một số dạng phương trình lượng giác 11

Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc
Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
1/6

Một số dạng phơng trình lợng giác khác.
Dạng1.
P/trình có chứa các biểu thức dạng
:

sin cos
u u

,
3.sin cos
u u
,
3.cos sin
u u
.
Ta nên chú ý cách phân tích: *
cos sin 2.sin 2.cos
4 4
u u u u


= =



.
*

3cos sin 2.cos 2.sin
6 3
u u u u


= =




*
3.sin cos 2.sin 2.cos
6 3
u u u u


= =




để biến đổi nhanh về các P/trình cơ bản nếu có thể:
Dấu hiệu: Trong p/trình có chứa các hệ số bằng
2
, và
cos
u sinu

.
Bài tập áp dụng:

Bài 1 : Giải các phơng trình sau:
a)
sin cos 2.sin 7
x x x
+ =
;
b)
2sin17 3 cos5 sin5 0
x x x
+ + =

c)
(
)
cos7 sin5 3 cos5 sin7
x x x x
=
; d)
( )
2
sin 2 3.cos2 5 cos 2
6
x x x


+ =


.
e)

3cos2 sin 2 2sin 2 2 2
6
x x x


+ + =



e)
2
2 1
3sin .cos sin
2
x x x

=
;
f)
1 1
0
sin
3.cos
x
x
=
; g)
3 3
cos2 sin 2
x x

=
.
Dạng 2:
P/trình đa đợc về PTrình bậc 2 theo một hàm số hay một biểu thức
lợng giác. (Đặt ẩn số phụ để đa về PT bậc 2 đại số
).
Nhận dạng: P/trình có chứa các biểu thức:
*
1
a
a
+
và
2
2
1
a
a
+ . Trong đó a là hàm số lợng giác (sinu, cosu, tgu, cotgu).
*
cot
tgu gu
+
và
2 2
cot
tg u g u
+ .
*
( )

( )
m
f u n
f u
+ =
(3) . Trong đó f(u) là một biểu thức lợng giác biến u.
*
sin
u
và
cos2
u
. (Ta có:
2
cos2 1 2sin
u u
=
).
*
cos
u
và
cos2
u
. (Ta có:
2
cos2 2cos 1
u u
=
).

PPG: Cần để ý:
*
2
2
2
1 1
2.
a a
a
a

= +


Nên , chỉ cần đặt
1
t a
a
=
, ta suy ra :
2 2
2
1
2
a t
a
+ =

.
*

( )
2
2 2
cot cot 2
tgu gu tg u g u
= +
.
Nên chỉ cần đặt
cot
t tgu gu
=
, ta suy ra:
2 2 2
cot 2
tg u g u t+ =

.
* Với PT dạng (3) chỉ cần quy đồng (sau khi đặt điều kiện) ta sẻ đợc Pt bậc 2 theo
ẩn số t = f(u).
Lu ý: + tìm khoảng xác định của t
+ sau khi tìm đợc t phải giải tiếp để tìm x !
PT chứa cos và sin ,
và có chứa
hai góc gấp đôi nhau !
Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc
Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
2/6

Bài 2 : Giải các P/trình sau:
a)

2
2sin 5sin 3 0
x x
=
; b)
(
)
2
4cos 2 3 1 cos 3 0
x x
+ + =

c)
(
)
2
1 3 3
tg x tgx+ = ; d)
2
cot 4c 3 0
g x tg
+ =
.
e)
cos2 9cos 5 0
x x
+ + =
; f)
2 2
3

sin 2 2cos 0
4
x x
+ =
,
g)
4 2
4 3 0
tg x tg x
+ =
; h)
(
)
2
1
2 1 2 3
cos
tgx
x
= +
.
i)
2
3
9
cos
tg x
x
+ =
; j)

2
2
1
3cot 5
cos
g x
x
+ =
.
k)
2 2
cot 2 2cot 6
tg x g x tgx gx
+ + + =
;
m)
2
2
1 1
cos cos
cos
cos
x x
x
x
+ = +
l)
2
2
1 1

