Chuyên đề vecto trong không gian, quan hệ vuông góc

MỤC LỤC
CHƯƠNG 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1

2

VEC - TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1
1

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1

1

Các định nghĩa

1

2

Các quy tắc tính toán với véc-tơ

1

3

Một số hệ thức véc-tơ trọng tâm, cần nhớ

2

4

Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ

2

5

Phân tích một véc-tơ theo ba véc-tơ không đồng phẳng

2

6

Tích vô hướng của hai véc-tơ

2

B

Các dạng toán

3

Dạng 1. Xác định véc-tơ và các khái niệm có liên quan

3

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véc-tơ

3

Dạng 3. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ

4

Dạng 4. Tích vô hướng của hai véc-tơ

6

Dạng 5. Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng

6

Dạng 6. Phân tích một véc-tơ theo 3 véc-tơ không đồng phẳng cho trước

7

Dạng 7. Ứng dụng véc-tơ chứng minh bài toán hình học

7

C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

9

1

ĐÁP ÁN

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

17
19

A

TÓM TẮT LÝ LÝ THUYẾT

19

1

Tích vô hướng của hai véc-tơ trong không gian

19

2

Góc giữa hai đường thẳng

19

B

CÁC DẠNG TOÁN

20


/>
3

Chương 3 - Hình học 11

Dạng 1. Xác định góc giữa hai véc-tơ

20

Dạng 2. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian

21

Dạng 3. Sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng.

22

Dạng 4. Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba

23

C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

24

1

ĐÁP ÁN

42

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

43

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

43

1

Định nghĩa

43

2

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

43

3

Tính chất

43

4

Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng 44

5

Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc

45

B

CÁC DẠNG TOÁN

45

Dạng 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

45

Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

47

Dạng 3. Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm
và vuông góc với một đường thẳng cho trước
49

4

C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

50

1

ĐÁP ÁN

83

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

85

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

85

1

Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

85

2

Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau

85

3

Diện tích hình chiếu của một đa giác

85

4

Hai mặt phẳng vuông góc

85

5

Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

86

Th.s Nguyễn Chín Em

2

/>

6

Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

86

B

CÁC DẠNG TOÁN

86

Dạng 1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng

86

Dạng 2. Tính diện tích hình chiếu của đa giác

88

Dạng 3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

88

Dạng 4. Thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng

90

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

91

C
5

KHOẢNG CÁCH

125

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

125

1

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

125

2

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

125

3

Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song

125

4

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

125

5

Đường thẳng vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

126

B

CÁC DẠNG TOÁN

126

Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

126

Dạng 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

127

Dạng 3. Khoảng cách giữa đường và mặt song song - Khoảng cách giữa hai mặt song
song
128
Dạng 4. Đoạn vuông góc chung - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

130

C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

132

1

ĐÁP ÁN

186

D

ÔN TẬP CHƯƠNG III

187

1

ĐÁP ÁN

191


CHƯƠNG

3

BÀI

QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1.

A

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1

CÁC ĐỊNH NGHĨA

VEC - TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1 Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu và điểm cuối).

#»

2 Véc-tơ - không là véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Ký hiệu 0 .

#»
# »
3 Ký hiệu véc-tơ: AB (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay #»
a , b , #»
x , #»
y,...
4 Độ dài của véc-tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ đó.

# »
# »
Độ dài của AB ký hiệu là |AB|, độ dài của #»
a ký hiệu là | #»
a |.
5 Giá của véc-tơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ đó.
6 Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
7 Hai véc-tơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.
8 Hai véc-tơ bằng nhau là hai véc-tơ cùng hướng và có cùng độ dài.

#»
Tức là #»
a = b ⇔

#»
#»
a , b cùng hướng
#»
| #»
a | = | b |.

9 Hai véc-tơ đối nhau là hai véc-tơ ngược hướng nhưng vẫn có cùng độ dài.
10 Các phép toán cộng, trừ, nhân véc-tơ với một số được định nghĩa tương tự trong mặt phẳng.

2

CÁC QUY TẮC TÍNH TOÁN VỚI VÉC-TƠ
# »

# »

# »

1 Quy tắc ba điểm (với phép cộng): AB + BC = AC.

# »

# »

# »

2 Quy tắc ba điểm (với phép trừ): OB − OA = AB.

#

»

#

»

#

»

#

»

#

»

# »

3 Quy tắc ba điểm (mở rộng): AX1 + X1 X2 + X2 X3 + · · · + Xn−1 Xn + Xn B = AB.
4 Quy tắc hình bình hành:

# » # » # »
(a) AB + AD = AC.
# » # »
# »
(b) AB + AD = 2AE

trong đó ABCD là hình bình hành
và E là trung điểm của BD.

C

B

5 Quy tắc hình hộp:

# » # » # » # »
AB + AD + AA = AC

D

A

trong đó ABCD.A B C D là một hình hộp.
B
A

1

C
D


/>
3

Chương 3 - Hình học 11

MỘT SỐ HỆ THỨC VÉC-TƠ TRỌNG TÂM, CẦN NHỚ
#»

#»

# »

#»

# »

#»

1 I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ IA + IB = 0 ⇔ OA + OB = 2OI

(với O là một điểm bất kỳ).
# »

# »

# »

#»

# »

# »

# »

# »

2 G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 ⇔ OA + OB + OC = 3OG

3

4
5
6
7

4

# » 2# »
⇔ AG = AM (với O là một điểm bất kỳ, M là trung điểm cạnh BC).
3
# » # » # » # » #»
G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = 0
# » # » # » # »
# »
# » 3# »
⇔ OA + OB + OC + OD = 4OG ⇔ AG = AA
4
(với điểm O bất kỳ, A là trọng tâm của BCD)
# » # » #»
⇔ GM + GN = 0 (với M, N là trung điểm 1 cặp cạnh đối diện).
#» #»
#»
#»
a và b = 0 cùng phương ⇔ ∃k ∈ R : #»
a = k· b.
#» #»
#»
#»
a và b = 0 cùng hướng ⇔ ∃k ∈ R+ : #»

a = k· b.
#» #»
#»
#»
a và b = 0 ngược hướng ⇔ ∃k ∈ R− : #»
a = k· b.
# »
# »
Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ∈ R : AB = k · AC.

ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC-TƠ
Định nghĩa 1. Trong không gian, ba véc-tơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song
song với một mặt phẳng nào đó.
Hệ quả 1. Nếu có một mặt phẳng chứa véc-tơ này đồng thời song song với giá của hai véc-tơ kia thì
ba véc-tơ đó đồng phẳng.
#»
Định lí 1. (Điều kiện để ba véc-tơ đồng phẳng) Trong không gian cho hai véc-tơ #»
a và b không
#»
cùng phương và véc-tơ #»
c . Khi đó #»
a , b và #»
c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số (m; n) sao cho
#»
#»
#»
c = m a + n b (cặp số (m; n) nêu trên là duy nhất).
!

5

# » # » # »
# »
# »
# »
Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng ⇔ AB, AC, AD đồng phẳng ⇔ AB = mAC + nAD.
PHÂN TÍCH MỘT VÉC-TƠ THEO BA VÉC-TƠ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG

Định lí 2.
#»
Cho ba véc-tơ #»
a , b và #»
c không đồng phẳng. Với mọi véc-tơ #»
x , ta đều tìm
#»
được duy nhất một bộ số (m; n; p) sao cho #»
x = m #»
a + n b + p #»
c.

#»
c
#»
a

6

#»
x

#»
b

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ
Định nghĩa 2.
#» #»
#»
#»
#»
#»
1 Nếu #»
a = 0 và b = 0 thì #»
a · b = | #»
a | · b · cos( #»
a, b )
#» #»
#»
#»
a = 0 hoặc b = 0 thì #»
a · b = 0.
2 Nếu #»
3 Bình phương vô hướng của một véc-tơ: #»
a 2 = | #»
a |2 .
!

Một số ứng dụng của tích vô hướng
#» #»
#»
#»

#»
1 Nếu #»
a = 0 và b = 0 ta có #»
a ⊥ b ⇔ #»
a · b = 0.

Th.s Nguyễn Chín Em

2

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

#»
#»
2 Công thức tính cô-sin của góc hợp bởi hai véc-tơ khác 0 : cos( #»
a, b ) =
# »

3 Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng: AB = AB =

B

#»
a·
#»
|a| ·

#»
b
#» .
b

# »
AB 2 .

CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Xác định véc-tơ và các khái niệm có liên quan
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa của các khái niệm liên quan đến véc-tơ (xem mục 1)
Dựa vào tính chất hình học của các hình hình học cụ thể.
#»
Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Hãy xác định các véc-tơ (khác 0 ) có điểm đầu, điểm cuối
là các đỉnh của hình hộp ABCD.A B C D và
# »
b) cùng phương AA .

