Chương 1- Cơ học

I.1. Khái quát về chuyển động cơ học :
I.1.1. Định nghĩa chuyển động cơ học :
Chuyển động cơ học là sự chuyển dời vị trí trong không gian của các vật hay là sự
chuyển động của một bộ phận này so với bộ phận khác của cùng một vật.
Ví dụ : chuyển động của các thiên thể trên bầu trời, chuyển động của xe ôtô trên
đường, chuyển động của con thoi trong một máy dệt, chuyển động của rôto đối với
stato trong một động cơ điện …
Nói một vật chuyển động hay đứng yên thì điều đó chỉ có tính chất tương đối vì
điều này còn phụ thuộc vào người quan sát đứng ở vị trí nào. Thật vậy, nếu ta đứng
bên đường quan sát thì ta thấy cái cây đứng yên, nhưng nếu ta ngồi trên một cái ôtô
đang chuyển động thì ta thấy cái cây chuyển động. Điều tương tự xảy ra nếu ta nếu
ta quan sát các ngôi sao trên bầu trời : ta thấy quả đất đứng yên còn mặt trời, mặt
trăng và các ngôi sao đều quay quanh trái đất.
Tóm lại, chuyển động có tính chất tương đối và phụ thuộc vào vị trí mà ở đó ta
đứng quan sát chuyển động. Thực ra trong vũ trụ không có vật nào đứng yên một
cách tuyệt đối, mọi vật đều chuyển động không ngừng. Vì vậy, khi nói rằng một
vật chuyển động thì ta phải nói rõ vật đó là chuyển động đối với vật nào mà ta qui
ước là đứng yên.
I.1.2. Hệ qui chiếu :
Vật hay hệ vật mà ta qui ước là đứng yên khi nghiên cứu chuyển động của một vật
khác được gọi là hệ qui chiếu.
Cần lưu ý rằng, cùng một chuyển động nhưng sẽ xảy ra khác nhau trong các hệ qui
chiếu khác nhau. Ví dụ xét chuyển động của một điểm M nằm trên vành xe đang
chạy, nếu ta chọn hệ qui chiếu là xe đạp thì ta thấy chuyển động của điểm đó là
chuyển động tròn đều, còn nếu hệ qui chiếu là mặt đường thì điểm M sẽ tham gia
một chuyển động phức tạp là tổng hợp của hai chuyển động : chuyển động tròn đối
với xe và chuyển động thẳng của xe đối với mặt đường.
Khi xét một chuyển động cụ thể người ta thường chọn hệ qui chiếu sao cho chuyển
động được mô tả một cách đơn giản nhất.
Để mô tả các chuyển động trên mặt quả đất, ta thường chọn hệ qui chiếu là quả đất
hay các vật gắn liền với quả đất. Ví dụ khi nghiên cứu chuyển động của quả đạn

pháo thì ta chọn hệ qui chiếu là mặt đất hay là chính khẩu pháo.
Khi nghiên cứu chuyển động của các hành tinh thì ở hệ qui chiếu quả đất ta thấy
chuyển động của các hành tinh phức tạp đến nỗi trong nhiều thế kỷ các nhà thiên
văn không thể nào tìm được các qui luật chuyển động của các hành tinh. Mãi đến
đầu thế kỷ 17, nhờ sử dụng hệ qui chiếu mặt trời (hệ qui chiếu
Copernic), Kepler mới tìm được qui luật đúng đắn mô tả chuyển động
của các hành tinh trong hệ mặt trời. Cần chú ý rằng chuyển động tuy
được mô tả khác nhau trong các hệ qui chiếu khác nhau nhưng nếu biết
chuyển động tương đối của các hệ qui chiếu đối với nhau thì có thể từ
cách mô tả chuyển động trong hệ qui chiếu này có thể suy ra cách mô tả chuyển
động trong hệ qui chiếu kia. Ví dụ, biết chuyển động tròn đều của một điểm trên
vành xe đạp và biết chuyển động của xe đạp đối với mặt đường ta có thể mô tả
chuyển động của điểm trên vành xe đối với mặt đường.
I.1.3. Hệ tọa độ :
Vì rằng chuyển động xảy ra trong không gian và trong thời gian nên để mô tả
chuyển động thì trước tiên ta phải tìm cách định vị vật trong không gian. Muốn
vậy, ta phải đưa thêm vào hệ qui chiếu một hệ tọa độ. Trong vật lý người ta sử
dụng nhiều hệ tọa độ khác nhau. Ở đây, ta sẽ giới thiệu hai hệ tọa độ thường hay
gặp.
I.1.3.1. Hệ tọa độ Đề-các (Descartes) :
Hệ tọa độ Đề-các gồm ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng vuông góc với nhau
từng đôi một, chúng tạo thành một tam diện thuận. Điểm O gọi là gốc tọa
độ. Vị trí của một điểm M bất kỳ được hoàn toàn xác định bởi bán kính
vectơ , hay bởi tập hợp của ba số (x,y,z) trong đó x,y,z là hình chiếu của
điểm mút M của vectơ = Olên các trục tương ứng Ox, Oy, Oz được gọi là
ba tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Đề-các.

