SKKN một số DẠNG PHƯƠNG TRÌNH mũ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

MẪU 1.1

CỘNG HÒA
XÃ HỘITHPT
CHỦ YÊN
NGHĨA
VIỆT NAM
TRƯỜNG
LẠC
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

===***===

ĐƠN ĐỀ NGHỊ
CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ

Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến Sở GD&ĐT Tỉnh Vĩnh Phúc

BÁO CÁO KẾT QUẢ
Tên tôi là: Lê Xuân Hưng

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Chức vụ : Tổ phó

Đơn vị/địa phương: Trường THPT Yên Lạc
0969126082
Tên Điện

sángthoại:
kiến:
MỘT SỐ

DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG

TRÌNH LOGARIT
Tôi làm đơn này trân trọng đề nghị Hội đồng Sáng kiến Sở GD&ĐT Tỉnh
Vĩnh Phúc xem xét và công nhận sáng kiến cấp cơ sở cho tôi đối với sáng
kiến/các sáng kiến đã được Hội đồng Sáng kiến cơ sở công nhận sau đây:

Tênkiến
tác :giả
sángSỐ
kiến:
Lê Xuân
HưngTRÌNH MŨ, PHƯƠNG
Tên sáng
MỘT
DẠNG
PHƯƠNG
TRÌNH LOGARIT
Tổ bộ môn: Toán - Tin

(Có Báo cáo Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kèm theo)

Mã sáng kiến: 52

Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật,
không xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ của người khác và hoàn toàn chịu trách

nhiệm về thông tin đã nêu trong đơn.
Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị
(Ký tên, đóng dấu)

Yên Lạc, ngày 15 tháng 02 năm 2020
Người nộp đơn

Vĩnh Phúc, năm 2020


Lê Xuân Hưng

MỤC LỤC
1.
Lời
giới
……………………………………………………………..

thiệu

1

2.
Tên
sáng
……………………………………………………………

kiến

1

3.
Tác
giả
sáng
…………………………………………………………

kiến

1

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến………………………………………..........

2

5.
Lĩnh
vực
áp
dụng
………………………………………………

kiến

2

thử

2

7. Mô tả bản chất của sáng kiến …………………………………………..

2

7.1. Về nội dung của sáng kiến …………………………………….

2

6. Ngày sáng kiến
………………………

được

áp

dụng

PHẦN
1:
CƠ
…………………………………………

lần

sáng
đầu

SỞ

áp

dụng

LÍ

LUẬN

PHẦN 2: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG
TRÌNH LOGARIT

3
4

Vấn đề 1. Phương trình mũ, phương trình logarit đưa về cùng cơ số

4

Vấn đề 2. Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng cách đặt
ẩn phụ

13

Vấn đề 3. Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng phương 24
pháp hàm số
PHẦN
3:
THỰC
…………………………

NGHIỆM

–

ĐÁNH

GIÁ 39


1.
Mục
………………………

đích

và

phương

pháp

thực

hiện 39

2.
Tổ
chức
………………………………………

thực

nghiệm 39

3.
Kết
quả
………………………………………

thực

nghiệm 39

7.2.
Về
khả
năng
……………………………

áp

8.
Những
thông
tin
………………………………………
9. Các điều kiện cần
……………………………

thiết

dụng
cần
để

của
được

áp

dụng

sáng

kiến 39

bảo

mật 39

sáng

kiến

40

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 40
sáng kiến theo ý của tác giả hoặc theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã
tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử
…………………………………
10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp

dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả …………………………………

4
0

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp
dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân …………………………

4
0

11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu ………………………………………………….

4
1



BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1. Lời giới thiệu
Trong những năm gần đây, tỉnh Vĩnh Phúc luôn đứng trong tốp đầu cả nước
về chất lượng thi đại học, cao đẳn và thi Trun học phổ thông (THPT) Quốc gia.
Trường THPT Yên Lạc luôn nỗ lực để duy trì và nâng cao hơn nữa chất lượng
giáo dục mọi mặt của nhà trường. Nhiệm vụ ấy vừa là trách nhiệm, vừa là niềm
vinh dự của mỗi giáo viên. Bộ Giáo dục và Đào tạo thay đổi hình thức thi môn
toán sang thi trắc nghiệm, trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia, tôi
nhận thấy cách dạy và học môn toán cần có sự thay đổi so với các năm trước.

