SKKN một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn đại số 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

MÃ SKKN:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MÔN ĐẠI SỐ 8

Lĩnh vực

: Toán 8

Cấp học: Trung học cơ sở

NĂM HỌC 2017- 2018


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU

Trang 2

1/ Lí do chọn đề tài

Trang 2

2/ Mục đích nghiên cứu

Trang 2

3/ Nhiệm vụ nghiên cứu

Trang 2

4/ Pham vi và đối tượng nghiên cứu

Trang 3

5/ Phương pháp nghiên cứu

Trang 3

PHẦN II: NỘI DUNG

Trang 4

CHƯƠNG I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Trang 4

1/ Cơ sở lý luận

Trang 4

2/ Cơ sở thực tiễn

Trang 5

CHƯƠNG II: Các biện pháp

Trang 6

1/ Những giải pháp mới của đề tài.

Trang 6

2/ Các phương trình thường gặp

Trang 6

3/ Các dạng bất phương trình thường gặp

Trang 16

PHẦN III: KẾT LUẬN

Trang 25

Tài lệu tham khảo

Trang 27

1/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8

PHẦN I : MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:

Bộ môn Toán học được coi là một trong những môn chủ lực nhất, nó được
vận dụng và phục vụ rộng rãi trong đời sống hằng ngày của chúng ta. Bởi trước
hết Toán học hình thành ở các em học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học,
logic và tư duy cao,… do đó nếu chất lượng dạy và học tốn ở trường THCS
được nâng cao thì có nghĩa là các em học sinh tiếp cận với nền tri thức khoa học
hiện đại, có ý nghĩa giàu tính nhân văn của nhân loại.
Đổi mới chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công
nghệ thông tin trong dạy học, đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay ở
trường THCS đã và đang làm tích cực hoạt động tư duy học tập của học sinh,
khơi dậy và phát triển khả năng tự học, tự tìm tòi, tự sáng tạo, … nhằm nâng cao
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kỹ năng vận
dụng kiến thức một cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế cuộc sống.
Trong chương trình Đại số lớp 8, thì dạng bài tập về giải phương trình và
bất phương trình là nội dung quan trọng, là trọng tâm của chương trình đại số
lớp 8, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Vì
vậy để giúp học sinh nắm được khái niệm về phương trình và bất phương trình,
giải thành thạo các dạng toán là yêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáo
viên. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõi kết quả bài
kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đang giảng dạy), thì việc giải
phương trình và bất phương trình là không quá khó, nhưng vẫn còn nhiều học
sinh mắc phải các sai lầm không đáng có, giải phương trình và bất phương trình
còn nhiều sai sót, rập khuôn máy móc hoặc chưa làm được, do chưa nắm vững
chắc các cách giải, vận dụng kỹ năng biến đổi chưa linh hoạt vào từng dạng toán
về phương trình và bất phương trình.
Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh
tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng
cao chất lượng bộ môn toán nên bản thân đã chọn đề tài:

“Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình ”.
2. Mục đích nghiên cứu:

Rèn kỹ năng giải phương trình và bất phương trình cho học sinh lớp 8
3 . Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu nội dung dạy học về phương trình và bất phương trình bậc nhất
ở trường THCS

2/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
- Tìm hiểu mạch kiến thức về phương trình và bất phương trình mà các em
đã được học
- Điều tra về thực trạng học toán ở trường THCS
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
- Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8 trường THCS năm học
2017 - 2018.
- Đề tài có ý tưởng phong phú, đa dạng, nên bản thân chỉ nghiên cứu qua ba
dạng phương trình “phương trình đưa về dạng ax + b = 0, phương trình tích,
phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc nhất một ẩn” trong chương
trình toán 8 hiện hành.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan.
- Nghiên cứu qua thực tế giải bài tập của học sinh.
- Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra.
- Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
- Phương pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu đó là phương pháp
thực nghiệm sư phạm

