SKKN ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến
ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tác giả sáng kiến: Lê Văn Vượng
Mã sáng kiến: 31.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2019
1


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Trong các đề thi THPT Quốc gia năm học 2015 - 2016, năm học 2016 - 2018
cũng như đề thi Tuyển sinh Đại học năm học 2014 - 2015 trở về trước, đề thi học sỉnh
giỏi Toán lớp 12 Tỉnh Vĩnh Phúc và các tỉnh trên toàn quốc những năm gần đây, đề
thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc chúng ta hay gặp bài
toán giải phương trình và hệ phương trình. Các bài toán này đều là bài toán ở mức độ
vận dụng. Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán hệ phương trình này ta không thể
dùng các cách giải hệ phương trình học ở lớp 10 như: Biến đổi tương đương thông
thường để đưa về hệ thức Viet, hệ phương trình đối xứng loại I, loại II,…để giải.
Trong đề thi THPT quốc gia 2017 thi Toán bằng hình thức trắc nghiệm kiến thức thi
trong chương trình 12, đề thi THPT quốc gia 2018 thi Toán bằng hình thức trắc
nghiệm kiến thức thi trong chương trình lớp 11,12, đề thi thử Toán 12 THPT quốc gia
2019 theo hướng dẫn của Bộ Giáo dục và Đào tạo thi Toán bằng hình thức trắc
nghiệm kiến thức thi trong chương trình Toán 11, 12 trọng tâm là kiến thức Toán 12.

Khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán hệ phương trình sử dụng hàm số để
học sinh hiểu bài và tìm tòi lời giải người thầy khuyến khích học sinh học tập theo
hướng tích cực , tư duy, sáng tạo trong giải toán.
Với mỗi người giáo viên việc đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện
bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của
người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học
sinh vận dụng được cái gì qua việc học.
Trong SKKN này tôi sẽ nêu hai vấn đề chính:
+ “ Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình ” Giáo viên hướng dẫn học
sinh giải toán.
+ “ Cách ra hệ phương trình sử dụng hàm số ”. Giáo viên ra đề.
2. Tên sáng kiến:

“Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Lê Văn Vượng.
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên trường THPT Bình Xuyên.
- Số điện thoại: 0988560979,
E_mail: .
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Văn Vượng GV THPT Bình Xuyên.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bài tập Đại số 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, thi
THPT quốc gia theo lộ trình.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/12/2017
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Nội dung của sáng kiến:
7.1.1 Nội dung:
2


NỘI DUNG

ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. Cơ sở lý thuyết
Cho hàm số y = f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên
tập D:
1/ Nếu tồn tại x 0 ∈ D sao cho f (x 0 ) = 0 thì trên D phương trình f (x) = 0 có
nghiệm duy nhất x = x 0 .
2/ Nếu f (u) = f (v) ↔ u = v, u,v ∈ D .
3/ Khi cho hệ phương trình hai ẩn (x;y) sử dụng hàm số thường bài toán có
hướng giải sau:
a/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào
phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn.
b/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x
và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn bằng phương pháp hàm
số.
II. Áp dụng
A/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào
phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn.
Cho hàm số y = f (x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục
trên tập D nếu tồn tại x 0 ∈ D sao cho f (x 0 ) = 0 thì trên D phương trình f (x) = 0
có nghiệm duy nhất x = x 0 .
 2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 6
( 1)
Bài tập 1 Giải hệ phương trình: 
2
( x + 2) y + 1 = x +10x+10 ( 2 )
Hướng dẫn: Điều kiện y ≥ −1 (*).
Ta thấy x =0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Xét x ¹ 0 . Từ phương trình (1) chia hai vế cho x3 ta được
3

 y
 y
+ 2  ÷ = x 3 + 2x
 ÷
 x
x

(3)

Xét hàm số f (t) = t 3 + 2t với t ∈ R , f '(t) = 3t 2 +2>0 ∀ t ∈ R → Hàm số luôn
đồng biến và liên tục trên R.
y
 y
2
Từ (3) f  ÷ = f (x) ↔ = x ↔ y = x thay vào (2) ta được:
 x
x

( x + 2) x +1 = 3( x + 2) - 2( x +1) «
2

2

«

x+2
x2 +1

= 1 hoặc

x +2
x2 +1

2

=-

2
æx + 2 ö
÷
ç
÷
3ç
÷
ç
÷
2
ç
÷
è x +1ø

x +2
x2 +1

- 2= 0

2
3
3

ìï x ³ - 2
2
=
1
« x + 2 = x +1 « ïíï
« x =- 3 ® y = 9
+ Với
2
2
2
4
16
x +1
ïî ( x + 2) = x +1
ïìï x £ - 2
x +2
2
2
=3
x
+
2
=
2
x
+
1
«

(
)
«
í
+ Với
ïï 9( x + 2) 2 = 4( x2 +1)
3
x2 +1
ïî
« x = - 18- 164 ® y = 488+ 36 164 .
5
25
æ
æ 3 9ö
- 18- 164 488+ 36 164 ö
÷
ç
÷
;
ç
- ; ÷
÷
Vậy nghiệm của hệ phương trình ( x;y) = ç
,
÷
ç
ç
÷
ç
÷

è 4 16ø ç
5
25
è
ø

x+2

ìï x3 + 3x = ( y + 4) y +1
ï
Bài tập 2 Giải hệ phương trình: í 3
ïï x + 2x + y + y +1- 17 = 0
ïî
Hướng dẫn: Điều kiện y ≥ −1 (*).

