SKKN một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH mũ và PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu :
Phương trình mũ và phương trình lôgarit là một bài toán thường được cho trong các
đề thi tốt nghiệp THPT cũng như đề thi tuyển sinh vào cao đẳng, đại học những năm
học trước và với năm học này là kỳ thi THPT quốc gia. Yêu cầu về bài toán phương
trình mũ và lôgarit khá phong phú và đa dạng. Các em học sinh thường lúng túng
hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ. Do đó, các em phải biết chuyển một bài toán
lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Việc làm này đòi hỏi học sinh phải
nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán. Ngoài ra, các em học sinh còn
phải biết tư duy, phân tích, vận dụng phương pháp giải một cách khoa học. Điều này
còn có một số em học sinh chưa nắm vững và hay nhầm lẫn trong việc vận dụng. Cho
nên tôi đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình mũ và phương trình
lôgarit” nhằm giúp học sinh nắm vững lý thuyết và phương pháp giải của từng dạng
toán về phương trình mũ và phương trình lôgarit. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho
các em học sinh trong việc ôn tập để kiểm tra và thi cử.
2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thu Thủy
- Địa chỉ tác giả sáng kiến:Trường THPT Triệu Thái
- Số điện thoại:01676584756.
E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học giáo dục
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 12/11/2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
1.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ :

1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số:
1.1 a) Phương pháp : Biến đổi cùng cơ số đưa phương trình về các dạng sau:
+ 0< a  1: af(x)=ag(x) (1)  f(x)=g(x).
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 1


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

+ 0< a  1: af(x)=b 

b > 0

 f ( x ) = loga b

.

1.1 b) Ví dụ minh hoạ :

Giải các phương trình sau:
x+2

1)
2)
3)
4)

1
 ÷

9

2x

2

+3 x − 4

= 81x

= 4 x −1

3x.2 x+1 = 72
5 x + 5 x +1 = 3x + 3x + 2
x +10

5)

x +5

16 x −10 = 0,125.8 x +15

Bài giải:
1) Ta có phương trình đã cho tương đương với
9 − x − 2 = 92 x
⇔ − x − 2 = 2x
2
⇔ x=−
3
x=−

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

2
3

2) Ta có:
PT ⇔ 2 x

2

+3 x − 4

= 22 x − 2

⇔ x 2 + 3x − 4 = 2 x − 2
⇔ x2 + x − 2 = 0
x = 1
⇔
 x = −2

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 2


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

x = 1
 x = −2


3) Ta có:
PT ⇔ 3x.2 x.2 = 72
⇔ 6 x = 36
⇔ x=2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

x=2

4) Ta có:
PT ⇔ 5x + 5.5 x = 3x + 9.3x

⇔ 6.5 x = 10.3x
⇔

5 x 10
=
3x 6
x

5 5
⇔ ÷ =
3
3
⇔ x =1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
5) Điều kiện:

x =1

x ≠ 10; x ≠ 15

x +10

x +5

PT ⇔ ( 24 ) x −10 = ( 2−3 ) ( 23 ) x −15
4 x + 40

3 x +15

−3

⇔ 2 x −10 = 2 x −15
4 x + 40 3x + 15
⇔
=
−3
x − 10
x − 15
4 x 2 − 80 x
⇔
=0
( x − 10 ) ( x − 15 )
x = 0

⇔
 x = 20

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 3


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

x = 0
 x = 20


1.1 c) Bài tập tự luyện : Giải các phương trình sau :
Bài 1 :
3 x −7
−7 x +3
3
7
1)  ÷
= ÷
7
3

2) 0,125.4

3) 2

4) 3

5)

−x
 0,25 
=
÷
 2 

2 x −8

x2 − x−2

=1

4+ 2 x − x 2

1
2
3 −x
1
x 2 +| x −1|
2
= 22
=

( )

| x−6
| x 2 −5 x +9|
6)32 5 = 2

ĐS : 1)
Bài 2:
1)
2)
3)
4)
5)
6)

x = −1

x=

2)

38
3

3)

 x = −1
x = 2


4)

x=3

5)

x = 0
x =1


6)

x = 3
x = 1


5 x + 1 + 6.5 x − 3.5 x − 1 = 52
3x +1 + 3x + 2 + 3x +3 = 9.5x + 5 x +1 + 5 x+ 2
3x +1 − 2.3x −2 = 25
3.2 x +1 + 2.5x −2 = 5x + 2 x −2
2.5 x + 2 − 5 x+3 + 375 = 0

1
1
2.5 x +1 − .4 x +2 − .5 x + 2 = 4 x +1
5
4

1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ:
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 4

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1.2 a) Các bước giải :
* Dạng 1:

m.a

2 f ( x)

+ n.a

Cách giải: + Đặt

f ( x)

t=a

+ p=0
f ( x)

,t > 0

. Phương trình trở thành:

+ Giải phương trình (*) tìm t, chỉ nhận
a

f ( x)

mt 2 + nt + p = 0

t >0

(*)

=t

+ Giải phương trình
để tìm x.
+ Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
* Dạng 2:

m.a f ( x ) + n.a − f ( x ) + p = 0

m.a f ( x ) + n.

