ON THI MON TOAN VAO THPT- 2010.TOP
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (391.17 KB, 47 trang )
Giáo án ôn thi vào THPT- Môn Toán Năm : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
CHUYÊN Đ ề : PHƯƠNG TRìNH Hệ PHƯƠNG TRìNH
I/ PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH - BT PHNG TRèNH
(Bc nht)
A. KIN THC C BN
1. Phng trỡnh bc nht mt n
- Quy ng kh mu.
- a v dng ax + b = 0 (a 0)
- Nghim duy nht l
b
x
a
=
2. Phng trỡnh cha n mu
- Tỡm KX ca phng trỡnh.
- Quy ng v kh mu.
- Gii phng trỡnh va tỡm c.
- So sỏnh giỏ tr va tỡm c vi KX ri kt lun.
3. Phng trỡnh tớch
giỏi phng trỡnh tớch ta ch cn gii cỏc phng trỡnh thnh phn ca nú. Chng
hn: Vi phng trỡnh A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=
=
=
4. Phng trỡnh cú cha h s ch (Gii v bin lun phng trỡnh)
Dng phng trỡnh ny sau khi bin i cng cú dng ax + b = 0. Song giỏ tr c th
ca a, b ta khụng bit nờn cn t iu kin xỏc nh s nghim ca phng trỡnh.
- Nu a 0 thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht
b
x
a
=
.
- Nu a = 0 v b = 0 thỡ phng trỡnh cú vụ s nghim.
- Nu a = 0 v b 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
5. Phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i
Cn chỳ ý khỏi nim giỏ tr tuyt i ca mt biu thc
A khi A 0
A
A khi A 0
=
<
6. H phng trỡnh bc nht
Cỏch gii ch yu da vo hai phng phỏp cng i s v th. Chỳ ý phng phỏp
t n ph trong mt s trng hp xut hin cỏc biu thc ging nhau c hai phng
trỡnh.
7. Bt phng trỡnh bc nht
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Nguyễn Văn Liệu 1 THCS Quảng Đông
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất
phương trình.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1. Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
V
ậy phương trình có nghiệm x = 6.
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔
= − ∈
Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
- Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
- Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
- Xét
x 7≥
:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 2 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD2. Giải và biện luận phương trình sau:
a)
2 2
x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− =
(1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
- Nếu b – a ≠ 0
b a⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
- Nếu b – a = 0
b a⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
- Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
- Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1
≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
- Nếu a + 1 ≠ 0
a 1⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+
- Nếu a + 1 = 0
a 1⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
- Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
- Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3. Giải các hệ phương trình sau
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8
+ − =
+ =
+ =
+ −
− + =
− =
− =
− =
− +
Giải
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 3 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
= −
+ = = − = − =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− − =
− = − = = =
hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
⇔ ⇔ ⇔
− = − = − = =
b) ĐK:
x y≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1
3
u v
u
u v
8
88
=
+ =
=
⇔ ⇔
+ =
=
− + =
Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =
⇔
− = =
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
− = + − + = + = =
C. MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1: Giải các phương trình sau
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 4 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82;b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) ;d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e) ;f ) x 3 5
x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6;h) 2 x 3 2x 1 4
i) x 2 x 3 2x 1;k) 5 3x x 3 3x 1 x 2
4x 3 x 1 2x 3 x 2
l)
3 6 2 4
+ −
+ − − = − + − = −
+ + + + − −
+ = + − =
+ − −
+
− = + =
− −
− = + − − + =
− + − = + + < − +
+ − − +
− > −
2: Giải và biện luận các phương trình sau
( )
2
2
2
x a x b
a) b a
a b
b) a x 1 3a x
ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
− −
+ = +
− − =
+ +
− =
− −
− +
+ = +
− + − +
3: Cho hệ phương trình
( )
m 1 x y 3
mx y m
+ − =
+ =
a) Giải hệ với m = -
2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.
