Dạy phần phương pháp tọa độ trong không gian cho học viên THPT

Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
DẠY PHẦN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
CHO HỌC VIÊN BẬC THPT
*****
I. SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
Trong chương trình phổ thông, mỗi môn học đều có vai trò, vị trí khác nhau
đối với việc hình thành và phát triển tư duy của học viên. Vai trò vị trí của môn toán
học nhất là phần “phương pháp tọa độ trong không gian” lại càng có ý nghĩa đặc biệt
quan trọng. Nó chiếm thời lượng khá lớn trong phân phối chương trình môn hình
học lớp 12 cũng như trong bài thi tốt nghiệp THPT hệ GDTX hàng năm. Nó giúp
học viên giải được một số bài toán một cách khá đơn giản mà phần hình học không
gian tổng hợp khó thực hiện được. Nó là chiếc cầu nối giữa hình học và đại số, giải
tích. Hơn nữa, phần học này còn chiếm đến 2 điểm trong bài thi tốt nghiệp THPT
hàng năm.
Thực tế quá trình dạy và học trong những năm qua về phần học này cho thấy
chúng ta còn có nhiều vấn đề bất cập cần giải quyết trước mắt cũng như lâu dài: Kĩ
năng giải toán, nhất là về phương pháp tọa độ của học viên còn rất yếu, trong khi
chương “ phương pháp tọa độ trong không gian” nó khá trừu tượng, có nhiều kiến
thức tổng hợp. Học viên có nhiều khó khăn trong việc “nhìn thấy hình không gian’’;
khả năng vận dụng kiến thức để giải bài tập còn nhiều hạn chế… trong khi chuẩn
kiến thức, kỹ năng thì lại khá cao, bài tập trong sách giáo khoa nhiều bài quá khó đối
với học viên hệ Giáo dục Thường xuyên (GDTX).
Vì vậy trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần phải đặt ra mục tiêu là giúp
học viên nắm được kiến thức cơ bản về hình học không gian và các kiến thức liên
quan để hình thành phương pháp học lý thuyết cũng như kĩ năng giải bài tập, từ đó
tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn cho học viên.
Đề tài này nhằm mục đích thiết thực nhất là triển khai cho học viên hệ GDTX
thực hiện để tham dự kỳ thi tốt nghiệp THPT hệ GDTX và áp dụng nâng cao cho
một số học viên dự thi Trung cấp chuyên nghiệp.
Xuất phát từ những vấn đề nêu trên, qua nhiều năm giảng dạy hệ GDTX tại
Trung tâm Giáo dục Thường xuyên Trần Văn Thời, tôi rút ra được một số kinh

nghiệm giảng dạy phần “Phương pháp tọa độ trong không gian” – hình 12 cho học
viên hệ GDTX, đễ giáo viên giảng dạy môn toán khối 12 nghiên cứu, áp dụng giảng
dạy cho học viên của minh lĩnh hội kiến thức được dễ dàng hơn và dần rèn luyện kĩ
năng giải toán hình học bằng phương pháp tọa độ, giúp cho học viên nắm được kiến
thức cơ bản nhất của chương.
II. PHẠM VI TRIỄN KHAI THỰC HIỆN
Đề tài “ Dạy phần phương pháp tọa độ trong không gian” được nghiên cứu
triển khai thực hiện nhiều năm tại Trung Tâm Giáo dục Thường Xuyên Trần Văn
Thời. Áp dụng trục tiếp cho học viên lớp 12 hệ GDTX học môn toán.
Trang 1
Võ Văn Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
III. MƠ TẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận
Căn cứ vào chương trình Giáo dục Thường xun cấp trung học phổ thơng
(bổ túc THPT) ban hành kèm theo Quyết định số 50/2006-QĐBGDĐT ngày 07
tháng 11 năm 2006 của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Đề tài được xây dựng và nghiên cứu trên cơ sở thực tế các năm dạy về
phương pháp tọa độ trong khơng gian mà trọng tâm là lập phương trình mặt cầu, mặt
phẳng, đường thẳng.
Về u cầu khi giải bài tập tốn học viên cần phải có kĩ năng suy luận, liên hệ
giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, giữa bài tốn đã làm và bài tốn đang làm. Các
tiết giải bài tập của một chương phải được xác lập theo hệ thống từ dễ đến khó
(khơng nhất thiết phải theo các bài tập trong sách giáo khoa) nhằm phát triển tư duy
cho học viên trong q trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của học viên. Hệ
thống bài tập có thể giúp học viên tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất
và dần dần phát triển kĩ năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một
cách linh hoạt vào giải tốn và trình bày lời giải của một bài tốn. Từ đó học viên có
hứng thú và động cơ học tập tốt. Nắm được tốt mối quan hệ chặc chẻ
giữa hình học phẳng và hình học khơng gian, bởi vì học tốt hình
học phẳng sẽ làm cơ sở, tiền đề cơ bản để học hình

