PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT CHỨA THAM SỐ

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MŨ – LOGARIT CHỨA THAM SỐ.
Câu 1.

(

)

Tập hợp các giá trị của m để phương trình m ⋅ ln 1 − 2x − x = m có nghiệm thuộc

(−∞; 0) là
A. (ln 2;+∞) .

B. (0;+∞) .

C. (1;e ) .

D. (−∞; 0) .

Lời giải
Chọn

B.

Điều kiện: 1 − 2x > 0 ⇔ x < 0 .
Phương trình đã cho tương đương với: m =

(

(

)

ln 1 − 2x − 1

với x < 0 . Có f ′ =

x

x

.

(

)

x

x

−2x. ln 2
1 − 2x
2

(ln (1 − 2 ) − 1)
x

(1 − 2 ) ln (1 − 2 ) − (1 − 2 )1 + x .2 .ln 2 .
=
(1 − 2 )(ln (1 − 2 ) − 1)

x

)

ln 1 − 2x − 1

ln 1 − 2x − 1 − x .

x

Xét hàm số f (x ) =

x

x

Vì

2

x < 0 nên

0 < 1 − 2x < 1 ,

do

f ′ (x ) < 0 ∀x < 0 . Vậy f (x ) nghịch biến trên (−∞; 0) .
Mặt khác, dễ thấy lim f (x ) = +∞ ; lim− f (x ) = 0 . Ta có BBT sau:
x →−∞

x →0

Vậy phương trình có nghiệm khi m > 0 .

Câu 2.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

(

2

4 log2 x
A. m ≤

) − log

1
.
4

1
2

x + m = 0 có nghiệm thuộc (0;1).
B. 0 < m <

1
.
4

C. 0 ≤ m.

D. m ≥

1
.
4

Lời giải
Chọn

A.

ĐK: x > 0 .
Phương trình ⇔ log22 x + log2 x + m = 0

(1) .

Trang 1

đó


Do xét x ∈ (0;1) nên đặt t = log2 x , t < 0 . Phương trình (1) thành t 2 + t + m = 0

⇔ t 2 + t = −m .
Xét hàm số f (t ) = t 2 + t với t < 0 .
Có f ′ (t ) = 2t + 1 ; f ′ (t ) = 0 ⇔ t = −

1
2

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra −m ≥ −

Câu 3.

Cho hàm số y = 5−x

2

+6x −8

1
1
⇔m≤ .
4
4

. Gọi m là giá trị thực để y ′(2) = 6m ln 5 . Mệnh đề nào dưới đây

đúng?
A. m <

1
.
3

B. 0 < m <

1
.
2

C. m ≥

1
.
2

D. m ≤ 0 .

Lời giải
B.

Chọn

Ta có y ′ = 5−x
Câu 4.

2

+6 x −8

(−2x + 6). ln 5 ⇒ y ′ (2) = 2 ln 5 ⇒ 6m ln 5 = 2 ln 5 ⇒ m = 13 .

Tìm m để bất phương trình m.9x − (2m + 1).6x + m.4x ≤ 0 nghiệm đúng với mọi

x ∈ (0;1) .
A. 0 ≤ m ≤ 6

B. m ≤ 6 .

C. m ≥ 6 .

D. m ≤ 0 .

Lời giải
B.

Chọn

x

x

9
 3
Ta có m.9 − (2m + 1).6 + m.4 ≤ 0 ⇔ m.   − (2m + 1)  + m ≤ 0 .
 4 
 2 
x

x

x

x

3
3
Đặt t =   . Vì x ∈ (0;1) nên 1 < t <
2
 2 
Khi đó bất phương trình trở thành m.t 2 − (2m + 1)t + m ≤ 0 ⇔ m ≤
Đặt f (t ) =

t
2

(t − 1)

Ta có f ′ (t ) =

t
2

(t − 1)

.

.

−t − 1
3

(t − 1)

, f ′ (t ) = 0 ⇔ t = −1 .

Trang 2


−1

t
f ′ (t )

+ 0

3
2

1

−

−
+∞

f (t )

6

Bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≤ lim f (t ) = 6 .
t→

Câu 5.

3
2

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình log2 3 x − m log

3

x + 9 = 0 có nghiệm

duy nhất sao cho nghiệm đó nhỏ hơn 1 .
A. m = −4 .

B. m = ±6 .

C. m = − 6 .

D. Không tồn tại m .

Lời giải
C.

Chọn
Cách 1.
Đặt t = log

3

x , t < 0 vì x < 1 .

Khi đó ta có phương trình log2 3 x − m log

3

x + 9 = 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1 khi

và chỉ khi phương trình t 2 − mt + 9 = 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 0 .

∆ = 0
m 2 − 36 = 0
m = ±6


⇔ m = −6 .
⇔ m
Vậy ta có  b
⇔ 
−
 < 0
m < 0
<0

 2a
 2
Cách 2.
Đặt t = log

3

x , t < 0 vì x < 1 .

Ta được phương trình t 2 − mt + 9 = 0 ⇔ m ≤
Đặt f (t ) =

t2 + 9
, (t ≠ 0) .
t

t2 + 9
, t < 0.
t

Ta có f ′ (t ) =

t2 − 9
, f ′ (t ) = 0 ⇔
t2


t = 3 .
t = −3


Bảng biến thiên.

t

−∞

0

−3

f ′ (t )

+

0

−

3

−

0

−6

f (t )

−∞

−∞

Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≤ max f (t ) = f (−3) = −6 .
(−∞;0)

Câu 6.

