Bài tập nâng cao Đại số Tập 1 Toán 7

Tôn Nữ Bích Vân –Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
BÀI TẬP NÂNG CAO ĐẠI SỐ 7 TẬP I
1. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có giá trị dương.
a) A = x
2
+ 4x ;
b) B = (x - 3) (x + 7) ;
c) C =






−
x
2
1






−
x
3
1
2. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có giá trị âm:
a) D = x
2

-
5
2
x ;
b) E =
6 -x
2 -x
;
c) F =
2
2
x
1 - x
3. Chứng minh rằng không tồn tại hai số hữu tỉ x và y trái dấu, không đối
nhau thoả mãn đẳng thức:
y x
1
+
=
x
1
+
y
1
4. Tìm hai số hữu tỉ x và y (y ≠ 0) biết rằng:
x - y = xy = x : y
5. Cho 100 số hữu tỉ trong đó tích của bất kỳ ba số nào cũng là một số
âm. Chứng minh rằng:
a) Tích của 100 số đó là một số dương.
b) Tất cả 100 số đó đều là số âm.

6. Tìm x, y biết rằng: x +
2
12
31






−
=
2
12
49






−
- x = y
2
7. Tìm x biết:
a) 5
x
. (5
3
)

2
= 625
b)
2
25
12






=
2
3
5
−






-
4
5
3







−

c)
1x3
4
3
−






=
81
256
8. Tìm x biết:
1
Tôn Nữ Bích Vân –Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
a) (5x + 1)
2
=
49
36
b)
3
9

2
x






−
=
6
3
2







c) (8x - 1)
2n+1
= 5
2n+ 1
(n ∈ N)
9. Tìm x, y biết:
a) x
2
+
4

10
1
y






−
= 0
b)
20
5x
2
1






−
+
10
2
4
1
y







−
≤ 0
10. Tìm x ∈ Z biết: (x - 7)
x+1
- (x - 7)
x + 11
= 0
11. a) Tìm GTNN của biểu thức A =
4
3
1
x2






+
- 1
b) Tìm GTLN của biểu thức B =
6
15
2
x

9
4






−−
+ 3
12. Cho x + y = 2. Chứng minh rằng xy ≤ 1
13. Cho
5 - a
5 a
+
=
6 - b
6 b
+
(a ≠ 5; b ≠ 6). Chứng minh rằng
b
a
=
6
5
14. Chứng minh rằng nếu
b
a
=
d

c
thì
22
22
d c
b a
+
+
=
cd
ab
15. Tìm các số x, y, z biết:
a)
4
x
=
3
y
=
9
z
và x - 3y + 4z = 62;
b)
y
x
=
7
9
;
z

y
=
3
7
và x - y + z = -15
c)
y
x
=
20
7
;
z
y
=
8
5
và 2x + 5y - 2z = 100
16. Ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi chuyển đi
5
1
số thóc ở kho I,
6
1
số thóc ở kho II và
11
1
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại ở ba kho
bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc ?
17. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích là 300m

2
, hai cạnh tỉ lệ với
4 và 3. Tính chiều dài, chiều rộng khu vườn.
2
Tôn Nữ Bích Vân –Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
18. Tìm x, y, z biết:
12
x
=
9
y
=
5
z
và xyz = 20
19. Tìm x, y, z biết:
5
x
=
7
y
=
3
z
và x
2
+ y
2
- z
2

= 585
20. Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng là
196
3
, các tử tỉ lệ với 3
và 5; các mẫu tương ứng tỉ lệ với 4 và 7.
21. Tìm x, y, z biết
7
15y -12x
=
9
12x - 20z
=
11
20z -15y
và x + y + z = 48
22. Cho dãy tỉ số bằng nhau:
c
d c b 2a
+++
=
b
d c 2b a
+++
=
c
d 2c b a
+++
=
d

2d c b a
+++
Tìm giá trị của biểu thức M, biết M =
d c
b a
+
+
+
ad
c b
+
+
+
ba
dc
+
+
+
cb
ad
+
+
23. Cho
b
a
=
d
c
≠ ± 1 và c ≠ 0. Chứng minh rằng:
a)

