Tọa độ trong không gian OXYZ ôn thi THPT Toán đầy đủ và chi tiết

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHÔNG GIAN

Chuyên đề 15:

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ
z

I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian

x'

x'Ox : trục hoành
y'Oy : trục tung
z'Oz : trục cao
O : gốc toạ độ
JG JJG JJG
e1 , e2 , e3 : véc tơ đơn vò

•
•
•
•
•

K
e3

y'

x

K
e1

O

K
e2

z'
Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là
không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
JJJJG
1. Đònh nghóa 1: Cho M ∈ kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo
JJJJG
JG JJG JJG
JG JJG JJG
z
e1 , e2 , e3 bởi hệ thức có dạng : OM = xe1 + ye2 + ye3 với x,y,z ∈ \ .

Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.
y
Ký hiệu:
M(x;y;z)

M

( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

O

x

M ( x; y; z)

đ/n

⇔

JJJJG
JG JJG JJG
OM = xe1 + ye2 + ze3

Ý nghóa hình học:

•

z

M2

R
z

M3
O

M
y

p

x = OP

Q

x
x

y

M1

117

; y= OQ ; z = OR

y


G
G
2. Đònh nghóa 2: Cho a ∈ kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất theo
G
JG
JJG

JJG
JG JJG JJG
e1 , e2 , e3 bởi hệ thức có dạng : a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 với a1 ,a2 ∈ \ .
G
Bộ số (a1;a2;a3) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a .
G
a = (a1; a2 )
Ký hiệu:
G
a=(a1;a2 ;a3 )

G
JG
JG
J
JJG
a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3

đ/n

⇔

II. Các công thức và đònh lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :
Đònh lý 1: Nếu A( x A ; y A ; zA ) và B(x B; yB ; zB ) thì

JJJG
AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − zA )
G
G
Nếu a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) thì

Đònh lý 2:

⎧a1 = b1
G G
⎪
* a = b ⇔ ⎨a2 = b2
⎪a = b
3
⎩ 3
G G
* a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 )
G G
* a − b = (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 )
G
* k .a = (ka1; ka2 ; ka3 )
(k ∈ \ )
III. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại
• Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường
thẳng song song .
• Đònh lý về sự cùng phương của hai véc tơ: G
G
G G
 Đònh lý 3 :
Cho hai véc tơ a và b với b ≠ 0
G
G
a cùng phương b

G
G
⇔ ∃!k ∈ \ sao cho a = k .b

G G
Nếu a ≠ 0 thì số k trong trường hợp này được xác đònh như sau:
G
G
k > 0 khi a cùng hướng b
G
G
k < 0 khi a ngược hướng b
G
a
k = G
b



Đònh lý 4 :

JJJG
JJJG
A, B, C thẳng hàng ⇔ AB cùng phương AC

118




G
G
Đònh lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) ta có :
⎧a1 = kb1
⎪
⇔ ⎨a2 = kb2 ⇔ a 1 : a2 : a3 = b1 : b2 : b3
⎪a = kb
3
⎩ 3

G
G
a cùng phương b

IV. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:
GG G G
G G
a.b = a . b .cos(a, b)
G2 G 2
a =a
G G
GG
a ⊥ b ⇔ a.b = 0

 Đònh lý 6:

G
G
Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a2 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) ta có :

GG
a.b = a1b1 + a2 b2 + a3b3
G

 Đònh lý 7: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 )

ta có :

G
a = a12 + a22 + a32

 Đònh lý 8:

Nếu A( x A ; y A ) và B(x B ; yB ) thì

AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 + (zB − zA )2
G
G
 Đònh lý 9: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) ta có :

G G
a⊥b

⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0

G

 Đònh lý 10: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 )

G

và b = (b1; b2 ; b3 ) ta có :

GG
G G
a1b1 + a2 b2 + a3b3
a.b
cos(a, b) = G G =
a.b
a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32
V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Đònh nghóa : Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ 1 ) nếu như :
JJJG
JJJG
MA = k.MB

•

•

•

A

M

B

119

 Đònh lý 11 : Nếu

JJJG
JJJG
A( x A ; y A ; zA ) , B(x B ; yB ; zB ) và MA = k.MB ( k ≠ 1 ) thì
x A − k .x B
⎧
⎪ xM = 1 − k
⎪
y A − k .y B
⎪
⎨ yM =
1− k
⎪
zA − k .zB
⎪
⎪ zM = 1 − k
⎩

Đặc biệt :

x A + xB
⎧
⎪ xM =
2
⎪
y +y
⎪
M là trung điểm của AB ⇔ ⎨ yM = A B
2

⎪
zA + zB
⎪
⎪ zM = 2
⎩

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A
VI. Tích có hướng của hai véc tơ:
G
G
1. Đònh nghóa: Tích có hướng của hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) là một véc tơ được
G G
ký hiệu : ⎡⎣ a; b ⎤⎦ có tọa độ là :
1 2 3
G G
⎛a
⎡ a; b ⎤ = ⎜ 2
⎣ ⎦
⎝ b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1 a2 ⎞
;
⎟
b1 b1 b2 ⎠

G
a = (a1; a2 ; a3 )
Cách nhớ: G
b = (b1; b2 ; b3 )

2. Tính chất:

•
•
•

G G
G
⎡ a; b ⎤ ⊥ a và
⎣ ⎦

G G
G
⎡ a; b ⎤ ⊥ b
⎣ ⎦

1 JJJG HJJG
SΔABC = . ⎡⎣ AB; AC ⎤⎦
2

A
B

JJJG JJJG
S. ABCD = ⎡⎣ AB; AD ⎤⎦

C
D

A'

