SKKN phương pháp giải một số dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Phương pháp giải một số dạng toán về luỹ
thừa với số mũ tự nhiên

I. Lời giới thiệu
Trong trường phổ thông, Toán học là bộ môn rất quan trọng. H ọc sinh
nắm vững các tri thức toán học và có kĩ năng th ực hành môn toán thì có
thể học tốt các môn học khác. Môn toán còn đóng góp tích c ực vào vi ệc
giáo dục cho học sinh những đức tính quý báu của người lao đ ộng: c ần cù,
nhẫn nại,... và làm cơ sở hình thành, phát triển tư duy khoa học, tư duy
logic,... cho học sinh.
Một trong những yếu tố quan trọng quyết định chất lượng dạy học toán là
việc tổ chức có hiệu quả hoạt động giải bài tập toán cho phù h ợp v ới các
đối tượng học sinh trong lớp. Muốn vậy, người th ầy ph ải ch ọn l ọc, phân
loại được các bài tập theo các dạng cho phù h ợp v ới t ừng đ ối t ượng h ọc
sinh để các em đều có thể tự tìm cách để làm được ít nh ất một trong các
bài toán mà thầy cô cho.
Trong chương trình môn Toán THCS, học sinh bắt đầu học về luỹ th ừa từ
lớp 6. Sau đó, kiến thức về luỹ thừa được dùng khá phổ biến và rộng rãi.
Đây là nội dung hay và có nhiều bài toán khó, nó đòi h ỏi học sinh ph ải v ận


dụng kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu h ọc sinh có
óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy. Tuy nhiên, trong
sách giáo khoa chỉ giới thiệu các công th ức cơ bản về luỹ th ừa, các d ạng
toán đưa vào chương trình còn ít và đơn điệu, chưa có đủ các dạng bài tập,
nhất là các bài tập khó, bài tập đi sâu phát tri ển ki ến th ức nâng cao qua
các dạng toán về luỹ thừa. Vì thế mà học sinh còn nhầm lẫn khi biến đổi
các bài toán có liên quan đến lũy thừa, thậm chí nhiều em còn nghĩ các bài
toán có lũy thừa thường khó nên khi có bài toán lũy th ừa th ường bỏ qua.
Trong khi đó, các bài toán về luỹ thừa với số mũ t ự nhiên trong các sách
tham khảo môn toán, các tạp chí toán học và trên th ư vi ện đi ện t ử r ất đa

dạng và phong phú. Do đó, đòi hỏi người thầy phải biết tổng h ợp, phân
loại các dạng toán thường gặp và phương pháp để giải chúng để h ướng
dẫn học sinh tìm tòi, định hướng cách giải và đúc rút kinh nghi ệm cho bản
thân. Chính vì thế, bản thân tôi thấy cần phải có một đề tài v ề các d ạng
toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên và phương pháp gi ải chúng đ ể giúp
học sinh vận dụng linh hoạt kiến th ức cũng nh ư phát tri ển cho h ọc sinh
tính tư duy, sáng tạo hơn trong học và giải toán về luỹ th ừa. Đó chính là lý
do tôi viết sáng kiến: “ Phương pháp giải một số dạng toán về luỹ thừa với
số mũ tự nhiên ”.
II. Nội dung
1. Cơ sở lí luận


Nghiên cứu chương trình môn toán THCS, tôi thấy kiến thức cơ bản về luỹ
thừa được trình bày cẩn thận, giúp học sinh dễ hiểu. Tuy nhiên, qua quá
trình dạy học về phần luỹ thừa tôi thấy nhiều học sinh chỉ làm đựơc các
bài toán ở mức độ đơn giản là áp dụng trực tiếp kiến th ức SGK ch ứ ch ưa
biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Khi gặp bài toán khó nh ư so
sánh luỹ thừa, toán chứng minh, toán chia hết, …thì các em rất lúng túng về
cách giải, hoặc không có cách giải chặt chẽ, vận dụng ki ến th ức ch ưa sáng
tạo.
Trước thực trạng trên, khi dạy về phần này thì GV cần cung cấp các công
thức cơ bản cũng như nâng cao về luỹ thừa cho học sinh một cách vững
chắc, từ các bài toán cơ bản biết khai thác nhiều dạng toán nâng cao; t ừ đó
xây dựng phương pháp giải phù hợp cho từng dạng. Cụ th ể, giáo viên c ần
yêu cầu học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau:
a. Định nghĩa: Luỹ thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi
thừa số bằng a

an = a.a…. .a (n thừa số a)

b. Các công thức cơ bản về luỹ thừa: ( với n, m ÎN*; x, y Î R; x, y
1,

xn = x.x…x

2,

xn . xm = xn + m

3,

xn : xm = xn - m

( n thừa số x)

