SKKN một số dạng toán về số chính phương

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH XUYÊN
TRƯỜNG THCS PHÚ XUÂN

Mã sáng kiến: …………………………

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên sáng kiến: Một số dạng toán về số chính phương
Tác giả sáng kiến: Phạm Đức Bình
Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THCS Phú Xuân, Xã Phú Xuân,
Huyện Bình Xuyên, Tỉnh Vĩnh Phúc
Số điện thoại: 01646229599
E_mail:

Vĩnh Phúc, năm 2016


Mã sáng kiến: …………………………

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên sáng kiến: Một số dạng toán về số chính phương


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó giải toán là
hình thức chủ yếu. Chính vì vậy việc dạy học sinh giải bài tập là điều vô cùng

quan trọng và trong đó đặc biệt chú trọng đến thực hành. Thực hành giải toán
không chỉ là thực hiện các bài tập thực hành mà quan trọng là luyện tập rèn kỹ
năng vận dụng vào thực tế, qua đó hình thành và phát triển cho học sinh tư duy
lô-gíc và phương pháp luận khoa học.
Để có thể phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và
giải toán thì bên cạnh việc cung cấp cho học sinh kiến thức, người giáo viên cần
phải hình thành và cung cấp cho học sinh tri thức phương pháp để giúp học sinh
có khả năng thích ứng với những thay đổi nội dung hay nói một cách đúng hơn
là tạo dựng cho học sinh phương pháp học và khả năng tư duy, từ đó tạo cho các
em năng lực nghiên cứu và hứng thú tìm tòi trong việc học toán.
Qua quá trình giảng dạy tôi thấy hầu hết học sinh khá giỏi còn hạn chế
trong việc khai thác, phát triển khả năng tư duy, khi đứng trước một bài toán học
sinh thường lúng túng trong việc tìm lời giải, chưa có kinh nghiệm đúc kết các
phương pháp và thường bị bó hẹp mang tính khuân mẫu, năng lực phát triển mở
rộng khai thác kiến thức thường rất hạn chế do đó khi gặp các bài toán đòi hỏi
tính sáng tạo, lời giải nhanh gọn thì chưa có khả năng đáp ứng được nhất là với
các bài toán có liên quan đến số chính phương.
Làm thế nào để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất của loại toán trên, vận
dụng kiến thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này như thế
nào? Giải quyết được vấn đề này không phải dễ dàng khi mà tài liệu đề cập đến
loại toán này không nhiều, trong chương trình giảng dạy toán THCS không có
một tiết nào dành cho GV dạy một cách hệ thống cho học sinh những bài toán
dạng này mà chúng thường xuất hiện một cách đơn lẻ trong SBT, SGK, sách
tham khảo.
1


2. Tên sáng kiến: Một số dạng toán về số chính phương
3. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Phạm Đức Bình- Giáo viên Trường THCS Phú Xuân – Bình Xuyên –

