Bài toán Euler và bài toán Hamiton

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (503.12 KB, 22 trang )

Chu
.
o
.
ng 5
B`ai to´an Euler v`a b`ai to´an Hamilton
L´y thuyˆe
´
t d¯ˆo
`
thi
.
ph´at triˆe
˙’
n bˇa
´
t nguˆo
`
n t`u
.
nh˜u
.
ng b`ai to´an cˆo
˙’
d¯iˆe
˙’
n, trong sˆo
´
d¯´o b`ai to´an Euler
v`a b`ai to´an Hamilton t`ım h`anh tr`ınh d¯i qua mˆo

˜
i ca
.
nh d¯´ung mˆo
.
t lˆa
`
n v`a qua mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh d¯´ung
mˆo
.
t lˆa
`
n tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d¯´ong vai tr`o quan tro
.
ng.
Hai b`ai to´an n`ay c´o liˆen quan d¯ˆe
´
n nh˜u
.
ng ´u

.
ng du
.
ng: c´ac b`ai to´an t`ım h`anh tr`ınh tˆo
´
t
nhˆa
´
t (ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a thu
.
Trung Hoa, ngu
.
`o
.
i ch`ao h`ang), tu
.
.
d¯ˆo
.
ng ho´a thiˆe
´
t kˆe
´
bˇa

`
ng m´ay t´ınh,
lˆa
.
p li
.
ch, vˆan vˆan.
Mˇa
.
c d`u hai b`ai to´an n`ay d¯u
.
o
.
.
c ph´at biˆe
˙’
u rˆa
´
t giˆo
´
ng nhau, nhu
.
ng m´u
.
c d¯ˆo
.
kh´o trong
viˆe
.
c gia

˙’
i quyˆe
´
t ch´ung l`a rˆa
´
t kh´ac nhau.
Ch´ung ta s˜e ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng trong d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng, tˆo
`
n ta
.
i thuˆa
.
t to´an d¯a th´u
.
c t`ım
h`anh tr`ınh Euler v`a b`ai to´an ngu
.
`o

.
i d¯u
.
a thu
.
Trung Hoa c´o thˆe
˙’
d¯u
.
a vˆe
`
t`ım cˇa
.
p gh´ep ho`an
ha
˙’
o c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t [30] (c˜ung xem Phˆa
`
n 7.5). C´ac thuˆa

.
t to´an n`ay s˜e d¯u
.
o
.
.
c tr`ınh
b`ay trong c´ac Phˆa
`
n 5.1 v`a 5.2.
Mˇa
.
t kh´ac, vˆa
´
n d¯ˆe
`
tˆo
`
n ta
.
i chu tr`ınh hay ma
.
ch Hamilton l`a nh˜u
.
ng b`ai to´an khˆong d¯a
th´u
.
c khˆong d¯u
.
o

.
.
c d¯ˆe
`
cˆa
.
p o
.
˙’
d¯ˆay. Ba
.
n d¯o
.
c quan tˆam c´o thˆe
˙’
xem, chˇa
˙’
ng ha
.
n [30]. Ch´ung ta
chı
˙’
tr`ınh b`ay trong Phˆa
`
n 5.3 nh˜u
.
ng kˆe
´
t qua
˙’

ch´ınh liˆen quan d¯ˆe
´
n su
.
.
tˆo
`
n ta
.
i cu
˙’
a c´ac chu tr`ınh
hay ma
.
ch Hamilton. Khi c´o d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n, c´ac ch´u
.
ng minh c´o t´ınh kiˆe
´
n thiˆe
´
t thuˆa
.
t to´an hoˇa
.
c
c´o thˆe

˙’
d¯ˆe
`
xuˆa
´
t nh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap heuristic.
5.1 B`ai to´an Euler
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 5.1.1 Gia
˙’
su
.
˙’
G = (V, E) l`a d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.

ng (d¯o
.
n hoˇa
.
c d¯a d¯ˆo
`
thi
.
). Dˆay chuyˆe
`
n
127

Euler l`a dˆay chuyˆe
`
n ch´u
.
a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
, mˆo

˜
i ca
.
nh d¯´ung mˆo
.
t lˆa
`
n. Chu tr`ınh
Euler l`a dˆay chuyˆe
`
n Euler m`a d¯ı
˙’
nh d¯ˆa
`
u tr`ung v´o
.
i d¯ı
˙’
nh cuˆo
´
i.
V´ı du
.
5.1.2 (B`ai to´an Euler) C´ach d¯ˆay khoa
˙’
ng ba trˇam nˇam, nhiˆe
`
u ngu
.
`o

.
i dˆan th`anh phˆo
´
K¨onigsberg cu
˙’
a nu
.
´o
.
c Nga (sau n`ay l`a th`anh phˆo
´
Kaliningrat) d¯˜a t`u
.
ng thˇa
´
c mˇa
´
c vˆa
´
n d¯ˆe
`
nhu
.
sau: Th`anh phˆo
´
c´o sˆong Pregel cha
˙’
y qua, gi˜u
.
a sˆong c´o c`u lao Kneiphof, v`a c´o 7 chiˆe

