Đồ thị phẳng

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n, c´ac dˆay chuyˆe
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n, chu
tr`ınh v`a c´ac cˆay bao tr`um trong mˆo
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d¯˜a cho. Trong chu
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Chu
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Kuratowski d¯´ong vai tr`o trung tˆam trong
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p l`a c´ac t´ınh chˆa
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n m`au nˆo
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ng l`a 4−sˇa
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c” (ph´at biˆe
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ng minh nˇam 1976). Ch´ung ta c˜ung t`ım hiˆe
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u tiˆeu chuˆa
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n cˆa
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n v`a d¯u
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nh l´y Kuratowski. Cuˆo
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i c`ung l`a d¯ˆo
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c cu
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a d¯ˆo
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thi
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ng.
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nh ngh˜ıa v`a c´ac v´ı du
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i rˇa
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ng d¯ˆo
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thi
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i l`a phˇa
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ng nˆe
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u tˆo
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n ta
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i mˆo
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t ph´ep biˆe

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u diˆe
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n G lˆen mˆo
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t mˇa
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t
phˇa
˙’
ng sao cho hai ca
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nh bˆa
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t k`y cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
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khˆong cˇa
´
t nhau ngoa
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i tr`u
.
ta
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i d¯ı
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nh cu
˙’
a ch´ung. C´ac
d¯ˆo
`
thi
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m`a c´o thˆe
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biˆe
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n d¯ˆo
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i cho tr`ung nhau bˇa
`
ng ph´ep biˆe
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n da
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ng co d˜an liˆen tu
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c trˆen mˇa
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t
phˇa
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ng th`ı khˆong coi l`a nh˜u
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ng d¯ˆo
`

thi
.
phˇa
˙’
ng kh´ac nhau. Theo d¯i
.
nh ngh˜ıa, d¯ˆo
`
thi
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trong H`ınh
6.1 l`a phˇa
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ng.
V´ı du
.
6.1.1 (B`ai to´an ba biˆe
.
t thu
.
.
v`a ba nh`a m´ay). C´o ba biˆe
.
t thu
.
.
a, b, c v`a ba nh`a m´ay:
mˆo
.
t nh`a m´ay nu

.
´o
.
c d, mˆo
.
t nh`a m´ay ho
.
i d¯ˆo
´
t e v`a mˆo
.
t nh`a m´ay d¯iˆe
.
n f. Mˆo
˜
i biˆe
.
t thu
.
.
nˆo
´
i v´o
.
i
c´ac nh`a m´ay bˇa
`
ng nh˜u
.
ng ˆo

´
ng dˆa
˜
n nu
.
´o
.
c, ˆo
´
ng dˆa
˜
n ho
.
i v`a d¯u
.
`o
.
ng dˆay d¯iˆe
.
n. Vˆa
.
y c´o thˆe
˙’
v˜e
trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng ba biˆe
.

t thu
.
.
v`a ba nh`a m´ay v`a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯u
.
`o
.
ng vˆa
.
n chuyˆe
˙’
n sao cho khˆong
c´o hai d¯u
.
`o
.
ng n`ao cˇa
´
t nhau o
.
˙’
mˆo
.
t d¯iˆe
˙’
m kh´ac c´ac d¯ˆa

`
u m´ut cu
˙’
a ch´ung hay khˆong? Ta c´o mˆo
h`ınh ho´a bo
.
˙’
i d¯ˆo
`
thi
.
hai phˆa
`
n K
3,3
: C´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac nh`a v`a c´ac nh`a m´ay

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c
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H`ınh 6.3: D
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thi
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5
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3. K
5
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`

thi
.
khˆong phˇa
˙’
ng c´o sˆo
´
d¯ı
˙’
nh ´ıt nhˆa
´
t; K
3,3
l`a d¯ˆo
`
thi
.
khˆong phˇa
˙’
ng c´o sˆo
´
ca
.
nh ´ıt
nhˆa
´
t.
6.2 C´ac biˆe
˙’
u diˆe
˜

n kh´ac nhau cu
˙’
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng
Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ta c´o kˆe
´
t qua
˙’
sau.
D
-
i
.
nh l´y 6.2.1 [Fary] Mo
.
i d¯o
.