3/27

Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8

PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.Cơ sở lý luận
Với sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, bùng nổ
công nghệ thông tin, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học và
quản lý giáo dục, toàn cầu hóa như hiện nay, đã và đang tạo điều kiện thuận lợi
cho nền giáo dục và đào tạo của nước ta trước những thời cơ và thách thức mới.
Để hòa nhập tiến độ phát triển mạnh mẽ đó thì giáo dục và đào tạo trước hết và
luôn luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực,
nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi
mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số
40/2000/QH10 của Quốc hội”. Hiện nay ngành Giáo dục tích cực xây dựng
nhiều chương trình hành động, đa dạng hóa các loại hình học tập, trong đó việc
đẩy mạnh sử dụng công nghệ hiện đại trong dạy học và quản lý là một trong
những biện pháp của quá trình đổi mới giáo dục theo hướng tích cực phù hợp
với xu thế hiện nay.
Để đáp ứng được mục tiêu giáo dục một cách toàn diện cho học sinh, con
đường duy nhất là nâng cao có hiệu quả chất lượng học tập của học sinh ngay từ
nhà trường phổ thông. Muốn vậy trước hết giáo viên là người định hướng và
giúp đỡ học sinh của mình lĩnh hội kiến thức một cách chủ động, rèn luyện tính
tự học, tính cần cù, siêng năng, chịu khó, … tạo điều kiện khơi dạy lòng ham
học, yêu thích bộ môn, phát huy tư duy sáng tạo của học sinh, thì môn toán là
môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Học Toán không phải chỉ là học như sách giáo khoa, không chỉ làm những
bài tập hoặc những cách giải do Thầy, Cô đưa ra mà là quá trình nghiên cứu đào
sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, khai thác tổng quát vấn đề và rút ra được những
cách giải hay, những điều gì bổ ích. Do đó dạng toán giải phương trình và bất
phương trình của môn đại số 8 đáp ứng yêu đầy đủ yêu cầu này, là nền tảng, làm

cơ sở để các em học tiếp các chương trình sau này, như giải bất phương trình,
chương trình lớp 9 sau này, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận
thức của học sinh đại trà nên đề tài chỉ đề cập đến một số dạng toán và các
phương pháp giải thông qua các ví dụ cụ thể.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải được các dạng phương trìnhvà
bất phương trình một cách nhanh chóng và chính xác. Để thực hiện tốt điều này,
đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận
4/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
xét, đánh giá, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải
phương trình, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh,
mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
2.Cơ sở thực tiễn
Về học sinh: Còn nhiều hạn chế trong tính toán, kỹ năng quan sát nhận xét,
nhận dạng phương trình và biến đổi trong thực hành giải toán yếu kém, phần lớn
do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ
đầu chương trình lớp 8, do chây lười học tập, ỷ lại, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, tự
ý thức học tập, trông nhờ vào kết quả người khác.
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên
khi gặp bài tập khác, các em thường lúng túng, không tìm được hướng giải thích
hợp.
Về giáo viên: Chưa thật sự định hướng, xây dựng, giúp đỡ ở học sinh thói
quen học tập và lòng yêu thích môn học, chưa xây dựng phương pháp học tập tốt
và kỹ năng giải toán cho học sinh, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng
đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin.
Về phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con
em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà. Giữ mối
liên lạc với nhà trường chưa thường xuyên, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết

quả học tập của con em hầu như không có.

5/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8

Chương II. Các biện pháp
1. Những giải pháp mới của đề tài
 Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:
- Sắp xếp các dạng phương trình bất phương trình theo các mức độ.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng phương trình và
bất phương trình.
- Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
- Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phương trình và
bất phương trình.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
a) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0.
+ Phương pháp giải phương trình tích.
+ Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
+Bất phương trình dạng:

(hoặc

,

,

)

b) Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy, kỹ năng giải phương
trình và phương trình
+ Phát triển kỹ năng giải các dạng phương, khai thác bài toán.(nâng cao)
+ Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng phương trình và bất
phương trình thường gặp

2. Các phương trình thường gặp
a. Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình
 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (hoặc ax = c).
 Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:
Phương pháp chung:
- Thực hiện bỏ dấu ngoặc.
- Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c.
 Chú ý:

Nếu a

≠

0, phương trình có nghiệm x =

c
a

Nếu a = 0, c ≠ 0, phương trình vô nghiệm
Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)

(BT-11c)-SGK-tr13)

Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
6/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
Giải:

5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)
⇔ 5 – x + 6 = 12 – 8x
⇔ – x + 8x = 12 – 11
⇔ 7x = 1
⇔ x=

1
7

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

1
7

Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai:
⇔
⇔
⇔
⇔

(x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)
x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)
–2x = 7 (sai từ trên)
x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)

Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là:
Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc
Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế
Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái
Lời giải đúng: (2) ⇔ x – 1 – 2x + 1 = 9 – x
⇔ x – 2x + x = 9
⇔ 0x = 7
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:
Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu
gọn và chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình.

 Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:
Phương pháp chung:
- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về
dạng 1.
- Thực hiện cách giải như dạng 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình:

x −1 x −1 x −1
+
−
=2
2
3

6

(3) (ví dụ 4 Sgk-tr12)

Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai:

x −1 x −1 x −1
+
−
=2
2
3
6

7/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
3( x − 1) + 2( x − 1) − x − 1 12
=
(sai ở hạng tử thứ ba)
6
6
⇔ 3( x − 1) + 2( x − 1) − x − 1 = 12 (sai từ trên)
⇔ 4 x = 18 (sai từ trên)

⇔

⇔ x = 4,5 (sai từ trên)

Sai lầm của học ở đây là:
Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa
đúng.
x −1 x −1 x −1
+
−
=2
2
3
6
3( x − 1) + 2( x − 1) − ( x − 1) 12
⇔
=
6
6
⇔ 3 x − 3 + 2 x − 2 − x + 1 = 12

Lời giải đúng:

⇔ 4 x = 16 ⇔ x = 4

Vậy: S = { 4 }

Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc
xuống mẫu khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức.
 Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:



Cách 1: (3) ⇔ ( x − 1)  + − ÷ = 2
2 3 6
1

1 1



Cách 2: Đặt t = x -1



(3) ⇔

4
⇔ ( x − 1) = 2
6
⇔ x −1 = 3 ⇔ x = 4

t t t
+ − =2
2 3 6

⇔ 3t + 2t − t = 2.6
⇔ t =3

Vậy: S = { 4 }

⇒ x −1 = 3 ⇔ x = 4

Ví dụ 4: Giải phương trình:

2+ x
1 − 2x
− 0,5 x =
+ 0, 25
5
4

Vậy: S = { 4 }

(4) (BT-18b)-SGK-tr14)

Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Cách giải 1: (4) ⇔ 4(2 + x) − 20 ×0,5 x = 5(1 − 2 x) + 20 ×0, 25
⇔ 8 + 4 x − 10 x = 5 − 10 x + 5
⇔ 4x = 2
⇔ x = 0,5

Vậy: S = { 0,5 }

 Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 2: Chuyển phương trình về phân số
8/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
(4) ⇔

2 + x x 1− 2x 1

2 + x x 1− x
2+ x 1
⇔
− =
+ ⇔
− =
=
5
2
4
4
5
2
2
5
2

Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân
(4) ⇔ 0, 2 ×(2 + x) − 0,5 x = 0, 25 ×(1 − 2 x) + 0, 25
⇔ 0, 4 + 0, 2 x − 0,5 x = 0,5 − 0,5 x

⇔ 0, 2 x = 0,1

 Phương trình tích
Phương pháp chung:
Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu
thức.
Cách giải: A(x).B(x).C(x) … = 0 ⇔ A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) =
0
 Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = 0. Ta thường biến đổi như sau:

Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích.
- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.
- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.
Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.
Ví dụ 5: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5) = 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17)
Lời giải: (3x – 2)(4x + 5) = 0
⇔ 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0
⇔ 3x = 2 hoặc 4x = – 5
⇔ x =

2
3

hoặc x = −

5
4

5 
 2
; − 
4 
 3

Vậy S = 

 Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:
2

x=


3 x − 2 = 0
3
(3x – 2)(4x + 5) = 0 ⇔ 

4 x + 5 = 0
x = − 5

4

* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta
phải biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích.
Ví dụ 6: Giải phương trình x2 – x = –2x + 2 (6) (BT-23b)-Sgk-tr17)
- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau:
9/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
(6) ⇔ x2 – x + 2x – 2 = 0 ⇔ x2 + x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển
về phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên
cần định hướng cho học sinh cách giải hợp lý.
Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm
Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế
Cách 1: (6) ⇔ x2 – x + 2x – 2 = 0
Cách 2: (6) ⇔ x(x – 1) = – 2(x – 1)
⇔ x(x – 1) + 2(x – 1) =
⇔ x(x – 1) + 2(x – 1) = 0
⇔ (x – 1)(x + 2) = 0
0
⇔ (x – 1)(x + 2) = 0

 x −1 = 0
x = 1
⇔
⇔ 
x + 2 = 0
 x = −2

 x −1 = 0
x = 1
⇔
⇔ 
x + 2 = 0
 x = −2

Vậy

{

1 ; −2 }

Vậy

S =

S = { 1 ; −2 }

Ví dụ 7: Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x 2 + 4x + 4 (7) (BT-28f)-Sgktr7)
- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc,
chuyển vế các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình.
(7) ⇔ –4x2 – 5x + 6 – x2 – 4x – 4 = 0