(n >m )

0)


4,

(xn)m = xn . m

5,

(x . y)n = xn . yn

6,

(x : y)n = xn : yn

* Quy ước: xo =1; x1 = x
2. Một số dạng toán về lũy thừa với số mũ tự nhiên và ph ương pháp gi ải
Qua thực tế giảng dạy, tôi đã phân loại và tổng hợp lại ph ương pháp
giải một số dạng toán về luỹ thừa với số mũ tự nhiên nh ư sau:
2. 1. Tính giá trị của biểu thức
* Phương pháp giải:
- Áp dụng các công thức cơ bản về lũy thừa
- Biến đổi các luỹ thừa trong biểu thức về các luỹ thừa c ủa s ố nguyên
tố.
- Có thể sử dụng tính chất ab ± ac = a (b ± c), đưa tử và mẫu về
dạng tích
- Rút gọn phân số
Ví dụ 1: Viết kết quả các phép tính sau dưới dạng một luỹ th ừa:
a, 420. 810

b, 2715 : 910

c, 920 : (0,375)40

Giải:
a, 420. 810 = (22)20. (23)10 = 240 . 230 = 270
b, 2715 : 910 = (33)15 : (32)10 = 345: 320 = 325


c, 920 : (0,375)40 = (32)20 : (0,375)40 = 340 : (0,375)40 = (3 : 0,375)40 = 840
Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
A=

B=

Giải:
A=

=

=

B=

=

= 23 = 8

=

=

=

=

* Những sai lầm (hạn chế của học sinh) khi giải dạng toán trên:
Khi làm ví dụ 1, học sinh th ường mắc sai lầm do tính toán sai, do nh ầm
lẫn giữa phép nâng lên luỹ thừa và phép nhân (có th ể h ọc sinh l ấy c ơ s ố
nhân với số mũ), hoặc do học sinh áp dụng sai các công thức cơ bản v ề luỹ

thừa. Do đó, trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần h ướng d ẫn h ọc sinh
thật chi tiết cách vận dụng các công thức cơ bản về luỹ th ừa.
Khi làm ví dụ 2, học sinh thường sai lầm do ch ưa đ ưa tử và m ẫu v ề d ạng
tích đã rút gọn hay chưa biến đổi các luỹ thừa trong biểu th ức về các luỹ
thừa với cơ số là số nguyên tố
*Bài tập tương tự:
Tính giá trị của biểu thức: A =

;

B=

2. 2. Tìm cơ số hoặc số mũ của một luỹ thừa
Ví dụ 1: Tìm x Î N biết:
a,

b,

c,

d,

=9

Giải:
a,

2x . 23 = 27

b,

=9

= 32 = (-3)2


2x = 27 : 23

2x = 2 4

x=4
c,

Trường hợp 1: Nếu x – 3 = 0

x = 3 (vì 06 = 07 = 0)

Trường hợp2: Nếu x – 3 ¹ 0, chia 2 vế cho (x – 3) ta

được

hay x – 3 = 1
d, Cách 1:
Cách 2:

x=4

x = 0 hoặc x = 1 (vì 0100 = 0 và 1100 = 1)

Qua quá trình giảng dạy môn Toán ở THCS, tôi đã tổng h ợp kinh nghiệm
của bản thân và học hỏi bạn bè, đồng nghiệp để viết đề tài này. Đ ối v ới
mỗi khối, lớp có thể trình bày theo những cách khác nhau cho phù h ợp v ới
đối tượng học sinh. Chẳng hạn, trong ví dụ d, đối v ới h ọc sinh l ớp 6, l ớp 7
có thể trình bày cách 2 như sau:

Tích

khi

hoặc
Vậy

= 0 hoặc

= 1 thì

* Nhận xét:
Ở câu a ta biến đổi 2 vế của đẳng thức về luỹ thừa cùng c ơ số, đẳng
thức xảy ra khi số mũ ở 2 vế bằng nhau.
Ở câu b ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa cùng số mũ, đẳng thức xảy ra khi
cơ số ở 2 vế bằng nhau.
Ở câu c, d ta sử dụng công thức 0n = 0 và 1n = 1 (nÎN*) hoặc đưa về
dạng tích(câu d).
Ví dụ 2: Cho A= 3 + 32 + 33 +…+ 32008. Tìm x biết: 2A + 3 = 3x
Giải :


Ta có 3A = 3( 3 + 32 + 33 +…+ 32008) = 32 + 33 +…+ 32008 +32009
A = 3 + 32 + 33 +…+ 32008

trừ vế cho vế của hai đẳng thức trên, ta được:
3A – A = 32009- 3
2A = 32009- 3
2A + 3 = 32009- 3 + 3