4: Cho hệ phương trình
+=+
=+
1
2
mymx
myx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Chứng tỏ rằng
∀
m
1±≠
hệ luôn có nghiệm duy nhất
c) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x + y < 0
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm nguyên duy nhất
5: Cho hệ phương trình
=+−
=+−
222
4
2
yx
myxm
(1)
a) Giải hệ phương trình khi m = 1 (2)
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 5 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) Tìm giá trị của m để hai đường thẳng(1) và (2) của hệ cắt nhau tại một điểm
thuộc góc phần tư thứ II của hệ trục Oxy
6: Cho hệ phương trình
=+
=−
42
2
myx
ymx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức: 2x - y +
1
2
2
2
=
+
+
m
m
7: Cho hệ phương trình
−=−
=+
43ny2mx
3nymx
1. Giải hệ phương trình với n = m = 1
2. Tìm giá trị của n và m để x = 2; y = 1 là nghiệm của hệ phương trình
8: Cho hệ phương trình :
=+
=+−
13
52
ymx
ymx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1 .
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nằm trong góc phần tư thứ I
c) Tìm m để x – y = 2 .
9: Cho hệ phương trình
=+
−=−
12
7
2
yx
yxa
a) Giải hệ phương trình khi a = 1
Gọi nghiệm của hệ phương trình là ( x , y) Tìm các giá trị của a để x + y = 2
10: Cho hệ phương trình .
=+
=−
nyx
nymx
2
5
a, Giải hệ khi m = n = 1 ; b, Tìm m , n để hệ đã cho có nghiệm
+=
−=
13
3
y
x
II/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc
nhất một ẩn .
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các dạng và cách giải
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 6 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng 1: c = 0 khi đó:
( ) ( )
2
x 0
1 ax bx 0 x ax+b 0
b
x
a
=
⇔ + = ⇔ = ⇔
= −
Dạng 2: b = 0 khi đó
( )
2 2
c
1 ax c 0 x
a
−
⇔ + = ⇔ =
- Nếu
c
0
a
−
≥
thì
c
x
a
−
= ±
.
- Nếu
c
0
a
−
<
thì phương trình vô nghiệm.
Dạng 3: Tổng quát
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG
QUÁT
CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
2
b 4ac∆ = −
2
' b' ac∆ = −
0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân
biệt
1 2
b b
x ; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
' 0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân
biệt
1 2
b' ' b' '
x ; x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b
x x
2a
−
= =
' 0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x x
a
−
= =
0∆ <
: phương trình vô nghiệm
' 0∆ <
: phương trình vô nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn
dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích.
3. Hệ thức Viet và ứng dụng
- Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2
1 2
b
S x x
a
c
P x x
a
= + = −
= =
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 7 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Nếu có hai số u và v sao cho
u v S
uv P
+ =
=
( )
2
S 4P≥
thì u, v là hai nghiệm của
phương trình x
2
– Sx + P = 0.
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
c
a
.
- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= -1; x
2
=
c
a
−
.
4. Điều kiện có nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0)
- (1) có 2 nghiệm
0∆ ≥
; có 2 nghiệm phân biệt
0∆ >
.
- (1) có 2 nghiệm cùng dấu
0
P 0
∆ ≥
>
.
- (1) có 2 nghiệm dương
0
P 0
S 0
∆ ≥
>
>
- (1) có 2 nghiệm âm
0
P 0
S 0
∆ ≥
>
<
- (1) có 2 nghiệm trái dấu ac < 0 hoặc P < 0.
5. Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện nào đó.
2 2
1 2 1 2
1 2
2 2 3 3
1 2 1 2
1 1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t; ...
α + β = γ + = + =
+ ≥ + =
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thức Viet và phương pháp giải hệ
phương trình.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1. Giải các phương trình sau
2 2 2
1
a) 3x 2x 0 b) x 8 0 c) x 3x 10 0
2
+ = − + = + − =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
d) 2x 2 1 x 1 2 2 0; e) x 4 x 3 0; f ) x 1 x 2 x 3 x 4 3+ − + − = − + = + + + + =
Gi
ải
( )
2
x 0
a) 3x 2x 0 x 3x 2 0
2
x
3
=
+ = ⇔ + = ⇔
= −
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 8 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2
1
b) x 8 0 x 16 x 4
2
− + = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..
