Tải bản đầy đủ (.pdf) (6 trang)

một số dạng phương trình lượng giác 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (135.2 KB, 6 trang )

Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc
Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
1/6

Một số dạng phơng trình lợng giác khác.
Dạng1.
P/trình có chứa các biểu thức dạng
:

sin cos
u u

,
3.sin cos
u u
,
3.cos sin
u u
.
Ta nên chú ý cách phân tích: *
cos sin 2.sin 2.cos
4 4
u u u u


= =



.
*


3cos sin 2.cos 2.sin
6 3
u u u u


= =




*
3.sin cos 2.sin 2.cos
6 3
u u u u


= =




để biến đổi nhanh về các P/trình cơ bản nếu có thể:
Dấu hiệu: Trong p/trình có chứa các hệ số bằng
2
, và
cos
u sinu

.
Bài tập áp dụng:

Bài 1 : Giải các phơng trình sau:
a)
sin cos 2.sin 7
x x x
+ =
;
b)
2sin17 3 cos5 sin5 0
x x x
+ + =

c)
(
)
cos7 sin5 3 cos5 sin7
x x x x
=
; d)
( )
2
sin 2 3.cos2 5 cos 2
6
x x x


+ =


.
e)

3cos2 sin 2 2sin 2 2 2
6
x x x


+ + =



e)
2
2 1
3sin .cos sin
2
x x x

=
;
f)
1 1
0
sin
3.cos
x
x
=
; g)
3 3
cos2 sin 2
x x

=
.
Dạng 2:
P/trình đa đợc về PTrình bậc 2 theo một hàm số hay một biểu thức
lợng giác. (Đặt ẩn số phụ để đa về PT bậc 2 đại số
).
Nhận dạng: P/trình có chứa các biểu thức:
*
1
a
a
+

2
2
1
a
a
+ . Trong đó a là hàm số lợng giác (sinu, cosu, tgu, cotgu).
*
cot
tgu gu
+

2 2
cot
tg u g u
+ .
*
( )

( )
m
f u n
f u
+ =
(3) . Trong đó f(u) là một biểu thức lợng giác biến u.
*
sin
u

cos2
u
. (Ta có:
2
cos2 1 2sin
u u
=
).
*
cos
u

cos2
u
. (Ta có:
2
cos2 2cos 1
u u
=
).

PPG: Cần để ý:
*
2
2
2
1 1
2.
a a
a
a

= +


Nên , chỉ cần đặt
1
t a
a
=
, ta suy ra :
2 2
2
1
2
a t
a
+ =

.
*

( )
2
2 2
cot cot 2
tgu gu tg u g u
= +
.
Nên chỉ cần đặt
cot
t tgu gu
=
, ta suy ra:
2 2 2
cot 2
tg u g u t+ =

.
* Với PT dạng (3) chỉ cần quy đồng (sau khi đặt điều kiện) ta sẻ đợc Pt bậc 2 theo
ẩn số t = f(u).
Lu ý: + tìm khoảng xác định của t
+ sau khi tìm đợc t phải giải tiếp để tìm x !
PT chứa cos và sin ,
và có chứa
hai góc gấp đôi nhau !
Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc
Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
2/6

Bài 2 : Giải các P/trình sau:
a)

2
2sin 5sin 3 0
x x
=
; b)
(
)
2
4cos 2 3 1 cos 3 0
x x
+ + =

c)
(
)
2
1 3 3
tg x tgx+ = ; d)
2
cot 4c 3 0
g x tg
+ =
.
e)
cos2 9cos 5 0
x x
+ + =
; f)
2 2
3

sin 2 2cos 0
4
x x
+ =
,
g)
4 2
4 3 0
tg x tg x
+ =
; h)
(
)
2
1
2 1 2 3
cos
tgx
x
= +
.
i)
2
3
9
cos
tg x
x
+ =
; j)

2
2
1
3cot 5
cos
g x
x
+ =
.
k)
2 2
cot 2 2cot 6
tg x g x tgx gx
+ + + =
;
m)
2
2
1 1
cos cos
cos
cos
x x
x
x
+ = +
l)
2
2
1 1

