Rèn luyện kĩ năng cho học sinh giải các bài toán cực trị trong số phức bằng việc khai thác các bài toán cực trị trong hình học phẳng

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện,
năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo,
đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội.
Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một
yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp
dạy học môn Toán.
Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ rõ “Phương pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù
hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.”
Từ năm học 2016-2017, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi môn
Toán thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan.
Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà
trường. Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm
vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả
năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải
quyết nhanh nhất đến đáp án. Đây thực sự là một thách thức lớn.
Trong những năm trước đây, kể từ khi được đưa vào chương trình mới, các
bài toán về số phức xuất hiện thường xuyên trong các đề thi tốt nghiệp THPT,
tuyển sinh ĐH – CĐ, trong cấu trúc chung của đề thi giai đoạn này các bài toán
về số phức thường nằm ở mức độ “nhận biết, thông hiểu”, hầu hết học sinh chỉ
cần nắm chắc kiến thức cơ bản là có thể lấy điểm phần này. Tuy nhiên, kể từ khi
thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan, phần dành
cho các bài toán về số phức trong đề xuất hiện thêm nhiều bài toán khó ở mức
độ “vận dụng, vận dụng cao”, trong đó có lẽ lớp các bài toán về “cực trị số
phức” gây ra không ít khó khăn cho cả người dạy lẫn người học nhất. Bởi vậy,

1

tìm ra ngọn nguồn của bài toán đó sẽ góp phần giúp cho cả giáo viên, học sinh
tiếp cận bài toán một cách linh hoạt hơn, từ đó làm tăng tính hiệu quả trong việc
giảng dạy, ôn tập môn Toán nói chung và chủ đề số phức nói riêng.
Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề tôi phát hiện ra rằng: rất nhiều bài
toán khó về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài toán cực trị hình
học trong mặt phẳng, nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy về tính
toán sẽ rất cồng kềnh, phức tạp nên rất khó để giải quyết được vấn đề trong một
khoảng thời gian ngắn. Đây phải chăng là một hướng tiếp cận khoa học và triệt
để hơn? Áp dụng phương pháp đó có giúp học sinh giải quyết được vấn đề thời
gian khi giải toán? Có thể giúp giáo viên tự tạo ra được các bài toán tương tự để
phục vụ cho công tác giảng dạy của mình?
Những câu hỏi đó đã thôi thúc tôi tìm hiểu thông qua các tài liêu; đề thi thử,
chính thức các năm 2017 và 2018... Từ đó tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài “ Rèn
Luyện Kĩ Năng Cho Học Sinh Giải Các Bài Toán Cực Trị Trong Số Phức
Bằng Việc Khai Thác Các Bài Toán Cực Trị Trong Hình Học Phẳng”.
II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1. Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung
vào mối quan hệ giữa các kiến thức về số phức với các kiến thức về hình học tọa
độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài toán cực trị đặc trưng trong hình
học rồi chuyển hóa nó thành các bài toán cực trị trong tập số phức.
2. Phạm vi nghiên cứu: Để thực hiện đề tài này, tôi đã nghiên cứu dựa trên
các tài liệu viết về số phức, các dạng bài toán về cực trị số phức, cực trị trong
hình học phẳng (đã giảng dạy trong chương trình hình học lớp 10) cũng như các
dạng toán có liên quan thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ, đề
thi THPT quốc gia. Có nhiều phương pháp để giải quyết bài toán cực trị trong số
phức như biến đổi đại số sử dụng kiến thức về hàm số, kiến thức về BĐT, kiến
thức về vectơ,... tuy nhiên trong phạm vi nghiên cứu của đề tài tôi chỉ tập trung
vào các vấn đề chính như sau:

 Tiếp cận một số bài toán “cực trị trong số phức” theo hướng hình học.

2


 Đưa ra phương pháp xây dựng các bài toán tương tự để làm tài liệu
giảng dạy cho GV.
 Đưa ra các ví dụ minh họa cho lập luận của mình.
III. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1. Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh lớp
12 tiếp cận bài toán “cực trị trong số phức” một cách nhẹ nhàng, có hệ thống từ
đó cung cấp, rèn luyện cho các em các kỹ năng giải và trình bày dạng toán này.
Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề số phức thuộc bộ môn Toán ở
trường trung học Phổ thông.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đúc
rút các kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy từ đó xây dựng và trình bày một cách
có hệ thống các kiến thức, phương pháp giải toán và các bài tập điển hình của
bài toán “cực trị trong số phức”. Ghi chép và tổng hợp các kết quả thực nghiệm
thu được từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy.
IV. GIẢ THIẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:
Trong thực tiễn giảng dạy chủ đề số phức, ta bắt gặp các bài toán “cực trị
trong số phức”, nếu người giáo viên có thể hệ thống một cách ngắn gọn nhưng
đầy đủ lý thuyết, đồng thời xây dựng được hợp lý các phương pháp áp dụng lý
thuyết đó vào việc giải các bài tập điển hình thì sẽ giúp học sinh chủ động, tự tin
tiếp cận và giải quyết tốt các bài tập dạng này. Từ đó phát huy, khơi dậy khả
năng vận dụng sáng tạo các kiến thức đã học của học sinh vào việc giải toán
đồng thời gây hứng thú học tập cho các em.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Trong quá trình nghiên cứu, đề tài đã sử dụng những phương pháp sau:
Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.

Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo,
phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh
dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có rút kinh nghiệm về kết quả

3


thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và
đi đến kết luận.
Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học
sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học
sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng cho bài toán.
VI. DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI:
Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi đã áp dụng đề tài của mình và bước
đầu đã thu được những kết quả rất khả quan, hầu hết sau đó các em đều đã khá
chủ động và tự tin khi đối mặt với bài toán “cực trị trong số phức” nói chung.
Qua đó phát huy được tính tích cực, tư duy độc lập sáng tạo của mình trong việc
giải toán.
Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc bồi
dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT quốc gia .

4


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:
I.1. Cơ sở lý thuyết của đề tài:
a. Kiến thức cơ bản về số phức:
 Số i được gọi là đơn vị ảo và có i 2  1
 Dạng đại số của số phức

z

là z  a  bi , trong đó a, b  , a được gọi là

phần thực của số phức z , còn b được gọi là phần ảo của số phức z .
 Số phức liên hợp của số phức z  a  bi được kí hiệu là z và z  a  bi
 Hai số phức bằng nhau: Cho z1  a1  b1i, z2  a2  b2i , khi đó
a  a2
z1  z2   1
 b1  b2

 Các phép toán cộng, trừ, nhân trên hai số số phức: z1  a1  b1i, z2  a2  b2i


z1  z2   a1  a2    b1  b2  i



z1  z2   a1  a2    b1  b2  i



z1.z2   a1  b1i  a2  b2i   a1a2  a1b2i  b1a2i  b1b2i 2   a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i



kz1  ka1  kb1i , với k là số thực.

 Phép chia hai số phức:

z1 z1 z2  a1  b1i  a2  b2i 


, trong đó z2  0
z2 z2 .z2
a22  b22

b. Mô-đun số phức và một số mở rộng:
 Mô-đun số phức z  a  bi kí hiệu là z , được xác định: z  a 2  b 2 .
 Mở rộng:
zw  zw

z  z

zw  zw

z. z  z

z.w  z.w

z.w  z . w

 z z
 
w w

z
z


w
w

z 

n

  zn 

zn  z

2

n

5


c. Biểu diễn hình học của số phức và một số mở rộng:
 Biểu diễn hình học của số phức z  x  yi với x, y  trên mặt phẳng tọa độ
là điểm M  x; y  . Khi đó z  OM .
 Biểu diễn hình học của hai số phức

z

và z là hai điểm đối xứng nhau qua

trục Ox nên nếu quỹ tích điểm biểu diễn hai số phức

 C  ,  C ' thì hai hình đó cũng đối xứng nhau qua trục

 Nếu

điểm

biểu

diễn

của

hai

số

và z lần lượt là các hình

z

Ox .

phức

là

z1 , z2

A, B

thì


 z1  z2  AB
với M là trung điểm đoạn AB .

z

z

OA

OB

2O
M

 1 2

 Cho điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 là A, B . Số phức
mãn z  z1  z  z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức

z

z

thay đổi thỏa

là trung trực của đoạn

AB .

 Cho điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 là A, B . Số phức
mãn z  z1  z  z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức

z

z

thay đổi thỏa

là một đường thẳng.

 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức
thay đổi thỏa mãn z  z0  R  0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức

z

z

chính là

đường tròn tâm I bán kính R .
 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức
thay đổi thỏa mãn z  z0  R  0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức

z

z

là miền

trong đường tròn tâm I bán kính R .
 Cho z0 là một số phức không đổi có điểm biểu diễn là I , một số phức
thay đổi thỏa mãn z  z0  R  0 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức

z

z

là miền

ngoài đường tròn tâm I bán kính R .
 Cho hai số phức z1 , z2 không đổi có điểm biểu diễn là hai điểm A, B . Một số
phức

z

thay đổi thỏa mãn z  z1  z  z2  a  0 . Khi đó:

+) Nếu z1  z2  a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức

z

là đường E-lip

nhận A, B làm hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng a .
6


+) Nếu z1  z2  a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức

z

là đoạn thẳng AB .

