Giải chi tiết 40 câu hỏi số Mũ – Logarit trong đề thi THPT Quốc Gia 2017

Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

GIẢI CHI TIẾT 40 CÂU HỎI MŨ – LOGARIT TRONG ĐỀ THI
THPTQG 2017
Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

ĐỀ BÀI
MÃ ĐỀ 101
Câu 1. (1) Cho phương trình 4x  2x1  3  0 . Khi đặt t  2x , ta được phương trình nào dưới đây?
A. 2t 2  3  0 .

B. t 2  t  3  0 .

C. 4t  3  0 .

D. t 2  2t  3  0 .

Câu 2. (6) Cho a là số thực dương khác 1 . Tính I  log a a .
A. I 

1
.
2

B. I  0 .

C. I  2 .

D. I  2 .

Câu 3. (15) Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1 , đặt P  loga b 3  loga2 b 6 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. P  9 loga b .

B. P  27 loga b .

C. P  15 loga b .

Câu 4. (16) Tìm tập xác định D của hàm số y  log5

D. P  6 loga b .

x 3
.
x 2

A. D   \ 2 .

B. D  (; 2)  [3; ) .

C. D  (2; 3) .

D. D  (; 2)  (3; ) .

Câu 5. (17) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log22 x  5 log2 x  4  0 ,

A. S  (; 2]  [16; ).

B. S  [2;16] .

C. S  (0;2]  [16; ) .

D. S  (;1]  [4; ) .
1

Câu 6. (24) Tìm tập xác định D của hàm số y  x  13 .
A. D  (;1) .

B. D  (1; ) .

C. D   .

D. D   \ 1 .

Câu 7. (35) Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% / năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho
năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng
bao gồm gốc và lãi?. Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền
ra.

A. 13 năm.

B. 14 năm.

C. 12 năm.

D. 11 năm.

2
3

Câu 8. (39) Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình log x  m log3 x  2m  7  0 có hai
nghiệm x 1, x 2 thỏa mãn x1x 2  81 .
A. m  4 .
0947141139

B. m  4 .

C. m  81 .

D. m  44 .
1


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

Câu 9. (42) Cho loga x  3, logb x  4 với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính P  logab x .
A. P 

7
.
12

B. P 

1
.
12

C. P  12 .

Câu 10. (47) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log3

D. P 

12
.
7

1  xy
 3xy  x  2y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất
x  2y

Pmin của P  x  y .
A. Pmin 

9 11  19
.
9

B. Pmin 

9 11  19
.
9

C. Pmin 

18 11  29
.
21

D. Pmin 

2 11  3
.
3

MÃ ĐỀ 102
Câu 11. (6) Cho a là số thực dương khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y ?
A. loga

x
 loga x  log a y .
y

B. loga

x
 loga x  log a y .
y

C. loga

x
 loga x  y  .
y

D. loga

loga x
x
.

y
loga y

Câu 12. (9) Tìm nghiệm của phương trình log2 (1  x )  2 .
A. x  4 .

B. x  3 .

C. x  3 .

D. x  5 .

C. P  x .

D. P  x 9 .

1

Câu 13. (13) Rút gọn biểu thức P  x 3 . 6 x với x  0 .
1

2

B. P  x 2 .

A. P  x 8 .

Câu 14. (28) Tính đạo hàm của hàm số y  log2 (2x  1) .
A. y ' 

1
.
(2x  1)ln 2

B. y ' 

2
.
(2x  1)ln 2

C. y ' 

2
.
2x  1

D. y ' 

1
.
2x  1

Câu 15. (29) Cho loga b  2 và loga c  3 . Tính P  loga (b 2c 3 ) .
A. P  31 .

B. P  13 .

C. P  30 .

D. P  108 .

Câu 16. (30) Tìm tập nghiệm S của phương trình log 2 (x  1)  log 1 (x  1)  1 .
2





A. S  2  5 .





B. S  2  5;2  5 .

C. S  3 .

 3  13 



D. S  

.


2







Câu 17. (31) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x  2x 1  m  0 có hai
nghiệm thực phân biệt.
A. m  (;1) .

