
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) 2x - x
2
- 4 b) -x
2
- 4x
* HD: đưa các biểu thức đã cho về dạng A
2
hoặc -A
2
Ví dụ: a)A= x
2
- 2x -1= ( x – 1 )
2
– 2
≥
- 2
⇒
MaxA = -2. Dấu “ =’’xảy ra
⇔
x=1

HS làm các phần khác tương tự
Bài 9:
Cho x - y = 7. Tính:
a) x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37
b) x
2
(x + 1) - y
2
(y - 1) + xy -3xy(x - y + 1) – 95
• HD: Rút gọn từng biểu thức làm xuất hiện x-y
• VD:
a, x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37 = x
2
+2x+y
2
-2y-2xy +37
= (x
2
+2xy+y
2
) +(2x-2y ) +37
= ( x-y)
2
+ 2( x-y) +37
= 49 +14 +37 = 100
Bài10:
2
GIÁO ÁN BỒI DƯ ỠNG HỌC SINH GIỎI
Cho x + y = a; x
2

+ y
2
= b; x
3
+ y
3
= c
Chứng minh: a
3
- 3ab + 2c = 0
* Lưu ý mối liên hệ x
2
+ y
2
= ( x+y)
2
– 2xy
x
3
+y
3
= ( x+y) (x
2
+ y
2
– xy)
a
3
- 3ab + 2c = (x + y)
3

- 3(x + y)( x
2
+ y
2
) +2(x
3
+ y
3
)
= x
3
+y
3
+3x
2
y+ 3xy
2
- 3x
3
-3xy
2
-3x
2
y -3y
3
+ 2x
3
+ 2y
3
= 0

Bài 11:
Cho x
2
+ y
2
= 1. Chứng minh rằng biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x, y
2( x
6
+ y
6
) - 3( x
4
+ y
4
)
Bài 12:
Cho x + y = 2; x
2
+ y
2
= 10.
Tính giá trị của biểu thức x
3
+ y
3

Bài 11,12 Làm tương tự bài 10
Bài 13:
1. Chứng minh : (a – b)
3

+ 3ab(a - b) = a
3
+ b
3
2. Rút gọn: (x – 3)
3
– (x + 3)
3
.
3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a
3
- b
3
= 1 + 3ab.
Bài 14:Chứng minh biểu thức luôn dương:
a) A=
3816
2
++
xx
b)
85
2
+−=
yyB
Bài 15: Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:
a)
16
2
−+=

xxM
b)
3510
2
−−=
yyN
Bài 16: Thu gọn:
a)
( )
( )( )
121212
42
+++
. . . . .
( )
6432
212
−+
b)
( )
( )( )
4422
353535
+++
. . . . .
( )
2
35
35
128128

6464
−
++
CH Ủ Đ Ề II:
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
3
GIÁO ÁN BỒI DƯ ỠNG HỌC SINH GIỎI
4