chuyên đề giải pháp giúp học sinh đạt điểm 5 trong kì thi tuyển sinh lớp 10 ở trường THCS hoàng lâu

I. Giới thiệu
- Tác giả chuyên đề: Nguyễn Thanh Bình
- Chức vụ: Giáo viên
- Đơn vị công tác: Trường THCS Hoàng Lâu
- Tên chuyên đề :
" Giải pháp giúp học sinh đạt điểm 5 trong kì thi tuyển sinh lớp 10 ở trường
THCS Hoàng Lâu "
II. Nội dung
1)Thực trạng chất lượng giáo dục của trường THCS Hoàng Lâu năm học 2018 –
2019
Năm học : 2018-2019 Trường THCS Hoàng Lâu có 410 em học sinh,riêng khối
9 có 94 học sinh được chia thành 03 lớp .
Bản thân tôi chủ nhiệm và giảng dạy lớp 9C
a.Thuận lợi :
- BGH nhà trường và tổ bộ môn Toán rất quan tâm đến công tác ôn thi tuyển
sinh.
- Giáo viên giảng dạy môn Toán rất nhiệt tình,rất tâm huyết với học sinh và
luôn xem chất lượng giảng dạy là thước đo năng lực của bản thân .
- Vừa là GVBM vừa là GVCN nên có nhiều thời gian để gặp gỡ học sinh.
- Học sinh trong độ tuổi quy định .
- 100% học sinh có địa bàn cư trú ở xã Hoàng Lâu,có xe đạp đến trường và đáp
ứng được 3 đủ (Ăn -Mặc - Sách vở)
b. Khó khăn :
- Về cơ sở vật chất toàn trường chỉ còn dư một phòng để dạy nâng kém ( Văn Toán - Anh văn )
- Nhiều học sinh mất kiến thức cơ bản,lại không chuyên cần trong học tập .
- Một bộ phận phụ huynh ít quan tâm đến việc học của con em mình do hoàn
cảnh kinh tế gia đình khó khăn phải đi làm ăn xa
- Một số học sinh học được nhưng vào lớp lại mất tập trung không chuyên tâm
vào bài học.
- Một số học sinh lại có hiện tượng mau quên kiến thức đã học .
2) Đối tượng học sinh: HS lớp 9 dự kiến 30 buổi

3) Hệ thống ( phân loại, dấu hiệu nhận biết đặc trưng ) các dạng bài tập đặc
trưng của chuyên đề
Chương
1. Đại số
Hình học
Căn bậc hai - Căn bậc ba
Hệ thức lượng trong tam giác
I
(4 buổi )
vuông ( 2 buổi )
- Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của biểu
- Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
thức
,góc trong một tam giác vuông
- Dạng 2: Rút gọn
- Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
- Dạng 3: Giải phương trình
hình học
- Dạng 4: Rút gọn và tính giá trị
- Dạng 3: Tính cạnh và góc trong
của biểu thức ,chứng minh đẳng
tam giác vuông
thức
1


II

III

IV

Hàm số bậc nhất
( 3 buổi )
- Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số
là hàm bậc nhất, hàm số đồng biến,
hàm số nghịch biến
- Dạng 1: Vẽ đồ thị của hàm số
- Dạng 2: Tìm công thức của hàm
số
- Dạng 3: Tìm m để hai đường
thẳng song song ,cắt nhau ,trùng
nhau

Đường tròn ( 2 buổi )
- Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song
song ,vuông góc
- Dạng 2: Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến
của đường tròn
- Dạng 3: Chứng minh các hệ thức
- Dạng 4: Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Dạng 5: Tính toán có sử dụng hệ thức lượng :
Quy về tính góc ,cạnh ,đường cao hoặc hình chiếu
trong tam giác vuông

Hệ pt bậc nhất hai ẩn
( 6 buổi )
- Dạng 1: Giải hệ phương trình
- Dạng 2 : Hệ phương trình có chứa
tham số m

+ Tìm điều kiện để hệ phương trình
có nghiệm duy nhất, có vô số
nghiệm, hệ vô nghiệm
+ Giải hệ phương trình khi m = k (k
�R )
- Dạng 3 :Tìm tham số m trong
trường hợp đơn giản
- Dạng 4: Giải bài toán bằng cách
lập hệ pt

Góc với đường tròn( 4 buổi )
- Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội
tiếp
- Dạng 2: Chứng minh quan hệ
bằng nhau ( đoạn thẳng ,góc ,hệ
thức ...)
- Dạng 3: Chứng minh quan hệ
song song ,vuông góc

Hàm số y = ax2.
PT bậc hai một ẩn
( 5 buổi )
-Dạng 1: Vẽ đồ thị
-Dạng 2: Giải phương trình bậc hai
-Dạng 3: Giải phương trình quy về phương trình
bậc hai
Phương trình bậc hai chứa tham số
( 3 buổi )
- Dạng 1: Tìm m để pt có nghiệm, có nghiệm
kép, có hai nghiệm phân biệt

- Dạng 2: Tìm m để pt có một nghiệm x = k cho
trước
- Dạng 3 : Chứng minh pt có nghiệm, có hai
nghiệm phân biệt
- Dạng 4 : Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu
- Dạng 5: Tìm m để pt có hai nghiệm cùng dấu
- Dạng 6: Dạng bài tập vận dụng hệ thức vi ét
- Dạng 7: Tìm m để pt thỏa mãn hệ thức T cho
trước
- Dạng 8 : Vị trí của đường thẳng và
pa rabol
- Dạng 9 : Giải bài toán bằng cách lập phương
trình

Hình -trụ - Hình nón - Hình cầu
( 1 buổi )

2

Chủ yếu là các bài tập dạng tính
toán ,tìm diện tích xung quanh ,
diện tích toàn phần ,thể tích cùa các
vật dụng ... có dạng hình trụ ,hình
nón ,hình cầu

◙ Thi thử ( 2 tiết )


4) Hệ thống các phương pháp cơ bản, đặc trưng để giải các dạng bài tập trong
chuyên đề