Tìm tất cả giá trị của m để phương trình log23 x − (m + 2). log 3 x + 3m − 1 = 0 có hai
nghiệm

x1 x 2
,

sao cho

x1.x 2 = 27

.

Trang 3


A. m = 1 .

B. m =

4
.
3

C. m = 25 .

28
.
3

D. m =

Lời giải
Chọn

A.

log x − (m + 2). log 3 x + 3m − 1 = 0 (1).
2
3

Điều kiện xác định: x > 0 .
Đặt t = log3 x . Ta có phương trình: t 2 − (m + 2)t + 3m − 1 = 0 (2).
Để phương trình (1) có 2 nghiệm x 1, x 2 sao cho x 1.x 2 = 27 .
Thì phương trình (2) có 2 nghiệm t1; t2 thỏa mãn t1 + t2 = 3 .

∆ > 0
m 2 − 8m + 8 > 0

⇒ m = 1.
⇔
⇔
m = 1
m + 2 = 3

Câu 7.

Giá trị của m để phương trình 4x − m.2x +1 + 2m = 0 có hai nghiệm

x1 + x 2 = 3

x1 x 2
,

thỏa mãn

là
B. m = 4 .

A. m = 3 .

C. m =

9
.
2

D. m =

3
.
2

Lời giải
Chọn

B.

Đặt t = 2x , t > 0 , phương trình trở thành t 2 − 2mt + 2m = 0
Pt có 2 nghiệm x 1, x 2 khi ∆′ > 0 ⇔ m 2 − 2m > 0 ⇔ m ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞)

x +x 2

P = S = 2m , P = 2m = t1t2 = 2 1
Câu 8.

= 23 = 8 ⇔ m = 4 .

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực

(

)

x

(

m

để phương trình

)

x

log2 5 − 1 .log 4 2.5 − 2 = m có nghiệm x ≥ 1.

1

A.  ; + ∞ .

2



 1

B. − ; + ∞ .
 4



)

C. 1; + ∞ .



)

D.  3; + ∞ .



Lời giải
Chọn

D.

Ta có:

(

)

(

)

log2 5x − 1 .log 4 2.5x − 2 = m

(1)

1
⇔ log2 5x − 1 . log2  5x − 1 2 = m


2
1
⇔ log2 5x − 1  log2 5x − 1 + 1 = m


2

(

)

(

(

(

)

)
)

1
1
1
t (t + 1) = m ⇔ t 2 + t = m
2
2
2
PT (1)có nghiệm x ≥ 1 khi và chỉ khi PT(2) có nghiệm t ≥ 2

(

)

Đặt t = log2 5x − 1 , PTTT:

Xét hàm số f (t ) =

(2)

1 2 1
1
t + t f ' (t ) = t +
2

2
2

Trang 4


x
y

1
2

∞
'

-

0

2

+∞

+

y

3

1

8

Dựa vào BBT, PT(2) có nghiệm t ≥ 2 khi và chỉ khi m ≥ 3 .
Câu 9.

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực
2

(m − 1) log (x − 2)
2
1
2

+ 4 (m − 5) log 1
2

m

để phương trình

1
+ 4m − 4 = 0 có nghiệm thực trong đoạn
x −2

5 
 ; 4 :
4 


A. m < −3 .

7
.
3

C. m >

B. −3 ≤ m ≤

7
.
3

D. −3 < m <

7
.
3

Lời giải.
Chọn

B.

Điều kiện: x > 2 .

1

2

(m − 1) log (x − 2) + 4 (m − 5) log x − 2 + 4m − 4 = 0
⇔ 4 (m − 1) log (x − 2) + 4 (m − 5) log (x − 2) + 4m − 4 = 0 (*)
Đặt log (x − 2) = t .
2
1
2

1
2

2
2

2

2

5 
x ∈  ; 4 ⇒ 0 ≤ x − 2 ≤ 2 (Kết hợp với điều kiện). Vậy t ≤ 1 .
4 


Phương trình (*) có dạng: ⇔ 4 (m − 1)t 2 + 4 (m − 5)t + 4m − 4 = 0 (* *)
Ta cần tìm m sao cho PT (**) có nghiệm thỏa mãn t ≤ 1 .

⇔ (m − 1)t 2 + (m − 5)t + m − 1 = 0
⇔m=

t 2 + 5t + 1
.

t2 + t + 1

Đặt f (t ) =

t 2 + 5t + 1
−4t 2 + 4
′
;
.
f
t
=
() 2
2
t2 + t + 1
t +t +1

(

)

Lập bảng biến thiên ta có

Vậy −3 ≤ m ≤

7
thì phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3
Trang 5

Câu 10. Tìm

tất

(

4 log 2 x

cả
2

)

các

giá

trị

thực

của

tham

số

m

để

bất

phương

trình

+ log 2 x + m ≥ 0 nghiệm đúng mọi giá trị x ∈ (1; 64 ).

A. m < 0.

B. m ≤ 0.

C. m ≥ 0.

D. m > 0.

Lời giải.
Chọn

D.