( )
2 2
1 2
c) a 1; b 3; c 10
b 4ac 3 4.1. 10 49 0
b 3 7 b 3 7
x 2; x 5
2a 2.1 2a 2.1
= = = −
∆ = − = − − = >
− + ∆ − + − − ∆ − −
= = = = = = −
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..
d) a 2; b 2 1; c 1 2 2= = − = −
Có
a b c 2 2 1 1 2 2 0+ + = + − + − =
Theo hệ thức Viet, có:
1 2
c 1 2 2 2 4
x 1; x
a 2
2
− −
= = = =
e) Đặt
t x 0= ≥
, ta có pt mới: t
2
– 4t + 3 = 0.
Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0.
Vậy t
1
= 1; t
2
= 3.
Suy ra: x
1
= 1; x
2
= 9.
f)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 5x 4 x 5x 6 3+ + + + = ⇔ + + + + =
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t, ta có:
t .(t + 2) = 3
( ) ( )
2
t 1
t 2t 3 0 t 1 t 3 0
t 3
=
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔
= −
Suy ra:
2 2
1 2
2 2
x 5x 4 1 x 5x 3 0
5 13 5 13
x ; x
2 2
x 5x 4 3 x 5x 7 0
+ + = + + =
− + − −
⇔ ⇔ = =
+ + = − + + =
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2. Cho phương trình x
2
+ 3x – m = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 4.
b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
1. 2x
1
+ 3x
2
= 13.
2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị.
3. x
1
2
+ x
2
2
= 11.
e) Chứng tỏ rằng
1 2
1 1
;
x x
là nghiệm của phương trình mx
2
– 3x – 1 = 0. Trong đó x
1
, x
2
là
hai nghiệm của (1).
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về hai nghiệm
đó.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 9 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
a) Với m = 4 ta có: x
2
+ 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
Theo hệ thức Viet, có: x
1
= 1; x
2
=
c
4
a
= −
b) có:
2
b 4ac 9 4m∆ = − = +
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3 9 4m b 3 9 4m
x ; x
2a 2 2a 2
∆ > ⇔ + > ⇔ > −
− + ∆ − + + − − ∆ − − +
= = = =
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3
x x
2a 2
∆ = ⇔ + = ⇔ = −
−
= = = −
9
0 9 4m 0 m
4
∆ < ⇔ + < ⇔ < −
phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó:
(-2)
2
+ 3(-2) – m = 0
⇔
m = -2
- Tìm nghiệm thứ hai
cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x
2
+ 3x + 2 = 0
có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x
1
= -1; x
2
=
c
2
a
−
= −
Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.
Cách 2: Ta có x
1
+ x
2
=
b
a
−
( )
2 1
b
x x 3 2 1
a
⇒ = − − = − − − = −
Cách 3: Ta có x
1
x
2
=
c
a
2 1
c m
x : x 1
a 2
−
⇒ = = = −
−
d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 3x
2
= 13
1 2
1 2
1 2
0
b
x x
a
c
x x
a
2x 3x 13
∆ ≥
+ = −
⇔
=
+ =
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 10 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 2
1 2
1 2
9
m
4
x x 3
x x m
2x 3x 13
≥ −
+ = −
⇔
= −
+ =
giải hệ tìm được x
1
= -22; x
2
= 19; m = 418.