không gian. Ngược lại học tốt hình không gian sẽ khắc sâu
kiến thức và làm nổi bậïc thêm bản chất của hình học
phẳng.
2. Cơ sở thực tiển
a, Đối với việc dạy và học:
Trong q trình học phần phương pháp tọa độ trong khơng gian, đa số học
viên rất lúng túng, khơng biết bắt đầu giải bài tốn từ đâu? Lập luận thì rất mơ hồ,
thiếu cơ sở, kĩ năng giải bài tập khơng gian còn q yếu. Khi viết phương trình mặt
phẳng, đường thẳng học viên thường nhằm lẫn véc tơ pháp tuyến với véc tơ chỉ
phương và ngược lại. Hầu hết học viên khơng nhớ được các kiến thức hình học liên
quan đến phần này.
Một điều quan trọng nữa là tâm lý ngán ngại học hình học nhất là hình học
khơng gian của nhiều học viên đã có từ các lớp học trước đó. Trong các kì kiểm tra
chất lượng của bài kiểm tra chương này thượng rất thấp. Trong các kì thi tốt
nghiệp, rất nhiều học viên chỉ giải các câu về phân mơn giải tích còn phần hình học
thường học viên khơng làm hoặc làm khơng trọn vẹn.
b, Đối với phân phối chương trình:
Chương phương pháp tọa độ trong khơng gian trong hình học lớp 12 hệ Giáo
dục Thường xun được phân bố 19 tiết (Lý thuyết -7 tiết; Bài tập – 9 tiết; Ơn tập –
2 tiết ; Kiểm tra - 1tiết). Các bài tập trong sách giáo khoa, nhiều bải tập khó, đặc
biệt q khó đối với học viên yếu kém hệ Giáo dục Thường xun.
Vì vậy, nên việc xác định phương pháp giải, tìm tòi, chọn lựa bài tập cho học
viên, kết hợp với các bài tập trong sách giáo khoa để thiết kế bài giảng hợp lý, giảm
Trang 2
Võ Văn Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
bớt khó khăn, giúp học viên nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ
năng lĩnh hội kiến thức mới, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong kiểm tra
đánh giá có một ý nghĩa hết sức quan trọng.
Xuất phát từ những vấn đề đã được nêu trên, sau đây tơi xin được nêu một
giải pháp cơ bản mà bản thân đã áp dụng có hiệu quả trong những năm qua.

3. Giải pháp thực hiện
Trong tốn học, muốn giảng dạy tốt một phần kiến thức hoặc một chương nào
đó, đòi hỏi người thầy phải thực hiện tốt một quy trình giảng dạy cụ thể phù hợp với
nội dung kiến thức đó. Sau đây là quy trình giảng dạy chương “Phương pháp tọa tộ
trong khơng gian” - hình học 12 cho học viên hệ GDTX:
3.1, Xác định các kiến thức liên quan
Trong q trình giảng dạy, người thầy nhất thiết phải nắm bắt và xác định
được các kiến thức có liên quan đến phần tọa độ trong khơng gian đã được học
trước đó và tranh thủ thời gian để nhắc lại cho học viên nắm vững các kiến thức liên
quan đến phần này. Như vậy sẽ tạo điều kiện dễ dàng cho việc giải bài tập sau này.
Bởi vì các kiến thức này phần lớn đều được học từ những năm học trước nên nhiều
học viên đã khơng còn nhớ hoặc nhớ rất mơ hồ. Các kiến thức liên quan này có ý
nghĩa hổ trợ rất nhiều cho việc lĩnh hội kiến thức mới của học viên.
Các kiến thức này gồm:
+ Các kiến thức trong mặt phẳng:
- Hệ tọa độ Oxy:
Khái niệm hệ tọa độ,cách biểu diễn một điểm, một véctơ trên mặt phẳng tọa
độ, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng…
- Các kiến thức về vectơ:
Định nghĩa véc tơ, hai véc tơ bằng nhau, điều kiện hai véc tơ cùng phương, độ
dài của véc tơ, các phép tốn trên véctơ (Tổng, hiệu, tích vơ hướng của hai véctơ).
Xác định tọa độ của 1 véc tơ khi biết tọa độ điểm đầu và điểm cuối của nó,…
- Phương trình đường thẳng:
Biết được phương trình tổng qt, phương trình tham số, phương trình chính
tắc của đường thẳng trong một số trường hợp đơn giản; Xác định được véc tơ chỉ
phương, véc tơ pháp tuyến của một đường thẳng từ phương trình của nó; Vẽ được
đường thẳng trên hệ trục Oxy, tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng…
- Phương trình đường tròn:
Viết được phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính và ngược lại xác
định được tâm và bán kính của một đường tròn từ phương trình của nó. Các yếu tố