# »
a) cùng phương với AB;
✍Lời giải.

# »
a) Các véc-tơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp cùng phương với AB là
# » # » # » # » # » # » # »
BA; CD; DC; A B ; B A ; C D ; D C
# »
b) Các véc-tơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp cùng phương với AA là
# » # » # » # » # » # » # » # »

AA ; A A; BB ; B B; CC ; C C; DD ; D D
.

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi O, O lần lượt là các giao điểm của hai đường
#»
chéo của hai đáy. Hãy xác định các véc-tơ (khác 0 ) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lập
phương ABCD.A B C D sao cho
# »
a) bằng OO .

# »
b) bằng AO.

✍Lời giải.
# » # » # » # » # »
a) Ta có OO = AA = BB = CC = DD .
# » # » # » # »
b) Ta có Các véc-tơ thỏa mãn là: AO = A O = OC = O C .

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véc-tơ
Phương pháp giải:
Để chứng minh đẳng thức véc-tơ ta thường sử dụng:
Qui tắc cộng, qui tắc trừ ba điểm, qui tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp.
Tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, tích một số với một véc-tơ... Để biến đổi vế này
thành vế kia.

Th.s Nguyễn Chín Em

3

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

Ví dụ 1. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:
# » # » # » # »
AB + CD = AD + CB
✍Lời giải.
# » # » # » # » # » # » # » # » # » # »
T ac : AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB + DB + BD
# » # » #» # » # »
= AD + CB + 0 = AD + CB

Ví dụ 2. Cho tứ diện A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
# » 1 Ä # » # »ä
AD + BC
a) Chứng minh rằng: IJ =
2
# » # » # » # » # »
b) Cho G là trung điểm của I, J. Chứng minh rằng: 4M G = M A + M B + M C + M D, với mọi điểm
M trong không gian.
✍Lời giải.
# » 1 Ä # » # »ä
AD + BC
a) Chứng minh rằng: IJ =
# » # » # » #2 »
#» # » # » # »
Ta có IJ = IA + AD + DJ và IJ = IB + BC + CJ
# » # » # » # » # » # » # » Ä # » # »ä Ä # » # »ä Ä # » # »ä

Suy ra 2IJ = IA + AD + DJ + IB + BC + CJ = IA + IB + AD + BC + DJ + CJ
#» Ä # » # »ä #» # » # »
= 0 + AD + BC + 0 = AD + BC
# »
# » # » # » # »
b) Cho G là trung điểm của I, J. Chứng minh rằng: 4M G = M A + M B + M C + M D, với mọi điểm M
trong không gian.
# » # » # » # »
# » # » # » # » # »
# »
#»
# »
# »
# »
#»
Tacó M A+ M B + M C + M D = 4M G+ GA+ GB + GC + GD = 4M G+2GI +2GJ = 4M G+2 0 = 4M G
(Vì I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD, G là trung điểm của IJ)

Dạng 3. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ
Phương pháp giải:
Dựa vào các yếu tố cố định như điểm và véc-tơ.
Các bước thực hành giải toán:
# »
1. Biến đổi đẳng thức véc-tơ cho trước về dạng: OM = #»
v.
Trong đó: Điểm O và véc-tơ #»
v đã biết.
2. Nếu muốn dựng điểm M , ta lấy O làm gốc dựng một véc-tơ bằng véc-tơ #»
v , khi đó điểm
ngọn của véc-tơ này chính là M .

Ứng dụng tính chất tâm tỉ cự của hệ điểm
n

Với các điểm A1 , A2 , · · · , An và các số α1 , α2 , · · · , αn thỏa mãn điều kiện
n

Tồn tại duy nhất điểm M sao cho:

ai = 0.
i=1

# » #»
αi M A i = 0 .

i=1

Điểm M như vậy gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm {A1 , A2 , · · · , An } với các hệ số tương ứng là
{α1 , α2 , · · · , αn }.
Trong trường hợp αi = αj ∀i, j điểm M gọi là trọng tâm của hệ điểm {A1 , A2 , · · · , An }.
Một số kết quả thường sử dụng
Với A, B, C là các điểm cố định, #»
v là véc-tơ đã biết.

Th.s Nguyễn Chín Em

4

/>

/># »

# »

Chương 3 - Hình học 11

#»

1 M A + M B = 0 ⇒ M là trung điểm AB.

# »

# »

# »

#»

2 Nếu A, B, C không thẳng hàng thì M A + M B + M C = 0 ⇒ M là trọng tâm tam giác

ABC.

# »

# »

3 Tập hợp điểm M thỏa mãn M A = M B là mặt phẳng trung trực của AB.

# »

# »

4 Tập hợp điểm M thỏa mãn M C = k AB là mặt cầu tâm C bán kính bằng k.AB.

Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 . Xác định vị trí của điểm O sao cho:
# » # » # » # » # » # » # » # » #»
OA + OB + OC + OD + OA1 + OB1 + OC1 + OD1 = 0 .
✍Lời giải.
Gọi G, G là giao điểm các đường chéo của ABCD và A1 B1 C1 D1 . Khi đó
ta
# »có: # » # » # » # » # » # » # »
OA + OB + OC + OD + OA1 + OB1 + OC1 + OD1
# » # » # » # » # »
= GA + GB + GC + GD + G A1 +
# » # » # »
# » # »
G B1 + G C1 + G D1 + 4(GO + G O)
# » # »
#»
= 4(GO + G O) = 0
Suy ra O là trung điểm GG .

D1

C1

G
B1

A1
O

C

D

G

A

B

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Xác định các điểm I, H, G thỏa mãn
#» # » # » # »
1 AI = AB + AC + AD.
# » # » # » # »
2 AH = AB + AC − AD.
# » # » # » # » #»
3 GA + GB + GC + GD = 0 .
✍Lời giải.
#» # » # » # »
# » # »
# » # » # »
Mà (AB + AC) + AD = AG + AD với G là đỉnh còn lại của hình bình
# » # » # »
hành ABGC vì AG = AB + AC.
#» # » # »
Vậy AI = AG + AD với I là đỉnh còn lại của hình bình hành AGID.
Do đó AI là đường chéo của hình hộp có ba cạnh là AB, AC, AD.
# » # » # » # »
2 Ta có: AH = AB + AC − AD.

# » # »
# » # » # » # »
Mà (AB + AC) − AD = AG − AD = DG.
# » # »
Vậy AH = DG nên F là đỉnh còn lại của hình bình hành ADGH.
# » # » # » # »
# » # » #»
# »
# »
3 Ta có: GA + GB + GC + GD = 4GP + P D = 0 ⇒ P D = 4P G với P
là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G là điểm nằm trên đoạn thẳng DP
sao cho P D = 4P G.
Điểm G thỏa mãn đẳng thức trên gọi là trọng tâm tứ diện.

H

1 Ta có: AI = AB + AC + AD.

B

G

P
A

C

I
D

Ví dụ 3. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng, tìm tập hợp các điểm
# » # » # »
# » # » # »
M sao cho: M A + M B + M C = 2M A − M B − M C .
✍Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

5

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

Gọi G là trọng tâm ABC, ta biến đổi đẳng thức về dạng:
# »
# »
# »
# »
# »
3M G = 3M A − 3M G ⇔ M G = GA
⇒ M thuộc mặt cầu tâm G, bán kính GA cố định.
Dạng 4. Tích vô hướng của hai véc-tơ
Phương pháp giải:
dựa vào định nghĩa và tính chất của tích vô hướng (xem mục 6), các quy tắc tính toán véc-tơ (xem
mục 2) và các hệ thức véc-tơ trọng tâm (xem mục 3) để giải toán.
#»
#» 1
#» 2
#» 2

Ví dụ 1. Cho hai véc-tơ #»
a và b . Chứng minh rằng: #»
a . b = ( #»
a + b − #»
a− b )
4
✍Lời giải.

1
1
1 2 #»2 #» #» #»2 #»2 #» #»
#» 2
#» 2
#» 2
#» 2
Ta có: V P = ( #»
a + b − #»
a − b ) = (( #»
a + b ) −( #»
a − b ) ). = ( #»
a + b +2 a . b −( a + b −2 a . b )) =
4
4
4
#»
#»
a. b = V T
Ä # » # »ä # »
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Tính AB + AD .B D .
✍Lời giải.

Ä # » # »ä # » # » # »
# »# »
Ta có: AB + AD .B D = AC.B D = 0 (vì AC⊥B D ⇒ AC.B D = 0)
#»
#»
#»
#»
a , b ) = 120◦ . Tính #»
a + b và #»
a− b
Ví dụ 3. Cho | #»
a | = 2, b = 3, ( #»
✍Lời giải.
#»
Ta có: #»
a+ b

Ä
#»
#» 2
#Ȋ2
a . b = | #»
a |2 +
= #»
a + b = | #»
a |2 + b + 2 #»
√
#»
22 + 32 + 2.2.3. cos 120◦ = 7 ⇒ #»
a + b = 7.