Vĩnh Phúc

4. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Trong chương trình Toán 6, các em đã được học về các bài toán lien quan
tới phép chia hết của số tự nhiên và đặc biệt là được giới thiệu về số chính
phương, đó là số bằng bình phương của số một số tự nhiên (VD: 0; 1; 4; 9; 16;
25; 36; 100; 144;…). Người viết đề tài mong muốn kết hợp với các kiến thức cơ
bản đó và bổ sung them 1 số kiến thức khác để các em có thể giải quyết bài toán
về số chính phương hay vận dụng các kiến thức khác để các em có thể giải quyết
bài toán về số chính phương vào hoạt động giải toán. Đây cũng là một cách giúp
các em củng cố, khắc sâu và mở rộng thêm hiểu biết về số chính phương. Những
bài toán đã được phân dạng về số chính phương sẽ làm tăng thêm lòng say mê
yêu thích môn toán cho các em.
Là một giáo viên dạy toán tôi nhận thấy những bài toán liên quan đến số
chính phương rất hay và quan trọng đối với các em học sinh, với các GV dạy bồi
dưỡng học sinh giỏi toán, trong các bài toán số học thi HSG toán thường xuất
hiện dạng toán liên quan đến số chính phương. Đặc biệt hơn với các em HS khá
giỏi lớp 6 khi mới được làm quen với dạng toán suy luận khi giải toán số học
cho nên phương pháp giải còn nhiều hạn chế, các em có thể tìm thấy trong nội
dung đề tài này nhiều điều bổ ích, cần thiết và thú vị. Các em HS lớp 7, 8, 9
cũng được ôn tập lại, hệ thống kiến thức số học đã học và bổ sung thêm nhiều
kiến thức thú vị khác, tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán số học.
Sáng kiến được áp dụng cho các đối tượng HS có học lực khá giỏi về toán
THCS, có ý thức tìm tòi say mê yêu thích số học, có thể dùng để bồi dưỡng
HSG toán. Các em HS khá giỏi lớp 6 cũng có thể tìm thấy nhiều kiến thức hay,
cần thiết trong đề tài này.
2


5. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Ngày 31/8/2015
6. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
I. Một số lưu ý:
- Nắm vững định nghĩa số chính phương là số bằng bình phương của một số
nguyên.
- Nắm vững kiến thức về phép chia hết và phép chia có dư trong N.
- Nắm vững các kiến thức về đồng dư của nhiều số, có kĩ năng tìm chữ số tận
cùng của một lũy thừa, biểu thức số bằng cách áp dụng đồng dư và các tính chất
của đồng dư.
- Có kĩ năng thêm, bớt, tách số một cách phù hợp trong giải bài tập toán số
học.
- Quan sát biểu thức số linh hoạt để vận dụng kiến thức liên quan một cách
hợp lí nhất.
- Phát hiện và vận dụng được các tính chất, bổ đề hay, cần thiết có liên quan
đến việc giải bài toán về số chính phương hay kết hợp với kiến thức về số chính
phương để tìm hướng giải quyết cho 1 bài toán số học.
II. Một số dạng toán về số chính phương:
Dạng 1: Chứng minh một số không phải là số chính phương.
Cách 1: Xét chữ số tận cùng
- Kiến thức: Dựa vào định nghĩa số chính phương là số bằng bình phương của
một số nguyên nên số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các
chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9.
- Các bài toán minh họa:
Bài 1: Chứng minh rằng số:
3


A = 12321425235623666353435355464534223
không phải là số chính phương.

Giải:
Khi xét đồng dư mod 10 ta nhận thấy số chính phương phải có chữ số tận cùng
là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 mà A có chữ số tận cùng là 3 nên A không
thể là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng số:
M = 20112  2012 3  20134  2014 5  99999
không phải là số chính phương.
Giải:
Theo đồng dư mod 10 ta có các số 20112 ,2012 3 ,2013 4 ,2014 5 ,99999 có chữ số tận
cùng lần lượt là: 1, 8, 1, 4, 9 nên M có chữ số tận cùng là 3 ( theo mod 10) khác
0; 1; 4; 5; 6; 9. Do đó M không thể là số chính phương.
Nhận xét: Có rất nhiều số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 nhưng lại không
là số chính phương. Như vậy để suy luận giải thích, chứng minh các số này
không phải là số chính phương ta phải làm như thế nào? Chúng ta còn có cách
khác để chứng minh một số không phải là số chính phương:
Cách 2: Vận dụng tính chất của phép chia hết:
- Kiến thức:
Nếu một số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì nó phải chia hết
cho p 2 .
Ngoài ra nếu ta để ý một chút thì khi ta phân tích 1 số chính phương ra thừa số
nguyên tố thì ta có số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ
chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. Chính vì thế, nếu khai thác
nhận xét trên ta có phát biểu tổng quát sau:

4


Nếu một số chính phương chia hết cho p n ( với p là số nguyên tố và n là số
tự nhiên lẻ) thì nó phải chia hết cho p n 1 .
- Các bài toán minh họa:

Bài 3: Chứng minh rằng số N = 35345643643630 không phải là số chính
phương.
Giải:
Ta có N chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng N không chia hết cho 25
vì 2 chữ số tận cùng của N là 30 không chia hết cho 25. Do vậy N không thể là
số chính phương (đpcm).
Nhận xét: - Ta hoàn toàn có thể suy luận khi giải bài toán trên theo cách khác
như sau:
Do N chia hết cho 2 (vì N có chữ số tận cùng là 0) mà N lại không chia hết cho
4 do 2 chữ số tận cùng của N là 30 không chia hết cho 4 nên N không phải là số
chính phương.
- Theo cách suy luận trên ta có khẳng định sau: Một số chính phương có chữ số
tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục phải là 2.
Bài 4: Chứng minh rằng số có tổng các chữ số là 2013 thì số đó không phải là số
chính phương.
Giải:
Ta nhận thấy tổng các chữ số của số 2013 là 6 nên số 2013 chia hết cho 3 mà
không chia hết cho 9 nên số có tổng các chữ số là 2013 cũng chia hết cho 3 mà
không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương.
Sau đây là một bài toán khó mà lời giải của nó áp dụng phát biếu tổng quát
trong phần kiến thức ở trên:
Bài 5: Chứng minh rằng số: P = 55 2011  33 2012  2222 2013  99 2014 không phải là số
chính phương.
5


Phân tích:
Nếu xét chữ số tận cùng của P thì P tận cùng là 9 nên hướng làm này không
thực hiện được. Nhưng ta để ý một chút thì ta sẽ chứng minh được P chia hết
cho 112011 và P không chia hết cho 112012 .

Từ đó ta kết luận được P không phải là số chính phương (dựa vào phát biểu tổng
quát).
HS tự trình bày lời giải.
Nhận xét:
Ta đặt vấn đề ở bài toán 4 tổng các chữ số không chia hết cho 3 (chẳng hạn
là 2015) thì ta phải làm thế nào? Khi đó chúng ta phải nghĩ tới điều gì? Vì bài
toán cho tổng các chữ số nên chắc chắn chúng ta phải nghĩ tới phép chia cho 3
hoặc cho 9. Vậy ta nghĩ tới việc xét số dư khi chia số đó cho 3. Vậy thì số chính
phương chia cho 3 có thể dư bao nhiêu? Chúng ta có thêm cách nữa để giải loại
toán này:
Cách 3: Xét số dư của số chính phương khi chia cho 1 số:
+ Kiến thức:
- Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
- Số chính phương khi chia cho 4 chỉ có số dư là 0; 1.
- Số chính phương khi chia cho 6 chỉ có số dư là 0; 1; 3; 4.
- Số chính phương khi chia cho 8 chỉ có số dư là 0; 1; 4.
+ Các bài toán minh họa:
Bài 6: Chứng minh rằng 1 số có tổng các chữ số là 2015 không phải là số chính
phương.
Giải:
Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 (ta dễ dàng
chứng minh được). Do tổng các chữ số của số đó là 2015 chia 3 dư 2 nên số có
6


tổng các chữ số là 2015 chia 3 cũng dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số
chính phương.
Các bài tập sau có cách giải tương tự:
Bài 7: Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên lien tiếp từ 2 đến 2007 không phải
là số chính phương.