của đường tròn: Tâm, bán kính, đường kính, tiếp tuyến, tiếp điểm,
+ Các kiên thức trong khơng gian
- Đường thẳng, mặt phẳng, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng,
đường thẳng và mặt phẳng; đường vng góc chung của hai đường thẳng, khối lập
phương, khối hợp chữ nhật,…
- Mặt cầu: Các kiến thức cơ bản về mặt cầu (Tâm, bán kính, đường kính, tiếp tuyến,
tiếp điểm, tiếp diện…); vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu,…
* u cầu:
Trang 3
Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
Các kiến thức liên quan nói trên, khi giản dạy giáo viên cần nắm được các yêu
cầu sau đây:
- Cho học viên nắm các kiến thức ở mức độ cơ bản nhất;
- Chỉ nêu các kiến thức liên quan khi cần thiết (dạy đến phần kiến thức nào thì
nêu lại phần kiến thức liên quan đó);
- Phải có đối chiếu so sánh các kiến thức trong mặt phẳng và không gian
tương ứng: Đường thẳng trong mặt phẳng và mặt phẳng trong không gian; đường
tròn và mặt cầu…
3.2, Lựa chọn bài tập để giải
Trên cơ sở nắm vững phần lý thuyết đã được học và các kiến thức liên quan,
bước tiếp theo là giải bài tập, thực hành giải bài tập càng nhiều càng khắc sâu thêm
kiến thức đã học.
Tuy nhiên, việc cho học viên giải bài tập nào để có hiệu quả cao nhất lại là
vấn đề khó khăn đối với giáo viên. Nhiều giáo viên trung thành giải các bài tập đã có
sẳn trong sách giáo khoa. Việc làm này chẳng những không mang lại hiệu quả cao,
mà ngược lại còn làm cho học viên trỡ nên ngán ngẫm, sợ học môn toán . Vì như đã
nói ở trên đa số các bài tập trong sách giáo khoa thường không phù hợp với trình độ
học viên học hệ GDTX. Hơn nữa với thời lượng 9 tiết luyện tập cho cả chương, giáo
viên cũng khó có thể giải hết được các bài tập trong sách giáo khoa. Do đó, trước khi
nhận lớp dạy giáo viên cần dành thời gian tìm hiểu trình độ học viên, ý thức học tập

bộ môn của lớp, những điều kiện hỗ trợ khác… để lựa chọn các bài tập giảng dạy
cho phù hợp. Các bài tập này phải được giáo viên tìm kiếm, tự biên soạn hoặc lựa
chọn, điều chỉnh những bài tập trong sách giáo khoa.
* Các yêu cầu
- Đảm bảo tính vừa sức, phù hợp với học viên của từng lớp dạy;
- Đảm bảo đúng chẩn kiến thức, yêu cầu, đúng trọng tâm của chương;
- Đảm bảo kiến thức cơ bản, bài tập phải có tính tổng hợp;
- Đảm bảo phải có các bài tập riêng cho học viên khá giỏi.
3.3, Lựa chọn và thực hiện phương pháp dạy
Sau khi đã lựa chọn, biên soạn được các bài tập giảng dạy, giáo viên cần phải
biết lựa chọn, thiết kế bài dạy cho phù hợp với trình độ của học viên. Một bài toán
có thể dạy ở lớp này nhưng có thể không dạy ở lớp khác.Thậm chí cùng một bài toán
nhưng mỗi lớp lại thể hiện phương pháp dạy khác nhau. Việc lựa chọn phương pháp
giải cho phù hợp với từng đối tượng là một nghệ thuật, nó vừa đòi hỏi tính nhạy bén,
linh động vừa thể hiện được bản lĩnh, kinh nghiệm của người giảng dạy.
Giáo viên có nhiều kinh nghiệm là giáo viên biết hình thành trong đầu mình
nhiều phương pháp giải cho cùng một đối tượng và sau đó tự biết lựa chọn phương
pháp nào tối ưu nhất. Nếu thực hiện phương pháp này không thành công thì phải biết
chuyển sang phương pháp khác một cách linh động. Nhưng cho dù dạy bằng phương
pháp nào thì đối với trình độ học viên hệ GDTX đa số là yếu kém, khi giải một bài
tập (Chủ yếu là lập phương trình) cần chỉ rõ cho học viên biết được “hướng đi” cụ
thể của dạng bài tập đó. Sau đây là sơ đồ lập phương trình mặt cầu, mặt phẳng,
đường thẳng:
Trang 4
Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
Mặt cầu Mặt phẳng Đường thẳng
+ Ta có tâm của mặt cầu
I(x,y,z)
+ Ta có
0 0 0