Cách giải: Biến đổi PT về dạng

1
a f ( x)

+ p=0

⇔ m.a 2 f ( x ) + p.a f ( x ) + n = 0

Đến đây PT có dạng 1.

* Dạng 3:

m.a 2 f ( x ) + n.(ab) f ( x ) + p.b 2 f ( x ) = 0

Cách giải: + Chia hai vế phương trình cho
2 f ( x)

a
m.  ÷
b

f ( x)

a
+ n.  ÷
b

b

2 f ( x)

hoặc

a2 f ( x)

ta được:

+ p=0

Đến đây PT có dạng 1.
* Dạng 4: Các phương trình bậc lớn hơn 2 đối với f(x) có dạng tương tự như dạng

1. Cách giải của những dạng này tương tự như dạng 1.
1.2 b) Ví dụ minh hoạ :

Giải các PT sau:
1)
2)
3)

32 x +1 − 5.3x + 2 = 0
3x + 33− x = 12

4.9 x − 7. 12 x + 3.16 x = 0

Bài giải:
1) Ta có:
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 5


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

32x +1 − 5.3x + 2 = 0
⇔ 3.( 3x ) − 5.3x + 2 = 0
2

2
 x 2

3 =

x = log 3


⇔
3⇔
3
 x

3 = 1
x = 0
PT ⇔ 3x +

2)

27
= 12
3x

⇔ ( 3x ) − 12.3x + 27 = 0
2

3 x = 9
x = 2
⇔ x
⇔
x = 1
3 = 3

3) Ta có:
9x

12 x
4.9 − 7. 12 + 3.16 = 0 ⇔ 4 x − 7 x + 3 = 0
16
16
 3  x
2
 ÷ = 1
x
 3  x 
 4
 3
⇔ 4  ÷  − 7  ÷ + 3 = 0 ⇔ 
 3 x 3
 4
 4  
 ÷ =
 4  4
x

x

x

x = 0
⇔
x =1

1.3 c) Bài tập tự luyện : Giải các phương trình sau:

1) 25x - 7.5x + 6 = 0

2)
3)
4)
5)

32x+8 - 4.3x+5 + 27 = 0

6.9 x -13.6 x + 6.4 x = 0
( 2 - 3 )x + ( 2 + 3 )x = 4
2x

2 −x

2

− 2 2+ x− x = 3

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 6


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

6)
7)

3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
2.2 2 x − 9.14 x + 7.7 2 x = 0

8) 52x-1+5x+1=250
9) 9x + 6x = 2.4x
2.8x=12x+27x

10)
11)

(3+ 5)x + 16(3− 5)x = 2x+3

12) 3x+33-x=12
13)
14)
15)

4x−

x2 − 5

17)
18)
19)

20)
21)

x2 − 5

+ 8= 0

5.32x−1 − 7.3x−1 + 1− 6.3x + 9x+1

4log x +1 − 6log x = 2.3log x
x

16)

− 12.2x−1−

4
 ÷
7
4x+

3 x−1

7
 ÷
4

x2 −2

−

2

+2

16
=0
49

− 5.2 x −1+

x2 −2

−6 = 0

43+ 2cos x − 7.41+cos x − 2 = 0

( 26 + 15 3 )

x

(

 3x 8
 2 − 3x
2


1 
  x
÷− 6  2 − x−1 ÷ = 1
2 
 

+2 7+4 3

)

x

(

−2 2− 3

)

x

=1

27 x + 12 x = 2.8 x

1.3 Phương pháp lôgarit hoá :
1.3 a) Các bước giải :
+ Biến đổi phương trình về dạng :
hai vế luôn dương.
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

a

f ( x)

.b

g( x)

.c

h( x )

=d

hoặc

a

f ( x)

.b

g ( x)

= d .c

h( x )

có

Trang 7


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

+ Chọn cơ số thích hợp ( theo cơ số a, hoặc b, hoặc c) để lấy lôgarit hai vế của
phương trình.
+ Sử dụng các công thức về luỹ thưa và lôgarit để giải phương trình tiếp theo.
1.3 b) Ví dụ minh hoạ :

Giải các PT sau:
2

1)
2)

3x.2 x = 1
3x.5x

2

+1

−5 = 0

2

3)

49.2 x = 16.7 x

Bài giải:
1) Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được:

2

PT ⇔ log (3x.2 x ) = log 1

2

2

2
⇔ log 3x + log x = 0
2
2
⇔ x log 3 + x2 = 0
2
⇔ x(log 3 + x) = 0
2
x = 0
⇔
 x = − log 2 3
2) Lấy lôgarit cơ số 5 hai vế phương trình và làm tương tự như phần 1.
3) Ta có:
2
2
2x
7x
⇔
=
⇔ 2 x − 4 = 7 x − 2 (*)
16 49

PT

Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình (*)và làm tương tự như phần 1.
1.3c) Bài tập tự luyện :
Giải phương trình sau :
1) 3x+3x+1+3x+2=4x+4x+3.