B. m  (0; ) .

C. m  (0;1] .

D. m  (0;1) .

Câu 18.(37) Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn x 2  9y 2  6xy . Tính M 
A. M 

1
.
4

0947141139

B. M  1 .

C. M 

1
.
2

1  log12 x  log12 y
2 log12 (x  3y )

D. M 

.

1
.
3
2


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

Câu 19. (41) Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho
nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả lương
cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu
tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?
A. Năm 2023.

B. Năm 2022.

C. Năm 2021.

Câu 20. (46) Xét các số thực dương a, b thỏa mãn log2

D. Năm 2020.

1  ab
 2ab  a  b  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất
a b

Pmin của P  a  2b .
A. Pmin 

2 10  3
.
2

B. Pmin 

3 10  7
.
2

C. Pmin 

2 10  1
.
2

2 10  5
.
2

D. Pmin 

MÃ ĐỀ 103
Câu 21. (4) Tìm nghiệm của phương trình log25 (x  1) 
A. x  6 .

B. x  6 .

1
.
2
D. x 

C. x  4 .

23

.
2

a 2 
Câu 22. (10) Cho a là số thực dương khác 2 . Tính I  loga   .
 4 
2 

A. I 

1
.
2

1
C. I   .
2

B. I  2 .

D. I  2 .

Câu 23. (11) Tìm tập nghiệm S của phương trình log3 (2x  1)  log3 (x  1)  1 .
A. S  4 .

C. S  2 .

B. S  3 .

Câu 24. (22) Cho hai hàm số y  a x , y  b x

D. S  1 .
y

C 

với a, b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là (C 1 ) và

2

C 
1

(C 2 ) như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 0  a  b  1 .

B. 0  b  1  a .

C. 0  a  1  b .

D. 0  b  a  1 .

Câu 25. (28) Cho log3 a  2 và log2 b 
A. I 

5
.
4

O

x

1
. Tính I  2 log3 log3 (3a )  log 1 b 2 .


2
4

B. I  4 .

D. I 

C. I  0 .

3
.
2

5

Câu 26. (29) Rút gọn biểu thức Q  b 3 : 3 b với b  0 .
2

A. Q  b .

0947141139

5

9

B. Q  b .

C. Q  b



4
3

.

4
3

D. Q  b .

3


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan





Câu 27. (32) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  log x 2  2x  m  1 có tập xác
định là  .
A. m  0 .

C. m  2 .

B. m  0 .

D. m  2 .

Câu 28. (42) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

log22 x  2 log2 x  3m  2  0 có nghiệm thực .
B. m 

A. m  1 .

2
.
3

D. m  1 .

C. m  0 .

Câu 29. (43) Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn a 2  b 2  8ab , mệnh đề nào dưới đây đúng?

1
A. log(a  b)  (log a  log b) .

2
C. log(a  b ) 

B. log(a  b)  1  log a  log b .

1
(1  loga  logb ).
2

Câu 30. (50) Xét hàm số f (t ) 

D. log(a  b) 

1
 log a  log b .
2

9t
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của
9t  m 2

m sao cho f (x )  f (y)  1 với mọi số thực x, y thỏa mãn e x y  e(x  y ) . Tìm số phần tử của S .

A. 0 .

B. 1 .

D. 2 .

C. vô số.

MÃ ĐỀ 104
Câu 31. (5) Tìm nghiệm của phương trình log2 (x  5)  4 .
A. x  21 .

B. x  3 .

C. x  11 .

D. x  13 .

Câu 32. (8) Cho a là số thực dương khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log2 a  loga 2 .

B. log2 a 

1
.
log2 a

C. log2 a 





Câu 33. (11) Tìm tập xác định D của hàm số y  x 2  x  2
A. D   .

B. D  (0; ) .

3

1
.
loga 2

D. log2 a   loga 2 .

.

C. D  (; 1)  (2; ) .

D. D   \ 1;2 .

Câu 34. (19) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x  m có nghiệm thực.
B. m  0 .

A. m  1 .

D. m  0 .

C. m  0 .





Câu 35. (26) Tìm tập xác định D của hàm số y  log3 x 2  4x  3 .