( 1)
( 2)

« x3 + 3x = ( y + 1) + 3 y + 1 ( 3) .
3

Phương trình (1)

Xét hàm số f (t) = t 3 + 3t với t ∈ R , f '(t) = 3t 2 +3>0 ∀ t ∈ R → Hàm số luôn đồng biến
và liên tục trên R.
Từ (3) f ( x ) = f ( y + 1) ↔ x = y + 1 ↔ y = x 2 − 1 thay vào (2) ta được:
x3 + x2 + 3x - 18 = 0 « x = 2 ® y = 3.
Vậy nghiệm của hệ phương trình ( x;y) = ( 2;3)

Bài tập 3 Giải hệ phương trình:

(

Hướng dẫn:

)

(

)

ìï
ïï 3x 2 + 9x2 + 3 - ( 4y + 2) 1+ 1+ y + y2 = 0 ( 1)
í
ïï 3
2
2
( 2)
ïïî x - 6x + 4y + 6y +1= 0

Phương trình (1)

«

æ
ö
æ
ö
2
2

3xç
2 + ( 3x) + 3÷
= ( 2y +1) ç
2 + ( 2y +1) + 3÷
÷
÷
÷
÷ ( 3)
ç
ç
è
ø
è
ø

(

)

Xét hàm số f (t) = t 2 + t + 3 với t ∈ R , f '(t) = 2 + t + 3+
2

2

→ Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.

t2
t2 + 3

>0 ∀ t ∈ R

Từ (3) f ( 3x ) = f (2y + 1) ↔ 3x = 2y + 1 thay vào (2) ta được:
- 4 + 33 2
2
3
æ
ö
ç- 1+ 3 2; - 4 + 3 2 ÷
÷
Vậy nghiệm của hệ phương trình ( x;y) = ç
÷
ç
÷
ç
2
è
ø
3

x3 + 3x2 + 3x - 1= 0 « ( x +1) = 2 « x =- 1+ 3 2 ® y =

4


(

)

)

(

 2 y 4 y 2 + 3x 2 = x 4 x 2 + 3
( 1)

Bài tập 4 Giải hệ phương trình: 
x
2 y − 2 x + 5 − x + 1 = 4038 ( 2)
 2019
Hướng dẫn: Điều kiện 2 y − 2 x + 5 ≥ 0 (*). Từ phương trình (1) → y ³ 0
Ta nhận thấy x = 0 ® y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Xét x ¹ 0
3
æ
æ
2yö
2yö
3
÷
÷
ç
ç
+
3
Phương trình (1) « ç
÷
÷
ç
÷
÷=x +3x ( 3)

çx ø
çx ø
è
è
Xét hàm số f (t) = t 3 + 3t với t ∈ R , f '(t) = 3t 2 +3>0 ∀ t ∈ R → Hàm số luôn đồng

(

)

biến và liên tục trên R.
2y
 2y 
= x ↔ 2y = x 2 thay vào (2) ta được:
Từ (3) f  ÷ = f (x) ↔
 x
x
2
2019 x x 2 − 2 x + 5 − x + 1 = 4038 ↔ 2019 x  ( x − 1) + 4 − ( x − 1)  =4038 (4)



(

)

u+1
Đặt u = x - 1phương trình (4) « 2019
u+1
Xét hàm số g( u) = 2019

(

)

u2 + 4 - u = 4038

(5)

)

u2 + 4 - u u Î R .
æ
ö
ö
u
÷
÷
ç
÷
÷
1÷³ 0 ç
Do
ln2019
>
2,
1
<
<
1

÷
ç
÷
÷
2
ç
÷
÷
ø
è
ø
u +4

æ
u
ç
ln2019 +
ç
ç
è
u2 + 4

u+1ç

g'( u) = 2019

(

→ Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.

Ta thấy u=0 là nghiệm của phương trình (5) « x=1 → y =

1
thỏa mãn (*).
2

æ 1ö
1; ÷
Vậy nghiệm của hệ phương trình ( x;y) = ç
ç
÷.
ç ÷
è 2ø

(

)(

)

ìï
ïï x + x2 +1 y - 2 + y2 - 4y + 8 = 2 ( 1)
Bài tập 5 Giải hệ phương trình: í
ïï 2
2
( 2)
ïïî x + y + 2x + y + 2 - 6 = 0
Hướng dẫn: Điều kiện 2 x + y + 2 ≥ 0 (*).

Ta nhận thấy x < x2 +1 ® x2 +1 ± x > 0

Phương trình (1)

«

2

2

y - 2 + ( y - 2) + 4 = ( - 2x) + ( - 2x) + 4

Xét hàm số f (t) = t + t 2 + 4 với t ∈ R , f '(t) = 1 +
→ Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.

t
t +4
2

(3)

>0 ∀ t ∈ R

Từ (3) f ( y − 2) = f ( −2x) ↔ y − 2 = −2x thay vào (2) ta được:

5


ộ x = 0đ y = 2
ờ
5x2 - 8x = 0 ô ờ 8
- 6 tha man (*).