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 8


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
4 x +1

2)

3 x+2

2
 ÷
5

1
= ÷
7

2

3)

5x.3x = 1
x

4)

3x.8 x+ 2 = 6

x

5)
6)
7)

23 = 32

4.9 x −1 = 3 22 x +1

2x

2

−2 x

x

8)

x

5 .2

.3x = 1,5

2 x −1
x +1

= 50

3x

9)

3x.2 x+ 2 = 6

1.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :
1.4 a) Các bước giải :
+ Thường biến đổi phương trình đã cho về dạng f (x) = g(x) hay f (x) = c
+ Nhẩm nghiệm x = x0 .
+ Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x = x0.
+ Với x > x0

⇒
⇒

f (x) > f (x0 ) suy ra phương trình vô nghiệm.

+ Với x < x0
f (x) < f (x0 ) suy ra phương trình vô nghiệm.
1.4 b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các phương trình sau:
1)
2)

3x + 4 x = 5 x

3x = 5 − 2 x

Bài giải:
x

1) PT

x

3  4
⇔  ÷ + ÷ =1
5 5

Ta thấy x=2 là một nghiệm của phương trình.
Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất của phương trình.
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 9


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
x

-

Thật vậy, xét hàm số:
x

-

x

3  4
f ( x) =  ÷ +  ÷
5  5
x

3 4
4
3
f ' ( x ) =  ÷ ln +  ÷ ln < 0, ∀x ∈ IR
5 5
5
5

Vì

nên

f ( x)

nghịch biến trên IR.

Do đó:
x

+ Với

x

+ Với

x

3  4
x > 2 ⇒ f ( x ) < f ( 2) ⇔  ÷ +  ÷ < 1
5 5

, suy ra PT vô nghiệm khi

x>2

x

 3  4
x < 2 ⇒ f ( x ) > f ( 2) ⇔  ÷ +  ÷ > 1
5 5

, suy ra PT vô nghiệm khi

x<2

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
2) Tương tự
1.4c) Bài tập tự luyện :
Giải các phương trình sau:
2 = 1+ 3
x

1)
2)
3)

4)
5)
6)
7)

2

3− x

x
2

= − x 2 + 8 x − 14

5x + 12 x = 13x
2x = 3 − x
4 x + 25x = 29 x
7 x + 18 x = 25 x
3x −1 + x − 3 = 2

2.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT:
2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số:
2.1 a) Các bước giải :
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 10


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

+ Biến đổi đưa phương trình về dạng cơ bản :
1) log a x = log a b ⇔ x = b;
 f ( x ) = g ( x )
TQ : log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔ 
 f ( x ) > 0 hay g ( x ) > 0
2) log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b

2.1 b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các phương trình sau:
1)
2)
3)
4)

log 3 (5 x + 3) = log 3 (7 x + 5)

log( x − 1) − log(2 x − 11) = log 2
1
1
log( x 2 + x − 5) = log5 x + log
2
5x

1
log( x 2 − 4 x − 1) = log8 x − log 4 x
2
log

2

5)

x + 4log 4 x + log8 x = 13

Bài giải:
5 x + 3
3
⇔ x>−

5
7 x + 5
1) ĐK:
PT ⇔ 5 x + 3 = 7 x + 5 ⇔ x = −1

(loại)

Vậy,phương trình vô nghiệm.

2) ĐK:

 x −1 > 0
11
⇔x>

2
2 x − 11 > 0

PT ⇔ log
⇔

x −1
= log 2
2 x − 11

x −1
=2⇔ x=7
2 x − 11

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 11


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

3) Ta có:
5x > 0


PT ⇔  x 2 + x − 5 > 0 ⇔ x = 2
log( x 2 + x − 5) = 0

4) Ta có:
x>0


PT ⇔ 
x2 − 4x − 1 > 0
⇔ x=5

log( x 2 − 4 x − 1) = log 4

5) ĐK:x > 0
1
1
PT ⇔ log 2 x + 2log 2 x + log 2 x = 13
2
3
⇔ log 2 x = 3 ⇔ x = 8

2.1 c) Bài tập tự luyện :
Giải các phương trình sau:
1)

log 3 ( 2 x − 2) = 3.log 27 x

2) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46
3) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
4) log4x + log2x + 2log16x = 5
5) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
6) log3x = log9(4x + 5) + ½
7) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
8) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)