Phân tích: Tính trực tiếp ta có tổng trên bằng 2015027 chia 3 dư 2.
HS tự trình bày bài làm.
Bài 8: Chứng minh rằng số: D = 2012 2012  2012 2014  2012 2016  89
không phải là số chính phương.
Phân tích: Các số 2012 2012 ,2012 2014 ,2012 2016 ,89 khi chia cho 3 có số dư lần lượt là
1, 1, 1, 2. Do đó D chia 3 dư 2.
Nhận xét: Nếu số đang xét chia cho 3 dư 1 thì hướng giải quyết như thế nào?
Ta có bài toán sau:
Bài 9: Chứng minh rằng số: C = 4 2012  44 2013  444 2014  4444 2015  15
không phải là số chính phương.
Nhận xét: Ở bài toán này ta không thể làm tương tự như các bài toán ở trên
được. Vậy ta có thể xét số dư của C khi chia cho 4, số dư đó là 3. Một số chính
phương khi chia cho 4 sẽ có số dư như thế nào? Chúng ta có thể chứng minh
được ngay là dư 0 hoặc dư 1. Như vậy việc giải bài toán này không có gì là khó.
Giải:
C = 4 2012  44 2013  444 2014  4444 2015  15
C = 4 2012  44 2013  444 2014  4444 2015  12  3
Ta có các số: 4 2012 ,44 2013 ,444 2014 ,4444 2015 ,12 đều chia hết cho 4 nên C chia 4 dư 3
mà số chính phương khi chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1. Vậy C không thể là số chính
phương (đpcm).
7


Cách 4: Sử dụng phương pháp kẹp:
- Kiến thức: Để chứng minh một số không phải là số chính phương ta còn có thể
chứng minh số đó nằm giữa hai số chính phương liên tiếp. Tức là:
Với n và x là 2 số tự nhiên mà n 2  x  (n  1) 2 thì x không phải là số chính
phương.
- Các bài toán minh họa:
Bài 10: Chứng minh rằng số H = 4025025 không phải là số chính phương.

Nhận xét: Số H có 2 chữ số tận cùng là 25, chia hết cho 3, cho 9 và chia 4 dư 1
nên ta không thể làm tương tự các bài trên được. Vậy phải tìm hướng làm khác.
Giải:
Ta có: 2007 2 4028049; 2006 2 4024036.
Cho nên: 2006 2  H  2007 2. Vậy H không thể là số chính phương.
Nhận xét: Ngoài cách đó ra còn cách khác khi đã học về căn bậc 2 của 1 số. Ta
có: 4025025 2006,246495 nên H không thể là số chính phương.
Bài 11: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính
phương.
Giải:
Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là n và n + 1 (n khác 0).
Ta có: n 2  n(n  1)  (n  1) 2 => n(n + 1) không phải là số chính phương.
Ngoài các cách làm trên ta còn có cách khác là vận dụng các bổ đề quan trọng
có liên quan đến số chính phương:
Cách 5: Sử dụng một số bổ đề quan trọng trong số học:
- Kiến thức:

8


Bổ đề 1 (định lí nhỏ Phéc–ma): Nếu (a, p) = 1 với a là số nguyên dương và p là
số nguyên tố thì a p 1 1(mod p).
Hướng dẫn chứng minh:
a, 2a, 3a, 4a, …, (p – 1)a không số nào chia hết cho p. Do vậy:
a.2a.3a.4a...( p  1)a 1.2.3.4...( p  1) (mod p )  đpcm.

Bổ đề 2: Nếu a 2  b 2 p ; p 4k  3 và p là số nguyên tố thì a, bp.
Hướng dẫn chứng minh:
- Nếu a hoặc b chia hết cho p thì ta có ngay đpcm.
- Nếu (a, p) = (b, p) = 1 thì theo định lí Phéc – ma nhỏ ta có:

a 4 k 2  b 4 k 2 2(mod p ) mà a 4 k 2  b 4 k 2 a 2  b 2 p. (mâu thuẫn) => đpcm.

Bổ đề 3: Số có dạng 4k + 3 thì tồn tại ước số nguyên tố cũng có dạng 4k + 3.
- Bài toán minh họa:
Bài 12: Cho 2 số tự nhiên a > b và a + b chia hết cho 2. Chứng minh rằng:
a 2  a  b 2 không thể là số chính phương.