4 sin 4 sin 7 0
sin
sin
x x
x
x

+ + + =


,
n)
2
2
1 1
cos 2 cos 1
cos
cos
x x
x
x

+ = +


;
p)
2cos cos 1 3cos
2 2
x x

x + =
.
Bài 3 : Cho phơng trình :
( )
2
2
3
3 cot 1 0
sin
tg x m tgx gx
x
+ + + =
(1).
a) Giải P/trình (1) khi m = 1.
b) Tìm m để P/trình (1) có nghiệm.
Dạng 3:
Phơng trình có chứa các biểu thức
:
*
sin 2 2sin .cos
u u u
=
và
cos sin 2.cos
4
u u u


=

.
PPG: Đặt
cos sin 2.cos
4
t u u u


= =



.
Bình phơng t , sau đó tính
sin 2 2sin .cos
u u u
=
theo t.
Thay vào PT đầu ta đợc phơng trình ẩn số t !
Bài 4 : Giải các Phơng trình sau:
a)
(
)
2 sin cos 6sin .cos 2
x x x x
+ + =
;
b)
cos sin 3sin2 1 0

x x x
+ =
;
c)
(
)
( )
1 2 1 sin cos sin 2
x x x
+ =
;
d)
(
)
2sin 2 3 3 sin cos 8 0
x x x
+ + =
;
e)
sin 2 2.sin 1
4
x x


+ =


;
f)
( )

(
)
( )
2
sin cos 2 1 sin cos 2 0
x x x x
+ =

g)
(
)
3 3
sin cos 1 2 2 sin .cos
x x x x
+ = + ;
p)
sin 2sin 2 1 cos
x x x
+ + =
;
h)
(
)
(
)
5 sin cos sin3 cos3 2 2 2 sin 2
x x x x x
+ + = + ;
n)
cot 2sin 1

gx x
=

i)
(
)
2 sin cos cot
x x tgx gx
+ = + ;
Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc
Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
3/6

j )
cos2
sin cos
1 sin2
x
x x
x
+ =

;
k)
3 3
sin cos 1 sin .cos
x x x x
= +
;
m)

3 3
1 1
sin cos
cos sin
x x
x x
=
.

Dạng 4 :
Phơng trình đa đợc về tích các thừa số.
Dấu hiệu: Có chứa các số hạng sau:
*
1 sin 2 ; cos2 ; 1 ; 1 cot ; sin cos .
u u tgu gu u u


*
(
)
2
cos ; 1 sin ; cos cot cot . sin 1
u u u gu gu u
=
.
*
(
)
2
sin ; 1 cos ; sin . cos 1

u u u tgu tgu u
=
.
Bài 5 : Giải các phơng trình sau:
a)
(
)
(
)
2
2sin cos 1 cos sin
x x x x
+ = ;
b)
(
)
2
sin 1 cos 1 cos cos
x x x x
+ = + + ;
c)
1
2.sin
1 cot
tgx
x
gx
+
=
+

; d)
2
1 cos
1 sin
x
tg x
x
+
=
+
;
e)
(
)
(
)
1 1 sin 2 1
tgx x tgx
+ = +
;
f)
1 sin cos sin .cos 0
x x x x
+ + + =
;
g)
3 3
sin cos cos2
x x x
+ =

; h)
sin 2 1 2 cos cos2
x x x
= + +
;
i)
sin 2 cos2 2
x x tgx
+ + =
; j )
sin cos cos2
x x x
+ =
;
k)
1 sin 2 1 3 1 1 3
1 . 0
1 sin 2 1
1 3 1 3
x tgx
x tgx


