SKKN phương pháp giải bài toán đồ thị trong dao động điều hòa ôn thi THPTQG – vật lý 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG XUÂN HÒA

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
(ÔN THI THPTQG - VẬT LÝ 12)

Tác giả sáng kiến: PHẠM THỊ ĐIỆP
Mã SKKN: 37.54.02

Vĩnh Phúc, năm 2020


SỞ GD &ĐT VĨNH PHÚC

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT XUÂN HÒA

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

PHIẾU ĐĂNG KÝ VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CẤP: NGÀNH:

; TỈNH:

.

I. Thông tin về tác giả đăng ký SKKN
1. Họ và tên: Phạm Thị Điệp
2. Ngày sinh: 10/03/1983
3. Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Hòa
4. Chuyên môn: Vật lý
5. Nhiệm vụ được phân công trong năm học: Giảng dạy Vật lý lớp
12A3, 12A4, 12A6, 10A1, chủ nhiệm lớp 12A3.
II. Thông tin về sáng kiến kinh nghiệm
Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỒ
THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA (VẬT LÝ 12 - ÔN THI THPTQG)
Cấp học (THPT, GDTX): THPT
1. Mã lĩnh vực (Theo danh mục tại Phụ lục 3): 37.54.02
2. Thời gian nghiên cứu: từ tháng 7/2018 đến tháng 1/2020
3. Địa điểm nghiên cứu: Trường THPT Xuân Hòa
4. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12A1, 12A3 trường THPT
Xuân Hòa tỉnh Vĩnh Phúc.
Ngày

tháng

năm 2020

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu)

Ngày

tháng

năm 2020

TỔ TRƯỞNG/NHÓM
TRƯỞNG CHUYÊN MÔN
(Ký, ghi rõ họ tên)

Ngày

tháng

năm 2020

NGƯỜI ĐĂNG KÝ
(Ký, ghi rõ họ tên)

Nguy
ễn Văn Điệp

Phạm Thị Điệp


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu.
Vật lý học là cơ sở của nhiều ngành kỹ thuật quan trọng, sự phát triển của
khoa học Vật lý gắn bó chặt chẽ và có tác động qua lại, trực tiếp với sự tiến bộ
của khoa học kỹ thuật. Vì vậy, những hiểu biết và nhận thức Vật lý có giá trị lớn
trong đời sống và trong sản xuất, đặc biệt trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện
đại hóa đất nước.

Ngày nay việc nâng cao chất lượng giáo dục là một trong những vấn đề
được quan tâm hàng đầu trong xã hội. Trong bối cảnh toàn ngành Giáo Dục và
Đào Tạo đang nỗ lực đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) theo hướng phát
huy tính tích cực chủ động của học sinh trong hoạt động học tập mà phương
pháp dạy học là cách thức hoạt động của giáo viên trong việc chỉ đạo, tổ chức
hoạt động học tập nhằm giúp học sinh chủ động đạt các mục tiêu dạy học.
Trong quá trình ôn thi THPTQG, tôi nhận thấy dạng bài tập về đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc của các đại lượng đặc trưng của dao động cơ (x, v, a, W đ, Wt,
Fđh, Fkv…theo t hoặc phụ thuộc vào nhau), sóng cơ ( u, v … theo t), dòng điện
xoay chiều (UR, UL, UC, P…) theo R, L, C, f… hay dao động và sóng điện từ ( q,
i, u, Wđt, Wtt, …theo t hoặc phụ thuộc vào nhau) là dạng bài tập thường gặp
nhưng lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh. Nhiều học sinh chỉ làm
được các bài tập quen thuộc (thậm chí có nhiều học sinh nhìn thấy bài tập có đồ
thị còn ngại, lúng túng do chưa có kỹ năng phân tích trên đồ thị hoặc bỏ qua
không làm được). Bởi mỗi đồ thị lại có một hình dạng khác nhau ( đường hình
sin, thẳng, elip, parabol, đường cong có tính tuần hoàn…). Vì vậy, việc tìm ra
một hướng giải chung cho nhiều bài tập với nhiều tình huống khác nhau từ đó
giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất cần thiết. Ở đây
trong phạm vi một chuyên đề hẹp tôi chỉ giới thiệu về dạng bài tập đồ thị trong
dao động điều hòa mà chủ yếu là các đồ thị có tính tuần hoàn.
Bản thân là giáo viên dạy môn Vật lý qua việc nghiên cứu giảng dạy trên
lớp cũng như những kinh nghiệm của bản thân trong các tiết học trên lớp cũng
như những chuyên đề ôn thi nhằm hướng tới kỳ thi THPTQG tôi quyết định
nghiên cứu đề tài “ Phương pháp giải bài toán đồ thị trong dao động điều hòa
(ôn thi THPTQG – Vật lý 12)” để tìm hiểu và đóng góp một phần nhỏ của mình