⇔ –5x2 – 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương
trình tích. Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý.
Giải: (7) ⇔ (x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)2
⇔ (x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)2 = 0
⇔ (x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0
 x = −2
x + 2 = 0
⇔
⇔ 
x = 1
−
5
x
+
1
=
0

5


Vậy S =  − 2 ;


1 

5 

Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng
tích:

Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi
phương trình và đặt ngay nhân tử chung ấy.
Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức
thì ta sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.
Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì
nên rút gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử.

10/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
 Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp chung
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa
mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
x+2

1

2

Ví dụ 8: Giải phương trình x − 2 − x = x( x − 2) (8) (BT 52b)-Sgk-tr33)
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:
Lời giải sai: ĐKXĐ: x ≠ 2 ; x ≠ 0
(8) ⇔

x( x + 2) − 1( x − 2)

2
=
x( x − 2)
x( x − 2)

⇔ x(x + 2) – 1(x – 2) = 2

(dùng ký hiệu ⇔ là không chính

xác)
⇔ x2 + 2x – x + 2 = 2
⇔ x2 + x = 0
⇔ x(x + 1) = 0
x = 0
x = 0
⇔
⇔ 
x +1 = 0
 x = −1

Vậy S = { 0 ; − 1 }

(kết luận dư nghiệm)

Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “ ⇔ ”không chính xác
Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện
Lời giải đúng: ĐKXĐ: x ≠ 2 ; x ≠ 0
(8) ⇔

x( x + 2) − 1( x − 2)

2
=
x( x − 2)
x( x − 2)

⇒ x(x + 2) – 1(x – 2) = 2
⇔ x2 + 2x – x + 2 = 2
⇔ x2 + x = 0
⇔ x(x + 1) = 0
x = 0
x = 0
⇔
⇔ 
x +1 = 0
 x = −1

Vậy S = { − 1 }

11/27

(8’)


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
Giáo viên cần củng cố cho học sinh:
Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã
cho, nên ta dùng ký hiệu “ ⇒ ” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình
(8’) chưa chắc là tập nghiệm của phương trình (8).
Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận.
Ví dụ 9: Giải phương trình

1
x−3
+3=
x−2
2−x

(9) (BT 30a)-Sgk-tr23)

- Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu
thức chung của phương trình, rồi tìm ĐKXĐ.
- Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm.
Giải:

ĐKXĐ: x
(9) ⇔

≠

2

1 + 3( x − 2) 3 − x
=
x−2
x−2

⇒ 1 + 3(x – 2) = 3 – x
⇔ 1 + 3x – 6 = 3 – x
⇔ 4x = 8
⇔ x = 2 (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình vô nghiệm
Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình:
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0. (Cho các mẫu thức khác 0)
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó. (Cho các mẫu thức
bằng 0)
- Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phương trình
nên cho học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là
điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.
- Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bước giải phương trình, kỹ năng
về phân tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu như quy tắc đổi
dấu, quy tắc dấu ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trước.
- Rèn ở học sinh về kỹ năng nhận dạng các phương trình có mẫu là các đa thức
dạng x2 + 1; 3x2 + 2; x2 + x + 3;… hoặc là bình phương thiếu của một tổng, một
hiệu luôn luôn dương với mọi giá trị của x. Do đó khi gặp phải các mẫu thức có
dạng này ta không cần phải đặt điều kiện cho mẫu thức đó khác 0.
Ví dụ 10: Giải phương trình
Lời giải: ĐKXĐ: x

≠

1
2 x2 − 5
4
+ 3
= 2
(10)
x −1 x −1 x + x +1

1 ; x2 + x + 1 > 0
12/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
(10) ⇔

x2 + x + 1 + 2x2 − 5
4( x − 1)
=
2
( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x 2 + x + 1)

⇒ 3x2 + x – 4 = 4x – 4
⇔ 3x2 – 3x = 0
⇔ 3x(x – 1) = 0
3 x = 0
x = 0
⇔
⇔ 
 x −1 = 0
x = 1