´
c cˆa
`
u
bˇa
´
c qua sˆong nhu
.
trˆen H`ınh 5.1(a); c´o thˆe
˙’
d¯i da
.
o qua khˇa
´
p c´ac cˆa
`
u nhu
.
ng mˆo
˜
i cˆa
`
u chı
˙’
d¯i
mˆo
.
t lˆa
`
n thˆoi khˆong? Nˆe

´
u ta coi mˆo
˜
i khu vu
.
.
c a, b, c, d cu
˙’
a th`anh phˆo
´
nhu
.
mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh, mˆo
˜
i cˆa
`
u
qua la
.
i hai khu vu
.
.
c nhu
.
mˆo
.

t ca
.
nh nˆo
´
i hai d¯ı
˙’
nh, th`ı ba
˙’
n d¯ˆo
`
th`anh phˆo
´
K¨onigsberg l`a mˆo
.
t
d¯ˆo
`
thi
.
(H`ınh 5.1(b)). Thˇa
´
c mˇa
´
c cu
˙’
a ngu
.
`o
.
i dˆan th`anh phˆo

´
ch´ınh l`a: c´o thˆe
˙’
v˜e d¯u
.
o
.
.
c d¯ˆo
`
thi
.
bˇa
`
ng mˆo
.
t n´et b´ut liˆe
`
n hay khˆong? N´oi c´ach kh´ac: tˆo
`
n ta
.
i chu tr`ınh Euler?
Nh`a to´an ho
.
c L. Euler (1707-1783) l`a ngu
.
`o
.
i d¯ˆa

`
u tiˆen d¯˜a ch´u
.
ng minh b`ai to´an khˆong
c´o l`o
.
i gia
˙’
i (nˇam 1736, xem [22], [23]), v`a v`ı vˆa
.
y b`ai to´an thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a b`ai to´an Euler
vˆe
`
c´ac cˆa
`
u o
.
˙’
K¨onigsberg.

a
b
c
d
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
.
.
.
.
.
.
.
..
..
..
..
..
...
...............
..
..
..
.

..
..
..
..
..
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..

..
.
..
..
..
...
...............
..
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.................................................................................

.................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
(a)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
b
c
d
(b)
H`ınh 5.1: (a) Ba
˙’
n d¯ˆo
`
cu
˙’
a th`anh phˆo
´
K¨onigsberg. (b) D
-
ˆo
`
thi
.
tu
.

o
.
ng d¯u
.
o
.
ng.
D
-
i
.
nh l´y 5.1.3 [Euler] D
-
a d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng liˆen thˆong G = (V, E) c´o dˆay chuyˆe
`
n Euler nˆe
´
u
v`a chı
˙’
nˆe
´

u sˆo
´
c´ac d¯ı
˙’
nh bˆa
.
c le
˙’
bˇa
`
ng 0 hoˇa
.
c 2.
Ch´u
.
ng minh. Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ch´u ´y rˇa
`
ng d¯ˆo
`
thi
.
khˆong liˆen thˆong khˆong thˆe
˙’
ch´u

.
a dˆay chuyˆe
`
n
hoˇa
.
c chu tr`ınh Euler.
Bˆay gi`o
.
ta ch´u
.
ng minh d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n. Nˆe
´
u µ l`a dˆay chuyˆe
`
n Euler, th`ı chı
˙’
c´o hai d¯ı
˙’
nh
d¯ˆa
`
u v`a cuˆo
´

i c´o bˆa
.
c le
˙’
. Nˆe
´
u ngo`ai ra, hai d¯ı
˙’
nh n`ay tr`ung nhau (chu tr`ınh Euler) th`ı khˆong
c´o d¯ı
˙’
nh bˆa
.
c le
˙’
.
128

Kˆe
´
tiˆe
´
p ta ch´u
.
ng minh d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’

bˇa
`
ng quy na
.
p theo sˆo
´
ca
.
nh m cu
˙’
a G. Hiˆe
˙’
n nhiˆen
d¯i
.
nh l´y d¯´ung nˆe
´
u m = 1. Gia
˙’
su
.
˙’
d¯i
.
nh l´y d¯´ung cho mo
.
i d¯ˆo
`
thi
.

liˆen thˆong m ca
.
nh. Nˆe
´
u G c´o
hai d¯ı
˙’
nh bˆa
.
c le
˙’
, gia
˙’
su
.
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh n`ay l`a a v`a b (nˆe
´
u tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G c´o bˆa
.

c chˇa
˜
n, cho
.
n
d¯ı
˙’
nh a bˆa
´
t k`y v`a lˆa
´
y b = a). K´y hiˆe
.
u µ l`a dˆay chuyˆe
`
n m`a ta d¯i trˆen d¯ˆo
`
thi
.
G xuˆa
´
t ph´at t`u
.
a
theo hu
.
´o
.
ng tu`y ´y, d¯i qua mˆo
˜

i ca
.
nh d¯´ung mˆo
.
t lˆa
`
n. Nˆe
´
u ta
.
i th`o
.
i d¯iˆe
˙’
m n`ao d¯´o ta o
.
˙’
d¯ı
˙’
nh x = b
ngh˜ıa l`a ta d¯˜a su
.
˙’
du
.
ng mˆo
.
t sˆo
´
le

