Đề thi chuyen đề 12 lần 1

Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN I
Trường THPT Bình Xuyên
--------------------

MÔN: TOÁN; KHỐI 12
Năm học 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề

ĐỀ BÀI
Câu 1(3,0 điểm)
Cho hàm số y = x
3
- 3mx
2
- 3x + 2 (C
m
).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C
0
) của hàm số khi m = 0.
2. Chứng minh rằng qua điểm M
o
28
;0
27
 
 ÷
 
kẻ được ba tiếp tuyến với (C
0
) trong đó

có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
3. Tìm điều kiện của m để (C
m
) cắt đường thẳng (∆): y = - 3x +1 tại ba điểm phân biệt.
Câu 2(2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
( )
3
8x 2x x 3 x 4 0
+ − + + =
.
2. Giải phương trình:
( )
2 2
cos x cos3x 3 4sin x 2sin x cosx sin6x 0
 
− − + + =
 
.
Câu 3(1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2x
2
+ cos2x trên
[ ]
;2
−π π
.
Câu 4(2,0 điểm)
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB =AD = a, AA’ = 2a. Trên DD’
lấy M sao cho AM ⊥ B’C.

1. Tính khoảng cách giữa AM và B’C’ theo a.
2. Tính thể tích tứ diện MA’CD theo a.
Câu 5(1,0 điểm)
Trong hệ trục Oxy cho ∆ABC: A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM và
cạnh BC của tam giác ∆ABC tương ứng là: x -3 = 0 và 7x + 2y - 31 = 0.
Viết phương trình các cạnh AB, AC.
Câu 6(1,0 điểm)
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1.
Chứng minh rằng
27xyz
xy yz xz
3 xyz
+ + >
+
.
---------Hết--------
Lưu ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh: …………………………………Số báo danh:………………..…
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN
CHẤM THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN I - MÔN TOÁN; KHỐI 12
Câu ý Đáp án Điểm
Câu I
(3,0)
1.
(1,0)
1/ Khi m =0
3
y x 3x 2= − +
Tập xác định: R.

Chiều biến thiên:

2
y' 3x 3= −
→ y’ = 0 ↔ x = 1 hoặc x = -1

x
lim y
→∞
= ∞
,
x
lim y
→−∞
= −∞
Bảng biến thiên:
0,5
+ Hàm số đồng biến trên (∝; -1); và (1; +∝); nghịch biến trên (-1;1).
+ Hàm số có cực đại tại x = -1, y
CĐ
= 4; cực tiểu tại x = 1, y
CT
=0.
0,25
Đồ thị:
Đồ thị giao với Ox tại (1;0) và (-2; 0); giao với Oy tại (0; 2).

0,25
2.
(1,0)

2/ Phương trình đường thẳng qua điểm M
o
28
;0
27
 
 ÷
 
có hệ số góc k là:

28
y k x
27
 
= −
 ÷
 
đường thẳng là tiếp tuyến của (C
o
)
↔
( )
3
3 2
2
28
x 3x 2 k x
28
x 3x 2 3x 3 x
27

27
3x 3 k

 
− + = −

 
 ÷
→ − + = − −
 

 ÷
 

− =


0,25
↔ (x - 1)(18x
2
- 10x - 10) = 0 ↔ x
1
=1,
2 3
5 205 5 205
x ,x
18 18
− +
= =

Vậy có ba tiếp điểm thuộc (C
o
) với hoành độ tìm được → qua M
o
ta
0,5
x
y’
y
-∞ +∝
-1
1
4
0
-∝
+∝
2
4
0
1
-1-2
x
y
1
0
0
++
-
kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị.
Giả sử (d

1
),(d
2
), (d
3
) là ba tiếp tuyến có hệ số góc tương ứng k
1
,k
2
,k
3
Khi x
1
=1→ k
1
=0 tiếp tuyến (d
1
) y =0 (trục Ox) →(d
2
) và (d
3
)
không thể vuông góc với (d
1
).
k
2
.k
3
=

( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
2 3 2 3 2 3 2 3
3x 3 3x 3 9 x x x x 2x x 1
 
− − = − + + +
 
=
2 2
10 10 10
9 2. 1 1
18 18 18
 
   
− − + = −
 
 ÷  ÷
   
 
. Vậy (d
2
) và (d
3
) vuông góc nhau.
0,25
3.
(1,0)
3/ (C

m
) cắt đường thẳng (∆): y = -3x +1 tại ba điểm
↔ g(x) = x
3
- 3mx
2
+ 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt
↔ g(x) = x
3
- 3mx
2
+ 1 có cực đại cực tiểu và g
CĐ
.g
CT
< 0
0,5
g’(x) = 3x
2
- 6mx = 0
x 0
x 2m.
=

↔

=


Điều kiện bài toán ↔

3
3
m 0 m 0
1
m .
g(0).g(2m) 0 4m 1 0
4
 ≠ ≠

↔ ↔ >
 
< − + <



0,5
Câu
II
(2,0)
1.
(1,0)
1/ Điều kiện x ≥ -3.(*)
Phương trình ↔ (2x)
3
+ 2x =
( )
3
x 3 x 3
+ + +
(1)

0,25
Đặt f(x) = x
3
+ x , f’(x) = 3x
2
+1 > 0 ∀x ∈R →f(x) luôn đồng biến /R.
Từ (1):
( )
f (2x) f x 3 2x x 3
= + ↔ = +
0,25

( )
2
2
x 0
x 0
x 1
4x x 3 0
2x x 3
≥

≥


↔ ↔ ↔ =
 
− − =
= +




thỏa mãn (*).
Vậy nghiệm phương trình x = 1.
0,5
2.
(1,0)
2/ Đặt t =cosx, điều kiện
t 1
≤
(*).
Phương trình ↔ t
2
- [cos3x.(3 - 4sin
2
x) + 2sinx].t + sin6x = 0 (1).
Phương trình dạng t
2
- (a +b).t + ab = 0
t a
t b
=

↔

=

.