Điều kiện: x > 0 .

(

4 log 2 x

2

)

+ log 2 x + m ≥ 0 ⇔ log22 x + log2 x + m ≥ 0 (*) .

Đặt log2 x = t ⇒ 1 < x < 64 ⇔ 0 < log2 x < 6 ⇔ 0 < t < 6 .
Phương (*) có dạng: t 2 + t + m ≥ 0 .
Vậy ta tìm m để t 2 + t + m ≥ 0 có nghiệm với 0 < t < 6 .
Xét hàm f (t ) = t 2 + t .

f ′ (t ) = 2t + 1 .
Lập bảng biến thiên ta có

Vậy PT t 2 + t + m ≥ 0 có nghiệm với 0 < t < 6 ⇔ −m < 0 ⇔ m > 0 .

Câu 11. Tìm giá trị của tham số m để phương trình log22 x + log22 x + 1 − 2m − 5 = 0 có nghiệm
trên đoạn 1;2 3  .


A. m ∈ (−∞; −2 ∪  0; +∞ ) .
 
C. m ∈ (−∞; 0) .

B. −2; +∞ ) .


D. m ∈ −2; 0 .


Lời giải

Chọn

D.

log22 x + log22 x + 1 − 2m − 5 = 0 ⇔ log22 x + log 22 x + 1 = 2m + 5 .
Xét f (x ) = log 22 x + log22 x + 1 , x ∈ 1;2 3  .



Trang 6


2 log2 x


2 log2 x 
1
 .
x
.ln
2
+
=
f ′ (x ) =

1 +
2
2
x .ln 2

x
.ln
2
2 log2 x + 1
2 log2 x + 1 

2 log2 x

f ′ (x ) = 0 ⇔ x = 1 (Tm).
f ′ (x ) không xác định tại x = 0 (loại ).
BBT

Vậy phương trình có nghiệm khi: 1 ≤ 2m + 5 ≤ 5 ⇔ −2 ≤ m ≤ 0 .
Câu 12. Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình 3x + 3 = m. 9x + 1 (1)có đúng 1 nghiệm.

(

A. (1, 3


B. 3; 10

)

C.

{ 10 }

D. (1; 3) ∪

{ 10 }

Lời giải
x

Phương trình (1) tương đương:

3 +3
x

= m đặt t = 3x ( t > 0 )

9 +1

t +3

Phương trình (1) trở thành:

t2 + 1

=m

Lập bảng biến thiên của hàm số y =
Ta có: y ' =

1 − 3t
2

2

=0↔t =

(t + 1) t + 1

t +3
t2 + 1

với( t > 0 )

1
3

Dựa vào đồ thì ta có: m ∈ (1, 3

0

3
1
1

Đáp án A
Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2 log2 x + log2 x + 3 = m có ba
nghiệm thực phân biệt.

Trang 7


A. m ∈ (0;2) .

B. m ∈ {0;2} .

C. m ∈ (−∞;2) .

D. m ∈ {2} .

Giải:
Đáp án

C.
x ≠ −3
Điều kiện: 

x ≠ 0


2 log2 x + log2 x + 3 = m ⇔ log2 x 2 x + 3 = m ⇔ x 2 x + 3 = 2m
Xét hàm số: y = x 2 x + 3 với x ∈ ℝ \ {−3; 0}

3x 2 + 6x x > −3
⇒ y ' = 
2
−3x − 6x x < −3
–∞

x
y'

Bảng biến

-3

–

Thiên

0

0

+

3

0

+∞

–

0

+∞
+

4

+∞

y
0

0

 m
2 = 0 ⇔ m > 2
Từ bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm khi:  m
2 > 4

x

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m + e 2 = 4 e 2x + 1 có nghiệm
thựC.
A. 0 < m ≤

2
.
e

B.

1
≤ m < 1.
e

C. 0 < m < 1 .

D. −1 < m < 0 .

Giải
Chọn C
Biến đổi phương trình về dạng m =

4

2

(e )
x

+ 1 − e x . Đặt t = e x ;(t > 0) ta xét hàm số

y = 4 t 2 + 1 − t trên (0; +∞) .

t

y' =

(

2

3

)

2. t + 1
4

−

1

2 t

(

=

(

2

3

)

2. t . t + 1
4

3

)

t3 − 4 t2 + 1

4

=

3

(t )

2

(

(

2

3

< 0 (∀t > 0)

)

2. t . t + 1
4

3

)

− 4 t2 + 1

Bảng biến thiên

Vậy điều kiện cần tìm là 0 < m < 1

Trang 8

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 log24 x − 2 log2 x + 3 − m = 0

1 
có nghiệm thuộc đoạn  ; 4  .
2 


A. m ∈ 2; 3 .
 

 11 
C. m ∈  ;15 .
4




B. m ∈ 2; 6 .
 

 11 
D. m ∈  ;9 .
4 



Giải
Chọn B
2

Biến đổi phương trình về dạng (log2 x ) − 2 log2 x + 3 = m

1
≤ x ≤ 4 thì −1 ≤ log2 x ≤ 2 . Ta tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x 2 − 2x + 3
2
trên −1;2


y = 2x − 2; y ' = 0 ⇔ x = 1
Với

y(1) = 2; y(−1) = 6; y(2) = 3
Vậy GTLN của hàm số y = x 2 − 2x + 3 trên −1;2 bằng 6


2
GTNN của hàm số y = x − 2x + 3 trên −1;2 bằng 2


Suy ra 2 ≤ m ≤ 6

ln2 x − m ln x + m + 4 ≤ 0

Câu 16. Hệ bất phương trình  x − 3
có nghiệm khi

>0
2
 x
A. m < −3 hoặc m ≥ 6 .