2
d c
b a






−
−
=
cd
ab
b)
3
d c
b a






+
+
=
33
33
d - c

b - a
24. Cho b
2
= ac ; c
2
= bd. Với b, c, d ≠ 0 ; b + c ≠ d ; b
3
+ c
3
≠ d
3
Chứng minh rằng:
333
333
d - c b
c - b a
+
+
=
3
d-c b
c-b a






+
+

25. Cho b
2
= ac Chứng minh rằng
22
22
c b
b a
+
+
=
c
a
26. Cho
22
22
d c
b a
+
+
=
cd
ab
với a, b, c, d ≠ 0; c ≠ ± d. Chứng minh rằng hoặc
b
a
=
d
c
hoặc

b
a
=
c
d
27. Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh:
a)
26
+
17
với 9 b)
8
-
5
với 1 ;
c)
27-63
với
63
-
27
28. Hãy so sánh A với B biết: A =
225
-
5
1
- 1 ; B =
196
-
6

1
29. Cho P =
2
1
+
x
; Q = 7 - 2
1 -x
. Hãy tìm:
3
Tôn Nữ Bích Vân –Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
a) GTNN của P b) GTLN của Q
30. Cho M =
2
1 -x
Tìm x ∈ Z và x < 50 để cho M có giá trị nguyên.
31. Cho N =
5x
9
−
Tìm x ∈ Z để N có giá trị nguyên.
32. Xét xem các số x và y có thể là số vô tỉ không nếu biết:
a) x + y và x - y đều là số hữu tỉ.
b) x + y và
y
x
đều là số hữu tỉ.
33. Cho
4
2y -3x

=
3
x4z2
−
=
2
z3y4
−
.Chứng minh rằng
4
z
3
y
2
x
==

34. Cho
b
a
=
c
b
=
d
c
=
a
d
trong đó a + b + c + d ≠ 0

35. Tìm 3 phân số tối giản biết tổng của chúng là 3
60
7
, tử của chúng tỉ
lệ với 2, 3, 5 còn mẫu tỉ lệ với 5, 4, 6.
36. Một số M được chia làm 3 phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ
hai tỉ lệ (thuận) với 5 và 6; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ (thuận)
với 8 và 9. Biết phần thứ ba hơn phần thứ hai là 150. Tìm số M.
37. Một đội thuỷ lợi có 10 người làm trong 8 ngày đào đắp được 200m
3
đất. Một đội khác có 12 người làm trong 7 ngày thì đào đắp được bao
nhiêu mét khối đất ? (Giả thiết năng suất của mỗi người đều như nhau).
38. Vận tốc riêng của một ca nô là 21km/h, vận tốc dòng sông là
3km/h. Hỏi với thời gian để ca nô chạy ngược dòng được 30km thì ca
nô chạy xuôi dòng được bao nhiêu kilômét ?
39. Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó một xe
máy chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h. Biết khoảng cách AB là
540km và M là trung điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ô
tô cách M một khoảng bằng
2
1
khoảng cách từ xe máy đến M.
4
Tôn Nữ Bích Vân –Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng
40. Hai cạnh của một tam giác dài 25cm và 36cm. Tổng độ dài hai
đường cao tương ứng là 48,8cm. Tính độ dài của mỗi đường cao nói
trên.
41. Một xe ô tô chạy từ A đến B gồm 3 chặng đường dài bằng nhau
nhưng chất lượng mặt đường tốt xấu khác nhau. Vận tốc trên mỗi
chặng lần lượt là 72km/h; 60km/h; 40km/h. Biết tổng thời gian xe

chạy từ A đến B là 4 giờ. Tính quãng đường AB.
42. Một ô tô dự định chạy từ A đến B trong một thời gian nhất định.
Nếu xe chạy với vận tốc 64km/h thì đến nơi sớm được 1 giờ. Nếu xe
chạy với vận tốc 63km/h thì đến nơi sớm được 2 giờ. Tính quãng
đường AB và thời gian dự định đi.
5