#»
#» 2
#Ȋ2
#» 2 Ä
a . b = | #»
a |2 +
a − b = | #»
a |2 + b − 2 #»
Ta có: #»
a − b = #»
√
#»
22 + 32 − 2.2.3. cos 120◦ = 19 ⇒ #»
a + b = 19
2

Ä #»ä
#»
#»
#» 2
a , b . ⇒ #»
a+ b
a | . b . cos #»
b + 2 | #»

2

Ä #»ä
#»
#»

#» 2
a , b . ⇒ #»
a+ b
a | . b . cos #»
b − 2 | #»

2

=

=

#»
#»
#»
a . b = −6. Tính góc hợp bởi hai véc-tơ #»
a và b .
Ví dụ 4. Cho | #»
a | = 3, b = 4, #»
✍Lời giải.
Ä #»ä
Ä #»ä
#»
#»
Ta có #»
a . b = | #»
a | . b . cos #»
a , b ⇔ cos #»
a, b =
#»

Vậy góc hợp bởi hai véc-tơ #»
a và b là 120◦

#»
#»
a. b
−6
1
#» = 3.4 = − 2 .
#»
|a|. b

Dạng 5. Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng
Phương pháp giải:
Để chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong hai cách:
Chứng minh các giá của ba véc-tơ cùng song song với một mặt phẳng.
#»
#»
Dựa vào điều kiện để ba véc-tơ đồng phẳng : Nếu có m, n ∈ R : #»
c = m #»
a + n b thì #»
a , b , #»
c đồng
phẳng.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rẳng
# » # » # »
3 véc-tơ BC, AD, M N đồng phẳng.
✍Lời giải.
%

Th.s Nguyễn Chín Em

6

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

Gọi P,
Q lần lượt là trung điểm của AC, BD.
P N M Q
Ta có
⇒ M N P Q là hình bình hành.
1
P N = M Q = AD
2
Mặt khác (M N P Q) chứa đường thẳng M N và song song với các
đường thẳng AD và BC.
⇒ ba đường thẳng M N, AD, BC cùng song song với một mặt phẳng.
# » # » # »
Do đó 3 véc-tơ BC, AD, M N đồng phẳng.

A

M
P
B

D

Q
N
C

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm
1# »
# »
# »
# »
M sao cho M S = −2M A và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho N B = − N C. Chứng minh rằng ba
2
# » # » # »
véc-tơ AB, M N , SC đồng phẳng.
✍Lời giải.
# » # » # » # »
# »
# »
# »
# »
Ta có : M N = M A + AB + BN ⇒ 2M N = 2M A + 2AB + 2BN (1)
# » # » # » # »
# » # »
# »
Mặt khác : M N = M S + SC + CN = −2M A + SC + 2N B (2)
# » # »
# »
# » 1# » 2# »
Cộng vế theo vế, ta được : 3M N = SC + 2AB hay M N = SC + AB.
3

3
# » # » # »
Vậy :AB, M N , SC đồng phẳng.
Dạng 6. Phân tích một véc-tơ theo 3 véc-tơ không đồng phẳng cho trước
Phương pháp giải:
#»
Để phân tích một véc-tơ #»
x theo ba véc-tơ #»
a , b , #»
c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho
#»
#»
x = m #»
a + n b + p #»
c.
# »
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, I là trung điểm của BM . Đặt AB =
#» # » #»
#»
# »
#»
b , AC = b và AD = #»
c . hãy phân tích véc-tơ AI theo 3 véc-tơ #»
a , b , #»
c.
✍Lời giải.
#» #»
# » # »
b + c
# » # » # » # » AC + AD

Ta có 2AI = AB + AM = AB +
= #»
a+
.
2
2
1 #» 1
#» 1
Vậy AI = #»
a + + b + #»
c.
2
4
4
Dạng 7. Ứng dụng véc-tơ chứng minh bài toán hình học
Phương pháp giải:
Chọn 3 véc-tơ không đồng phẳng làm cơ sở.
Biểu diễn các véc-tơ cần tính toán về hệ 3 véc-tơ cơ sở.
Dựa vào hệ thức biểu diễn ở trên ta tìm mối quan hệ giữa các véc-tơ cần xét.
Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D . Gọi G là trọng tâm tam giác A BD. Chứng minh
rằng A, G, C thẳng hàng.
✍Lời giải.
# »
# »
#»
# » #» # »
Đặt AA = #»
a , AB = b , AD = #»
c . Khi đó AC = #»
a + b + #»

c
1
#»
# » # » # » # » 1 # » # »
AG = AA + A G = AA + (A D + A B) = ( #»
a + b + #»
c)
3
3
Th.s Nguyễn Chín Em

7

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

# » 1# »
Suy ra AG = AC hay A, G, C thẳng hàng.
3
Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C . Gọi G, G lần lượt là trọng tâm của tam giác
ABC và A B C , I là giao điểm của hai đường thẳng AB và A B. Chứng minh rằng các đường thẳng
GI và CG song song với nhau.
✍Lời giải.
1. Phương pháp véc-tơ.
Lấy trung điểm E, F (như hình vẽ).
A

# » # » # » # » 2# »

Ta có CG = CC + C G = CC + C F
3
# » 2 Ä # » # »ä
# » 1# » 2# »
= CC +
A F − A C = −A A + A B − A C , (1).
3
3
3
# » # » # » 1 # » 1 # » 1 Ä # » # »ä 1 # »
AE − AC − A A
Và GI = GE + EI = CE − A A =
2
2 ã
Å
ã3
Å 3
# » 1# » 2# »
1 1# » # »
1# » 1
=
AB −AC − AA=
−A A + A B − A C
3 2
2
2
3
3
1# »
= CG , (2)

2
# »
#»
Suy ra GI và CG cùng phương ⇒ GI CG .
2. Phương pháp cổ điển.

F

C

G
B

I

A
E

G
B

K

C

Lấy các trung điểm E, F, K.
Chứng minh EG CK là hình bình hành ⇒ CG
Chứng minh GI là đường trung bình của
Kết hợp (1) và (2) suy ra GI

F K, (1).

EF K: suy ra GI

F K, (2).

CG .

Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A B C D ; các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA và
# »
# »
# » # »
DC sao cho M C = m.M A, N D = m.N C . Xác định m để các đường thẳng M N và BD song song
÷ = CBB
÷ = 60◦ và BA = a, BB = b, BC = c.
’ = ABB
với nhau. Khi ấy, tính M N biết ABC
✍Lời giải.
D

A
B

C

N

A

D

M

B

C

# » #» # »
# »
Đặt #»
a = BA, b = BB , #»
c= BC.
Ä # » # »ä
# » # »
# »
# »
BC − BM = m BA − BM
M C = mM A
Ta có # »
Ä # » # »ä
# » ⇔ # » # »
N D = mN C
BD − BN = m BC − BN
# »
m # »
1 # »

BA +
BC
BM = −
1−m

1−m
⇒
1 # »
1 Ä # » # »ä
m Ä # » # »ä
m # »
# »

BN
=
BC =
BD −
BA + BC −
BC + BB
1−m
1−m
1−m
1−m
Th.s Nguyễn Chín Em

8

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

# »
m #»
1 #»


a+
c
BM = −
m #»
m #»
# » # » # » 1 + m #»
1−m
1−m
⇒
a−
b −
c
⇒ M N = BN − BM =
1
m
#»
#
»

1−m
1−m
1−m
#»
AN =
a−
b + #»
c
1−m
1−m

# » #» #» #»
# »
1+m
m
# »
Ngoài ra BD = a + b + c nên để M N BD thì cần có M N = k.BD ⇔
=−
.
1−m
1−m
Giải hệ phương trình trên ta tìm được m = −0, 5.
ä
1
#»
#»
# » 1 Ä #» #» #»ä
# »2 1 Ä #»2 #»2 #»2
a + b + c ⇒ MN =
a + b + c + 2 #»
a b + 2 b #»
c + 2 #»
c #»
a .
Với m = − ta có M N =
2
3
9
#»
#»
÷ = CBB

÷ = 60◦ nên 2 #»
’ = ABB
Do ABC
a b + 2 b #»
c + 2 #»
c #»
a = ab + bc + ca.
√
1 2
a + b2 + c2 + ab + bc + ca.
Vậy M N =
3

C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

# » #»
# »
# »
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Đặt #»
a = AA , b = AB, #»
c = AC. Gọi G là trọng tâm của tam
# »
giác A B C . Véc-tơ AG bằng
Ä
ä
ä
1 #»
1 Ä #» #»

1 Ä #» #» #»ä
1 Ä #» #» #»ä
#»
A.
3a + b + c .
C.
a + 3 b + #»
c .
B.
a + b + 3 #»
c .
D.
a+ b + c .
3
3
3
3
✍Lời giải.
Gọi I là trung điểm của B C .
A
B
G
# » 2# »
Vì G là trọng tâm của tam giác A B C ⇒ A G = A I.
3
I
# » # » # » # » 2# »
Ta có AG = AA + A G = AA + A I
3
C