n d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t phˇa
˙’
ng sao cho
c´ac ca
.
nh l`a c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng v`a ch´ung chı
˙’
cˇa
´
t nhau ta

.
i c´ac d¯ı
˙’
nh chung.
Ch´u
.
nh minh. Ch´u
.
ng minh cu
˙’
a d¯i
.
nh l´y n`ay kh´a ph´u
.
c ta
.
p v`a khˆong d¯´ong g´op nhiˆe
`
u trong
viˆe
.
c hiˆe
˙’
u t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi

.
. Ba
.
n d¯o
.
c quan tˆam c´o thˆe
˙’
xem [24]. Chˇa
˙’
ng ha
.
n, d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 6.1 c´o thˆe
˙’
v˜e la
.
i chı
˙’
su
.
˙’
du
.
ng c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’

ng nhu
.
trong H`ınh 6.4. Trong d¯i
.
nh
l´y n`ay, d¯ˆo
`
thi
.
cˆa
`
n pha
˙’
i d¯o
.
n v`ı c´ac khuyˆen hoˇa
.
c mˆo
.
t trong hai ca
.
nh song song khˆong thˆe
˙’
v˜e
bo
.
˙’
i c´ac d¯oa
.
n thˇa

˙’
ng. 
Diˆe
.
n
K´y hiˆe
.
u R(G) l`a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng G d¯u
.
o
.
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng. C´ac v`ung liˆen thˆong (theo
tˆo pˆo cu
˙’
a mˇa

.
t phˇa
˙’
ng R
2
) cu
˙’
a tˆa
.
p R
2
\ R(G) go
.
i l`a c´ac diˆe
.
n. Mˆo
.
t diˆe
.
n l`a mˆo
.
t v`ung cu
˙’
a mˇa
.
t
phˇa
˙’
ng d¯u
.

o
.
.
c gi´o
.
i ha
.
n bo
.
˙’
i c´ac ca
.
nh go
.
i l`a biˆen; hai diˆe
.
n go
.
i l`a kˆe
`
nhau nˆe
´
u c´ac d¯u
.
`o
.
ng biˆen
cu
˙’
a ch´ung c´o ´ıt nhˆa

´
t mˆo
.
t ca
.
nh chung.
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nh nˆo
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.
n ph´ıa ngo`ai, go
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.
n vˆo ha
.

n, luˆon luˆon tˆo
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n ta
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.

.
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.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
a
b
c
d
e
g
f
h
H`ınh 6.5:
152

Biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u
D
-
ˆe
˙’
tr´anh phˆan biˆe
.
t gi˜u
.

a c´ac diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n v`a diˆe
.
n vˆo ha
.
n, ch´ung ta thu
.
`o
.
ng biˆe
˙’
u diˆe
˜
n c´ac
d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u S

2
⊂ R
3
du
.
.
a v`ao ph´ep chiˆe
´
u nˆo
˙’
i t`u
.
S
2
lˆen R
2
. K´y hiˆe
.
u S l`a
d¯iˆe
˙’
m tiˆe
´
p x´uc cu
˙’
a mˇa
.
t cˆa
`
u v´o

.
i mˇa
.
t phˇa
˙’
ng, v`a N l`a d¯iˆe
˙’
m thuˆo
.
c mˇa
.
t cˆa
`
u sao cho NS vuˆong
g´oc v´o
.
i mˇa
.
t phˇa
˙’
ng. V´o
.
i mˆo
˜
i d¯iˆe
˙’
m P ∈ S
2
, P = N, d¯u
.

