MỘT số DẠNG PHƯƠNG TRÌNH mũ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

MẪU 1.1

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG
THPT
YÊN phúc
LẠC
Độc lập - Tự
do - Hạnh

===***===

ĐƠN ĐỀ NGHỊ
CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ

Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến Sở GD&ĐT Tỉnh Vĩnh Phúc

BÁO CÁO KẾT QUẢ

Tên tôi là: Lê Xuân Hưng
ChứcNGHIÊN
vụ : Tổ phó

CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Đơn vị/địa phương: Trường THPT Yên Lạc
Điện thoại: 0969126082
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MŨ,

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Tôi làm đơn này trân trọng đề nghị Hội đồng Sáng kiến Sở GD&ĐT Tỉnh
Vĩnh Phúc xem xét và công nhận sáng kiến cấp cơ sở cho tôi đối với sáng
kiến/các sáng kiến đã được Hội đồng Sáng kiến cơ sở công nhận sau đây:

Tên sáng kiến:

Tên sángTên
kiếntác
: MỘT
SỐ kiến:
DẠNGLêPHƯƠNG
TRÌNH MŨ, PHƯƠNG
giả sáng
Xuân Hưng
TRÌNH LOGARIT

Tổ bộ môn: Toán - Tin

(Có Báo cáo Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kèm theo)

Mãđoan
sáng
kiến:
Tôi xin cam
mọi
thông52tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật,
không xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ của người khác và hoàn toàn chịu trách
nhiệm về thông tin đã nêu trong đơn.
Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị

(Ký tên, đóng dấu)

Yên Lạc, ngày 15 tháng 02 năm 2020
Người nộp đơn

Vĩnh Phúc, năm 2020


Lê Xuân Hưng

MỤC LỤC
1.
Lời
giới
……………………………………………………………..

thiệu

1

2.
Tên
sáng
……………………………………………………………

kiến

1

3.

Tác
giả
sáng
…………………………………………………………

kiến

1

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến………………………………………..........

2

5.
Lĩnh
vực
áp
dụng
………………………………………………

kiến

2

thử

2

7. Mô tả bản chất của sáng kiến …………………………………………..

2

7.1. Về nội dung của sáng kiến …………………………………….

2

6. Ngày sáng kiến
………………………

được

áp

dụng

PHẦN
1:
CƠ
…………………………………………

lần

sáng
đầu

SỞ

áp

dụng

LÍ

LUẬN

PHẦN 2: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG
TRÌNH LOGARIT

3
4

Vấn đề 1. Phương trình mũ, phương trình logarit đưa về cùng cơ số

4

Vấn đề 2. Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng cách đặt
ẩn phụ

13

Vấn đề 3. Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng phương 24
pháp hàm số
PHẦN
3:
THỰC
…………………………

NGHIỆM

–

ĐÁNH

GIÁ 39


1.
Mục
………………………

đích

và

phương

pháp

thực

hiện 39

2.
Tổ
chức
………………………………………

thực

nghiệm 39

3.
Kết
quả
………………………………………

thực

nghiệm 39

7.2.
Về
khả
năng
……………………………

áp

8.
Những
thông
tin
………………………………………
9. Các điều kiện cần
……………………………

thiết

dụng
cần

để

của
được

áp

dụng

sáng

kiến 39

bảo

mật 39

sáng

kiến

40

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 40
sáng kiến theo ý của tác giả hoặc theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã
tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử
…………………………………
10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp
dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả …………………………………

4
0

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp
dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân …………………………

4
0

11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu ………………………………………………….