1


vào việc nâng cao chất lượng giáo dục và cũng nhằm rút kinh nghiệm cho bản

thân để việc giảng dạy môn Vật lý được tốt hơn trong việc đổi mới PPDH và
nâng cao kết quả thi THPTQG ở trường THPT.
2. Tên sáng kiến:
Phương pháp giải bài toán đồ thị trong dao động điều hòa ( ôn thi THPTQG
– Vật lý 12)
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Phạm Thị Điệp
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên trường THPT Xuân Hòa.
- Số điện thoại: 0987390224 ,
Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
- Họ và tên: Phạm Thị Điệp
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Phần Dao động cơ lớp 12.
- Vấn đề sáng kiến giải quyết: Sử dụng các dạng đồ thị trong toán học và
nghiên cứu các hàm biến thiên của các đại lượng Vật lý - nhằm giúp học sinh
nắm vững kiến thức, có kỹ năng nhìn đồ thị tốt, nhất là lĩnh vực dao động cơ từ
đó học sinh nắm chắc kiến thức hơn, biết áp dụng kiến thức được học trong các
chương tiếp theo như Sóng cơ, Dòng điện xoay chiều và Dao động và sóng điện
từ nâng cao chất lượng dạy và học, ôn thi THPTQG đạt kết quả cao nhất.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: tháng 9 + 10 năm
2018 và tháng 9 + 10 năm 2019.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
7.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Vật lý học là cơ sở của nhiều ngành kỹ thuật quan trọng. Môn Vật lý có
mối quan hệ gắn bó chặt chẽ, qua lại giữa các môn khác đặc biệt là môn Toán.
Việc tổ chức dạy học Vật lý THPT cần rèn luyện cho học sinh đạt được:

2

- Kỹ năng nhận biết đồ thị từ đó suy ra hàm phụ thuộc của các đại lượng
trên đồ thị.
- Kỹ năng quan sát đồ thị để khai thác các dữ kiện trên đồ thị để lập
phương trình hoặc tìm các giá trị cực trị.
- Kỹ năng phân tích, xử lý các thông tin và các dữ liệu thu được từ các
quan sát hoặc đồ thị.
- Khả năng đề xuất các dự đoán hoặc giả thiết đơn giản về mối quan hệ hay
về bản chất của các đại lượng vật lý.
- Kỹ năng diễn đạt rõ ràng, chính xác bằng ngôn ngữ vật lý.
- Tạo điều kiện để cho học sinh thu thập và xử lý thông tin, nêu ra được
các vấn đề cần tìm hiểu.
- Tạo điều kiện để cho học sinh trao đổi nhóm, tìm phương án giải quyết
vấn đề, thảo luận kết quả và rút ra những kết luận cần thiết.
- Tạo điều kiện để cho học sinh nắm được nội dung chính của bài học trên
lớp và ôn thi THPTQG.
7.2. THỰC TRẠNG CỦA HỌC SINH TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Phần lớn học sinh chưa có kỹ năng quan sát đồ thị, nhiều học sinh chỉ
làm được các bài tập quen thuộc (thậm chí có nhiều học sinh nhìn thấy bài tập
có đồ thị còn ngại, lúng túng do chưa có kỹ năng phân tích trên đồ thị hoặc bỏ
qua không làm được). Bởi mỗi đồ thị lại có một hình dạng khác nhau ( đường
hình sin, thẳng, elip, parabol, đường cong có tính tuần hoàn…). Vì vậy, việc tìm
ra một hướng giải chung cho nhiều bài tập với nhiều tình huống khác nhau từ đó
giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất cần thiết.
7.3. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
 Trang bị cho học sinh các kỹ năng cần thiết để vẽ một đồ thị và đọc đồ
thị (kiến thức toán học).
 Hướng dẫn học sinh quan sát và nhận biết đồ thị có tính tuần hoàn và
điều hòa, đưa từ đồ thị có tính tuần hoàn về đồ thị có tính điều hòa bằng

việc dịch chuyển trục ot…
 Yêu cầu học sinh chuẩn bị sẵn bút chì, giấy kẻ ô để vẽ đồ thị và nhận
biết.
 Trong giờ bài tập phần dao động cơ (tiết bài tập, tự chọn, chuyên đề)
giáo viên hướng dẫn học sinh các bước đọc và nhận biết đồ thị theo từng
dạng, từng nhóm các đại lượng…
3


7.4. NỘI DUNG CỤ THỂ
7.4.1. HỆ THỐNG KIẾN THỨC
7.4.1.1. Lý thuyết cơ bản (Phương trình và công thức của một số đại lượng)
A - Phương trình của các hàm điều hòa ( thể hiện mối liên hệ giữa x(t),
v(t), a(t), Fkv(t), Fđh(t) (CLLX nằm ngang).
- Phương trình li độ: x = A cos ( ωt + ϕ )
(1)
+ Li độ: Kí hiệu x , đơn vị mm, cm, m... là độ dời của vật khỏi vị trí cân
bằng (vtcb).
+ Biên độ: Kí hiệu A , đơn vị mm, cm, m... là giá trị cực đại của li độ.

( A > 0) .