`o
.
ng thˇa
˙’
ng NP cˇa
´
t mˇa
.
t phˇa
˙’
ng R
2
ta
.
i
d¯´ung mˆo
.
t d¯iˆe
˙’
m Q. Nhu
.
vˆa
.
y ta c´o tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo

.
t-mˆo
.
t t`u
.
mˇa
.
t cˆa
`
u (bo
˙’
d¯i d¯iˆe
˙’
m N) lˆen mˇa
.
t
phˇa
˙’
ng.
Theo c´ach xˆay du
.
.
ng n`ay, hiˆe
˙’
n nhiˆen rˇa
`
ng d¯ˆo
`
thi
.

l`a phˇa
˙’
ng nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u
diˆe
˜
n n´o trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t cˆa
`
u sao cho c´ac ca
.
nh cu
˙’
a n´o khˆong cˇa
´
t nhau ngo`ai c´ac d¯ı
˙’
nh chung.

Do d¯´o, theo D
-
i
.
nh l´y 6.2.1 ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 6.2.3 Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u sao cho c´ac ca
.
nh khˆong tu
.
.

cˇa
´
t
nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u n´o c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n phˇa
˙’
ng trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng.
Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’

ng d¯u
.
o
.
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u s˜e phˆan chia mˇa
.
t cˆa
`
u th`anh nhiˆe
`
u v`ung
kh´ac nhau. Mˆo
˜
i v`ung trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u l`a miˆe
`
n gi´o
.

i nˆo
.
i, diˆe
.
n vˆo ha
.
n trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng d¯u
.
o
.
.
c ´anh
xa
.
th`anh v`ung trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u ch´u
.
a d¯iˆe
˙’
m cu
.
.
c bˇa

´
c N. Hiˆe
˙’
n nhiˆen rˇa
`
ng, bˇa
`
ng ph´ep quay th´ıch
ho
.
.
p qua
˙’
cˆa
`
u ch´ung ta c´o thˆe
˙’
´anh xa
.
mˆo
.
t v`ung bˆa
´
t k`y th`anh diˆe
.
n vˆo ha
.
n trˆen mˇa
.
t phˇa

˙’
ng.
T`u
.
d¯´o ta nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c:
D
-
i
.
nh l´y 6.2.4 Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜

n trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t phˇa
˙’
ng sao cho diˆe
.
n bˆa
´
t k`y
cho tru
.
´o
.
c l`a diˆe
.
n vˆo ha
.
n.
Mˆo
´
i liˆen quan c´ac v`ung trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u cho ph´ep ch´ung ta thˆa
´
y rˇa
`

ng khˆong c´o su
.
.
phˆan
biˆe
.
t thu
.
.
c su
.
.
gi˜u
.
a diˆe
.
n vˆo ha
.
n v`a c´ac diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng. Do d¯´o, khi n´oi vˆe
`

c´ac
v`ung trong mˆo
.
t biˆe
˙’
u diˆe
˜
n cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng, ch´ung ta x´et ca
˙’
diˆe
.
n vˆo ha
.
n.
Ngo`ai ra, do khˆong c´o su
.
.
kh´ac nhau cˆo

´
t yˆe
´
u gi˜u
.
a c´ac ph´ep biˆe
˙’
u diˆe
˜
n d¯ˆo
`
thi
.
trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t
phˇa
˙’
ng hay mˇa
.
t cˆa
`
u (mˇa
.
t phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’

xem l`a mˇa
.
t cˆa
`
u bo
˙’
d¯i mˆo
.
t d¯iˆe
˙’
m), thuˆa
.
t ng˜u
.
“biˆe
˙’
u
diˆe
˜
n phˇa
˙’
ng” cu
˙’
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
thu

.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng d¯ˆe
˙’
bao h`am c´ac ph´ep biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t
cˆa
`
u c˜ung nhu
.
trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’

ng.
Biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng v`a t´ınh liˆen thˆong
Trong mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
khˆong liˆen thˆong, viˆe
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n mˆo
˜
i th`anh phˆa
`
n trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’

ng c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c kha
˙’
o s´at mˆo
.
t c´ach d¯ˆo
.
c lˆa
.
p. Do d¯´o, d¯ˆo
`
thi
.
l`a phˇa
˙’
ng nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u c´ac th`anh phˆa
`
n

liˆen thˆong cu
˙’
a n´o l`a phˇa
˙’
ng. Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, trong mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
t´ach d¯u
.
o
.
.
c (t´u
.
c 1−liˆen thˆong) viˆe
.
c
153

biˆe

˙’
u diˆe
˜
n mˆo
˜
i khˆo
´
i (t´u
.
c l`a d¯ˆo
`
thi
.
con khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c cu
.
.
c d¯a
.
i) trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
d¯u