C. m < −3 .

B. m ≤ −3 .

D. m ≥ 6 .
Lời giải

Chọn

D.

Ta có

x −3
>0⇔x >3
x2
ln2 x − m ln x + m + 3 ≤ 0 ⇔ m (ln x − 1) ≤ ln2 x + 3
ln2 x + 3
ln x − 1
Đặt t = ln x ; t ≥ ln 3
m≤

Ta xét hàm số f (t ) =

t2 + 3
t −1

t2 + 3
4
= t +1+

t −1
t −1
t = 3
4
4

′
;
f
t
0
1
0
⇒ f ′ (t ) = 1 −
=
⇔
−
=
⇔
()
t = −1
2
2

(t − 1)
(t − 1)
f (t ) =

Trang 9

Vậy hệ có nghiệm khi m ≥ 6 .
Câu 17. Cho phương trình 91+

1−x 2

− (m + 2).31+

1−x 2

+ 2m + 1 = 0 . Tìm tất cả các giá trị m để

phương trình có nghiệm.

64
7
Hướng dẫn giải
Chọn
A.

B. 4 ≤ m ≤ 8

A. 4 ≤ m ≤

1−x 2

Đặt t = 31+

C. 3 ≤ m ≤

64
7

D. m ≥

→ t ∈  3;9

Phương trình có dạng t 2 − (m + 2)t + 2m + 1 = 0 ↔ m =
Xét hàm số f (t ) =
Ta có: f ′(t ) =

64
7

t 2 − 2t + 1
(do t ∈ 3; 9 ).
 
t −2

t 2 − 2t + 1
trên t ∈ 3; 9
 
t −2

t 2 − 4t + 3
2

(t − 2)

> 0, ∀t ∈  3;9 , nên hàm số đồng biến trên 3; 9 . Vậy để phương

 

trình có nghiệm thì min f (t ) ≤ m ≤ max f (t ) ↔ f (3) ≤ m ≤ f (9) ↔ 4 ≤ m ≤
3;9
 

Câu 18. Số

giá

trị

(

2

nguyên

)

3;9
 

của

(

tham

số

m

sao

cho

bất

64
.
7

phương

)

2

trình

log 5 + log x + 1 ≥ log mx + 4x + m nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực ℝ là
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn

C.

Điều kiện xác định:


m > 0
m > 0
mx 2 + 4x + m > 0 ∀x ∈ ℝ ⇔ 
⇔ m > 2 ⇔ m > 2.
16 − 4m 2 < 0


m < −2


(

)

(

)

(

)

(

log 5 + log x 2 + 1 ≥ log mx 2 + 4x + m ⇔ log 5 x 2 + 1 ≥ log mx 2 + 4x + m

(

) (

)

)

⇔ 5 x 2 + 1 ≥ mx 2 + 4x + m ⇔ (5 − m ) x 2 − 4x + 5 − m ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

Trang 10




m < 5
5 − m > 0
m < 5
m < 5

−2 ≤ 5 − m ⇔ m ≤ 7 ⇔ 3 ≤ m < 5.
⇔ 
⇔
⇔




16 − 4 5 − m 2 ≥ 0
4 ≥ 5 − m 2


(
)
(
)


5 − m ≤ 2
m ≥ 3

Có 2 giá trị nguyên thỏa mãn m ∈ {3; 4} .
Câu 19. Tìm

tất

cả

các

giá

trị

của

tham

số

m

để

phương

trình

f (x ) < 10 ⇔ x − 1 + (x 2 − 3)log2 5 < 1 + log2 5. có đúng một nghiệm.
A.

1
4

C. m =

1
.
4

B. m = 4 .
D. 0 < m <

1
hoặc m > 4 .
4

Lời giải

Chọn

D.

Điều kiện: m > 0.
Ta có: x 3 − 3x − log2 m = 0 ⇔ x 3 − 3x = log2 m

(*).

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x với đường
thẳng y = log2 m .
Ta có y ' = 3x 2 − 3; y '' = 6x .

x = 1(y = −2)
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔ 
.
x = −1(y = 2)
Bảng biến thiên


 log m > 2
m > 4
2

.
Từ bảng biến thiên, ta thấy (*) có đúng một nghiệm ⇔ 
⇔
0 < m < 1

 log2 m < −2

4
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 9x − 2.3x + 3 − m > 0 được
nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ .
A. m < 2 .

B. m < 3 .

C. 2 < m < 3 .

D. m > 2 .

Lời giải
Chọn

A.

Đặt 3 = t, (t > 0). Bất phương trình trở thành t 2 − 2t + 3 − m > 0 ⇔ m < t 2 − 2t + 3.
x

Trang 11


Xét hàm số f (t ) = t 2 − 2t + 3 trên khoảng (0; +∞).
Có f ′ (t ) = 2t − 2 = 0 ⇔ t = 1 . Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy m < 2 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

3

Câu 21. Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình log22 x − (m − 1) log2 x + 4 − m = 0
có hai nghiệm phân biệt thuộc 1; 4 là
 
B. 3 ≤ m ≤

A. 3 < m ≤ 4 .

10
.
3

C.