Phương pháp giảng dạy :
- Tuân thủ theo nguyên tắc 4 bước :
Bước 1: Tìm hiểu đề
Bước 2: Lập kế hoạch giải
Bước 3: Tiến hành giải theo kế hoạch
Bước 4: Kiểm tra kết quả và đánh giá lời giải
- Về các bước hình thành thuật toán cho từng dạng bài tập chúng tôi thường triển
khai theo các bước sau:
+ Bước 1: Giáo viên cùng học sinh phân tích đề bài rồi cùng học sinh giải ,sau
đó giáo viên đổi số để học sinh thực hiện tương tự
+ Bước 2: Giáo viên nêu trình tự thực hiện, học sinh thực hiện theo trình tự của
giáo viên đưa ra.
+ Bước 3: Học sinh nêu trình tự giải - học sinh phản biện rồi tiến hành giải .ở
bước này giáo viên đóng vai trò là trọng tài .
- Trong mỗi chương đều đưa ra công thức và phương pháp giải từng dạng bài tập
5) Hệ thống các ví dụ, bài tập cụ thể cùng lời giải minh họa cho chuyên đề
A.Đại số
5.1chương I: Căn bậc hai - Căn bậc ba
- Dạng 1: Tìm ĐKXĐ
Bài 1: Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:
a, có nghĩa khi: a  0
b, có nghĩa khi a 0
c, có nghĩa khi a 
d, có nghĩa khi a 4.
Bài 2 : Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:
a/ b/
c/
d/
Ta có
a/ có nghĩa 2x + 7 0 x

b/ có nghĩa -3x + 4 0 x
c/ có nghĩa 0 có 1 > 0 -1 + x > 0 x < 0
d/ cã nghÜa víi mäi x v× x2 0 víi mäi x x2 + 1 1 víi mäi x
- Dạng 2: Rút gọn
Rút gọn các biểu thức
3


a)
 2 3 . 3  5 . 3  4.15
 2.3  15  2 15  6  15

b)



 2 11  3 2



11  3 22

 2.11  3 2.11  3 2.11  22

- Dạng 2: Giải phương trình
a) ĐK : x �0
Bình phương 2 vế của (1) ta có :
(1)  x = 72  x = 49 ( tm)
Vậy phương trình có nghiệm là : x = 49
b) Tìm x, biết:

4 x  20  3 5  x 

4
9 x  45  6 ( x �5)
3

� 2 x5 3 x5  4 x5  6
� 3 x5  6
� x5  2
� x5  4
� x  1(t /m )

Dạng 3: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức ,chứng minh đẳng thức
* Bµi 1. Cho biÓu thøc
P=
a) Rót gän P nÕu x 0; x4
b) T×m x nÕu P = 2
c) Tính P khi x = 9
a) Rót gän : P =
=
=
=
Víi x 0; x4
b) P = 2 =2 3+4
=4 x =16 (tm®k)
c) Thay x = 9 vào P ta được
3 9
9

P= 92 5

Bài 2: Chứng minh đẳng thức
� a a �
� a a�
1
1
�
�
�
� 1  a
a 1 �
a 1 �
(V�
�
i a �0 va�
a �1)
�
�
4




 

 

 









�
�
�
�

� a  1  a a �
� a  1  a a � � a  1  a a  1
�
�
� �
VT  �
�
�
�
�
a1
a 1
a1
�
�
�
��
�

�
�
�
��









�
�
�
�
�
�

 1 a 1 a  1 a  VP

Các bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm x để căn thức sau có nghĩa
a/
b/
a/ có nghĩa -2x + 3 0 x
b/ có nghĩa có 4 > 0 x + 3 > 0 x > -3
Bài 2:
a). Với giá trị nào của x thì có nghĩa.

A. x > 1 B. x  1 C. x  1 D. x  2
b) Giá trị của biểu thức là:
A. 1B. - 1
C. 1 D. đáp án khác
Bài 3 : Giải các phương trình sau
a)
c)

4 x  20  3 x  5  16 x  80  15

36x  72  15

b) 4 x  4  3  7

x 2
 4. 5  x  2 .
25



e) Giải phương trình

36x  72  15



2
d) 4 x  4 x  1 3

x 2

 4. 5  x  2 .
25





Bài 4: Rút gọn
b) 5  2 6  5  2 6

a) 2 8  18  4 32  5 50  6 72
c)

1  2 

2



d) 2 75  3 48  2 12 .3 27

5  2 6  3 1 :

e) 6  2 5  9  4 5

1
2
20  80 
45
3

g) A = 2

h) A  20  3 18  45  72 .

k) B  4  7  4  7 .

m) 2 18  3 8  3 32  50
n) 49  5 96  49  5 96
Bài 5: Cho biểu thức:
A=
Kết quả A =
a) Tìm ĐKXĐ
b) Rút gọn
c) Tìm x để A < -1/2
Bài 6: Cho biểu thức:
A=
Kết quả A =
a) Tìm ĐKXĐ
b) Rút gọn
c) Tìm x để A < - 2
5





a 1 �
�
�
a 1

�
�

a 1  a


Bài 7
A=
Kết quả A =
a) Tìm ĐKXĐ
b) Rút gọn
Bài 8: Cho biểu thức:
A=
Kết quả A =
a) Tìm ĐKXĐ
b) Rút gọn
c) Tìm x để A < - 1
d) Chứng minh A < 2
5.2Chương II: Hàm số bậc nhất
1. HS là HS bậc nhất khi a �0
2. HSDB khi a>O, NB khi a3. Đường thẳng d tạo với Ox góc tù � aGóc nhọn khi a>O
,
,
I.Cho ( d1 ) : y  ax  b ;( d 2 ) : y = a x  b
,
1. d1 cắt d 2 ۹ a a

�

a  a,
�
��
,
2. d1 // d 2 �b �b
�
a �a ,
�
�� ,
bb
�

�
a  a,
�
d1 �d 2 � � ,
bb
�
3.

