chuyên đề rèn kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
------------------------------------

MỤC LỤC
Nội dung
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Trang
2

I. Lý do chọn chuyên đề.

2

II. Mục đích nghiên cứu.

2

III. Đối tượng nghiên cứu.

3

IV. Phạm vi nghiên cứu.

3

V. Phương pháp nghiên cứu.

3

PHẦN II: NỘI DUNG

3

I. Cơ sở khoa học của chuyên đề.

3

1. Cơ sở lý luận.

3

2. Cơ sở thực tiễn.

4

II. Biện pháp thực hiện.

5

III. Nội dung chuyên đề.

6

1.Những giải pháp của chuyên đề

6

2. Các phương pháp cơ bản

6

3. Tổng kết

19

IV. Kết quả đạt được sau khi thực hiện chuyên đề
PHẦN III: KẾT LUẬN

24
25

-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
1


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
------------------------------------

CHUYÊN ĐỀ
RÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TƯ
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn chuyên đề:
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học
hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,
… vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta
tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân
loại.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử
dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp

dạy và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt
động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát
triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề,
rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng
tạo vào thực tiễn.
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân
tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú,
đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều
phân thức, giải phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất... Qua thực tế
giảng dạy cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh
lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều
học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương
pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng
bài toán cụ thể.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh
tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời
nâng cao chất lượng bộ môn nên chúng tôi đã chọn chuyên đề: “ Rèn kĩ năng
giải toán: phân tích đa thức thành nhân tử”.
II. Mục đích nghiên cứu.
Chỉ ra những phương pháp giải giúp học sinh nắm chắc và vận dụng
nhuần nhuyễn các dạng toán “Phân tích đa thức thành nhân tử”
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
2


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về
phân tích đa thức thành nhân tử.
Nâng cao chất lượng bộ môn

III. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 8 trường THCS Yên Phương
IV. Phạm vi nghiên cứu
Rèn kỹ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8.
V. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp khảo sát thực tiễn
- Phương pháp quan sát
- Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
PHẦN II: NỘI DUNG
I. Cơ sở khoa học của chuyên đề.
1. Cơ sở lý luận.
Môn toán là môn khoa học quan trọng, là cầu nối các ngành khoa học
với nhau. Đồng thời, toán học có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội
và với mỗi cá nhân. Môn toán còn rèn luyện cho người học tư duy logic, sáng
tạo, khoa học.
Đối với học sinh bậc THCS, các em là những đối tượng người học nhạy
cảm. Việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết
thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích
cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần
phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, dạy học phân hóa, dạy sát đối
tượng học sinh, quan tâm rèn kỹ năng giải bài toán cho học sinh.
2. Cơ sở thực tiễn.
Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc giúp cho học sinh có
kỹ năng trình bày lời giải các bài toán về các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử rất đa dạng và phong phú, để giải được học sinh cần có kỹ năng
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018

3


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------tốt, biết nhiều phương pháp và cách vận dụng. Tạo nền tảng kiến thức cơ bản để
học sinh lấy đó làm tiền đề và tiếp tục hoàn thiện khi học sang lớp 9.
Trong quá trình giảng dạy chúng tôi gặp những thuận lợi và khó khăn
như sau:
2.1. Thuận lợi:
- Đội ngũ giáo viên được đào tạo cơ bản, trình độ đã đạt chuẩn và
trên chuẩn.
- Tập thể có tinh thần đoàn kết, luôn sẵn sàng tương trợ, giúp đỡ lẫn nhau
trong khó khăn và trong công việc.
- Hầu hết các thầy cô rất ham học hỏi, nghiên cứu soạn bài, thường xuyên
sử dụng đồ dùng trong giảng dạy và dạy đúng phương pháp bộ môn.
- Luôn được sự quan tâm, chỉ đạo sát sao của BGH, chi bộ Đảng đã giúp
chúng tôi hoàn thành nhiệm vụ.
- Cơ sở vật chất của nhà trường tương đối đầy đủ về phương tiện, thiết bị
dạy học, phòng học bộ môn cho việc giảng dạy được thuận tiện.
- Học sinh có nề nếp, đa số các em đều có ý thức học tập và rèn luyện
đạo đức.
- Nhận thức phụ huynh ngày càng nâng cao là điều kiện tốt để giúp chúng
tôi trong việc phối hợp giáo dục các em.
2.2. Khó khăn:
- Trong tổ có nhiều môn học khác nhau nên khó trong việc bồi dưỡng và
giúp đỡ lẫn nhau về chuyên môn.
- Số giáo viên có chuyên môn nghiệp vụ giỏi còn ít, một số giáo viên còn
chưa linh hoạt trong việc áp dụng các phương pháp mới vào trong dạy học.
- Một số giáo viên áp dụng CNTT vào dạy học còn chưa thành thạo nên
sử dụng soạn giảng bằng giáo án điện tử trong mỗi tiết chưa nhiều.