Nếu gọi , , là các vectơ đơn vị hướng theo các trục Ox, Oy, Oz thì ta có
thể viết :
= x. + y. + z.

I.1.3.2. Hệ tọa độ cầu :
Trong hệ tọa độ cầu,vị trí của một điểm M bất kỳ được xác định bởi ba tọa
độ r, θ , ϕ . Trong đó r là độ dài bán kính vectơ , θ là góc giữa trục Oz và
, còn góc ϕ là góc giữa trục Ox và tia hình chiếu của trong mặt phẳng
xOy.
Biết ba tọa độ cầu của điểm, ta có thể tính được các tọa độ Đề-các của điểm
đó theo công thức sau :
x = r.sinθ .cosϕ
y = r.sinθ .sinϕ
z = r.cosθ
Trong hệ tọa độ cầu : 0 ≤ θ ≤ 180
o
, 0 ≤ ϕ ≤ 360
o
. Các đường tròn ứng cùng
một giá trị của θ gọi là các đường vĩ tuyến, còn các đường tròn ứng cùng
một giá trị của ϕ gọi là các đường kinh tuyến. Hệ tọa độ cầu thuận tiện khi
định vị các địa điểm trên quả đất.
I.1.4.Chất điểm và vật rắn :
Để mô tả chuyển động của các vật có kích thước, cần phải biết rõ chuyển động của
mọi điểm của vật. Tuy nhiên khi kích thước của vật là bé so với khoảng cách dịch
chuyển mà ta xét thì mọi điểm trên vật dịch chuyển gần như nhau thì có thể mô tả
chuyển động của vật như chuyển động của một điểm. Khi đó vật được xem là một
chất điểm, tức là một điểm hình học nhưng lại có khối lượng bằng khối lượng của
vật. Ví dụ khi xét chuyển động của quả đất quanh mặt trời ta xem chuyển động như
là chuyển động của chất điểm. Trái lại, khi xét chuyển động tự quay quanh mình
của quả đất thì ta không thể xem chuyển động đó là chuyển động của một chất
điểm.
Trong nhiều trường hợp, nhờ có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển
động của các vật trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