4 sin 4 sin 7 0
sin
sin
x x
x
x

+ + + =


,
n)
2
2
1 1
cos 2 cos 1
cos
cos
x x
x
x

+ = +


;
p)
2cos cos 1 3cos
2 2
x x

x + =
.
Bài 3 : Cho phơng trình :
( )
2
2
3
3 cot 1 0
sin
tg x m tgx gx
x
+ + + =
(1).
a) Giải P/trình (1) khi m = 1.
b) Tìm m để P/trình (1) có nghiệm.
Dạng 3:
Phơng trình có chứa các biểu thức
:
*
sin 2 2sin .cos
u u u
=

cos sin 2.cos
4
u u u


=




.
PPG: Đặt
cos sin 2.cos
4
t u u u


= =



.
Bình phơng t , sau đó tính
sin 2 2sin .cos
u u u
=
theo t.
Thay vào PT đầu ta đợc phơng trình ẩn số t !
Bài 4 : Giải các Phơng trình sau:
a)
(
)
2 sin cos 6sin .cos 2
x x x x
+ + =
;
b)
cos sin 3sin2 1 0

x x x
+ =
;
c)
(
)
( )
1 2 1 sin cos sin 2
x x x
+ =
;
d)
(
)
2sin 2 3 3 sin cos 8 0
x x x
+ + =
;
e)
sin 2 2.sin 1
4
x x


+ =


;
f)
( )

(
)
( )
2
sin cos 2 1 sin cos 2 0
x x x x
+ =

g)
(
)
3 3
sin cos 1 2 2 sin .cos
x x x x
+ = + ;
p)
sin 2sin 2 1 cos
x x x
+ + =
;
h)
(
)
(
)
5 sin cos sin3 cos3 2 2 2 sin 2
x x x x x
+ + = + ;
n)
cot 2sin 1

gx x
=

i)
(
)
2 sin cos cot
x x tgx gx
+ = + ;
Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc
Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
3/6

j )
cos2
sin cos
1 sin2
x
x x
x
+ =

;
k)
3 3
sin cos 1 sin .cos
x x x x
= +
;
m)

3 3
1 1
sin cos
cos sin
x x
x x
=
.

Dạng 4 :
Phơng trình đa đợc về tích các thừa số.
Dấu hiệu: Có chứa các số hạng sau:
*
1 sin 2 ; cos2 ; 1 ; 1 cot ; sin cos .
u u tgu gu u u


*
(
)
2
cos ; 1 sin ; cos cot cot . sin 1
u u u gu gu u
=
.
*
(
)
2
sin ; 1 cos ; sin . cos 1

u u u tgu tgu u
=
.
Bài 5 : Giải các phơng trình sau:
a)
(
)
(
)
2
2sin cos 1 cos sin
x x x x
+ = ;
b)
(
)
2
sin 1 cos 1 cos cos
x x x x
+ = + + ;
c)
1
2.sin
1 cot
tgx
x
gx
+
=
+

; d)
2
1 cos
1 sin
x
tg x
x
+
=
+
;
e)
(
)
(
)
1 1 sin 2 1
tgx x tgx
+ = +
;
f)
1 sin cos sin .cos 0
x x x x
+ + + =
;
g)
3 3
sin cos cos2
x x x
+ =

; h)
sin 2 1 2 cos cos2
x x x
= + +
;
i)
sin 2 cos2 2
x x tgx
+ + =
; j )
sin cos cos2
x x x
+ =
;
k)
1 sin 2 1 3 1 1 3
1 . 0
1 sin 2 1
1 3 1 3
x tgx
x tgx