˙’
ca
.
nh liˆen thuˆo
.
c v´o
.
i x nˆen c´o thˆe
˙’
d¯i theo ca
.
nh kh´ac chu
.
a
d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng. Nˆe
´
u ta khˆong thˆe
˙’
d¯i d¯u
.

o
.
.
c n˜u
.
a, ngh˜ıa l`a d¯ang o
.
˙’
d¯ı
˙’
nh b. Nˆe
´
u tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ca
.
nh
d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng, µ l`a mˆo

.
t dˆay chuyˆe
`
n Euler v`a d¯i
.
nh l´y d¯´ung. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
c
la
.
i, d¯ˆo
`
thi
.
con G

d¯u
.
o
.

.
c x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i c´ac ca
.
nh chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng chı
˙’
c´o nh˜u
.
ng d¯ı
˙’
nh bˆa
.
c
chˇa

˜
n. K´y hiˆe
.
u G

1
, G

2
, . . . , G

p
l`a c´ac th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong cu
˙’
a G

ch´u
.
a ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t ca
.
nh.
Khi d¯´o c´ac d¯ˆo
`
thi

.
G

i
c´o sˆo
´
ca
.
nh ´ıt ho
.
n m v`a do d¯´o theo gia
˙’
thiˆe
´
t quy na
.
p, ch´ung ch´u
.
a mˆo
.
t
chu tr`ınh Euler µ
i
. V`ı G liˆen thˆong, dˆay chuyˆe
`
n µ c´o chung v´o
.
i c´ac d¯ˆo
`
thi

.
G

1
, G

2
, . . . , G

p
c´ac
d¯ı
˙’
nh theo th´u
.
tu
.
.
i
1
, i
2
, . . . , i
p
. Khi d¯´o h`anh tr`ınh: xuˆa
´
t ph´at t`u
.
a d¯i trˆen µ d¯ˆe
´

n d¯ı
˙’
nh i
1
, d¯i
do
.
c theo chu tr`ınh µ
1
t`u
.
i
1
vˆe
`
i
1
, d¯i trˆen µ d¯ˆe
´
n d¯ı
˙’
nh i
2
d¯i do
.
c theo chu tr`ınh µ
2
t`u
.
i

2
vˆe
`
i
2
,
v`a vˆan vˆan, l`a mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n Euler xuˆa
´
t ph´at t`u
.
a v`a kˆe
´
t th´uc ta
.
i b. D
-
i
.
nh l´y d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng

minh. 
D
-
ˆo
`
thi
.
thoa
˙’
c´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cu
˙’
a D
-
i
.
nh l´y Euler go
.
i l`a d¯ˆo
`
thi
.
Euler.
5.1.1 Thuˆa
.
t to´an t`ım dˆay chuyˆe
`

n Euler
C´ach ch´u
.
ng minh D
-
i
.
nh l´y Euler 5.1.3 cho ta mˆo
.
t thuˆa
.
t to´an xˆay du
.
.
ng dˆay chuyˆe
`
n Euler
trong mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
Euler.
1. Xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t dˆay chuyˆe

`
n d¯o
.
n gia
˙’
n µ xuˆa
´
t ph´at t`u
.
s.
2. Nˆe
´
u tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ca
.
nh cu
˙’
a G d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.

ng th`ı d`u
.
ng v`a ta c´o µ l`a dˆay chuyˆe
`
n Euler.
Ngu
.
o
.
.
c la
.
i sang Bu
.
´o
.
c 3.
3. K´y hiˆe
.
u G
1
l`a d¯ˆo
`
thi
.
con cu
˙’
a G gˆo
`
m c´ac ca

.
nh chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng. Cho
.
n d¯ı
˙’
nh c cu
˙’
a G
1
nˇa
`
m trˆen dˆay chuyˆe
`
n µ. Xˆay du
.
.
ng chu tr`ınh d¯o
.

n gia
˙’
n µ
1
trong d¯ˆo
`
thi
.
G
1
xuˆa
´
t ph´at
t`u
.
d¯ı
˙’
nh c.
4. Mo
.
˙’
rˆo
.
ng dˆay chuyˆe
`
n µ bˇa
`
ng c´ach gˇa
´
n thˆem chu tr`ınh µ

1
ta
.
i d¯ı
˙’
nh c (t´u
.
c l`a d˜ay c´ac
ca
.
nh cu
˙’
a µ
1
d¯u
.
o
.
.
c ch`en v`ao d˜ay c´ac ca
.
nh cu
˙’
a µ).
5. Thay G bo
.
˙’
i G
1
v`a lˇa

.
p la
.
i bu
.
´o
.
c 2.
V´ı du
.
5.1.4 D
-
ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 5.2 c´o mˆo
.
t chu tr`ınh Euler
(v
1
, e
1
, v
2
, e
2
, v
3
, e

3
, v
2
, e
4
, v
3
, e
15
, v
4
, e
14
, v
5
, e
13
, v
4
, e
12
, v
6
, e
11
,
129

e
1

e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
e
10
e
11
e
12
e
13
e
14
e
15
e
16

e
17
v
1
v
2
v
6
v
3
v
7
v
8
v
5
v
4
.......................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
.......
..
..
..
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
...
.........
..
.
.
.