2

cosx 2sin x(2)
(1)
cosx cos3x.(3 4sin x)(3)
=

↔

= −

0,25
+ (2) ↔ cosx = 2sinx ↔ cotx = 2 ↔ x = arccot2 + kπ, k ∈Z.
0,25
+ (3) ↔ cosx = cos3x(3 - 4sin
2
x)
Nếu sinx =0 → (cosx =1, cos3x =1) hoặc (cosx =-1, cos3x = -1)
không thỏa mãn (3)
Nếu sinx ≠ 0 khi đó (3) ↔ sin2x = sin6x
k
x ,k 2n 1,n Z
2
k
x ,k Z
8 4
π

= = + ∈

↔


π π

= + ∈


0,5
Vậy nghiệm của phương trình là: x = arccot2 + kπ; x = …
Câu
III
(1,0)
(1,0)
Ta thấy y = 2x
2
+ cos2x là hàm chẵn trên R ta xét sự biến thiên
của hàm số trên [0; 2π].
y’ = 4x - 2sin2x, y’’ = 4 - 4cosx ≥ 0 ∀x ∈[0; 2π]
→ y’ đồng biến trên [0; 2π] , y’(0) = 0.

Vậy y’≥ 0 ∀x ∈[0; 2π] → hàm số đồng biến trên [0; 2π].
Vì hàm số chẵn → hàm số nghịch biến trên [-2π; 0] ⊃ [- π; 0].
Hàm số có cực tiểu tại x =0.
0,5
Ta có y(-π) = 2π
2
+ 1, y(0) =1, y(2π) = 8π
2
+1.
Vậy trên
[ ]
;2

−π π
Maxy = 8π
2
+1 khi x = 2π
miny =1 khi x =0.
0,5
Câu
IV
(2,0)
1.
(1,0)
1/
Vì ABCDA’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật →(ADD’A’)//(BCC’B’)
và khoảng cách giữa chúng bằng AB = a.
0,5
AM ⊂(ADD’A’), B’C’⊂(BCC’B’) → khoảng cách giữa AM và B’C’
là khoảng cách giữa (ADD’A’) và (BCC’B’) bằng a
0,5
2.
(1,0)
2/ Do A’D // B’C và AM ⊥B’C → AM ⊥A’D
→ ∆A’AD ∼∆ADM (g,c,g) ↔
2 2
AA' AD AD a a
DM
AD DM AA' 2a 2
= ↔ = = =
0,25
Thể tích V
(MA’CD)

= V
(CA”D’D)
– V
(CA’D’M)
0,25
V
(CA”D’D)

3
1 1 1 a
. A'D'.D'D.CD a.2a.a
3 2 6 3
= = =
.
V
(CA’D’M)

3
1 1 1 3a a
. A'D'.D'M.CD a. .a
3 2 6 2 4
= = =
.
0,5
A
B
C
D
A’
B’

C’
D’
M
x
y’’
y’
0
+
0
2π
8π
2a
a
a
2
V
(MA’CD)
=V
(CA”D’D)
– V
(CA’D’M)

3 3 3
a a a
.
3 4 12
= − =
Câu
V
(1,0)

(1,0)
B là giao của BM và BC → B(3; 5).
AB (2;3)=
uuur
,
AB
n (3; 2)= −
r
.
Phương trình AB: 3(x - 1) - 2(y - 2) = 0 ↔ 3x - 2y +1 = 0
0,5
Giả sử C(x
C
,y
C
): C∈ BC ↔ 7x
C
+ 2y
C
- 31 = 0.
Trung điểm AC∈ BM
C
C C
1 x
3 0 x 5 y 2
2
+
↔ − = ↔ = → = −
, C(5; -2)

AC (4; 4)
= −
uuur

AC
n (1;1)
↔ =
r
.
Phương trình AC: 1(x - 1) + 1(y - 2) = 0 hay x + y - 3 = 0.
0,5
Câu
VI
(1,0)
(1,0)
27xyz
xy yz xz
3 xyz
+ + >
+
. (1)
Ta có
2
3
xy yz xz 3 (xyz) (Côxi)
+ + ≥
Đặt
3
t xyz 0= >
, 1 = x +y +z

3
3 xyz≥
→
1
t
3
≤
0,25
(1) được chứng minh nếu
3
2
3
27t
3t
3 t
>
+
với 0 <
1
t
3
≤
. (2) 0,25
Ta có (2) ↔ 3 + t
3
> 9t ↔ f(t) = t
3
- 9t +3 >0
vì f’(t) = 3t
2

- 9 < 0 ∀ 0 <
1
t
3
≤
nên f(t) nghịch biến trên
1
0;
3
 


 
.
→
1
0 t
3
1 1
f (t) minf (t) f 0
3 27
< ≤
 
≥ = = >
 ÷
 
(đpcm).
0,5
…..Hết…..
Lưu ý: Đáp án có 4 trang.

Học sinh làm theo cách khác đúng cho điểm tối đa theo thang điểm đã cho.
3
4