# » 1 Ä # » # »ä
AB +AC
= AA +
A
3
B
# » 1 Ä # » # »ä
AB + AC
= AA +
3
C
1 Ä # » # » # »ä 1 Ä #» #» #»ä
=
3AA + AB + AC =
3a + b + c .
3
3
Chọn đáp án B
# » #» # »
# »
# »
Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Đặt #»
a = AA , b = AB, #»
c = AC. Hãy biểu diễn véc-tơ B C theo
#»
các véc-tơ #»
a , b , #»
c.
# » #» #» #»
# »

#»
A. B C = a + b − c .
B. B C = − #»
a + b − #»
c.
# » #» #» #»
# »
#»
C. B C = a + b + c .
D. B C = − #»
a − b + #»
c.
✍Lời giải.
Vì BB C C là hình bình hành nên
A
B
# » # »
# »
B C =B C +B B
# » # »
= BC − AA
C
# » # » # »
= −AA + BA + AC
# » # » # »
A
= −AA − AB + AC
B
#» #»
#»

= −a − b + c .
C
Chọn đáp án D
# »
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi M là trung điểm của cạnh BB . Đặt CA =
# » #»
AA = c . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
1 #»
1
1
# » #»
# » #»
# »
# »
A. AM = #»
a + #»
c − b . B. AM = b + #»
c − #»
a . C. AM = b − #»
a + #»
c . D. AM =
2
2
2
✍Lời giải.

#»
# »
#»
a , CB = b ,

1 #»
#»
a − #»
c + b.
2

# » 1# »
Vì M là trung điểm của BB ⇒ BM = BB .
2
#» 1
# » # » # »
# » 1# »
# » # » 1# »
Ta có AM = AB + BM = −BA + BB = −CA + CB + BB = − #»
a + b + #»
c.
2
2
2
Chọn đáp án C
# »
Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A B C D tâm O. Gọi I là tâm của hình hình hành ABCD. Đặt AC = #»
u,
# » #» # » #» # » #»
CA = v , BD = x , DB = y . Khi đó
Th.s Nguyễn Chín Em

9

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

1
1
#»
#»
A. 2OI = − ( #»
u + #»
v + #»
x + #»
y ).
B. 2OI = − ( #»
u + #»
v + #»
x + #»
y ).
4
2
#» 1
#» 1
u + #»
v + #»
x + #»
y ).
D. 2OI = ( #»
u + #»
v + #»
x + #»

y ).
C. 2OI = ( #»
2
4
✍Lời giải.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
D
# » # »
#»
Vì I là trung điểm của M N nên OM + ON = 2OI.
N
# » # »
# »
OA + OB = 2OM
I
Kết hợp với # » # »
# »
OC + OD = 2ON
A
B
# » 1 Ä # » # » # » # »ä
M
ta suy ra 2OI =
OA + OB + OC + OD
2Å
ã
O
1# » 1# » 1# » 1# »
1
− AC − CA − BD − DB

=
2
2
2
2
2
D
1 #» #» #» #»
= − (u + v + x + y ).
4
A

C

C

B

Chọn đáp án A

# »
# » #» # »
Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A B C D có AB = #»
a , AC = b , AA = #»
c . Gọi I là trung điểm của B C , K
là giao điểm của A I và B D . Mệnh đều nào sau đây đúng?

ä
ä
#»

#»
# » 1 Ä #»
# » 1 Ä #»
A. DK =
4 a − 2 b + 3 #»
c .
B. DK =
4 a − 2 b + #»
c .
#»
#»
# » 3
# » 3
C. DK = 4 #»
a − 2 b + #»
c.
D. DK = 4 #»
a − 2 b + 3 #»
c.
✍Lời giải.
# » # »
# »
Vì I là trung điểm của B C ⇒ A B + A C = 2A I.
Và K là giao điểm của A I, B D nên theo định lí Ta-lét ta có
D
# » 2# »
A K = A I.
K
3
# » # » # » # » 2# »

Ta có AK = AA + A K = AA + A I
A
B
3
# » 1 Ä # » # »ä 1 #» 1 #» #»
= AA +
AB +AC = a + b + c.
3
# » # » 3# » # » # » 3
D
Khi đó DK = DA + AK = CB + AK
Ä # » # »ä # »
= AB − AC + AK
1 #»
4
2 #»
#» 1
= #»
a − b + #»
a + b + #»
c = #»
a − b + #»
c.
3
3
3
3
Chọn đáp án A

A

C
I

C

B

Câu 6. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai?

# » 2 Ä # » # » # »ä
# » 1 Ä # » # » # »ä
A. AG =
AB + AC + AD .
B. AG =
AB + AC + AD .
3Ä
4
ä
# » 1 # » # » # » # »
# » # » # » # » #»
C. OG =
OA + OB + OC + OD .
D. GA + GB + GC + GD = 0 .
4
✍Lời giải.
# » # » # » # » #»
Vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên GA + GB + GC + GD = 0 . Do đó
Th.s Nguyễn Chín Em

10

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

# » 1 # » 1 Ä # » # » # » # » # » # » # » # »ä
OG = · 4OG =
OA + AG + OB + BG + OC + CG + OD + DG
4
4
1 Ä # » # » # » # »ä
OA + OB + OC + OD .
=
4
# » # » # » 1 Ä # » # » # » # »ä
⇒ AO + OG = AO +
OA + OB + OC + OD
4
Ä
# » 1 # » # » # » # »ä
= AO +
4OA + AB + AC + AD
4
# » # » 1 Ä # » # » # »ä
= AO + OA +
AB + AC + AD
4
Ä

1 # » # » # »ä
=
AB + AC + AD .
4
Ä
# » 1 # » # » # »ä
B
Vậy AG =
AB + AC + AD .
4
# » 2 Ä # » # » # »ä
Suy ra mệnh đề AG =
AB + AC + AD sai.
3

A

G
D

C
Chọn đáp án A
#» # »
# »
# »
Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Đặt AB = #»
a , AC = b , AD = #»
c.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sau đây đúng?
#»

# »
# »
A. AG = #»
a + b + #»
c.
B. AG =
# »
# » 1 Ä #» #» #»ä
a+ b + c .
D. AG =
C. AG =
2
✍Lời giải.
# » 2# »
Gọi M là trung điểm của CD suy ra BG = BM .
3
# » # » # » # » 2# »
Ta có AG = AB + BG = AB + BM
3
# » 2 1 Ä # » # »ä
BC + BD
= AB + ·
3 2
# » 1 Ä # » # »ä
= AB +
BC + BD
3
# » 1 Ä # » # » # » # »ä
= AB +
AC − AB + AD − AB

3
1 Ä # » # » # »ä
AB + AC + AD
=
3
1 Ä #» #» #»ä
=
a+ b + c .
3

Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD.
1 Ä #»
a+
3Ä
1 #»
a+
4

#»
b +
#»
b +

ä
#»
c .
ä
#»
c .

A

B

D
G

M

C

Chọn đáp án B
# »
# » #»
Câu 8. Cho tứ diện ABCD. Đặt AB = #»
a , AC = b ,
Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
ä
# » 1 Ä #» #»
A. DM =
a + b − 2 #»
c .
2
ä
#»
# » 1 Ä #»
C. DM =
a − 2 b + #»
c .
2

✍Lời giải.
# » 1# »
Vì M là trung điểm của BC suy ra BM = BC.
2
# » # » # » # » # » # » 1# »
Ta có DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC
2
# » # » 1 Ä # » # »ä
= AB − AD +
BA + AC
2
1# » 1# » # »
= AB + AC − AD
2
2
ä
1 #» 1 #» #» 1 Ä #» #»
= a+ b − c =
a + b − 2 #»
c .
2
2
2

# »
AD = #»
c . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
# » 1 Ä #» #» #»ä
B. DM =
−2 a + b + c .

2Ä
ä
#»
# » 1 #»
D. DM =
a + 2 b − #»
c .
2
A

B

D
M
C

Th.s Nguyễn Chín Em

11

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

Chọn đáp án A
Câu 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của các
# »
# » #»
AC = #»

c , AD = d . Khẳng định nào sau đây là đúng?
# » 1 Ä #» #» #»ä
# » 1 Ä #»
A. M P =
c +d+ b .
B. M P =
d+
2Ä
2Ä
ä
# » 1 #» #» #»
# » 1 #»
C. M P =
c + b −d .
D. M P =
c +
2
2
✍Lời giải.
Vì M , P lần lượt là trung điểm của AB, CD
# » # »
2AM = AB
nên # » # »
# »
AC + AD = 2AP .
# » # » # »
# » # »
Ta có M P = M A + AP = −AM + AP
1 # » 1 Ä # » # »ä
AC + AD

= − AB +
2
2
1 #» 1
1 #»
c + d.
= − b + #»
2
2
2

#»
# »
cạnh AB và CD. Đặt AB = b ,
#»
b −
#»
d−

ä
#»
c .
#Ȋ
b .
A

M

B

D
P
C

Chọn đáp án D
# »
Câu 10. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C . Đặt AA = #»
a,
định nào dưới đây là đúng?
#»
#»
A. #»
a = b + #»
c.
B. #»
a+ b +
#» #» #» #»
#»
C. b − c + d = 0 .
D. #»
a+ b +
✍Lời giải.
#»
#»
#»
#» #»
# » # » # »
Ta có BC = AC − AB ⇔ d = #»
c − b ⇔ b − #»
c + d = 0.