- Tồn tại nhiều học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận
xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các
lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do
lười suy nghĩ, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý
thức học tập yếu kém.
- Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo,
nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
4


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau,
phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.
- Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập
của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.
- Thiết bị dạy học của một số môn còn thiếu, những thiết bị hỏng chưa
được thay thế, một số gia đình đi làm ăn xa để con cái ở nhà với ông bà nên việc
quản lí học tập ở nhà của các em chưa tốt dẫn tới tình trạng học sinh lười học,
lười làm bài tập về nhà.
II. Biện pháp thực hiện.
- Cần soạn giảng một cách hệ thống, câu hỏi ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu.
- Nên tạo ra tình huống có vấn đề trong giảng dạy để kích thích tư duy và
kỹ năng thực hành của học sinh.
- Giáo viên thường xuyên động viên khen ngợi các em, hướng dẫn các em
cách ghi chép, cách học và làm bài tập ở nhà, ra thêm các bài tập có cùng dạng.
- Khi ra bài tập cần yêu cầu học sinh thực hiện một số nội dung sau.
+) Đọc kỹ nôi dung bài ra
+) Xác định rõ yêu cầu của bài toán

+) Nhận dạng bài toán thuộc dạng nào, xác định phương pháp giải
đối với từng dạng.
+) Xác định đúng yêu cầu của đề bài? Viết điều cho biết dưới dạng
khác được không?
+) Kiểm tra xem đã vận dụng hết điều đề bài đã cho chưa, sử dụng
những kiến thức nào? Vận dụng như thế nào?
+) Tự mình tiến hành trình bày lời giải.
+) Đối chiếu với cách giải của bạn, của thầy.
+) Tìm thêm các lời giải khác cho bài toán ( nếu được).
+) Rút ra kinh nghiệm cho bản thân.
- Giáo viên cần đưa ra các dạng bài tập với mức độ từ thấp đến cao, nâng
cao mức độ hấp dẫn (kể cả kiến thức và kỹ năng).

-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
5


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------III. Nội dung chuyên đề.
Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành
nhân tử là gì và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì
những dạng bài tập nào được vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào ?
Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành
một tích của các đa thức, đơn thức khác.
Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán
khác. Ví dụ:
Bài toán chứng minh chia hết.
Rút gọn biểu thức.
Tính nhanh giá trị của biểu thức.

Giải phương trình tích
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất...
1. Những giải pháp của chuyên đề.
Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử:
Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành.
Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
Giới thiệu 2 phương pháp: tách hạng tử và thêm,bớt cùng một hạng tử
(ngoài ra còn một số phương pháp khác như đặt ẩn phụ, hạ bậc đa thức, hệ số
bất định… nhưng vì lý do sư phạm nên chúng tôi không trình bày ở đây.)
2. Các phương pháp cơ bản
2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp chung:
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tư chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tư chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D).
 Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tư chung ta cần đổi dấu các hạng tư
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
6


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------Ví dụ 1:

Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử.
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ?
(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2 ?
(Học sinh trả lời là xy )( ở các lớp học lực trung bình yếu thì giáo viên
hỏi nhân tử chung của từng biến x, y)
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy.
Giải:
14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Ví dụ 2:
Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có
nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x)
Giải:
10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 3:
Phân tích đa thức 9a(a – b) – 10(b – a)2 thành nhân tử.
Lời giải sai:
9a(a– b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2
= (a – b)[9a + 10(a – b)]
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương

Năm học: 2017 - 2018
7


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------= (a – b)(19a – 10b)
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: 9a(a – b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2
Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử :
–10 và (b – a)2 của tích –10(b – a)2
(vì –10(b – a)2 = –10(b – a)(b – a)).
Lời giải đúng:
9a(a – b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) – 10(a – b)2
= (a – b)[9a – 10(a – b)]
= (a – b)(10b – a)
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ
số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
 Chú ý:
Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tư trong tích đó (một cách tổng
quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tư trong tích đó).
2.2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phương pháp chung:
Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về
“dạng tích”
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3

5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ 4:
Phân tích đa thức (a + b)2 – (a – b)2 thành nhân tử.
Gợi ý:
Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2 )
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
8


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------Lời giải sai:
(a + b)2 – (a – b)2 = (a + b + a – b)(a + b – a – b)
= (2a).0
= 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện thiếu dấu ngoặc
Lời giải đúng:
(a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) + (a - b)].[(a + b) - (a – b)]
= (a + b + a - b)(a + b - a + b)
= 2a.2b
= 4ab
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc và quy tắc đổi dấu
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương,
bình phương của một hiệu.
 Khai thác bài toán:
Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em làm bài tập dưới

dạng phức tạp hơn.
* Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán
Phân tích (a + b)3 – (a – b)3 thành nhân tử
* Đặt a + b = x, a – b = y, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài toán
Phân tích x6 – y6 thành nhân tử
Ví dụ 5:
Phân tích x6 – y6 thành nhân tử
x6 – y6 =  x

  y 

3 2

3 2

Giải:
= (x3 – y3 )( x3 + y3 )
= (x – y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 – xy + y2)

Giáo viên củng cố cho học sinh:
Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài
toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thức
cho thích hợp.
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
9


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------2.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Phương pháp chung
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất
hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tư chung, hoặc là dùng hằng
đẳng thức. Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tư ở mỗi nhóm thì quá trình phân
tích thành nhân tư phải tiếp tục thực hiện được nữa.
a. Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 6:
Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử.
Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)
Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
Lời giải sai:
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0)(kết quả sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm của học sinh là:
bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0)
Lời giải đúng:
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y)
= (x – y)(x + 1)
b. Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Ví dụ 7:
Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử.
x2 – 2x + 1 – 4y2

Giải:
= (x2 – 2x + 1) – (2y)2

-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
10


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------= (x – 1)2 – (2y)2
= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
c. Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 8:
Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
Lời giải sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y)
= (x – 2y)(x + 2y – 2)
Sai lầm của học sinh là:
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt sai dấu ở ngoặc thứ hai)
Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước
dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm.
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần
chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
Lưu ý:
Sau khi phân tích đa thức thành nhân tư ở mỗi nhóm thì quá trình phân

tích thành nhân tư không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải
thực hiện lại.
2.4 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp
Phương pháp chung
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tư,
đặt nhân tư chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán
một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Ta thường xét từng phương pháp:
Đặt nhân tư chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tư ?
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
11


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------Ví dụ 9:
Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử.
Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp:

Đặt nhân tư chung ?
Dùng hằng đẳng thức ?
Nhóm nhiều hạng tư ?