- Tương tự ta tìm được (x
1
= -2; x
2
= -3; m = -6); (m=1)
e) Ta có
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 x x 3
x x x x m
1 1 1 1
.
x x x .x m
+
+ = =
= = −
mà
2
2 2
3 1 9 4 9 4m
4 0
m m m m m
+
− − = + = ≥
÷ ÷
Vậy
1 2
1 1
;
x x
là hai nghiệm của phương trình
2 2
3 1
x x 0 mx 3m 1 0
m m
− − = ⇔ − − =
f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
9
0
m
9
m 0
4
P 0
4
m 0
∆ ≥
≥ −
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
>
− >
Hai nghiệm này luôn âm. Vì S = - 3.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Giải các phương trình sau
( )
2 2 2 2
a) x 5x 0 b) 2x 3 0 c) x 11x 30 0 d) x 1 2 x 2 0− = + = − + = − + + =
( )
2
4 2
e) x 7x 12 0 f) x 2 5 x 2 6 0− + = − − − + =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 x 4
g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20
x 4 x x 2 x x 2
−
− + = + + + − = −
− − +
2 2 2
2
1 1
i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0
x x
− − − − = + − + + =
÷
Bài 2: Cho phương trình
2
x 2 3x 1 0− + =
, có hai nghiệm x
1
, x
2
. Không giải phương trình.
Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
2 2
2 2 3 3
1 1 2 2
1 2 1 2
3 3
1 2 1 2
3x 5x x 3x
A x x ; B x x ; C
4x x 4x x
+ +
= + = + =
+
Bài 3: Cho phương trình x
2
+ mx + m+3 = 0.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x
1
2
+ x
2
2
; x
1
3
+ x
2
3
theo m.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 11 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
d) Xác định giá trị của m để x
1
2
+ x
2
2
= 10.
e) Tìm m để 2x
1
+ 3x
2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.
Bài 4: Cho phương trình bậc hai: mx
2
– (5m-2)x + 6m – 5 = 0.
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
Bài 5: Cho phương trình x
2
– mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam số m.
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có)
cùng giá trị tương ứng của m.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
– 6x
1
x
2
.
+) Chứng minh A = m
2
– 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m.
Bài 6*: Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với abc ≠ 0.
a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
.
b) Lập phương trình nhận hai số
( ) ( )
1 2
x ; x+ α + α
làm nghiệm.
c) Lập phương trình nhận hai số
1 2
x ; xα α
làm nghiệm.
d) Lập phương trình nhận hai số
1 2
1 1
;
x x
làm nghiệm.
e) Lập phương trình nhận hai số
1 2
2 1
x x
;
x x
làm nghiệm.
Bài 7: Cho phương trình x
2
+ (m + 2)x + 2m = 0.
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
b) Phương trình có một nghiệm x = 3. Tìm m và nghiệm còn lại.
c) Tìm m để
1 2
2 1
x x
2
x x
+ =
.
d) Tìm m để
( ) ( )
1 2 1 2
2x x x 2x 0+ + ≥
.
e) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Có nhận xét gì về hai nghiệm đó.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 12 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 8: Cho phương trình x
2
– 2 (m + 1 )x + m
2
- 2m + 3 = 0 (1).
a) Giải phương trình với m = 1 .
b) Xác định giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 . Tìm nghiệm kia .
Bài 9: Cho phương trình x
2
– ( m+1)x + m
2
– 2m + 2 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 2 .
b) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó .
Với giá trị nào của m thì
2
2
2
1
xx +
đạt giá trị bé nhất , lớn nhất
Bài 10 : Cho phương trình : x
2
- 2(m - 2)x + 2m - 5 = 0 (1)
1/ Giải phương trình với m = 3
2/ CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
3/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình (1): Tìm m để:
B = x
1
(1 - x
2
) + x
2
(1 - x
1
) < 4.