I.2. Phương trình chuyển động và phương trình quĩ đạo:
I.2.1. Phương trình chuyển động :
Để xác định chuyển động của một chất điểm chúng ta cần biết vị trí của chất điểm
tại những thời điểm khác nhau. Nói cách khác, chúng ta cần biết sự phụ thuộc theo
thời gian của bán kính vectơ của chất điểm :
= (t) (I.1a)
Phương trình này biểu diễn vị trí của chất điểm theo thời gian và gọi là phương
trình chuyển động của chất điểm.
Trong hệ tọa độ Đề-các, phương trình chuyển động của chất điểm là một hệ gồm
ba phương trình :
x = x(t);y = y(t) ;z = z(t) (I.1b)
Tương tự, trong hệ tọa độ cầu, phương trình chuyển động của chất điểm là :
r = r(t);θ = θ (t);ϕ = ϕ (t) (I.1c)
Ví dụ sau là phương trình chuyển động của một chất điểm trong hệ tọa độ Đề-các :
x = Acosω t
y= Asinω t
z= 0
I.2.2. Phương trình quĩ đạo :
Khi chuyển động, các vị trí của chất điểm ở các thời điểm khác nhau vạch ra trong
không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là quĩ đạo của chuyển động.
Phương trình mô tả đường cong quĩ đạo gọi là phương trình quĩ đạo. Trong hệ tọa
độ Đề-các phương trình quĩ đạo có dạng :
f(x,y,z) = C (I.2)
trong đó f là một hàm nào đó của các tọa độ x, y, z và C là một hằng số.
Về nguyên tắc, nếu ta biết phương trình chuyển động (I.1) thì bằng các khử tham
số t ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các tọa độ x, y, z tức là tìm được phương
trình quĩ đạo. Vì vậy, đôi khi người ta còn gọi phương trình chuyển động (I.1) là
phương trình quĩ đạo cho ở dạng tham số.
Quay trở lại ví dụ về chuyển động của chất điểm cho bởi phương trình :
x = Acosω t

y = Asinω t
z = 0
Ta khử tham số thời gian t bằng cách sau :
x
2
+ y
2
= A
2
(cos
2
ω

t + sin
2
ω

t) = A
2
z = 0
Ta suy ra quĩ đạo của chất điểm là một đường tròn bán kính A và tâm nằm ở gốc
tọa độ. Đường tròn này nằm ở trong mặt phẳng xOy.
I.3. Vận tốc của chuyển động:
I.3.1. Khái niệm vận tốc :
Chuyển động của chất điểm trên quĩ đạo có thể lúc nhanh lúc chậm, do đó để có thể
mô tả đầy đủ trạng thái nhanh hay chậm của chuyển động người ta đưa vào một đại
lượng vật lý gọi là vận tốc. Trong đời sống hàng ngày chúng ta thường gặp khái
niệm vận tốc dưới dạng thuật ngữ tốc độ.
Xét một chuyển động đơn giản là chuyển động thẳng. Giả sử sau khoảng thời gian
∆ t chất điểm đi được một đoạn đường thì theo định nghĩa vận tốc trung bình

của chất điểm trên đoạn đường đó là :
=
Dĩ nhiên mô tả càng gần đúng vận tốc của chất điểm trên đoạn đường đó
nếu càng nhỏ, tức là khi ∆ t càng nhỏ. Khi ∆ t → 0 thì
tb
sẽ tiến tới giới hạn
gọi là vận tốc tức thời :
= lim∆
t
→
0
=
Trong trường hợp tổng quát khi quĩ đạo của chất điểm là một đường cong ta cũng
làm tương tự :
Xét một điểm M bất kỳ trên quĩ đạo (C), lấy một điểm N trên quĩ đạo (C) nằm rất
gần M. Gọi là bán kính vectơ xác định vị trí của M, thì +∆ là bán kính vectơ
xác định vị trí của N. Dây cung MN= ∆r có thể coi bằng đoạn đường đi được ∆s.
Khi tiến đến giới hạn thì :
= lim∆
t
→
0
= = (I.3)
Từ hình trên ta thấy khi ∆ t→ 0 thì sẽ dần tới phương tiếp tuyến của quĩ đạo tại
điểm đang xét. Vậy vectơ vận tốc luôn hướng theo phương tiếp tuyến của quĩ
đạo và có chiều là chiều của chuyển động. Nếu ta gọi là vectơ đơn vị hướng theo
phương tiếp tuyến và có chiều là chiều của chuyển động thì ta có thể viết :
= = v (I.4)
Biểu thức trên cho thấy vectơ vận tốc có độ lớn là v= và có phương và chiều
hướng theo vectơ đơn vị . Nói chung, khi chất điểm chuyển động trên quĩ đạo thì