#» # »
#»
# »
# »
AB = b , AC = #»
c , BC = d . Khẳng
#» #»
#»
c + d = 0.
#»
#»
c = d.
A

B
C

A

B
C

Chọn đáp án C
Câu 11. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi O là tâm của hình lập phương.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
# » 1 Ä # » # » # »ä
# » 1 Ä # » # » # »ä
A. AO =
AB + AD + AA .

B. AO =
AB + AD + AA .
3Ä
2Ä
ä
# » 1 # » # » # »
# » 2 # » # » # »ä
AB + AD + AA .
D. AO =
AB + AD + AA .
C. AO =
4
3
✍Lời giải.
A
# » # » # » # »
Theo quy tắc hình hộp, ta có AC = AB + AD + AA .
Mà O là trung điểm của AC
D
# » 1 # » 1 Ä # » # » # »ä
nên AO = AC =
AB + AD + AA .
2
2
A
D

B
C
O

B
C

Chọn đáp án B
Câu 12. Cho hình hộp ABCD.A B C D tâm O. Khẳng định nào dưới đây là sai?
# » # » # » # »
# » # » # » # » #»
A. AC = AB + AD + AA .
B. AB + BC + CD + D A = 0 .
# » # » # » # »
# » # » # » # » # » # »
C. AB + AA = AD + DD .
D. AB + BC + CC = AD + D O + OC .
✍Lời giải.

Th.s Nguyễn Chín Em

12

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

Dựa vào các phương án, ta thấy rằng:
# »
# » # » # »
AC = AB + AD + AA đúng, vì theo quy tắc hình hộp ta có
# » # » # » # »
AC = AB + AD + AA .

# » # » # » # » #»
AB + BC + CD + D A = 0 đúng
# »
# »
AB = −CD
# » # » # » # » #»
vì # »
# » ⇒ AB + BC + CD + D A = 0 .
BC = −D A

A

B

D

C
O
A

# » # » # »
AB + AA = AB
# » # » # »
AD + DD = AD
# » # »
# » # » # » # »
mà AB = AD ⇒ AB + AA = AD + DD .

B

D

# » # » # » # »
AB + AA = AD + DD sai, vì

C

# » # » # » # » # » # »
AB + BC + CC = AD + D O + OC đúng
# » # » # » # » # » # »
AB + BC + CC = AC + CC = AC
# » # » # » # » # » # »
vì # » # » # » # » # » # » ⇒ AB + BC + CC = AD + D O + OC .
AD + D O + OC = AO + OC = AC
Chọn đáp án C
Câu 13. Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 . Khẳng định nào dưới đây là sai?
# » # » # » # »
# » # » # » # »
A. BC + BA = B1 C1 + B1 A1 .
B. AD + D1 C1 + D1 A1 = DC.
# » # » # » # »
# » # » # » # »
C. BC + BA + BB1 = BD1 .
D. BA + DD1 + BD1 = BC.
✍Lời giải.
Dựa vào các phương án, ta thấy rằng:
A1
# » # » # » # »
BC + BA = B1 C1 + B1 A1 đúng,
# » # »

BC = B1 C1
# » # » # » # »
D1
vì # » # » suy ra BC + BA = B1 C1 + B1 A1 .
BA = B1 A1
# » # » # » # »
AD + D1 C1 + D1 A1 = DC đúng,
# » # » # » # » # » # »
vì AD + D1 C1 + D1 A1 = AD + DC + DA
# » # » # »
= AC + DA = DC.

B1

C1

A

D

B

C

# » # » # » # »
# » # » # » # »
BC + BA + BB1 = BD1 đúng, vì BD1 = BC + BA + BB1 (quy tắc hình hộp).
# » # » # » # »
# » # » # » # » # » # » # » # » # »
BA + DD1 + BD1 = BC sai, vì BA + DD1 + BD1 = BA + BB1 + BD1 = BA1 + BD1 = BC.

Chọn đáp án D
Câu 14. Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 . Gọi M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây là
đúng?
# » # » # » # »
# » # » # » 1# »
A. B1 M = B1 B + B1 A1 + B1 C1 .
B. C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 .
2
# » # » 1# » 1# »
# » # » # »
# »
C. C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 .
D. BB1 + B1 A1 + B1 C1 = 2B1 D.
2
2
✍Lời giải.
Dựa vào các phương án, ta thấy rằng:
A
B
# » # » # » # »
B1 M = B1 B + B1 A1 + B1 C1 sai
M
# » # » # » # » 1 Ä # » # »ä
vì B1 M = B1 B + BM = BB1 +
BA + BD
D
C
2
Ä
ä

# » 1 # » # »
= BB1 +
B1 A1 + B1 D1
2
A1
B1
# » 1 Ä # » # » # »ä
= BB1 +
B1 A1 + B1 A1 + B1 C1
2
# » # » 1# »
= BB1 + B1 A1 + B1 C1 .
D1
C1
2
Th.s Nguyễn Chín Em

13

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

# » # » # » 1# »
C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 đúng
2
# » # » # » # » 1 Ä # » # »ä # » 1 Ä # » # »ä
vì C1 M = C1 C + CM = C1 C +
CA + CD = C1 C +

C1 A1 + C1 D1
2
2
# » 1 Ä # » # » # »ä # » # » 1 # »
= C1 C +
C1 B1 + C1 D1 + C1 D1 = C1 C + C1 D1 + C1 B1 .
2
2
# » # » 1# » 1# »
# » # » # » 1# »
C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 sai, vì C1 M = C1 C + C1 D1 + C1 B1 .
2
2
2
# » # » # »
# »
# » # » # » # » # » # » # » # »
BB1 + B1 A1 + B1 C1 = 2B1 D sai, vì BB1 + B1 A1 + B1 C1 = BA1 + BC = BA1 + A1 D1 = BD1 .
Chọn đáp án B
Câu 15. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB C.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
# »
# »
# »
# »
# »
# »
# »
# »
A. AC = 3AG.

B. AC = 4AG.
C. BD = 4BG.
D. BD = 3BG.
✍Lời giải.
B
Cách 1. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD
⇒ I là trung điểm của BD.
Ta có BIG
DBG
# »
BG
BI
1
BG
1
# »
⇒
=
= ⇒
= ⇒ BD = 3BG.
DG
DB
2
BD
3
# » # » # » # »
Cách 2. Theo quy tắc hình hộp, ta có BA + BC + BB = BD .
Do G là trọng tâm của tam giác AB C
# »
# » # » # »

# »
# »
nên BA + BC + BB = 3BG ⇔ BD = 3BG.

C
I
G

A

D
B

C

A

D

Chọn đáp án D
#» # »
# »
# »
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = #»
a , SB = b , SC = #»
c,
# » #»
SD = d . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
#» #»
#»

#» #»
A. #»
a + #»
c = b + d.
B. #»
a + b + #»
c + d = 0.
#» #»
#»
#»
C. #»
a + d = b + #»
c.
D. #»
a + b = #»
c + d.
✍Lời giải.
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
S
Vì O là trung điểm của AC
# » # »
# »
# »
nên SA + SC = 2SO ⇔ 2SO = #»
a + #»
c.
(1)
Và O là trung điểm của BD
# » # »
# »

# » #» #»
nên SB + SD = 2SO ⇔ 2SO = b + d .
(2)
#» #»
Từ (1) và (2), suy ra #»
a + #»
c = b + d.
D
A
O
B

C

Chọn đáp án A
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn
# » # » # » # » # » #»
GS + GA + GB + GC + GD = 0 . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
# »
# »
A. G, S, O không thẳng hàng.
B. GS = 4OG.
# »
# »
# »
# »
C. GS = 5OG.
D. GS = 3OG.
✍Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

14

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra
# » # » # » # » #»
OA + OB
# » + #OC
» + #OD
» = # 0». # »
Ta có GS + GA + GB + GC + GD
# »
# » # » # » # » # » #»
=GS + 4GO + OA + OB + OC + OD = 0 .
# »
# » #»
# »
# »
⇔ GS + 4GO = 0 ⇔ GS = 4OG.
⇒ ba điểm G, S, O thẳng hàng.