..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
....
....
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.......
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
H`ınh 5.2: Mˆo
.
t v´ı du
.
vˆe
`
d¯ˆo
`
thi
.
Euler.

v
5
, e
16
, v
3
, e
17
, v
7
, e
10
, v
6
, e
9
, v
8
, e
8
, v
7
, e
5
, v
1
, e
7
, v
8

, e
6
, v
1
).
Mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n hay chu tr`ınh Euler c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i mˆo
.
t danh s´ach c´o th´u
.
tu
.
.
c´ac d¯ı
˙’

nh cu
˙’
a G ch´u
.
a trong n´o. Chˇa
˙’
ng ha
.
n, ta c´o thˆe
˙’
su
.
˙’
du
.
ng mˆo
.
t cˆa
´
u tr´uc danh s´ach
liˆen kˆe
´
t
typedef struct PathNode *PathPtr;
struct PathNode
{
byte Vertex;
PathPtr Next;
};
d¯ˆe

˙’
d¯´anh dˆa
´
u c´ac d¯ı
˙’
nh liˆen tiˆe
´
p trˆen dˆay chuyˆe
`
n, trong d¯´o V ertex l`a sˆo
´
hiˆe
.
u d¯ı
˙’
nh trˆen dˆay
chuyˆe
`
n; v`a con tro
˙’
Next chı
˙’
n´ut kˆe
´
tiˆe
´
p ch´u
.
a sˆo
´

hiˆe
.
u cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh kˆe
`
V ertex trˆen dˆay chuyˆe
`
n.
Dˆe
˜
thˆa
´
y rˇa
`
ng, danh s´ach n`ay c´o sˆo
´
n´ut bˇa
`
ng (m + 1).
T`u
.
d¯ˆay vˆe
`
sau ta s˜e gia
˙’
thiˆe
´

t G d¯u
.
o
.
.
c cho bo
.
˙’
i ma
˙’
ng c´ac danh s´ach kˆe
`
V out[] (c´o
tro
.
ng sˆo
´
), trong d¯´o v´o
.
i mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh v
i
∈ V, V out[i] l`a danh s´ach c´ac d¯ı
˙’
nh liˆen thuˆo
.
c d¯ı

˙’
nh v
i
v`a tru
.
`o
.
ng d¯ˆo
.
d`ai Length o
.
˙’
n´ut th´u
.
j (tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d¯ı
˙’
nh v
j
) l`a sˆo
´
ca
.
nh liˆen thuˆo
.

c v´o
.
i d¯ı
˙’
nh
v
i
. Trong qu´a tr`ınh thu
.
.
c hiˆe
.
n thuˆa
.
t to´an, mˆo
˜
i khi d¯i qua ca
.
nh (v
i
, v
j
) n`ao d¯´o, ta gia
˙’
m d¯ˆo
.
130

d`ai Length mˆo
.

t d¯o
.
n vi
.
o
.
˙’
n´ut th´u
.
j trong danh s´ach V out[i] d¯ˆe
˙’
d¯´anh dˆa
´
u ca
.
nh d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng.
V`ı mˆo
˜
i ca
.

nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
d¯u
.
o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra nhiˆe
`
u nhˆa
´
t hai lˆa
`
n nˆen d¯ˆo
.
ph´u
.
c ta
.
p cu
˙’
a thuˆa
.
t

to´an l`a O(m).
5.2 B`ai to´an ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a thu
.
Trung Hoa
X´et d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng liˆen thˆong G := (V, E) c´o tro
.
ng sˆo
´
(t´u
.
c l`a mˆo
˜
i ca
.
nh e ∈ E ta g´an mˆo
.

t
sˆo
´
w(e) go
.
i l`a tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng cu
˙’
a ca
.
nh e).
B`ai to´an ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a thu
.
Trung Hoa (khˆong d¯u
.
o
.
.

c d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng) ph´at biˆe
˙’
u rˇa
`
ng t`ım mˆo
.
t
dˆay chuyˆe
`
n gi˜u
.
a hai d¯ı
˙’
nh cho tru
.
´o
.
c a, b ∈ V su
.
˙’
du
.
ng mˆo
˜

i ca
.
nh cu
˙’
a G ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t lˆa
`
n v`a c´o
d¯ˆo
.
d`ai nho
˙’
nhˆa
´
t (xem [44]).
Nhiˆe
`
u b`ai to´an vˆe
`
h`anh tr`ınh (ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a thu
.