ờx = đ y =
ờ
5
ở 5

ổ
8
ố5

6ử
ữ
ữ
ữ
5ứ

x 3 - y3 + 3y 2 - 3x - 2 =0
Bi tp 6 Gii hờ phng trinh: 2
2
2
x + 1 x - 2 2 y y +1=0
1 x 1
( *) .
Hng dn: iu kiờn
0

y

2

( 1)
( 2)

;Vy nghiờm ca hờ phng trinh ( x;y) = ( 0;1) hoc ( x;y) = ỗ
ỗ
ỗ

Phng trinh (1)

ô x3 - 3x = ( y - 1) 3 - 3( y - 1)

(3)

2
Xet ham s f (t) = t 3 3t vi t [ 1,1] , f '(t) = 3t - 3 <0 t [ 1;1]
Ham s luụn nghch bin va liờn tc trờn [ 1,1] .
T (3) f ( x ) = f (y 1) x = y 1 thay vao (2) ta c:

(

)

x 2 + 1 x 2 - 2 2 ( x + 1) ( x + 1) +1=0 - 1 x 2 1 x 2 + 2 = 0
2

ộ
2
ờ 1- x = 1ô x = 0 đ y = 1
ô ờ
Tha man (*)

2
ờ
1- x =- 2(VN)
ở
Vy nghiờm ca hờ phng trinh ( x;y) = ( 0;1) .
ỡù
2
2
ùù x + x - 2x + 5 = 3y + y + 4 ( 1)
Bi tp 7 Gii hờ phng trinh: ớ 2 2
ùù x - y - 3x + 3y +1= 0 ( 2)
ùợ

Hng dn: Rỳt 3y t (1) thay vao (2) ta c

2
2
( x - 1) + ( x - 1) + 4 = y2 + y2 + 4

Xet ham s f (t) = t + t + 4 vi t 0 , f '(t) = 1+
ham s luụn ng bin va liờn tc trờn [ 0;+Ơ )

(3)

1
>0 t 0
2 t+4
3
2

T phng trinh (3) f ( x - 1) = f ( y) ô x - 1= y thay vao (2) ta c: x = đ y =

1
2

ổ
3 1ử
ố2 2ứ

; ữ
ữ
Vy nghiờm ca hờ phng trinh ( x;y) = ỗ
ỗ
ữ.
ỗ
ỡù 7x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 + x - y = 0 ( 1)
ù
Bi tp 8 Gii hờ phng trinh ớ 2
ùù x - y + 2 - 2 = 0 ( 2)
ùợ
Hng dn: y - 2

Phng trinh (1)

ô ( x + y) 3 +( x + y) = ( 2x) 3 + 2x

(3)
6

Xét hàm số f (t) = t 3 + t với t ∈ R , f '(t) = 3t 2 +1 >0 ∀ t ∈ R
→ Hàm số luôn nghịch biến và liên tục trên R.
Từ (3) f ( x + y ) = f (2x) ↔ x + y = 2x ↔ x = y thay vào (2) ta được: x2 Điều kiện x ³ - 2 .

x +2- 2= 0

ìï x2 = u + 2 ( 4)
ï
Đặt u = x + 2 u ³ 0 (*) Ta được í 2
ïï u = x + 2 ( 5)
ïî
Trừ vế với vế ta được ( x - u)( x + u +1) = 0
+ Với x=y thay vào (4) ta được x =u =2 x = u = 2 ® x = y = 2 là nghiệm
- 1- 5
là nghiệm
2
æ
- 1- 5 - 1- 5ö
÷
ç
÷
x;y
=
2;2
;
;
ç
(
)
(

)
Vậy nghiệm của hệ phương trình
÷
ç
÷.
ç 2
2 ø
è

+ Với x+y+1=0 thay vào (4) ta được ® x = y =

æ 1
ö
ïìï
2
1+ 4 + 2y + y2 ÷
= 0 ( 1)
÷
ïï x(2+ x + 3) +( 2y + 2) ç
ç
÷
ç
è
ø
2
Bài tập 9 Cho hệ phương trình: ïíï
ïï ( x - 2)( 5+ y) + x - 2 + 5+ y = x - 1+ x +1 ( 2)
ïïî
2
n

Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x1;y1) , ( x2;y2) ...( xn ;yn ) T = å xk bằng
k=1

A. 10

17
C.
2

B. 15

Hướng dẫn: Điều kiện 2 ≤ x ≤ 4 .(*)

(

(

)

2
Phương trình(1) ↔ x 2 + x + 3 = [ −(y + 1) ] 2 +

(

)

26
D.
5

[ −(y + 1) ] 2 + 3

Xét hàm số f (t) = t 2 + t + 3 ∀ t ∈ R , f '(t) = 2 + t + 3 +
2

2

→ Hàm số luôn đồng biến trên R.
Từ (3) f (x) = f ( − y − 1) ↔ x = − y − 1 ↔ y = − x − 1 .