( ; ; ) ( )
o
M x y z pm
α
∈
+ Ta có
0 0 0
( ; ; )
o
M x y z d∈
+ Bán kính mặt cầu:
R =
+ Vec tơ pháp tuyến:
( , , )n A B C=
r
+ Vec tơ chỉ phương:
( , , )u a b c=
r
+ Phương trình mặt cầu:
2 2 2 2
0 0 0
( ) ( ) ( )x x y y z z R
− + − + − =
+ Phương trình
( ) :pm
α
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =
+ Phương trình tham số
đường thẳng d:

0
0
0
t
x x at
y y bt
y z ct
= +


= + ∈


= +

¡
Học viên chỉ cần học thuộc sơ đồ trên và áp dụng giải bài tập theo dạng đó.
Như vậy sẽ khắc phục được tình trạng học viên thường lúng túng khi lập luận để xác
định véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến. Đây là chổ mà học viên thường mắc phải
sai lầm nhiều nhất (đã nêu ở phần trên). Tuy nhiên có một số bài tập dạng lập
phương trình mà khi giải không thể theo sơ đồ định sẳn như trên. Đối với số bài tập
kiểu này giáo viên nên giành cho số học viên khá để nâng cao thêm kiến thức cho
đối tượng này.
Bên cạch đó còn có một số dạng toán liên quan đến mặt cầu, mặt phẳng,
đường thẳng như: Xét vị trí tương đối, tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng,
tìm tọa độ giao điểm của đương thẳng và mặt phẳng, hình chiếu, điểm đối xứng. Mỗi
một dạng toán giáo viên cần nêu rõ sơ đồ giải cho học viên. Nếu không, học viên sẽ
không biết phải bắt đầu giải từ đâu, kết thúc khi nào.
Để khắc phục tình trạng này, giáo viên có thể tham khảo các sơ đồ sau đây:
1, TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM M CỦA ĐƯỜNG THẲNG

∆
VÀ MẶT PHẲNG
( )
α
+ Vì
∈∆
M
nên
( )
+ + +
0 0 0
; ;M x at y bt z ct
+ Vì
( )
α
∈
M
nên:
( ) ( ) ( )
+ + + + + + =
0 0 0
0A x at B y bt C z ct D

⇔
=


⇔ = ⇒ =



=





x
t y
z
+ Vậy M( …;…;…)
2, TÌM TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM A TRÊN ĐƯỜNG THẲNG
∆

Trang 5
Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
+ Mặt phẳng
( )
α
qua A(….) và vuông góc với đường thẳng
∆
nên có vec tơ pháp
tuyến
( ; ; )n a b c=
r
. Do đó có phương trình:
( ) ( ) ( )
− + − + − =
0
A A A
a x x b y y c z z

+ Gọi H là giao của mp
( )
α
và đường thẳng
∆
thì H là hình chiếu của A trên
∆
:
( Tìm tọa độ của H như bài toán 1)
3, TÌM TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM A TRÊN MẶT PHẲNG
( )
α
+ Đường thẳng qua A(…) và vuông góc với mặt phẳng
( )
α
nên có vec tơ chỉ
phương
( ; ; )u A B C=
r
Do đó
∆
có phương trình tham số:

= +

= +


= +


A
A
A
x x At
y y Bt
z z Ct
+ Gọi H là giao của mp
( )
α
và đường thẳng
∆
thì H là hình chiếu của A trên mặt
phẳng
( )
α
:
( Tìm tọa độ của H như bài toán 1)
4,TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM A’ ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM A QUA ĐƯỜNG THẲNG
∆

+ Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng
∆
(như bài toán 2)
+ Vì H là trung điểm của đoạn AA’ nên ta có:
 
= − =
 
= − ⇔ = ⇒
 

 
= − =
 
' '
' '
' '
2
2 '( )
2
A H A A
A H A A
A H A A
x x x x
y y y y A
z x z z
5, TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM A’ ĐỐI XỨNG VỚI ĐIỂM A QUA MẶT PHẲNG
( )
α

+ Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
( )
α
như bài toán 3)
+ Vì H là trung điểm của đoạn AA’ nên ta có:
 
= − =
 
= − ⇔ = ⇒
 
 

= − =
 
' '
' '
' '
2
2 '( )
2
A H A A
A H A A
A H A A
x x x x
y y y y A
z x z z
6, TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN LÀ GIAO CỦA MẶT CẦU (S)
MẶT PHẲNG
( )
α
+ Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S):
Ta có tâm I(a;b;c) và bán kính của mặt cầu là R = …
Trang 6
Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
+ Gọi H là hình chiếu của tâm I của mặt cầu mặt phẳng
( )
α
thì H là tâm đường tròn:(
Tìm tọa độ điểm H như bài toán 3)
+ Tính đoạn
( ) ( ) ( )
= − + − + − ⇒