+ + =


+ +
+ +

;

n)
cos2 1
x tgx
+ =
;
l)
2.cot 1 2
tgx gx+ = + ; m)
2
3. cot
3 1
tgx gx+ =

;
o)
sin cot 2
2
x
x g
+ =
; p)
cos3 cos2 sin3
x x x
=

Chú ý: Hai biểu thức :
sin 1 ; cot cos 1
tgx x gx x
+ +
có thừa số chung

Bài 6 : Giải P/trình: a)
(
)
(
)
3 cot cos 5 sin 2
gx x tgx x
=

b)
(
)
(
)
5 sin 7 cot cos 2
tgx x gx x
+ + =


Dạng 5:
Dùng công thức hạ bậc (PT chứa các bình phơng, lũy thừa với số mũ
chẵn,.),

Bài 7 : Giải các phơng trình:
a)
2 2 2
1
sin sin 2 sin 3
2
x x x + = ;

b)
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2
x x x
+ + =
;
c)
2 2 2 2
5
sin sin 2 sin 3 sin 4
2
x x x x+ + + = ;
d)
4 4
sin cos cos4
x x x
+ =
;
e)
2 2 2 2
cos cos 2 cos 3 cos 4 2
x x x x
+ + + =
;
f)
2 2 2
3
sin cos 2 sin 3
2
x x x+ + = ;

Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc
Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
4/6

g)
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x
+ =
;
h)
4 6
cos cos2 2sin 0
x x x
+ =
;
i)
6 6
15 1
sin 2 cos 2 cos4
8 2
x x x
+ =
;
j )
4 4 2
3
cos sin sin 2 sin 2 0

4
x x x x
+ + =
;
k)
4 6
cos sin cos2
x x x
+ =
;
l)
(
)
(
)
2 2
4cos 2 6 16cos 1 3 13
x x
+ =

Bài 8 : Giải các P/trình:
a)
2
3 4
2cos 1 3cos
5 5
x x
+ = ; b)
2
sin 3 4cos4 3

x x
= +

c)
2 2
cos 3 .cos2 cos 0
x x x
=
(ĐH Khối A 2005)
*Lu ý: Với PT có chứa:
2 2 2 2
sin ; cos4 ; sin 3 ; cos ; cos 3
u u u u u
ta biến đổi PT về
cos2
u
dùng các công thức: hạ bậc với
2 2
sin ; cos
u u
, Hạ bậc sau đó dùng tiếp công thức
nhân ba với
2 2
sin 3 ; cos 3
u u
, dùng công thức nhân đôi với
cos4
u
.
Bài 9 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

4 4
1 cos sin
A x x
= + +


Dạng 6:
Phơng trình có chứa các biểu thức:


*
3 3 2 2
cos ; sin ; sin .cos ; sin .cos ; sin ; cos
u u u u u u u u
(1)
*
2 2
cos ; sin ; sin .cos
u u u u
. (2)
PPG:
* Với dạng (1 ) ta chia hai vế cho
3
cos
u
và chú ý đẳng thức
2
2
1
1

cos
tg u
u
= + để đa
P/trình (1) về P/trình theo ẩn số
t tgu
=
,
t R

. Lu ý: Trớc khi chia cho
3
cos
u
cần thử
xem
, cos 0
2
u k k Z u


= + =
có phải là nghiệm của (1) không. Nếu thoả mãn thì kết
luận ,
2
u k k Z


= +
là một nghiệm. Sau đó giả sử

2
u k


+
, rồi chia 2 vế cho
3
cos
u

và làm tiếp nh trên.
* Với dạng (2) ta làm tơng tự bằng cách chia 2 vế của 2 cho
2
cos
u
(với đ/kiện
2
u k


+
).
Bài 10 : Giải phơng trình:
a)
3 3 2
4sin 3cos 3sin sin .cos 0
x x x x x
+ =
(ĐH Luật 1996).
b)

3 3 2
cos 4sin 3sin .cos sin 0
x x x x x
+ =
(ĐH Ngoại Thơng 1996)
c)
3
2cos sin3
x x
=
( HVKTQS 1997)
d)
2
4cos .sin cos sin
x x x x
=
; e)
3
6sin 2cos 5sin 2 .cos
x x x x
=
;
f)
2
sin cos 4sin .cos
x x x x
=
; g)
3 3
cos sin sin cos

x x x x
+ =
;
h)
1
sin 3 cos
cos
x x
x
+ =
; i)
3 2 3
sin 2sin .cos 3cos 0
x x x x
+ =