.
o
.
.
c
kha
˙’
o s´at d¯ˆo
.
c lˆa
.
p. Do d¯´o mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
t´ach d¯u
.
o
.
.
c l`a phˇa
˙’
ng nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´

u mˆo
˜
i khˆo
´
i l`a phˇa
˙’
ng.
Vˆa
.
y, kiˆe
˙’
m tra t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
chı
˙’
cˆa
`
n x´et d¯ˆo
´
i v´o
.
i d¯ˆo
`
thi

.
khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c.
Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n duy nhˆa
´
t lˆen mˆo
.

t mˇa
.
t cˆa
`
u khˆong?
Tru
.
´o
.
c khi tra
˙’
l`o
.
i cˆau ho
˙’
i n`ay, ch´ung ta cˆa
`
n gia
˙’
i th´ıch ´y ngh˜ıa cu
˙’
a t`u
.
“biˆe
˙’
u diˆe
˜
n duy nhˆa
´
t”.

Hai biˆe
˙’
u diˆe
˜
n cu
˙’
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng l`a giˆo
´
ng nhau nˆe
´
u ch´ung c´o thˆe
˙’
l`am tr`ung nhau bˇa
`
ng
ph´ep quay mˇa
.
t cˆa
`
u n`ay th`anh mˇa
.
t cˆa

`
u kia v`a c´o thˆe
˙’
biˆe
´
n da
.
ng c´ac v`ung (khˆong di chuyˆe
˙’
n
d¯ı
˙’
nh bˇang qua ca
.
nh). Nˆe
´
u tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ph´ep biˆe
˙’
u diˆe
˜
n lˆen mˆo
.
t mˇa
.
t cˆa
`

u l`a tr`ung nhau th`ı ta
n´oi d¯ˆo
`
thi
.
c´o duy nhˆa
´
t mˆo
.
t ph´ep biˆe
˙’
u diˆe
˜
n. D
-
i
.
nh l´y du
.
´o
.
i d¯ˆay, cho ch´ung ta ch´ınh x´ac cˆau
tra
˙’
l`o
.
i khi n`ao th`ı mˆo
.
t d¯ˆo
`

thi
.
d¯u
.
o
.
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n duy nhˆa
´
t trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t cˆa
`
u.
D
-
i
.
nh l´y 6.2.5 [Whitney] Ph´ep biˆe
˙’
u diˆe
˜
n lˆen mˇa
.

t cˆa
`
u cu
˙’
a mˆo
˜
i d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng 3−liˆen thˆong
l`a duy nhˆa
´
t.
Ch´u
.
ng minh. Xem [54]. 
D
-
i
.
nh l´y n`ay d¯´ong mˆo
.
t vai tr`o quan tro
.
ng trong viˆe
.
c x´ac d¯i

.
nh xem mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
c´o phˇa
˙’
ng
hay khˆong: V´o
.
i c´ac d¯ˆo
`
thi
.
3−liˆen thˆong, nˆe
´
u c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t cˆa
`

u th`ı ph´ep
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n n`ay l`a duy nhˆa
´
t.
6.3 C´ac t´ınh chˆa
´
t cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng
Phˆa
`
n n`ay liˆe
.
t kˆe nghiˆen c´u
.
u mˆo
.
t sˆo
´
t´ınh chˆa

´
t co
.
ba
˙’
n cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng. Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 6.3.1 [Berge] Trong mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.

tˆo pˆo phˇa
˙’
ng, c´ac chu tuyˆe
´
n cu
˙’
a diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n ta
.
o
th`anh mˆo
.
t hˆe
.
co
.
so
.
˙’
c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p.
Ch´u