Đặc biệt, đề thi môn Toán trong kì THPT Quốc gia được thi theo hình thức trắc
nghiệm, đề thi có phổ kiến thức rộng và sâu, khác nhiều so đề thi theo hình thức
tự luận trước đây. Do đó việc dạy và học kiến thức lớp cho học sinh lớp 12 cần
có sự thay đổi để phù hợp với hình thức thi mới. Kiến thức ôn tập từ cơ bản đến
nâng cao nhằm phù hợp với các mức độ nhận thức của từng học sinh. Trường
THPT Yên Lạc ngoài việc tập trung nâng cao chất lượng đầu cao còn chú trọng
nâng cao kết quả học tập của các học sinh có học lực yếu và trung bình. Trong
phần kiến thức phương trình mũ và phương trình logarit luôn có mặt ở mức độ
thông hiểu, nhận biết và mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia.
Để giúp học sinh lớp 12 có có kỹ năng tốt hơn trong việc học phần kiến
thức phương trình mũ và phương trình logoarit tôi chọn viết đề tài “Một số
dạng phương trình mũ, phương trình logarit” nhằm góp phần giúp học sinh
nắm trắc kiến thức và kỹ năng về phần kiến thức này, qua đó giúp các em học
sinh có thể đạt kết quả tốt THPT Quốc gia sắp tới.
2. Tên sáng kiến: “Một số dạng phương trình mũ, phương trình logarit”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Lê Xuân Hưng
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc
- Số điện thoại: 0969126082
1


- Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
- Họ và tên: Lê Xuân Hưng
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc
- Số điện thoại: 0969126082
- Email:
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Lĩnh vực: Giải tích lớp 12.

- Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Củng cố, nâng cao kiến thức, kỹ năng giải
toán phương trình mũ và logarit cụ thể:
+ Củng cố kiến thức từ cơ bản đến nân cao kiến thức về phương trình mũ
và logarit.
+ Phát triển các năng lực tự học, sáng tạo, hợp tác, tính toán, công nghệ
thông tin, giải quyết vấn đề cho học sinh.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng áp dụng vào lớp 12A tháng 12 năm 2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung của sáng kiến:
Sáng kiến gồm 3 phần:
PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
PHẦN 2: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG
TRÌNH LOGARIT
PHẦN 3: THỰC NHIỆM – ĐÁNH GIÁ

2


PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
Dạy học giải quyết vấn đề là con đường quan trọng để phát huy tính tích
cực của học sinh. Quan điểm dạy học này là không xa lạ ở Việt Nam. Các nội
dung cơ bản dạy học giải quyết vấn đề làm cơ sở cho những phương pháp dạy
học phát huy tính tích cực khác.
Với hình thức thi trắc nghiệm môn Toán ngoài việc học sinh cần nắm trắc
kiến thức cơ bản, ngoài ra học sinh cần nắm được một số cách thức làm bài ngắn
gọn và chính xác để đạt được kết quả đúng.
Đối với dạng toán phương trình mũ và logarit học sinh cần nắm được
công thức logarit, tính chất hàm số mũ, hàm số logarit, tính chất hàm số. Trong
các bài toán nâng cao học sinh cần biết kết hợp nhiều kiến thức như kiến thức
hàm số (tính đơn điệu), bất đẳng thức…để giải dạng toán này.

3


PHẦN 2: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH
LOGARIT

Thời lượng: 03 tiết
Tiết 01. “Phương trình mũ, phương trình logarit đưa về cùng cơ số”
Tiết 02. “Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng cách đặt ẩn
phụ”
Tiết 03. “Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng phương pháp
hàm số”

Vấn đề 1. Phương trình mũ, phương trình logarit đưa về cùng cơ số
1. Phương pháp:

+ Phương trình:

a f ( x) = a g ( x)

�
a =1
�
�
0 < a �1
�
�
�
�

�
�
�f ( x) = g ( x)
� �

�
0 < a �1
�
�
log a f ( x ) = log a g ( x ) � �
�f ( x) = g ( x) > 0
Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f ( x) > 0 hoặc g ( x) > 0 tuỳ thuộc vào độ phức

tạp của f ( x) > 0 và g ( x) > 0 .
+ Phương trình:

�
0 < a �1, b > 0
�
�
�f ( x) = log a b
a f (x) = b � �
�
0 < a �1
�
�
b
log a f ( x) = b � �
�f ( x) = a

2. Một số ví dụ:
2

x - 5 x+6
=1 .
Ví dụ 1: Giải phương trình 2
Lời giải
�
x =2
�
�
2
2
�
x =3
�
2 x - 5 x+6 =1 � x - 5 x + 6 = 0

4

.