( x − 2) ( 4 − x ) +

Thay vào (2) ta được

Phương trình (1) ↔ t − 2 + t =
2

(

)

t2
t2 + 3

>0 ∀t ∈ R

x −1
+ x +1
2

2 ≤ t ≤ 2 (**).

2

x +1 − 2
2

(3)

x−2 + 4− x =

Đặt t = x − 2 + 4 − x điều kiện
2

)

+ x +1

(2)

k −2
+ k ∀k ∈[ 2; 4 ] , g '(k) = k + 1 > 0 ∀k ∈[ 2; 4] → Hàm số g(k) luôn
2
đồng biến trên [ 2; 4] .
Từ (2) ta có g(t) = g( x + 1) ↔ t = x + 1
g(k) ↔

2

7

2
26 Chọn (D)
 11 
®
T
=
xk =
↔
x
=
3;
x +1 = x − 2 + 4 − x


å
5
 5
k=1

↔

(

)(

)

ìï

ïï x + x2 +1 y - 3+ y2 - 6y +13 = 2( 1)
Bài tập 10 Hệ phương trình: í
ïï 2
2
( 2)
ïïî x + 2y + 3y - 6 = 0

Có bao nhiêu nghiệm? A.1

B.2

C.3

D.4

x2 +1 > x ≥ x → x2 +1 > x ↔ x2 +1 − x > 0 .

Hướng dẫn: Do

Bằng cách nhân hai vế phương trình (1) với

x 2 + 1 − x ta được

( −2x ) + ( −2x ) 2 + 4 = y − 3 + ( y − 3) 2 + 4
Xét hàm số f (t) = t + t 2 + 4 , ∀t ∈ R . Ta có f '(t) = 1 +
Do t 2 + 4 > t → − 1 <

t

< 1 → 1+

t

(3)

t
t2 + 4

> 0 ∀t ∈ R

> 0 → Hàm số luôn đồng biến trên [ -1;+∞ )

t +4
t +4
Từ phương trình (3) ta có f (y − 3) = f ( −2x) ↔ y − 3 = −2x .
Thay y − 3 = −2x vào (2) ta được 11y2 + 2y - 13 = 0 phương trình có 2 nghiêm
nên hệ phương trình có 2 nghiệm chọn (B)
2

2

Nhận xét:
Trong 10 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên
cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài toán ở góc nhận biêt, thông hiểu như:
Từ một phương trình của hệ có chuyển về phương trình đơn giản ngay được
không, có phân tích nhân tử được không … Tiếp theo ta thấy có 1 phương trình của
hệ có thể dùng phương pháp hàm số để giải đưa về mối quan hệ x và y sau đó thế vào
phương trình còn lại để được phương trình 1 ẩn để giải…
Bài tập Giải các hệ phương trình sau
1/

2/
3/
4/

ìï ( 2x + 2) 2x +1 +( y - 3) 2- y = 0
ï
í
ïï 8x + 4 - ( 2- y) 2- y = 1
ïî
ìï 4x2 +1 x +( y - 3) 5- y = 0
ïï
í
ïï 2
2
ïî 4x + y + 2 3- 4x = 7
ìï 2( 2x +1) 3 + 2x +1= ( 2y - 3) y - 2
ï
í
ïï 4x + 2 - 2y + 4 = 6
ïî
ìï x5 + x.y4 = y10 + y6
ïï
í
ïï 4x + 5 + y2 + 8 =6
ïî

(

)

8


ỡù x6 - y3 + x2 - 9y2 - 30 = 28y
ù
5/ ớ
ùù 2x + 3 + x = y
ợ

B/ T mụt phng trinh cua hờ dung biờn ụi tng ng lõp mụi quan hờ
x va y thờ vao phng trinh con lai ờ giai phng trinh mụt õn dung phng
phap ham sụ ờ giai.
Cho ham sụ y = f (x) luụn ng biờn ( hoc luụn nghch biờn) va liờn tc
trờn tõp D nờu tn tai x 0 D sao cho f (x 0 ) = 0 thi trờn D phng trinh f (x) = 0
cú nghiờm duy nht x = x 0 .
ỡù x2 + y3 - xy2 - ( y + 6) x + 6y = 0 ( 1)
ù
Bi tp 11 Gii hờ phng trinh: ớù 4
ùùợ 4- x + 4 y - 2 = 2 (2)
x 4
( *) .
Hng dn: iu kiờn
y 2

ộx = y
2
2
2
ờ
x

y
+
y
+
6
x
+
y
y
+
6
=
0
ô
Phng trinh (1) ô
ờx = y2 + 6( VN do(*))
ờ
ở
Thay vao (2) ta c 4 x 2 + 4 4 x = 2

(

)

(

)

iu kiờn 2 x 4 . Xet ham s f (x) = 4 x 2 + 4 4 x
Ta cú f '(x) =

1
4 4 ( x 2)

Bng bin thiờn:

3



1
4 4 ( 4 x)

x

3

liờn tc trờn [ 2;4]

, f '(x) = 0 x = 3

2

4

3
+

y

0

-

2

y

4

2
2
Ta cú f ( 3) = 2 x =3 la nghiờm ca phng trinh f ( x ) = 2 . Vi x=3 y=3 tha
4

man (*). Vy nghiờm ca hờ phng trinh ( x;y) = ( 3;3) .