Các sai lầm học sinh thường mắc phải
Lời giải chưa hoàn chỉnh:
a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9 )

= (x – 9)(x3 + x )
Lời giải đúng:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)
Ví dụ10:
Phân tích đa thức 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 thành nhân tử.
Giải:
2
2
3a - 3b + a - 2ab + b = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử)
= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 11:
Phân tích đa thức a2 - b2 - 2a + 2b thành nhân tử.
Giải:
2
2
2
2
a - b - 2a + 2b = (a - b ) - (2a - 2b) (Nhóm các hạng tử)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2)
(Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư cần chú
ý các bước sau đây:
+ Đặt nhân tư chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản
đa thức.
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương

Năm học: 2017 - 2018
12


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------+ Xem xét đa thức có dạng hằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tư chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải
nhóm các hạng tư vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tư
chung, làm xuất hiện nhân tư chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng
thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 12:
Phân tích đa thức A = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 thành nhân tử
Ta thấy A không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử
chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có
nhân tử chung. Vì vậy trước tiên ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử
A = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2.
Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất làm xuất hiện hằng đẳng thức
A = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2.
Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả
hai nhóm là(a+b)
A = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2 .
Đã có nhân tử chung là: (a + b) nên ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
A = (a + b) (8a - 2b)
=2 (a + b) (4a - b).
Giải:
2
2
2
A = 5a + 3(a + b) - 5b
= (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2.

= 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2
= 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2
= (a + b) (8a - 2b)
=2 (a + b) (4a - b).
Ví dụ 13:
Phân tích đa thức B = 3x 3y - 6x 2y - 3xy 3 - 6xy 22 - 3xyz 2 + 3xy thành
nhân tử
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
B = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
13


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
+ Nhóm hạng tử:
B = 3 xyx2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2
+ Dùng hằng đẳng thức:
B = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2
xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào.
+ Tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức:
B = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Giải:
3
2
3
B = 3x y - 6x y - 3xy - 6xy 22 - 3xyz 2 + 3xy

= 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
= 3 xyx2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2
= 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2
= 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Ví dụ 14:
Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn
cách giải phù hợp nhất, gọn nhất.
Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
Suy ra hệ quả sau:
A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).
Giải:
3
3
3
3
A = (x + y + z) – x – y – z = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3
= (x + y)3 +z3 +3z(x + y)(x+ y + z) – x3 – y3 – z3
= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 )
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
2.5 Phương pháp tách hạng tử
Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã học không thể giải được
mà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được
các phương pháp đã biết.
Ví dụ 15: : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8
Giải:
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018

14


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------2
Cách 1: x - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8
= x(x - 2) - 4(x - 2)
= (x - 2)(x - 4)
Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x +9 - 1
= (x - 3)2 - 12
= (x - 3+1)(x – 3 - 1)
= (x-2)(x-4)
Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4-6x +12
= (x+2)(x-2)-6(x-2)
= (x-2)(x+2-6)
= (x-2)(x-4)
Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x +4 - 2x + 4
= (x-2)2 - 2(x-2)
= (x - 2)(x - 4)
Có nhiều cách tách một hạng tư thành nhiều hạng tư trong đó có 2 cách
thông dụng là:
Cách 1 : Tách hạng tư bậc nhất thành 2 hạng tư rồi dùng phương pháp
nhóm các hạng tư và đặt nhân tư chung.
Cách 2 : Tách hạng tư tự do thành hai hạng tư rồi đưa đa thức về dạng hiệu
hai bình phương
Ví dụ 16:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8
Giải:
9x2+6x-8 = 9x2-6x+12x-8
= 3x(3x -2)+4(3x - 2)

= (3x -2)(3x+4)
Hoặc

9x2+6x-8 = 9x2-6x+1 – 9
= (3x+1)2-32

-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
15


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------= (3x+1-3)(3x+1+3)
= (3x -2)(3x+4)
*Chú ý :
Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử của tam thức bậc hai:
ax2 + bx + c hệ số b = b 1+ b2 sao cho b 1. b2 = a.c. Trong thực hành ta làm
như sau :
- Tìm tích a.c
- Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách
- Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử
Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8
+ Tích a.c =9.(-8) =-72
+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dương có
giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 = (-8).9
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12
Từ đó ta phân tích
9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8

= 3x(3x -2)+4(3x- 2)
=(3x -2)(3x+4)
Ví dụ 17 :
Khi phân tích đa thức x 2 –x - 6 thành nhân tử
Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
+ Tích a.c =1.(-6) = -6
+ Phân tích - 6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị
tuyệt đối lớn hơn vì b = -1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)
-6 = 1.(-6) = 2.(-3)
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
16