Vậy tập nghiệm là S = { 2;3} .

( 7 + 4 3)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình

2 x+1

=2-

3

.

Lời giải
Ta có

(

7 +4 3

)

2 x+1

� 4 x =- 3

(

=2-

3 � 2 +2 3

� x =-

)

4 x+2

(

= 2+ 3

)

- 1

� 4 x + 2 =- 1

3
4.

Vậy nghiệm của phương trình là

x =-

3
4.

x- 1
3- 2 x
Ví dụ 3: Giải phương trình 4 = 8
.

Lời giải

Ta có

4

�x=

x- 1

3- 2 x

=8

22 x 512
�
= 6x
8x
8x
11
4
2 � 2 = 2048 � 2 = 2 � 8 x =11

11
8.

Vậy phương trình có nghiệm

Ví dụ 4: Giải phương trình

( 2,5)

5 x- 7

( 2,5)

5 x- 7

x+1

x=

11
8.
x+1

��
2�
=�
�
�
�
��
5� .
Lời giải
5 x- 7

- x- 1

��
��
��
2�
5�

5�
�
�
=�
�
=
�
�
� � 5 x - 7 =- x - 1 � x =1
�
�
�
�
�
�
��
��
��
5�
2�
2�

Ta có
.
Vậy phương trình có nghiệm x =1 .

Ví dụ 5: Phương trình

8

2 x- 1
x+1

( )

= 0,25.

2

7x

có tích các nghiệm bằng?
Lời giải

5


Ta có

8

2 x- 1
x+1

�2

3.

( 2)

= 0, 25.
2 x- 1
x+1

- 2

= 2 .2

7x

7x
2

�2

�2

3.

3.

2 x- 1
x+1

2 x- 1
x +1

- 2

= 2 .2

=2

7x
2

7 x- 4
2

�
x =1
�
2x - 1 7 x - 4
2
� 3.
=
� 7x - 9x + 2 = 0 � � 2
�
x +1
2
x=
�
� 7.

2 2
1. =
Vậy tích các nghiệm bằng 7 7 .
Ví dụ 6: (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG LẦN 01 NĂM 2018) Cho phương trình
log 0,5 ( m + 6 x ) + log 2 ( 3 - 2 x - x 2 ) = 0

( m là tham số). Có bao nhiêu
giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm thực?
A. 17

B. 18

C. 23

D. 15

Lời giải
Chọn A
�
�
m + 6x > 0
- 3 < x <1
�
�
�
�
�
2
�
�
m + 6x > 0
3 - 2x - x > 0 �
Điều kiện �
.

Khi

log 0,5 ( m + 6 x) + log 2 ( 3 - 2 x - x 2 ) = 0

đó,

� log 2 ( 3 - 2 x - x 2 ) = log 2 ( m + 6 x )

� 3 - 2 x - x 2 = m + 6 x � 3 - 8x - x 2 = m ( *) .
2
�
Xét hàm số f ( x) =- x - 8 x + 3 trên ( - 3;1) , ta có f ( x ) =- 2 x - 8 ;
f�
( x) = 0 � x =- 4 .

Bảng biến thiên

6


Từ BBT suy ra phương trình ( *) có nghiệm trên ( - 3;1) � - 6 < m <18
.
Do m nguyên dương nên m �{1;2;...;17} .

log 5 ( x - 1) = log 5 ( mx + 4 x )
Ví dụ 7: Tìm tham số m để phương trình
có
nghiệm.
Lời giải
log 5 ( x - 1) = log5 ( mx + 4 x ) � log 5 ( x - 1) 2 = log 5 ( mx + 4 x)
.

�x - 1 > 0
��
�
2
�
( x - 1) = mx + 4 x .
�
�x >1
�
�x - 1 > 0
��
�
1
�
� �2
�
x
6
+
=m
�
�
x
�x - 6 x +1 = mx �
.