 



A. D  2  2;1  3;2  2 .

B. D  (1; 3) .

C. D  (;1)  (3; ) .

D. D  ;2  2  2  2;  .



 



Câu 36. (29) Với mọi a,b, x là các số thực dương thỏa mãn log2 x  5 log2 a  3 log2 b , mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. x  3a  5b .
0947141139

B. x  5a  3b .

C. x  a 5  b 3 .

D. x  a 5b 3 .

4


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

Câu 37. (31) Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9x  2.3x 1  m  0 có hai nghiệm thực

x 1, x 2 thỏa mãn x1  x 2  1 .
A. m  6 .

B. m  3 .

C. m  3 .

D. m  1 .





Câu 38. (40) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  ln x 2  2x  m  1 có tập xác
định là  .
B. 0  m  3 .

A. m  0 .

C. m  1 hoặc m  0 .

D. m  0 .

Câu 39. (43) Với các số thực dương x, y tùy ý, đặt log3 x  , log3 y   . Mệnh đề nào dưới đây
đúng?

 x 



A. log27    9     .

 y 
2

3

 x 


B. log27      .
 y 
2

3

3

 x 



D. log27      .
 y 
2

3

 x 



C. log27    9     .
 y 
2


Câu 40. (46) Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a ln2 x  b ln x  5  0 có hai nghiệm
phân biệt x 1, x 2 và phương trình 5 log2 x  b log x  a  0 có hai nghiệm phân biệt x 3 , x 4 thỏa mãn

x1x 2  x 3x 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất S min của S  2a  3b .
A. S min  30 .

B. S min  25 .

C. S min  33 .

D. S min  17 .

LỜI GIẢI CHI TIẾT

MÃ ĐỀ 101
Câu 1. (1) Cho phương trình 4x  2x1  3  0 . Khi đặt t  2x , ta được phương trình nào dưới đây?
A. 2t 2  3  0 .

B. t 2  t  3  0 .

C. 4t  3  0 .

D. t 2  2t  3  0 .

Giải
x

t 2
Ta có 4x  2x 1  3  0  4x  2.2x  3  0 
 t 2  2t  3  0  đáp án D.

Câu 2. (6) Cho a là số thực dương khác 1 . Tính I  log a a .
A. I 

1
.
2

B. I  0 .

C. I  2 .

D. I  2 .

Giải
Cách 1: Ta có I  log a a  log 1 a  2 loga a  2.1  2  đáp án D.
a2

Casio
Cách 2: Chọn a  2  I  log 2 2 
  2  đáp án D.

0947141139

5


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

Câu 3. (THPTQG – 2017 – 101 – 15) Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1 , đặt
P  loga b 3  loga2 b 6 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. P  9 loga b .

B. P  27 loga b .

C. P  15 loga b .

D. P  6 loga b .

Giải

6
Cách 1: Ta có P  loga b 3  loga2 b 6  3 loga b  loga b  6 loga b  đáp án D.
2
Casio
  6  đáp án D.
Cách 2: Chọn a  b  2  P  log2 23  log22 26 

Câu 4. (16) Tìm tập xác định D của hàm số y  log5

x 3
.
x 2

A. D   \ 2 .

B. D  (; 2)  [3; ) .

C. D  (2; 3) .

D. D  (; 2)  (3; ) .
Giải

Điều kiện:

x 3
0
x 2

x  2

x  3  D  (; 2)  (3; )  đáp án D.


Câu 5. (17) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log22 x  5 log2 x  4  0 ,
A. S  (; 2]  [16; ) .

B. S  [2;16] .

C. S  (0;2]  [16; ) .

D. S  (;1]  [4; ) .
Giải

Đặt t  log2 x , khi đó phương trình có dạng:

t  1
log x  1
0  x  2
t 2  5t  4  0  
  2
 
 S  (0;2]  [16; )  đáp án C.
t  2
log2 x  2
x  16
Chú ý: Vì bất phương trình ở dạng đơn giản nên ta có thể bỏ qua bước đặt ẩn phụ mà biến đổi được luôn:
log x  1
0  x  2

log22 x  5 log2 x  4  0   2
 
 S  (0;2]  [16; ) .
log2 x  4
x  16
1

Câu 6. (24) Tìm tập xác định D của hàm số y  x  13 .
A. D  (;1) .