A

•

VABCD. A' B'C ' D'

JJJG JJJG JJJG
= ⎡⎣ AB; AD ⎤⎦ . AA'

D'

C
B

C'
B'

D
C

A

120

B


•

1 JJJG JJJG JJJG
VABCD = . ⎡⎣ AB; AC ⎤⎦ . AD
6

•

G
G
a cùng phương b

•

G G G
G G G
a, b, c đồng phẳng ⇔ ⎡⎣ a, b ⎤⎦ .c = 0

D

G G
G

⇔ ⎡⎣ a; b ⎤⎦ = 0

C

A
B

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng
b. Tính diện tích tam giác ABC
c. Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Các đònh nghóa:
1. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng:
1. VTCP của đường thẳng :
G
G
G
đn ⎧ a ≠ 0
⎪
a là VTCP của đường thẳng ( Δ ) ⇔ ⎨ G
⎪⎩a có giá song song hoặc trùng với (Δ)
K
a
K
a
( Δ)

Chú ý:
• Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.
• Một đường thẳng ( Δ ) hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của
nó.
2. Cặp VTCP của mặt phẳng:
K
a
K
b
a

α

b

G
Cho mặt phẳng α xác đònh bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi a là VTCP của đường
G
thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b. Khi đó :
JGJJG
Cặp (a,b) được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng α
Chú ý :
• Một mặt phẳng α hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của
nó.

121


K
n

3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :

α
G
G
G
đn ⎧ n ≠ 0
⎪
n là VTPT của mặt phẳng α ⇔ ⎨ G
⎪⎩n có giá vuông góc với mpα
Chú ý:
• Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.
• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó.
4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:
G
⎧⎪a = (a1; a2 ; a3 )
Đònh lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP là : ⎨ G
thì mp α có một VTPT là :
b
(
b
;
b
;
b
)
=
⎪⎩
1 2 3

G
G G
⎛a
n = ⎡⎣ a; b ⎤⎦ = ⎜ 2
⎝ b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1
;
b1 b1

a2 ⎞
⎟
b2 ⎠

K
K K
n = [a , b ]
K
a

K
b

α

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

Tìm một VTPT của mặt phẳng α biết α đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)
II. Phương trình của mặt phẳng :
Đònh lý 1: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng α đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một
G
VTPT n = ( A; B; C ) là:

K
n = ( A; B ; C )

α

M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )

A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

z

Đònh lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng :

K
n = ( A; B ; C )

α
M0

y

Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C 2 ≠ 0

là phương trình tổng quát của một mặt phẳng .

122

x


Chú ý :
G
• Nếu (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì (α ) có một VTPT là n = ( A; B; C )
• M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 ⇔ Ax 0 + By0 + Cz0 + D = 0
Các trường hợp đặc biệt:
1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
• (Oxy):z = 0
• (Oyz):x = 0
• (Oxz):y = 0
2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

(Oyz )

z
y
O

(Oxz )

x

⎧ A(a; 0; 0)
⎪
• Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại ⎨ B(0; b; 0)

⎪C (0; 0; c)
⎩
x y z
là:
+ + =1
a b c

(Oxy )

(a,b,c ≠ 0)
C

c
O
a

b
B

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
A
Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Bài 2: Cho điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3)
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với
mặt phẳng chứa tam giác.
III. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:
⎧a1 = tb1
⎪a = tb

2
⎪⎪ 2
(
a
,
a
,...,
a
)
⎧ 1 2
n
Hai bộ n số : ⎨
được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t ≠ 0 sao cho ⎨.
⎩(b1 , b2 ,..., bn )
⎪.
⎪
⎪⎩an = tbn
a
a1 a2
Ký hiệu:
a1 : a2 : ... : an = b1 : b2 : ... : bn
hoặc
=
= ... = n
b1 b2
bn
2. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác đònh bởi phương trình :
JJG
(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = 0 có VTPT n1 = ( A1; B1; C1 )

JJG
( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 có VTPT n2 = ( A2 ; B2 ; C2 )
K
n1
K
n2
K
K
n1
K
n1
α
n2
α

α

β
β

123

K
n2
β


(α ) cắt (β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 (hay:
⇔

A1 B1 C1 D1
=
=
≠
A 2 B2 C2 D2

(α ) ≡ (β ) ⇔

A1 B1 C1 D1
=
=
=
A 2 B2 C2 D2

(α ) // (β )

Đặc biệt:

A1 B1
B
C
C
A
hoặc 1 ≠ 1 hoặc 1 ≠ 1 )
≠
B2 C2
C2 A2
A 2 B2

α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0

3. Chùm mặt phẳng :

α

β
γ

a. Đònh nghóa: Tập hợp các mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng được gọi là một chùm mặt
phẳng .
• Δ gọi là trục của chùm
• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác đònh nếu biết
i. Trục của chùm
hoặc ii. Hai mặt phẳng của chùm
b. Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β cắt nhau xác đònh bởi phương trình :
(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = 0

( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Khi đó : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của α và β đều có phương trình dạng:

(γ ) : λ ( A1 x + B1y + C1z + D1 ) + μ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0

(λ 2 + μ 2 ≠ 0)

Chú ý:

λ = 0 và μ ≠ 0 thì γ ≡ β
λ ≠ 0 và μ = 0 thì γ ≡ α
Đặc biệt :