1
1
1

f ( x) = x + - 6
f�
( x) =1 - 2 f �
( x) = 0 � 1 - 2 = 0
x
x ,
x
Đặt
. Ta có:
� x =�1
Bảng biến thiên:

x
f�
( x)

f ( x)

+�

1

+

0

+�

-4

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm khi m >- 4 .
Ví dụ 8: (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1-2018) Số các giá trị nguyên
log 2 ( x - 1) = log 2 ( mx - 8)
của tham số m để phương trình
có hai
nghiệm phân biệt là
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. Vô số.
Lời giải
7


Chọn A

�x >1
�x >1
�
�
log 2 ( x - 1) = log 2 ( mx - 8) � �
��
2
2
�
( x - 1) = mx - 8 �
�x - ( m + 2) x + 9 = 0
�
.
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực lớn hơn 1 thì điều kiện sau

thỏa mãn
�
m <- 8
�
�
�
�
�
�
�
m 2 + 4m - 32 > 0
m>4
�
�
�
�
�
�
D
>
0
�
�
�
��
( x1 - 1) +( x2 - 1) > 0 � �m > 0 � 4 < m < 8
�
�
�
�

1
<
x
<
x
2
� 1
�
�
8- m >0
�
�
( x1 - 1)( x2 - 1) > 0
�
�
�
�
�
�

Vì m ��� m �{ 5,6,7} .
Ví dụ 9: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Hỏi có bao nhiêu
giá trị m nguyên trong [- 2017;2017 ] để phương trình
log ( mx) = 2log ( x +1) có nghiệm duy nhất?
A. 2017 .

B. 4014.

C. 2018.
Lời giải

D. 4015.

Chọn C
Điều kiện x >- 1, mx > 0 .
2

log ( mx ) = 2log ( x +1) � mx = ( x +1) � m =

Xét
f�
( x) =

( x +1)

x
2
( x +1)
f ( x) =
x

hàm
�
x =1
x2 - 1
�
=
0
�
�

x =- 1 ( l )
x2
�

Lập bảng biến thiên

8

2

( x > - 1, x �0)

;


Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

�
m=4
�
�
m < 0.
�

[ 2017;2017] và m �� nên chỉ có 2018 giá trị m nguyên thỏa
Vì m �yêu cầu là
m �{ - 2017; - 2016;...;- 1;4} .

Chú ý: Trong lời giải, ta đã có thể bỏ qua điều kiện mx > 0 vì với
phương trình log a f ( x) = log a g ( x) với 0 < a �1 ta chỉ cần điều kiện

f ( x) > 0 .

Ví dụ 10: (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho phương trình

( 2log32 x -

log 3 x - 1) 5 x - m = 0

(m là tham số thực). Có tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng 2
nghiệm phân biệt?
A. 123 .

B. 125 .

C. Vô số.

D. 124 .

Lời giải
Chọn A
�
x >0
�
�
�x �log 5 m
Điều kiện: �

�
�

log x =1
x =3
�
� 3
� 1
�
1
��
log 3 x =��
x=
�
�
2
3
�
�
�
�=
x log 5 m
x = log 5 m
�
�
Phương trình
.
TH1: Nếu m =1 thì x = log 5 m = 0 (loại) nên phương trình đã cho có 2
nghiệm phân biệt.
9


TH2: Nếu m >1 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt

khi và chỉ khi
1
�<<
log
< 5m
3

3

5

1
3

m 125

. Do m ��� m �{ 3;4;5;...;124}

Vậy có tất cả 123 giá trị nguyên dương của m thoả mãn yêu cầu bài
toán.
3. Một số bài tập trắc nghiệm
2 x+1
=125 có
Câu 1: (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Phương trình 5
nghiệm là

A.

x=

3
2

B.

x=

5
2

C. x =1

D. x = 3

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của x thỏa mãn đẳng thức
log 3 x = 3log 3 2 + log 9 25 - log 3 3
.
20
40
25
28
A. 3 .
B. 9 .
C. 9 .
D. 3 .
Câu 3: Tổng

giá

trị

tất

cả

log3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x =
82
A. 9 .

các

nghiệm

của

phương

trình

2
3 bằng

80
B. 9 .

C. 9 .

D. 0 .

Câu 4: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Tổng các nghiệm của phương

2

x +2 x
= 82- x bằng
trình 2
A. 5 .
B. - 5 .