10
3

D. 3 < m ≤

10
.
3

Lời giải
Chọn

D.

Đặt t = log2 x . Vì x ∈ 1; 4 nên t ∈  0;2 .
 

 
Phương trình trở thành t 2 − (m − 1)t + 4 − m = 0 ⇔ m =
Xét hàm số f (t ) =
Ta có f ′ (t ) =

t2 + t + 4
.
t +1

t2 + t + 4
trên đoạn  0;2 .
 
t +1

t 2 + 2t − 3
2

(t + 1)

t = 1
.
= 0 ⇔ t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ 
t = −3


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn
1; 4 thì
 

3
10
.
3

Câu 22. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 5

x +2 −x

− 5m = 0 có nghiệm

thực.

Trang 12


(

)

A. 0;5 4 5  .


B. 5 4 5; +∞ .


D. 0;5 4 5  .




C. (0;+∞) .
Lời giải

Chọn

A.

Điều kiện m > 0 .

5

x +2 −x

− 5m = 0 ⇒ x + 2 − x = 1 + log5 m

(1) (x ≥ −2) .

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x + 2 − x

(x ≥ −2) với đường

thẳng y = 1 + log5 m.
Xét hàm số y = x + 2 − x
Ta có y ′ =

(x ≥ −2) .

1

7
− 1; y ′ = 0 ⇒ x = − .
4
2 x +2

Bảng biến thiên
||

Để phương trình ban đầu có nghiệm thực thì 1 + log5 m ≤

9
⇒ 0 < m ≤ 5 4 5.
4

Câu 23. Tìm các giá trị của m để phương trình 4x − 2x +2 + m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt?
A. m > 0 .

B. 0 < m < 4 .

C. m < 4 .

D. m ≥ 0 .

Lời giải
Chọn

B.

Đặt t = 2x , phương trình đã cho trở thành t 2 − 4t + m = 0 (2) .

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai

4 − m > 0

nghiệm phân biệt dương, hay 
⇔ 0 m > 0

Câu 24. Với giá trị nào của m thì phương trình 4x − m 2x +1 + 2m = 0 có hai nghiệm x 1, x 2 thỏa

x1 + x 2 = 3 ?
A. m = 1 .

B. m = 4 .

C. m = 2 .

D. m = 3 .

Lời Giải
Chọn

B.

Đặt t = 2x > 0

Trang 13


Ta có t 2 − 2mt + 2m = 0 .

m < 0
.
PT có 2 nghiệm phân biệt khi: m 2 − 2m > 0 ⇔ 
m > 2
x

x

x 1 + x 2 = 3 ⇔ 2 1.2 2 = 8 ⇔ t1.t2 = 8 ⇔ 2m = 8 ⇔ m = 4.
Câu 25. Xác định tham số m để phương trình: 9x + 2m.3x + m + 2 = 0 có nghiệm là:
A. −2 < m ≤ 1 .

B. m ≤ −1 .

C. −2 < m ≤ −1 .

D. m ≥ 1 .

Lời giải:
Chọn

B.
x

Đặt t = 3 , t > 0 thì phương trình trở thành:

t2 + 2
t2 + 2
= −m, (t > 0) . Xét hàm số f (t ) =

trên (0;+∞) có:
2t + 1
2t + 1

2t 2 + 2t − 4
t = 1
′
f ′ (t ) =
f
t
,
0
=
⇔
(
)

2
t = −2
(2t + 1)

t 2 + 2m.t + m + 2 = 0 ⇔

0

1
0

2
1

Từ bảng biến thiên chọn đáp án B.
PP trắc nghiệm: Dùng giá trị m đặc biệt thay vào thử đáp án.
Câu 26. Tìm m để phương trình log23 x − log 3 x 2 + 3 − m = 0 có nghiệm x ∈ 1;27  .


A. 2 < m < 6 .

B. 3 ≤ m ≤ 6 .

C. 2 ≤ m ≤ 3 .

D. 2 ≤ m ≤ 6 .

Lời giải:
Chọn

D.

Điều kiện: x > 0 .

log23 x − log 3 x 2 + 3 − m = 0 ⇔ log23 x − 2 log 3 x + 3 = m . Đặt u = log3 x .
Khi 1 ≤ x ≤ 27 ⇒ 0 ≤ u ≤ 3
2

Xét f (u ) = u 2 − 2u + 3 = (u − 1) + 2 trên 1; 3 ta có max f (u ) = 6, min f (u ) = 2 suy ra
 
1;3
1;3
 
 

đáp án

D.

PP trắc nghiệm: Dùng máy tính thử bằng tính năng table.
Câu 27. Tìm m để phương trình log22 x − log2 x 2 + 3 = m có nghiệm x ∈ 1; 8  .


A. 2 ≤ m ≤ 6 .

B. 2 ≤ m ≤ 3 .

C. 3 ≤ m ≤ 6 .

D. 6 ≤ m ≤ 9 .

Lời giải
Chọn

A.

Điều kiện: x ∈ 1; 8  .