Nếu λ ≠ 0 và μ ≠ 0 thì γ ≠ α và β trong trường hợp này
phương trình γ có thể viết dưới dạng sau:
1. m(A1 x + B1y + C1z + D1 ) + (A 2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
hoặc

2. (A1 x + B1y + C1z + D1 ) + n(A 2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0

124

α

β
γ


ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình của đường thẳng:
1.Phương trình tham số của đường thẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng (Δ ) đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )
G
và nhận a = (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP là :
z

K
a

⎧ x = x0 + ta1
⎪
(Δ) : ⎨ y = y0 + ta2
⎪ z = z + ta

0
3
⎩

(Δ)
M0

M ( x, y , z ) y

(t ∈ \)

O

x

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng (Δ ) đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )
G
và nhận a = (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP là :
(Δ ) :

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3

3. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Trong không gian ta có thể xem đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó.

⎧(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = 0
Xem (Δ ) = α ∩ β với ⎨
ta có đònh lý sau.
⎩( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) hệ phương trình:

⎧ A1 x + B1y + C1z + D1 = 0
với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
⎨
0
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
⎩ 2
2
2
2
là phương trình tổng quát của một đường thẳng.
G
⎧⎪(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = 0 ( nα = ( A1; B1; C1 ))
Chú ý: Nếu (Δ): ⎨
thì ( Δ ) có một VTCP là :

G
β
A
x
B
y
C
z
D
n
A
B
C
(
)
:
0
(
(
;
;
))
+
+
+
=
=
β
⎪⎩
2

2
2
2
2 2
2
G
G G
⎛B
a = ⎡⎣ nα , n β ⎤⎦ = ⎜ 1
⎝ B2

C1 C1
;
C2 C2

125

A1

;

A1

A2 A2

B1 ⎞
⎟
B2 ⎠

II. Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
1.Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :

K
a

(Δ )

K
n

(Δ )
K
n

K
n

M

α

K
a

M

K
a (Δ )

M

α

α

Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho :
G
x − x0 y − y0 z − z0
có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) và qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 )
đường thẳng (Δ ) :
=
=
a1
a2
a3
G
có VTPT n = ( A; B; C )
và mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
Khi đó :
(Δ) cắt (α )
⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 ≠ 0

⎧Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0
⇔ ⎨
⎩ Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0
⎧Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0
⇔ ⎨
⎩ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

(Δ) // (α )
(Δ) ⊂ (α )

K
a
Đặc biệt:

(Δ ) ⊥ ( α ) ⇔

a1 : a2 : a3 = A : B : C

K
n

α

⎧ pt(Δ)
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của ( Δ ) và ( α ) ta giải hệ phương trình : ⎨
tìm x,y,z
⎩ pt(α )
Suy ra: M(x,y,z)
2. Vò trí tương đối của hai đường thẳng :
M

M0

'
0

Δ1

K
a
K
b

K
u

M0
K
u'

Δ2

Δ1
Δ2

'
Δ1 M 0 M 0

K
u

K
u'

M0
Δ2

M

M 0'

K
u

'
0

Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
G
x − x0 y − y0 z − z0
(Δ1 ) :
có VTCP u = (a; b; c) và qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
=
=
a
b
c
JG
x − x0 y − y0 z − z0
'
(Δ 2 ) :
có
VTCP
u
=
=
= (a' ; b' ; c' ) và qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' )

'
'
'
a
b
c

126

Δ1

K
u'

Δ2


G JG JJJJJJJG
• (Δ1 ) và (Δ 2 ) đồng phẳng ⇔ ⎡u, u' ⎤ .M0 M0' = 0
⎣⎢
⎦⎥
JG JJJJJJJG
G
⎧ ⎡u, u' ⎤ .M M ' = 0
⎪
⎥⎦ 0 0
• (Δ1 ) cắt (Δ 2 )
⇔ ⎨ ⎢⎣
⎪⎩a : b : c ≠ a' : b' : c'
• (Δ1 ) // (Δ 2 )

⇔ a : b : c = a' : b' : c' ≠ ( x0' − x0 ) : ( y0' − y0 ) : ( z0' − z0 )

• (Δ1 ) ≡ (Δ 2 )

⇔ a : b : c = a' : b' : c' = ( x0' − x0 ) : ( y0' − y0 ) : ( z0' − z0 )
G JG JJJJJJJG
⇔ ⎡u, u' ⎤ .M0 M0' ≠ 0
⎣⎢
⎦⎥

• (Δ1 ) và (Δ 2 ) chéo nhau

⎧ pt(Δ1 )
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (Δ1 ) và (Δ 2 ) ta giải hệ phương trình : ⎨
tìm x,y,z
⎩ pt(Δ2 )
Suy ra: M(x,y,z)
III. Góc trong không gian:
1. Góc giữa hai mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác đònh bởi phương trình :
(α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = 0

( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

K
n 2 = ( A2 ; B 2 ; C 2 )

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α ) & ( β ) ta có công thức:
cos ϕ =

A1 A2 + B1 B2 + C1C2
A12 + B12 + C12 . A22 + B22 + C22

α

0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0
β

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (Δ ) :

K
n1 = ( A1 ; B1 ; C1 )

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

và mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( Δ ) & (α ) ta có công thức:

(Δ )
K
a = ( a ; b; c )
K
n = ( A; B ; C )