Giải:
Giả sử a 2  a  b 2 n 2  (2a  1  2b)(2a  1  2b) 4n 2  1
Vì 2a – 1 + 2b chia 4 dư 3 nên chứa ước nguyên tố p = 4k + 3.
Suy ra: 4n 2  1 chia hết cho p => 1 chia hết cho p (mâu thuẫn) => đpcm.
Dạng 2: Chứng minh một số là số chính phương:
2.1) Chứng minh điều kiện cần để 1 số là số chính phương bằng cách xét chữ
số tận cùng:
Bài 1: Chứng minh rằng một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số
hàng chục là 2.
Giải:
9


Gọi A là số chính phương có tận cùng là 5 => A có dạng a5

2

2

Ta có: A = a5 (10a  5) 2 100a 2  100a  25.
Vì chữ số hang chục của 100a 2 ,100a là 0 nên chữ số hàng chục của A là 2.
Bài 2: Chứng minh rằng một số chính phương có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số
hang chục là một số lẻ.

Giải:
Đặt M = a 2 . Vì M có chữ số tận cùng là 6 nên a có chữ số tận cùng là 4 hoặc 6.
- Nếu a có chữ số tận cùng là 4 thì a có dạng b4 .
2

Ta có: M = b4 (10b  4) 2 100b 2  80b  16.
Vì chữ số hàng chục của 100b 2 ,80b đều là số chẵn nên chữ số hàng chục của M
là 1 số lẻ.
- Nếu a có chữ số tận cùng là 6 thì a có dạng b6 .
2

Ta có: M = b6 (10b  6) 2 100b 2  120b  36.
Vì chữ số hàng chục của 100b 2 ,120b đều là số chẵn nên chữ số hàng chục của M
là 1 số lẻ.
2.2) Chứng minh 1 số là số chính phương bằng cách dựa vào định nghĩa:
Bài 3: Chứng minh rằng số:

11 ...155...5 6
K = nc/ s   
là số chính phương.
( n  1) c / s

Giải:
2

2



10 n  2 

10 2 n  1
10 n  1

4
.

1

...
34 .
Biến đổi ta có: K =

  33




9
9
 3 
 ( n  1) c / s 

Vậy K là số chính phương.

10


Bài 4: Chứng minh rằng: G = n(n +1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương với
mọi số tự nhiên n.
Giải:

Biến đổi ta có: G = n(n +1)(n + 2)(n + 3) + 1 =  n 2  3n  1

2

Vậy G là số chính phương.
Dạng 3: Tìm số để 1 biểu thức có giá trị là số chính phương, giải PT nghiệm
nguyên.
Ở dạng toán này ta sẽ dung tính chất của số chính phương để giải loại bài
toán tìm số nguyên, và do đó cũng cần tới cả các kiến thức, phương pháp để giải
PT nghiệm nguyên.
Các bài toán minh họa:
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để số Z = 9 + 2 n là số chính phương.
Hướng dẫn:
Đặt 9 + 2 n = a 2 <=> 2 n = (a + 3)(a – 3). Do đó: a + 3 = 2 x ; a – 3 = 2 y ; x > y; x +
y = n.
Suy ra: 2 y (2 x  y  1) 6  x 3; y 1. Thử lại thấy đúng.
Vậy n = x + y = 4.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để A = n 4  2n 3  2n 2  n  7 là số chính phương.
Hướng dẫn:
 A (n 2  n  1) 2
2
2
2
2
(
n

n
)


A

(
n

n

3
)

Ta có:

2
2
 A (n  n  2)

Thay A vào biểu thức trong đầu bài ta tìm được n = 2.
Trước khi kết thúc nội dung đề tài ”Một số dạng toán về số chính phương” tôi
xin đưa ra 1 số bài toán tự luyện:
Bài 1: Chứng minh rằng các số sau không phải là số chính phương:
11


A = 4543643645768767697890870782;
B = 5356436456456745765865856756758.
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k thì số F =
1  9 2 k  77 2 k  1977 2 k không phải là số chính phương.