I.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài:
Trong thực tế hiện nay khi gặp các dạng toán “cực trị trong số phức” được
phát triển từ bài toán “cực trị trong hình học phẳng” thường làm các học sinh kể
cả những học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát hiện nút thắt mấu chốt cho đến
cách xử lý. Đa số các em không nhận ra “bẫy” trong đề bài, sa đà vào tính toán,
gây mất thời gian mà thường không thu được kết quả mong đợi.
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian
để biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách
phối hợp giữa tư duy hình học và tính toán đại số.
Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hình học
thì làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngôn từ, giả thiết
khác thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúng
túng cứ như là gặp những bài toán mới.
Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũng
như cách giải đơn giản, thuận lợi để kết thúc bài toán.

7


II. CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
II.1. VẤN ĐỀ 1: Khai thác từ các bài toán cực trị liên quan đến
đường thẳng, đoạn thẳng:
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A và đường thẳng  d  .
Tìm điểm M chạy trên đường thẳng  d  sao cho độ dài đoạn AM nhỏ nhất .
a. Hướng dẫn giải:
A

d(M,d)
(d)
H

M

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  d  .
Khi đó AM  AH , nên độ dài đoạn AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình
chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng  d  và AM min  AH  d  M , d  .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên:
 Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức

z

sao cho quỹ tích nó

là một đường thẳng.
 Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun z  z0 với z0 là một số
phức đã biết.
 Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức z, z0 lần lượt là M , A .
Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức

z

là  d  . Khi đó bài toán số

phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được
một điều kiện ràng buộc số phức

z

để quỹ tích biểu diễn nó là đường thẳng.

Điều kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:
+) Cho số phức z  x  yi ( x, y  ) sao cho ax  by  c  0 (a, b, c  ) .
+) Cho số phức

z

thỏa mãn z  z1  z  z2 với z1 , z 2 là hai số phức đã biết.

8


c. Bài tập minh họa:
Bài tập 1: Cho số phức

z

có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng

 d  : 3x  4 y  3  0 . Tính giá trị nhỏ nhất của
A.

1
.
5

B.

z.

3
.
5

C.

4
.
5

D.

2
.
5

Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức

z  Min z  OM min  d  O; d  

3
5

Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn iz  3  z  2  i . Tính giá trị nhỏ nhất
của z .

A.

1
2

1
2

B.

C.

1
5

D.

1
5

Hướng dẫn giải:
Gọi số phức z  x  yi thỏa mãn iz  3  z  2  i
  y  3  xi  x  2   y  1 i

 x  2 y 1  0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  d  : x  2 y  1  0
Với mỗi điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi thi z  OM  OH với H
là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng  d  và OH là khoảng cách từ
điểm O lên đường thẳng  d 

Tính OH  d  O;  d   
Vậy z 

1.0  2.0  1
12  22



1
.
5

1
5

Bài tập 3: [Thi thử chuyên Võ Nguyên Giáp lần 1 năm 2017]
Biết số phức z  x  yi,  x, y   thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i có mô đun
nhỏ nhất. Tính P  x 2  y 2
A. P  8 .
B. P  10 .
C. P  16 .
D. P  26 .
Hướng dẫn giải:
Ta có z  x  yi,  x, y   . Ta có z  2  4i  z  2i  x  y  4  0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng  d  : x  y  4  0

9


Với mỗi điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi thì z  OM  OH với H

là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng  d  và OH là khoảng cách từ
điểm O lên đường thẳng  d 
Tính OH  d  O;  d   

1.0  1.0  4
12  12

2 2

Vậy z nhỏ nhất khi x  2, y  2 . Khi đó P  8 .
Bài tập 4: [Thi thử chuyên ĐH Vinh – Nghệ an - Lần 2 năm 2017]
Cho các số phức z, w thỏa mãn z  2  2i  z  4i , w  iz  1. Giá trị nhỏ nhất của
w là

A.

3 2
.
2

B. 2.

C.

2
.
2

D. 2 2.

Hướng dẫn giải:
Gọi A  2; 2  , B  0; 4  và M là điểm biểu diễn số phức z .
Từ đề bài ta có: MA  MB , hay quỹ tích điểm M là đường trung trực đoạn
AB  Quỹ tích điểm M

là đường thẳng  d  : x  y  2  0 .

1
i

Mà w  iz  1  i . z   z  i  IM với I  0;1  Min w  d ( I ; d ) 
Bài tập 5: Cho số phức

z

2
.
2

không phải số thuần ảo thỏa điều kiện

z 2  4  z  z  2i  . Giá trị nhỏ nhất của z  i bằng

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải:
 z  2i  z

Ta có z 2  4  z  z  2i   z  2i z  2i  z z  2i  

 z  2i (l )

.