4. d1 cắt d 2 tại một điểm trên Oy

�a b
� �,  ,
5. d1 cắt d 2 tại một điểm trên Ox �a b
d1
d2

6. cắt tại một điểm có hoành độ là 4
,

,
Khi 4a + b = 4 a  b
,
7. d1  d 2 khi a.a  1
- Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số là hàm bậc nhất, hàm số đồng biến, hàm số
nghịch biến
Bài 1: Tìm điều kiện của m để hàm số là hàm số bậc nhất?
a) y = (m-3)x +3
1
b) y = mx - 2 x -5
m 1
c) y = m  1 x -2
1
d) y = 2  m x + m

e) y= (m2-4)x2 + (2-m)x + 1
Đáp án:
a) m ≠ 3
1
b) m ≠ 2

c) m ≠ ± 1
d) m ≠ 2 và m ≥ 0
m = -2
GV yêu cầu học sinh thảo luận để làm bài tập này.
6


Bài 2 :
a) Hàm số y=(m-2) x+3 đồng biến khi

m-2>0 � m > 2
b) Hàm số y=(m-2) x + 3 nghịch biến khi
m-2 << 2
Bài 3: Tìm điều kiện cho m để hàm số sau đồng biến? (dùng tính chất)
a) y = (2-m)x + 3
1
b) y = 3 x - mx + 4

c) y = (m2-1)x +2
d) y= (m2+1)x +2 m
e) y = (2-m)(1+m)x + 1
Đáp án:
a) m < 2
1
b) m < 3

c) m > 1 hoặc m < -1
d) m > 0
e) -1 < m < 2
- Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số
Bài 1:
a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau :
y = 2x (d1) và y = -x + 3 (d2)
b) Đường thẳng (d2) cắt đường thẳng (d1) tại A và cắt trục Ox tại B . Tính toạ
độ của các điểm A, B .
Giải : a)
X
y=2x

0

0

1
2

X
Y= -x+3

0
3

3
0

b) *Hoành độ điểm A là nghiệm của phương trình:
2x = - x + 3 � 3x = 3 � x = 1
Do đó : y = 2
Vậy : A (1;2)
*Từ đồ thị : B ( 3;0)
y

3
A

2

O

B
1

-5

3

5

x

y = - x+ 3
y = 2x

-2

* OB = 3 ;
* OA =

12  22  5

2
2
* OC = 2  2  2 2

Bài tập 2.
7


Cho ba đường thẳng y = - x + 1; y = x + 1 và y = - 1
Vẽ ba đường thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ.
- Đồ thị y = - x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm: ( 0 ; 1) và ( 1 ; 0)

- Đồ thị y = - x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm: ( 0 ; 1) và ( 1 ; 0)
- Đồ thị y = - 1 là đường thẳng đi qua hai điểm: ( 0 ; - 1).

số

Dạng 3: Tìm công thức của hàm
Bài 1.
Biết đồ thị hàm số y = ax + 7 đi

a)
qua
M(2 ; 11). Tìm hệ số a.
b) Biết rằng khi x = 3 thì hàm số
y = 2x + b có giá trị bằng 8. Tìm b.
c) Có nhận xét gì về đồ thị của hai hàm số với các giá trị tìm được của a và b?
Giải
a) Đồ thị hàm số y = ax + 7 đi qua M(2 ; 11)
ta có:
11 = a.2 + 7
2a = 4 a = 2, ta có hàm số y = 2x + 7
b) Khi x = 3 thì hàm số y = 2x + b có giá trị bằng 8, ta có:
8 = 2.3 + b b = 2,
ta có hàm số y = 2x + 2.
c) Đồ thị hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau vì cùng có hệ số a =
2
- Dạng 4: Tìm m để hai đường thẳng song song ,cắt nhau ,trùng nhau
Bài tập

Cho hai hàm số bậc nhất y = 2x + 3k và y = (2m + 1)x + 2k – 3
Tìm điều kiện của m và k để đồ thị 2 hàm số là:

a. Hai đường thẳng cắt nhau
b. Hai đường thẳng song song
c. Hai đường thẳng trùng nhau
Giải
a; Để hai đường thẳng cắt nhau thì a a' và m
8



1
2


1
suy ra : 2 2m + 1 � m 2
1
1

Vậy m - 2 và m 2 thì hai đường thẳng cắt nhau

b; Để hai đường thẳng song song thì a = a' ; b b'
1
suy ra 2 = 2m +1 � m = 2 và 3k 2k – 3 k -3
1
Vậy hai đường thẳng song song khi m = 2 và k -3

c; Hai đường thẳng trùng nhau khi a =a' và b = b'
1
suy ra : 2 = 2m +1 � m = 2
3k = 2k - 3 � k = -3

1
Vậy với m = 2 và k =-3 thì hai đường thẳng trùng nhau

*Các bài tập vận dụng
Bài 1. 1) Cho đường thẳng d: y = (3-2m)x – 2m – 5,(m là tham số).
a) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng – 3.
b) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2015 – x.
c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m.
2) Lập phương trình đường thẳng (d), biết đồ thị đi qua I(2;2) và có hệ số
góc bằng -2.
Bài 2. 1) Cho hàm số y = (2m-1)x + 2-2m, (m là tham số).
a) Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng – 3.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y = 2 –2x.
c) CMR đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của
m. Tìm điểm cố định đó.
2) Xác định hàm số y = ax + b(a≠0). Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;-1) và // đường thẳng y = 2015 – 2x
Bài 3. 1) Cho hàm số y = (1-2m)x+m-1, m ≠ 0,5.
a) Tìm m để đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số y = 2x + 3
b) Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được ở câu a)
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = 3x + 1 và y = -2x + m cắt nhau tại một
điểm có hoành độ bằng -2
3) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = 3x + 4 với y = x -2 bằng
phương pháp đại số.
Bài 4:Cho hai hàm số bậc nhất:y = (3–m)x+ 2
(d1) và y=2x–m(d2)
a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