+ + =


+ +
+ +

;

n)
cos2 1
x tgx
+ =
;
l)
2.cot 1 2
tgx gx+ = + ; m)
2
3. cot
3 1
tgx gx+ =

;
o)
sin cot 2
2
x
x g
+ =
; p)
cos3 cos2 sin3
x x x
=

Chú ý: Hai biểu thức :
sin 1 ; cot cos 1
tgx x gx x
+ +
có thừa số chung

Bài 6 : Giải P/trình: a)
(
)
(
)
3 cot cos 5 sin 2
gx x tgx x
=

b)
(
)
(
)
5 sin 7 cot cos 2
tgx x gx x
+ + =


Dạng 5:
Dùng công thức hạ bậc (PT chứa các bình phơng, lũy thừa với số mũ
chẵn,.),

Bài 7 : Giải các phơng trình:
a)
2 2 2
1
sin sin 2 sin 3
2
x x x + = ;

b)
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2
x x x
+ + =
;
c)
2 2 2 2
5
sin sin 2 sin 3 sin 4
2
x x x x+ + + = ;
d)
4 4
sin cos cos4
x x x
+ =
;
e)
2 2 2 2
cos cos 2 cos 3 cos 4 2
x x x x
+ + + =
;
f)
2 2 2
3
sin cos 2 sin 3
2
x x x+ + = ;

Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc
Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
4/6

g)
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x
+ =
;
h)
4 6
cos cos2 2sin 0
x x x
+ =
;
i)
6 6
15 1
sin 2 cos 2 cos4
8 2
x x x
+ =
;
j )
4 4 2
3
cos sin sin 2 sin 2 0

4
x x x x
+ + =
;
k)
4 6
cos sin cos2
x x x
+ =
;
l)
(
)
(
)
2 2
4cos 2 6 16cos 1 3 13
x x
+ =

Bài 8 : Giải các P/trình:
a)
2
3 4
2cos 1 3cos
5 5
x x
+ = ; b)
2
sin 3 4cos4 3

x x
= +

c)
2 2
cos 3 .cos2 cos 0
x x x
=
(ĐH Khối A 2005)
*Lu ý: Với PT có chứa:
2 2 2 2
sin ; cos4 ; sin 3 ; cos ; cos 3
u u u u u
ta biến đổi PT về
cos2
u
dùng các công thức: hạ bậc với
2 2
sin ; cos
u u
, Hạ bậc sau đó dùng tiếp công thức
nhân ba với
2 2
sin 3 ; cos 3
u u
, dùng công thức nhân đôi với
cos4
u
.
Bài 9 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

4 4
1 cos sin
A x x
= + +


Dạng 6:
Phơng trình có chứa các biểu thức:


*
3 3 2 2
cos ; sin ; sin .cos ; sin .cos ; sin ; cos
u u u u u u u u
(1)
*
2 2
cos ; sin ; sin .cos
u u u u
. (2)
PPG:
* Với dạng (1 ) ta chia hai vế cho
3
cos
u
và chú ý đẳng thức
2
2
1
1

cos
tg u
u
= + để đa
P/trình (1) về P/trình theo ẩn số
t tgu
=
,
t R

. Lu ý: Trớc khi chia cho
3
cos
u
cần thử
xem
, cos 0
2
u k k Z u


= + =
có phải là nghiệm của (1) không. Nếu thoả mãn thì kết
luận ,
2
u k k Z


= +
là một nghiệm. Sau đó giả sử

2
u k


+
, rồi chia 2 vế cho
3
cos
u

và làm tiếp nh trên.
* Với dạng (2) ta làm tơng tự bằng cách chia 2 vế của 2 cho
2
cos
u
(với đ/kiện
2
u k


+
).
Bài 10 : Giải phơng trình:
a)
3 3 2
4sin 3cos 3sin sin .cos 0
x x x x x
+ =
(ĐH Luật 1996).
b)

3 3 2
cos 4sin 3sin .cos sin 0
x x x x x
+ =
(ĐH Ngoại Thơng 1996)
c)
3
2cos sin3
x x
=
( HVKTQS 1997)
d)
2
4cos .sin cos sin
x x x x
=
; e)
3
6sin 2cos 5sin 2 .cos
x x x x
=
;
f)
2
sin cos 4sin .cos
x x x x
=
; g)
3 3
cos sin sin cos

x x x x
+ =
;
h)
1
sin 3 cos
cos
x x
x
+ =
; i)
3 2 3
sin 2sin .cos 3cos 0
x x x x
+ =