Như vậy bài toán đã trở về dạng giống Bài tâp 4.
Bài tâp 6: [ Thi thử Sở GD – Long An - 2018] Cho các số phức

z

thỏa mãn

z  2  4i  z  2i . Giá trị nhỏ nhất của z  7  i là

A.

4 10
.
5

B. 3.

C.

3 10

.
5

D. 10.

Hướng dẫn giải:

10


 z  2i  z  2i  z  2i
Ta có 

 z  7  i  z  7  i  z  7  i

Bài toán trở thành: Cho các số phức

z

.
thỏa mãn z  2  4i  z  2i . Tìm giá trị

nhỏ nhất của z  7  i .
Như vậy bài toán đã trở về dạng giống Bài tâp 4.





Bài tâp 7: Cho số phức z thỏa mãn u   z  3  i  z  1  3i là một số thực. Tìm

giá trị nhỏ nhất của z
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y  R ) thì z  OM
Ta có: u   x  3   y  1 i   x  1   y  3 i   x 2  y 2  4 x  4 y  6  2  x  y  4  i
 u  R  x  y  4  0  M thuộc đường thẳng d: x – y + 4 = 0
z nhỏ nhất  OM nhỏ nhất
 OM  d (O; d )  2 2  z min  OM min  2 2

Bài tâp 8: Cho số phức z thỏa mãn: z 2  4  z ( z  2i) . Tìm giá trị nhỏ nhất của

z i
Hướng dẫn giải:
Gọi điểm M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi (x,y  R ) ,
I(0; -1) thì z  i  IM
 z  2i  0
Ta có z 2  4  z ( z  2i )  ( z  2i )( z  2i )  z ( z  2i )  
 z  2i  z
* z  2i  0  z = -2i  z + i = -i  z  i  1
* z  2i  z  x 2  ( y  2) 2  x 2  y 2  y  1  0  M  d : y  1  0

 z  i nhỏ nhất  IM nhỏ nhất  IM  d ( I ; d )  2  z  i  2
Từ hai trường hợp  Min z  i  1
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm phân biệt A , B và
đường thẳng  d  . Điểm M chạy trên đường thẳng  d  sao cho tổng độ dài đoạn
AM  BM

nhỏ nhất .Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính AM  BM .

a. Hướng dẫn giải: Ta xét hai trường hợp
+) Trường hợp 1 : hai điểm A , B nằm về hai phía đối với đường thẳng  d 

11


A
(d)
D

M

B

Ta có MA  MB  AB nên  MA  MB min  AB , đạt được khi M  AB  (d ) .
+) Trường hợp 2 : hai điểm A , B cùng phía đối với đường thẳng  d 
B
A
(d)
D

M

A'

Gọi điểm A ' là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng  d  . Khi đó
MA  MA '

 MA  MB  MA ' MB  A ' B

nên

 MA  MB min  A ' B ,

đạt

được

khi M  A ' B  (d ) .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên:
 Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức

z

sao cho quỹ tích nó

là một đường thẳng.
 Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun z  z1  z  z2 với z1 , z 2 là
một số phức đã biết.
 Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức z, z1 , z2 lần lượt là
M , A, B . Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là  d  . Khi đó bài toán

số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là phát hiện nhanh
yếu tố hình học ở giả thiết và kết luận, vẽ các yếu tố hình học lên hệ trục tọa độ
để xác định nhanh vị trí của A, B với đường thẳng  d 

12


c. Ví dụ minh họa:

Bài tâp 9: Cho các số phức

z

thỏa mãn z  1  z  1 . Giá trị nhỏ nhất của

z  2  4i  z  4  6i là:

A. 10  5.

B. 13.

C. 2 5

D. 2 10.

Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , từ điều kiện z  1  z  1 suy ra được
quỹ tích điểm M là trục Oy . Đặt A  2; 4  , B  4;6  thì A, B nằm về hai phía trục
Oy .

Khi đó z  2  4i  z  4  6i  MA  MB  AB  2 10.
Bài tâp 10: [ Thi thử THTT – Lần 3 - 2017] Cho các số phức

z

thỏa mãn

2 z  5  4i  2 z  3  4i . Giá trị nhỏ nhất của z  1  4i  z  1  i là

A. 5

B. 13.

C. 41

D. 10.

Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z .
5
2

3
2

Từ 2 z  5  4i  2 z  3  4i  z   2i  z   2i . Suy ra được quỹ tích điểm M
là đường thẳng  d  : x  4 y  2  0 .
Đặt A  1; 4  , B 1;1 thì P  z  3  i  z  4  i  MA  MB
Bài toán trở về: Tìm điểm M  (d): x + y – 2 = 0 sao cho P = MA + MB nhỏ
nhất
Ta có A, B nằm về cùng một phía với đường thẳng  d  . Điểm A '  3; 4  là
điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng  d  .
Khi đó z  1  4i  z  1  i  MA  MB  MA ' MB  A ' B  41 .
Bài tâp 11: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  2  i . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P  z  3  i  z  4  i .
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y  R )
2
2