4
1



BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1. Lời giới thiệu
Trong những năm gần đây, tỉnh Vĩnh Phúc luôn đứng trong tốp đầu cả nước
về chất lượng thi đại học, cao đẳn và thi Trun học phổ thông (THPT) Quốc gia.
Trường THPT Yên Lạc luôn nỗ lực để duy trì và nâng cao hơn nữa chất lượng
giáo dục mọi mặt của nhà trường. Nhiệm vụ ấy vừa là trách nhiệm, vừa là niềm
vinh dự của mỗi giáo viên. Bộ Giáo dục và Đào tạo thay đổi hình thức thi môn
toán sang thi trắc nghiệm, trong quá trình giảng dạy, ôn thi THPT Quốc gia, tôi
nhận thấy cách dạy và học môn toán cần có sự thay đổi so với các năm trước.
Đặc biệt, đề thi môn Toán trong kì THPT Quốc gia được thi theo hình thức trắc
nghiệm, đề thi có phổ kiến thức rộng và sâu, khác nhiều so đề thi theo hình thức

tự luận trước đây. Do đó việc dạy và học kiến thức lớp cho học sinh lớp 12 cần
có sự thay đổi để phù hợp với hình thức thi mới. Kiến thức ôn tập từ cơ bản đến
nâng cao nhằm phù hợp với các mức độ nhận thức của từng học sinh. Trường
THPT Yên Lạc ngoài việc tập trung nâng cao chất lượng đầu cao còn chú trọng
nâng cao kết quả học tập của các học sinh có học lực yếu và trung bình. Trong
phần kiến thức phương trình mũ và phương trình logarit luôn có mặt ở mức độ
thông hiểu, nhận biết và mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia.
Để giúp học sinh lớp 12 có có kỹ năng tốt hơn trong việc học phần kiến
thức phương trình mũ và phương trình logoarit tôi chọn viết đề tài “Một số
dạng phương trình mũ, phương trình logarit” nhằm góp phần giúp học sinh
nắm trắc kiến thức và kỹ năng về phần kiến thức này, qua đó giúp các em học
sinh có thể đạt kết quả tốt THPT Quốc gia sắp tới.
2. Tên sáng kiến: “Một số dạng phương trình mũ, phương trình logarit”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Lê Xuân Hưng
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc
- Số điện thoại: 0969126082

6


- Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
- Họ và tên: Lê Xuân Hưng
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc
- Số điện thoại: 0969126082
- Email:
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Lĩnh vực: Giải tích lớp 12.
- Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Củng cố, nâng cao kiến thức, kỹ năng giải

toán phương trình mũ và logarit cụ thể:
+ Củng cố kiến thức từ cơ bản đến nân cao kiến thức về phương trình mũ
và logarit.
+ Phát triển các năng lực tự học, sáng tạo, hợp tác, tính toán, công nghệ
thông tin, giải quyết vấn đề cho học sinh.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng áp dụng vào lớp 12A tháng 12 năm 2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung của sáng kiến:
Sáng kiến gồm 3 phần:
PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
PHẦN 2: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG
TRÌNH LOGARIT
PHẦN 3: THỰC NHIỆM – ĐÁNH GIÁ

7


PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
Dạy học giải quyết vấn đề là con đường quan trọng để phát huy tính tích
cực của học sinh. Quan điểm dạy học này là không xa lạ ở Việt Nam. Các nội
dung cơ bản dạy học giải quyết vấn đề làm cơ sở cho những phương pháp dạy
học phát huy tính tích cực khác.
Với hình thức thi trắc nghiệm môn Toán ngoài việc học sinh cần nắm trắc
kiến thức cơ bản, ngoài ra học sinh cần nắm được một số cách thức làm bài ngắn
gọn và chính xác để đạt được kết quả đúng.
Đối với dạng toán phương trình mũ và logarit học sinh cần nắm được
công thức logarit, tính chất hàm số mũ, hàm số logarit, tính chất hàm số. Trong
các bài toán nâng cao học sinh cần biết kết hợp nhiều kiến thức như kiến thức
hàm số (tính đơn điệu), bất đẳng thức…để giải dạng toán này.