A = | x |max

+ Tần số góc: Kí hiệu ω , đơn vị rad /s
ω = 2π f =

2π
T

+ Chu kì dao động: Kí hiệu T, đơn vị s (giây). Khoảng thời gian ngắn
nhất vật thực hiện một dao động toàn phần (thời gian ngắn nhất vật lặp
lại dao động như cũ)
T=

1 2π
∆t
=
T=
;
(Trong đó: N là số dao động trong khoảng thời
f
ω
N

gian ∆t )
+ Tần số dao động: Kí hiệu f , đơn vị Hz . Số dao động toàn phần thực
hiện được trong một giây
f =

1 ω
=
T 2π

+ Pha dao động: Kí hiệu ωt + ϕ , đơn vị rad
Pha ban đầu: ϕ pha dao động ứng với thời điểm ban đầu, gốc thời gian,
thời điểm t = 0.
- Phương trình (biểu thức) vận tốc: v = x ' = − Aω sin ( ωt + ϕ )
2
2

- Phương trình (biểu thức) gia tốc: a = v ' = − Aω cos ( ωt + ϕ ) = −ω x

- Lực kéo về hay lực phục hồi: Fkv = - kx = - m ω 2 x = - kAcos( ω.t + ϕ )

(2)
(3)
(4)

( = Fđh (CLLX nằm ngang))
B - Phương trình của các hàm tuần hoàn (thể hiện mối liên hệ giữa W đ(t),
Wt(t), Fđh (t)(CLLX thẳng đứng)
- Động năng: Kí hiệu: Wd , đơn vị J

4


1 2 1
mv = mω 2 A2sin 2 (ωt + ϕ )
2
2
- Thế năng: Kí hiệu: Wt , đơn vị J

(5)

Wđ =

Wt =

1
1

mω 2 x 2 = mω 2 A2 cos 2 (ωt + ϕ )
2
2

(6)

- Lực đàn hồi : Với con lắc lò xo thẳng đứng:
+ Fđh = k ∆lcb + x

(chiều dương hướng xuống dưới)

+ Fđh = k ∆lcb − x

(7)

(chiều dương hướng lên trên)

C – Phương trình của các hàm khác ( đường thẳng, elip, parabol…)
* Đồ thị là đường thẳng ( ϕ (t), a(x), Fkv(x), Fđh(x)
- Pha của dao động ở thời điểm t: ωt + ϕ , đơn vị rad

(8)

- Lực kéo về hay lực phục hồi, lực đàn hồi:
Fkv = - kx = - m ω 2 x ;

(9)

Fđh = k ∆lcb + x

(10)

Fđh = k ∆lcb − x
- Công thức độc lập giữa a(x): a = - ω 2 .x

(11)

* Đồ thị là đường elip (thể hiện mối liên hệ giữa v(x), a(v))
- Công thức độc lập giữa v(x): x2 +
- Công thức độc lập giữa a(v):

v2
= A2
ω2

v2
a2
+
= A2
2
4
ω
ω

(12)
(13)

* Đồ thị là đường parabol
- Công thức của động năng, thế năng theo x hoặc v
- Động năng: Wđ =

- Thế năng : Wt =

mv 2

(14)

2
kx 2
2

(15)

5


7.4.1.2. Dạng đồ thị của một số phương trình
- Đồ thị của li độ x theo thời gian t:
Xét phương trình dao động x = A cos(ωt + ϕ) , (giả sử chọn chọn gốc thời gian tại
vị trí biên dương để φ = 0). Lập bảng biến thiên của li độ x theo thời gian và đồ
thị biểu diễn x theo t như sau:

t

ωt

x

0

0

A

T
4

π
2

0

T
2

π

3T
4

3π
2

0

T

2π

A

−A

Đồ thị biểu diễn li độ x = A cos(ω t + ϕ ) với φ =0

- Đồ thị và sự so sánh
pha của các dao động
điều hòa: x, v, a theo t
Vẽ đồ thị của dao động

x = A cos(ωt + ϕ) tron
g trường hợp φ = 0.

x
A

O

T
4

-A
v

T 3T
2 4

T

t

Aω
O

t

-Aω
a
Aω2
O
2

-Aω

6

t


t

x

v

a

0

A

0

−Aω2

T
4

0

−Aω

0

T
2

−A

0

Aω2

3T
4

0

Aω

0

T

A

0

−Aω2

Nhận xét:
+ Nếu dịch chuyển đồ thị v về phía chiều dương
của trục Ot một đoạn

T
thì đồ thị của v và x cùng
4

pha nhau.
Nghĩa là, v nhanh pha hơn x một góc
gian là

π
hay về thời
2

T
.
4

+ Nếu dịch chuyển đồ thị a về phía chiều dương của trục Ot một đoạn

T
thì
4

đồ thị của a và v cùng pha nhau.
Nghĩa là, a nhanh pha hơn v một góc

π
T
hay về thời gian là .
2
4

+ Nhận thấy a và x luôn ngược pha nhau (trái dấu nhau).
- Đồ thị x, v và a theo t dao động điều hòa vẽ chung trên một hệ trục tọa độ
Vẽ đồ thị trong trường hợp φ = 0.
t

x

v

a

0

A

0

−Aω2

T
4

0

−Aω

0

T
2

−A

0

Aω2

3T
4

0

Aω

0

T

A

0

−Aω2

- Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa
+ Sự bảo toàn cơ năng

7


Dao động của con lắc đơn và con lắc lò xo dưới lực thế (trọng lực và lực đàn
hồi, …) và không có ma sát nên cơ năng của nó được bảo toàn. Vậy cơ năng của
vật dao động được bảo toàn.
+ Biểu thức thế năng
Xét con lắc lò xo. Tại thời điểm bất kỳ vật có li độ x = A cos(ω t + ϕ ) và thế năng
của con lắc lò xo có dạng:

1
1
Wt = kx 2 = kA 2 cos 2 ( ω t + ϕ )
2
2
=

1
mω2 A 2 cos 2 (ωt + ϕ)

2

Ta có đồ thị Et trong trường hợp φ = 0.
+ Biểu thức động năng
Ở thời điểm t bất kì vật có vận tốc
v = −ωA sin(ωt +ϕ)
1
và có động năng Wñ = mv2 =
2
1
mω2 A 2 sin 2 (ωt + φ)
2

Ta có đồ thị Wñ trong trường hợp φ = 0.