9)

log5 x = log5 ( x + 6) − log5 ( x + 2)

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 12


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

10)

11)

log5 x + log25 x = log0,2 3

(

)

logx 2x2 − 5x + 4 = 2

lg(x2 + 2x − 3) + lg

x+ 3
=0
x−1

12).
1
.lg(5x − 4) + lg x + 1 = 2 + lg0,18
2
13)

(

)

(

)

log2 4x + 4 = x − log1 2x+1 − 3
2

14)
log x 2.log x 2 = log x 2
16
64
15)
5
log
+ log 2 x = 1
5x x
5
16)
log x + log x + log x = log x
2
3
4
20
17)
1
log ( 3x −1) +
= 2 + log ( x + 1)

2
2
log 
2

 x +3 ÷


18)
2 1
x −1
log x2 − 5 x + 6 = log
+ log x − 3
9
3
2
3 2
19)
log 2 x2 + 3x + 2 + log2 x2 + 7 x + 12 = 3 + log 2 3
20)
2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ :
2.2 a) Các bước giải :
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình.
+ Biến đổi cùng cơ số và đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai
hoặc phương trình bậc ba, hoặc phương trình chứa ẩn ở mẫu.

(

(

)

)

(

)

2.2 b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các phương trình sau:
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 13


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1)
2)

log 32 x + 6.log 3 x - 7 = 0

log 22 (x + 1) + 4.log 2 (x + 1) - 5 = 0

(

) (

)

log 3 3x +1 log3 3x+2 + 9 = 6

3)

Bài giải:
1) Điều kiện: x>0
x = 3
log 3 x = 1
log 32 x + 6.log 3 x − 7 = 0 ⇔ 
⇔
−7
log 3 x = −7
x = 3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x=3 và
2) Điều kiện: x>-1.Ta có:

x = 3−7

.

 log 2 ( x + 1) = 1
log 22 ( x + 1) + 4.log 2 ( x + 1) − 5 = 0 ⇔ 
 log 2 ( x + 1) = −5
x +1 = 2
x = 1

⇔
1 ⇔
31

x +1 =
x = −
32
32



x=−
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x=3 và
3) Ta có:

31
32

.

(

) (
)
( ) ( )
⇔ log3 ( 3 x + 1) log3  9 ( .3 x + 1) ÷ = 6 ⇔ log 3 ( 3 x + 1) log 3 ( 3 x + 1) + 2  = 6




log 3 x + 1 = −1 + 7
2
)
 3(

x
x


⇔  log3 ( 3 + 1) ÷ + 2 log3 ( 3 + 1) − 6 = 0 ⇔ 


log3 ( 3 x + 1) = −1 − 7


log3 3 x + 1 log3 3 x + 2 + 9 = 6 ⇔ log3 3 x + 1 log3 9.3 x + 9 = 6

 x
3 + 1 = 3−1+ 7



⇔
⇔ x = log3  3−1+ 7 − 1÷
 x


−1− 7
3 + 1 = 3

2.2 c) Bài tập tự luyện :
Giải các phương trình sau:
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 14

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

1)

1
2
+
=1
4 − ln x 2 + ln x

2) logx2 + log2x = 5/2
3)

log 7 x = log 3 ( x + 2)

4) logx + 17 + log9x7 = 0
10 log 2 x + 6 = 9

5) log2x +
6)

log 5 x = log 7 ( x + 2)

7) log1/3x + 5/2 = logx3
8) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x
log 2

2

x + 3log 2 x + log 1 x = 2
2

9)
10)

lg x2 16 + l o g 2 x 64 = 3

log5x
11)
12)

13)
14)
15)
16)
17)

5
+ log52 x = 1
x

( )

log5 5x2 . log2x 5 = 1

logsinx 4. logsin2 x 2 = 4
3logx 16− 4log16 x = 2log2 x
logx2 16+ log2x 64= 3

2log2+

3

(

)

x2 + 1 + x + log2−

3

(

)

x2 + 1 − x = 3

( x + 2) log32(x + 1) + 4(x + 1) log3(x + 1) − 16= 0

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 15


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

18)

log5 (5 x -1).log

log

19)

2(

25

x + 1) = log

(5 x+1 - 5) = 1

x+1

(

16

)

log 6.5x + 25.20x = x + log25

20)
21)

22)
23)
24)
25)

log 22 x.log x (4 x 2 ) = 12

log8 4 x
log 2 x
=
log 4 2 x log16 8 x
log 2 ( 4 x +1 + 4 ) .log 2 ( 4 x + 1) = 3

log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2
log x ( 125 x ) .log 225 x = 1
log x 3 + log 3 x = log x 3 + log 3 x +