ỡù x3- 6y3+ 4xy2+x2y =0 ( 1)
ù
Bi tp 12 Gii hờ phng trinh: ùớ 2
ùù x +15 =3y - 2 + y2+8 (2)
ùợ

Hng dn:Ta thy y =0 khụng la nghiờm ca hờ phng trinh.
Xet y ạ 0 chia hai v ca phng trinh (1) cho y3 ta c
3
2
ổx ử
ổx ử
x

x
ữ
ữ
ỗ
ỗ
+ỗ ữ
+4 - 6 =0 ô = 1ô x = y thay vao (2) ta c
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗyứ
ữ ố
ữ y
y
ốyứ

x 2 +15=3x-2+ x 2 +8 3x - 2 + x 2 +8 -

x 2 +15=0

(3)
9


Xét hàm số: f (x) = 3x − 2 + x 2 + 8 − x 2 + 15 liên tục trên R
x
x
f '( x) = 3 + 2

− 2
> 0 ∀ x ∈ R → Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
x +8
x + 15
Ta có f ( 1) = 0 ↔ x = 1 → y =1. Vậy nghiệm của hệ phương trình ( x;y) = ( 1;1) .
ìï 7x3 - 3x2y - 3xy2 - y3 = 0 (1)
ï
Bài tập 13 Giải hệ phương trình: ïí 2
ïï x +3 + y2 + 8 + y2- 6 =0 (2)
ïî
3

3

Hướng dẫn: Phương trình (1) « ( x + y) = ( 2x) « x + y = 2x « x = y
Thay vào (2) ta được

x2+3 + x2 + 8 + x2- 6 =0

Xét hàm số f (t) = t+3 + t + 8 + t - 6 =0

(3)

t³ 0

1
1
+
+ 1>0 " t ³ 0 ® Hàm số đồng biến và liên tục trên [ 0;+¥ ) .
2 t+3 2 t + 8

Ta có f (t) = 0 « t = 1. Từ (3) « x2 = 1« x = ±1…
Vậy nghiệm của hệ phương trình ( x;y) = ( 1;1) ,( - 1;- 1)
f '(t) =

 2 x − y + 3 x − y = x + 2 x
( 1)
Bài tập 14 Giải hệ phương trình:  3
2
 x + 3 y + 4 x + 2 = ( x + 8) y + 7 ( 2 )
ìï 2x - y ³ 0
ïï
ïï 3x - y ³ 0
Hướng dẫn: Điều kiện íï
ïï x ³ 0
ïï y + 7 ³
î

Phương trình (1) «

x +( x - y) + 2x +( x - y) = x + 2x (3)

Xét x > y « x - y > 0 từ phương trình (3) vế trái lớn hơn vế phải
Xét x < y « x - y < 0 từ phương trình (3) vế trái nhỏ hơn vế phải
Xét x=y vế trái bằng vế phải
Vậy x=y thay vào (2) x 3 + 3x 2 + 4x + 2 = ( x + 8) x + 7 (1)
Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −7 (*)
Phương trình (1) ↔ ( x + 1) + x + 1 =
3

(

)

3

x+7 + x+7

(2)

Xét hàm số f (t) = t 3 + t t ∈ R , f '(t) = 3t 2 +1>0 ∀ t ∈ R → Hàm số luôn đồng biến trên R.

 x ≥ −1
↔ x = 2 ® y=2 là nghiệm
Từ (2) f (x + 1) = f ( x + 7) ↔ x + 1 = x + 7 ↔  2
x
+
x
−
6
=
0

của phương trình . Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(2;2)
 x 3 + 2x 2 y +12xy 2 - 40y3 =0 ( 1)

Bài tập 15 Giải hệ phương trình: 
x 4 − 2 x3 + 4 y − 1
( 2)
 x = 8 y3 − 2x2 + 4 y


10


x ≥ 0
(*) (*)
3
2
8y
−
2x
+
4y
≠
0


Hướng dẫn: Điều kiện 

Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình.

3

2

 x
 x
 x
Xét y ¹ 0 chia hai vế của (1) cho 8y ta được  ÷ +  ÷ +3  ÷ - 5=0
 2y
 2y

 2y
3

«

x
= 1 « x = 2y thay vào (2) ta được
2y

x 4 − 2x 3 + 2x − 1 (3)
x=
x 3 − 2x 2 + 2x

( ) = ( x-1)
x ) + 1 ( x − 1) + 1

( x + 1) ( x − 1) ↔
x=
2
x ( x − 1) + 1
(



Phương trình (3) ↔

(

)

3

x

3

3

2

2

(4)

3t 2 t 2 + 1 − 2t.t 3 t 4 + 3t 2
t3
=
≥ 0 → hàm số luôn
Xét f (t) = 2
, f '(t) =
2
2
2
2
t +1
t +1
t +1

(

(

)

)

đồng biến trên R. Từ phương trình (4) ta có
x ≥ 1
3+ 5
3+ 5
f x = f ( x − 1) ↔ x = x − 1 ↔  2
↔x=
→y=
2
4
x − x −1 = 0

( )

 3+ 5 3+ 5
;
2
4 ÷


Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y ) = 


(

)

 x 2 - y − 3 − y x - y y -3y=0 ( 1)

Bài tập 16 Cho hệ phương trình: 
y2 − y − 2 3 2 y + 1
 x +1 =
( 2)
3
2x + 1 − 3

Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm ( x1;y1) , ( x2;y2) và M ( x1;y1) , N ( x2;y2)

MN bằng? A. 5

B.