8


PHẦN 2: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH
LOGARIT

Thời lượng: 03 tiết
Tiết 01. “Phương trình mũ, phương trình logarit đưa về cùng cơ số”
Tiết 02. “Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng cách đặt ẩn
phụ”
Tiết 03. “Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng phương pháp
hàm số”

Vấn đề 1. Phương trình mũ, phương trình logarit đưa về cùng cơ số
1. Phương pháp:

a f ( x) = a g ( x) Û

+ Phương trình:

éa =1
ê
êìï 0 < a ¹ 1
êïí
êï f ( x) = g ( x)
ëïî

ìïï 0 < a ¹ 1
í
log a f ( x ) = log a g ( x ) Û ïïî f ( x) = g ( x) > 0

Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện
tạp của

f ( x) > 0

+ Phương trình:

và

g ( x) > 0

f ( x) > 0

hoặc

g ( x) > 0

.

ìïï 0 < a ¹ 1, b > 0
í
a f ( x ) = b Û ïïî f ( x) = log a b
ïìï 0 < a ¹ 1
í
log a f ( x) = b Û ïïî f ( x) = a b

2. Một số ví dụ:
2

Ví dụ 1: Giải phương trình

2 x - 5 x+6 =1

.
Lời giải
9

tuỳ thuộc vào độ phức


éx = 2
ê
Û
2
ê
x 2 - 5 x +6
Û
x
5
x
+
6
=
0
ëx = 3
2
=1

Vậy tập nghiệm là

S = { 2;3}

.

.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình

( 7 + 4 3)

2 x+1

=2-

3
.

Lời giải
Ta có

( 7 + 4 3)

2 x+1

Û 4 x =- 3

(

=2-

3 Û 2 +2 3

Û x =-

3
4

)

4 x+2

)

- 1

Û 4 x + 2 =- 1

.

x =Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3: Giải phương trình

(

= 2+ 3

4 x- 1 = 83- 2 x

3

4

.

.
Lời giải

4

x- 1

3- 2 x

=8

Ta có

Û x=

11
8

22 x 512
Û
= 6x
8x
8x
11
4
2 Û 2 = 2048 Û 2 = 2 Û 8 x =11

.

x=
Vậy phương trình có nghiệm

( 2,5)
Ví dụ 4: Giải phương trình

5 x- 7

11
8

.

x+1

æö
2÷
=ç
÷
ç
÷
ç
è5 ø

.
Lời giải

10


( 2,5)

5 x- 7

Ta có
.

x+1

5 x- 7

æö
æö
2÷
5÷
ç
=ç
Û
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç2 ø
è5 ø

è

Vậy phương trình có nghiệm

8

2 x- 1
x+1

x =1

( )

= 0, 25.

- x- 1

æö
5÷
=ç
ç
÷
ç2 ÷
è
ø

2

Û 5 x - 7 =- x - 1 Û x =1

.

7x

Ví dụ 5: Phương trình

có tích các nghiệm bằng?
Lời giải

8

2 x- 1
x+1

( 2)

= 0,25.

Ta có
Û 2

3.

2 x- 1
x+1

- 2

= 2 .2

7x

7x
2

Û 2

Û 2

3.

3.

2 x- 1
x+1

2 x- 1
x+1

- 2

= 2 .2

=2

7x
2

7 x- 4
2

éx =1
ê
2x - 1 7 x - 4
Û 3.
=
Û 7 x2 - 9 x + 2 = 0 Û ê 2
êx =
x +1
2
ê
ë 7

Vậy tích các nghiệm bằng

2 2
1. =
7 7

.

.

Ví dụ 6: (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG LẦN 01 NĂM 2018) Cho phương trình
log 0,5 ( m + 6 x ) + log 2 ( 3 - 2 x - x 2 ) = 0

(
giá trị nguyên dương của
A.

17

B.

m

m

là tham số). Có bao nhiêu

để phương trình có nghiệm thực?

18

C.
Lời giải

Chọn A

Điều kiện

ïìï m + 6 x > 0
Û
í
ïïî 3 - 2 x - x 2 > 0

ìïï - 3 < x <1
í
ïîï m + 6 x > 0

11

.

23

D.

15


log 0,5 ( m + 6 x) + log 2 ( 3 - 2 x - x 2 ) = 0

Khi

đó,

Û log 2 ( 3 - 2 x - x 2 ) = log 2 ( m + 6 x )

Û 3 - 2 x - x 2 = m + 6 x Û 3 - 8x - x 2 = m ( *)

f ( x) =- x 2 - 8 x + 3

Xét hàm số
f ¢( x ) = 0 Û x =- 4

( - 3;1)

trên

.