Bài 3: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kì không phải là số
chính phương.

Bài 4: Chứng minh rằng số D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không phải là số chính
phương với mọi số nguyên dương n.
Bài 5: Chứng minh rằng số 3 n  4 không phải là số chính phương với mọi số tự
nhiên n.
Bài 6: Chứng minh rằng: Tổng các bình phương của 4 số tự nhiên lien tiếp
không thể là số chính phương.
Bài 7: Chứng minh rằng số E 235  2312  232003 không phải là số chính phương.
Bài 8: Chứng minh rằng số R 333333  555555  777 777 không phải là số chính
phương.
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 3 thì số n! + 2009 không phải
là số chính phương.
Bài 10: Cho 2 số A và B, biết số A là số gồm 2m chữ số 1, số B là số gồm m chữ
số 4. Chứng minh rằng A + B + 1 là số chính phương.
Bài 11: Biết a + 1 và 2a + 1 (a là số tự nhiên) đồng thời là 2 số chính phương.
Chứng minh rằng a chia hết cho 24.
Bài 12: Có hay không số tự nhiên n để 2002 + n 2 là số chính phương.

12


- Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
Quá trình ứng dụng của đề tài này là đối với học sinh THCS, nhất là học sinh
khá giỏi về môn toán. Đề tài được áp dụng cho một số nội dung quan trọng trong
chương trình số học bồi dưỡng HSG môn toán. Trong thực tế tôi nhận thấy có
rất nhiều bài toán số học trong các đề thi HSG toán hay thi giải toán trên máy
tính cầm tay Casio các khối lớp có liên quan đến số chính phương cho nên với
giáo viên dạy bồi dưỡng HSG đề tài là 1 tài liệu tham khảo rất cần thiết và hữu
ích.
7. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):
Trong sáng kiến không có thông tin nào cần được bảo mật.

8. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Qua quá trình giảng dạy về phía bản thân tôi nhận thấy muốn trang bị cho học
sinh các phương pháp, kĩ năng giải toán tốt, hướng dẫn, giáo dục để khơi dậy
niềm đam mê học tập đối với học sinh thì trước hết người thầy giáo cần phải có
lương tâm và trách nhiệm, có lòng say mê nghề nghiệp và thương yêu học sinh,
giữ đúng mối quan hệ thầy trò đúng mực, nắm vững đặc điểm tâm sinh lí học
sinh, nắm vững từng đối tượng để đưa ra những bài tập cho phù hợp ở mức nhất
định những kiến thức, nội dung, chủ đề đã học vào hoạt động giải toán, vào các
môn học khác, vào đời sống ở trong và ngoài nhà trường.
- Người thầy giáo phải nhiệt tình, say mê với bài giảng, có ý thức phấn đấu
thường xuyên, nắm vững phương pháp giảng dạy đặc trưng của bộ môn toán.
- Vạch ra kế hoạch, lên kế hoạch, luyện tập giải toán cho học sinh trong
từng thời gian và phải đạt được những kết quả nhất định cho từng thời gian.
- Lên kế hoạch giảng dạy cho từng thời gian cho phù hợp, thể hiện sự tăng
tiến từ thấp đến cao, từ lúng túng, chưa tự tin đến mạnh dạn, tự tin trong quá
trình giải toán.

13


9. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia
áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có):

9.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
Việc khai thác và đưa “Một số phương pháp giải bài toán về số chính
phương” như trên, tôi thấy học sinh nắm được kiến thức cơ bản và vận dụng vào
làm bài tập một cách chủ động, tích cực và đạt kết quả cao. Rèn luyện được cho
học sinh kỹ năng giải các loại toán và đặc biệt là rèn luyện học sinh khả năng tư