9


Giải:
 3  m 2
 m 1
 
  m 1

2


m
m


2



a/ (d1)//(d2)
b/ (d1) cắt (d2)  3  m 2  m 1
c/ (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung   m 2  m  2
Bài 5: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m 0) và y = (2 - m)x + 4 ; (m 2) . Tìm

điều kiện của m để hai đường thẳng trên:
a) Song song.
b) Cắt nhau .
Bài 6: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m
cắt nhau tại một điểm trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d)

song song với
1
x
(d’): y = 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10.
1
x2
Bài7: Cho hai đường thẳng : (d1): y = 2
và (d2): y =  x  2

a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm
của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục
tọa độ là cm)?
Bài 8: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0
(d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)
a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2)
b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2)
đi qua điểm cố định B . Tính BA ?
Bài 9: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm
A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đường thẳng
trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m3)x +2
Bài 10: Cho hàm số y = (m - 1)x + 2. Xác định m để :
a) Hàm số đã cho đồng biến, nghịch biến trên R.
b) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 4).
c) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x

Bài 11: Cho hàm số bậc nhất y = (m – 2)x +1 (1). Xác định m để:
a) Đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y = 2x + 3.
b) Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = 3x + 2
c) Hàm số (1) đồng biến, nghịch biến trên R
10


Bài 12: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một trong các điều kiện sau
đây:
a) Song song với đường thẳng y = 2x – 3 và đi qua A(1;2).
b) Đường thẳng đi qua điểm A(1;-4) và có tung độ gốc bằng (-2).
Bài 13: Xác định hàm số y = ax + b(a 0) trong các trường hợp sau:
a) Đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc bằng - 2
b) Đồ thị của hàm số là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 và
đi qua điểm B(-2; 1)
Bài 14:
a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy:
(d): y = x - 2
(d’): y = - 2x + 1
b) Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox
b) Tìm toạ độ giao điểm E của hai đường thẳng (d) và (d’)
c) Hãy tìm m để đồ thị hàm số y = (m - 2)x + m và hai đường thẳng (d), (d’)
đồng qui
5.3Chương III: Hệ pt bậc nhất hai ẩn
- Dạng 1: Giải hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế?
 x 3 y
 x  y 3
 x
10

 3(3 y ) 4 y 2
 y 7
 3x  4 y 2
Cách 1: 
 
 
 y x 3
 x  y 3
 x
10
 y 7
 3x  4 y 2
 3x  4( x 3) 2

Cách 2: 
 

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (10;7).
b) Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
hệ pt có N là ( ; )
c) Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1 1
 x  y 1


 3  4 5
 x y
�u  v  1
�
3u  4v  5

�

1
1
;v 
y thì hệ phơng trình đã cho trở thành :
Đặt u = x
�3u  3v  3
��
3u  4v  5
�

� 2
v
�
�7v  2
� 7
��
��
9
�u  v  1
�
u
� 7
1 9
7
1
2
7
 �x ;

= �y
9
y
7
2
Vậy ta có : x 7

- Dạng 2 : Hệ phương trình có chứa tham số m
+ Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, hệ vô
nghiệm
+ Giải hệ phương trình khi m = k (k �R )
11


HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Cho hệ phương trình
a b c
 ,  ,
,
Có vô số nghiệm nếu: a b c
a b
�,
,
Có một nghiệm duy nhất nếu: a b
a b c
 , �,
,
Vô nghiệm nếu: a b c

ax  by  c

�
�,
a x  b, y  c ,
�

mx  y  1
�
�
Bài 1 : Cho hệ PT: �x  my  m  1

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
Giải:
m 1
�
2
a Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất � 1 m � m �1 � m ��1
Vậy với m ��1 thì hpt có 1 nghiệm duy nhất

�m 1

�
�1 m
�
m 1
1
�1 � 1
 �
b) Hệ phương trình vô nghiệm � 1 m m  1 � �m m  1

m  �1
�
�
�m 2  1
m

�
1
�
� 1
�
�
m�
� �m �1  m � �2m �1 � �
� 2
(t/m)
Vậy với m  �1 thì hpt vô nghiệm
�m 1

�
�1 m
�
�m 2  1
�m  �1
1
1
� 
�
�
c) Hệ phương trình có vô số nghiệm � �m 1  m � �m  1  m � �2m  1

�m  �1
�
� 1
1
m
m
�
� � 2
2 thì hpt có vô số nghiệm.
Vậy với
mx  y  2m
�
�
Bài 2 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh: �4 x  my  6  m

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
+) Tiếp tục ôn tập về qui tắc thế, qui tắc cộng và cách giải hệ phương trình
bằng phương pháp thế, phương pháp cộng và một số bài toán có liên quan
đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
12


- Dạng 3 :Tìm tham số m trong trường hợp đơn giản
(m 1)x  (m 1)y  4m
�
�
Bài 1. Cho hệ phương trình �x  (m 2)y  2
, với m�R

a. Giải hệ đã cho khi m  –3
b. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy
nhất đó.
Bài 1. a. Giải hệ đã cho khi m  –3
2x  2y  12
�
� x  y  6
�x  7
��
��
�
�x  5y  2
�y  1
Ta được hệ phương trình �x  5y  2
 7;1
 x; y 

Vậy hệ phương trình có nghiệm

với

b. Điều kiện có nghiệm duy nhất của hệ phương trình:
�  m  1  m  2  �  m  1

m  1   m  1
�
1
m2

m  1 �0
m �1
�
�
��
��
�  m  1  m  2    m  1 �0 �  m  1  m  1 �0
m  1 �0
m �1
�
�
Vậy phương trình có nghiệm khi m �1 và m �1
(m 1)x  (m 1)y  4m
�
�m �1
�
�
Giải hệ phương trình �x  (m 2)y  2
khi �m �1
4m
�
� 4m 2
x  y
x
�
4m
�
�
� m 1
m 1 � �

x

y

�
�
�
�
(m 1)x  (m 1)y  4m � �
�
m 1
2
�
�y  2
y
�
�
x

(m

2)y

2
x  (m 2)y  2
�
� m 1
� m 1 .
�
�4m 2 2 �

;
�
�
Vậy hệ có nghiệm (x; y) với �m 1 m 1�

�2 x  y  5m  1
�
Bài 2 Cho hệ phương trình: �x  2 y  2
a) Giải hệ phương trình với m   1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