2
Ta có: z  1  z  2  i   x  1  y 2   x  2    y  1  x  y  2  0
 M thuộc đường thẳng (d): x + y – 2 = 0
Gọi A(3; 1), B(4; -1) thì P  z  3  i  z  4  i  MA  MB

13


Bài toán trở về: Tìm điểm M  (d): x + y – 2 = 0 sao cho P = MA + MB nhỏ
nhất
Ta thấy A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d
Gọi A’(1 ; -1) là điểm đối xứng của A qua d.
B
Khi đó P  MA  MB  MA ' MB  A ' B  3 .
 Pmin = A’B = 3.

A
d
H

M'

M

A'

Bài tâp 12: Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  z  2i . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  z  2i  z  1  2i .
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y  R )

2
2
2
Ta có: z  2  2i  z  2i   x  2    y  2   x 2   y  2   x  2 y  1  0

B

 M thuộc đường thẳng (d): x - 2y + 1 = 0
Gọi A(0; 2), B(1; - 2) thì
P  z  2i  z  1  2i  x  ( y  2)i  x  1  ( y  2)i  MA  MB
Bài toán trở về: Tìm điểm M  (d): x - 2y +1 = 0
M'
M
sao cho P = MA + MB nhỏ nhất
Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d
A
 P = MA + MB ≥ AB. Dấu “=” xảy ra khi M  M’ = AB  d
 Pmin = AB  17
Ta còn có thể mở rộng bài toán như sau:
Bài tâp 13: Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  z  2i . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P  z  2i  z  1  2i .
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x+ yi (x,y  R )
2
2
2
Ta có: z  2  2i  z  2i   x  2    y  2   x 2   y  2   x  2 y  1  0
 M thuộc đường thẳng (d): x - 2y + 1 = 0
Gọi A(0; 2), B(1; - 2) thì
P  z  2i  z  1  2i  x  ( y  2)i  x  1  ( y  2)i  MA  MB

Bài toán trở về: Tìm điểm M  (d): x - 2y +1 = 0 sao cho P  MA  MB lớn
nhất
Ta thấy A, B thuộc hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d.
 P  MA  MB  MA ' MB  A ' B
Dấu “=” xảy ra khi M  M’ = A’B  d
14

d


Gọi H = AA’  d  H  d và H là trung điểm AA’.
Do H  d  H(2y – 1; y)  AH  (2 y  1; y  2)
4
 AH .ud  5 y  4  0  y 
5
3 4
 6 2 
M'
 H ( ; )  A ' ; 
5 5
5 5 
65
 Pmax = A’B =
.
5

B
A'
d

H

M

A

Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I và đoạn thẳng AB .
Điểm M chạy trên đoạn thẳng AB sao cho độ dài đoạn IM nhỏ nhất. Khi đó hãy
tìm vị trí điểm M và tính độ dài IM .
a. Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng  AB  .Ta xét hai
trường hợp
+) Trường hợp 1 : Điểm H nằm trong đoạn AB
I

M

A

H

B

Dễ dàng thấy IM min  IH và IM max  max IA; IB .
+) Trường hợp 2 : điểm H nằm ngoài đoạn AB
I

A

M

B

H

Dễ dàng thấy IM min  min IA; IB và IM max  max IA; IB .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên:
 Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức

z

sao cho quỹ tích nó

là một đoạn thẳng.
15


 Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của mô-đun z  z0 với z0 là
một số phức đã biết.
 Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức z, z0 lần lượt là M , I .
Gọi đoạn thẳng biểu diễn quỹ tích số phức

z

là AB . Khi đó bài toán số phức trở

về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được
một điều kiện ràng buộc số phức

z

để quỹ tích biểu diễn nó là đoạn thẳng. Điều

kiện kiểu này chủ yếu dựa vào tính chất: điểm M thuộc đoạn thẳng AB khi và
chỉ khi MA  MB  AB . Tính chất này viết theo ngôn ngữ số phức sẽ có một số
dạng sau:
+) Cho số phức

z

thỏa mãn z  z1  z  z2  a với z1 , z 2 là hai số phức đã biết

và z1  z 2  a .(Đây là dạng suy biến của Elip như đã trình bày ở phần cơ sở lý
thuyết).
+) Cho số phức

z

thỏa mãn z  z1  z  z2 nhỏ nhất với z1 , z 2 là hai số phức đã

biết.
Hoặc có thể tạo ra quỹ tích điểm biểu diễn

z

là phần đường thẳng bị giới hạn

ở miền trong đường tròn, elip. Chẳng hạn như:

+) Cho số phức bị ràng buộc bởi điều kiện để quỹ tích của nó là một đường
thẳng, điều kiện còn lại là z  z 0  r hoặc z  z1  z  z2  2a .
c. Ví dụ minh họa:
Bài tâp 14: [ Thi thử THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018] Xét số phức

z

thỏa

mãn z  2  i  z  4  7i  6 2 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của z  1  i . Tính P  m  M .
A. 13  73 .