Ta có đồ thị Wđ và Wt vẽ trên cùng
một hệ trục.

+ Biểu thức cơ năng
Cơ năng tại thời điểm t:
W = Wñ + Wt =

1
mω2 A 2
2

8


7.4.2. PHÂN LOẠI BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG

ĐIỀU HÒA.
Có thể chia bài tập loại này làm ba dạng cơ bản:
Dạng 1: Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về theo thời gian (ĐỒ THỊ
CỦA HÀM ĐIỀU HÒA): Xác định phương trình (1 dao động hoặc tổng hợp
dao động), tìm vmax, amax, lực kéo về hoặc lực đàn hồi, động năng, thế năng, cơ
năng.
Dạng 2: Đồ thị động năng, thế năng, lực đàn hồi theo thời gian (ĐỒ THỊ
CỦA HÀM TUẦN HOÀN): Xác định các đại lượng đặc trưng (ω, A, φ,viết PT
dao động…)
Dạng 3: ĐỒ THỊ DẠNG KHÁC: đường thẳng, elip, parabol…
Đồ thị vận tốc theo li độ, gia tốc theo vận tốc, gia tốc theo li độ, pha của dao
động điều hòa theo thời gian, động năng, thế năng, lực đàn hồi, lực đàn hồi
theo vận tốc, theo li độ, pha theo thời gian…: Xác định các đại lượng đặc
trưng (ω, A, φ,viết PT dao động…)

7.4.3. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
ĐVĐ: Để giải bài toán về đồ thị nói chung phải dựa vào phương trình về sự
phụ thuộc của các đại lượng vào nhau. Ví dụ:
+ x(t); v(t); a(t); Fkv(t); Fđh(t)(với con lắc lò xo ngang) …là đường hình sin, có
tính tuần hoàn, đối xứng qua trục ot
+ Wđ(t); Wt(t); Fđh(t)(với con lắc lò xo thẳng đứng) … là đường hình sin, có tính
tuần hoàn, nhưng không đối xứng qua trục ot.
+ v(x); a(v): là đường elip.
+ a(x); Fkv(x); Fđh(x); φ(t) là đường thẳng.
+ Wđ(v); Wt(x); Wđ(x); Wt(v): là đường parabol.
Dựa vào các đặc điểm của từng đồ thị để khai thác các giá trị trên đồ thị, ở đây
chủ yếu xét các đồ thị có tính tuần hoàn (đồ thị hình sin)

9

Dạng 1: Đồ thị li độ, vận tốc, gia tốc, lực kéo về theo thời gian (ĐỒ THỊ
CỦA HÀM ĐIỀU HÒA): Xác định phương trình (1 dao động hoặc tổng hợp
dao động), tìm vmax, amax, lực kéo về hoặc lực đàn hồi, động năng, thế năng, cơ
năng.
* Xác định biên độ
Nếu tại VTCB, x = 0, thì:
+ x = x max = A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được A).
+ v = v max = ωA (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được v max ).
+ a = a max = ω2 A (Từ số liệu trên đồ thị ta xác định được a max ).
KL: Tìm biên độ dao động dựa vào trục giới hạn cắt điểm nào đó trên trục
tung (tìm biên độ A, ωA hoặc ω2 A ).
* Xác định pha ban đầu φ
Vì các phương trình được biểu diễn theo hàm chuẩn là hàm cos nên từ đồ thị ta
suy ra
cos ϕ =

v0
a0
x0
, cos ϕv = v , cos ϕa = a .
A
max
max

thấy φ nhận hai giá trị, ta dựa vào chiều chuyển động của vật để loại nghiệm.
KL: Tại thời điểm t thì x = ?, v = ?, a = ? nhằm tìm được pha ban đầu φ
* Xác định chu kì T (Suy ra tần số f hoặc tần số góc ω):
Nhận dạng thời điểm trạng thái lặp lại, hay chu kì T là khoảng thời gian giữa
hai điểm cùng pha gần nhất. Rồi suy ra tần số f (hoặc tần số góc ω).

Dựa vào thời gian ghi trên đồ thị và pha ban đầu, vẽ lại đường tròn Fresnel để
xác định góc quét tương ứng với thời gian sau đó áp dụng công thức tìm ω:
ω=

∆ϕ
.
∆t

KL: + Tìm chu kì dao động dựa vào sự lặp lại trên trục thời gian, hoặc dựa
vào khoảng thời gian gần nhất cùng pha để vật nhận giá trị nào đó.
Lưu ý:

10


- Các đồ thị dao động điều hòa của li độ (x), vận tốc (v) và gia tốc (a) biến thiên
điều hòa theo hàm số sin và cos với chu kì T.