( m là tham số)

 x; y 

2
2
thỏa mãn: x  2 y  1 .

a)
2x  y  4
4x  2 y  8
5 x  10
�
�
�
�x  2
��
��
��

�
�x  2 y  2
�x  2 y  2
�y  0
Với m  1 ta có hệ phương trình: �x  2 y  2

b)
2 x  y  5m  1 �
4 x  2 y  10m  2
5 x  10m
�
�
�x  2 m
��
��
��
�
2
2
�x  2 y  2
�x  2 y  2
�y  m  1 Có: x  2 y  1
Giải hệ: �x  2 y  2
2  10
2  10
2
2
m
m
 2m   2  m  1  1 2m2  4m  3  0

2
2
Tìm được:
và

B. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các hệ phương trình

13


�x  y  2
3x  2 y  3
�
�
�
2
x

2
y

2
�
b)
c) �2 x  3 y  9
3x  3 y  3
2x  2 y  6
�2 x  2 y  3
�

�
�
�
�
e/ �2 x  3 y  1 g/ �2 x  3 y  1
h/ �2 x  3 y  1

5x  7 y  6
�
�
a) �4 x  3 y  2

�3 1 1
�x  y  2
�
�
�2  3  1
�
d) �x y
2x  2 y  6
�
�
k/ �2 x  3 y  6

�1 1 8
�x  y  15
�
�
�3  5  2
�x y

p) �

 7 x  4 y 18

m)  3x  4 y 2

7x  3y  5
�
�
n) �3 x  2 y  2

( x  2)( y  2)  xy
�
�
a. �( x  4)( y  3)  xy  6

( x  1)( y  2)  ( x  1)( y  3)  4
�
�
b. �( x  3)( y  1)  ( x  3)( y  5)  18

q)

( x  5)( y  2)  xy
�
�
c. �( x  5)( y  12)  xy

HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
3x  y  m

�
�
2
Bài 1. Cho hệ phương trình �9 x  m y  3 3

a. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm
b. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm
dạng tổng quát nghiệm của hệ phương trình
c. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2. Cho hai đường thẳng (d1): 2x - 3y = 8 và (d2): 7x - 5y = -5
Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đường
thẳng (d1) và (d2)
( m  1) x  my  3m  1
�
�
Bài 3. Cho hệ phương trình: �2 x  y  m  5

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
d) Giải hệ khi m = -1.
e) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S =
2
x + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4. Cho hệ phương trình:

mx  y  2m
�
�
�x  my  m  1.

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
d) Giải hệ khi m = -2.
e)Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1.

14


mx  2 y  m  1
�
�
Bài 5. Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m: �2 x  my  3.

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
d) Giải hệ khi m = 4.
e)Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
�x  my  1
�
Bài 6. Cho hệ phương trình: �mx  3my  2m  3.

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
d) Giải hệ khi m = -3.
�2 x  y  m
�

Bài 7. Cho hệ phương trình: �3 x  2 y  5 (m là tham số nguyên).

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
d) Giải hệ khi m = -1.
e)Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0, y < 0.
2 x  my  1
�
�
Bài 8. Cho hệ phương trình: �mx  2 y  1.

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
d) Giải hệ khi m = -1.
�2mx  y  5
�
Bài 9. Cho hệ phương trình: �mx  3 y  1.

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
d) Giải hệ khi m = -2.
Bài 10. Lập phương trình đường thẳng đi qua A và B:
A(-1; 1), B( 1; 3). ;
A(1; 2), B(3; 2). ;
3).
a) Phương trình đường thẳng có dạng Y = ax + b ( d )
( d ) đi qua A(-1 ; 1) nên 1 = - a + b

( d ) đi qua B( 1 ; 3) nên 3= - a + b
a  b  1 �
a 1
�
��
�
b2
�
Ta có hệ phương trình �a  b  3

Vậy phương trình đường thẳng ( d ) là :

Y=x+2

- Dạng 4: Giải bài toán bằng cách lập hệ pt
15

A(1; 5), B(4;


A. Kiến thức cơ bản
Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo 3 bước
sau :
- bước 1 : lập hpt (bao gồm các công việc sau)
+ chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn)
+ biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
+ lập hpt biểu thị tương quan giữa các đại lượng
- bước 2 : giải hpt vừa lập đc ở bước 1
- bước 3 : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ra ban đầu
B. Bài tập áp dụng

Dạng 1: Toán tìm số
- Ta phải chú ý tới cấu tạo của một số có hai chữ số , ba chữ số …viết trong hệ
thập phân. Điều kiện của các chữ số .
Bài 1: Tìm hai số biết rằng 4 lần số thứ hai cộng với 5 lần số thứ nhất bằng
18040, và 3 lần số thứ nhất hơn 2 lần số thứ hai là 2002.
LG
x, y �N 
- gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y 
5 x  4 y  18040
�
�x  2004
��
�
�y  2005
- theo bài ra, ta có : �3x  2 y  2002

Bài 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 4 lần tổng các chữ
số của nó. Nếu viết hai chữ số của nó theo thứ tự ngược lại thì đc số mới lớn hơn
số ban đầu 36 đơn vị.
LG
- gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab  a, b �N ; 0  a, b �9 
�
ab  4( a  b)
a4
�
�
��
� ab  48
�
b8

ba  ab  36
�
�
- theo bài ra, ta có:

Bài 3. Tìm một số có hai chữ số. Biết rằng nếu viết thêm số 1 vào bên phải số
này thì được một số có ba chữ số hơn số phải tìm 577 và số phải tìm hơn số đó
nhưng viết theo thứ tự ngược lại là 18 đơn vị.
LG
- gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab  a, b �N ;0  a �9; 0 �b �9 
�
ab1  ab  577
10a  b  64
a6
�
�
�
��
��
� ab  64
�
a b  2
b4
ab  ba  18
�
�
�
- theo bài ra, ta có:

16

Bài 4. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó
6 lần và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại
với số phải tìm.
LG
- gọi số tự nhiên cần tìm có dạng: ab  a, b �N ; 0  a, b �9 
theo
bài
ra,

ta

có:

�
� 25
a
�
�
4 loai
�
5
�
�
�
4a  5b
ab  6  a  b 
�
�

�a  b
�
b5
��
�� 4
��
�
�
ab

25

ba
�
ab  25  ba
�
�
�
b 2  9b  20  0
a5
�
�
�
thoa man
�
�
b

4
�

�

- vậy số cần tìm là : 54
Dạng 2: Toán làm chung, làm riêng
- Ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị, nếu gọi thời gian làm xong công việc là x
1
thì trong một đơn vị thời gian làm được x công việc .

* Ghi nhớ : Khi lập pt dạng toán làm chung, làm riêng không được cộng cột thời
gian, năng suất và thờ i gian của cùng 1 dòng là 2 số nghịch đảo của nhau.
Bài 1: Hai vòi nước chảy cùng vào 1 bể không có nước thì trong 6 giờ đầy bể.
2
Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được 5 bể. Hỏi

mỗi vòi chảy bao lâu thì sẽ đầy bể?
LG
* lập bảng
TGHTCV
Năng suất 1h
Năng suất 2h

V1
X

V2
y

Cả 2 V
6

1
x
2
x

1
y

1
6

Năng suất 3h

3
y

�1 1 1
�x  y  6
�x  10
�
��
�
�y  15
�2  3  2
�x y 5
* ta có hpt: �

17

2

5


Bài 2: Hai tổ cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong, nhưng hai tổ cùng
làm trong 4 giờ thì tổ (I) đc điều đi làm việc khác , tổ (II) làm nốt trong 10 giờ
thì xong công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì trong bao lâu xong việc.
* lập bảng
Tổ 1
Tổ 2
Cả 2 tổ
TGHTCV
X
y
12
Năng suất 1h
1/x
1/y
1/12
Năng suất 4h
4/12 = 1/3
Năng suất 10h
10/y
�1 1 1
�x  y  12
�x  60
�
��
�
�y  15
�1  10  1

�3 y
* ta có hpt: �

Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bồn không có nước. Nếu vòi 1 chảy trong
3h rồi dừng lại, sau đó vòi 2 chảy tiếp trong 8h nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi 1
chảy vào bồn không có nước trong 1h, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4h nữa
thì số nước chảy vào bằng 8/9 bồn. Hỏi nếu chảy 1 mình thì mỗi vòi sẽ chảy
trong bao lâu thì đầy bồn?
* lập bảng
Vòi 1
Vòi 2
Cả 2 vòi
Thời gian chảy
X
y
1h
1/x
8/9
4h
4/x
4/y
3h
3/x
1
8h
8/y
�3 8
�x  y  1
�x  9
�

��
�
�y  12
�1  4  4  8
�
* ta có hpt: �x x y 9
3
Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được 10 bể. Nếu

vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy
4
được 5 bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể .

* lập bảng
TGHTCV
Năng suất 1h
Năng suất 2h

Vòi 1
X
1/x

Vòi 2
y
1/y
2/y
18

Cả 2 vòi
3/10

4/5


Năng suất 3h

3/x

�1 1 3
�x  y  10
�x  5
�
��
�
�y  10
�3  2  4
�x y 5
* ta có hpt: �

Dạng 3. Toán chuyển động
Bài 1. Quãng đường AC qua B dài 270km, một xe tải đi từ A đến B với vận tốc
60km/h rồi đi từ B đến C với vận tốc 40km/h, tất cả hết 6giờ, Tính thời gian ô tô
đi quãng đường AB và BC.
* Lập bảng
Thời gian
Vận tốc
Quãng đường
AB
x
60
60x

BC
y
40
40y
� 3
x
�
x

y

6
�
� 2
��
�
60 x  40 y  270
�
�y  9
� 2
* Ta có hệ phương trình:

Bài 2. Một ô tô và một xe đạp chuyển động từ hai đầu một quãng đường sau 3
giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại cùng một điểm, sau 1 giờ
hai xe cách nhau 28km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô biết quãng đường dài 180km
* Sơ đồ:

A

XM

Gnhau

XD

XM

XD

B

* Lập bảng:
V
Xe đạp
Xe máy

X
Y

t (đi ngược
chiều)
3
3

S (đi ngược
chiều)
3x
3y

t (đi cùng

chiều)
1
1

S (đi cùng
chiều)
x
y

3 x  3 y  180
�
�x  y  60
�x  16
��
��
�
 x  y  28 �y  44
�
* Ta có hệ phương trình: � x  y  28

Bài 3: 1 ô tô đi qđ AB với vận tốc 50km/h, rồi đi tiếp qđ BC với vận tốc 45km/h.
Biết tổng chiều dài qđ AB và BC là 165km và thời gian ô tô đi qđ AB ít hơn thời
gian ô tô đi qđ BC là 30ph. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi qđ?
Gọi thời gian ô tô đi trên AB, BC lần lượt là x, y

19


50 x  45 y  165 � 3
�

�
�x 
�� 2
�
1
�x  y  2
�
�y  2
Ta có hệ phương trình: �

Bài 4: 1 ca nô xuôi dòng 1 quãng sông dài 12km, rồi ngược dòng quãng sông đó
mất 2h30ph. Nếu cũng trên quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng
8km thì hết 1h20ph. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước?
- gọi v ca nô là x, v dòng nước là y (km/h; x > y > 0)
- v xuôi: x+y - v ngược: x-y
�12
�x  y 
�
�
�4 
�x  y
- ta có hpt �

12
5

xy 2
8
4


x  y 3 giải hệ ta được x = 10 ; y = 2 (tmđk)