vectơ có thể thay đổi phương nhưng tại mỗi điểm của quĩ đạo thì luôn hướng
theo phương tiếp tuyến của quĩ đạo tại điểm đó.
I.3.2. Biểu thức vận tốc trong hệ tọa độ Đề-các :
Vì vận tốc là một vectơ nên ta có thể phân tích thành ba thành phần trên ba trục của
hệ tọa độ Đề-các như sau :
= v
x
. + v
y
. + v
z
.
Mặt khác từ (I.3) ta có thể viết như sau :
= = ( x. + y. + z. ) = + +
So sánh với biểu thức ở trên, ta suy ra :
v
x
= ; v
y
= ; v
z
= (I.5)
Vậy, trong hệ tọa độ Đề-các, muốn tính thành phần của vận tốc trên một trục nào
đó thì ta chỉ việc lấy đạo hàm theo thời gian của thành phần tương ứng của vectơ
bán kính .
Độ lớn của vận tốc được xác định bằng hệ thức :
v = (v
x
2
+ v

y
2
+ v
z
2
)
1/2
= [( )
2
+ ( )
2
+ ( )
2
]
1/2
(I.6)
1.4. Gia tốc của chuyển động :
I.4.1. Khái niệm về gia tốc :
Trong quá trình chuyển động, vận tốc của chất điểm có thể thay đổi cả về độ lớn
cũng như về phương và chiều. Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời
gian , người ta đưa thêm vào một đại lượng vật lý mới gọi là gia tốc.
Giả sử sau một khoảng thời gian ∆ t, vận tốc của chất điểm thay đổi một lượng là ∆
thì theo định nghĩa gia tốc trung bình
tb
trong khoảng thời gian ∆ t là :
tb
=
Khi tiến đến giới hạn, cho ∆ t→ 0 ta được biểu thức của gia tốc tức thời tại một
điểm trên quĩ đạo :
= lim∆

t
→
0
= (I.7)
Kết hợp (I.3) với (I.7) ta có thể biểu diễn gia tốc :
= = (I.8)
I.4.2. Bán kính cong và độ cong tại một điểm của quĩ đạo :
Ta xét hai điểm M và N ở gần nhau trên quĩ đạo của chất điểm. Lấy một điểm P bất
kỳ nằm giữa M và N, qua ba điểm M, N và P không thẳng hàng đó ta vẽ một đường
tròn. Cho điểm N tiến lại gần M và qua ba điểm mới ta lại vẽ được một đường tròn
mới. Khi N tiến tới giới hạn ở M thì các đường tròn trên cũng sẽ tiến tới một đường
tròn giới hạn gọi là đường tròn mật tiếp với quĩ đạo tại điểm M. Bán kính R của
đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong của quĩ đạo tại điểm M. Giá trị
nghịch đảo của R là K được gọi là độ cong của quĩ đạo tại điểm M.
K=1/R
Cần lưu ý rằng tại các điểm khác nhau thì quĩ đạo có thể có các bán kính cong và
độ cong khác nhau.
Ví dụ khi quĩ đạo là một đường thẳng thì bán kính cong R = ∞ và do đó độ cong K
của nó bằng 0.
Hình 3. Đường tròn mật tiếp và bán kính cong
I.4.3. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến :
Ta có :
= = (v. ) = + v (*)
ta hãy tính .
Ta có thể viết được như sau : = =
vì rằng = và =v. Còn lại ta phải tính .
Vì rằng là một vectơ đơn vị nên  
2
=1, do đó khi lấy vi phân biểu thức này ta
được 2 d = 0, điều này chứng tỏ vuông góc với d hay d hướng theo

phương pháp tuyến của quĩ đạo tại điểm đang xét vì hướng theo phương tiếp
tuyến. Nếu ta gọi là vectơ đơn vị hướng theo phương pháp tuyến của quĩ đạo tại
điểm đang xét và có chiều hướng về chiều lõm của đường cong thì d và có
cùng phương và chiều. Vấn đề còn lại là tính độ lớn của d .
Khi
1
rất gần với
2
thì có thể xem dây cung d bằng cung tròn dτ , do đó ta có
dτ =  τ
2


dϕ = dϕ . Vậy ta có thể viết = .
Cuối cùng ta viết lại (*) như sau :