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------Từ đó ta phân tích
x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6
= x(x+2) -3(x+2)
= (x+2)(x-3)
*Chú ý :
Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax 2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc
không là bình phương của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn
so với cách hai.
2.6 Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử
Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số
chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng như không thể
nhóm các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng được các
phương pháp phân tích đã biết.
Ví dụ 18:

Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
- Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Ta có x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 – x2
= (x4 + 2x2 + 1) – x2
- Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tư chung)
Ta có x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
Giải:
x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Ví dụ 19:
Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử.
Giải:
3

Cách 1: Thêm x và bớt x

3

-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
17


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------(làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tư chung)
x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1
= (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 )

= x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1)
= (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 )
Cách 2: Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x
(làm xuất hiện đặt nhân tư chung)
x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 )
 Chú ý:
Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….;
tổng quát những đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều có chứa
nhân tư x2 + x + 1.
Ví dụ 20 :
Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử
Ta thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng
hạng tử 4x2
x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2
= (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)
Ví dụ 21:
Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử
Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2
Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
18


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------2

4
2
4
64a + b = 64a + b + 16a2b2 - 16a2b2
= (8a2 + b2)2 - (4ab)2
= (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết
những khó khăn trong quá trình giải bài toán về phân tích đa thức thành
nhân tư.
3.Tổng kết.
Để thực hiện tốt kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên thành
thạo trong thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến
thức cơ bản sau:
Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu
ngoặc ở các lớp 6, 7.
Ngay từ đầu chương trình Đại số 8 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học
sinh nắm vững chắc kiến thức về nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa
thức, các hằng thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo cả hai chiều của các
hằng đẳng thức.
Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét:
3.1. Quan sát đặc điểm của bài toán:
Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài toán (về các hệ số,
các biến)
3.2. Nhận dạng bài toán:
Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào? áp dụng phương pháp nào
trước, phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức
hoặc nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp các phương pháp)
3.3. Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:
Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với
bài toán

 Lưu ý:
Trong một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp
theo đối với biểu thức còn lại trong ngoặc, thường là thu gọn, hoặc sử dụng
phương pháp nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
19


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
------------------------------------ Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp
theo đối với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử
chung hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước
tiếp theo của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc
dùng hằng đẳng thức
 Chú ý:
Phương pháp đặt nhân tư chung không thể sư dụng liên tiếp nhau ở hai
bước liền
Phương pháp nhóm không thể sư dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền
Phương pháp dùng hằng đẳng thức có thể sư dụng liên tiếp nhau ở hai
bước liền
* Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử
* Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai
Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các
phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước
giải phải có sự kiểm tra. Phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ
trình nhất định, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho
phù hợp.

Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán,
nhận xét đánh giá bài toán theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương
pháp thích hợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải
toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến
khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay,
cách giải khác.

*Bài dạy minh họa
Tiết 14: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TƯ BẰNG CÁCH PHỐI
HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
20


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------I. Mục tiêu.
- Rèn kỹ năng giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
- Học sinh biết giải thành thạo bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách
phối hợp các phương pháp. Học sinh được rèn kỹ năng phân tích và trình bày.
- Học sinh rèn tính cẩn thận, chính xác.
- Phát triển tư duy sáng tạo và phát hiện giải quyết vấn đề.
II. Chuẩn bị
- GV: Bảng phụ. Máy chiếu, phiếu học tập
- HS : Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
III. Tiến trình dạy học.
1. Tổ chức.
2. Kiểm tra bài cũ.
Hãy điền vào chỗ trống?
a/

= ……………
b/
= 2[……………..- ]
= 2 [ …….. –
= 2(x+1 – y)(………..)
3.Bài mới
Hoạt động của GV và HS
Nội dung
GV: Yêu cầu học sinh nghiên cứu và Bài 54( SGK/25)
thực hiện bài tập 54/sgk
3
2
2
a, x3  2 x 2 y  xy 2  9 x
a, x  2 x y  xy  9 x
 x( x 2  2 xy  y 2  9)
c, x 4  2 x 2
 x�
( x 2  2 xy  y 2 )  9 �
GV: hướng dẫn học sinh thực hiện
�
�
phần a.
 x�
( x  y ) 2  32 �
�
�
Quan sát và nhận xét gì về các hạng tử
 x  x  y  3  x  y  3 
của đa thức ở phần a ?