2 2 2
H I H I H I
IH x x y y z z
Bán kính đường tròn:
= −
2 2
r R IH
7. CHỨNG MINH 4 ĐIỂM A,B,C,D KHÔNG ĐỒNG PHẲNG (HAY ABCD
LÀ TỨ DIỆN)
+ Viết phương trình mặt phẳng (ABC):

( ; ; )
( ; ; )
( ; ; )
AB
AC
n AB AC
=
=
= ∧ =
uuur
uuur
r uuur uuur
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(….) có vec tơ pháp tuyến
( ; ; )n =
r
nên có
phương trình:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0

Ax+By+z+D=0
A x x B y y C z z
− + − + − =
⇔
+ Tính:
0
D D D
Ax By Cz D+ + + ≠
( tọa độ điểm D không thỏa phương trình mp(ABC)).
+ Kết luân: A.B.C,D không đồng phẳng (hay ABCD là tứ diện).
* Các yêu cầu
- Các phương pháp giảng dạy phải được giáo viên xác định trước sao cho cho phù
hợp đối với mỗi lớp, mỗi đối tượng;
- Biết nhận xét đánh giá ưu, khuyết điểm của mỗi phương pháp đã được lựa chọn;
- Phát huy được tính tích cực, tư duy sáng tạo của học viên.
3.4, Tiến hành giải một bài tập
Sau khi lựa chọn bài tập và phương pháp giải phù hợp, giáo viên tiến hành
thực hiện giải bài tập hoặc hướng dẫn cho học viên giải bài tập. Mỗi một dạng toán
đều có phương pháp và quy trình giải khác nhau. Đối với các bài toán phần này, khi
giải giáo viên tuân thủ thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đọc thật kỹ đề bài và vẽ hình biểu diễn
Hiện nay có một số giáo viên khi giải bài tập cho học viên thường chỉ đọc
hoặc ghi lên bảng số thứ tự bài và số trang trong sách giáo khoa (kiểu như bài 2/tr.
126). Việc làm đơn giản, chiếu lệ như thế làm cho nhiều học viên hiểu đề bài không
kỹ, thậm chí số học viên không có sách giáo khoa không đọc được đề bài mà chỉ
trông chờ chép bài giải của thầy mà không hiểu được bài.
Để khắc phục tình trạng này, trước khi giải giáo viên nên cho học viên đọc,
nghiên cứu thật kỹ đề bài, sau đó đó vẽ hình biểu diễn theo bài toán yêu cầu (đối với
một số bài khó) để học viên hình dung được, “nhìn thấy” được bài toán thông qua
hình biểu diễn minh họa. Tuy nhiên, kĩ năng vẽ hình không gian của học viên rất

yếu. Nên giáo viên cần định hướng, hướng dẫn học viên phương pháp vẽ hình biểu
diễn của một hình trong không gian.
Trang 7
Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
2
: 1 2
1
x t
d y t
y t
= −


= − +


= +

và song
song với đường thẳng
2 2
' : 1 3
3
x t
d y t
y t
= +



= +


= − −

Với bài toán này nếu không vẽ hình biểu diễn, học viên sẽ khó tìm được điểm
nào thuộc mặt phẳng và véc tơ pháp tuyến của nó là véc tơ nào?. Nhưng nếu có hình
biểu diễn thì việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều.
Bước 2: Xác định dạng của bài toán
Trên cơ sở đọc thật kỹ đề và hình biểu diễn minh họa, giáo viên dần hướng
dẫn cho học viên biết được bài toán đã cho thuộc dạng nào? Yêu cầu học viên nhắc
lại các bước giải bài toán thuộc dạng đó. Việc làm này tương đối dể dàng đối với
học viên và cũng không tốn nhiều thời gian, nhưng lại có tính chất quyết định. Vì
nếu không xác định được dạng của bài toán hoặc xác định sai dạng thì học viên sẽ
không giải được bài hoặc giải lệch hướng.
Bước 3:Trình bày lời giải
Khi đã xác định được dạng bài tập và sơ đồ để giải bài tập, giáo viên cho học
viên trình bày lời giải theo sơ đồ đó. Đây là bước . Trong thực tế có nhiều học
viêquan trọng, giúp giáo viên biết được khả năng của tùng học viên. Trong thực tế
nhiều học viên hiểu và làm được bài, nhưng khi trình bày thì lại lúng túng không biết
bắt đầu từ đâu, kết thúc bài toán khi nào? Vì vậy, bước đầu nên cho học viên trình
bày lời giải theo sơ đồ (như phần lựa chọn phương pháp dạy) cụ thể để học sinh
tránh bớt những sai sót khi lập luận trình bày lời giải.
Bước 4: Kiểm tra, đánh giá bài giải
Sau khi học sinh đã trình bày xong lời giải một bài toán giáo viên nhất thiết
phải kiểm tra, đánh giá bài giải của học viên để phát hiện, điều chỉnh những thiếu sót
trong bài giải đó. Đặc biệt không được tự thỏa mãn lời giải của mình, mà sau mổi
bài toán, giáo viên cần phải hỏi học viên có lời giải nào khác không? Vì trong thực
tế rất nhiều bài toán có nhiều lời giải khác nhau cho nên giáo viên không nên chủ
quan hoặc quá tự tin vào lời giải của mình. Vì vậy giáo viên cần phải tự tìm nhiều