D. - 6 .

C. 6 .
2

x
x+1
Câu 5: Tìm tập nghiệm của phương trình 4 = 2

�1 �
S =�
- ; 1�
�
�.
�2 �
B.

A. S = { 0; 1} .
�
1- 5 1 + 5 �
�
S =�

;
�
�
�
2
2 �
�
�.
C.

�
S =�
- 1;
�
�
�
D.
10

1�
�
�
2�
�.


x

4

x- x 2

Câu 6: Tập nghiệm của phương trình
�
2�
�
0; �
�
�
�
�
3
�.
�
A.
.

�
1�
�
0; �
�
�
�
�
2
�.
�
B.

��
1�
=�
�
�
�
��
2 � là
�
3�
�
0; �
�
�
�
�
2
�
�
D.

C. { 0;2} .

x- 1
3- 2 x
Câu 7: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Giải phương trình 4 = 8
.

A.

C.

x=

11
8.

x=

1
8.

B.

D.

x=

4
3.

x=

8
11 .

Câu 8: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Nghiệm
x
x +1
x

x +1
của phương trình 2 + 2 = 3 + 3 là.

A.

C.

log 3
4

3
2.

B. x =1 .

x = log 3
2

3
4.

x = log 4
D.

3

2
3

.

Câu 9: (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Tập nghiệm của phương trình
log 3 ( x 2 - 7) = 2 là
A. {- 15; 15}

B. {- 4;4}

C. { 4}

Câu 10: (SGD Phú Thọ – lần 1 - năm 2017 – 2018)
log 3 ( 2 x - 1) = 4

D. { - 4}
Phương trình

có nghiệm là

A. x = log 2 82 .

B. x = log 2 65 .

C. x = log 2 81 .

D. x = log 2 66 .

Câu 11: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Tìm tập nghiệm S
của phương trình log 2 ( x - 1) + log 2 ( x +1) = 3 .
A. S = { - 3;3}

B. S = { 4}

11


C. S = { 3}

D.

{

S = - 10; 10

}

Câu 12: Số nghiệm của phương trình log 2 x + log 2 ( x - 6) = log 2 7 là
A. 0 .

B. 3 .

Câu 13: Số nghiệm của phương trình
A. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

log 3 ( x 2 + 4 x ) + log 1 ( 2 x + 3) = 0
3

B. 2 .

là

D. 0 .

C. 1 .

Câu 14: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018)
x

3 x- 1

��
��
4 ��
7�
16
= 0 là
Tập nghiệm của phương trình �
�
�
�
�
�
��
��
7 ��
4�
49
S
�

S =�
�
�
A.

1�
�
2�
�.

B. S = { 2} .

�
1
1�
�
� ;- �
�
�
�
2
2
�.
�
C.
Câu 15:

�1 �
S =�
- ; 2�

�
�
�
�
2
�.
�
D.

Tổng
tất
cả
các
nghiệm
log 2 ( x - 1) + log 2 x = 1 + log 2 ( 3x - 5) bằng
A. 7 .

B. 6 .

của

phương

C. 5 .

trình

D. 4 .

Câu 16: (THPT Lương Văn Chánh Phú Yên năm 2017-2018) Tìm tập

log 3 ( x 2 - 2 x + 3) - log 3 ( x +1) =1
S
nghiệm của phương trình
.

A. S = { 0;5} .

B. S = { 5} .

C. S = { 0} .

D. S = {1;5} .

Câu 17: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Gọi S là tập nghiệm của
2

phương trình 2log 2 ( 2 x - 2) + log 2 ( x - 3) = 2 trên �. Tổng các phần
tử của S bằng
A. 8 .

B. 6 + 2 .

C. 4 + 2 .

D. 8 + 2 .
12


Câu 18: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018)

log
Tìm tham số m để phương trình
nghiệm thực duy nhất.
A. 1 < m < 2.

B. m >1.

2018

( x - 2) = log 2018 ( mx)

C. m > 0.

có

D. m < 2.

Câu 19: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 –
2018)Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của m để
log 1 ( x + m) + log 3 ( 3 - x ) = 0

phương trình
nhiêu tập con?
A. 4 .