Bài 5: Một ca nô chạy trên sông xuôi dòng 84 km và ngược dòng 44 km mất 5
giờ. Nếu ca nô xuôi dòng 112 km và ngược dòng 110 km thì mất 9 giờ.Tính vận
tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước.
- gọi x, y lần lượt là vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước (km, 0 < y
< x)
- vận tốc xuôi của ca nô: x + y
- thời gian xuôi dòng 84km là: 84/x+y
- thời gian xuôi dòng 112km là: 112/x+y
- vận tốc ngược của ca nô: x - y
- thời gian ngược dòng 44km là: 44/x-y
- thời gian ngược dòng 110km là: 110/x-y
� 84
�x  y 
�
�
�112 
�x  y
- theo bài ra ta có hệ phương trình: �

44
5
x y
110
1
1
9
 a;
b

x y
x y
đặt x  y

Dạng 4. Toán liên quan tới yếu tố hình học.
- Ta phải nắm được công thức tính chu vi; diện tích của tam giác, hình thang,
hình chữ nhật, hình vuông, định lý Pi-ta-go.
Bài 1: 1 HCN có chu vi 80m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm
5m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195m 2. Tính chiều dài, chiều rộng của
mảnh đất
Gọi chiều dài là x, chiều rộng là y
�
2  x  y   80
�x  30
�
��
�
x  3  y  5   xy  195
�y  10
Ta có hpt �

20


Bài 2: 1 thửa ruộng HCN, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm
3m thì diện tích tăng thêm 100m 2. Nếu cùng giảm cả chiều dài và chiều rộng đi
2m thì diện tích giảm đi 68m2. Tính diện tích của thửa ruộng đó?
Gọi chiều dài HCN là x
�
 x  2   y  3  xy  100 �x  22

�
��
�
x  2   y  2   xy  68

�y  14
�
Gọi chiều rộng HCN là y Ta có hpt

Dạng 5. Toán năng suất
* Chú ý:
- Năng suất (NS) là số sản phẩm làm được trong một đơn vị thời gian (t).
- (NS) x (t) = Tổng sản phẩm thu hoạch
Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách
nhau 110 km. Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B
đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A
trước xe thứ nhất tới B là 44 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 2. Một ô tô và một xe đạp chuyển động từ hai đầu một quãng đường sau 3
giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại cùng một điểm, sau 1 giờ
hai xe cách nhau 28km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô biết quãng đường dài 180km
* Sơ đồ:

A

XM

Gnhau

XD

XM

XD

B

* Lập bảng:
V

t (đi ngược chiều)

S (đi ngược
t (đi cùng
S (đi cùng
chiều)
chiều)
chiều)
Xe đạp
X
3
3x
1
X
Xe máy
Y
3
3y
1
Y

Bài 3: Hai vòi nước chảy cùng vào 1 bể không có nước thì trong 6 giờ đầy bể.
2
Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì được 5 bể. Hỏi

mỗi vòi chảy Bài 4: 1 thửa ruộng HCN, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng
chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m 2. Nếu cùng giảm cả chiều dài
và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m 2. Tính diện tích của thửa ruộng
đó?
Bài 5) Một mảnh đất hình chữ nhật ,Nếu giảm mỗi cạnh đi 2 m thì diện tích
mảnh đất giảm đi 84 m2 .Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm
2 m thì diện tích lúc đó tăng 114 m2. Tìm kích thước của mảnh đất.

21


Bài 6) Một mảnh đất hình chữ nhật , Nếu giảm chiều dài đi 3m và giảm chiều

rộng đi 2m thì diện tích mảnh đất giảm đi 54 m2 .Nếu tăng mỗi cạnh thêm 2 m
thì diện tích lúc đó tăng 54 m2. Tìm kích thước của mảnh đất.
Bài 7) Một mảnh đất hình chữ nhật ,Nếu tăng chiều dài 3m và tăng chiều rộng
1m thì diện tích mảnh đất tăng 30m2 .Nếu giảm chiều dài 3m và giảm chiều rộng
2m thì diện tích lúc đó giảm 30m2. Tìm kích thước của mảnh đất
Bài 8: Một tấm tôn hình chữ nhật có chu vi là 48 cm. Người ta cắt bỏ mỗi góc một
hình vuông có cạnh 2cm rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật không có nắp có thể
tích 96 cm3. Tính các kích thước của hình chữ nhật ban đầu.

Câu 9: Một thửa vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 72m. Nếu tăng chiều rộng
lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi của thửa vườn mới là 194m.
Hãy tìm diện tích của thửa vườn đã cho lúc ban đầu.
Bài 10 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 16 giờ thì đầy .Nếu để vòi thứ

1
nhất chảy trong 3 giờ ,vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì được 4 bể. Hỏi nếu mỗi

vòi chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể.
Bài 11) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 3 giờ thì đầy .Nếu để hai vòi
cùng chảy trong 2 giờ rồi vòi thứ nhất nghỉ và vòi thứ hai chảy trong 4 giờ thì
đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể.
Bài 12) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 7giờ 12phút thì đầy .Nếu để vòi
3
thứ nhất chảy trong 5 giờ ,vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì được 4 bể. Hỏi nếu

mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể.

5.4 Chương IV : Hàm số y = ax2.
PT bậc hai một ẩn
-Dạng 1: Vẽ đồ thị
Bảng một số giá trị tương ứng của x và y
X
-3 -2 -1
0
1
2
3
2
y= 2x 18 8
2
0
2
8 18
Đồ thị hàm số y = 2x2 có dạng như hình vẽ .