lời giải và đánh giá các lời giải đó một cách công bằng, khách quan cho dù lời giải
đó là của giáo viên hay của học viên.
Kiểm tra về hình thức trình bài: Thẫm mỹ, chữ viết, văn phạm, bố cục, hình vẽ
Trang 8
d'
d
M’
O
M
O
P
Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
Kiểm tra về nội dung: Cách thức lập luận của học sinh, tính lôgic, chặc chẻ, chính
xác
Bước 5: Tìm bài toán tương tự, cụ thể, hóa, tổng hợp hóa
Giáo viên là người hiểu rõ ý nghĩa, vị trí, vai trò của từng bài toán mà mình đã
cho học viên giải. Vì vậy sau khi giải xong một bài toán giáo viên nên so sách bài
toán này với bài toán khác, cho thêm bài toán tương tự về nội dung nhưng khác về
hình thức và ngược lại. Hơn nữa cũng nên xác định cho học sinh biết tầm “quan
trọng” của bài toán vừa được giải: Có trong các bài kiểm tra, các kì thi, làm cơ sở để
giải các bài tập khác; củng cố kiến thức… .
Nếu bài toán ở dạng tổng quát thì phải quy về một bài cụ thể để học viên dể
nhận ra, ngược lại nếu bài toán là bài giải cụ thể, cơ bản, thì phải có bài tập mang
tính tổng quát hơn, trừu tượng hơn để học viên phát huy được tính sáng tạo của
mình. Bên cạnh đó cũng cần cho thêm một số bài tập cho số học sinh khá giỏi để số
học viên này có điều kiện phát huy năng lực của mình.
Khi thực hiện bước này giáo viên cần chú ý:
- Giáo viên không nên giải các bài toán tương tự mà để học viên tự giải;
- Chỉ gợi ý, hướng dẫn các bài toán tổng quát, các bài cho học sinh khá giảo khi thật
cần thiết;

- Phải thường xuyên kiểm tra việc giải các bài tập này của học viên.
Trang 9
Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
Ngoài ra, sau khi dạy hết chương giáo viên cần hệ thông lại kiến thức của
chương. Thống kê các dạng toán cụ thể thường găp và chỉ rõ sơ đồ giải từng dạng
toán đó cho học viên. Có thể cho học viên hoàn thiện bảng sau đây:
MẶT CẦU – MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG
MẶT CẦU (S)
MẶT PHẲNG
( )
α
ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
+ − + − + − =

có tâm
( , , )I a b c
, bán kính R
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d
+ + + − − − + =

có tâm
( , , )I a b c
,

bán kính
2 2 2
R a b c d
= + + −


( ) ( ) ( )
0 0 0
+A x - x +B y - y +C z - z =0

có
0 0 0 0
( ; ; ) ( )M x y z
α
∈
và
( ; ; )n A B C
=
r

+
Ax 0By Cz D
+ + + =
có
( ; ; )n A B C
=
r
+
0 0 0
x x y y z z

a b c
− − −
= =

+
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +


0 0 0 0
( ; ; )M x y z d
∈

( ; ; )u a b c
=
r

Các dạng toán thường gặp
I. Viết pt mặt cầu biết:

1.Tâm I(a,b,c) và bán
kính R
2. Tọa độ 2 đầu múc của
1 đường kính AB.
3,Mặt cầu có tâm
I(a,b,c) và đi qua 1 điểm
A.
4. Mặt cầu có tâm
I(a,b,c) và tiếp xúc với
mp(P).
5. Qua 4 điểm A,B,C,D
II. Các dạng khác
1. Chứng minh mặt cầu
cắt, tiếp xúc, không cắt
mp (P).
2.Tìm tâm và bán kính
của đường tròn là giao
của mặt cầu và mặt
phẳng.
II. Viết pt mặt phẳng
biết:
1. Qua điểm M
0
có vec tơ
pháp tuyến
2,Qua điểm Mo và song
song với mp(P).
3,Qua điểm Mo và vuông
góc với đường thẳng d .
3, Mặt phẳng trung trực