3

B. 8 .

có nghiệm. Tập S có bao

D. 7 .

C. 2 .

Câu 20: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN -2018) Tập hợp các giá trị thực của
log 3 ( 1 - x 2 ) + log 1 ( x + m - 4) = 0

3
tham số m để phương trình
có hai
nghiệm thực phân biệt là T = ( a; b) , trong đó a , b là các số nguyên
hoặc phân số tối giản. Tính M = a + b .

33
A. 6 .
Câu 21:

(SGD

17
B. 3 .
Bắc

Giang

9
C. 2 .
-

2018)

Cho

41
D. 4 .
phương

trình

log 0,5 ( m + 6 x ) + log 2 ( 3 - 2 x - x 2 ) = 0

( m là tham số). Có bao nhiêu
giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm thực?
A. 17 .
B. 18 .
C. 23 .
D. 15 .
Câu 22: (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho phương trình

( 4log 22 x + log 2 x - 5)

7x - m = 0 m
( là tham số thực). Có tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai
nghiệm phân biệt
A. 49 .

B. 47 .

C. Vô số.

D. 48 .

Câu 23: (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho phương trình

( 2log 22 x -

3log 2 x - 2) 3x - m = 0 m
( là tham số thực). Có tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình đã cho có
hai nghiệm phân biệt?
13


A. 79 .
Câu 24:

B. 80 .

D. 81 .

C. Vô số.

(MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho phương trình

( 2log 22 x -

log 2 x - 1) 4 x - m = 0 m
( là tham số thực). Có tất cả bao
nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai

nghiệm phân biệt
B. 62 .

A. Vô số.

C. 63 .

D. 64 .

Câu 25: (THPT Lương Thế Vinh Đồng Nai lần 2 – 2019) Có bao nhiêu giá
m sao cho phương trình
trị
nguyên của tham số
log 2 ( x 2 - 3 x + 2m) = log 2 ( x + m)

A. 10 .

B. 9 .

có nghiệm thực?
C. Vô số.

D. 8 .

BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
11.C
21.A

2.B

12.C
22.B

3.A
13.C
23.A

4.B
14.A
24.B

5.B
15.A
25.B

6.D
16.A

7.A
17.C

8.C
18.C

9.B
19.B

10.A
20.D

Vấn đề 2. Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng cách đặt ẩn phụ
1. Phương pháp:
kx
( k - 1) x
...a1a x + a0 = 0 , khi đó đặt t = a x , điều
+ Phương trình ak a + ak - 1a
k
( k - 1)
...a1t + a0 = 0
kiện t > 0 , ta được: a k t + ak - 1t
f (x)
* Mở rộng: Nếu đặt t = a , điều kiện hẹp t > 0 .

2 f ( x)

2

3 f ( x)

3

kf ( x )

k

a

- f ( x)

=

1
t.

=t ,a
= t ,..., a
= t và
Khi đó: a
x
x
x
+ Phương trình a1a + a2b + a3 = 0 , với a.b =1 . Khi đó, đặt t = a ,
bx =

1
t , ta được:

điều kiện t > 0 , suy ra
a2
a1t + t + a3 = 0  a1t 2 + a3t + a 2 = 0 .
f ( x)
*Mở rộng: Với a.b =1 thì khi đặt t = a , điều kiện hẹp t > 0 , suy ra

b

f ( x)

=

1

t.
14


x

2x
2x
a
a
+
a
ab
+
a
b
= 0 . Khi đó chia hai vế của
(
)
1
2
3
+ Phương trình
2x

x

��
��
a�

a�
�
�
a
a
x
�
�
2x
�
1�
2�
2x
�
� a3
�
a
,
a
.
b
(
)
��
��
b
b
b
>
0

phương trình cho
(hoặc
), ta được:
+
+
= 0.
x

��
a�
t =�
�
�
2
�
�
��
b
Đặt
, điều kiện t > 0 , ta được a1t + a2t + a3 = 0 .
* Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử
a

2 f ( x)

,b

2 f ( x)

,( a.b )

f ( x)

, ta thực hiện theo các bước sau:
2 f ( x)
> 0 (hoặc
- Chia hai vế của phương trình cho b

a

2 f ( x)

,( a.b)

f ( x)

).

f ( x)

��
a�
t =�
�
�
�
�
��
b
- Đặt

, điều kiện hẹp t > 0 .
●
f ( x)
Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t > 0 cho trường hợp đặt t = a

chẳng hạn:
x
Nếu đặt t = a thì t > 0 là điều kiện đúng.
2

x +1
Nếu đặt t = 2
thì t > 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều
kiện cho t phải là t �2 . Điều này đặc biệt quan trong cho lớp các bài toán có
chứa tham số.
2. Một số ví dụ:
x
x+1
Ví dụ 1: Giải phương trình 9 + 2.3 - 7 = 0 .