, ta có

f ¢( x ) =- 2 x - 8

;

.

Bảng biến thiên

Từ BBT suy ra phương trình
.
Do

m

nguyên dương nên

Ví dụ 7: Tìm tham số
nghiệm.

m

( *)

có nghiệm trên

m Î {1;2;...;17}

để phương trình

( - 3;1) Û - 6 < m <18

.

log 5 ( x - 1) = log 5 ( mx + 4 x )

Lời giải

log 5 ( x - 1) = log5 ( mx + 4 x ) Û log 5 ( x - 1) 2 = log 5 ( mx + 4 x)
.

ìï x - 1 > 0
Û ïí
ïï ( x - 1) 2 = mx + 4 x
î

.

ïìï x >1
ïìï x - 1 > 0
Û ïí
1
Û í 2
ïï x - 6 + = m
ïïî x - 6 x +1 = mx ïî
x

12

.

có


1
f ( x) = x + - 6
x

Đặt
Û x = ±1

f ¢( x) =1 . Ta có:

1
x2

f ¢( x) = 0 Û 1 ,

1
=0
x2

Bảng biến thiên:

x

+¥

1

f ¢( x )

+

0

+¥

f ( x)

-4

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm khi

m >- 4

.

Ví dụ 8: (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1-2018) Số các giá trị nguyên

m

của tham số
để phương trình
nghiệm phân biệt là
3
4

A. .
B. .

log 2 ( x - 1) = log 2 ( mx - 8)

5
C. .

có hai

D. Vô số.

Lời giải
Chọn A

ïì x >1
log 2 ( x - 1) = log 2 ( mx - 8) Û ïí
Û
ïï ( x - 1) 2 = mx - 8
î

ìï x >1
íï 2
ïï x - ( m + 2) x + 9 = 0
î

.
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực lớn hơn
thỏa mãn

13

1

thì điều kiện sau


ïìï ém <- 8
ïï ê
ïìï m 2 + 4m - 32 > 0
ïï ê
ëm > 4
ìïï D > 0
ïï
Û í ( x1 - 1) + ( x2 - 1) > 0 Û ïí m > 0
Û 4 < m <8
í
ïïî 1 < x1 < x2 ïï
ïï
ïï ( x1 - 1)( x2 - 1) > 0
ïï 8 - m > 0
î
ïï
ïïî

Vì

m Î ¢ Þ m Î { 5,6,7}

.

Ví dụ 9: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Hỏi có bao nhiêu
giá

m

trị

nguyên

log ( mx ) = 2log ( x +1)

A.

2017

.

trong

[- 2017;2017 ]

để

phương

trình

có nghiệm duy nhất?

B.

4014.

C.
Lời giải

2018.

D.

4015.

Chọn C

x >- 1, mx > 0
Điều kiện

.
2

log ( mx) = 2log ( x +1) Û mx = ( x +1) Û m =
f ( x) =
Xét
f ¢( x ) =

hàm
x2 - 1
=0 Û
x2

éx =1
ê
êx =- 1 ( l )
ë

Lập bảng biến thiên

14

( x +1)

2

x

( x +1)
x

2

( x > - 1, x ¹ 0)
;


Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

ém = 4
ê
ê

ëm < 0.

m Î [- 2017;2017 ]

mÎ ¢
2018
m
Vì
và
nên chỉ có
giá trị
nguyên thỏa
yêu cầu là
m Î { - 2017;- 2016;...;- 1;4}
.
mx > 0
Chú ý: Trong lời giải, ta đã có thể bỏ qua điều kiện
vì với
phương trình
f ( x) > 0

log a f ( x) = log a g ( x)

với

0
ta chỉ cần điều kiện

.