, ngu
.
`o
.
i giao s˜u
.
a, ngu
.
`o
.
i ch`ao h`ang, v.v)
c´o thˆe
˙’
ph´at biˆe
˙’
u o
.
˙’
da
.
ng n`ay. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ˆo
`
thi

.
c´o hu
.
´o
.
ng, trong d¯´o mˆo
˜
i cung cu
˙’
a G
cˆa
`
n d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t lˆa
`
n, b`ai to´an c´o thˆe
˙’

d¯u
.
a vˆe
`
b`ai to´an luˆo
`
ng v´o
.
i chi ph´ı nho
˙’
nhˆa
´
t (b`ai tˆa
.
p).
T`u
.
d¯ˆay vˆe
`
sau ch´ung ta chı
˙’
x´et d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng. Khˆong mˆa

´
t t´ınh tˆo
˙’
ng qu´at c´o thˆe
˙’
gia
˙’
thiˆe
´
t d¯ı
˙’
nh xuˆa
´
t ph´at a v`a d¯ı
˙’
nh kˆe
´
t th´uc b trˆen dˆay chuyˆe
`
n l`a tr`ung nhau. Trong tru
.
`o
.
ng
ho
.
.
p ngu
.
o

.
.
c la
.
i, ta chı
˙’
cˆa
`
n thˆem mˆo
.
t ca
.
nh (a, b) v´o
.
i d¯ˆo
.
d`ai bˇa
`
ng khˆong. V´o
.
i mˆo
˜
i chu tr`ınh
c´o d¯ˆo
.
d`ai nho
˙’
nhˆa
´
t trˆen d¯ˆo

`
thi
.
m´o
.
i n`ay, tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n trˆen G c´o c`ung d¯ˆo
.
d`ai v`a
do d¯´o l`a nho
˙’
nhˆa
´
t.
Nˆe
´
u G l`a d¯ˆo
`
thi
.
Euler th`ı tˆo
`
n ta

.
i mˆo
.
t chu tr`ınh Euler d¯i qua mˆo
˜
i ca
.
nh d¯´ung mˆo
.
t lˆa
`
n
v`a v`ı vˆa
.
y l`a mˆo
.
t nghiˆe
.
m tˆo
´
i u
.
u cu
˙’
a b`ai to´an.
N´oi chung, G khˆong pha
˙’
i l`a d¯ˆo
`
thi

.
Euler, nˆen tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t sˆo
´
c´ac d¯ı
˙’
nh bˆa
.
c le
˙’
. K´y hiˆe
.
u
V
1
l`a tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G c´o bˆa
.
c le
˙’

. Dˆe
˜
thˆa
´
y rˇa
`
ng sˆo
´
phˆa
`
n tu
.
˙’
cu
˙’
a tˆa
.
p V
1
l`a mˆo
.
t sˆo
´
chˇa
˜
n. Khi
d¯´o b`ai to´an ngu
.
`o
.

i d¯u
.
a thu
.
Trung Hoa d¯u
.
a vˆe
`
viˆe
.
c thˆem mˆo
.
t sˆo
´
ca
.
nh v`ao G d¯ˆe
˙’
tro
.
˙’
th`anh
d¯ˆo
`
thi
.
Euler v`a c`ung l´uc, cu
.
.
c tiˆe

˙’
u ho´a tˆo
˙’
ng c´ac tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng cu
˙’
a c´ac ca
.
nh d¯u
.
o
.
.
c thˆem v`ao.
Ch´ung ta khˆong thˆem mˆo
.
t ca
.
nh e

= (v
i
, v
j

) tr`u
.
khi d¯˜a tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t ca
.
nh e = (v
i
, v
j
)
trong G v`a g´an tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng cu
˙’
a ca
.
nh e

l`a w(e


) := w(e). Ca
.
nh e

go
.
i l`a ba
˙’
n sao cu
˙’
a e.
X´et mˆo
.
t l`o
.
i gia
˙’
i tˆo
´
i u
.
u cu
˙’
a b`ai to´an v`a d¯ˇa
.
t E

l`a tˆa
.
p c´ac ca

.
nh d¯u
.
o
.
.
c thˆem v`ao G. K´y
hiˆe
.
u G

= (V, E + E

) l`a d¯ˆo
`
thi
.
Euler nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c.
131

Bˆo
˙’
d¯ˆe

`
5.2.1 Gia
˙’
su
.
˙’
v
i
l`a mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh bˆa
.
c le
˙’
trong G. Khi d¯´o tˆa
.
p E

ch´u
.
a mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n
so
.
cˆa

´
p nˆo
´
i d¯ı
˙’
nh v
i
v´o
.
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh v
j
= v
i
c´o bˆa
.
c le
˙’
trong G.
Ch´u
.
ng minh. V´o
.
i mo
.
i d¯ı
˙’

nh v
k
∈ V
1
ta c´o d
G
(v
k
) ≡ 1 (mod 2) v`a d
G

(v
k
) ≡ 0 (mod 2); ngo`ai
ra, theo c´ach xˆay du
.
.
ng d
G

(v
k
) ≥ d
G
(v
k
). Do d¯´o tˆo
`
n ta
.

i ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t ca
.
nh e
1
∈ E

liˆen thuˆo
.
c
d¯ı
˙’
nh v
i
.
K´y hiˆe
.
u v
i
1
l`a d¯ı
˙’
nh kh´ac v
i
m`a ca
.
nh e

1
liˆen thuˆo
.
c. Nˆe
´
u d
G
(v
i
1
) ≡ 1 (mod 2) th`ı bˆo
˙’
d¯ˆe
`
d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh v´o
.
i v
j
= v
i
1
. Ngu
.

o
.
.
c la
.
i, nˆe
´
u d
G
(v
i
1
) ≡ 0 (mod 2) th`ı d
G

(v
i
1
) ≥ d
G
(v
i
1
) + 2
v`a tˆo
`
n ta
.
i ca
.

nh e
2
∈ E

, e
2
= e
1
, liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh v
i
1
. K´y hiˆe
.
u v
i
2
l`a d¯ı
˙’
nh kh´ac v
i
1
m`a ca
.
nh
e
2

liˆen thuˆo
.
c. Nˆe
´
u d
G
(v
i
2
) ≡ 1 (mod 2) th`ı bˆo
˙’
d¯ˆe
`
d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh v´o
.
i v
j
= v
i
2
. Ngu
.
o

.
.
c la
.
i,
tˆo
`
n ta
.
i ca
.
nh e
3
∈ E

, e
3
= e
2
, liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh v
i
2
, v`a vˆan vˆan.
Do d¯´o ta xˆay du
.
.

ng d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n so
.
cˆa
´
p d`ai nhˆa
´
t c´o thˆe
˙’
(v
i
, e
1
, v
i
1
, e
2
, v
i
2
, . . . , e

p
, v
i
p
).
Nˆe
´
u d
G
(v
i
p
) ≡ 1 (mod 2) th`ı bˆo
˙’
d¯ˆe
`
d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh v´o
.
i v
j
= v
i
p

. Ngu
.
o
.
.
c la
.
i, tˆo
`
n ta
.
i ca
.
nh
e
p+1
∈ E

, e
p
= e
p+1
, liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh v
i
p
v`a v

i
p+1
. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay, tˆo
`
n ta
.
i chı
˙’
sˆo
´
q, 1 ≤ q ≤ p, sao cho v
i
q
≡ v
i
p+1
v`a ta c´o mˆo
.
t chu tr`ınh xuˆa
´
t hiˆe
.
n. Loa

.
i bo
˙’
tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ca
.
nh
trong chu tr`ınh n`ay ta d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
con G

cu
˙’
a G

sao cho n´o vˆa
˜
n l`a d¯ˆo

`
thi
.
Euler v`a
ho
.
n n˜u
.
a
d
G

(v
k
) ≥ d
G
(v
k
),
v´o
.
i mo
.
i d¯ı
˙’
nh v
k
∈ V.
Lˇa
.

p la
.
i c´ach xˆay du
.
.
ng dˆay chuyˆe
`
n trˆen, xuˆa
´
t ph´at t`u
.
d¯ı
˙’
nh v
i
q
chı
˙’
su
.
˙’
du
.
ng c´ac ca
.
nh
cu
˙’
a G


.
Do sˆo
´
c´ac ca
.
nh trong E

l`a h˜u
.
u ha
.
n, nˆen sau mˆo
.
t sˆo
´
h˜u
.
u ha
.
n bu
.
´o
.
c ta d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.

t d¯ı
˙’
nh
v
i
p
sao cho d
G
(v
i
p
) ≡ 1 (mod 2) v`a bˆo
˙’
d¯ˆe
`
d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh v´o
.
i v
j
= v
i
p
. 

Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
5.2.2 Gia
˙’
su
.
˙’
v
i
v`a v
j
l`a hai d¯ı
˙’
nh thoa
˙’
m˜an c´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cu
˙’
a Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
5.2.1 v`a k´y
hiˆe
.

u dˆay chuyˆe
`
n tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a
µ

:= {e

1
, e

2
, . . . , e

p
}
trong d¯´o e

k
∈ E

, k = 1, 2, . . . , p. C´ac ca
.
nh e


1
, e

2
, . . . , e

p
l`a c´ac ba
˙’
n sao cu
˙’
a c´ac ca
.
nh
e
1
, e
2
, . . . , e
p
trong G v`a x´et dˆay chuyˆe
`
n µ := {e
1
, e
2
, . . . , e
p
} trong G. Khi d¯´o µ l`a dˆay
chuyˆe

`
n (trong G) c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t nˆo
´
i d¯ı
˙’
nh v
i
v´o
.
i d¯ı
˙’
nh v
j
.
Ch´u
.
ng minh. Nˆe
´
u tˆo