α

sin ϕ =

Aa + Bb + Cc
A2 + B 2 + C 2 . a 2 + b 2 + c 2

3.Góc giữa hai đường thẳng :
Đònh lý:
Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
(Δ1 ) :
a
b
c
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
(Δ 2 ) :
a'
b'
c'

127

0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0

K
a1 = ( a; b; c )

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (Δ1 ) & (Δ 2 ) ta có công thức:

Δ1

aa ' + bb ' + cc '

cos ϕ =

Δ2

a 2 + b 2 + c 2 . a '2 + b '2 + c '2

K
a 2 = (a ' ; b' ; c' )

0 0 ≤ ϕ ≤ 90 0
IV. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 )
Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α ) được tính bởi công thức:

M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
d ( M0 ; Δ) =
α

H

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C 2

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( Δ ) đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP
G
u = (a; b; c ) . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến (Δ ) được tính bởi công thức:

M1

K
u

JJJJJJG G
⎡ M0 M1; u ⎤
⎣
⎦
d ( M1 , Δ) =
G
u

(Δ )

M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) H

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :
G
(Δ1 ) có VTCP u = (a; b; c) và qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

JG
(Δ 2 ) có VTCP u' = (a' ; b' ; c' ) và qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' )

Khi đó khoảng cách giữa (Δ1 ) và (Δ 2 ) được tính bởi công thức
K
Δ1
u
M0

M

'
0

K
u'

G JG JJJJJJJG
⎡ u, u' ⎤ .M M '
⎢⎣
⎥⎦ 0 0
d (Δ1 , Δ 2 ) =
G JG'
⎡ u, u ⎤
⎢⎣
⎥⎦

Δ2

128

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

-------------***------------Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;01).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN
1
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α biết cos α =
6
Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :
⎧x = 1 + t
x y −1 z +1
⎪
d1 : =
& d 2 : ⎨ y = −1 − 2t
=
2
1
−1
⎪z = 2 + t
⎩
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2.
2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A,M,N thẳng hàng
Bài 3: Trong Kg(Oxyz) cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng :
x−2 y +2 z −3
x −1 y −1 z +1
=
=
=

=
& d2 :
d1 :
−1
2
1
−1
2
1
1. Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1
2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2
Bài 4: Trong Kg(Oxyz) cho 4 điểm A(0;1;0), B(2;3;1), C(-2;2;2), D(1;-1;2) .
1. Chứng minh các tam giác ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông .
2. Tính thể tích tứ diện ABCD.
3. Gọi H là trực tâm tam giác BCD, viết phương trình đường thẳng AH.
Bài 5: Trong Kg(Oxyz) cho 3 điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;1).
1. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2. Xác đònh tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC).
3. Tính thể tích tứ diện OABC.
Bài 6: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng:
⎧x = 1+ t
⎧x − 2y + z − 4 = 0
⎪
Δ1 : ⎨
và Δ 2 : ⎨ y = 2 + t
⎩ x + 2 y − 2z + 4 = 0
⎪
⎩ z = 1 + 2t

1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 và song song với đường thẳng Δ2

2. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 sao cho đoạn thẳng MH có độ
dài nhỏ nhất.
Bài 7: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) : 2x-y+2=0 và đường thẳng
⎧(2m + 1) x + (1 − m)y + m − 1 = 0
dm : ⎨
⎩mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0
Xác đònh m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P)
Bài 8: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) :x-y+z+3=0 và hai điểm A(-1;-3;-2), B(-5;7;12)
1. Tìm tọa độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P)
2. Giả sử M là điểm chạy trên mặt phẳng (P). Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : MA+MB
⎧2 x + y + z + 1 = 0
Bài 9: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng Δ : ⎨
và mặt phẳng (P): 4x-2y+z-1=0
⎩x + y + z + 2 = 0
129


Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng Δ trên mặt phẳng (P).
⎧ x − az − a = 0
⎧ax + 3y − 3 = 0
Bài 10: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng: d1 : ⎨
và d 2 : ⎨
⎩y − z + 1 = 0
⎩ x − 3z − 6 =
1. Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau
2. Với a=2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và songsong với đường thẳng
d1. Tính khoảng cách giữa d1 và d2 khi a=2
Bài 11: Trong Kg(Oxyz) cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ,
B(a;0;0).D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0,b>0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC’ .
1. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b

a
2. Xác đònh tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
b
Bài 12: Trong Kg(Oxyz) cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;3), D(1;6;-5). Tính
góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho
tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.
Bài 13: 2. Trong không gian với hệ tọa dộ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng
⎧3 x − z + 1 = 0
x y +1 z
và d2 : ⎨
=
d1 : =
1
2
1
⎩2 x + y − 1 = 0
1. Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau.
2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song song
x −4 y −7 z−3
với đường thẳng Δ :
=
=
1
4
−2
Bài 14: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC với
A(0;0; a 3 ), B(a;0;0), C(0; a 3 ;0) (a>0). Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
Bài 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2;1;1),
⎧3 x − 2 y − 11 = 0

B(0;-1;3) và đường thẳng d : ⎨
⎩ y + 3z − 8 = 0
1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Gọi K là
giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), chứng minh rằng d vuông góc với IK.
2. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng có phương trình
x + y − z +1 = 0
Bài 16: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
⎧x + y − z + 2 = 0
x −1 y + 2 z
(d1 ) :
=
= và (d 2 ) : ⎨
3
1
1
⎩x +1 = 0

Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(0;1;1) sao cho Δ vuông góc với (d1) và cắt (d2).
Bài 17: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
⎧3 x − 2 y − 8 = 0
x +1 y + 3 z − 2
(d1 ) :
=
=
và (d 2 ) : ⎨
−2
−1
3
⎩5 x + +2 z − 12 = 0
1. Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trên.
3. Lập phương trình đường thẳng Δ qua M(-4;-5;3) sao cho Δ cắt cả d1 và d2.
Bài 18: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
x +1 y −1 z − 2
=
=
(d ) :
và (P):x-y-z-1=0
2
2
3
130


Lập phương trình đường thẳng Δ qua A(1;1;-2) sao cho Δ ⊥ d và Δ//(P) .
Bài 19: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
⎧ x − 2y + z − 4 = 0
x −1 y +1 z
(d1 ) :
=
= và (d 2 ) : ⎨
−1 1
2
⎩2 x − y + 2 z + 1 = 0

và mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0 .
Lập phương trình đường thẳng Δ sao cho Δ ⊥ ( P ) và Δ cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.
Bài 20: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng :
x −1 y − 2 z
và điểm I(2;-1;3)

=
=
(d ) :
−1
2
3
Gọi K là điểm đối xứng của I qua (d) . Tìm toạ độ điểm K.
Bài 21: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng :
x y −1 z + 3
và điểm A(1;2;1)
=
(d ) : =
3
4
1
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).
Bài 22: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
⎧2 x + y + 1 = 0
⎧3 x + y − z + 3 = 0
(d1 ) : ⎨
và (d 2 ) : ⎨
⎩x-y+z-1=0
⎩2 x − y + 1 = 0
1. Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 .
2. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua d1 và d2 .
3. Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng toạ độ.
Bài 23: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;1) , B(2;1;3) và mặt phẳng (P): x-3y+2z-6 = 0.
1. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P).
2. Viết phương trình chính tắc của giao tuyến của (P) và (Q).
3. Gọi K là điểm đối xứng của A qua (P). Tìm toạ độ điểm K.

⎧2 x + 3 y − 4 = 0
Bài 24: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;-1) và B(7;-2;3) và đường thẳng (d): ⎨
⎩y + z − 4 = 0

1. Chứng minh (d) và AB đồng phẳng .
2. Tìm toạ độ giao điểm I0 của đường thẳng (d) với mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
3. Tìm I ∈ (d ) sao cho tam giác ABI có chu vi nhỏ nhất.
Bài 25: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0
1. Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều.
Bài 26: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(1;2;3) , B(4;4;5) và mặt phẳng (P): z = 0
1. Tìm M ∈ (P) sao cho MA+MB là nhỏ nhất.
2. Tìm N ∈ (P) sao cho NA − NB là lớn nhất.
Bài 27: Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(3;1;0) , B(-9;4;9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0
Tìm M ∈ (P) sao cho MA − MB là lớn nhất.
Bài 28: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
x y − 4 z +1
=
(d ) : =
và (P):x-y+3z+8=0
4
3
2
Viết phương trình hình chiếu của (d) lên (P)
Bài 29: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :

131


(d1 ) :

⎧ x + 3z − 2 = 0
x − 2 y −1 z
=
= và (d 2 ) : ⎨
1
−1 2
⎩y − 3 = 0

1. Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.
2. Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 .
Bài 30: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
x −1 y z + 5
x y −1 z − 5
= =
=
(d1 ) :
và (d 2 ) : =
1
0
1
0
3
−2
1. Chứng minh d1 và d2 chéo nhau.
2. Tìm toạ độ các điểm A, B của đường vuông góc chung AB của d1 và d2 .
Bài 31: Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh : A(0;1;0); B(2;2;2); C(-2;3;4)
x −1 y + 2 z + 3
.
và đường thẳng (d ) :

=
=
2
2
−1
1. Tìm toạ độ điểm M nằm trên (d) sao cho AM ⊥ AB .
2. Tìm toạ độ điểm N nằm trên (d) sao cho VNABC = 3.
Bài 32: Trong Kg(Oxyz) cho O(0;0;0), A(6;3;0), B(-2;9;1) và S(0;5;8)
1. Chứng minh rằng SB ⊥ OA .
2. Chứng minh rằng hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (OAB) vuông góc với OA. Gọi
K là giao điểm của hình chiếu đó với OA. Tìm toạ độ điểm K.
3. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh OS và AB.Tìm toạ độ M thuộc SB sao cho
PQ và KM cắt nhau.
Bài 33: Cho hai đường thẳng :
=0
⎧ x + 2y − z
x −1 y − 2 z − 3
(d1 ) :
=
=
và (d 2 ) : ⎨
1
2
3
⎩ 2 x − y + 3z − 5 = 0
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2)
Bài 34: Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng y+2z=0 và cắt hai
đường thẳng :
⎧x = 1− t
⎧x = 2 − t

⎪
⎪
(d1 ) : ⎨ y = t
và (d 2 ) : ⎨ y = 4 + 2t
⎪ z = 4t
⎪z = 1
⎩
⎩
Bài 35: Cho bốn điểm A(-4;4;0), B(2;0;4), C(1;2;-1), D(7;-2;3)
1. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D nằm trên cùng một mặt phẳng .
2. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AB.
3. Tìm trên đường thẳng AB điểm M sao cho tổng MC+MD là nhỏ nhất.
Bài 36: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)
Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D.
Bài 37: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1,2,3) và hai mặt phẳng (P):x-2 = 0 , (Q):y-z-1=0
Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) , (Q).
Bài 38: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1,3,2) , B(1,2,1) và C(1,1,3)
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC
và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó.
Bài 39: Lập phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với hai đường
⎧2x + y − 2 = 0
⎧x − y + 4z + 10 = 0
thẳng (d1 ) : ⎨
và (d 2 ) : ⎨
⎩2x − 4y − z + 6 = 0
⎩2x + z − 3 = 0
Bài 40: Lập phương trình của đường thẳng (d) đi qua điểm A(3,2,1) song song với mặt phẳng
132