Ví dụ 10: (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho phương trình

( 2log32 x -

log 3 x - 1) 5 x - m = 0

(m là tham số thực). Có tất cả bao
m
nhiêu giá trị nguyên dương của
để phương trình đã cho có đúng 2
nghiệm phân biệt?
A.

123

.

B.

125

.

C. Vô số.

D.

124

.

Lời giải
Chọn A

Điều kiện:

ìïï x > 0
í
ïïî x ³ log 5 m

Phương trình

éx = 3
élog 3 x =1
ê
ê
ê
ê
1
1
Û êlog 3 x =Û êx =
ê
ê
2
3
ê
ê
êx = log 5 m
ê

ëx = log 5 m
ë

m =1

TH1: Nếu
thì
nghiệm phân biệt.

x = log 5 m = 0

15

.

(loại) nên phương trình đã cho có 2


m >1
TH2: Nếu
thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
khi và chỉ khi
1
£ log 5 m < 3 Û 5
3

Vậy có tất cả
toán.

123

1
3

£ m <125
. Do

m Î ¢ Þ m Î { 3;4;5;...;124}

giá trị nguyên dương của

m

thoả mãn yêu cầu bài

3. Một số bài tập trắc nghiệm
Câu 1: (MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Phương trình
nghiệm là

x=
A.

3
2

x=
B.

5
2

C.

x =1

52 x+1 = 125

D.

có

x =3

x
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức
log 3 x = 3log 3 2 + log 9 25 - log 3 3
.
20
40
25
28
3
9
9
3
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
Câu 3: Tổng

giá

trị

tất

cả

log3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x =

A.

82
9

.

B.

80
9

các

2
3

nghiệm

của

phương

trình

bằng

9
C. .

.

0
D. .

Câu 4: (SGD Quảng Nam – năm 2017 – 2018) Tổng các nghiệm của phương
2

trình
5
A. .

2 x +2 x = 82- x

bằng
B.

- 5

6
C. .

.

16

D.

-6

.


2

Cõu 5: Tỡm tp nghim ca phng trỡnh

4 x = 2 x+1

.

ỡù 1 ỹ
ù
S = ớ - ; 1ý

ùợù 2 ùùỵ
B.
.

ỡù 1 - 5 1 + 5 ỹ
ùù
S = ùớ
;
ý
ùù 2
ùù
2
ợ
ỵ
C.
.

1 ùỹ
ùỡ
S = ớ - 1; ý
ùợù
2 ùùỵ
D.
.

A.

S = { 0; 1}

x

4

x- x 2

Cõu 6: Tp nghim ca phng trỡnh

A.
.

ùỡ 2 ùỹ
ớ 0; ý
ùợù 3 ùỵ
ù

.

B.

ùỡ 1 ùỹ
ớ 0; ý
ùợù 2 ùỵ
ù

ổử
1ữ
=ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố2 ứ

.

l

C.

{ 0;2}

.

D.

Cõu 7: (SGD Bc Ninh nm 2017-2018) Gii phng trỡnh

x=
A.

11
8

x=
C.

1
8

x=

.

B.

x=
.

D.

4
3

4 x- 1 = 83- 2 x

ùỡ 3 ùỹ
ớ 0; ý
ùợù 2 ùỵ
ù

.

.

8
11

.

Cõu 8: (THPT Chuyờn Biờn Hũa-H Nam-ln 1 nm 2017-2018) Nghim
ca phng trỡnh

log 3
A.

4

l.

3
2
.

B.

x = log 3
C.

2 x + 2 x+1 = 3x + 3x+1

2

3
4

x =1

.

x = log 4
.

D.

3

2
3
.

Cõu 9: (M 103 BGD&T NM 2017-2018) Tp nghim ca phng trỡnh
log 3 ( x 2 - 7) = 2

l
17


{- 4;4}

{- 15; 15}

A.

B.

C.

{ 4}

D.

Cõu 10: (SGD Phỳ Th ln 1 - nm 2017 2018)

{ - 4}

Phng trỡnh

log 3 ( 2 x - 1) = 4

cú nghim l
A.
C.

x = log 2 82
x = log 2 81

.

B.

.