Ví dụ 1( Vận dụng):
Cho đồ thị của một dao động điều hòa

x(cm)
10

a) Tìm: Biên độ, tần số góc, chu kỳ, tần số,

5

pha ban đầu của dao động? Từ đó viết PT

7
24

1
24

t(s)

dao động?
b) Phương trình vận tốc.
c) Phương trình gia tốc.
d) Sau những khoảng thời gian liên tiếp bằng nhau
và bằng bao nhiêu thì động năng lại bằng thế năng.
Giải
•

a) Tính A; ω; T; f.
- B1: Ta có: Từ đồ thị ta thấy trục giới hạn cắt điểm
có li độ là 10 trên trục tung => A = 10cm
- B2: Thời gian đi từ x = 5 đến x = 0 là t =

T
12

=

1
s ⇒ T = 0, 5s
24

- B3: Tại thời điểm t = 0; x = 5cm; x đang giảm:
x = A cosφ => cos ϕ =

x 1
π
= => ϕ = ±
3
A 2

A
2

α=
T
4

Vận dụng mối quan hệ giữa dao động điều hòa và
chuyển động tròn đều:
Ta nhận xét vì x đang giảm => vật đang chuyển động theo chiều âm
nên ta chọn ϕ =
Vậy: ω =

π
3

2π
= 4π ; f = 2 Hz
T
11

π
2

A
2

5

10

x


=> Phương trình dao động: x = 10cos( 4π t +

π
3

) (cm)

π

b) Phương trình vận tốc: v = x ' = - 40 π sin( 2π t +

c) Phương trình gia tốc: a = - ω2.x = -16cos( 4π t +

3

π
3

) (cm/s)
) (m/s2)

( thay a vào x)
d) Động năng bằng thế năng tại các vị trí:
W = Wđ + Wt = 2Wt =>

1 2
1
A
kA = 2 kx 2 ⇒ x = ±
2
2
2

Thời gian để vật đi từ x1 =

A
A
T 1
đến x2 =−
là t = = s = 0,125s
2
2
4 8

Ví dụ 2 (Vận dụng): Hình vẽ bên là đồ
thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x
vào thời gian t của một vật dao động

điều hòa. Tốc độ cực đại của vật bằng:
A. 5,24 cm/s.

B. 1,05 cm/s.

C. 10,47 cm/s.

D. 6,28 cm/s.

Giải
- B1: Ta có: Từ đồ thị ta thấy trục giới
hạn cắt điểm có li độ là 2cm trên trục
tung => A = 10cm
- B2: Từ đồ thị, ta thấy tại t = 0, vật đi
qua vị trí x = 1 cm theo chiều dương.
Tại thời điểm t = 0,5 s, vật đi qua vị trí
cân bằng theo chiều âm.
+ Sử dụng mối liên hệ giữa dao động
điều hòa với vòng tròn lượng giác ta
xác định được
5T
5π
= 0,5 ⇒ T = 1, 2 ⇒ ω =
rad/s.
12
3

Tốc độ cực đại của vật

12

v max = ωA = 10, 47 cm/s. => Chọn C

Ví dụ 3 ( Đề chính thức THPTQG của Bộ GD – ĐT năm 2017 – MĐ 202)
( Vận dụng): Một vật dao động điều hòa trên
trục Ox. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ
thuộc của li độ x vào thời gian t . Tần số góc
của dao động là
A. l0 rad/s.

B. 10π rad/s.

C. 5π rad/s.

D. 5 rad/s.
Giải

- Từ đồ thị ta thấy tại t = 0 vật đi qua VTCB theo chiều âm, đến thời điểm
t = 0,2s vật đi qua VTCB theo chiều dương. Vậy vật đã đi được nửa chu kỳ
=> T = 2.0,2 = 0,4( s ) =

2π
= >ω = 5π (rad / s ). => Chọn C.
ω

Ví dụ 4 (Thông hiểu): Một vật dao động
điều hòa có đồ thị vận tốc như hình vẽ.
Nhận định nào sau đây đúng?
A. Li độ tại Α và Β giống nhau.

B. Vận tốc tại C cùng hướng với
lực hồi phục.
C. Tại D vật có li độ cực đại âm.
D. Tại D vật có li độ bằng 0.
Giải
- Tại A và B, li độ trái dấu vì vmax tại VTCB mà A và B ở hai bên VTCB.
- Tại C vận tốc âm và đang giảm nên vật đang chuyển động theo chiều âm về
biên âm (ở góc phần tư thứ 2) nên li độ âm => Lực hồi phục có giá trị dương.
- Vận tốc luôn dao động vuông pha với li độ, tại điểm D vận tốc bằng 0, vật
đang chuyển động theo chiều âm nên tại D vật có li độ cực đại âm. => chọn C

13


Ví dụ 5 (Thông hiểu): Hai vật dao động điều hòa
(có cùng khối lượng) trên cùng một trục tọa độ Ox.
Vị trí cân bằng của hai vật trùng với gốc tọa độ O.
Đường biểu diễn vận tốc theo thời gian của mỗi vật
v(t) trên hình vẽ bên. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân
bằng của mỗi vật. Hãy chọn phát biểu sai:
A. Ở thời điểm ban đầu (t = 0), vật 1 ở điểm biên.
B. Hai vật có cùng chu kì là 3 s.
C. Năng lượng dao động của vật 1 bằng 4 lần năng
lượng dao động của vật 2.
D. Hai vật dao động vuông pha.
Giải
+ Tại thời điểm t = 0, vật 1 có vận tốc bằng 0 → 1 đang ở vị trí biên → A đúng.
+ Dựa vào độ chia của trục Ot, ta thấy chu kỳ của mỗi vật đều bằng 12 ô
mà ta xác định được độ dài mỗi ô là a =