`
n ta
.
i mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n ¯µ = {¯e
1
, ¯e
2
, . . . , ¯e
q
} nˆo
´
i d¯ı
˙’
nh v
i
v´o
.
i d¯ı
˙’
nh v
j
trong
G c´o d¯ˆo
.
d`ai nho
˙’

ho
.
n th`ı bˇa
`
ng c´ach loa
.
i c´ac ca
.
nh e

1
, e

2
, . . . , e

p
kho
˙’
i G

v`a thˆem c´ac ba
˙’
n sao
132

¯e

1
, ¯e


2
, . . . , ¯e

q
cu
˙’
a ¯e
1
, ¯e
2
, . . . , ¯e
q
ta nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
Euler m´o
.
i c´o tˆo
˙’

ng tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
ho
.
n, mˆau thuˆa
˜
n. 
Bˆay gi`o
.
x´et d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
K(V
1
) trˆen tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’

nh V
1
trong d¯´o c´ac ca
.
nh thˆem v`ao
(v
i
, v
j
) c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng w
ij
bˇa
`
ng d¯ˆo
.
d`ai cu
˙’
a dˆay chuyˆe
`
n nho
˙’
nhˆa
´

t trong G gi˜u
.
a hai d¯ı
˙’
nh v
i
v`a v
j
. Khi d¯´o mˆo
˜
i ca
.
nh cu
˙’
a K(V
1
) tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n trong G. V`ı w(e) ≥ 0 v´o
.

i
mo
.
i ca
.
nh e ∈ E nˆen w
ij
c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh bˇa
`
ng thuˆa
.
t to´an t`ım d¯u
.
`o
.
ng d¯i ngˇa
´
n nhˆa
´
t,
chˇa

˙’
ng ha
.
n Floyd (xem 3.3.2) hay Dantzig [16].
D
-
i
.
nh l´y 5.2.3 Tˆo
`
n ta
.
i tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t-mˆo
.
t gi˜u
.
a l`o
.
i gia
˙’
i tˆo
´

i u
.
u cu
˙’
a b`ai to´an ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a
thu
.
Trung Hoa v´o
.
i mˆo
.
t cˇa
.
p gh´ep ho`an ha
˙’
o c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’

nhˆa
´
t trong d¯ˆo
`
thi
.
K(V
1
).
Ch´u
.
ng minh. X´et mˆo
.
t l`o
.
i gia
˙’
i tˆo
´
i u
.
u cu
˙’
a b`ai to´an ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a thu

.
Trung Hoa v`a d¯ˇa
.
t E

l`a
tˆa
.
p c´ac ca
.
nh thˆem v`ao G. Theo Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
5.2.1 ta c´o thˆe
˙’
thiˆe
´
t lˆa
.
p tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i mˆo
˜

i d¯ı
˙’
nh
v
i
∈ V
1
v´o
.
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh v
j
∈ V
1
bˇa
`
ng mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n so
.
cˆa
´
p µ
ij
m`a c´ac ca

.
nh thuˆo
.
c E

. Theo
Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
5.2.2, µ
ij
c´o d¯ˆo
.
d`ai nho
˙’
nhˆa
´
t. Trong d¯ˆo
`
thi
.
K(V
1
) c´ac dˆay chuyˆe
`
n µ
ij
tu
.

o
.
ng ´u
.
ng ca
.
nh
(v
i
, v
j
). Do d¯´o tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a V
1
d¯u
.
o
.
.
c kˆe
´
t ho
.

.
p, hai v´o
.
i hai, v`a c´ac ca
.
nh (v
i
, v
j
) tu
.
o
.
ng
´u
.
ng dˆay chuyˆe
`
n µ
ij
cu
˙’
a G

, ta
.
o th`anh mˆo
.
t cˇa
.

p gh´ep ho`an ha
˙’
o K cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
K(V
1
). (Trong
d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
v´o
.
i sˆo
´
chˇa
˜
n d¯ı
˙’
nh luˆon luˆon tˆo
`
n ta

.
i mˆo
.
t cˇa
.
p gh´ep ho`an ha
˙’
o; xem Phˆa
`
n 7.5).
V`ı tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng cu
˙’
a cˇa
.
p gh´ep ho`an ha
˙’
o K bˇa
`
ng tˆo
˙’
ng c´ac tro
.
ng lu

.
o
.
.
ng cu
˙’
a c´ac ca
.
nh cu
˙’
a E

nˆen l`o
.
i gia
˙’
i cu
˙’
a b`ai to´an ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a thu
.
Trung Hoa l`a tˆo
´
i u
.

u nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u K l`a mˆo
.
t cˇa
.
p
gh´ep ho`an ha
˙’
o v´o
.
i tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t. Ta c´o d¯iˆe
`
u pha
˙’

i ch´u
.
ng minh. 
Do d¯´o nghiˆe
.
m cu
˙’
a b`ai to´an ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a thu
.
Trung Hoa d¯u
.
a vˆe
`
b`ai to´an t`ım mˆo
.
t cˇa
.
p
gh´ep ho`an ha
˙’
o c´o tro
.
ng lu
.

o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
K
n
. Viˆe
.
c x´ac d¯i
.
nh nghiˆe
.
m cu
˙’
a
b`ai to´an sau l`a mˆo
.