⎧x + y − 1 = 0
(P): x+y+z-2 = 0 và vuông góc với đường thẳng (d) : ⎨
⎩4y + z + 1 = 0
⎧x − 3z − 2 = 0
và có khoảng cách
Bài 41:Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d): ⎨
⎩y + 5z − 1 = 0
đến điểm A(1,-1,0) bằng 1.
Bài 42: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình là :
⎧x + 8z + 23 = 0
⎧x − 2z − 3 = 0
và (d 2 ) : ⎨
(d1 ) : ⎨
⎩y − 4z + 10 = 0
⎩y + 2z + 2 = 0
1. Chứng tỏ (d1) và (d2) chéo nhau.
2. Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) .
3. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) , mặt phẳng (Q) chứa (d2) sao cho (P)//(Q).
4. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với Oz và cắt cả (d1) và (d2)

MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình mặt cầu:
1. Phương trình chính tắc:
Đònh lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình của mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R là :

z

(S) : ( x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2

(S )

I

R
M ( x; y; z )

O

y

(1)

Phương trình (1) được gọi là phương trình
chính tắc của mặt cầu
Đặc biệt:

Khi I ≡ O thì (C ) : x 2 + y 2 + z2 = R2

x
2. Phương trình tổng quát:
Đònh lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình :

x 2 + y 2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
với a2 + b2 + c2 − d > 0 là phương trình của mặt cầu (S) có
tâm I(a;b;c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d .
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (α ) và mặt cầu (S) có phương trình :
(α ) : Ax + By + Cz + D = 0

(S ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2

Gọi d(I; α ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng α

133


Ta có :

1. (α ) cắt mặt cầu (S)

⇔ d(I;α ) < R

2. (α ) tiếp xúc mặt cầu (S)

⇔ d(I;α ) =R

3. (α ) không cắt mặt cầu (S)

⇔ d(I;α ) > R

(S )
(S )
I

(S )

I
R

R
R

α

H

α

M H

α

Chú ý :
Khi α cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường tròn (C). Đường tròn (C) này có:

•
•
•

(C )

I

M

⎧⎪ Ax + By + Cz + D = 0
⎨
2
2

2
2
⎪⎩( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R
Tâm là hình chiếu vng góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng α
Bán kính r = R2 − d 2 (I ,α )
Phương trình là:

-----------------------------Hết------------------------------

134

M

r

H


CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH HỌC OXYZ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

II. CÁC CÔNG THỨC VỀ ðỊNH LƯỢNG

2


III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ðƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU

IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ðỐI GIỮA MẶT PHẲNG, ðƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU.

3


B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðIỂM

CÁC BÀI TOÁN MẪU
Trước khi làm các bài tập trong Chuyên ðề này thầy có một vài quy ước sau (ñể các em tiện theo dõi) :
+) M (t ) ∈ ∆ : ta ràng buộc tọa ñộ ñiểm M theo một ẩn là t.

r

r

+) a(t ) : ta ràng buộc tọa ñộ véc tơ a theo một ẩn là t.
+) M (t1 , t2 ) : ñiểm M có tọa ñộ phụ thuộc vào hai ẩn t1 và t2 .

r

r

+) a (t1 , t2 ) : véc tơ a có tọa ñộ phụ thuộc vào hai ẩn t1 và t2 .

x −1 y +1 z
=
= và hai ñiểm A(1; −1; 2) , B (2; −1; 0) . Xác ñịnh tọa ñộ
2
−1
1

ñiểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M
.

1) (D – 2012: NC) Cho ñường thẳng d :

uuur
 MA(t )
Hướng giải: +) Gọi M (t ) ∈ d →  uuur
 MB(t )

uuur uuur

+) Khai thác dữ kiện bài toán ( tam giác AMB vuông tại M ) : MA.MB = 0 ⇔ f (t ) = 0 ⇔ t = ? ⇒ M
Giải:

uuur
 MA = (−2t; t ; 2 − t )
+) Gọi M (1 + 2t ; −1 − t ; t ) ∈ d ⇒  uuur
 MB = (1 − 2t; t; −t )
uuur uuur
+) Tam giác AMB vuông tại M nên : MA ⊥ MB

 M (1; −1; 0)
t = 0

⇔ −2t (1 − 2t ) + t − (2 − t )t = 0 ⇔ 6t − 4t = 0 ⇔
⇒  7 5 2
M  ; − ; 
t = 2
  3 3 3 

 3
2

2

4


2) ( A – 2011: CB) Cho hai ñiểm A(2; 0; 1), B(0; -2; 3) và mặt phẳng (P) : 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm M
thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.