B. D  (1; ) .

C. D   .

D. D   \ 1 .

Giải
Do

1
  , suy ra điều kiện: x  1  0  x  1  D  (1; )  đáp án B.
3

0947141139

6


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

Câu 7. (35) Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% / năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho
năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng
bao gồm gốc và lãi?. Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền
ra.
A. 13 năm.

B. 14 năm.

C. 12 năm.

D. 11 năm.

Giải
Thông số đầu vào: T  50 triệu đồng, r  6% /năm, Tn  100 triệu đồng.
Thông số đầu ra: n  ?
Áp dụng Mô Hình 1 (có thể xem lại bài giảng), ta có:
Tn  T (1  r )n  (1  r )n 

Tn
T

 n  log1r

Tn
T

 log16%

100
 11, 9  n  12 năm  đáp án C.
50

Câu 8. (39) Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình log23 x  m log3 x  2m  7  0 có hai
nghiệm x 1, x 2 thỏa mãn x1x 2  81 .
A. m  4 .

B. m  4 .

C. m  81 .

D. m  44 .

Giải
Đặt t  log3 x , khi đó phương trình có dạng: t 2  mt  2m  7  0 (*) .
Ta có t1  t2  log3 x1  log3 x 2  log3 (x1x 2 )  log3 81  4
Mà theo Vi – ét phương trình (*) có: t1  t2  m

(1)

(2) .

Từ (1) và (2) , suy ra: m  4  đáp án B.
Chú ý:
Với những dạng toán như này, nếu tìm từ 2 giá trị m trở lên ta cần kiểm tra thêm điều kiện có 2 nghiệm
của (*) (ở câu hỏi này do tìm được 1 giá trị của m , trong khi đáp án cũng chỉ có 1 nên ta không cần kiểm tra

điều này – mặc dù thực tế phương trình (*) trong câu hỏi này luôn có 2 nghiệm).
Câu 9. (42) Cho loga x  3, logb x  4 với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính P  logab x .
A. P 

7
.
12

B. P 

1
.
12

C. P  12 .

D. P 

12
.
7

Giải
1


3

1
1

7

3



log
x

3
x

a
a

x

12
a



3
4
12
 ab  x .x  x  P  log 7 x 
 đáp án D.
Ta có 



4
1



x b
7
12
x
logb x  4


4



bx




0947141139

7


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Câu 10. (47) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log3

Facebook.com/ThayTungToan

1  xy
 3xy  x  2y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất
x  2y

Pmin của P  x  y .
A. Pmin 

9 11  19
.
9

B. Pmin 

9 11  19
.
9

C. Pmin 

18 11  29
.
21

D. Pmin 

2 11  3

.
3

Giải
Phân tích hướng tư duy (xem trong bài giảng)
Điều kiện: 0  xy  1 .

1  xy
 3xy  x  2y  4  log3 (1  xy )  log3 (x  2y )  3xy  x  2y  4
x  2y
 log3 3(1  xy)  3(1  xy)  log3(x  2y)  x  2y

Biến đổi: log3

 f 3(1  xy)  f (x  2y ) (*) (với f (t )  log 3 t  t ).

Xét f (t )  log3 t  t với t  0 .
Ta có: f '(t ) 

1
 1  0, t  0  f (t ) đồng biến trên (0; ) .
t ln 3

Khi đó (*)  3(1  xy )  x  2y  y 
Suy ra: P  x  y  x 
Ta có: g '(x )  1 

3x
 0  x  3.
3x  2

3x
 g(x ) với 0  x  3 .
3x  2

2  11
2  11
11
0x 3
2
;
.
g
'(
x
)

0

(3
x

2)

11

x




x

3
3
(3x  2)2

 2  11  2 11  3

 
 đáp án D.
Lập bảng biến thiên, suy ra: Pmin  g 


3
3


MÃ ĐỀ 102
Câu 11. (6) Cho a là số thực dương khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y ?
A. loga

x
 loga x  loga y .
y

B. loga

x
 loga x  loga y .
y

C. loga

x
 loga x  y  .
y

D. loga

loga x
x

.
y
loga y

Giải
Ta có công thức loga

0947141139

x
 loga x  loga y  đáp án A.
y

8


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

Câu 12. (9) Tìm nghiệm của phương trình log2 (1  x )  2 .
A. x  4 .