Bài 11 : Cho phương trình:
01m1)x(2m2x
2
=−+−+
a, Giải phương trình với m = 2
b, Cmr: phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị cuả m
c, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn 3x
1
- 4x
2
= 1
Bài 12: Cho phương trình bặc hai:
0m1)x2(mx
22
=+++
a, Giải phương trình với m = 4
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng -2,
khi đó tìm nghiệm còn lại
Bài 13: Cho phương trình: x
2
+ ( 2m - 1 ).x - m = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) CMR: Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn :
2
11
1
2
2
1
=
+
+
+ x
x
x
x
Bài 14 : Cho phương trình : x
2
- 2m .x + m
2
- 9 = 0
a) Định m để phương tình có một nghiệm bằng 4 .Tính nghiệm còn lại
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
x
1
.x
2
- 2 ( x
1
+ x
2
) < 23
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 13 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 15 : Cho phương trình : 3x
2
– ( 3k – 2) x – ( 3k + 1) = 0 với x là ẩn số
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k
b) Giải phương trình với k = 1
c) Tìm k để phương trình có nghiệm kép.
d) Tìm k để phương trình có 2 nghiệm dương.
e) Tìm k để nghiệm x
1
; x
2
của phương trình thoả mãn : 3x
1
– 5x
2
= 6.
II. TOÁN TỰ LUẬN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN
Bài 1: Giải phương trình
a) x
2
- 49x - 50 = 0
b) (2- 3 )x
2
+ 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
a) Giải phương trình x
2
- 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601; ∆ = 51
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
2
51)49(
1
−=
−−−
=
x
;
50
2
51)49(
2
=
+−−
=
x
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
+ Lời giải 3: ∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :
=
−=
⇒
−=−==
+−==+
50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
b) Giải phương trình (2- 3 )x
2
+ 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 14 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
∆ = (2
3
)
2
- 4(2-
3
)(– 2 –
3
) = 16; ∆ = 4
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
)32(2
432
1
=
−
+−
=
x
;
)347(
)32(2
432
2
+−=
−
−−
=
x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3 ; b
’
= 3 ; c = – 2 – 3 )
∆
’
= (
3
)
2
- (2-
3
)(– 2 –
3
) = 4; ∆ = 2
Do ∆
’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
32
23
1
=
−
+−
=x
;
)347(
32
23
2
+−=
−
−−
=x
+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0
Nên phương trình có nghiệm:
x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32
+−=
−
−−
−
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. 3x
2
– 7x - 10 = 0
2. x
2
– 3x + 2 = 0
3. x
2
– 4x – 5 = 0
4. 3x
2
– 2 3 x – 3 = 0
5. x
2
– (1+
2
)x +
2
= 0
6. 3 x
2
– (1- 3 )x – 1 = 0
7.(2+ 3 )x
2
- 2 3 x – 2 + 3 = 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x
2
– 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ∆
’
= (- 21)
2
- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x
1
= x
2
= 21
Vậy u = v = 21
*Bài tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m
2
Bài 3: Giải các phương trình sau
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 15 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0
b)
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
c) 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
d) 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0 (1)
(1) ⇔ (x
2
- 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x
+ 2 )(x
- 2 )(x + 3) = 0
⇔ x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -
2
; x =
2
; x = - 3
b) Giải phương trình
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
(2)
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x
2
– x + 8 ⇔ x
2
– 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x
1
= -1(không thoả
mãn ĐK) ; x
2
= 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
(3)
Ta có: (3) ⇔ 5x
4
– 3x
2
– 26 = 0
Đặt x
2
= t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t
2
– 3t – 26 = 0
Xét ∆ = (-3)
2
– 4.5.(-26) = 529. ⇒ ∆ = 23
Nên: t
1
=
5
13
5.2
23)3(
=
+−−
(thoả mãn t ≥ 0) ;
t
2
=
2
5.2
23)3(
−=
−−−
(loại)
Với t =
5
13
⇔ x
2
=
5
13
⇔ x =
5
13
±
Vậy phương trình (3) có nghiệm x
1
=
5
13
−
; x
2
=
5
13
d) Giải phương trình 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x
2
+x = t . Khi đó (4) ⇔ 3t
2
– 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t
1
= 1; t
2
=
3
1
−
t
1
= 1⇔ x
2
+x = 1⇔ x
2
+ x – 1 = 0
∆
1
= 1
2
- 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x
1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
t
2
=
3
1
−
⇔ x
2
+x =
3
1
−
⇔ 3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)
∆
2
= 3
2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 16 THCS Qu¶ng §«ng
Gi¸o ¸n «n thi vµo THPT- M«n To¸n N¨m : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy phương trình (4) có nghiệm x
1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x
3
+3x
2
+3x+2 = 0
2. (x
2
+ 2x - 5)
2
= (x
2
- x + 5)
2
3. x
4
– 5x
2
+ 4 = 0
4. 0,3 x
4
+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0
5. x
3
+ 2 x
2
– (x - 3)
2
= (x-1)(x
2
-2
6.