Hướng giải:
+) Gọi M ( x; y; z ) ∈ ( P ) ⇒ 2 x − y − z + 4 = 0 (1)

 MA = 3  f ( x, y, z ) = 0
⇒
 MB = 3  g ( x, y, z ) = 0

+) Khai thác dữ kiện bài toán (MA = MB = 3) : 

(2)
(3)

+) Từ (1); (2) và (3) ⇒ x, y , z = ? ⇒ M
Giải:
+) Gọi M ( x; y; z ) ∈ ( P ) ⇒ 2 x − y − z + 4 = 0 (1)

MA2 = 9 ( x − 2) 2 + y 2 + ( z − 1)2 = 9
 x + y − z + 2 = 0 (2)
⇒ 2

⇔ 2
2
2
2
2
2
MB = 9  x + ( y + 2) + ( z − 3) = 9  x + ( y + 2) + ( z − 3) = 9

+) Ta có: MA = MB = 3 ⇒ 

x = 2 y − 2
(*)
z = 3y

(3)

. Thay (*) vào (3) ta ñược: (2 y − 2) 2 + ( y + 2) 2 + (3 y − 3) 2 = 9

+) Từ (1) và (2) ⇒ 

y =1
⇔ 7 y − 11y + 4 = 0 ⇔ 
⇒
y = 4
7

2

 M (0;1;3)


 M  − 6 ; 4 ; 12 
  7 7 7 

BÀI TẬP ÁP DỤNG

x −1 y +1 z
=
= và hai ñiểm A(1; −1; 2) , B (2; −1; 0) . Xác ñịnh tọa ñộ
2
−1 1
ñiểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M . (ñã giải)
1) (D – 2012: NC) Cho ñường thẳng d :

2) ( A – 2011: CB) Cho hai ñiểm A(2; 0; 1), B(0; -2; 3) và mặt phẳng (P) : 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm M
thuộc (P) sao cho MA = MB = 3. (ñã giải)
3) (B – 2011: CB) Cho ñường thẳng ∆ :

x − 2 y +1 z
=
=
và mp (P) : x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao của ∆ và (P).
1
−2
−1

Tìm ñiểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và MI = 4 14
4) ( B – 2011: NC) Cho ñường thẳng ∆ :

x + 2 y −1 z + 5
=

=
và hai ñiểm A(- 2; 1; 1), B(-3; - 1; 2). Tìm ñiểm M
1
3
−2

thuộc ∆ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5
5) (A – 2010: CB) Cho ñường thẳng ∆ :

x −1 y z + 2
= =
và mp (P): x – 2y + z = 0. Gọi C là giao của ∆ với (P), M
2
1
−1

là ñiểm thuộc ∆ . Tính khoảng cách từ M ñến (P), biết MC = 6
6) (B – 2010: CB) Cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), với b, c > 0 và mp (P): y – z + 1 = 0. Tìm b và c, biết mp
(ABC) vuông góc với mp (P) và kcách từ O ñến mp (ABC) bằng
7) (B –2010: NC) Cho ñường thẳng ∆ :

1
3

x y −1 z
=
= . Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách
2
1
2

từ M ñến ∆ bằng OM

5


x = 3 + t
x − 2 y −1 z

=
= . Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc ∆1
8) (D – 2010:NC) Cho hai ñường thẳng ∆1 :  y = t
và ∆ 2 :
2
1
2
z = t

sao cho khoảng cách từ M tới ∆ 2 bằng 1
9) (A – 2009 - NC) Cho mp (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai ñường thẳng ∆1 :

x +1 y z + 9
= =
,
1
1
6

x −1 y −1 z +1
=

=
. Xác ñịnh tọa ñộ ñiêm M thuộc ñường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ M ñến ñường
2
3
−2
thẳng ∆ 2 và khoảng cách từ M ñến mp (P) bằng nhau
∆2 :

10) (D – 2009: CB) Cho A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mp (P): x + y + z – 20 = 0. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm D thuộc
ñường thẳng AB sao cho ñường thẳng CD song song với mp (P)
11) (A – 2008) Cho ñiểm A(2; 5; 3) và ñường thẳng d:

x −1 y z − 2
= =
. Tìm tọa ñộ hình chiếu vuông góc của ñiểm
2
1
2

A trên ñường thẳng d.
12) (B – 2008): Cho 3 ñiểm A(0; 1; 2), B(2; - 2; 1), C(-2; 0; 1). Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt phẳng
2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
13) (D – 2008) Cho bốn ñiểm A(3 ; 3 ; 0), B(3 ; 0 ; 3), C(0 ; 3 ; 3), D(3 ; 3 ; 3). Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
14) (B – 2007) Cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 và mp (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0. Tìm tọa ñộ
ñiểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M ñến mp (P) lớn nhất.
15) (D – 2007) Cho hai ñiểm A(1; 4; 2),B(-1; 2; 4) và ñường thẳng : ∆ :

x −1 y + 2 z
=

= . Tìm tọa ñộ ñiểm M
−1
1
2

thuộc ∆ sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất

x = 1+ t
x y −1 z + 1

16) (B – 2006) Cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng : d1 : =
=
, d 2 :  y = −1 − 2t
2
1
−1
z = 2 + t

Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc d1 , N thuộc d2 sao cho 3 ñiểm A, M, N thẳng hàng.
17) (D – 2006) : Cho ñiểm A(1; 2; 3) và ñường thẳng : d :

x −2 y + 2 z −3
=
=
2
−1
1

Tìm tọa ñộ ñiểm A’ ñối xứng với ñiểm A qua ñường thẳng d
18) (A – 2005) Cho ñường thẳng d :

x −1 y + 3 z − 3
=
=
và mp (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm I thuộc d
−1
2
1

sao cho khoảng cách từ I ñến mặt phẳng (P) bằng 2.