2 + 10
2

C.3

D.4

Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −1, x ≠ 13, y ≥ 0 (*)
ìï x = y
Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được ïíï

ïî x =- 3-

Với x=y thay vào (2) ta được

y ( loai do(*))

x 2 − x − 2 3 2x +1
x +1 =
3
2x +1 − 3

x2 − x − 6
(x + 2)( x + 1 − 2)
↔ x +1 + 2 = 3
⇔1=
3
2x + 1 − 3
2x + 1 − 3
↔ 2x + 1 + 3 2x + 1 =

(

)

3

x +1 + x +1

(2)

Xét f (t) = t 3 +t t ∈ R , f '(t) = 3t 2 +1>0 ∀ t ∈ R → Hàm số luôn đồng biến trên R.
11

Từ phương trình (2) ta có f

↔ x = 0; x =

(

3

) (

2x + 1 = f

)

x + 1 ↔ 3 2x + 1 = x + 1

1+ 5
1+ 5
1+ 5
là nghiệm cần tìm . Với x = 0 ® y = 0, x=
® y=
2
2
2

æ
ç1+ 5 ;1+
M

0;0
,
N
Vậy ( ) çç
çè 2
2

ö
5÷
2 + 10
÷
® MN =
Chọn (B)
÷
÷
2
ø

 x 2 - ( y − 4) x - 4y=0
( 1)
Bài tập 17 Cho hệ phương trình:  4
4
 3 + x + 4 3 − y = 1 + 5 ( 2)
Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm ( x1;y1) , ( x2;y2) và M ( x1;y1) , N ( x2;y2)
trung điểm của MN có tọa độ là? A.(0;0)
B.(1;2)
C.(3;-1)
D.(2;-3).
Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −3, y ≤ 3 (*)
ïì x = y

Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được ïí
ïïî x =- 4( loai do(*))

Với x=y thay vào (2) ta được 4 3 + x + 4 3 − x = 1 + 4 5
Điều kiện −3 ≤ x ≤ 3 . Hàm số f (x) = 4 x + 3 + 4 3 − x là hàm chẵn trên [ −3;3]
1
1
−
< 0 ∀x ∈[ 0;3) → hàm số luôn nghịch
Xét 0 ≤ x ≤ 3 y' = 4
3
3
4
4 ( 3 + x)
4 ( 3 − x)
biến trên [ 0;3] . Ta có f ( 2) = 1 + 4 5 → x = 2 là nghiệm.
1
1
−
> 0 ∀x ∈( −3;0) → hàm số luôn đồng
Xét −3 ≤ x < 0 y' = 4
3
3
4
4 ( 3 + x)
4 ( 3 − x)
biến trên [ −3;0) . Ta có f ( −2) = 1 + 4 5 → x = - 2 là nghiệm

Với x =- 2 ® y =- 2, x=2 ® y = 2 Vậy M ( - 2;- 2) , N ( 2;2)
® Tọa độ trung điểm của MN là (0;0) Chọn (A)

 x 3 + x 2 y + xy 2 - 3y 3 = 0
( 1)
Bài tập 18 Hệ phương trình:  2
2
 x + x + 1 − y − y + 1 = 3 + 1 ( 2 )
nghiệm? A.0
B.1
C.2
D.3
Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình.
3

có bao nhiêu

2

 x
 x
 x
Xét y ¹ 0 chia hai vế của (1) cho y3 ta được  ÷ +  ÷ +  ÷ - 3=0
 y
 y
 y
«

x
= 1 « x = y thay vào (2) ta được
y

x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = 3 + 1

Xét hàm số f (x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1

∀x ∈ R

12


f '(x) =

2x + 1
2 x2 + x +1

Xét g(t) =

t
t +3
2

−

2x − 1
2 x2 − x +1

t ∈ R , g '(t) =

biến trên R.
Ta có 2x + 1 > 2x − 1 ↔

2x + 1

=

( 2x + 1) 2 + 3
3

(t + 3) t + 3
2

2x + 1

( 2x + 1) 2 + 3

2

>

−

2x − 1

( 2x − 1) 2 + 3

>0 t ∈ R → g(t) là hàm số đồng

2x − 1

( 2x − 1) 2 + 3

→ f '(x) > 0 ∀x ∈ R nên f(x)

đồng biến trên R . Ta có f(1)= 3+1 ↔ x =1 → y=1.
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x;y) =(1;1)
Chọn (B)
 x 2 - y − 2 − y x - 2y - y y =0
( 1)