D.

x = log 2 65
x = log 2 66

.
.

Cõu 11: ( THAM KHO BGD&T NM 2016-2017) Tỡm tp nghim
ca phng trỡnh

A.

C.

log 2 ( x - 1) + log 2 ( x +1) = 3

S = { - 3;3}

B.

A. .

S = { 4}

{

D.

Cõu 12: S nghim ca phng trỡnh

0

.

S = - 10; 10

S = { 3}

log 2 x + log 2 ( x - 6) = log 2 7

3

1
C. .

B. .

S

}

l
D.

2

.

log 3 ( x 2 + 4 x) + log 1 ( 2 x + 3) = 0
3

Cõu 13: S nghim ca phng trỡnh

3

A. .

B.

2

l

0

1

.

C. .

D. .

Cõu 14: (THPT Chuyờn Hựng Vng-Bỡnh Phc-ln 2-nm 2017-2018)
x

3 x- 1

ổử
4 ữổử
7ữ
16
ỗ
ỗ
= 0 l
ữ
ữ
ỗ
ỗ
Tp nghim S ca phng trỡnh ố

ữố
ỗ7 ứ
ỗ4 ữ
ứ
49
ỡ 1ỹ
ù
S = ùớ - ý
ùợù 2 ùùỵ
A.
.

B.

18

S = { 2}

.


C.

ìï 1
1ü
ï
í ;- ý
ïîï 2
2 ïþ
ï

Câu 15:

.

D.

Tổng

tất

cả

các

nghiệm

log 2 ( x - 1) + log 2 x = 1 + log 2 ( 3 x - 5)

A.

7

6

.

ì 1 ü
S = ïí - ; 2ïý
ïîï 2 ïïþ

của

phương

trình

bằng

5

B. .

.

C. .

D.

4

.

Câu 16: (THPT Lương Văn Chánh Phú Yên năm 2017-2018) Tìm tập
nghiệm
A.
C.

S

log 3 ( x 2 - 2 x + 3) - log 3 ( x +1) =1

của phương trình

S = { 0;5}

S = { 0}

.

.

B.

.

D.

S = { 5}

S = {1;5}

Câu 17: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Gọi

S

phương trình
S
tử của bằng
A. .
C.

4+ 2

B.
.

D.

¡

trên

6+ 2
8+ 2

.

là tập nghiệm của

2

2log 2 ( 2 x - 2) + log 2 ( x - 3) = 2

8

.

. Tổng các phần

.

.

Câu 18: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 2 năm 2017-2018)

log

m

Tìm tham số
để phương trình
nghiệm thực duy nhất.
A.

1 < m < 2.

B.

m >1.

2018

C.

( x - 2) = log 2018 ( mx)

m > 0.

có

D.

m < 2.

Câu 19: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 –
S
m
2018)Gọi
là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của
để
19


log 1 ( x + m) + log 3 ( 3 - x ) = 0

phương trình
nhiêu tập con?
4
A. .

3

có nghiệm. Tập

8
B. .

C.

2

.

S

D.

có bao

7

.

Câu 20: (CHUYÊN THÁI NGUYÊN -2018) Tập hợp các giá trị thực của

tham số

m

log 3 ( 1 - x 2 ) + log 1 ( x + m - 4) = 0
3

để phương trình

nghiệm thực phân biệt là

T = ( a; b )

a b
, là các số nguyên

, trong đó
M = a +b
hoặc phân số tối giản. Tính
.

A.
Câu 21:

33
6

.

(SGD

B.
Bắc

17
3

.

Giang

C.
-

2018)

log 0,5 ( m + 6 x ) + log 2 ( 3 - 2 x - x 2 ) = 0

(

m

9
2

có hai

.
Cho

D.
phương

41
4

.

trình

là tham số). Có bao nhiêu

m
giá trị nguyên dương của
để phương trình có nghiệm thực?
17

18
23
15
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 22: (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho phương trình

( 4log 22 x + log 2 x - 5)

7x - m = 0 m
( là tham số thực). Có tất cả bao
m
nhiêu giá trị nguyên dương của
để phương trình đã cho có đúng hai
nghiệm phân biệt
A.