đoạn thẳng AB.
4, Chứa 2 đt hoặc chứa1
đt và // với đt.
5. Qua 3 điểm ABC.
6, Tiếp xúc với mặt cầu
tại điểm Mo
II. Các dạng khác
1, Tìm hình chiếu của 1
điểm trên mặt phẳng.
2, Tìm điểm đối xúng A’
của A qua mp (P).
3, Tính khoảng cách từ
điểm Mo đến mp(P)
4, Vị trí tương đối 2 mp.
I. Viết pt đường thẳng
biết:
1. Qua điểm M
0
có vec
tơ chỉ phương 2, Qua
điểm Mo và song song
đường thẳng d.
3, Điểm Mo và vuông
góc với 1 mp(P).
4, Cắt và vuông góc với
2 đường thẳng.
5. Qua 3 điểm ABC.
II. Các dạng khác
1, Tìm hình chiếu của 1
điểm trên đường thẳng.

2, Tìm điểm đối xúng
A’ của A qua đường
thẳng d.
3,Tìm giao điểm của
đường thẳng và mặt
phẳng.
4, Vị trí tương đối 2
đường thẳng
4.Ví dụ minh họa
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
2
: 1 2
1
x t
d y t
y t
= −


= − +


= +

và song
song với đường thẳng
2 2
' : 1 3
3
x t

d y t
y t
= +


= +


= − −

Trang 10
Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
Đây là bài toán tương đối khó đối với học viên hệ GDTX. Học viên sẽ rất lúng
túng khi tìm kiếm lời giải và khó xác định được điểm thuộc mặt phẳng (P) và véc tơ
pháp tuyến của nó. Học viên khó có thể trình bày lời giải một cách chặc chẻ, lập luận
lôgic như học sinh phổ thông. Vì vậy ta có thể cho học viên giải theo sơ đồ:
+ Đọc thật kỹ đề bài và vẽ hình biểu d
+ Xác định dạng của bài toán
Đây là bài toán dạng viết phương trình mặt phẳng
+ Trình bày lời giải
- Ta có
0
(2; 1;1) ( )M pm P− ∈
- Vec tơ pháp tuyến:
[ ]
'
, ( 1;2;1),(2;3; 1) ( 5;1; 7)
d d
n u u
 

= = − − = − −
 
r r r
- Phương trình
( ) :pm P

0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
5( 2) 1( 1) 7( 1) 0
5 7 18 0
A x x B y y C z z
x y z
x y z
− + − + − =
⇔ − − + + − − =
⇔ + + − =
+ Kiểm tra đánh giá lời giải
Sau khi đẫ trình bày xong lời giải, ngoài việc chỉnh sửa lời giải của học viên,
giáo viên nên hỏi học viên có thể giải bài toán theo cách khác được không? Nếu có
thì hãy trình bày theo cách đó? Khi học viên trình bày xong lời giải giáo viên nhất
thiết phải so sánh, đánh giá ưu, khuyết điểm của từng phương pháp giải.
+ Giải bài toán tương tự
Sau khi giải xong bài toán này, để khắc sâu kiến thức giáo viên có thể yêu cầu học
viên trình bày bài toán tương tự sau đây:
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với đường thẳng
2
: 1 2
1
x t
d y t

y t
= −


= − +


= +

và
chứa đường thẳng
2 2
' : 1 3
3
x t
d y t
y t
= +


= +


= − −

IV. KẾT QUẢ, HIỆU QUẢ MANG LẠI
Việc áp dụng dạy phần phương pháp tọa độ trong không gian như đã nêu
trên trong những năm qua, bản thân tôi xét thấy có những ưu điểm và hạn sau đây:
Trang 11
d'

d
M’
O
M
O
P
Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
* Ưu điểm
Thứ nhất, về thái độ ý thức học tập của học viên được tăng lên rõ rệt, nhiều
học viên từ chổ ngán ngại lúc ban đầu nay dần trở nên ham thích học và tự giác học
phần phương pháp tọa độ trong không gian hơn.
Thứ hai, về kết quả làm bài cũng được nâng cao qua các kì kiểm tra, các kì
thi. Số viên giải đúng câu này tăng lên nhanh chóng, tình trạng không làm câu này
giảm đáng kể. Điều này được thể hiện cụ thể trong bảng thống kê sau đây:
Bảng thống kê khảo sát học viên của TTGDTX Trần Văn Thời
Trước và sau khi áp dụng đề tài
Thời gian
S
ố HV
làm được
Số HV làm được một phần S
ố Hv giải
sai hoàn
Số HV
không làm
Lập luận
không chính
xác nhưng kết
quả đúng
Lập luận