duy toán học, hình thành các phương pháp giải toán cơ bản. Từ đó tạo ra sự
hứng thú cho học sinh khi học tập bộ môn, nâng cao khả năng tự học, tự nghiên
cứu toán học, nâng cao năng lực giải quyết các tình huống do thực tế tạo ra.
Dạy toán là dạy học sinh giải toán, giúp nâng cao khả năng tư duy của học
sinh. Vậy để học sinh biết cách giải toán, nâng cao được khả năng tư duy đòi hỏi
người giáo viên phải biết lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp, thiết kế bài
dạy theo một trình tự tư duy hợp lý, tổ chức học sinh học tập tích cực, chủ động.
Biết tổng hợp, khai thác, phát triển từ những vấn đề cơ bản. Trong giai đoạn hiện
nay, việc thực hiện đổi mới chương trình giáo dục phổ thông nhằm tạo ra những
con người năng động sáng tạo đáp ứng yêu cầu thời đại mới, thời đại công
nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Mỗi người giáo viên chúng ta cần nắm vững
chương trình đổi mới, nghiên cứu kỹ chương trình và tích cực đổi mới phương
pháp dạy học, lấy học sinh làm trung tâm, tổ chức hướng dẫn học sinh chủ động
trong lĩnh hội kiến thức.
Với những suy nghĩ và thực hiện như trên khi hướng dẫn học sinh trên lớp,
tôi thấy các em hào hứng và say mê giải các bài tập dạng tương tự một cách linh
hoạt và sáng tạo. Trước những bài toán chứng minh là số chính phương các em
không tỏ ra lung túng như trước mà bình tĩnh biến đổi biểu thức và sử dụng
thành thạo các phương pháp đã học để làm.
14


Trên đây là một số trao đổi nhỏ của tôi với các đồng nghiệp một số dạng bài
toán về số chính phương. Tôi rất mong nhận được những ý kiến góp ý, sự giúp
đỡ từ các đồng nghiệp để tôi hoạn thiện mình hơn và có nhiều kinh nghiệm hơn
trong giảng dạy.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

15

9.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp
dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
1. Đối với giáo viên:
+ Phát huy được tính tích cực của học sinh. GV có them tư liệu để tự bồi
dưỡng, tự học.
+ Thu hút học sinh tham gia say mê trong quá trình học tập một cách tự giác.
+ Sử dụng được nhiều phương pháp trong quá trình giảng giải cho nhiều đối
tượng học sinh khác nhau.
2. Đối với học sinh:
Đối với học sinh khi thực hiện đề tài này đã đem lại nhiều kết quả:
- Học sinh tích cực hơn trong học tập bộ môn toán THCS.
- Học sinh đoàn kết, trao đổi, chia sẻ cho nhau các phương pháp giải toán, học
tập mang tính tập thể cao.
- Học sinh được bồi dưỡng niềm say mê toán học. Chất lượng học sinh khá giỏi
được nâng cao.
- Học sinh mạnh dạn luyện tập giải toán, tạo thói quen tốt cho học sinh, xây
dựng nâng cao kiến thức, đảm bảo chất lượng trong quá trình học tập bộ môn
toán.
Kết quả khảo sát nội dung chuyên đề đối với 15 em học sinh khá giỏi khối 6:
Lớp

Giỏi

Khá

Trung

Yếu

bình
6A (10 hs)

5

5

0

0

6B (5 hs)

1

2

2

0

16


10. Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):
Số

Tên tổ chức/ cá

TT

nhân

1

Phạm Đức Bình

Địa chỉ

Phạm vi/ Lĩnh vực áp
dụng sáng kiến

Trường THCS

Sáng kiến được áp dụng

Phú Xuân, Bình

trong công tác bồi dưỡng

Xuyên, Vĩnh Phúc HSG toán THCS
2

Phú Xuân, ngày 18 tháng 10 năm 2016 Phú Xuân, ngày 18 tháng 10 năm 2016
Thủ trưởng đơn vị/

Tác giả sáng kiến

Chính quyền địa phương

(Ký, ghi rõ họ tên)

(Ký tên, đóng dấu)

Nguyễn Xuân Quỳnh

Phạm Đức Bình

17