B.

5 2  2 73
.
2

C. 5 2  2 73 .

D.

5 2  73
.
2

Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , gọi A  2;1 , B  4;7  .

16


Từ giả thiết z  2  i  z  4  7i  6 2  MA  MB  AB  Quỹ tích điểm M chính là
đoạn thẳng AB .
Gọi I 1; 1 thì z  1  i  IM .
Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng  AB 
nằm trong đoạn AB . Lại có: IA  13, IB  73, d ( I ; AB) 

5 2  2 73
5 2
.
P
2
2

Bài tâp 15: [ Thi thử THPT Trần Hưng Đạo – Ninh Bình - 2018]
Xét số phức

z

thỏa mãn z  1  2i  z  2  2i nhỏ nhất . Gọi m , M lần lượt là giá trị

nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z  4i . Tính P 
A. P  2 .

B. P  2 2 .

M
.

m

C. P  2 5 .

D. P  5 2 .

Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , gọi A  1; 2  , B  2; 2  .
Ta có z  1  2i  z  2  2i  MA  MB  AB , nghĩa là z  1  2i  z  2  2i nhỏ nhất
thì quỹ tích điểm M chính là đoạn thẳng AB .
Gọi I  0; 4  thì z  4i  IM .
Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng  AB 
nằm ngoài đoạn AB . Lại có: IA  5, IB  2 10  P  2 2 .
Bài tâp 16: Xét số phức

z

 z  2  z  8  8i
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
 z  5

thỏa mãn 

z  4i

A. 4 .

B. 3 .

C.

6 5
.
5

D. 2 5 .

Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z .
Vì z  2  z  8  8i nên M thuộc đường thẳng  d  : 2x  y  10  0 .
Mà z  5 nên M thuộc miền trong đường tròn  C  : x 2  y 2  25 .

17


Lại có  d  cắt  C  tại hai điểm phân biệt A(3; 4), B(5;0) nên quỹ tích điểm
M là đoạn thẳng AB . Gọi I  0; 4  thì z  4i  IM .

Vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng

 d  nằm ngoài đoạn

AB mà IA  41, IB  3 nên z  4i min  3 .

Bài tâp 17: Cho số phức z thỏa mãn z  1  i  z  3  2i  5 . Gọi M, m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M+ m.
Hướng dẫn giải:
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi
 z  OM .
Đặt A(1; 1), B(3; 2). Khi đó

z  1  i  z  3  2i  5  MA  MB  5  AB
 MA  MB  AB  M thuộc đoạn thẳng AB.
Ta có:
AO. AB  3  OAB tù nên OA  OM  OB

B
M
A

O

 M  Max z  OB  13 , m  Min z  OA  2  M  m  13  2
Bài tâp 18: Cho số phức z thỏa mãn z  2  i  z  4  7i  6 2 . Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  1  i .
Hướng dẫn giải:
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi.
Gọi A(-2; 1), B(4; 7), I(1; -1)  z  1  i  MI
Ta có: z  2  i  z  4  7i  6 2  MA  MB  AB
 M thuộc đoạn thẳng AB.
Ta lại có:
AI . AB  6; BI .BA  66  IAB và IBA nhọn
 Max z  1  i  Max{IA, IB}  73

Min z  1  i  d ( I ; AB)

B
M
A

I

II.2. VẤN ĐỀ 2: Khai thác từ các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn.
Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A và đường tròn  C  có
tâm I bán kính R . Điểm M thay đổi trên đường tròn  C  . Xác định vị trí điểm
M để độ dài đoạn AM đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này.

18


a. Hướng dẫn giải: Ta xét ba trường hợp
+) Trường hợp 1: Điểm A nằm ở miền ngoài đường tròn  C 
(C)
M

R
C

I

B

A

AM min  AB  AI  R và AM max  AC  AI  R

+) Trường hợp 2: Điểm A nằm ở trên đường tròn  C 
(C)
M

R

A

C

I

B

AM min  0 và AM max  AC  2R

+) Trường hợp 3: Điểm A nằm ở miền trong đường tròn  C 
(C)
R
B

A

C

I
M

AM min  AB  R  AI và AM max  AC  AI  R

b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên:
 Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức

z

sao cho quỹ tích nó

là một đường tròn.
 Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun z  z0 với z0 là một số
phức đã biết.
19


 Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức z, z0 lần lượt là M , A .
Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức

z

là  C  . Khi đó bài toán số phức trở

về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được
một điều kiện ràng buộc số phức

z

để quỹ tích biểu diễn nó là đường tròn. Điều

kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:
+) Cho số phức

z

thỏa mãn z  z0  R với z0 là hai số phức đã biết.