Lời giải
Ta có
x

9 + 2.3

x+1

�
3x =1

�
- 7 = 0 � 3 + 6.3 - 7 = 0 � �x
� x =0
3
=7
VN
(
)
�
.
2x

x

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 .
2
Ví dụ 2: Tính tích các nghiệm của phương trình log x ( 125 x) log 25 x =1 .

Lời giải
15


Điều kiện: 0 < x �1 , ta có:
log x ( 125 x) log 225 x =1 � log 225 x + log 225 x.log x 125 = 1

3
� log 225 x + log 25 x - 1 = 0
2
�
�

1
x =5
�
log 25 x =
�
��
2 �� 1
�
�
x= 2
log 25 x =- 2
�
�
� 25 .
�

1
Vậy tích các nghiệm của phương trình là: 125 .
2

2

2

x - x
+ 2 x - x- 2 = 4 x - x- 1 +1 .
Ví dụ 3: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2
Tìm số phần tử của tập S .

Lời giải

Điều kiện xác định x ��.
Xét phương trình:
2

2

x2 - x

+2

� 4.2
�2

(

x 2 - x- 2

x2 - x

2 x2 - x

)

+2

=4

x2- x

x 2 - x- 1

= 4.4

+1 � 2
x 2 - x- 1

x2- x

2
2x - x
+
= 4 x - x- 1 +1
4

+ 4 � 5.2

x2 - x

=2

(

2 x2 - x

)

+4

2

- 5.2 x - x + 4 = 0 .

�
t =1
2
�
t
5
t
+
4
=
0
�
x - x
�
t =4
�
Đặt t = 2 , t > 0 Phương trình trở thành:
.
2

�
x =0
2
t =1 � 2 x - x =1 � x 2 - x = 0 � �
�
x =1
�
Với

.
�x = 2
2
t = 4 � 2 x - x = 22 � x 2 - x - 2 = 0 � �
�
x =- 1
�
Với
.

Vậy tập nghiệm của phương trình S = { - 1;0;1;2} có 4 phần tử.
16


x
x+1
Ví dụ 4: Tìm số nguyên m để phương trình 4 - m.2 + 2m = 0 có hai
nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 3 .

Lời giải
x
x
Phương trình � 4 - 2m.2 + 2m = 0 ( 1)

2
x
Đặt t = 2 , t > 0 phương trình trở thành t - 2m.t + 2m = 0 ( 2) .

Để phương trình ( 1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = 3 điều
kiện là phương trình ( 2) có hai nghiệm t1 , t2 > 0 thỏa mãn

t1.t2 = 2 x1.2 x2 = 2 x1 +x2 = 8 . Vậy điều kiện là

�
�
�
D�
= m 2 - 2m > 0
�
�
�
�b
- = 2m > 0
� m=4
�
�
a
�
�
�
c
�
= 2m = 8
�
�
�a
.
Vậy m = 4 .
Ví dụ 5: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá
x
x+1

trị của tham số m để phương trình 4 - 3.2 + m = 0 có hai nghiệm
thực x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 < 2.
A. m < 9 .
B. 0 < m < 4 .

C. 0 < m < 2 .

D. m > 0

.
Lời giải
Chọn B
2
x
Đặt t = 2 , ( t > 0) . Phương trình trở thành t - 6t + m = 0 ( 1) .

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để phương trình ( 1) có hai nghiệm
t1 , t2 dương thỏa mãn log 2 t1 + log 2 t2 < 2 � t1t2 < 4 .

17


�
D�
�0 �
D�
= 9 - m �0
�
�
�

�
�
�
S >0
3>0
�
�
�
� 0 �
�
�
�
P
>
0
m
>
0
�
�
�
�
�
�
P
<
4
m <4
�

�
�
�
Ta được
.