26)

( 2 - log3 x ) log9 x 3 - 1- log4
27)
log 2 x = log 3
28)

(

x +2

3

x

1
2

=1

)

2.3 Phương pháp mũ hoá :
2.3 a) Các bước giải :
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình.
+ Mũ hoá cơ số thích hợp.
2.3 b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các phương trình sau:
log 2 ( 5 − 2 x ) = 2 − x
1)
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 16


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

log 3 (3x + 8) = 2 + x

2)

log 2 (1 + x ) = log 3 x

3)

Bài giải:
1) Điều kiện:

5 − 2x

>0
Mũ hóa cơ số 2 hai vế của phương trình ta được:
2

(

log 2 5− 2 x

) = 22− x ⇔ 5 − 2 x = 22− x

⇔ 22 x − 5.2 x + 4 = 0
2x = 1
⇔ x
2 = 4
x = 0
⇔
(TM )
x = 2
x = 0; x = 2

Vậy PT đã cho có hai nghiệm là
2) Mũ hóa cơ số 3 hai vế của phương trình và làm tương tự phần 1.
3) Đặt

t = log 3 x

, chuyển về PT ẩn t rồi mũ hóa cơ số 2 hai vế PT và làm tương tự

phần 1.
2.3 c) Bài tập tự luyện :
Giải các phương trình sau:

1) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x)
2) log3(3x – 8) = 2 – x

1


log3  log9 x + + 9x ÷ = 2x
2



3)

(

)

lg 6.5x + 25.20x = x + lg25
4)
5) /
6)
7)

[

(

)]

logx log3 9x − 6 = 1

(

)

logx+3 3 − 1− 2x + x2 = 1/ 2

(

)

log3 9x+1 − 4.3x − 2 = 3x + 1

2.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :.
2.4 a) Các bước giải :
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 17


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

+ Tìm điều kiện xác định của phương trình.
log a u − u = log a v − v

f ( u ) = f ( v) ⇔ u = v

+ Chú ý dạng :
có dạng
, trong đó hàm f là
hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên tập xác định của nó và phương pháp đánh
giá hai vế của phương trình.
2.4 b) Ví dụ minh hoạ :
Giải các phương trình sau:
1)

log 2 x = 3 − x

2 x = 2 − log 3 x

2)
Bài giải:
1) • Điều kiện : x > 0
• Ta thấy x = 2 là nghiệm của phương trình.
• Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.Thật vậy :
+ với mọi x > 2 ,ta có f (x) = log2 x đồng biến và g(x) = 3− x là hàm
nghịch biến nên f (x) > f (2) =1 , g(x) < g(2) =1 . Do đó phương trình
vô nghiệm với mọi x > 2 .
+ Tương tự, với mọi x thoả 0 < x < 2 phương trình vô nghiệm.
• Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm là x = 2.
2) • Điều kiện : x > 0
• Ta thấy x =1 là nghiệm của phương trình.
• Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x =1 .Thật vậy :
2x

+ với mọi x >1,ta có f( x) =

đồng biến và g(x) = 2 −log3 x là hàm
nghịch biến nên f (x) > f (1) = 2 , g(x) < g(1) = 2 . Do đó phương trình
vô nghiệm với mọi x >1.
+ Tương tự, với mọi x thoả 0 < x <1 phương trình vô nghiệm.
• Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm là x =1.
2.4 c) Bài tập tự luyện :
1) log3x+log5(2x-1)=2
2) lnx+ln(2x-e)=2

2.5 Bài tập tổng hợp :

log5 x = log5 ( x + 6) − log5 ( x + 2)

1.
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 18


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

log5 x + log25 x = log0,2 3

2.

(

)

logx 2x2 − 5x + 4 = 2

3.

lg(x2 + 2x − 3) + lg

4.
5.

6.
7.

x+3
=0
x−1

1
.lg(5x − 4) + lg x + 1 = 2 + lg0,18
2

1
2
+
=1
4 − lgx 2 + lgx
log2 x + 10log2 x + 6 = 0

8.

log 3 x + log x 9 = 3
log3 x + log x 9 = 3

9. 1/.
10/.

log 22 x − 3.log 2 x + 2 = 0

(

)

(

x.log 5 3 + log 5 3 x − 2 = log 5 3x +1 − 4

11/.
12/.

(

14/.
15/.
16/.

)

log 3 x 2 − x − 5 = log 3 ( 2 x + 5 )

log32 x

13/.

)

3

+x

log3 x

=6

log 22 x − 3.log 2 x + 2 = log 2 x 2 − 2

log 2 x.log 3 x + x.log 3 x + 3 = log 2 x + 3log 3 x + x

3.log 3 ( x + 2 ) = 2.log 2 ( x + 1)

18. 22x-3 - 3.2x-2 + 1 = 0
19.