S

A

G

D
O

B

C

Chọn đáp án B
# » # » # » # »
#»
Câu 18. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA + GB + GC + GD = 0 (G là trọng tâm của tứ
diện). Gọi G0 là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
# »
# »
# »
# »
# »
# »
# »
# »
A. GA = −2G0 G.
B. GA = 4G0 G.
C. GA = 3G0 G.
D. GA = 2G0 G.
✍Lời giải.
Vì G0 là giao điểm của đường thẳng AG với mặt phẳng (BCD) suy ra
G0 là trọng tâm của tam giác BCD.
# » # » # » #»
⇒ G0 B + G0 C + G0 D = 0 .

Theo bài ra, ta có
# » # » # » # »
GA + GB + GC + GD
# »
# » # » # » # » #»
= GA + 3GG0 + G0 B + G0 C + G0 D = 0

A

#»
0

G

# »
# » #»
# »
# »
⇒ GA + 3GG0 = 0 ⇒ GA = 3G0 G.

D

B
G0

M

C
Chọn đáp án C
Câu 19. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung

Khẳng định nào dưới đây là sai?
# » # » # » # »
# »
A. M A + M B + M C + M D = 4M G.
B.
# » # » # » # » #»
C. GA + GB + GC + GD = 0 .
D.
✍Lời giải.
Vì M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD
# » # »
# »
GA + GB = 2GM
nên # » # »
# »
GC + GD = 2GN .
Mà G là trung điểm của M N
# » # » #»
# » # » # » # » #»
nên GM# +»GN# =»0 ⇔
# GA
» +# GB
» + GC + GD = 0 .
Khi đó M A + M B + M C + M D
# » Ä # » # » # » # »ä
= 4M G + GA + GB + GC + GD
# »
= 4M G.

điểm của AB, CD và G là trung điểm của M N .

# » # » # » # »
GA + GB + GC = GD.
# » # » #»
GM + GN = 0 .
A

M
G
D

B
N
C

Chọn đáp án B
# » # »
Câu 20. Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 . Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức véc-tơ AB + B1 C1 +
# »
# »
DD1 = k AC1 .
A. k = 4.

B. k = 1.

C. k = 0.

D. k = 2.

✍Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

15

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

# » # » # » # » # » # »
Ta có AB + B1 C1 + DD1 = AB + BC + CC1
# » # »
= AC + CC1
# »
= AC1 ⇒ k = 1.

A1

B1

D1

C1
A

B

D

C

Chọn đáp án B
# » # »
Câu
21. Choähình hộp ABCD.A B C D . Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức véc-tơ AC + BA +
Ä# »
# »
#»
k DB + C D = 0 .
A. k = 0.

B. k = 1.

C. k = 4.

D. k = 2.

✍Lời giải.
# » # » # » # » # »
Ta có AC + BA = AC + CD = AD
# » # » # » # » # » # »
và DB + C D = DB −Ä DC = C Bä = D A.
# »
# » #»
# » # »
# » # »
Suy ra AC + BA + k DB + C D = AD + k D A = 0
# » #»
⇔ (k − 1)D A = 0 ⇔ k = 1.

A

B

D

C
A

B

D

C

Chọn đáp án B
Câu 22. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm
#»
#»
# » # » #»
của đoạn M N . Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức véc-tơ IA + (2k − 1)IB + k IC + ID = 0 .
A. k = 2.

B. k = 4.

C. k = 1.

D. k = 0.

✍Lời giải.
Vì M , N lần lượt là trung điểm của AC, BD

#» #»
# »
IA + IC = 2IM
nên # » # »
# ».
IB + ID = 2IN
# » # » #»
Mặt khác IM + IN = 0 (I là trung điểm của M N ).
# » # » # » # » #»
Suy ra IA + IB + IC + ID = 0 .
#»
#»
#» #»
Ta có IA + (2k − 1)IB + k IC + ID
#»
# » #»
#» #» #» # »
= IA + IB + IC + ID +(2k − 2)IB + (k − 1)IC = 0 .

A

M
I

#»

D

Ä # »0 # »ä #»
Suy ra (k − 1) 2IB + IC = 0 .

# » # » #»
Mà 2IB + IC = 0 nên k − 1 = 0 ⇔ k = 1.

C
N
B

Chọn đáp án C
Câu 23. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung
điểm của đoạnÄM N và P là một điểm ä
bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức
#»
# » # » # » # »
véc-tơ P I = k P A + P B + P C + P D .
A. k = 4.

1
B. k = .
2

1
C. k = .
4

D. k = 2.

✍Lời giải.

Th.s Nguyễn Chín Em

16

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

Vì M , N lần lượt là trung điểm của AC, BD
#» #»
# »
IA + IC = 2IM
nên # » # »
# ».
IB + ID = 2IN
# » # » #»
Mặt khác IM + IN = 0 (I là trung điểm của M N ).
# » # » # » # » #»
Suy ra IA + IB + IC + ID = 0 .
# » # » # » # »
Khi đó P A + P B + P C + P D
# » Ä # » # » # » # »ä
#»
= 4P I + IA + IB + IC + ID = 4P I.
Ä # » # » # » # »ä
#»
Mà P I = k P A + P B + P C + P D
1
nên suy ra 4k = 1 ⇔ k = .
4

A

M
P
I
D
C
N
B

Chọn đáp án C
Câu 24. Cho tứ diện ABCD. Gọi M
lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị thực của k
Ä #, N
# »
» # »ä
thỏa mãn đẳng thức véc-tơ M N = k AC + BD .
1
1
A. k = .
B. k = .
C. k = 3.
D. k = 2.
2
3
✍Lời giải.
# » # »
# »
Ta có N là trung điểm của CD ⇒ M C + M D = 2M N .
(1)

A
# » # » #»
Và M là trung điểm của AB suy ra M A + M B = 0 .
(2)
# » 1 Ä # » # »ä
MC + MD
Từ (1) và (2) suy ra M N =
2
1 Ä # » # » # » # »ä
M
=
M A + AC + M B + BD
2
1 Ä # » # »ä
=
AC + BD .
D
2
Ä
1
# » # »ä
# »
B
Kết hợp giả thiết M N = k AC + BD ⇒ k = .
2
N
C
Chọn đáp án A
#»
#»

#»
Câu 25. Cho ba véc-tơ #»
a , b , #»
c không đồng phẳng. Xét các véc-tơ #»
x = 2 #»
a + b , #»
y = #»
a − b − #»
c,
#»
#»
#»
z = −3 b − 2 c . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. Ba véc-tơ #»
x , #»
y , #»
z đồng phẳng.
B. Hai véc-tơ #»
x , #»
a cùng phương.
#»
#»
#»
#»
C. Hai véc-tơ x , b cùng phương.
D. Ba véc-tơ x , y , #»
z đôi một cùng phương.
✍Lời giải.
x , #»
y , #»

z đồng phẳng, khi đó #»
x = m #»
y + n #»
z.
Giả sử, ba véc-tơ #»
#»
#»
#»
#»
my = ma − m b − m c
#»
c.
Ta có
⇒ m #»
y + n #»
z = m #»
a − (m + 3n) b − (m + 2n) #»
#»
#»
#»
n z = −3n b − 2n c

®

m = 2
m=2
#»
#»
#»
#»

#»
Khi đó 2 a + b = m a − (m + 3n) b − (m + 2n) c ⇒ m + 3n = −1 ⇔

n = −1.

m + 2n = 0
Vậy ba véc-tơ #»
x , #»
y , #»
z đồng phẳng.
Chọn đáp án A
#»
Câu 26. Cho ba véc-tơ #»
a , b , #»
c không đồng phẳng. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
#»
#»
#»
A. Ba véc-tơ #»
x = #»
a + b + 2 #»
c , #»
y = 2 #»
a − 3 b − 6 #»
c , #»
z = − #»
a + 3 b + 6 #»
c đồng phẳng.
#»
#»

#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
B. Ba véc-tơ x = a − 2 b + 4 c , y = 3 a − 3 b + 2 c , z = 2 a − 3 b − 3 #»
c đồng phẳng.
#» #» #»
#» #» #»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
C. Ba véc-tơ x = a + b + c , y = 2 a − 3 b + c , z = − a + 3 b + 3 c đồng phẳng.
#»
#»
#»
D. Ba véc-tơ #»
x = #»
a + b − #»
c , #»
y = 2 #»
a − b + 3 #»
c , #»

z = − #»
a − b + 2 #»
c đồng phẳng.
✍Lời giải.
Ba véc-tơ #»
x , #»
y , #»
z đồng phẳng khi và chỉ khi ∃m, n : #»
x = m #»
y + n #»
z.
4
5
#»
#»
#»
Với #»
x = #»
a + b + 2 #»
c , #»
y = 2 #»
a − 3 b − 6 #»
c , #»
z = − #»
a + 3 b + 6 #»
c , ta có #»
x = #»
y + #»
z.
3