3
1
.10
1
=
+
−
+
x
x
x
x
7. (x
2
– 4x + 2)
2
+ x
2
- 4x - 4 = 0
8.
03
1
4
1
2
=+
+−
+
x
x
x
x
9.
xx
x
−
=+
−
+
2
6
3
5
2
Bài 4: Cho phương trình x
2
+ 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x
1
và x
2
nên theo định lí Viet ta có:
x
1
+ x
2
=
3
−
; x
1
.x
2
=
5
−
A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21
22
=
−
−
=
+
=+
xx
xx
xx
;
B = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(
2
+=−−−
C =
)523(
5
1
)5(
523
.
2
2
2
2
1
2
2
2
1
+=
−
+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2
)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3( +−=−−+−
* Bài tương tự:
Cho phương trình x
2
+ 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
E =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+
++
; F =
2
2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n LiÖu 17 THCS Qu¶ng §«ng
Giáo án ôn thi vào THPT- Môn Toán Năm : 2010
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
III/ LOI TON RẩN K NNG SUY LUN
(Phng trỡnh bc hai cha tham s)
Bi 1: (Bi toỏn tng quỏt)
Tỡm iu kin tng quỏt phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú:
1. Cú nghim (cú hai nghim) 0
2. Vụ nghim < 0
3. Nghim duy nht (nghim kộp, hai nghim bng nhau) = 0
4. Cú hai nghim phõn bit (khỏc nhau) > 0
5. Hai nghim cựng du 0 v P > 0
6. Hai nghim trỏi du > 0 v P < 0 a.c < 0
7. Hai nghim dng(ln hn 0) 0; S > 0 v P > 0
8. Hai nghim õm(nh hn 0) 0; S < 0 v P > 0
9. Hai nghim i nhau 0 v S = 0
10.Hai nghim nghch o nhau 0 v P = 1
11. Hai nghim trỏi du v nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < 0 v S < 0
12. Hai nghim trỏi du v nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn
a.c < 0 v S > 0
( ú: S = x
1
+ x
2
=
a
b
; P = x
1
.x
2
=
a
c
)
* Giỏo viờn cn cho hc sinh t suy lun tỡm ra iu kin tng quỏt, giỳp hc sinh ch ng
khi gii loi toỏn ny
Bi 2: Gii phng trỡnh (gii v bin lun): x
2
- 2x+k = 0 ( tham s k)
Gii
= (-1)
2
- 1.k = 1 k
Nu
< 0 1- k < 0 k > 1 phng trỡnh vụ nghim
Nu
= 0 1- k = 0 k = 1 phng trỡnh cú nghim kộp x
1
= x
2
=1
Nu
> 0 1- k > 0 k < 1 phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
x
1
= 1-
k
1
; x
2
= 1+
k
1
Kt lun:
Nu k > 1 thỡ phng trỡnh vụ nghim
Nu k = 1 thỡ phng trỡnh cú nghim x=1
Nu k < 1 thỡ phng trỡnh cú nghim x
1
= 1-
k
1
; x
2
= 1+
k
1
Bi 3: Cho phng trỡnh (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham s m)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giáo viên: Nguyễn Văn Liệu 18 THCS Quảng Đông