.
ng minh. Ch´ung ta s˜e ch´u
.
ng minh bˇa
`
ng quy na
.
p theo sˆo
´
diˆe
.
n f cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G.
Hiˆe
˙’
n nhiˆen d¯i
.
nh l´y d¯´ung khi G c´o mˆo
.
t hoˇa
.
c hai diˆe
.
n h˜u
.

u ha
.
n. Gia
˙’
su
.
˙’
d¯i
.
nh l´y d¯´ung
cho mo
.
i d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o sˆo
´
diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n l`a (f − 1); ta ch´u
.
ng minh d¯i
.

nh l´y d¯´ung cho mo
.
i
d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o f diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n.
Thˆa
.
t vˆa
.
y, gia
˙’
su
.
˙’
khˆong pha
˙’
i tˆa
´
t ca

˙’
c´ac chu tuyˆe
´
n d¯ˆe
`
u l`a c´ac chu tr`ınh khˆong giao nhau
(theo ngh˜ıa l`a c´o ca
.
nh chung) v`ı v´o
.
i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯´o th`ı d¯i
.
nh l´y l`a hiˆe
˙’
n nhiˆen. Khi d¯´o ta c´o
thˆe
˙’
bo
˙’
b´o
.
t mˆo
.

t ca
.
nh e n`ao d¯´o cu
˙’
a G v`a d¯u
.
o
.
.
c d¯ˆo
`
thi
.
G

c´o (f − 1) diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n m`a c´ac chu
154

tuyˆe
´
n cu
˙’
a n´o theo gia
˙’

thiˆe
´
t quy na
.
p lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t co
.
so
.
˙’
gˆo
`
m c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p. Khi
tra
˙’
la
.
i ca
.
nh e, ta c´o mˆo
.
t diˆe
.

n h˜u
.
u ha
.
n m´o
.
i m`a chu tuyˆe
´
n l`a mˆo
.
t chu tr`ınh khˆong phu
.
thuˆo
.
c
v`ao c´ac chu tr`ınh tru
.
´o
.
c (v`ı n´o ch´u
.
a mˆo
.
t ca
.
nh khˆong thuˆo
.
c v`ao mˆo
.
t chu tr`ınh n`ao trong sˆo

´
c´ac chu tr`ınh ˆa
´
y). Do bˆo
˙’
sung mˆo
.
t ca
.
nh khˆong thˆe
˙’
l`am tˇang chu sˆo
´
lˆen qu´a mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
, nˆen
sˆo
´
diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n cu
˙’

a d¯ˆo
`
thi
.
G qua
˙’
l`a x´ac d¯i
.
nh mˆo
.
t co
.
so
.
˙’
gˆo
`
m c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p. 
Hˆe
.
qua
˙’
6.3.2 [Euler, 1752] Gia
˙’
su
.

˙’
G l`a d¯ˆo
`
thi
.
tˆo pˆo phˇa
˙’
ng liˆen thˆong n d¯ı
˙’
nh, m ca
.
nh v`a
f diˆe
.
n. Khi d¯´o
f = m − n + 2.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y, sˆo
´
c´ac diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.

n bˇa
`
ng chu sˆo
´
ν(G), nˆen
f = ν(G) + 1 = (m − n + 1) + 1 = m − n + 2.
C˜ung c´o thˆe
˙’
ch´u
.
ng minh c´ach kh´ac nhu
.
sau.
Nhˆa
.
n x´et rˇa
`
ng chı
˙’
cˆa
`
n ch´u
.
ng minh cho mˆo
.
t d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi

.
, v`ı viˆe
.
c thˆem mˆo
.
t khuyˆen hoˇa
.
c
thˆem mˆo
.
t ca
.
nh song song chı
˙’
d¯o
.
n gia
˙’
n l`a tˇang sˆo
´
diˆe
.
n v`a sˆo
´
ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`

thi
.
lˆen mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
.
Ch´ung ta c˜ung c´o thˆe
˙’
xo´a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh treo v`a c´ac ca
.
nh liˆen thuˆo
.
c n´o. Nˆe
´
u thˆem (hoˇa
.
c
b´o
.
t) mˆo
.

t ca
.
nh v`a mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh th`ı hiˆe
.
u sˆo
´
(m − n) khˆong d¯ˆo
˙’
i.
V`ı mˆo
˜
i d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa

.
t phˇa
˙’
ng sao cho mˆo
˜
i ca
.
nh l`a mˆo
.
t
d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng (D
-
i
.
nh l´y 6.2.1), nˆen mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
d¯u
.

o
.
.
c v˜e trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng sao cho
c´ac diˆe
.
n l`a c´ac d¯a gi´ac. K´y hiˆe
.
u f l`a sˆo
´
diˆe
.
n v`a k
p
l`a sˆo
´
c´ac diˆe
.
n c´o p ca
.
nh. V`ı mˆo
˜
i ca
.
nh
thuˆo

.
c biˆen cu
˙’
a d¯´ung hai d¯a gi´ac, nˆen
3k
3
+ 4k
4
+ 5k
5
+ · · · + rk
r
= 2m,
trong d¯´o k
r
l`a sˆo
´
c´ac d¯a gi´ac v´o
.
i sˆo
´
ca
.
nh cu
.
.
c d¯a
.
i.
Mˇa

.
t kh´ac
k
3
+ k
4
+ · · · + k
r
= f.
Tˆo
˙’
ng tˆa
´
t ca
˙’
c´ac g´oc ta
.
i mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh trong d¯a gi´ac tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d¯ˆo
`
thi

.
l`a 2nπ. Nhˇa
´
c la
.
i rˇa
`
ng tˆo
˙’
ng
tˆa
´
t ca
˙’
c´ac g´oc trong mˆo
.
t d¯a gi´ac p ca
.
nh l`a (p − 2)π v`a tˆo
˙’
ng tˆa
´
t ca
˙’
c´ac g´oc ngo`ai l`a (p + 2)π.
Do d¯´o
2nπ = (3 − 2)πk
3
+ (4 − 2)πk
4

+ · · · + (r − 2)πk
r
+ 4π
= (2m − 2f)π + 4π.
T`u
.
c´ac d¯ˇa
˙’
ng th´u
.
c trˆen, ta suy ra
2(m − f)π + 4π = 2nπ.
Vˆa
.
y f = m − n + 2. 
155

V´ı du
.
6.3.3 [Euler] Ta x´et trong khˆong gian ba chiˆe
`
u mˆo
.
t d¯a diˆe
.
n lˆo
`
i c´o n d¯ı
˙’
nh, m ca

.
nh
v`a f diˆe
.
n. Hiˆe
˙’
n nhiˆen ta c´o thˆe
˙’
v˜e n´o trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t cˆa
`
u sao cho hai ca
.
nh bˆa
´
t k`y khˆong cˇa
´
t
nhau ta
.
i nh˜u
.
ng d¯iˆe
˙’
m kh´ac c´ac d¯ˆa
`
u m´ut. Sau d¯´o tiˆe

´
n h`anh ph´ep chiˆe
´
u nˆo
˙’
i v´o
.
i tˆam o
.
˙’
gi˜u
.
a
mˆo
.
t trong c´ac diˆe
.
n ta c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n d¯a diˆe
.
n d¯´o trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng. V`ı d¯ˆo

`
thi
.
l`a phˇa
˙’
ng nˆen
ta c´o hˆe
.
th´u
.
c co
.
ba
˙’
n sau d¯ˆay cu
˙’
a c´ac d¯a diˆe
.
n lˆo
`
i:
n − m + f = 2.
Hˆe
.
qua
˙’
6.3.4 Trong mˆo
.
t d¯o
.

n d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng, liˆen thˆong c´o f diˆe
.
n, n d¯ı
˙’
nh, m ca
.
nh (m ≥ 2),
c´ac bˆa
´
t d¯ˇa
˙’
ng th´u
.
c sau luˆon nghiˆe
.
m d¯´ung

2m ≥ 3f,
3n − 6 ≥ m.
Ch´u
.
ng minh. Mˆo
˜
i diˆe

.
n c´o biˆen ´ıt nhˆa
´
t l`a ba ca
.
nh, mˆo
˜
i ca
.
nh l`a chung cu
˙’
a ch´ınh x´ac hai
diˆe
.
n, do d¯´o
2m ≥ 3f.
Thay thˆe
´
f = m − n + 2 trong cˆong th´u
.
c Euler, ta c´o bˆa
´
t d¯ˇa
˙’
ng th´u
.
c th´u
.
hai. 
Ch´ung ta lu