Vậy S = { 0 }

b. Phát triển tư duy và kỹ năng giải phương trình
Ví dụ 11: Giải phương trình

x−

3x − 4
3− x
5x −
5 =
2 − x +1
15
5

(Sách Bổ trợ-Nâng

cao)
- Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần.
Lần 1: Mẫu chung là 15
Lần 2: Mẫu chung là 10
3x − 4
9 − 3x
= 15 x −
− 15 x + 15
5
2
⇔ 10 x − 2(3 x − 4) = −5(9 − 3 x) + 150 (học sinh giải tiếp)
x +1 x + 2 x + 3 x + 4
+
=
+
Ví dụ 12: Giải phương trình
(12)
9
8
7

6

Hướng dẫn: (11) ⇔ x −

- Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu như sau:
Cách 1: (12) ⇔ 56.( x + 1) + 63.( x + 2) = 72.( x + 3) + 84.( x + 4)
⇔ 56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336
⇔ 37x = –370
⇔ x = –10
Vậy S = { − 10 }
- Với cách giải này thì ta không thể khai thác được gì ở bài toán này, đôi khi gặp
phải bài toán có mẫu lớn thì học sinh sẽ lúng túng, việc quy đồng khó khăn hơn.
Do đó giáo viên cần định hướng cách giải mới hay hơn, trên cơ sở đó ta có thể
rút ra cách giải tổng quát cho các bài tập có dạng tương tự.
Ta có nhận xét: Nhận thấy rằng các phân thức có tính chất đặc biệt sau:
x + 1 + 9 = x +10
Tử thức cộng mẫu thức của các phân thức đều
x + 2 + 8 = x + 10
x + 3 + 7 = x + 10
cùng bằng một phân thức
x + 4 + 6 = x + 10
Khi đó ta có cách giải như sau:

13/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
 Phương pháp thêm vào hai vế của phương trình cho cùng một hạng tử:
x +1

x+2

x+3

x+4


 
 
 

+ 1 ÷+ 
+ 1÷ = 
+ 1÷+ 
+ 1÷
Cách 2: (12) ⇔ 
 9
  8
  7
  6


⇔

x + 10 x + 10 x + 10 x + 10
+
=
+
9
8

7
6

1 1 1 1
⇔ ( x + 10)  + − − ÷ = 0
9 8 7 6
⇔ x + 10 = 0

⇔ x = –10

Vậy S = { − 10 }

- Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự.
Do đó giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên
cơ sở đó ta đề xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn.
-Khai thác bài toán:
* Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay
sau:
1)

x +1 x + 2 x + 3 x + 4
+
=
+
2009 2008 2007 2006

* Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau:
x −1 x − 2 x − 3 x − 4
+
+

+
= x + 2006
2011 2012 2013 2014
x +1 x + 2 x + 3
x + 2009 x + 2010
+
+
+ ... +
+
= −2010
3)
2010 2009 2008
2
1
x −1
x−2
x−3
x−4
+1+
+1+
+ 1+
+ 1 = x + 2006 + 4
Hướng dẫn: 2)
2011
2012
2013
2014

2)

x + 2010 x + 2010 x + 2010 x + 2010 ( x + 2010)
+
+
+
−
=0
2011
2012
2013
2014
1
x +1 x + 2 x + 3
x + 2009 x + 2010
+
+
+ ... +
+
= −2010
3)
2010 2009 2008
2
1
x + 2011 x + 2011 x + 2011
x + 2011 x + 2011
⇔
+
+
+ ... +
+
=0

2010
2009
2008
2
1

⇔

 Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử:
Ví dụ 13: Giải phương trình (x + 2)(2x2 – 5x) – x3 = 8 (13) (Sách Bổ trợNâng cao)
Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x3 và 8
Hướng dẫn: (13) ⇔ (x + 2)(2x2 – 5x) – (x3 + 8) = 0
⇔ (x + 2)(2x2 – 5x) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0
14/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
⇔ (x + 2)(2x2 – 5x – x2 + 2x – 4) = 0
⇔ (x + 2)(x2 + x – 4x – 4) = 0
⇔ (x + 2)(x + 1)(x – 4) = 0 (học sinh giải tiếp)

- Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về “Phương pháp tách một hạng tử
thành nhiều hạng tử khác” để đưa về dạng tích mà các em đã học.
Bài tốn tổng quát:
Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx
thành b1x + b2x sao cho b1b2 = ac
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.

Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

 Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0
3

2

1

Ví dụ 14 Giải phương trình ( x − 1)( x − 2) + ( x − 3)( x − 1) = ( x − 2)( x − 3) (BT.31.b/23)
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 3
(14) ⇒ 3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 (học sinh giải tiếp)
- Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn
đề ở đây không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ
khác, khía cạnh khác thì việc giải phương trình của chúng ta sẽ lý thú hơn.
-Khai thác bài toán:
* Bài toán (14) trên chính là bài toán phức tạp sau:
1) Ta có: (14) ⇔

3
2
1
+ 2
= 2
x − 3x + 2 x − 4 x + 3 x − 6 x + 5
2

* Ta có bài toán tương tự như sau:
4

3

2

1

2) ( x − 1)( x − 2)( x − 3) + ( x − 1)( x − 2)( x − 4) + ( x − 1)( x − 3)( x − 4) + ( x − 2)( x − 3)( x − 4) = 0
1

1

1

1

1

1

3) ( x − 1)( x − 2) + ( x − 2)( x − 3) + ( x − 3)( x − 4) + ( x − 4)( x − 5) + ( x − 5)( x − 6) = 10 (*)
1

1

1

1

1

1

Hướng dẫn: ( x − 1)( x − 2) = x − 2 − x − 1 ; ( x − 2)( x − 3) = x − 3 − x − 2 ; …
(*) ⇔

1
1
1
−
=
x − 6 x − 1 10

15/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
 Phương pháp đặt ẩn phụ:
3
x

Ví dụ 15: Giải phương trình x 2 − 3x + 4 − +

1
= 0 (15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
x2

- Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải
phương trình là vô cùng khó khăn (phương trình bậc 4). Vì vậy giáo viên cần
hướng dẫn học sinh có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn.
Giải: ĐKXĐ: x

≠

0

1
1
1
1
− 3( x + ) + 4 = 0 Đặt x + = y ⇒ x 2 + 2 = y 2 − 2
2
x
x
x
x
2
Phương trình trở thành y – 3y + 2 = 0 ⇔ (y – 1)(y – 2) =0 ⇔ y = 1 hoặc y = 2
1
Khi đó x + = 1 ⇔ x2 – x + 1 = 0 (vô nghiệm)
x
1
x + = 2 ⇔ x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x – 1)2 ⇔ x = 1 (nhận)
x

(15) ⇔ x 2 +

Vậy S = { 1 }
3. Các dạng bất phương trình thường gặp
Định nghĩa : Bất phương trình dạng:
(hoặc

,
,
) trong đó a và b là
hai số đã cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Hoạt động 1
Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào không là bất
phương trình bậc nhất một ẩn:
a) 2x - 3 < 0;

b) 0.x + 5 > 0;

c) 5x - 15 ≥ 0;

d) x2 > 0.

ĐA: Bất phương trình d)
Hai quy tắc biến đổi bất phương trình
Quy tắc chuyển vế
Từ liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc chuyển vế)
để biến đổi tương đương bất phương trình:

16/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế
kia ta phải đổi dấu hạng tử đó.
VÍ DỤ 1 Giải các bất phương trình sau:
a) x - 5 < 18;
b) 3x > 2x + 5 (có biểu diễn tập nghiệm trên trục

số).
Lời giải a) Ta có:
x - 5 < 18
x < 18 + 5 (Chuyển vế -5 và đổi dấu thành 5)
x < 23.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

.

b) Ta có:
3x > 2x + 5
x > 5.

3x - 2x > 5(Chuyển vế 2x và đổi dấu thành -2x)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

.

Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau:

Hoạt động 2 Giải các bất phương trình sau:
a) x + 12 > 21;
b) -2x > -3x - 5.
Quy tắc nhân với một số
Từ liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc nhân) để
biến đổi tương đương bất phương trình:
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
• Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;
• Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.

•

VÍ DỤ Giải các bất phương trình sau: a) 0,5x < 3;
biểu diễn tập nghiệm trên trục số).

17/27

b)

(có


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
Lời giải a) Ta có:
0,5x < 3
0,5x.2 < 3.2
x < 6.

(Nhân cả hai vế với 2)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=

.

b) Ta có:

(Nhân cả hai vế với -4 và đổi chiều)
x > -12.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

.

Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau:

Hoạt động 3
Giải các bất phương trình sau (dùng quy tắc nhân):
a) 2x < 24;

b) -3x < 27.

Hoạt động 4
Giải thích sự tương đương:
a) x + 3 < 7
x - 2 < 2;

b) 2x < - 4

-3x > 6.

Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
VÍ DỤ 3 Giải bất phương trình 2x - 3 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
Lời giải Ta có:
2x - 3 < 0
2x < 3 (Chuyển -3 sang vế phải và đổi dấu)
2x:2 < 3:2 (Chia hai vế cho 2)
x < 1,5.

18/27

Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

và được

trục số như
Hoạt độngbiểu
5 diễn
Giải trên
bất phương
trìnhsau:
-4x - 8 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục
số.
Hướng dẫn: Làm tương tự ví dụ 3, nhưng lưu ý khi nhân hai vế với
số âm.
CHÚ Ý: Để cho gọn khi trình bày, ta có thể:
• Không ghi câu giải thích;
• Khi có kết quả x < 1,5 (ở ví dụ 3) thì coi là giải xong và viết đơn
giản:
"Nghiệm của bất phương trình 2x - 3 < 0 là x < 1,5".
VÍ DỤ 4 Giải bất phương trình -4x + 12 < 0.
Lời giải Ta có:
-4x + 12 < 0
12 < 4x
12:4 < 4x : 4
3 < x.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 3.
Giải bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩn

VÍ DỤ 5 Giải bất phương trình 3x + 5 < 5x - 7.
Lời giải Ta có:
3x + 5 < 5x - 7
3x - 5x < -5 - 7
-2x < 12
-2x : (-2) > -12 : (-2)
x > 6.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 6.
Hoạt động 6 Giải bất phương trình -0,2x - 0,2 > 0,4x - 2.
Ta có -0,2x-0.4x > 0.2 – 2  -0.6x > -1,8

19/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
x<

−1,8
= 3 => x < 3
−0, 6

BÀI TẬP
8. Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Kể ba bất
phương trình có cùng tập nghiệm).
a)
b)

9. Kiểm tra xem giá trị x = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không:
a)
b)

Tập nghiệm của bất phương trình
Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của
bất phương trình.
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
VÍ DỤ 1. Tập nghiệm của bất phương trình x > 3 là tập hợp các số lớn hơn 3,
tức là tập hợp
Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ sau:

(Trong hình vẽ trên, tất cả các điểm bên trái điểm 3 và cả điểm 3 bị gạch bỏ).
Hoạt động 2

Hãy cho biết vế trái, vế phải và tập nghiệm của bất phương trình
x > 3, bất phương trình 3 < x và phương trình x = 3.

20/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
VÍ DỤ 2. Bất phương trình x ≤ 7 có tập nghiệm là tập hợp các số nhỏ hơn hoặc
bằng 7, tức là tập hợp
sau:

. Tập hợp này được biểu diễn trên trục số như

(Trong hình vẽ trên, các điểm bên phải điểm 7 bị gạch bỏ nhưng điểm 7 được
giữ lại).
Hoạt động 3

Viết và biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình sau trên
các trục số khác nhau:

a) x ≥ -2. Hướng dẫn: Trên trục số, gạch bỏ các điểm bên trái
điểm -2 bằng các dấu "/" và giữ lại điểm -2 bằng dấu "[".
b) x < 4. Hướng dẫn: Trên trục số, gạch bỏ các điểm bên phải
điểm 4 bằng các dấu "/" và gạch bỏ điểm 4 bằng dấu ")".

Bất phương trình tương đương
Bất phương trình x > 3 và bất phương trình 3 < x có cùng tập nghiệm là
.
Người ta gọi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình
tương đương và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương đó.
VÍ DỤ 3.