2
HS trả lời
c, x 4  2 x 2  x 2 ( x 2  2)  x 2 . �
x2   2  �
�
�
�
�





 x2. x  2 . x  2



Bài 55( Sgk/25)
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
21


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------GV: Muốn tìm x, ta thực hiện như thế
a,
nào?
GV gọi 2 học sinh lên bảng thực hiện
x(
ở dưới lớp thực hiện ra vở.

� 1 �� 1 �
x. �x  �
. �x  � 0
� 2 �� 2 �
�
�
�
�
x0
x0
�
�
1
1
��
x 0��
x
� 2
� 2
� 1
� 1
�
x 0 �
x
� 2
� 2
1
1
Vậy x  0, x  , x 
2

2
c, x 2 ( x  3)  12  4 x  0
x 2 ( x  3)  (4 x  12)  0
x 2 ( x  3)  4( x  3)  0
( x  3)( x  2)( x  2)  0
x3 0
x3
�
�
��
x20��
x2
�
�
�
x20 �
x  2
�
�

Phân tích các đa thức sau thành
nhân tử?
GV cho HS hoạt động nhóm
Vậy x = 3, x = 2, x = -2
Bài 56(Sgk/25)
HS hoạt động nhóm
Nhóm 1
GV kiểm tra kết quả của hai nhóm có
a, Ta có :
kết quả nhanh nhất.

2

1
1
1
�1 �
x  x   x 2  2. .x  � �
2
16
4
�4 �
2

2

� 1�
 �x  �
� 4�
 ( x  0, 25) 2

Thay x = 49,75 vào đa thức ( x  0, 25)
2
2
ta được:  49, 75  0, 25   50 = 2500
Vậy với x = 49,75 đa thức đã cho có

2

-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương

Năm học: 2017 - 2018
22


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------giá trị bằng 2500
Nhóm 2
b, Ta có :
x 2  y 2  2 y  1  x 2  ( y 2  2 y  1)

= x  ( y  1)
= ( x – y - 1)(x + y + 1)
Thay x = 93; y = 6 vào đa thức
( x – y - 1)(x + y + 1) ta được:
( 93 – 6 -1 )( 93+6 + 1) = 100. 86
= 8600
Vậy với x = 93; y = 6 đa thức đã cho có
giá trị bằng 8600
Bài 57( Sgk/25)
a,Cách 1: x 2  4 x  3 = x 2  4 x  4  1
2
= ( x  4 x  4)  1
2
2
= ( x  2)  1
2

2

GV: Với cách 1 ta đã thực hiện như

= ( x-2-1) ( x-2+1)
thế nào?
= (x-3)(x-1).
2
+ Tách 3 = 4 -1
Cách 2: x  4 x  3 = x 2  x  3x  3
2
+ Xuất hiện hằng đẳng thức
= ( x  x)  (3x  3)
= x(x – 1) – 3( x – 1)
GV gọi học sinh thực hiện cách 2 sau
= ( x-1 )( x – 3 )
2
khi được GV hướng dẫn.
c, x - x – 6
GV yêu cầu học sinh lên bảng thực = x 2 - 4 – x – 2
hiện với phần a,c
= ( x2 - 4 ) – ( x + 2 )
= ( x – 2 )( x + 2) – ( x+ 2)
= ( x + 2) ( x – 2 – 1)
= ( x + 2)( x – 3)
Hoặc :
x 2 - x – 6 =( x 2 - 3x ) + ( 2x – 6)
= x( x- 3 ) + 2 ( x – 3)
= ( x – 3)( x + 2)
4, Củng cố :