Dạng 7: Các phơng trình dạng đặc biệt !
Lu ý các dạng: 1)
2 2
0
0
0
A
A B
B
=

+ =

=

Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc
Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
5/6

2)
A
A
B
B
A B






=




=


=

3)
A

A
B
B
A B







=




=


+ = +


Đặc biệt lu ý:
sin 1 sin 1
sin .cos 1
cos 1 cos 1
u u
u v
v v
= =

=

= =


Bài 11 : Giải các phơng trình sau:
a)
( )
2
cos4 cos2 5 sin3
x x x
= +
;
2
cos 1
x x
= +
(dạng 2)
b)
sin .cos2 1
x x
=
;
sin 4 .cos16 1
x x
=
(dạng đặc biệt)
c)
2 2

4sin sin 3 3 4 3 sin
x x x
+ + =
; (dạng 1)
d)
2
sin cos cos 4 1 2
x x x+ + = +
; (dạng 3)
e)
cos6 cos4 4.cos3 4 0
x x x
+ + =
; f)
(
)
sin cos 2 2 sin3
x x x
+ =
;
g)
2 2
4cos 3 4 3 cos 2 3 4 0
x tg x x tgx
+ + + =
;
h)
3 3 4
sin cos 2 sin
x x x

+ =

i)
(
)
7
sin cos 2 2 sin
x x x
+ = ; j )
5 5 4
sin cos 2 sin
x x x
+ =
;
k)
5 6
2sin 3cos 5
x x
+ =
; l)
13 14
sin cos 1
x x
+ =
.

Dạng 8
: Pt có chứa các cung liên kết đặc biệt.
PPG: Cần chú ý đến công thức cộng, công thức biến đổi, mối liên hệ giữa các cung (góc) ,
nh: bù nhau, phụ nhau, hơn kém pi, Đặc biệt để ý góc nhân hai và nhân ba (nếu có) . Đôi

khi cần đặt ẩn phụ về góc/cung để làm gọn góc/cung trong phơng trình.
Bài 12 : Giải các phơng trình sau:
a)
3
sin 3sin
4 2 4 2
x x


+ =


;
b)
sin cos 1 cos2
6 3
x x x


+ + + = +


;
c)
3sin 4sin 5sin 5 0
3 6 6
x x x


+ + + + =

;
d)
4 4
1
sin cos
4 4
x x


+ + =


;
e)
( )
2
sin 3 cos 5 cos 4
3
x x x


+ = + +


;
f)
3 3
1

cos3 .sin sin3 .cos
6 6 8
x x x x


+ + =


;
g)
4 4
sin cos 2cos 2 .cos 2
4 4
x x x x


+ = +


;
h)
3
sin 2sin
5 5 2
x
x


+ =

;
i)
3
tan tan
4 2
x
x


=



j)
3 3
sin 3sin
2 10 10 2
x x


+ =


;
Rèn luyện giải toán 11 - Phương trình lượng giác
Biên soạn: Đỗ Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
6/6

k)

tan tan 2
4
x x
π
 
+ + = −
 
 
;
l)
tan tan 1
6 3
x x
π π
   
+ − =
   
   
;
m)
tan .tan .tan 1
4 4
x x x
π π
   
− + =
   
   
.
n)

3 2
2sin sin
4 4 2
x x
π π
   
+ + − =
   
   
;
o)
8sin .sin 2 6sin .cos 2 5 7cos
4 4
x x x x x
π π
   
+ + − = +
   
   
;
p)
2
2 3sin .cos 2cos 3 1
8 8 8
x x x
π π π
     
− − + − = +
     
     

;

- - -
Chúc các em ôn tập tốt
! - - -