4
= 0, 25 ⇒ T = 12a = 3 s → B đúng.
16

+ Ta có A1 = 0,5A2, (do vận tốc cực đại của vật 1 bằng một nửa vật 2) do đó E1 =
0,25E2 → C sai.
+ Hai dao động này vuông pha nhau → D đúng

Ví dụ 6 (Vận dụng): Vận tốc của một vật

=> Chọn C

v (cm/s)

dao động điều hòa biến thiên theo đồ thị như
hình vẽ. Lấy π2 = 10, phương trình dao
động
của vật là
A. x = 2cos(2πt +

π
) cm.
3

14

40
20

5

12

t (s)


π
) cm.
3

B. x = 2 10 cos(πt +
C. x = 2 10 cos(2πt D. x = 2 10 cos(πt -

π
) cm.
3

π
) cm.
3
Giải

3
- B1: Lúc t = 0: v = 20 3 thay vào PT: v = x ' = − Aω sin ( ωt + ϕ ) ⇔ sinϕ = −
2

và do vận tốc đang giảm nên vật ở li độ dương và đang đi về biên dương.
→ϕ = −

π

 π A
⇒ x = A cos − ÷ = .
3
 3 2
A
đến vị trí biên dương rồi về vị trí cân bằng
2

- B2: Thời gian tương ứng từ x =

theo chiều âm lần thứ nhất (góc quét π/3+π/2): t =
rad/s => - - B3: Biên độ A =

v max

Vậy : x = 2 10cos(2πt −

ω

π
3

=

T T
5
+ =
⇒ T = 1→ ω = 2π
6 4 12

40 20
=
= 2 10 cm
2π
π

) cm.

=> Chọn C

Ví dụ 7 ( Đề chính thức THPTQG của Bộ GD - ĐT năm 2018) (Vận dụng).
Hai vật M1 và M2 dao động điều hòa cùng
tần số. hình bên là đồ thị biểu diễn sự
phụ thuộc của li độ x1 của M1 và vận tốc
v2 của M2 theo thời gian t.
Hai dao động của M1 và M2 lệch pha
nhau:
A. π/3
B. π/6
C. 5π/6

D. 2π/3

15


Giải
Cách 1:
Từ đồ thị ta thấy v2 đạt cực đại trước khi x1 đạt cực đại là 2 ô.
Mỗi chu kì 12 ô nên: v2 nhanh pha hơn x1 thời gian là T/6 ứng với góc

Hay v2 sớm pha hơn x1về thời gian làT/6 ứng với góc

π
3

π
3

.

.

Vì v2 vuông pha nhanh hơn x2 nên x1 sớm pha hơn x2 là :

π π π
− = . Chọn B.
2 3 6

Cách 2: Lập PT dao động của hai vật:

π
Phương trình dao động của M1 là : x1 = A1 cos ω t − ÷( cm) .
3


Lúc t = 0 ta có : v2 =

v2max
A 3
π

→ x2 = 2
→ ϕ2 = − .
2
2
6


π
Nên phương trình dao động của M2 là : x2 = A2 cos ω t − ÷( cm)
6


Hai dao động của M1 và M2 lệch pha nhau: ∆ϕ =|ϕ1 − ϕ2 |=

Ví dụ 8 (Vận dụng): Cho hai dao động
điều hoà, có li độ x1 và x2 như hình vẽ.
Tổng tốc độ của hai dao động ở cùng
một thời điểm có giá trị lớn nhất là:
A. 140π cm/s.
B. 100π cm/s.
C. 200π cm/s.
D. 280π cm/s.
Giải
Cách giải 1: Chu kỳ dao động T = 0,1s.
Tần số góc ω = 20π rad/s.

16

π
6

Chọn B.



π

 x1 = 8cos  20πt − ÷cm
2

Phương trình dao động của hai vật: 
 x = 6cos ( 20πt − π ) cm
 2

Hai dao động vuông pha nhau nên vận tốc của hai vật cũng vuông pha nhau:

π

 v1 = 160π cos  20πt − ÷cm/s
2


 v = 120π cos ( 2πt − π ) cm/s
 2

Khi đó:v = v1 + v2 = 200πcos(20πt + ϕ ) cm/s. Suy ra: vmax = 200π cm/s. =>
Chọn C

−1
Cách giải 2: Ta có: T = 1.10 = 0,1s ⇒ ω =

2π
= 20π rad/s .
T

π

Dao động 1 đang ở vị trí cân bằng và có li độ đang tăng: x1 = 8cos  20π t − ÷cm
2


Dao động 2 đang ở vị trí biên âm và đang tăng nên: x 2 = 6cos ( 20π t − π ) cm
Nhận xét 2 dao động vuông pha nên:

A12 = A12 + A 22 = 10cm ⇒ v12max = ωA12 = 200π cm/s.
Ví dụ 9 (Đề THPTQG chính thức năm 2015)
(Vận dụng cao): Đồ thị li độ theo thời gian
của chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm 2
(đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của
chất điểm 2 là 4π cm/s. Không kể thời điểm
t = 0, thời điểm hai chất điểm có cùng li độ
lần thứ 5.
A. 4s.