2 2 x +1 − 2 x +3−64 = 0

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 19


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
2

1

 1  x + 3 1  x
 
 
 3
 3

20.

+1

= 12.

4 x +1 + 2 x +1 = 2 x + 2 + 12

21.

9 sin

22.

(

23.

2

x

+ 9 cos

2

) (
x

2− 3 +

x

= 10

2+ 3

)

x

=4

( 2 + 3) x + (7 + 4 3)( 2 − 3) x = 4( 2 + 3)

24.

9 + 2.( x − 2 ) 3 + 2 x − 5 = 0
x

25.

x

26. 7. 3x+1 - 5x+2 = 3x+4 - 5x+3
27. 6. 4x - 13.6x + 6.9x = 0
log 2 ( 4 x ) − log
2

28/.

( 2x) = 5

log 3 x + 2 = 4 − log 3 x

29/.
30/.

2

log 2 x.log 3 x + 3 = 3.log 3 x + log 2 x
log 3 ( log 27 x ) + log 27 ( log 3 x ) =

31/.

34/

3

log x (x + 6) = 3

32/

33/

1

log2(4x + 4) = x − log1(2x+1 − 3)
2

1
log 2 ( x − 1) 2 + log 1 ( x + 4) = log 2 (3 − x)
2
2
log2 3 x + 3 log2 x =

35/

4
3

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

Trang 20


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

36/

37/

log 32 x + log 32 x + 1 − 5 = 0
log2 x + 2.log7 x = 2+ log2 x.log7 x

3.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ :
Bài toán PT Mũ chứa Tham Số - Các câu hỏi hay gặp:
- Tìm m để pt có nghiệm
- Tìm m để phương trình có 1 nghiệm duy nhất, 2 nghiệm, 3 nghiệm,...
- Biện luận số nghiệm của phương trình theo m.
Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
a/
b/
c/
d/
e/
f/

25 x +1 − 5 x + 2 + m = 0

1
1
( ) x − m ( ) x + 2m + 1 = 0
9
3
16 x +1 + 4 x −1 − 5m = 0

m.9 x + (m − 1).3x + 2 − 1 = 0
4 x − m.2 x +1 + 3 − 2m = 0
4sinx + 21+sinx − m = 0

91+

1− x2

− (m + 2).31+

1− x 2

+ 2m + 1 = 0

g/
Bài 2. Tùy theo giá trị m, em hãy biện luận số nghiệm của phương trình :
( m − 3).9 x + 2(m + 1).3x − m − 1 = 0

Bài 3. Giải và biện luận theo m :

4sinx + 21+sinx = m

4 x − m.2 x +1 + 2m = 0

Bài 4. Cho phương trình
a/ Giải phương trình khi m=2
b/ Tìm m để PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 + x2 = 3.
Bài 5. Cho phương trình

m.16 x + 2.81x = 5.36 x

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

. Tìm m để PT có nghiệm duy nhất.
Trang 21

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
( m − 4).9 x − 2(m − 2).3x + m − 1 = 0

Bài 6. Cho phương trình
( m là tham số )
a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn : x1 + x2 = 3
TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1). Tìm m để phương trình 9x - 2.3x + 2 = m có nghiệm x ∈ (- 1;2).
13

A). 1 ≤ m < 65.

B).

13

9

C). 1 ≤ m < 45.

< m < 45.

65.
2). Giải phương trình 3x + 6x = 2x. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {1}.
B). {2}.
C). ∅.

3). Giải phương trình

(

2+ 3

) +(
x

2− 3

)

x

D).

9

< m <

D). {- 1}.

=4

. Ta có tập nghiệm bằng :
1
2

A). {1, - 1}.

B). {- 4, 4}.
C). {-2, 2}.
D). {2, }.
x
x
4). Giải phương trình 3 + 5 = 6x + 2.
A). Phương trình có đúng 2 nghiệm x = 0 và x = 1.
B). Phương trình có đúng 3 nghiệm.
C). Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
D). Phương trình vô nghiệm.
5). Giải phương trình 4x = 3x + 1 .
A). x = 0.
B). x = 0, x = 1.
C). Phương trình có nghiệm duy nhất x =1.
D). Phương trình
có nhiều hơn 2 nghiệm.
6). Tìm m để phương trình 4x - 2x + 3 + 3 = m có đúng 2 nghiệm x ∈ (1; 3).
A). - 13 < m < - 9. B). 3 < m < 9.
C). - 9 < m < 3.
D). - 13 < m < 3.