+) Cho số phức

z

thỏa mãn z  z1  k z  z2 với z1 , z 2 là hai số phức đã biết và

k  0.

c. Ví dụ minh họa:
Bài tâp 19: Cho số phức z thỏa mãn: z  3  4i  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
Hướng dẫn giải:
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì z  OM . Ta có:

z  3  4i  4   x  3   y  4   16
 M thuộc đường tròn (C) tâm I(3; -4) bán kính R  4
 Min z  OM min  OI  R  5  4  1
2

2

Max z  OM max  OI  R  5  4  9
Bài tâp 20: Cho số phức z thỏa mãn: z  2  3i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
z 1 i

Hướng dẫn giải:
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi  N(x; - y) là điểm
biểu diễn của z  x  yi
Gọi A(- 1; - 1)  z  1  i  AN
Ta có: z  2  3i  1   x  2    y  3  1

 N thuộc đường tròn (C) tâm I(2; 3) bán kính
 z  1  i  AN min  AI  R  5  1  4
2

2

min

z 1 i

m ax

 AN m ax  AI  R  5  1  6

Bài tâp 21: Cho số phức z thỏa mãn

z 2i
 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn
z 1 i

nhất của z

20


Hướng dẫn giải:
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì z  OM .

z 2i
 2  x  2   y  1 i  2 x  1   y  1 i

z 1 i
2
2
2
2
2
  x  2    y  1  2  x  1   y  1   x 2   y  3  10


 M thuộc đường tròn (C) tâm I(0;-3) bán kính R  10
 Min z  OM min  OI  R  10  3
Ta có:

Max z  OM max  OI  R  10  3

 z  3  4i  1 
Bài tâp 22: Cho số phức z thỏa mãn log 1 
  1 . Tìm giá trị nhỏ
2
z

3

4
i

8
3

nhất và lớn nhất của z .

Hướng dẫn giải:
Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn hình học của z = x + yi thì z  OM .
 z  3  4i  1 
z  3  4i  1 1
  z  3  4i  5
Ta có: log 1 
 1
2
z

3

4
i

8
2
z

3

4
i

8
3
3

2
2

  x  3   y  4   52  Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn
(C) tâm I(3; - 4) bán kính R  5
 Min z  OM min  OI  R  5  5  0
 Min z  0 và Max z  10
Max z  OM max  OI  R  5  5  10
Bài tâp 23: [ Thi thử GD Hà Tĩnh – 2018] Trong các số phức

z

thỏa

mãn z   2  4i   2 gọi z1 và z2 là số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất.
Tổng phần ảo của hai số phức z1 và z2 bằng :
A. 8i .

C. 8 .

B. 4 .

D. 8 .

Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z .
Vì z   2  4i   2 nên quỹ tích điểm M là đường tròn  C  tâm I  2; 4  bán kính
R 2.

Phương trình đường thẳng

OI

là y  2 x

Tọa độ hai điểm là nghiệm của hệ phương trình
 y  2 x
 y  2x


 2
2
2
2
5 x  20 x  16  0
 x  2    y  4   2

21


2
4 
2
4 


  x; y    2 
;4 
;4 
 hoặc  x; y    2 

5
5

5
5



Số phức

z

có môđun lớn nhất là z  2 

2 
2
4 
4 

4
;4 
 i . Với M  2 

5 
5
5
5


Số phức

z

có môđun nhỏ nhất là z  2 

2 
2
4 
4 

4
;4 
 i . Với N  2 

5 
5
5
5


Vậy tổng phần ảo của hai số phức là 4 

4
4
4
8 .
5
5

Bài tâp 24: [Đề minh họa BGD – 2017] Cho số phức

z

có z  2 thì số phức

w  z  3i có modun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là

A. 2 và 5.

B. 1 và 6.

C. 2 và 6.

D. 1 và 5.

Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z .
Vì z  2 nên quỹ tích điểm M là đường tròn  C  tâm O bán kính R  2 .
Đặt A(0; 3) thì w  z  3i  AM .
Dễ thấy điểm A nằm ngoài đường tròn  C  nên w min  AM min  AO  R  1
và w max  AM max  AO  R  5 .
Bài tâp 25: [ Thi thử THPT Can Lộc – Hà Tĩnh - 2017] Cho số phức

z

thoả

z  3  4i  2 và w  2 z  1  i . Khi đó w có giá trị lớn nhất là:

A. 16  74 .

B. 2  130 .

C. 4  74 .

D. 4  130 .

Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Ta có:
z  3  4i  2  Quỹ tích điểm M là đường tròn  C  tâm I  3; 4  bán kính R  2 .
1
2

1 1
2 2

Đặt A( ; ) thì w  2 z  1  i  2 z  

i
 2AM .
2

Ta có: w max  2 AM max  2( AI  R)  4  130 .
Bài tâp 26: Cho số phức
điều kiện

z,

tìm giá trị lớn nhất của | z | biết rằng

z

thoả mãn

2  3i
z 1  1
3  2i

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 2.
22


Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức
Theo bài ra :

z  z  OM

.