.
u ´y rˇa
`
ng bˆa
´
t d¯ˇa
˙’
ng th´u
.
c th´u
.
hai chı
˙’
l`a mˆo
.
t d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n m`a khˆong d¯u
˙’
vˆe
`
t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a mˆo

.
t d¯ˆo
`
thi
.
. N´oi c´ach kh´ac, mo
.
i d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng cˆa
`
n pha
˙’
i tho
˙’
a m˜an c´ac
d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n n`ay, nhu
.
ng d¯iˆe
`

u ngu
.
o
.
.
c la
.
i l`a khˆong d¯´ung. Chˇa
˙’
ng ha
.
n d¯ˆo
`
thi
.
Kuratowski K
3,3
tho
˙’
a
3n − 6 = 3.6 − 6 = 12 ≥ m = 9.
Nhu
.
ng
V´ı du
.
6.3.5 D
-
ˆo
`

thi
.
K
3,3
khˆong phˇa
˙’
ng. D
-
ˆe
˙’
ch´u
.
ng minh ch´ung ta cˆa
`
n chı
˙’
ra rˇa
`
ng trong d¯ˆo
`
thi
.
n`ay khˆong tˆo
`
n ta
.
i diˆe
.
n m`a biˆen cu
˙’

a n´o c´o sˆo
´
ca
.
nh nho
˙’
ho
.
n 5. Thˆa
.
t vˆa
.
y, nˆe
´
u d¯ˆo
`
thi
.
l`a
phˇa
˙’
ng th`ı 2m ≥ 4f.
Theo cˆong th´u
.
c Euler
2m ≥ 4(m − n + 2).
Vˆa
.
y
2.9 ≥ 4(9 − 6 + 2).

Hay 18 ≥ 20! Mˆau thuˆa
˜
n. Do d¯´o d¯ˆo
`
thi
.
K
3,3
khˆong phˇa
˙’
ng.
V´ı du
.
6.3.6 D
-
ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
c´o nˇam d¯ı
˙’
nh K
5
l`a khˆong phˇa
˙’
ng. Thˆa

.
t vˆa
.
y, nˆe
´
u ngu
.
o
.
.
c la
.
i th`ı
K
5
s˜e c´o
f = m − n + 2 = 10 − 5 + 2 = 7
156

diˆe
.
n. Chu tuyˆe
´
n cu
˙’
a mˆo
˜
i diˆe
.
n d¯ˆe

`
u c´o ´ıt nhˆa
´
t ba ca
.
nh. Nˆe
´
u lˆa
.
p d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thuˆo
.
c
diˆe
.
n-ca
.
nh, th`ı sˆo
´
ca
.
nh mˆo
.
t mˇa
.

t ≤ 2m v`a mˇa
.
t kh´ac la
.
i ≥ 3f. T`u
.
d¯´o
20 = 2m ≥ 3f = 21.
Vˆo l´y, vˆa
.
y K
5
l`a khˆong phˇa
˙’
ng.
Hˆe
.
qua
˙’
6.3.7 Mˆo
˜
i ba
˙’
n d¯ˆo
`
d¯i
.
a l´y c´o ´ıt nhˆa
´
t mˆo

.
t diˆe
.
n m`a sˆo
´
ca
.
nh cu
˙’
a chu tuyˆe
´
n nho
˙’
ho
.
n
hoˇa
.
c bˇa
`
ng 5.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y, trong ba
˙’
n d¯ˆo

`
d¯i
.
a l´y, mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh l`a d¯ˆa
`
u m´ut cu
˙’
a ´ıt nhˆa
´
t 3 ca
.
nh; nˆe
´
u
lˆa
.
p d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’

nh-ca
.
nh th`ı sˆo
´
ca
.
nh mˆo
.
t mˇa
.
t ≤ 2m, mˇa
.
t kh´ac la
.
i ≥ 3n, vˆa
.
y
n ≤ 2m/3. Nˆe
´
u gia
˙’
thiˆe
´
t rˇa
`
ng mˆo
˜
i diˆe
.
n c´o chu tuyˆe