( 3+ 2 2) + (3− 2 2)
x

x

= 6x

7). Giải phương trình
. Ta có tập nghiệm bằng :

A). {2}.
B). ∅.
C). {1}.
D). {-1}.
x
x
x
8). Giải phương trình 12.9 - 35.6 + 18.4 = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {1, - 2}.
B). {- 1, - 2}.
C). {- 1, 2}.
D). {1, 2}.
4

x +1+ 3−x

− 14.2

x +1+ 3−x

+8 = m

9). Tìm m để phương trình
A). - 41 ≤ m ≤ 32. B). - 41 ≤ m ≤ - 32. C). m ≥ - 41.
10). Tìm m để phương trình

9x +

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

1 - x2

− 8.3x +

1 - x2

+4=m

có nghiệm.
D). m ≤ − 32.

có nghiệm.
Trang 22


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

A). - 12 ≤ m ≤ 2.

B). - 12 ≤ m ≤

11). Giải phương trình
1 + log 2 3

A). {1+
C). {1+

1 − log 2 3

2

x2 −2 x

,1-

13

C). - 12 ≤ m ≤ 1. D). - 12 ≤ m ≤

.

1 − log 2 3

}.

B). {- 1+

}.

D). {- 1+

2 x + 2 + 18 − 2 x = 6

log 2 12

9

.

. Ta có tập nghiệm bằng :

1 + log 2 3

,1-

12). Giải phương trinh

=3

7
9

1 + log 2 3
1 − log 2 3

,-1,-1-

1 + log 2 3
1 − log 2 3

}.
}.

. Ta có tập nghiệm bằng :

log 2 10

A). {1,
}.
B). {1,

}.
C). {1, 4}.
x
3-x
13). Giải phương trình 3 + 3 = 12. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {1, 2}.
B). {- 1, 2}.
C). {1, - 2}.

D). {1,

log 2 14

}.

D). {- 1, - 2}.

3x + 6 = 3x

14). Giải phương trình
. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {- 1, 1}.
B). {1}.
C). {0, - 1}.
D). {0, 1}.
x
x
x
15). Giải phương trình 2008 + 2006 = 2.2007 .
A). Phương trình có đúng 2 nghiệm x = 0 và x = 1.

B). Phương trình
có nhiều hơn 3 nghiệm.
C). Phương trình có đúng 3 nghiệm.
D). Phương trình có
nghiệm duy nhất x = 1.
16). Giải phương trình 125x + 50x = 23x + 1. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {- 1}.
B). {1}.
C). {2}.
D). {0}.
17). Tìm m để phương trình 9x - 6.3x + 5 = m có đúng 1 nghiệm x ∈ [0; + ∞).
A). m > 0 v m = 4. B). m ≥ 0 v m = - 4. C). m > 0 v m = - 4. D). m ≥ 1 v m =
- 4.
2x

2 −x

2x

2+x

− 2 x+ 8 = 8 + 2 x − x 2

18). Giải phương trình
A). {1, 2}.
B). {- 1, 2}.

. Ta có tập nghiệm bằng :
C). {2, - 2}.
D). {- 2, 4}.

2

+ 2 2− x − x = 5

19). Giải phương trình
A). { 1, 2}.
B). {1, - 1}.

. Ta có tập nghiệm bằng :
C). {0, - 1, 1, - 2}. D). {- 1, 2}.

4|x| − 2|x|+1 + 3 = m

20). Tìm m để phương trình
A). m ≥ 2.
B). m ≥ - 2.

( 7 + 4 3)

x

21). Giải phương trình
A). {- 2, 2}.
B). {1, 0}.
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

(

− 3. 2 − 3

)

x

có đúng 2 nghiệm.
C). m > - 2.

D). m > 2.

+2=0

. Ta có tập nghiệm bằng :
C). {0}.
D). {1, 2}
Trang 23


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

( x + 2)

x2 − x −5

= ( x + 2)

x +10

22). Giải phương trình
A). {- 1, - 5, 3}.

B). {-1, 5}.
23). Giải phương trình
A). {1, 1 -

log 2 5

2x

}.

2 −1

= 5 x+1

. Ta có tập nghiệm bằng :
C). {- 1, 3}.
D). {- 1, - 3, 5}.

. Ta có tập nghiệm bằng :
log 2 5

B). {- 1, 1 +

}. C). {- 1, 1 -

log 2 5

}. D). { 1, - 1 +

log 2 5

}.
24). Giải phương trình x2.2x + 4x + 8 = 4.x2 + x.2x + 2x + 1. Ta có tập nghiệm bằng.
A). {- 1, 1}.
B). {- 1, 2}.
C). {1, - 2}.
D). {- 1, 1, 2}.
x
x
25). Tìm m để phương trình 4 - 2(m - 1).2 + 3m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho
x1 + x2 = 3.
5

m=

2

7
3

A). m = .
B). m = 4.
C).
.
D). m = 2.
x
3-x
26). Giải phương trình 8 - x.2 + 2 - x = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {0, -1}.
B). {0}.