3
Th.s Nguyễn Chín Em

17

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

#»
#»
#»
#»
Nếu #»
x = #»
a − 2 b + 4 #»
cÄ, #»
y = 3 #»
a − 3 b ä+ 2 #»
c Ä, #»
z = 2 #»
a −3b −
ä 3 c đồng phẳng
#»
#»
#»
thì #»
a − 2 b + 4 #»
c = m 3 #»

a − 3 b + 2 #»
c + n 2 #»
a − 3 b − 3 #»
c


3m + 2n = 1
#»
#»
#»
= (3m + 2n) a − 3(m + n) b + (2m − 3n) c ⇒ − 3m − 3n = −2


2m − 3n = 4.
#»
#»
#»
Hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy ba véc-tơ x , y , z không đồng phẳng.
#»
#»
#»
#»
Nếu #»
x = #»
a + b + #»
cÄ, #»
y = 2 #»
a − 3 bä + #»
c Ä, #»
z = − #»

a +3b +
ä 3 c đồng phẳng
#»
#»
#»
thì #»
a + b + #»
c = m 2 #»
a − 3 b + #»
c + n − #»
a + 3 b + 3 #»
c


2m − n = 1
#»
#»
#»
= (2m − n) a − 3(m − n) b + (m + 3n) c ⇒ − 3m + 3n = 1


m + 3n = 1.
#»
#»
#»
Hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy ba véc-tơ x , y , z không đồng phẳng.
#»
#»
#»
#»

Nếu #»
x = #»
a + b − #»
cÄ, #»
y = 2 #»
a − b ä+ 3 #»
c Ä, #»
z = − #»
a− b +
ä 2 c đồng phẳng
#»
#»
#»
thì #»
a + b − #»
c = m 2 #»
a − b + 3 #»
c + n − #»
a − b + 2 #»
c


2m − n = 1
#»
#»
#»
= (2m − n) a − (m + n) b + (3m + 2n) c ⇒ − m − n = 1


3m + 2n = −1.

Hệ phương trình trên vô nghiệm. Vậy ba véc-tơ #»
x , #»
y , #»
z không đồng phẳng.
Chọn đáp án A
#»
#»
Câu 27. Cho ba véc-tơ #»
a , b , #»
c . Điều kiện nào dưới đây khẳng định ba véc-tơ #»
a , b , #»
c đồng phẳng?
#»
#»
#»
#»
A. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p = 0 và m a + n b + p c = 0 .
#»
#»
B. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p = 0 và m #»
a + n b + p #»
c = 0.
#»
#»
C. Tồn tại ba số thực m, n, p sao cho m #»
a + n b + p #»
c = 0.
#»
D. Giá của #»
a , b , #»

c đồng quy.
✍Lời giải.
Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:
#»
#»
Xét m = n = p = 0 ta luôn có m + n + p = 0 và m #»
a + n b + p #»
c = 0 nhưng không thể suy ra được
#»
#»
a , b , #»
c đồng phẳng.
Nếu m + n + p = 0 thì chắc chắn có ít nhất một trong 3 số m, n, p khác 0.
p #»
n #»
#»
#»
Giả sử m = 0, ta có m #»
a + n b + p #»
c = 0 ⇔ #»
a =− · b −
· c.
m
m
#» #»
#»
Suy ra ba véc-tơ a , b , c đồng phẳng.
Chọn đáp án B
Câu 28. Cho hình hộp ABCD.A1 B1 C1 D1 . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
# » # » # »

# » # » # »
A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng.
B. CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng.
# » # » # »
# » # » # »
C. CD1 , AD, A1 C đồng phẳng.
D. AB, AD, C1 A đồng phẳng.
✍Lời giải.
# » # » # » # »
Ta có AD = A1 D1 = A1 C + CD1
A
# » # » # »
suy ra CD1 , AD, A1 C đồng phẳng.

B
C

D
A1
D1

B1
C1

Chọn đáp án C
Câu 29. Cho hình hộp ABCD.EF GH. Gọi I là tâm của hình bình hành ABEF và K là tâm của hình
bình hành BCGF . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
# » # » # »
# » # » # »
A. BD, AK, GF đồng phẳng.

B. BD, IK, GF đồng phẳng.
Th.s Nguyễn Chín Em

18

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

# » # » # »
C. BD, EK, GF đồng phẳng.
✍Lời giải.
Vì I, K lần lượt là trung điểm của AF và CF
nên IK là đường trung bình của tam giác AF C
⇒ IK AC ⇒ IK (ABCD).
Mà GF (ABCD) và BD ⊂ (ABCD).
# » # » # »
Suy ra ba véc-tơ BD, IK, GF đồng phẳng.

# » # » # »
D. BD, IK, GC đồng phẳng.
E

H

F
I

G

K

D

A
B

C

Chọn đáp án B
Câu 30. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Khẳng định nào dưới đây là
khẳng định sai?
# » # » # »
# » # » # »
A. Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng.
B. Ba véc-tơ AB, AC, M N không đồng phẳng.
# » # » # »
# » # » # »
C. Ba véc-tơ AN , CM , M N đồng phẳng.
D. Ba véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng.
✍Lời giải.
# » 1 Ä # » # »ä
# » 1 Ä # » # »ä
Vì M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC suy ra M N =
AB + DC và M N =
BD + AC .
2
2
Khi đó, dựa vào các phương án, ta thấy rằng:
A

# » # » # »
# »
Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng là kết quả đúng, vì M N =
1 Ä # » # »ä
# » # » # »
AB + DC ⇒ AB, DC, M N đồng phẳng.
2
# » # » # »
M
Ba véc-tơ AB, AC, M N không đồng phẳng là kết quả đúng, vì
M N không nằm trong mặt phẳng (ABC).
# » # » # »
Ba véc-tơ AN , CM , M N đồng phẳng là kết quả sai, tương tự ta
D
thấy AN không nằm trong mặt phẳng (M N C).
B
# » # » # »
# »
Ba véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng là kết quả đúng, vì M N =
N
ä
Ä
1 # » # »
# » # » # »
C
BD + AC ⇒ BD, AC, M N đồng phẳng.
2
Chọn đáp án C
Câu 31. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M , N sao cho AM = 3M D,
BN = 3N C. Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào dưới đây là sai?

# » # » # »
# » # » # »
A. Ba véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng.
B. Ba véc-tơ M N , DC, P Q đồng phẳng.
# » # » # »
# » # » # »
C. Ba véc-tơ AB, DC, P Q đồng phẳng.
D. Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng.
✍Lời giải.
Theo giả thiết ta có M , N lần lượt là trung điểm của P D, QC.
A
Khi đó dựa vào các phương án, ta thấy rằng:
# » # » # »
Ba véc-tơ BD, AC, M N đồng phẳng là kết quả sai
# » # » # » # »
M N = M A + AC + CN
vì # » # » # » # »
P
M N = M D + DB + BN
# » # » # » # »
M
M N = M A + AC + CN
⇒
# » # »
# »
# »
3M N = 3M D + 3DB + 3BN
D
B
# » # »

# » 1# »
Suy ra 4M N = AC − 3BD + BC
2
Q
# » # » # »
N
⇒ BD, AC, M N không đồng phẳng.
C
# » # » # »
Ba véc-tơ M N , DC, P Q đồng phẳng là kết quả đúng
# » # » # » # »
M N = M P + P Q + QN
# » # » # »
vì # » # » # » # » ⇒ 2M N = P Q + DC
M N = M D + DC + CN
# » 1 Ä # » # »ä
# » # » # »
Suy ra M N =
P Q + DC ⇒ BD, AC, M N đồng phẳng.
2
Th.s Nguyễn Chín Em

19

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

# » # » # »

# »
Ba véc-tơ AB, DC, P Q đồng phẳng là kết quả đúng, vì với cách biểu diễn P Q tương tự như trên, ta
Ä
ä
# » 1 # » # »
AB + DC .
có P Q =
2

# » # » # »
Ba véc-tơ AB, DC, M N đồng phẳng là kết quả đúng, vì biểu diễn hoàn toàn giống phương án bên
# » 1# » 3# »
trên, ta được M N = AB + DC.
4
4

Chọn đáp án A
# »
# » # »
# » # »
# »
Câu 32. Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N được xác định bởi AM = 2AB−3AC (1); DN = DB+xDC
(2). Tìm x để các đường thẳng AD, BC, M N cùng song song với một mặt phẳng.
A. x = −1.

B. x = −2.

C. x = 1.

D. x = 2.

✍Lời giải.