49

.

B.

47

.

C. Vô số.

D.

48

.

Câu 23: (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho phương trình

( 2log 22 x -

3log 2 x - 2) 3x - m = 0 m
( là tham số thực). Có tất cả bao
m
nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
để phương trình đã cho có
hai nghiệm phân biệt?
20


A.
Câu 24:

79

.

B.

80

.

C. Vô số.

D.

81

.

(MĐ 104 BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho phương trình

( 2log 22 x -

log 2 x - 1) 4 x - m = 0 m
( là tham số thực). Có tất cả bao
m
nhiêu giá trị nguyên dương của
để phương trình đã cho có đúng hai
nghiệm phân biệt
A. Vô số.

B.

62

.

C.

63

.

D.

64

.

Câu 25: (THPT Lương Thế Vinh Đồng Nai lần 2 – 2019) Có bao nhiêu giá
m
trị
nguyên của tham số
sao cho phương trình
log 2 ( x 2 - 3 x + 2m) = log 2 ( x + m)

A.

10

có nghiệm thực?

9
B. .

.

8

D. .

C. Vô số.

BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
11.C
21.A

2.B
12.C
22.B

3.A
13.C
23.A

4.B
14.A
24.B

5.B
15.A
25.B

6.D
16.A

7.A
17.C

8.C
18.C

9.B
19.B

10.A
20.D

Vấn đề 2. Phương trình mũ, phương trình logarit giải bằng cách đặt ẩn phụ
1. Phương pháp:
+ Phương trình
kiện

t >0

, ta được:

ak a kx + ak - 1a ( k - 1) x ...a1a x + a0 = 0

, khi đó đặt

t = ax

, điều

a k t k + ak - 1t ( k - 1) ...a1t + a0 = 0

* Mở rộng: Nếu đặt

t = a f (x)

Khi đó:

a

2 f ( x)

, điều kiện hẹp
2

=t ,a

21

3 f ( x)

3

t >0

= t ,..., a

.

kf ( x )

=t

a

k

và

- f ( x)

=

1
t

.


+ Phương trình

điều kiện

bx =

t >0

f ( x)

=

1
t

, với

a.b =1

. Khi đó, đặt

t = ax

,

1
t

, suy ra
, ta được:
a2
a1t
a3
a1t 2 + a3t + a 2 = 0
t
+
+
=0⇔
.

*Mở rộng: Với

b

a1a x + a2b x + a3 = 0

a.b =1

thì khi đặt

t =a

f ( x)

, điều kiện hẹp

t >0

, suy ra

.
x

+ Phương trình

a1a 2 x + a 2 ( ab) + a3b 2 x = 0

. Khi đó chia hai vế của
2x

phương trình cho

b2 x > 0

(hoặc

a 2 x ,( a.b)

x

), ta được:

æa ÷
ö
a1 ç
÷
ç
ç
èb ÷
ø

x

+

æa ÷
ö
a2 ç
÷
ç
ç
èb ÷
ø

+

a3

x

æa ÷
ö
t =ç
÷
ç
ç
èb ÷
ø
a1t 2 + a2t + a3 = 0
t >0
Đặt
, điều kiện
, ta được
.
* Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử
a

2 f ( x)

,b

2 f ( x)

,( a.b )

f ( x)

, ta thực hiện theo các bước sau:
- Chia hai vế của phương trình cho
a

2 f ( x)

,( a.b)

b

2 f ( x)

>0

(hoặc

f ( x)

).
f ( x)

- Đặt

æa ÷
ö
t =ç
÷

ç
ç
èb ÷
ø

, điều kiện hẹp

t >0

.

●
Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp

t >0

cho trường hợp đặt

chẳng hạn:
Nếu đặt

t = ax

thì

t >0

là điều kiện đúng.
22

t = a f ( x)

= 0.


2

t = 2 x +1

t >0
Nếu đặt
thì
chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều
t³ 2
kiện cho t phải là
. Điều này đặc biệt quan trong cho lớp các bài toán có
chứa tham số.
2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình

9 x + 2.3x+1 - 7 = 0

.