 x = 3t
x −1 y + 2 z + 1

=
=
19) (D – 2005) Cho hai ñường thẳng : d1 :
; d 2 :  y = 4 − t và mp Oxz cắt d1 , d 2 lần lượt tại
3
−1
2
 z = 2 + 2t

các ñiểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc tọa ñộ ).

x = 1+ t

20) ( A – 2002) Cho ñường thẳng ∆ :  y = 2 + t Cho ñiểm M(2;1;4). Tìm tọa ñộ ñiểm H thuộc ∆ sao cho ñoạn
 z = 1 + 2t


thẳng MH có ñộ dài nhỏ nhất

6


21) Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 z − 2 = 0 sao cho khoảng cách từ M ñến mặt phẳng
(P): 2x – 2y + z + 6 = 0 là lớn nhất, nhỏ nhất.

x y z
22) Cho hai ñường thẳng : d1 : = =
1 1 2

 x = −1 − 2t

d2 :  y = t
z = 1+ t


Xác ñinh tọa ñộ ñiểm M,N lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho ñường thăng MN song song với mặt phẳng
(P) : x – y + z = 0 và ñộ dài ñoạn MN bằng 2 .
23) Tìm hình chiếu H của ñiểm M(2; -3; 1) trên mặt phẳng (P) : x + 3y – z + 2=0.

 x = 1 + 2t

24) Tìm hình chiếu H của ñiểm M(2 ; -1; 1) trên ñường thẳng d :  y = −1 − t
 z = 2t

25) Tìm hình chiếu của d:

x y−2 z+6

=
=
trên mặt phẳng (P) : 2x – y + 2z + 1 = 0
1
−1
4

II. BÀI TOÁN 2: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH
BÀI TOÁN 2.1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

7


CÁC BÀI TOÁN MẪU

x = 1+ t
x y −1 z + 1

1) (B – 2006) Cho ñiểm A(0; 1; 2) và hai ñường thẳng : d1 : =
, d 2 :  y = −1 − 2t
=
2
1
−1
z = 2 + t

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A ñồng thời song song với d1 , d 2 .

Phân tích:
+) Bài toán cho ñi qua ñiểm A(0; 1; 2) (biết một yếu tố - vẫn còn thiếu véc tơ pháp tuyến của (P))

uuur

ur uur

ur uur

+) Khai thác dữ kiện: “(P) ñồng thời song song với d1 , d 2 ” ⇒ u1 , u2 là cặp vtcp của (P) ⇒ n( P ) = u1 , u2 


Như vậy theo Hướng tư duy ở TH1 ta sẽ có lời giải như sau:

ur

uur

Giải: Từ phương trình của ñường thẳng d1 , d 2 ta có : u1 = (2;1; −1) và u 2 = (1; −2;1)

uuur

ur uur

mà (P) ñồng thời song song với d1 , d 2 ⇒ n( P ) = u1 , u2  = (1;3;5)


uuur
Vậy phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A(0; 1; 2) và có n( P ) = (1;3;5) là:

( x − 0) + 3( y − 1) + 5( z − 2) = 0 hay x + 3 y + 5 z − 13 = 0
Kiểm tra kết quả:

ur uur

(vì chúng ta khai thác bài toán chưa triệt ñể : d1 ; d 2 có thể nằm trên (P) – u1 , u2 là cặp vtcp của (P) mới cho ta ñiều
kiện cần nhưng chưa ñủ nên ta phải có bước kiểm tra lại kết quả)

d1 / /( P)
(thỏa mãn)
d 2 / /( P)

Chọn M 1 (0;1; −1) ∈ d1 và M 2 (1; −1; 2) ∈ d 2 . Ta có: M 1 ∉ ( P); M 2 ∉ ( P) ⇒ 
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x + 3 y + 5 z − 13 = 0

2) ( D – 2010) : Cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 và mặt phẳng (Q) : x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt
phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O ñến (R) bằng 2.

Phân tích:
+) Như vậy với dữ kiện của ñề bài ta không khai thác ñược yếu tố ñiểm. Thế còn véc tơ pháp tuyến ?

uuur uuur

uuur

uuur uuur

+) Dữ kiện: “mp (R) vuông góc với (P) và (Q)” ⇒ n( P ) , n(Q ) là cặp vtcp của (R) ⇒ n( R ) =  n( P ) , n( Q )  = ( a; b; c )



⇒ mp (R): ax + by + cz + m = 0



+) Cắt nghĩa dữ kiện: O ñến (R) bằng 2 ⇒ f ( m) = 0 ⇔ m = ? ⇒ mp (R)

Với những phân tích trên ta sẽ ñi theo Hướng tư duy ở TH2 . Và ta có lời giải cụ thể sau:
Giải:
uuur
uuur
Từ phương trình của mặt phẳng (P) và (Q) ta có : n( P ) = (1;1;1) và n( Q ) = (1; −1;1)

uuur

uuur uuur

mà mp (R) vuông góc với (P) và (Q)” ⇒ n( R ) =  n( P ) , n( Q )  = (2; 0; −2) = 2.(1;0; −1)



Vậy phương trình (R) có dạng: x − z + m = 0



Ta có: d (O;( R )) = 2 ⇔

m
12 + 12

= 2 ⇔ m = 2 2 ⇔ m = ±2 2

Vậy phương trình của (R): x − z + 2 2 = 0 hoặc x − z − 2 2 = 0

8