chính xác
nhưng kết
quả sai
Trước khi áp
dụng đề tài
7 % 23% 10% 15% 45%
Trước khi áp
dụng đề tài
55% 15% 10% 13% 7%
Cộng
* Hạn chế
- Mất nhiều thời gian và công sức của giáo viên giảng dạy: Lựa chọn các bài
kiểm tra phù hợp với học viên mà không có trong sách giáo khoa; thiết kế bài dạy,
đối tượng học viên …
- Một số học viên khá giỏi ít được phát huy khả năng: Vì giáo viên ít có thời
gian giảng dạy các bài tập khó; thường tập trung giảng dạy cho đối tượng học viên
yếu, kém, …
Trang 12
Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
V. ĐÁNH GIÁ VỀ PHẠM VI ẢNH HƯỞNG CỦA SÁNG KIẾN
Việc giảng dạy và hướng dẫn học viên giải các bài tập của chương PHƯƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Hình học 12 như đã trình bày trên, được
áp dụng khá thuận cho nhiều học sinh phổ thông có học lực yếu kém và học viên hệ
Giáo dục Thường xuyên. Với phương pháp này, nó làm cho phần hình học không
gian này trở nên đơn giản hơn, dễ tiếp cận hơn, từ đó mang lại nhiều kết quả khả
quan hơn.
Tuy nhiên, trong suốt năm học, giáo viên còn có thời gian ôn luyện cho học
viên thi tốt nghiệp. Vì vậy giáo viên cần phải dành thời gian nhiều hơn để giảng dạy
các bài tập nâng cao thêm cho đối tượng học viên ôn thi vào các trường Trung học
chuyên nghiệp, Cao đẳng, Đại học sau này.

IV. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT
Để tạo điều kiện tốt nhất cho việc triển khai, mở rộng thực hiện đề tài này, tôi
đề xuất các cấp Lãnh đạo những vấn đề sau đây:
- Đối với Lãnh đạo Trung Tâm: Tiếp tục cho triển khai, nhận xét, đánh giá, hoàn
thiện đề tài trong tổ chuyên môn để thực hiện trong những năm học tiếp theo.
- Đối với lãnh đạo Sở: Trên cơ sở nhận xét, đánh giá, xếp loại đề tài nếu có thể
được thì nhân bản mở hội thảo cho các giáo viên giảng dạy môn toán các Trung
tâm để hoàn thiện, áp dụng giảng dạy cho học viên trong toàn Tỉnh.
Trên đây là phương pháp dạy phần “phương pháp tọa độ trong không gian”
cho học viên hệ Giáo dục Thường xuyên, được áp trong nhiều năm qua và đã thu
được nhiều kết quả khả quan. Tôi rất muốn được trao đổi, tham khảo nhiều ý kiến
đóng góp của Hội đồng Khoa học và các đồng nghiệp về vấn đề này để đi đến một
giải pháp tối ưu nhất trong công tác giảng dạy.
Tất nhiên, trong quá trình thực hiện đề tài này, vẫn còn có nhiều điều thiếu
sót. Rất mong Hội đồng Khoa học và các đồng nghiệp nhiệt tình đóng góp nhiều ý
kiến xây dựng, bổ sung để chúng ta cùng tìm ra được giải pháp tốt nhất cho phần
dạy rất quan trọng này của môn toán học.
Xin chân thành cảm ơn!
Trần Văn Thời, ngày 18 tháng 03 năm 1013
Người viết

Võ Văn Vui
Trang 13
Voõ Vaên Vui – TT GDTX Trần Văn Thời
PHẦN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
- Tên đề tài: Dạy phần phương pháp tọa độ trong không gian
- Tác giả: Võ Văn Vui
Trường (đối với đơn vị trực thuộc
Phòng GD&ĐT), Tổ chyên môn (đối

với đơn vị trực thuộc Sở GD&ĐT)
Phòng GD&ĐT
(hoặc Trường, Trung tâm trực thuộc Sở)
Nội dung Xếp
loại
Nội dung Xếp
loại
- Đặt vấn đề
- Biện pháp
- Kết quả phổ biến, ứng dụn
- Tính khoa học
- Tính sáng tạo
- Đặt vấn đề
- Biện pháp
- Kết quả phổ biến, ứng dụng
- Tính khoa học
- Tính sáng tạo
Xếp loại chung:
Ngày tháng năm 2013
Tổ trưởng
Xếp loại chung:
Ngày tháng năm 2013
Giám đốc
Căn cứ kết quả xét, thẩm định của Hội đồng khoa học ngành GD&ĐT cấp
Tỉnh;
Giám đốc Sở GD&ĐT Cà Mau thống nhất công nhận SKKN và xếp loại:
Ngày tháng năm 2013
GIÁM ĐỐC
Trang 14