´
n gˆo
`
m ´ıt nhˆa
´
t 6 ca
.
nh v`a nˆe
´
u lˆa
.
p d¯o
.
n
d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thuˆo
.
c diˆe
.
n-ca
.
nh, th`ı sˆo
´
ca
.
nh cu
˙’

a n´o, mˆo
.
t mˇa
.
t ≤ 2m, mˇa
.
t kh´ac la
.
i ≥ 6f. Vˆa
.
y
f ≤ 2m/6. Ta luˆon luˆon c´o thˆe
˙’
gia
˙’
thiˆe
´
t l`a d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong (nˆe
´
u khˆong th`ı ch´u
.
ng minh hˆe
.
qua
˙’
cho t`u

.
ng th`anh phˆa
`
n), v`a do d¯´o c´o thˆe
˙’
viˆe
´
t
2 = n − m + f ≤ 2m/3 − m + m/3 = 0.
D
-
iˆe
`
u d¯´o khˆong thˆe
˙’
xa
˙’
y ra. 
Hˆe
.
qua
˙’
6.3.8 Gia
˙’
su
.
˙’
G l`a d¯o
.
n d¯ˆo

`
thi
.
phˇa
˙’
ng liˆen thˆong. Khi d¯´o tˆo
`
n ta
.
i d¯ı
˙’
nh v ∈ V sao
cho d(v) ≤ 5.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y, trong d¯ˆo
`
thi
.
G, mˆo
˜
i diˆe
.
n d¯u
.
o

.
.
c bao ´ıt nhˆa
´
t bo
.
˙’
i ba ca
.
nh kh´ac nhau;
nˆe
´
u lˆa
.
p d¯ˆo
`
thi
.
H liˆen thuˆo
.
c diˆe
.
n-ca
.
nh (t´u
.
c l`a d¯ˆo
`
thi
.

gˆo
`
m tˆa
.
p X c´ac d¯iˆe
˙’
m d`ung d¯ˆe
˙’
biˆe
˙’
u thi
.
c´ac diˆe
.
n, tˆa
.
p ho
.
.
p Y c´ac d¯iˆe
˙’
m d`ung d¯ˆe
˙’
biˆe
˙’
u thi
.
c´ac ca
.
nh v`a c´ac ca

.
nh nˆo
´
i d¯iˆe
˙’
m x ∈ X v´o
.
i
y ∈ Y nˆe
´
u diˆe
.
n x liˆen thuˆo
.
c ca
.
nh y) th`ı sˆo
´
ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
H, mˆo
.
t mˇa
.

t ≤ 2m, mˇa
.
t kh´ac la
.
i
≥ 3f, vˆa
.
y f ≤ 2m/3. Nˆe
´
u mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh l`a d¯ˆa
`
u m´ut ´ıt nhˆa
´
t cu
˙’
a 6 ca
.
nh, th`ı c˜ung bˇa
`
ng c´ach nhu
.
vˆa
.
y ta thu d¯u
.
o

.
.
c n ≤ 2m/6, ngh˜ıa l`a (theo cˆong th´u
.
c Euler)
2 = n − m + f ≤ m/3 − m + 2m/3 = 0.
Vˆo l´y! 
6.4 Ph´at hiˆe
.
n t´ınh phˇa
˙’
ng
Viˆe
.
c x´ac d¯i
.
nh d¯ˆo
`
thi
.
G l`a phˇa
˙’
ng hay khˆong l`a mˆo
.
t b`ai to´an quan tro
.
ng, chˇa
˙’
ng ha
.

n trong
ho´a ho
.
c: o
.
˙’
d¯´o nhiˆe
`
u chˆa
´
t ho´a ho
.
c m`a cˆong th´u
.
c cˆa
´
u ta
.
o cu
˙’
a n´o c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n nhu
.
mˆo
.

t
157