C). {1}.
D). {2}.
x
x
27). Tìm m để phương trình 4 - 2(m + 1).2 + 3m - 8 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
8

8

3

3

A). - 1 < m < 9.
B). m < .
C). < m < 9.
D). m < 9.
x
x
28). Giải phương trình 4 - 6.2 + 8 = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {2, 4}.
B). {1, 2}.
C). {- 1, 2}.
D). {1, 4}.
x
x+1
x
29). Giải phương trình 6 + 8 = 2 + 4.3 . Ta có tập nghiệm bằng :
A). {1,

log 3 4

}.

B). {2,
4

x2 + x

log 3 2

1− x2

}.

+2

=2

2

2 +2

30). Giải phương trình
A). {-1, 1,0}.
B). {- 1, 0}.
4x − 2x

31). Tìm m để phương trình
A). m = 3.

B). m = 2.
2

C). {2,

( x +1)2

+1

+6=m

log 2 3

}.

D). {1, 2}.

. Ta có tập nghiệm bằng :
C). {1, 2}.
D). {0, 1}.
có đúng 3 nghiệm.
C). m > 3.
D). 2 < m < 3.

2

9 x − 4.3 x + 8 = m

32). Tìm m để phương trình
có nghiệm x ∈ [- 2;1 ].

A). 4 ≤ m ≤ 6245.
B). m ≥ 5.
C). m ≥ 4.
D). 5 ≤ m ≤ 6245.
x+1
33). Giải phương trình 3 = 10 - x. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {1, 2}.
B). {1, - 1}.
C). {1}.
D). {2}.
22.

x +3 − x

− 5.2

34). Giải phương trình
A). {6, - 3}.
B). {1, 6}.
Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

x +3 +1

+ 2 x+4 = 0

. Ta có tập nghiệm bằng :
C). {- 3, - 2}.
D). {- 3, - 2, 1}.
Trang 24

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

35). Giải phương trình 4x + (x - 8).2x + 12 – 2x = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {1, 3}.
B). {1, - 1}.
C). {1, 2}.
D). {2, 3}.
x
x
36). Giải phương trình (x + 4).9 - (x + 5).3 + 1 = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {0 , - 1}.
B). {0, 2}.
C). {1, 0}.
D). {1, - 1}.
x

37). Giải phương trình

34 = 43

log 3 ( log 3 4 )
4

A). {

log 4 ( log 4 3)

}.

x

. Ta có tập nghiệm bằng :

log 2 ( log 3 2 )

B). {

3

log 4 ( log 3 4 )

3

}.

3

C). {
}. D). {
}.
x
x
x+1
38). Giải phương trình 8 - 7.4 + 7.2 - 8 = 0. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {0, 1, 2}.
B). {- 1, 2}.
C). {1, 2}.
D). {1, - 2}.
2

2 x −2 x−6 = 4

39). Giải phương trình
. Ta có tập nghiệm bằng :
A). {4; - 2}.
B). {- 4; 2}.
C). {- 5; 3}.
9x +

D). {5; - 3}.

54
+3= m
3x

40). Tìm m để phương trình
có nghiệm.
A). m ≥ 30.
B). m ≥ 27.
C). m ≥ 18.
D). m ≥ 9.
x
x+3
41). Tìm m để phương trình 4 - 2 + 3 = m có đúng 1 nghiệm.
A). m > - 13.
B). m ≥ 3.
C). m = - 13v m ≥ 3. D). m = - 13 v m > 3.
42). Giải phương trình 3x - 1 = 4. Ta có tập nghiệm bằng :
log 4 3

log 3 4

log 4 3

log 3 4

A). {1 }.
B). {1 }.
C). {1 +
}.
D). {1 +
x
x+1
43). Tìm m để phương trình 4 - 2 = m có nghiệm.
A). - 1≤ m ≤ 0.
B). m ≥ 1.
C). m ≥ 0.
D). m ≥ - 1.
x
x
44). Tìm m để phương trình 4 - 2 + 6 = m có đúng 1 nghiệm x∈ [1; 2].
A). m ≥ 8.
B). 8 ≤ m ≤ 18.
23
4

C). 8 < m < 18.
D). m =
v 8 < m < 18.
x+3

x-1
45). Giải phương trình 2 + 3 = 2x -1 + 3x . Ta có tập nghiệm bằng :
51
log  ÷
2  8 

A). {

3

4
log  ÷
2  45 

}.

B). {

45
log  ÷
2  4 

C). {

3

3

}.

8
log  ÷
2  51 

}.

D). {

Gv thực hiện: Nguyễn Thu Thủy

3

}.
Trang 25

}.