t thuˆa
.
t to´an kh´a ph´u
.
c ta
.
p v`a do d¯´o s˜e khˆong d¯u
.
o
.
.
c tr`ınh b`ay o
.
˙’
d¯ˆay. Ba
.
n
d¯o
.
c quan tˆam c´o thˆe
˙’
tham kha
˙’
o c´ac t`ai liˆe
.
u [14], [30].
Nhˆa
.
n x´et 5.2.4 Nˆe
´

u tˆo
`
n ta
.
i ca
.
nh e trong G sao cho w(e) < 0 th`ı b`ai to´an khˆong c´o nghiˆe
.
m
tˆo
´
i u
.
u: Thˆa
.
t vˆa
.
y, bˇa
`
ng c´ach thˆem mˆo
.
t tˆa
.
p E

h˜u
.
u ha
.
n c´ac ba

˙’
n sao cu
˙’
a c´ac ca
.
nh cu
˙’
a G ta
c´o thˆe
˙’
thˆem ca
.
nh e mˆo
.
t sˆo
´
chˇa
˜
n lˆa
`
n d¯u
˙’
l´o
.
n, v`a do d¯´o nhˆa
.
n d¯u
.
o
.

.
c mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
Euler v´o
.
i d¯ˆo
.
d`ai nho
˙’
tu`y ´y. Vˆa
.
y gia
˙’
thiˆe
´
t c´ac ca
.
nh c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng khˆong ˆam l`a khˆong mˆa
´

t t´ınh tˆo
˙’
ng
qu´at d¯ˆe
˙’
loa
.
i tr`u
.
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p tˆa
`
m thu
.
`o
.
ng n`ay.
V´ı du
.
5.2.5 X´et d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 5.3 v´o

.
i c´ac sˆo
´
trˆen c´ac ca
.
nh l`a tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng ca
.
nh. Ta
cˆa
`
n t`ım mˆo
.
t chu tr`ınh qua mˆo
˜
i ca
.
nh ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t lˆa
`
n v`a c´o d¯ˆo

.
d`ai nho
˙’
nhˆa
´
t.
Tˆo
˙’
ng c´ac tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng c´ac ca
.
nh cu
˙’
a G bˇa
`
ng 31. V`ı G khˆong l`a d¯ˆo
`
thi
.
Euler nˆen d¯ˆo
.
d`ai
cu
˙’

a chu tr`ınh cˆa
`
n t`ım s˜e l´o
.
n ho
.
n 31.
133

7
..................................................................................................................................................................................
3
..................................................................................................................................................................................
3
..................................................................................................................................................................................
2
...........................................................................................................
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
♠
5
♠
1
♠
6
♠
4
♠
7
♠
2
♠
3
H`ınh 5.3:
Tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh bˆa
.
c le
˙’
l`a V
1
= {1, 2, 3, 4}. Theo thuˆa
.
t to´an t`ım d¯u
.

`o
.
ng d¯i ngˇa
´
n nhˆa
´
t (xem
Chu
.
o
.
ng 3), ta t`ım tˆa
´
t ca
˙’
c´ac dˆay chuyˆe
`
n c´o d¯ˆo
.
d`ai nho
˙’
nhˆa
´
t gi˜u
.
a c´ac cˇa
.
p d¯ı
˙’
nh cu

˙’
a V
1
trong
G. Ta nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c m`a trˆa
.
n d¯ˆo
.
d`ai d¯u
.
`o
.
ng d¯i ngˇa
´
n nhˆa
´
t:





1 2 3 4

1 0 4 5 7
2 4 0 2 5
3 5 2 0 3
4 7 5 3 0





.
Tiˆe
´
p d¯ˆe
´
n ta xˆay du
.
.
ng d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
K(V
1
) trong d¯´o tro
.
ng lu

.
o
.
.
ng ca
.
nh (v
i
, v
j
) l`a d¯ˆo
.
d`ai cu
˙’
a dˆay chuyˆe
`
n ngˇa
´
n nhˆa
´
t gi˜u
.
a v
i
v`a v
j
(xem H`ınh 5.4).
3
..................................................................................................................................................................................
4

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
♠
4
♠
1
♠
3
♠

2
H`ınh 5.4: D
-
ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
K(V
1
).
Cˇa
.
p gh´ep ho`an ha
˙’
o v´o
.
i tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa

´
t trˆen K(V
1
) gˆo
`
m c´ac ca
.
nh (1, 2) v`a (3, 4)
(tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng bˇa
`
ng 4 + 3 = 7). C´ac dˆay chuyˆe
`
n tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a {1, 7, 2} v`a {3, 4}.
Nghiˆe
.
m tˆo
´

i u
.
u cu
˙’
a b`ai to´an nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c bˇa
`
ng c´ach thˆem v`ao d¯ˆo
`
thi
.
ban d¯ˆa
`
u c´ac ca
.
nh
(1, 7), (7, 2) v`a (3, 4). D
-
ˆo
`
thi
.
G


nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c l`a d¯ˆo
`
thi
.
Euler (H`ınh 5.5).
134

Bài toán Euler và bài toán Hamiton

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về