Dạng 7: Các phơng trình dạng đặc biệt !
Lu ý các dạng: 1)
2 2
0
0
0
A
A B
B
=

+ =

=



Rốn luyn gii toỏn 11 - Phng trỡnh lng giỏc
Biờn son: Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
5/6

2)
A
A
B
B
A B






=




=


=

3)
A

A
B
B
A B







=




=


+ = +


Đặc biệt lu ý:
sin 1 sin 1
sin .cos 1
cos 1 cos 1
u u
u v
v v
= =


=

= =


Bài 11 : Giải các phơng trình sau:
a)
( )
2
cos4 cos2 5 sin3
x x x
= +
;
2
cos 1
x x
= +
(dạng 2)
b)
sin .cos2 1
x x
=
;
sin 4 .cos16 1
x x
=
(dạng đặc biệt)
c)
2 2

4sin sin 3 3 4 3 sin
x x x
+ + =
; (dạng 1)
d)
2
sin cos cos 4 1 2
x x x+ + = +
; (dạng 3)
e)
cos6 cos4 4.cos3 4 0
x x x
+ + =
; f)
(
)
sin cos 2 2 sin3
x x x
+ =
;
g)
2 2
4cos 3 4 3 cos 2 3 4 0
x tg x x tgx
+ + + =
;
h)
3 3 4
sin cos 2 sin
x x x

+ =

i)
(
)
7
sin cos 2 2 sin
x x x
+ = ; j )
5 5 4
sin cos 2 sin
x x x
+ =
;
k)
5 6
2sin 3cos 5
x x
+ =
; l)
13 14
sin cos 1
x x
+ =
.

Dạng 8
: Pt có chứa các cung liên kết đặc biệt.
PPG: Cần chú ý đến công thức cộng, công thức biến đổi, mối liên hệ giữa các cung (góc) ,
nh: bù nhau, phụ nhau, hơn kém pi, Đặc biệt để ý góc nhân hai và nhân ba (nếu có) . Đôi

khi cần đặt ẩn phụ về góc/cung để làm gọn góc/cung trong phơng trình.
Bài 12 : Giải các phơng trình sau:
a)
3
sin 3sin
4 2 4 2
x x


+ =


;
b)
sin cos 1 cos2
6 3
x x x


+ + + = +


;
c)
3sin 4sin 5sin 5 0
3 6 6
x x x


+ + + + =



;
d)
4 4
1
sin cos
4 4
x x


+ + =


;
e)
( )
2
sin 3 cos 5 cos 4
3
x x x


+ = + +


;
f)
3 3
1

cos3 .sin sin3 .cos
6 6 8
x x x x


+ + =


;
g)
4 4
sin cos 2cos 2 .cos 2
4 4
x x x x


+ = +


;
h)
3
sin 2sin
5 5 2
x
x


+ =



;
i)
3
tan tan
4 2
x
x


=



j)
3 3
sin 3sin
2 10 10 2
x x


+ =


;
Rèn luyện giải toán 11 - Phương trình lượng giác
Biên soạn: Đỗ Cao Long {DT: 01236012220 } weblog:
6/6

k)

tan tan 2
4
x x
π
 
+ + = −
 
 
;
l)
tan tan 1
6 3
x x
π π
   
+ − =
   
   
;
m)
tan .tan .tan 1
4 4
x x x
π π
   
− + =
   
   
.
n)

3 2
2sin sin
4 4 2
x x
π π
   
+ + − =
   
   
;
o)
8sin .sin 2 6sin .cos 2 5 7cos
4 4
x x x x x
π π
   
+ + − = +
   
   
;
p)
2
2 3sin .cos 2cos 3 1
8 8 8
x x x
π π π
     
− − + − = +
     
     

;

- - -
Chúc các em ôn tập tốt
! - - -

×