 1
2. Đồ thị của hàm số y = 2 x2
Bảng một số giá trị tương ứng của x và y
X
-2 -1 0 1 2 4
4
22


y=1 2
x
2

8

-

-2

1
2

0

1
-2

2

-8

- Đồ thị hàm số .
-Dạng 2: Giải phương trình bậc hai
A. Kiến thức cơ bản
ax 2  bx  c  0  a �0 

1. Định nghĩa: pt bậc hai một ẩn là pt có dạng:
đó x là ẩn; a, b, c là các số cho trước.
2. Cách giải
a)
Khuyết
c
(c
=
0):

pt

(1)

(1), trong

trở

thành:

x0
�
x0
�

�
ax  bx  0 � x  ax  b   0 � �
�
b
�
ax  b  0
x
�
a
�
2

b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành:
- nếu
- nếu

ax 2  c  0 � ax 2  c � x 2  



c
0
a
thì pt (2) vô nghiệm, suy ra pt (1) cung vô nghiệm



c
c
0�x � 

a
a



c) đầy đủ:
Công thức nghiệm

c
a

(2)

ax 2  bx  c  0 a �0

Công thức nghiệm thu gọn

  b  4ac

 '  b'2  ac

2

+ Nếu   0 thì pt có 2 nghiệm phân + Nếu  '  0 thì pt có 2 nghiệm phân
biệt:
biệt:
b  
b  
b '   '
b '   '

; x2 
x1 
; x2 
2a
2a
a
a
'


0
+ nếu
thì pt có nghiệm kép: + nếu   0 thì pt có nghiệm kép:
b
b '
x1  x2 
x1  x2 
2a
a


0
+ nếu
thì pt vô nghiệm
'
+ nếu   0 thì pt vô nghiệm
x1 

Bài tập1: Giải các phương trình sau :

23


a) 5 x 2  6 x  0

6�
�
�x1  0; x2   �
5�
�

b) 2 x 2  1  0

c) 8 x 2  5 x  0

5�
�
�x1  0; x2  �
8�
�

d )  2 x 2  3x  0

e) 2 x 2  42  0

x 
1

21; x2   21



�
2
2�
x

;
x


�
�
1
2
�
2
2 �
�
�
3�
�
�x1  0; x2  �
2�
�

Bài tập2: Giải các phương trình sau :
a) 5x2 - x + 2 = 0 ( a = 5 ; b = - 1 ; c = 2
+ Tính  = b2 - 4ac .
Ta có :  = ( -1)2 - 4.5.2 = 1 - 40 = - 39 .

+ Do  = - 39 < 0 , áp dụng công thức nghiệm , phương trình đã cho vô nghiệm
b) 4x2 - 4x + 1 = 0
+ Tính  = b2 - 4ac .
Ta có  = ( - 4)2 - 4.4.1 = 16 - 16 = 0
+ Do  = 0 , áp dụng công thức nghiệm , phương trình có nghiệm kép :
x1  x2 

(4) 1

2.4
2

c) - 3x2 + x + 5 = 0
+ Tính  = b2 - 4ac .
Ta có :  = 12 - 4.(- 3).5 = 1 + 60 = 61 .
+ Do  = 61 > 0 , áp dụng công thức nghiệm , phương trình có hai nghiệm phân
biệt :
x1 

1  61 1- 61
1  61 1  61
=
; x2 

6
6
6
6 *

d) 5x2 + 4x –1 = 0

a = 5 ; b = 4 ; c = 1 b’ = 2
’ = 4 + 5 = 9, = 3.
Nghiệm của phương trình: x1 =
x2 =
-Dạng 3: Giải phương trình quy về phương trình bậc hai
1. Phương trình trùng phương.
Cách giải:
B1: Đặt t = x2. Điều kiện t 0
B2: Thay t = x2 vào pt, ta được:
at2 + bt + c = 0 (*)
B3: Giải phương trình (*), chọn nghiệm t 0
B4: Thay t = x2, tìm nghiệm x
B5: Kết luận nghiệm cho phương trình đã cho
Ví dụ:
* Áp dụng: Giải phương trình: x4 – 13x2 + 36 = 0
Đặt t = x2. Điều kiện t 0.
Thay t = x2 vào phương trình , ta được: t2 –13t + 36 = 0
= b2 – 4ac = (–13)2 – 4.36.1 = 169 – 144 = 25 > 0; = 5
t1 = (TMĐK);
t2 = (TMĐK)
24


Với t1 = x2 = 4 x1, 2 = 2
t2 = x2 = 9 x3, 4 = 3
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x1,2 = 2
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
a) Các bước giải pt chứa ẩn ở mẫu: (sgk)
Bước 1: Tìm ĐKXĐ
Bước2: Quy đồng mẫu rồi khử mẫu

Bước3: Giải phương trình nhận được
Bước4: Chọn giá trị thỏa mãn
b) Áp dụng: Giải phương trình:

; x3, 4 = 3

ĐKXĐ: x
Quy đồng và khử mẫu ta được phương trình:
x2 – 3x + 6 = x + 3 x2 – 4x + 3 = 0
Ta có: a + b + c = 1 – 4 + 3 = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = 1 (TMĐK)
x2 = (Không TMĐK): loại
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1.
3. Phương trình tích – Phương trình bậc cao (bậc lớn hơn 2)
a) Ví dụ: Giải phương trình:
x3 + 3x2 + 2x = 0 x (x2 + 3x+ 2) = 0
* x1 = 0
* x2 + 3x + 2 = 0
Có dạng a – b + c = 0 x2 = –1
x3 =
Vậy phương trình có 3 nghiệm:
x1 = 0, x2 = –1, x3 = –2.
b) Phương pháp giải:
B1: Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi phương trinh
về dạng phương trình tích: A(x).B(x)…C(x) = 0 (Trong đó:A(x); B(x) ,…., C(x)
là các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai)
B2: Giải các phương trình:
A(x) = 0; B(x) = 0,…., C(x) = 0
B3: Kết luận nghiệm phương trình đã cho (là các nghiệm của phương trình A(x)

= 0; B(x) = 0,…., C(x) = 0)
B. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giải phương trình.
a) x 4  5 x 2  6  0

b) 4 x 4  3 x 2  1  0

c) x 4  29 x 2  100  0

d ) x 4  13 x 2  36  0

Bài 2: Giải phương trình.

25