Trang 14


Ta có: log22 x − log2 x 2 + 3 = m ⇔ log22 x − 2 log2 x + 3 = m
Đặt log2 x = t , t ∈ 0; 3 . Phương trình trở thành: t 2 − 2t + 3 = m



2
Xét hàm số f (t ) = t − 2t + 3 , với t ∈ 0; 3 .



f ′ (t ) = 2t − 2 , f ′ (t ) = 0 ⇔ 2t − 2 = 0 ⇔ t = 1 .
Bảng biến thiên:

Để phương trình log22 x − log2 x 2 + 3 = m có nghiệm x ∈ 1; 8 thì phương trình:


2


t − 2t + 3 = m có nghiệm t ∈  0; 3 . Do đó đồ thị hàm số y = f (t ) phải cắt đường thẳng

y =m.
Từ bảng biến thiên ta thấy 2 ≤ m ≤ 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 28. Cho phương trình 7 2x − (m + 1) .7x + m = 0 . Tìm m để phương trình có duy nhất một
nghiệm.
A. m > 0

B. m < 0

C. −2 ≤ m ≤ 0

D. m ≤ 0

Lời giải
Chọn A
Đặt t = 7x > 0 thì t là hàm đồng biến trên (0;+∞) nên tương ứng với mỗi x có một giá trị
t tương ứng.
Phương trình trở thành:


t2 + t
2

+
t
t
=
∀t > 0
y

∀t > 0 ⇔ 
t 2 − (m + 1).t + m = 0 ⇔ m =
−
t
1

1−t
y = m

−t 2 + 2t + 1
t2 + t
t = 1 − 2 < 0(L)
Xét hàm số y =

=
⇔
∀t > 0 có y ' =
0

2
1−t
t = 1 + 2
(1 − t )

Từ bảng biến thiên ta có m > 0 → Đáp án A.
2

Câu 29. Số các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 3cos

x

2

+ 2sin

x

≥ m.3sin

có nghiệm là
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải:

Trang 15

2

x


Chọn C
- Chia cả hai vế cho 3sin

2

x

> 0 ta được:

3t 2 − t + 1 ≥ m
2





1

1
≥ m ⇔ 3  2  −  2  + 1 ≥ m ⇔ 
3cos x −sin x
(*)
1
 3sin x   3sin x 
t = sin2 x
3



1
1
1
≤ 1 ⇒ t ∈  ; 1
DK : 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ⇔ ≤
.
2
3 
3 3sin x


y = max
(*) ⇒ m ≤ max
3t 2 − t + 1 ⇒ m ≤ y (1) = 3




sin2 x

2

2
+  
 3 

2

 1 ; 1
3 



 1 ; 1
3 



{

(

)

}

m ∈ ℤ+ ⇒ m = 1; 2; 3

- Chú ý : ở đây chúng ta sử dụng phương pháp hàm số ; phân biệt bpt có nghiệm và bpt

có nghiệm với mọi x.
Câu 30. Tìm m để phương trình log22 x − log2 x 2 + 3 = m có nghiệm x ∈ 1; 8
 
A. 2 ≤ m ≤ 6 .

B. 2 ≤ m ≤ 3 .

C. 3 ≤ m ≤ 6 .

D. 6 ≤ m ≤ 9 .

Lời giải
Chọn

D.

log22 x − log2 x 2 + 3 = m ⇔ log22 x − 2 log2 x + 3 = m
Đặt log2 x = t (0 ≤ t ≤ 3)

t 2 − 2t + 3 = m với (0 ≤ t ≤ 3)
Xét f (t ) = t 2 − 2t + 3

f ′ (t ) = 2t − 2 , f ′ (t ) = 0 ⇔ t = 1
Bảng biến thiên

Dựa và BBT suy ra 2 ≤ m ≤ 6 .
Câu 31. Với giá trị nào của tham số m, phương trình 4x +1 − 2x +2 + m = 0 (1) có hai nghiệm phân
biệt?
A. m ≤ 0.

B. m < 1.

C. 0 < m < 1.

D. m ≥ 1.

Lời giải
Chọn

C.
x

Đặt t = 2

(t > 0) . Ta được phương trình : 4t

2

− 4t + m = 0 (2)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Trang 16



4 − 4m > 0


∆ ' > 0

 −4
⇔ S > 0 ⇔ −
> 0 ⇔ 0 < m < 1.

 4
P > 0
m

 > 0
 4
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log22 x + 2 log2 x − m = 0 có
nghiệm x > 2.
A. m < −1.

B. m ≥ 3.

C. m < 3.

D. m > 3.

Lời giải
Chọn

D.

2

log2 x + 2 log2 x − m = 0 (1).
Đặt t = log2 x , phương trình (1) trở thành: t 2 + 2t − m = 0 ⇔ t 2 + 2t = m (2).
Phương trình (1) có nghiệm x > 2 ⇔ phương trình (2) có nghiệm

(

)

t > 1 do t = log2 x > log2 2 = 1 .
Xét hàm số y = t 2 + 2t ⇒ y ' = 2t + 2, y ' = 0 ⇔ t = −1 ( loại).
Bảng biến thiên

x

+∞

1

y′

+
+∞

y
3
Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm t > 1 ⇔ m > 3.
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 49x − 2m 7x + m + 2 = 0 có 2 nghiệm
phân biệt
A. m < −1 .