.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1. Kiểm tra xem giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất
phương trình sau đây:
b) -4x > 2x
a) 2x + 3 < 9;
c) 5 - x > 3x - 12.
+ 5;
2. Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số của mỗi bất phương trình sau:
b) x ≤ c) x >
a) x < 4;
d) x ≥ 1.
-2;
-3;
3. Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Chỉ cần nêu
một bất phương trình).
a)

21/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
b)
c)
d)

Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những
khúc mắc trong quá trình giải phương trình và bất phương trình. Vì thời gian
có hạn nên không đi sâu vào một số phương trình và bất phương trình khác như
phương trình và bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,vv…
 Kết quả
Kết quả áp dụng kỹ năng giải phương trình này đã góp phần nâng cao chất
lượng học tập của bộ môn đối với học sinh đại trà.
Kết quả kiểm tra về giải phương trình được thống kê, đánh giá qua 1 lớp 8,
ở HKI năm học 2017 – 2018 như sau:
a) Chưa áp dụng giải pháp
Kết quả khảo sát
Thời gian học kỳ I
Khảo sát (chưa áp dụng giải pháp)

TS
HS
37

Trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ (%)

15
40,54%

- Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích, nhận dạng
phương trình, kỹ năng thu gọn, chuyển vế, biến đổi sai sót về dấu, chưa áp dụng
được các hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, ...
b) Áp dụng giải pháp
Lần 1: Kết quả khảo sát
Thời gian học kỳ I
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 1)

TS
HS
37

Trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ (%)
25
67,56%

- Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm được các dạng phương trình, kỹ
năng biến đổi hợp lý, việc vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu,
quy tắc dấu ngoặc, phân tích đa thức thành nhân tử có hiệu quả, biết nhận xét
đánh giá bài tốn trong các trường hợp, trình bày khá hợp lý.
Lần 2: Kết quả khảo sát (kiểm tra 1 tiết)
Thời gian học kỳ I

TS
22/27

Trung bình trở lên


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8

Kết quả áp dụng giải pháp (lần 2)

HS

Số lượng

Tỉ lệ (%)

37

31

83,78%

- Nhận xét: Học sinh nắm vững chắc về các dạng phương trình, vận dụng
thành thạo các kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các yếu tố quan trọng,
đặc điểm của phương trình, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức, phân
tích đa thức thành nhân tử, trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ thống, chỉ còn
một số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực hiện tốt.
Học sinh hứng thú, tích cực tìm hiểu kỹ phương pháp giải, phân loại từng
dạng tốn, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kỹ năng xử lý nhanh các bài toán có
dạng tương tự, đặt ra nhiều vấn đề mới, nhiều bài toán mới.
- Tóm lại:
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh

nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các dạng phương trình, đặc điểm của từng cách
giải cho các dạng phương trình. Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình,
học sinh yếu nắm chắc về cách giải phương trình, vận dụng và rèn luyện kỹ
năng thực hành theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức ở những mức độ
khác nhau thông qua một chuỗi bài tập về phương trình được sắp xếp theo các
mức độ nhận thức của học sinh. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có
điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng
cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo
của học sinh trong học toán.

- Một số chú ý
Để thực hiện tốt kỹ năng giải phương trình và bất phương trình của học
sinh, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:
Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu
ngoặc ở các lớp 6, 7.
Cần xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, phân tích nhận
dạng phương trình, tìm phương trình có dạng đặc biệt, sử dụng thành thạo kỹ
năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo.
Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách
giải hay, cách giải khác.
- Lưu ý khi giải phương trình, học sinh cần nhận xét:
 Quan sát đặc điểm của phương trình:
Nhận xét quan hệ giữa các biểu thức trong trong phương trình từ đó đưa ra
cách biến đổi thích hợp.
23/27


Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8
 Nhận dạng phương trình:
Xét xem phương trình đã cho thuộc dạng nào?, áp dụng phương pháp cho

phù hợp từng dạng phương trình đó.
 Kinh nghiệm trong biến đổi phương trình và bất phương trình:
Khi đã thu gọn hai vế của phương trình, bất phương trình, nếu biến có số
mũ từ hai trở lên thì ta cố gắng tìm cách chuyển phương trình đó về dạng
phương trình tích.
Khi biến đổi phương trình,bất phương trình nếu nhận thấy hai vế của
phương có nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức thì ta nên sử dung đặt nhân tử
chung hoặc hằng đẳng thức ấy.
Khi khử mẫu hai vế của phương trình, bất phương trình ta cần lưu ý đây là
phương trình hệ quả của phương trình ban đầu do đó ta dùng dấu suy ra.
Khi biến đổi phương trình , bất phương trình cần chú ý tính chất đặc biệt
của tử và mẫu của phương trình từ đó suy ra cách phân tích hợp lý như nhóm,
tách, thêm bớt, đặt ẩn phụ, … cho thích hợp.

PHẦN III : KẾT LUẬN
 Bài học kinh nghiệm
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng
dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:

24/27