Ví dụ 6: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Tìm tất cả
m
các
giá
trị
của
tham
số
để
phương
trình
log 32 x - ( m + 2) log 3 x + 3m - 1 = 0
có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x1.x2 = 27

A. m =- 2 .

B. m =- 1 .

C. m =1

D. m = 2

.

Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x > 0 .
2
Đặt log 3 x = t ta có phương trình t - ( m + 2) t + 3m - 1 = 0 .

log 32 x - ( m + 2) log3 x + 3m - 1 = 0
Phương trình
có hai nghiệm x1 , x2
2
thỏa mãn x1.x2 = 27 � t - ( m + 2) t + 3m - 1 = 0 có hai nghiệm phân

biệt

t1 ,

t2 thỏa mãn

�
D >0
m 2 - 8m + 8 > 0
�
�
��
�
�
�
t1 + t2 = 3 �
m +2 =3
t1 + t2 = 3 �

�
�

�
�
m <4- 2 2
�
�
�
�
��
�
m>4+2 2
�
�
�
�
�
m =1
�
� m =1 . Vậy m =1 .
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

Ví dụ 7:
2

4x - 2x

2

+2

+ 6 = m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.
Lời giải

2

2
x
0 t 1.
Đặt t = 2 . Do x <�
2
Ta có phương trình t - 4t + 6 - m = 0 ( 1) .

18


x =� log 2 t
Do với mỗi t >1 thì có hai nghiệm
, còn với t =1 chỉ có
một nghiệm x = 0 . Nên để phương trình ban đầu có đúng 3 nghiệm thì
phương trình ( 1) có một nghiệm t1 =1 và một nghiệm t2 >1 .
Phương trình ( 1) có nghiệm t =1 khi 1 - 4 + 6 - m = 0 � m = 3 .
�
t =1
��
2
�
t =3
�

Thay m = 3 vào ( 1) , ta có: t - 4t + 3 = 0
. Vậy m = 3 thỏa
mãn.
Ví dụ 8: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Có bao nhiêu giá
trị nguyên dương của tham số m để phương trình
16 x - 2.12 x + (m - 2).9 x = 0 có nghiệm dương?
A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Lời giải
Chọn B
x
x
x
Phương trình 16 - 2.12 + (m - 2).9 = 0 có nghiệm " x �( 0; +�)

2x

x

��
��
4�
4�
�

�
2.
�
�
�
�
�
�+ (m - 2) = 0
�
�
��
��
3
3
Phương trình tương đương
có nghiệm
" x �( 0; +�)
x

��
4�
t =�
�
�
�, t �( 1; +�)
�
��
3
Đặt
� t 2 - 2.t + (m - 2) = 0, " t �( 1; +�)

� t 2 - 2.t = 2 - m, " t �( 1; +�)
2
Xét y = t - 2.t

19


Phương trình có nghiệm " t �( 1; +�) khi 2 - m >- 1 � m < 3 .
Do đó m �{1; 2} .
Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
9 x - 2.6 x + m.4 x = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Lời giải
x

x

��
9 � ��
6�
�
�
�
2.
�
�+ m = 0
�
�
�
�
��

4 � ��
4�
9 x - 2.6 x + m.4 x = 0

Xét phương trình:
x

��
3�
�
�
�
2
�= t
�
��
2
Đặt
, điều kiện t > 0 ta được phương trình t - 2.t + m = 0
� t 2 - 2t =- m ( 2)
Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì phương trình ( 2) có hai
nghiệm 0 < t1 <1 < t2
f ( t ) = t 2 - 2t

Xét hàm số
� f�
( t ) = 0 � t =1 .

�
trên ( 0;+�) ta có f ( t ) = 2t - 2

Bảng biến thiên
t

�

0



f�
 t

�

1



0

0


�

0
f  t
1

Dựa vào bảng biến thiên ta có: - 1 <- m < 0 � 0 < m <1 .
Ví dụ 10: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Phương
2

2

sin x
+ 21+cos x = m có nghiệm khi và chỉ khi
trình 2

A. 4 �m �3 2 .
4 �m �5 .

B. 3 2 �m �5 .
Lời giải

Chọn D

20

C. 0 < m �5 .

D.