2A + 3 = 32009

lại có: 2A + 3 = 3x
Suy ra: 32009 = 3x

x = 2009

* Nhận xét: Từ ví dụ trên ta có thể rút ra bài toán tổng quát:
A = n + n2 + n3 +…+ nk
nA – A = nk+1- n

A=

( n, k Î N; n >1, k ³ 1)

Mở rộng bài toán đối với 2 ẩn x, y sau:(dùng khi bồi dưỡng học sinh
giỏi)
Ví dụ 3: Tìm x, y biết:

a,

+

b, 2x + 2x+3 = 136
Giải:

a, Vì (x-3)2 ³ 0 "x
(y+2)2 ³ 0 "y

=0


Để

+

=0

b, Vì 136 = 2.4 + 27
Nên 2x + 2x+3 = 2.4 + 27

x=4

* Nhận xét:
Câu a, b vì các hạng tử đều lớn hơn hoặc bằng 0 nên t ổng c ủa chúng
bằng 0 khi các hạng tử đều bằng 0
Câu c ta biến đổi vế phải về dạng tổng thích h ợp v ới v ế trái, đ ẳng
thức xảy ra khi ta đồng nhất các hạng tử thích hợp của 2 vế.
Bài toán trên là cơ sở để phát triển bài toán cao và khó hơn sau:
Ví dụ 4*: Tìm các số tự nhiên x, y biết:
a, 2x+1. 3y = 12x

b, 8. 23x. 7y = 562x. 5x-1

d, 5x + 5y = 3250 (x < y)

Giải
a, 2x+1. 3y = 12x

2x+1. 3y = (2.3)x
2x+1. 3y = 22x. 3x
x = y =1


b, 8. 23x.

= 562x. 5x-1

23. 23x.

.

= (23.7)2x. 5x-1

= 26x . 72x . 5x-1

c, 5x + 5y = 3250 (x < y)
5x(1 +

* Nhận xét:

) = 53.26

Ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa của các số nguyên tố,

đẳng thức xảy ra khi số mũ của luỹ thừa cùng cơ số ở 2 vế bằng nhau (câu

a). Đồng thời triệt tiêu các số mũ của luỹ thừa không cùng cơ số(câu b)
hoặc so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số(câu c).
Qua một số ví dụ trên, có thể rút ra phương pháp giải của dạng 2:
Biến đổi hai vế của phương trình để đưa về so sánh các luỹ thừa cùng
cơ số hoặc cùng số mũ.
Hoặc biến đổi các số đã cho dưới dạng luỹ thừa với cơ số hoặc số mũ
thích hợp, sau đó đưa về phương trình tích hoặc đồng nhất các hạng t ử
thích hợp của hai vế


Áp dụng tính chất: Luỹ thừa bậc chẵn của một số thì luôn không âm
để đưa về phương trình tổng hai số không âm bằng không khi và chỉ khi tất
cả các số hạng đều bằng không
*Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm x biết:
a, (2x + 3)4 = 2401

b, 32x . 27 = 2187

Bài 2*: Tìm số tự nhiên x, y thoả mãn:
a, 2x . 3y+2 = 122y

b, 2x + 3x = 5x

3. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Đối với giáo viên: Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần nghiên cứu kĩ
nội dung và chương trình SGK, soạn giáo án cụ thể, chi ti ết; thiết k ế bài
giảng sinh động để thu hút học sinh tham gia vào bài gi ảng. Bên c ạnh đó,
giáo viên cần đầu tư thời gian tìm tòi, lựa chọn xây dựng hệ thống các bài
toán theo dạng bài tập để rèn kĩ năng vận dụng, trình bày bài giải, phát

triển tư duy cho học sinh, qua đó giúp các em tự tin và h ứng thú trong h ọc
tập.
Đối với học sinh: Các em cần có đầy đủ SGK, SBT cũng nh ư d ụng c ụ h ọc
tập. Các em cần nắm chắc kiến thức cơ bản, hiểu bản chất c ủa nó đ ể có
thể vận dụng vào làm đúng, thành thạo những bài tập trong SGK, sách bài


tập. Từ đó, có thể khai thác để làm một số bài tập nâng cao và n ắm đ ược
một số phương pháp giải phù hợp cho từng dạng bài.
Đối với nhà trường: Cần trang bị cơ sở vật chất đầy đủ như: phòng học
đạt chuẩn, thiết bị dạy học, thư viện , … đảm bảo tốt cho điều kiện dạy
và học của giáo viên cũng như của học sinh.