Bài tập 19 Cho hệ phương trình: 
 y − 1 + x ( y 2 − 3 y + 3) = 3 2 y + 2 + 2 x + 3 ( 2)
Giả sử hệ phương trình có nghiệm ( x0;y0 ) T = x0 + 4y0 thuộc khoảng nào
trong các khoảng sau? A.( 10;12) B.( 12;14) C.( 14;16) D.( 16;18)
Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 (*)

)

(

ìï x = y
Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được ïíï
ïî x =- 2-

y ( loai do(*))

Với x=y thay vào (2) ta được x − 1 + x(x 2 − 3x + 3) = 3 2x + 2 + 2x + 3 (3)
Phương trình (3) ↔ x − 1 +

( x − 1) + 1 = 3 2 x + 2 +
3

Xét f (t) = t + t + 1 ∀ t ∈ [ -1;+∞ ) , f '(t) = 1 +

3

→ Hàm số luôn đồng biến trên [ -1;+∞ )

3t 2
2 t3 + 1

(

3

)

3

2 x + 2 + 1 (4)

>0

Từ (4) f (x − 1) = f ( 3 2x + 2) ↔ x − 1 = 3 2x + 2 ↔ x = 3 ® y = 3 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x0;y0 ) = ( 3;3) ® T = 15 Î ( 14;16) Chọn (C).
2 2
2
Bài tập 20 Giải hệ phương trình:  x y − 2x + y = 0

(1)
 3
2
 2x + 3x + 6y − 12x + 13 = 0 (2)

2
Hướng dẫn: Phương trình (1) ↔ y =

 x≥0
2x
→
(*)

x 2 + 1  −1 ≤ y ≤ 1

Phương trình (2) ↔ 6y = 2x 3 + 3x 2 − 12x + 13 (3)
Xét hàm số f ( x) = 2 x 3 + 3x 2 − 12 x + 13 với −1 ≤ x ≤ 1 ta có bảng biến thiên

13


x

1

-1

-

f’(x)
26

f(x)

6

ïì - 6 £ VT £ 6
Phương trình (3) có ïí
vậy phương trình (3) « VT = VP = 6 « x = y = 6
ïïî 6 £ VP £ 26

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(6;6)

 3 x − y + 7 x − y = 2 x + 6 x
Bài tập 21 Giải phương trình  3
2
2
2
 y +6y +1 2 - y =2 1- x

)(

(

)

( 1)
( 2)

ïìï 3x - y ³ 0
ïï
ï 7x - y ³ 0
Hướng dẫn: Điều kiện í x ³ 0
(*)
ïï
ïï

ïïî 1- x2 ³ 0

Phương trình (1) «

2x +( x - y) + 6x +( x - y) = 2x + 6x (3)

Xét x > y « x - y > 0 từ phương trình (3) vế trái lớn hơn vế phải
Xét x < y « x - y < 0 từ phương trình (3) vế trái nhỏ hơn vế phải
Xét x=y vế trái bằng vế phải

)(

(

)

Vậy x=y thay vào (2) x 3 +6x 2 +1 2 - x 2 =2 1- x 2

(4)

Giải phương trình (4) Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1
Phương trình (4) ↔ x + 6x + 1 =
3

Ta thấy vế phải 0 ≤
có bảng biến thiên

2

2 1 − x2

1+

(

1− x

x

2

-1

)

2

2 1 − x2
1+

(

1 − x2

6

(5) .

≤ 1 . Xét hàm số y = x3 + 6 x 2 + 1 với −1 ≤ x ≤ 1 ta
1

0

-

y’

)

2

0

+

y
3
 x + 6 x2 + 1 = 1

↔ x = 0 → y = 0 là nghiệm cần tìm.
Phương trình ↔  2 1 − x 2
=
1

 2 − x2

8

14

Vậy (x;y)=(0;0)

 2x 3 + x 2 y + xy 2 - 4y3 = 0
( 1)
Bài tập 22 Giải hệ phương trình:  4
3
2
x − y − x − 1 = 0 ( 2)
 x + y + y
Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ 0.
Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình.

)

(

3

2

 x
 x
 x
Xét y ¹ 0 chia hai vế của (1) cho y ta được 2  ÷ +  ÷ +  ÷ - 4=0
 y
 y
 y
3

«

(

x
= 1 « x = y thay vào (2) ta được x 4 + x 3 + x 2
y

)

x − x − x − 1 = 0 (3)

Ta thấy x=0 không là nghiệm phương trình (3).
Xét x>0 chia hai vế của phương trình (3) cho x x ta được:
1
1
1
x3 + x 2 + x =
+
+
3
2
x
x
x

( ) ( )

Xét f (t) = t 3 +t 2 +t ∀t ∈ R , f '(t) = 3t 2 +2t+1>0 ∀t ∈ R
→ Hàm số luôn đồng biến trên R.
 1 

↔ x = 1 → y = 1.
Từ phương trình (2) ta có f (x) = f 
 x÷

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(1;1).
Nhận xét:
Trong 12 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên
cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài toán ở góc nhận biêt, thông hiểu như:
Có biến đổi 1 phương trình của hệ phương trình tìm mối liên hệ x,y có phân
tích nhân tử được không … khi đã có mối quan hệ x và y ta thay vào phương trình
còn lại của hệ và dùng hàm số để giải.