2  3i
2  3i
3  2i
z 1  1 
z
 1  z  i  1 nên quỹ tích điểm
3  2i

3  2i
2  3i

M là đường tròn  C  tâm I  0; 1 bán kính R  1 .

Dễ thấy điểm O nằm trên đường tròn  C  nên z max  2 R  2 .
Bài tâp 27: Cho số phức

z

3
2

thỏa mãn z  3  2 z và min z   2i  a  b 2 . Tính

giá trị của a  b .
A. 1 .

B. 2 2 .

C.

1
.
2

D.

4
.

3

Hướng dẫn giải:
Đặt z  x  yi với x, y  .
Từ z  3  2 z   x  3  y 2  2  x 2  y 2 
2

 x 2  y 2  6x  9  0   x  3  y 2  18  z  3  3 2
2

Gọi M là điểm biểu diễn số phức

z

.

thì quỹ tích M là đường tròn tâm I (3;0) ,

bán kính R  3 2 .
Đặt A   ; 2  thì z   2i  AM . Dễ thấy điểm A nằm ở miền trong đường
2
 2

3

3

5
2

1
2

tròn  C  nên AM min  R  AI    3 2  a  b  .
Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) và đường tròn

 C  có tâm

I bán kính R không có điểm chung. Điểm M thay đổi trên đường

tròn  C  , điểm N thay đổi trên đường thẳng (d ) . Xác định vị trí hai điểm M , N
để độ dài đoạn MN giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này.

23


a. Hướng dẫn giải:

I
R

M

A

N

H

MN min  AH  d ( I , d )  R .

b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán
trên:
 Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z1 sao cho quỹ tích
điểm biểu diễn nó là một đường tròn, tạo một điều kiện ràng buộc số phức z2
sao cho quỹ tích điểm biểu diễn nó là một đường thẳng.
 Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất của mô-đun z1  z2 .
 Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức z 1 , z2 lần lượt là M , N .
Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức z1 là  C  , đường thẳng biểu diễn số
phức z2 là  d  . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Khi học sinh đã nắm vững bài toán 1 và 3 thì cũng sẽ dễ dàng
hình dung được con đường hình học để giải quyết bài toán này.

c. Ví dụ minh họa:
 z1  i  z1  1
. Tìm giá trị nhỏ nhất
 z2  1  i  1

Bài tâp 28: Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 
của z1  z2 .
A. 2 .

B. 1 .

C. 2  1 .

D.

1
.

2

24


Hướng dẫn giải:
Gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 .
 z1  i  z1  1

Theo bài ra 

 z2  1  i  1

 d  : x  y  0 và quỹ tích điểm

, suy ra quỹ tích điểm M là đường thẳng

N là đường tròn  C  tâm I 1;1 có bán kính R  1 .

Vẽ hình trực quan dễ thấy  C  và  d  không có điểm chung, mà
z1  z2  MN nên z1  z2 min  MN min  d  I , d   R  2  1.

Bài tâp 29: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  5  5, z2  1  3i  z2  3  6i .
Tìm giá trị nhỏ nhất của z1  z2 .
Hướng dẫn giải:
Giả sử M (a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1  a  bi , N (c; d ) là điểm
biểu diễn của số phức z2  c  di

(a  5) 2  b 2  25
 z1  5  5

Ta có 

z

1

3
i

z

3

6
i

8c  6d  35
2
2


 M thuộc đường tròn (C ) :( x  5)2  y 2  25 và N thuộc

d'
L

M

d
I

N

đường thẳng d : 8 x  6 y  35 .
H

Ta thấy đường thẳng d không cắt (C ) và z1  z2  MN .

K

Bài toán trở thành: Cho M chạy trên đường tròn (C ) :( x  5)2  y 2  25 và N
chạy trên đường thẳng d : 8 x  6 y  35 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của MN.
Đường tròn (C) có tâm I(-5; 0), bán kính R = 5.
Gọi d’ là đường thẳng qua I, vuông góc với d, cắt đường tròn (C) lần lượt tại K,
L. Ta có: MN nhỏ nhất khi M  K, N  H.
Khi đó: MNmin = d(I, d) – R = 7,5 – 5 = 2,5
Bài tâp 30: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  i  5, z2  5  z2  7 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của z1  z2 .
Hướng dẫn giải:

25