B. x  3 .

C. x  3 .

D. x  5 .

Giải
2

Cách 1: Ta có log2 (1  x )  2  1  x  2  x  3  đáp án B.
Cách 2: Dùng Casio với chức năng SHIFT SOLVE
(có thể chọn X  0 ). Ta được: x  3  đáp án B.
Cách 3: Dùng Casio với chức năng CALC để thử từng đáp án.
Ta được: x  3  đáp án B.
1
3 6

Câu 13. (13) Rút gọn biểu thức P  x . x với x  0 .
1
8

2

A. P  x .

B. P  x .

C. P  x .

2
9

D. P  x .

Giải
1

1

1

1 1

6

Ta có: P  x 3 . 6 x  x 3 .x 6  x 3

1

 x 2  x  đáp án C.

Câu 14. (28) Tính đạo hàm của hàm số y  log2 (2x  1) .
A. y ' 

1
.
(2x  1)ln 2

B. y ' 

2
.
(2x  1)ln 2

C. y ' 

2
.
2x  1

D. y ' 

1
.
2x  1

Giải
Áp dụng công thức loga u  

u'
2
 đáp án B.
, suy ra: y '  log2 (2x  1) ' 

u ln a
(2x  1)ln 2

Câu 15. (29) Cho loga b  2 và loga c  3 . Tính P  loga (b 2c 3 ) .
A. P  31 .

B. P  13 .

C. P  30 .

D. P  108 .

Giải
2

log b  2


b  a
a


 b 2c 3  a 4 .a 9  a 13  P  loga a 13  13  đáp án B.
Cách 1: Ta có 
3


log
c


3
c

a


 a


2




log2 b  2
b  2  4


 P  log2 42.83  13  đáp án B.
Cách 2: Chọn a  2  
3

log c  3 
c2 8


 2







Câu 16. (30) Tìm tập nghiệm S của phương trình log 2 (x  1)  log 1 (x  1)  1 .
2





A. S  2  5 .

0947141139





B. S  2  5;2  5 .

C. S  3 .

 3  13 



D. S  

.



2






9


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

Giải
Điều kiện: x  1 , khi đó phương trình tương đương:

log 1 (x  1)  log21 (x  1)  1  2 log2 (x  1)  log2(x  1)  log2 2
22

 log2 (x  1)2  log2 2(x  1)  (x  1)2  2(x  1)  x 2  4x  1  0  x  2  5 .





Đối chiếu điều kiện ta được: x  2  5  S  2  5  đáp án A.
Câu 17. (31) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4x  2x 1  m  0 có hai
nghiệm thực phân biệt.
A. m  (;1) .

B. m  (0; ) .

C. m  (0;1] .

D. m  (0;1) .

Giải
Đặt t  2x (t  0) , khi đó phương trình có dạng: t 2  2t  m  0 (*)
Cách 1: Do t  2x nên ứng với 1 giá trị t  0 cho ta 1 nghiệm x . Do đó để phương trình có hai
nghiệm phân biệt x thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt dương



'  1m  0



 0  m  1  m  (0;1)  đáp án D.
S  2  0


P m0


t


0
2

Cách 2: (*)  m  t  2t

(2*)



f '(t )

0

2

Xét hàm số f (t )  t  2t với t  0 .



1



1

Ta có f '(t )  2t  2 ; f '(t )  0  t  1 .

f (t )

0

y m



Số nghiệm của (2*) chính là số giao điểm của

đồ thị hàm số f (t )  t 2  2t và đường thẳng y  m (có phương song song hoặc trùng với Ox ).
Do đó để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì (2*) cần có 2 nghiệm phân biệt dương.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: 0  m  1  m  (0;1)  đáp án D.
Câu 18.(37) Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn x 2  9y 2  6xy . Tính M 
A. M 

1
.
4

C. M 

B. M  1 .

1
.
2

1  log12 x  log12 y
2 log12 (x  3y )
D. M 

.