Lời giải
Ta có
x

9 + 2.3

x+1

é3x =1
- 7 = 0 Û 3 + 6.3 - 7 = 0 Û ê
ê3x =- 7 ( VN) Û x = 0
ê
ë
2x

Vậy phương trình có nghiệm

x

x =0

.

Ví dụ 2: Tính tích các nghiệm của phương trình

log x ( 125 x) log 225 x =1

Lời giải
Điều kiện:

0
, ta có:

log x ( 125 x) log 225 x =1 Û log 225 x + log 225 x.log x 125 = 1

3
Û log 225 x + log 25 x - 1 = 0
2
é
éx = 5
1
êlog 25 x =
ê
Û ê
2 Û ê
1
ê
êx = 2
ê
ê
ë 25
ëlog 25 x =- 2

.

Vậy tích các nghiệm của phương trình là:

23

1
125

.

.

.


2

Ví dụ 3: Gọi

2

2

2 x - x + 2 x - x- 2 = 4 x - x- 1 +1

S

là tập nghiệm của phương trình
S
Tìm số phần tử của tập .

.

Lời giải
Điều kiện xác định

xÎ ¡

.

Xét phương trình:

2

2

x2 - x

+2

Û 4.2
Û 2

(

x 2 - x- 2

x2 - x

2 x2 - x

)

+2

=4

x2- x

x 2 - x- 1

= 4.4

+1 Û 2

x 2 - x- 1

x2- x

2
2x - x
+
= 4 x - x- 1 +1
4

+ 4 Û 5.2

x2- x

=2

Với

+4

.

t = 2x - x , t > 0

Với

)

2

- 5.2 x - x + 4 = 0

2

Đặt

(

2 x2 - x

Phương trình trở thành:

ét =1
t 2 - 5t + 4 = 0 Û ê
ê
ët = 4

éx = 0
2
t =1 Þ 2 x - x =1 Û x 2 - x = 0 Û ê
ê
ëx =1

.

éx = 2
2

t = 4 Þ 2 x - x = 22 Û x 2 - x - 2 = 0 Û ê
ê
ëx =- 1

Vậy tập nghiệm của phương trình

S = { - 1;0;1;2}

m

Ví dụ 4: Tìm số nguyên
để phương trình
x1 x2
x1 + x2 = 3
nghiệm ,
thỏa mãn
.
Lời giải
24

.

.

có

4

phần tử.

4 x - m.2 x+1 + 2m = 0

có hai


Phương trình

Û 4 x - 2m.2 x + 2m = 0 ( 1)

t 2 - 2m.t + 2m = 0 ( 2)
t = 2x t > 0
Đặt
,
phương trình trở thành
.

Để phương trình

( 1)

kiện là phương trình

x1 x2
x1 + x2 = 3
có hai nghiệm ,
thỏa mãn
điều

( 2)

t1.t2 = 2 x1.2 x2 = 2 x1+x2 = 8

có hai nghiệm

t1 , t2 > 0

thỏa mãn

. Vậy điều kiện là

ìï
ïï ¢
2
ïï D = m - 2m > 0
ïï b
Û m=4
í - = 2m > 0
ïï a
ïï
ïï c = 2m = 8
ïïî a

m=4
Vậy

.

.

Ví dụ 5: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Tìm tất cả các giá

m

trị của tham số
để phương trình
x1 x2
x1 + x2 < 2.
thực ,
thỏa mãn
m <9
0 A.
.
B.
.
.

4 x - 3.2 x+1 + m = 0

C.

0
.

có hai nghiệm

D.

m>0

Lời giải
Chọn B
t 2 - 6t + m = 0 ( 1)
t = 2 x ( t > 0)
Đặt
,
. Phương trình trở thành
.

m

( 1)

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm
để phương trình
t1 t2
log 2 t1 + log 2 t2 < 2 Û t1t2 < 4
, dương thỏa mãn
.

25

có hai nghiệm