B. 3,25s.

C. 3,75.

D. 3,5s.
Giải

Cách giải 1: Tốc độ cực đại của chất điểm 2:

v 2 max = ω 2 A 2 = ω 2 .6 = 4π ⇒ ω 2 =

2π
rad/s .
3

17


Từ hình vẽ ta có: T2 = 2T1 ⇒ ω1 = 2ω2 =

4π
rad/s
3


π
 4π
x1 = 6 cos  3 t − 2 ÷cm



Phương trình dao động của hai chất điểm: 
x = 6 cos  2π t − π  cm
2

÷


2
 3


Hai chất điểm có cùng li độ khi:
 4π π 
 2π π  4 π π 2 π π
x1 = x 2 ⇔ cos  t − ÷ = cos  t − ÷ ⇒
t− =
t − + k2π
2
2
3
2 3
2
 3
 3
Có hai họ nghiệm t1 = 3k1 (s) với k1 = 1, 2, 3….
Và t 2 = k 2 + 0,5 (s) với k2 = 0, 1, 2…Các thời điểm x1 = x 2 :
Lần

1

2

3

4

t1 = 3k 1

t 2 = k 2 + 0,5

5

6

7

3.5s

4,5s

5,5s

3s
0,5s 1,5s 2,5s

Vậy, hai chất điểm gặp nhau lần thứ 5 ở thời điểm t = 3,5s. Chọn D
Cách giải 2: Từ hình vẽ ta có:
T2 = 2T1 ⇒ω1 = 2ω2

Mặt khác:

2π

= 1,5s
v 2max 4π 2π
4π

 T1 =
ω
ω2 =
=
=
rad/s ⇒ ω1 =
rad/s ⇒ 
1
A
6
3
3
 T = 3s
 2
Từ hình vẽ, lần thứ 5 (không kể thời điểm t = 0):
2,25T1 < t < 1,25T2 ó 3,375s < t < 3,75s

18

Chọn D

…


Dạng 2: Đồ thị động năng, thế năng, lực đàn hồi theo thời gian (ĐỒ THỊ
CỦA HÀM TUẦN HOÀN): Xác định các đại lượng đặc trưng (A, ω, φ, viết
PT dao động…)
Cách giải chung
Cách 1: Khai thác trực tiếp các dữ kiện trên đồ thị
+ Cách tính biên độ của đại lượng biến thiên

Biên độ của đại lượng biến thiên = (Giá trị lớn nhất (độ lớn) + giá trị ( độ
lớn) nhỏ nhất): 2
+ Tìm φ: Từ đồ thị viết PT của đại lượng biến thiên, với t = 0 giải PT kết hợp
vòng tròn lượng giác suy ra pha ban đầu φ.
+ Tìm ω: Từ tính tuần hoàn của đồ thị suy ra chu kỳ trên trục thời gian ( Chú ý
với đồ thị động năng và thế năng theo thờii gian thì chu kỳ T’ = T/2, lực đàn hồi
T’ = T)
Cách 2: Biến đổi hàm tuần hoàn về hàm điều hòa và vẽ lại đồ thị bằng sự
dịch chuyển của trục ot sao cho đường hình sin đối xứng để xác định chu
kỳ, biên độ và pha ( sử dụng được vòng tròn lượng giác)
* Từ PT của đại lượng biến thiên đặt thành hàm mới là hàm điều hòa với sự
dịch chuyển trên trục ot = phần hằng số trong phương trình ban đầu.
Ví dụ 10 ( Vận dụng): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có độ cứng k = 25
N/m dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Biết trục Ox thẳng đứng
hướng xuống, gốc O trùng với vị trí cân bằng. Biết giá trị đại số của lực đàn hồi
tác dụng lên vật biến thiên theo đồ thị. Viết phương trình dao động của vật?

π

A. x = 8cos  4π t + ÷cm
3


π

B. x = 10cos  5π t + ÷cm
3


π


C. x = 8cos  4π t − ÷cm
3


2π 

D. x = 10 cos  5π t −
÷cm
3 


19


Giải
Công thức tính lực đàn hồi trong trường hợp này là

F = − k ( ∆l0 + x ) = −k∆l 0 − kx
+ Tìm biên độ của đại lượng biến thiên:
Fmax =

1, 5 + 3, 5
= 2,5N ;
2

+ Tìm pha ban đầu:

F = 2,5cos ( ω t + ϕ ) − 1(N) ; F0 = 2, 5cos ϕ − 1 = −2, 25 ⇒ ϕ = −

2π
3

+ Tìm chu kỳ:

 1 2π
F = 2,5cos  ω −
 3 3

∆l 0 =

x=


÷− 1 = −3,5 ;


1
=0, 04m => ω =
k

−2,5
2π

cos  5π t −
k
3


F = −k ( ∆l0 + x ) = −k∆l0 − kx ;

g
= 5πrad / s
∆l0

π


=
10
cos
5
π
t
+
÷

÷cm
3



Ví dụ 11 (Nhận biết): Cho một vật dao động điều hòa
với biên độ A dọc theo trục Ox và quanh gốc tọa độ O.
Một đại lượng Y nào đó của vật phụ thuộc vào li độ x của
vật theo đồ thị có dạng một phần của đường pa-ra-bôl
như hình vẽ bên. Y là đại lượng nào trong số các đại
lượng sau?
A. Vận tốc của vật.