B. −1 < m < 2 .

C. m > 2 .

D. m ∈ ∅ .

Lời giải
Chọn

C.

Đặt 7 x = t (t > 0) phương trình trở thành: t 2 − 2mt + m + 2 = 0 .
Để phương trình đầu có 2 nghiệm thì t 2 − 2mt + m + 2 = 0 có hai nghiệm dương do đó


 2
∆m′ > 0
m − m − 2 > 0

⇔ m > 2.
điều kiện cần và đủ là: 
P > 0 ⇔ m + 2 > 0


S > 0
m > 0


Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình log2 (−x 2 − 3x − m + 10) = 3 có 2
nghiệm thực phân biệt trái dấu.

Trang 17

A. m < 4 .

B. m > 2 .

C. m < 2 .

D. m > 4 .

Lời giải
Chọn

C.

−x 2 − 3x − m + 10 > 0
log2 (−x 2 − 3x − m + 10) = 3 ⇔  2
−x − 3x − m + 2 = 0

Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt trái dấu

⇔ m − 2 < 0 ⇔ m < 2.
Câu 35. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log2 x − log x 2 + 2 − m = 0 có

3

nghiệm x ∈ 1;9 .
 
A. 0 ≤ m ≤ 1 .

B. 1 ≤ m ≤ 2 .

C. m ≤ 1 .

3

D. m ≥ 2 .

Lời giải
Chọn

B.

Đặt: t = log 3 x . Vì x ∈ 1;9 nên t ∈ 0;2
 
 

pt ⇔ t 2 − 2t + 2 − m = 0 ⇔ t 2 − 2t + 2 = m
Đặt h (t ) = t 2 − 2t + 2 với t ∈ 0;2
 

h ' (t ) = 2t − 2 , h ' (t ) = 0 ⇔ t = 1

h (1) = 1 , h (0) = h (2) = 2
⇒ max h (t ) = 2 , min h (t ) = 1
[0,2]

[0,2]

Pt có nghiệm ⇔ 1 ≤ m ≤ 2.
Câu 36. Tìm m để phương trình x 4 − 6x 2 − log2 m = 0 có 4 nghiệm phân biệt trong đó 3 nghiệm

lớn hơn -1.
A.

1
< m < 1.
25

Chọn

B.

1
< m < 1.
29

1
≤ m < 1.
29
Lời giải
C.

D.

1
≤ m < 1.
25

A.
2

Đặt x = t ( t > 0)
Khi đó pt x 4 − 6x 2 − log2 m = 0 (1) trở thành t 2 − 6t − log2 m = 0 (2)
Để pt (1) có bốn nghiệm phân biệt trong đó có ba nghiệm lớn hơn -1 thì pt ( 2) phải có hai
nghiệm

dương phân biệt trong đó có một nghiệm nhỏ hơn 1 (t1 < 1 < t2 )


m > 1
9 + log m > 0


2
29

1
− log m > 0

⇔ m < 1 ⇔ 5 < m < 1

2
Tức là: 

2
−5 − log m < 0
1

2
m >



25
.

Trang 18


Câu 37. Tìm m để phương trình 9x +
A. m ≥ 30 .

54
+ 3 = m có nghiệm.
3x

B. m ≥ 27 .

C. m ≥ 18 .

D. m < 9 .

Lời giải
Chọn

A.

Xét hàm số f (x ) = 9x +

54
+ 3. Khi đó, số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ
3x

54
+ 3 và đường thẳng y = m .
3x

54 ln 3
27 
= 2 ln 3 9x − x .
Ta có f ′ (x ) = 9x ln 9 −
x

3
3 
thị hàm số f (x ) = 9x +

Rõ ràng f ′ (x ) = 0 ⇔ x = 1.
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra m ≥ 30. thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 38. Cho phương trình 91+

1−x 2

− (m + 2).31+

1−x 2

+ 2m + 1 = 0 . Tìm tất cả các giá trị m để

phương trình có nghiệm.

A. 4 ≤ m ≤

64
.
7

B. 4 ≤ m ≤ 8 .

C. 3 ≤ m ≤

64
.
7

D. m ≥

64
.
7

Lời giải
Chọn

A.

Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1.
Xét g (x ) = 31+

1−x 2

Khi đó: g ' (x ) = 31+

với −1 ≤ x ≤ 1.
1−x 2

.ln 3.

−2x
1− x2

. Suy ra g ' (x ) = 0 ⇔ x = 0.

Từ bảng biến thiên của g (x ).

Trang 19


Đặt t = 31+

1−x 2

Suy ra ∀x ∈ −1;1 ⇒ t ∈ 3; 9 .


 

Phương trình đã cho trở thành t 2 − (m + 2)t + 2m + 1 = 0
Ta có, (1) ⇔ m =

(1) , t ∈ 3; 9 .

t 2 − 2t + 1
, t ∈ 3;9 .
t −2

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y = m và đồ thị hàm số

f (t ) =

t 2 − 2t + 1
, t ∈  3;9 có điểm chung.
t −2

Xét hàm số f (t ) =

t 2 − 4t + 3
t 2 − 2t + 1
.
, t ∈  3;9 : f ' (t ) =
2
t −2
(t − 2)

Từ bảng biến thiên của f (x ). Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 4 ≤ m ≤

64
.
7

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 32x −1 + 2m 2 − m − 3 = 0 có nghiệm.