Cách ra “Hệ phương trình sử dụng hàm số để giải”
Bước 1: Xây dựng một phương trình hai ẩn để tại mối quan hệ x và y sử dụng
é

x = u( y)
2
ùx + u( y) .v( y) = 0 « ê
u
y
+
v
y
(
)
(
)
1/ Viét đảo x - é
ë

û
ê

ëx = v( y)
2/ Đẳng cấp ví dụ a.u3( x) + b.u2 ( x) .v( y) + c.u( x) .v2 ( y) + d.v3 ( y) = 0

3/ Đánh giá được mối quan hệ x và y
15


Bước 2:
Xây dựng một phương trình hai ẩn để thay mối quan hệ x và y sử dụng ở bước
1 thay vào được phương trình 1 ẩn sử dụng hàm số
1/ x 3 + αx = ax + b ( ax + b + α ) α >0

(

)

3
2
2/ x + βx + αx = ax + b ax + b + β ax + b + α với y = x 3 + βx 2 + αx luôn

(

4/ ax α +

( ax ) 2 + β

)

(

( bx ) 2 + β

= ± bx α +

)

là hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên R.
5/ ax + b +

( ax + b) 3 + α

= cx + d +

(

trong đó y = ax α +

( ax ) 2 + β

)

( cx + d ) 3 + α

6/ 3 ax + b + 3 ax + b + α = 3 cx + d + 3 cx + d + α với ac>0
Bước 3:
Với phương trình đã lập ở bước 2 ta giải bài toán này bằng cách biến đổi theo
chiều xuôi kiểm tra tính chính xác, mức độ đề để điều chỉnh và kết thúc ra đề.

Bài tập Giải các hệ phương trình sau

(

)

(

)

ìï x2 - y - y - 6 x - y y + 6 = 0
ï
1/ ïíï 3
ïïî x + y = ( y + 3) x + 2
ìï x3 + x2y + xy2 - 3y3 = 0
ïï
2/ íï
2
2
ïï x + x + 3 2y +1+ 2 y + y +1 =3
î
ïìï x3 - 2y +1= 0
3/ í
ïï ( 3- x) 2- x - 2y 2y - 1 = 0
ïî
ìï x11 + xy10 = y22 + y12
ï
4/ ïíï 4
4
2

2
ïï 7y +13x + 8 = 2y .3 x 3x + 3y - 1
î
ìï y3 + y = x3 + 3x2 + 4x + 2
ï
5/ ïí
ïï 1- x2 - y = 2- y - 1
ïî

(

)(

)

(

)

7.1.2 Danh mục tài liệu tham khảo:
[1]. Đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi THPT quốc gia môn Toán..
[2]. Đề thi HSG Toán 12 Tỉnh Vĩnh Phúc.
[3]. Sách giáo khoa Bài tập giải tích 12 nâng cao Nxb.Giáo dục.
[4]. Các đề thi thử ĐH của khối chuyên ĐHSP Hà Nội.
16


7.2 Khả năng áp dụng của sáng kiến:
SKKN này đã được áp dụng cho học sinh 12, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 .
SKKN này đã được áp dụng cho giáo viên: Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho

giáo viên cách ra bài tập hệ phương trình vô tỷ sử dụng hàm số.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Học sinh lớp 12 sau khi học tính đơn điệu hàm số, bồi dưỡng học sinh khá giỏi,
kiến thức áp dụng thi THPT quốc gia theo lộ trình. Tài liệu cho giáo viên bồi dưỡng
thường xuyên.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng
sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
- So sánh lợi ích kinh tế, xã hội thu được khi áp dụng giải pháp trong đơn so
với trường hợp không áp dụng giải pháp đó, hoặc so với những giải pháp
tương tự đã biết ở cơ sở (cần nêu rõ giải pháp đem lại hiệu quả kinh tế, lợi ích xã hội
cao hơn như thế nào hoặc khắc phục được đến mức độ nào những nhược điểm của
giải pháp đã biết trước đó - nếu là giải pháp cải tiến giải pháp đã biết trước đó);
- Số tiền làm lợi (nếu có thể tính được) và nêu cách tính cụ thể.
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả:
Đề tài này đã được tác giả dạy cho học sinh lớp 12 lớp đầu cao, bồi dưỡng học
sinh giỏi, ôn thi THPT quốc gia năm học trước. Giúp học sinh làm tốt các bài toán
giải phương trình vô tỷ sử dụng phương pháp hàm số.
Sáng kiến kinh nghiệm này là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên và học
sinh. Độc giả quan tâm có thể bổ sung thêm làm cho tài liệu thêm phong phú và hấp
dẫn hơn
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
.....................................................................................................................................
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng
sáng kiến lần đầu (nếu có):
Số Tên tổ chức/cá
TT

nhân
1

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

17


2

............., ngày…...tháng......năm........
Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)

Bình Xuyên, ngày 18.tháng 01 năm 2019
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)

Lê Văn Vượng

18