-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
23

Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------Qua tiết học ta đã được củng cố và rèn thêm kỹ năng cơ bản phân tích
đa thức thành nhân tử. Các em sẽ gặp nhiều bài toán khó hơn ở chuyên đề
nâng cao hơn
5. Hướng dẫn về nhà:
Bài tập về nhà : 54b ; 55b; 57b,d ; 58 ( sgk/ 25)
Bài 58 ( sgk/25)
Gợi ý:
Để chứng minh n3  n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n ta cần làm thế nào?
- Phân tích n3  n thành nhân tử xuất hiện tích của 3 số nguyên liên tiếp
- Tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho những số nào?
V.Kết quả đạt được sau khi thực hiện chuyên đề.
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học
sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này.
Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc
về cách phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đã học, được học
và rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức
ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó còn
giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp
giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán
học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán.
Cụ thể kết quả kiểm tra về dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử
được thống kê qua các giai đoạn ở hai lớp 8 như sau:
1.Chưa áp dụng giải pháp
Thời gian :
Trung bình trở lên
TS
Khoảng giữa hkI năm học 2015 – 2016

HS

Số lượng

Tỉ lệ (%)

Chưa áp dụng giải pháp

88

46

52%

Trung bình trở lên

Tuần học thứ 8 năm học 2016 – 2017

TS
HS

Số lượng

Tỉ lệ (%)

Kết quả đã áp dụng giải pháp

87

69

79 %

2. Áp dụng giải pháp
Thời gian

-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
24


Rèn kĩ năng giải toán: Phân tích đa thức thành nhân tư
-----------------------------------PHẦN III. KẾT LUẬN
I.Bài học kinh nghiệm:
Trong quá trình thực hiện chuyên đề chúng tôi đã rút ra một số bài học
kinh nghiệm như sau:
Để thực hiện tốt công tác bồi dưỡng học sinh có kỹ năng trình bày lời giải
bài toán một cách khoa học, chính xác, trước hết giáo viên cần phải có một trình
độ chuyên môn vững vàng, nắm vững các thuật toán, giải được các bài toán khó
một cách thành thạo. Cần phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp kích
thích được sự tò mò, năng động, sáng tạo, tích cực của học sinh.
Toán học là bộ môn khó, các vấn đề của toán rất rộng. Chính vì vậy, giáo
viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành một giáo trình ôn tập cơ bản bao
gồm tất cả các chuyên đề. Với mỗi chuyên đề cần phải chọn lọc ra những bài
toán điển hình, cơ bản nhất để học sinh từ đó phát huy những khả năng của
mình, vận dụng một cách sáng tạo vào giải các bài toán khác cùng thể loại.
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh cần thường xuyên bám sát đối tượng
học sinh, theo dõi và động viên kịp thời sự cố gắng, nỗ lực của từng học sinh.
Đồng thời, kích thích các em phát huy tối đa khả năng của mình trong quá trình

ôn luyện học tập. Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời những sai
sót mà học sinh có thể mắc phải, giúp các em có niềm tin, nghị lực và quyết tâm
vượt qua những khó khăn bước đầu khi học tập các chuyên đề bồi dưỡng học
sinh mà giáo viên đưa ra.
Hơn nữa trong quá trình bồi dưỡng và phụ đạo học sinh, giáo viên cần
đưa hệ thống bài tập từ dễ đến khó. Điều này sẽ làm cho các em có hứng thú học
tập và có sự cố gắng vươn lên nhiều hơn nữa. Từ đó học sinh thấy được quá
trình học tập và bồi dưỡng kiến thức, kỹ năng... Đối với bộ môn toán là cả một
quá trình không thể diễn ra trong ngày một, ngày hai, mà là cả một quá trình lâu
dài, thường xuyên liên tục. Tuy nhiên cũng cần tránh cho học sinh áp lực học tập
liên tục không giải được các bài toán sẽ gây ra cho các em những sự nản chí,
mất niềm tin vào khả năng của mình khiến cho các em mất tự tin, giảm hứng thú
trong học tập.
II. Kết luận:
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có
kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm
tòi và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên,
-----------------------------------------------------------------Nhóm toán trường THCS Yên Phương
Năm học: 2017 - 2018
25