A. m ∈ (0; l ) .

 1







B. m ∈ − ; 0 .
 2 


3
C. m ∈ −1;  .


2 

D. m ∈ (0; +∞) .

Lời giải
Chọn

C.

Phương trình 32x −1 + 2m 2 − m − 3 = 0 ⇔ 32x −1 = −2m 2 + m + 3 có nghiệm khi

−2m 2 + m + 3 > 0


3
⇔ m ∈ −1;  .
2 

Câu 40. Giá trị của m để phương trình 9x + 3x + m = 0 có nghiệm là:
A. m > 0 .

B. m < 0 .

C. m > 1 .

D. 0 < m < 1 .

Lời giải
Chọn

B.
2

( )

Ta có: 9x + 3x + m = 0 ⇔ 3x

+ 3x + m = 0 ⇔ t 2 + t + m = 0 (1) với t = 3x (t > 0) .

Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm dương

Trang 20



∆ = 1 − 4m ≥ 0


m ≤ 1

⇔
⇔ 
4 ⇔ m < 0 .(vì tổng hai nghiệm

m < 0

−b + ∆ = −1 + 1 − 4m > 0
 2a
2

t1 + t2 = −1 < 0 nên không xảy ra trường hợp có hai nghiệm dương)
Câu 41. Tìm m để phương trình log22 x − log2 x 2 + 3 = m có nghiệm x ∈ 1; 8 .
 
A. 3 ≤ m ≤ 6. .

B. 6 ≤ m ≤ 9. .

C. 2 ≤ m ≤ 6. .

D. 2 ≤ m ≤ 3. .

Lời giải

Chọn

C.

Điều kiện x > 0

log22 x − log2 x 2 + 3 = m ⇔ log22 x − 2 log2 x + 3 = m
Đặt t = log2 x
Phương trình trở thành t 2 − 2t + 3 = m

(1)

Phương trình đã cho có nghiệm x ∈ 1; 8 ⇔ phương trình (1) có nghiệm x ∈  0; 3 .
 
 
Đặt g (t ) = t 2 − 2t + 3

g ′ (t ) = 2t − 2. g ′ (t ) = 0 ⇔ 2t − 2 = 0 ⇔ t = 1
BBT

Từ BBT ta suy ra để phương trình đã có nghiệm x ∈ 1; 8 thì 2 ≤ m ≤ 6 .
 
Câu 42. Tìm m để phương trình
A. m ≥ 2.

(

x

) (

2 −1 +

x

)

2 + 1 − m = 0 có nghiệm.

B. m > 0.

C. m ≤ −2.

D. m < 0.

Lờigiải
Chọn
TA có
Đặt

(

A.

(

x

) (

2 −1 .
x

)

x

2 +1 = 


) (

2 − 1 = t (t > 0) ⇒

(

)(

2 −1 .

x


2 + 1  = 1.


)

x
1

2 +1 = .
t

)

Trang 21


1
t

(1)

PT ⇔ t + − m = 0. ⇔ t 2 − mt + 1 = 0

Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m 2 − 4 ≥ 0 ⇔ m ∈ (−∞; −2 ∩ 2; +∞)
 
Mà ta có t > 0 ⇒ t +

⇒ m ∈ 2; m ) .
Câu 43. Tìm tất cả

các

1
>0
t
giá

x x + x + 12 ≤ m.log5−

A. m > 2 3 .

trị

thực

của

tham

số

m

để

bất

phương

trình

3 có nghiệm.

4−x

B. m ≥ 2 3 .

C. m ≥ 12 log3 5 .

D. 2 ≤ m ≤ 12 log3 5 .

Lờigiải
Chọn

C.
Ta có x x + x + 12 ≤ m.log5−

(

) log

⇔ x x + x + 12 .

(

(

1
5− 4−x

) (
g (x ) = (x x +
Đặt

)

3

4−x

3

≤m

)

⇔ x x + x + 12 log 3 5 − 4 − x ≤ m

)

(

)

x + 12 .log 3 5 − 4 − x .

Yêu cầu bài toán trở thành m ≥ Max g (x )
Điều kiện
x ≥ 0

x + 12 ≥ 0
x ≥ 0


5 − 4 − x > 0 ⇔ x > −21 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4.



x ≠ −12

5 − 4 − x ≠ 1


x ≤ 4


4 − x ≥ 0


1
3

1
2 4−x
 .log 5 − 4 − x + x x + x + 12
g ' (x ) =  x +
3

 2
2 x + 12 
5 − 4 − x .ln 3

(

) (

)

(

)

3
1
1

⇒ g ' (x ) =  x +
 .log 3 5 − 4 − x + x x + x + 12 .
 2
2 x + 12 
2 4 − x . 5 − 4 − x .ln 3

(

) (

)

(

⇒ g ' (x ) > 0 ∀x ∈  0; 4
⇒ g (x ) đồng biến trên  0; 4 .

Trang 22

)


(

)

(

)

⇒ GTLN
g (x ) = g (4) = 4 4 + 4 + 12 . log 3 5 − 4 − 4 .
 
x ∈0;4

⇒ GTLN
g (x ) = 12 log 3 5.
 
x ∈0;4

⇒ m ≥ 12 log 3 5.

Trang 23