Đề thi dự tuyển HSG quốc gia Nghệ an vong 2, năm học 2010-2011

Sở Giáo Dục & Đào Tạo NGhệ an Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi
học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT
năm học 2010 - 2011

Môn thi: Toán
Ngày thi: 08/10/2010
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (4,0 im).
Cho P, Q l cỏc s nguyờn dng tha món P, Q v P.Q u khụng l s chớnh
phng. Chng minh rng nu
( )
;a b
l nghim nguyờn dng nh nht ca phng
trỡnh
2 2
1x PQ y =
v
( )
;c d
l nghim nguyờn dng nh nht ca phng trỡnh
2 2
1x PQ y =
thỡ ta cú:
2 2
2
c PQd a
cd b

+ =

=

(Lu ý: Nghim nguyờn dng
( )
;

c gi l ln hn nghim nguyờn dng
( )
'; '

nu
' 0

> >
v
' 0

> >
).
Cõu 2 (4,0 im).
Tỡm tt c cỏc hm s
:f Ă Ă
tha món ng thi hai iu kin:
i)
( )
( )
( )
2 2 2
2 , , ;f x y f xy f x y x y+ + = + Ă
ii)
( )

, 2010; :x y x y +
thỡ
( ) ( )
f x f y
.
Cõu 3 (4,0 im).
Cho tam giỏc ABC v M, N l hai im di ng trờn ng thng BC sao cho
MN BC=
uuuur uuur
. ng thng d
1
i qua M v vuụng gúc vi AC, ng thng d
2
i qua N v
vuụng gúc vi AB. Gi K l giao im ca d
1
v d
2
. Chng minh rng trung im I ca
on AK luụn nm trờn mt ng thng c nh.
Cõu 4 (4,0 im).
Cho cỏc s thc dng
, ,a b c
tha món:

( ) ( )
4 4 4 2 2 2
9 25 48 0a b c a b c+ + + + + =
.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:

2 2 2
F
2 2 2
a b c
b c c a a b
= + +
+ + +
.
Cõu 5 (4,0 im).
Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A. Ta chia tam giỏc ABC thnh n tam giỏc nhn.
Hi giỏ tr nh nht ca n l bao nhiờu?
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:............................................................................................ Số báo danh:........................................
Đề chính thức