# » # » # »
Yêu cầu bài toán tương đương với
x để ba véc-tơ M N , AD, BC đồng phẳng.
Ä # tìm
# »
# »
» # »ä
# »
# »
# »
Hệ thức (1) ⇔ AM = 2AB − 3 AB + BC ⇔ AM = −AB − 3BC.
Ä # » # » # »ä
# » # » # » # »
Hệ thức (2) ⇔ AN − AD = AB − AD + x DA + AB + BC
# »
# »
# »
# »
⇔ AN = (1 + x)AB − xAD + xBC.
# » # » # »
# »
# »
# »
Từ (1) và (2), suy ra M N = AN − AM = (2 + x)AB − xAD + (x + 3)BC.
# » # » # »
Vậy ba véc-tơ M N , AD, BC đồng phẳng khi 2 + x = 0 ⇔ x = −2.
Chọn đáp án B

Câu 33. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho AC = 3M C. Lấy điểm N
trên đoạn C D sao cho C N = xC D. Với giá trị nào của x thì M N BD .
2
A. x = .
3

1
B. x = .
3

1
C. x = .
4

1
D. x = .
2

✍Lời giải.
Gọi O là tâm của hình hình hành ABCD và I là trung điểm
của DD .
Nối C D cắt CI tại N ⇒ N là trọng tâm của tam giác CDD .
Ta có OI là đường trung bình của tam giác BDD .
Suy ra OI BD .
CN
CM
Mặt khác
=
nên M N OI.
CI

CO
Suy ra M N BD .
Theo bài ra ta có M N BD
2
2
⇒N ≡N ⇒CN = CD⇒x= .
3
3

C

M

B
O
A

D
N
I
C

D

B

A

Chọn đáp án A
Câu 34. Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A , B , C lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho

SA
SB
SC
= a,
= b,
= c, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Để mặt phẳng (A B C ) đi qua trọng tâm
SA
SB
SC
của tam giác ABC thì
A. a + b + c = 3.

B. a + b + c = 4.

C. a + b + c = 2.

D. a + b + c = 1.

✍Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

20

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
# » # » # » #»

Ta có GA + GB + GC = 0 .
# » # » # » # » #»
Khi đó 3GS + SA + SB + SC = 0 .
# » # »
# » # »
# »
# »
Mà SA = aSA , SB = bSB , SC = cSC .
#
»
#
»
#
»
# »
Suy ra 3SG = aSA + bSB + cSC
# » a# » b# » c# »
⇔ SG = SA + SB + SC .
3
3
3
A
Vì (A B C ) đi qua trọng tâm tam giác ABC
# » # » # »
nên GA , GB , GC đồng phẳng.
Do đó, tồn tại ba số l, m, n sao cho (l2 + m2 + n2 = 0) và
# »
# »
# » #»
lGA + mGB + nGC = 0

A
Ä # » # »ä
Ä # » # »ä
Ä # » # »ä #»
⇔ l GS + SA + m GS + SB + n GS + SB = 0
# »
# »
# »
# »
⇔ (l + m + n)SG = lSA + mSB + nSC .
# »
# »
# »
m
n
l
# »
⇒ SG =
SA +
SB +
SC
l+m+n
l+m+n
l+m+n
a # » b # » c # »
= · SA + · SB + · SC .
3
3
3
a b

c
l
m
n
Suy ra + + =
+
+
= 1 ⇒ a + b + c = 3.
3 3 3
l+m+n l+m+n l+m+n
Chọn đáp án A

S

C

C

G
B

B

Câu 35. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Điểm M xác định bởi đẳng thức véc-tơ
# » # » # » # »
AM = AB + AC + AD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M trùng G.
B. M thuộc tia AG và AM = 3AG.
C. G là trung điểm AM .
D. M là trung điểm AG.

✍Lời giải.
# » # » # »
# »
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên AB + AC + AD = 3AG.
# »
# »
Kết hợp giả thiết, suy ra AM = 3AG.
Chọn đáp án B
# » # » # » # »
Câu 36. Cho tứ diện ABCD. Điểm N xác định bởi AN = AB + AC − AD. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. N là trung điểm BD.
B. N là đỉnh của hình bình hành BCDN .
C. N là đỉnh của hình bình hành CDBN .
D. N trùng với A.
✍Lời giải.
# » # » # » # »
# » # » # » # »
# » # »
Ta có AN = AB + AC − AD ⇔ AN − AB = AC − AD ⇔ BN = DC.
Đẳng thức chứng tỏ N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN .
Chọn đáp án C
# » # »
Câu 37. Cho hình hộp ABCD.A B C D . Gọi M là điểm được xác định bởi đẳng thức véc-tơ M A + M B +
#
»
#
»
#
»
#

»
# » # »
#»
M C + M D + M A + M B + M C + M D = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M là tâm của mặt đáy ABCD.
B. M là tâm của mặt đáy A B C D .
C. M là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
D. Tập hợp điểm M là đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
✍Lời giải.
Gọi O = AC ∩ BD và O = A C ∩ B D .
# » # » # » # » #»
# » # » # » # » #»
Khi đó OA + OB + OC + OD = 0Ä và O A + ä
O BÄ + O C + Oä D Ä= 0 .
# » # » # » # »
# » # »
# » # »
# » # »ä Ä # » # »ä
Ta có M A + M B + M C + M D = M O + OA + M O + OB + M O + OC + M O + OD
# » # » # » # »
# » #»
# »
# »
= OA + OB + OC + OD + 4M O = 0 + 4M O = 4M O.
# » # » # » # »
# »
Tương tự, ta cũng có M A + M B + M C + M D = 4M O .
#
»
#

»
# » # » #»
# » # » # » # »
Từ đó suy ra M A + M B + M CÄ+ M D + M A
+ MB + MC + MD = 0 .
ä
# » #»
# » # » #»
# »
# » # »
#»
Suy ra 4M O + 4M O = 0 ⇔ 4 M O + M O = 0 ⇔ M O + M O = 0 .
Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của OO .
Chọn đáp án C
#»
# »
# »
Câu 38. Cho hình hộp ABCD.A B C D có tâm O. Đặt AB = #»
a , BC = b . Điểm M xác định bởi đẳng
Th.s Nguyễn Chín Em

21

/>

/>
Chương 3 - Hình học 11

# » 1 Ä #» #»ä
thức véc-tơ OM =

a − b . Khẳng định nào sau đây đúng?
2
A. M là trung điểm BB .
B. M là tâm hình bình hành BCC B .
C. M là trung điểm CC .
D. M là tâm hình bình hành ABB A .
✍Lời giải.
Gọi I, I lần lượt là tâm các mặt đáy ABCD, A B C D . Suy ra O là
A
B
I
trung điểm của II .
# » # »
Do ABCD.A B C D là hình hộp nên AB = DC.
D
C
# » 1 Ä #» #»ä 1 Ä # » # »ä
AB − BC
Theo giả thiết ta có OM =
a− b =
2
2
O
1 Ä # » # »ä 1 # » # »
=
DC + CB = DB = IB.
A
B
2
2

# » #»
Vì ABCD.A B C D là hình hộp nên từ đẳng thức OM = IB suy ra M
I
là trung điểm BB .
D
C
Chọn đáp án A
Câu 39. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai?
# » # » # » # » #»
# » 1 Ä # » # » # » # »ä
OA + OB + OC + OD .
A. GA + GB + GC + GD = 0 .
B. OG =
4Ä
Ä
ä
# » 1 # » # » # »
# » 2 # » # » # »ä
C. AG =
AB + AC + AD .
D. AG =
AB + AC + AD .
4
3
✍Lời giải.
# » # » # » # »
# »
Với mọi vị trí điểm O, ta có OA + OB + OC + OD = 4OG, chọn O ≡ A, ta được
# » # » # » # »
# »

# » 1 Ä # » # » # »ä
AA + AB + AC + AD = 4AG ⇔ AG =
AB + AC + AD .
4
# » 2 Ä # » # » # »ä
Vậy mệnh đề sai là AG =
AB + AC + AD .
3
Chọn đáp án D
Câu 40. Cho tứ diện ABCD. Gọi M vàÄ N lần lượtä là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích
# » # »
# »
hợp điền vào đẳng thức véc-tơ M N = k AD + BC .
A. k = 3.

1
B. k = .
2

1
D. k = .
3

C. k = 2.

✍Lời giải.
# » # » # » # »
AD = AM + M N + N D
Ta có # » # » # » # »
BC = BM + M N + N C.

# » # » # » # »
# » # » # »
Suy ra AD + BC = AM + BM + 2M N + N D + N C.
Mặt khác, do M , N là trung điểm của AB và CD nên
# » # » #»
AM + BM = 0
# » # » #»
ND + NC = 0 .
# » # »
# »
# » 1 Ä # » # »ä
AD + BC .
Vậy AD + BC = 2M N ⇒ M N =
2
1
Từ đó suy ra k = .
2

A

M

B

D
N
C

Chọn đáp án B
# » # »

Câu 41. Cho hình lập phương ABCD.EF GH có các cạnh bằng a, khi đó AB · EG bằng
√
√
√
a2 2
2
2
2
A. a 2.
B. a 3.
C. a .
D.
.
2
✍Lời giải.
Th.s Nguyễn Chín Em

22

/>