B. Động năng của vật.

C. Thế năng của vật.

D. Gia tốc của vật.

Giải
Vì đồ thị động năng theo li độ là một hàm bậc hai với hệ số a < 0. => Chọn B

20


Ví dụ 12 (Vận dụng): Con lắc lò xo treo thẳng
đứng dao động điều hòa ở nơi có gia tốc trọng
trường g = π2 m/s2. Độ lớn lực đàn hồi của lò xo
biến thiên theo đồ thị như hình vẽ. Lấy π2 ≈ 10.
Khối lượng của vật nhỏ bằng
A. 100 g.

B. 300 g.

C. 200 g.

D. 400 g.

Giải
Trong quá trình dao động của vật, có thời điểm
lực đàn hồi có độ lớn bằng 0 → A > Δl0.
+ Từ đồ thị, ta có
Fx = A A + ∆l0
=

= 5 ⇒ A = 1,5∆l0
Fx =− A A − ∆l0

+ Ta để ý rằng, tại thời điểm t = 0 lực đàn hồi có
độ lớn đang giảm
Ft = 0 x + ∆l0
=
= 0, 4 ⇒ x = 0
Fx = A A + ∆l0

→ tại t = 0 vật chuyển động qua vị trí cân bằng
theo chiều âm.
→ Từ đồ thị ta thấy hai vị trí lực đàn hồi có giá
trị bằng 2N ở thời điểm t = 0,2s và t = 0,4s.
Biểu diễn các vị trí tương ứng trên đường tròn, ta
dễ dàng thu được 0,5T = 0,4 – 0,2
→ T = 0,4 s → ω = 5 rad/s → Δl 0 = 40 cm và A = 60 cm.→ Khối lượng của vật
F

2
x =A
nhỏ Fx = A = mω ( A + ∆l0 ) ⇒ m = ω2 A + ∆l = 200 (g) => Chọn C
(
0)

21


Dạng 3: DẠNG ĐỒ THỊ KHÁC: Đường thẳng, elip, parabol…
(Đồ thị vận tốc theo li độ, gia tốc theo vận tốc, gia tốc theo li độ, pha của dao

động điều hòa theo thời gian, động năng, thế năng, lực đàn hồi, lực kéo về theo
li độ hoặc vận tốc trong dao động điều hòa điều hòa).
* Sử dụng tính chất của các đồ thị trong toán học ví dụ như công thức tính
tọa độ ở đỉnh parabol, tiêu điểm của các elip hay giá trị của đường thẳng có
đi qua gốc tọa độ…
Ví dụ 13 (Vận dụng). Một vật nặng có khối lượng m = 0,01 kg dao động điều
hòa quanh vị trí cân bằng. Đồ thị hình bên mô tả lực kéo về F tác dụng lên vật
theo li độ x. Chu kì dao động của vật là

A. 0,152 s

B. 0,314 s

C. 0,256 s

D. 1,265 s

Giải

+ Từ đồ thị ta có: Fmax = 0,8N, A = 0,2m

Fmax = mω 2 A ⇒ ω =

Fmax
0,8
2π 2π
=
= 20rad / s ⇒ T =
=
= 0, 314s

m.A
0, 01.0, 2
ω 20

22


7.4.4. MỘT SỐ CÂU ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
TRONG ĐỀ THI THPTQG CÁC NĂM GẦN ĐÂY

Câu 1 (Đề THPTQG năm 2015)(Vận dụng
cao): Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1
(đường 1) và chất điểm 2 (đường 2) như hình
vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2 là 4π cm/s.
Không kể thời điểm t = 0, thời điểm hai chất
điểm có cùng li độ lần thứ 5.
A. 4s.

B. 3,25s.

C. 3,75.

D. 3,5s.

Câu 2 (Đề THPTQG 2016)( thông hiểu): Cho hai vật
dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng cùng
song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của mỗi vật
nằm trên đường thẳng vuôn góc với trục Ox tại O.
Trong hệ trục vuông góc xOv, đường (1) là đồ thị biểu
diễn mối quan hệ giữa vận tốc và li độ của vật 1,

đường (2) la đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc
và li độ của vật 2 (hình vẽ). Biết các lực kéo về cực đại
tác dụng lên hai vật trong quá trình dao động là bằng nhau. Tỉ số giữa khối
lượng của vật 2 với khối lượng của vật 1 là
A.1/27

B. 3

C. 27

Câu 3 (Đề THPTQG 2017 – MĐ 202) (Vận dụng):
Một vật dao động điều hòa trên trục Ox. Hình bên là
đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời
gian t . Tần số góc của dao động là
A. l0 rad/s.

B. 10π rad/s.

C. 5π rad/s.

D. 5 rad/s.

Câu 4 (Đề THPTQG 2017 – MĐ 203)(Vận
dụng): Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc
của vận tốc v theo thời gian t của một vật dao
động điều hòa. Phương trình dao động của vật là

23

D. 1/3