1
.
3

Giải
x ,y1
 log12 (x  3y)2  log12 12xy 
Ta có: x 2  9y 2  6xy  (x  3y)2  12xy 

 2 log12 (x  3y )  1  log12 x  log12 y  M 

0947141139

1  log12 x  log12 y
1  log12 x  log12 y

 1  đáp án B.

10


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

Câu 19. (41) Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho

nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả lương
cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu
tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?
A. Năm 2023.

B. Năm 2022.

C. Năm 2021.

D. Năm 2020.

Giải
Thông số đầu vào: T  1 tỷ đồng, r  15% /năm, Tn  2 tỷ đồng. Thông số đầu ra: n  2016  ?
Áp dụng Mô Hình 1 (có thể xem lại bài giảng), ta có:
Tn

Tn

2
 4, 96  n  5 năm.
T
T
1
Vậy tới năm: 2016  5  2021 là kết quả của bài toán  đáp án C.
Tn  T (1  r )n  (1  r )n 

 n  log1r

 log115%

Câu 20. (46) Xét các số thực dương a, b thỏa mãn log2

1  ab
 2ab  a  b  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất
a b

Pmin của P  a  2b .
A. Pmin 

2 10  3
.
2

B. Pmin 

3 10  7
.
2

C. Pmin 

2 10  1
.
2

D. Pmin 

2 10  5
.
2

Giải
Phân tích hướng tư duy (xem ví dụ tương tự trong bài giảng)
Điều kiện: 0  ab  1 .
1  ab
 2ab  a  b  3  log2 (1  ab)  log2 (a  b)  2ab  a  b  3
a b
 log2 2(1  ab)  2(1  ab)  log2 (a  b)  a  b

Biến đổi: log2

 f 2(1  ab)  f (a  b) (*) (với f (t )  log 2 t  t ).

Xét f (t )  log2 t  t với t  0 .
Ta có: f '(t ) 

1
 1  0, t  0  f (t ) đồng biến trên (0; ) .
t ln 2

Khi đó (*)  2(1  ab)  a  b  b 
Suy ra: P  a  2b  a 
Ta có: g '(a )  1 

2 a
 0 a 2.
2a  1

2(2  a )
 g(a ) với 0  a  2 .

2a  1

1  10
1  10
10
0a2

a 
; g '(a )  0  (2a  1)2  10  a 
.
2
2
2
(2a  1)

 1  10  2 10  3

 
 đáp án A.
Lập bảng biến thiên, suy ra: Pmin  g 


2
2

0947141139

11

Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

MÃ ĐỀ 103
Câu 21. ( 4) Tìm nghiệm của phương trình log25 (x  1) 
A. x  6 .

B. x  6 .

1
.
2

C. x  4 .

D. x 

23
.
2

Giải
1
1
2
Cách 1: Ta có log25 (x  1)   x  1  25  5  x  4  đáp án C.
2

Cách 2: Dùng Casio với chức năng SHIFT SOLVE

(có thể chọn X  0 ). Ta được: x  3  đáp án C.
Cách 3: Dùng Casio với chức năng CALC để thử từng đáp án.
Ta được: x  3  đáp án C.
a 2 
Câu 22. (10) Cho a là số thực dương khác 2 . Tính I  loga   .
 4 
2 

A. I 

1
.
2

1
C. I   .
2

B. I  2 .

D. I  2 .

Giải
2

a 2 
a 
a 

Cách 1: Ta có I  loga    loga    2 loga    2  đáp án B.
 4 
 2 
 2 
2 
2
2
Cách 2: Chọn a  4  I  log 2 4  2  đáp án B.
Câu 23. (11) Tìm tập nghiệm S của phương trình log3 (2x  1)  log3 (x  1)  1 .
A. S  4 .

C. S  2 .

B. S  3 .

D. S  1 .

Giải
Cách 1: Điều kiện: x  1 , khi đó phương trình tương đương:

log3 (2x  1)  log3 (x  1)  1  log3

2x  1
2x  1
 log3 3 
 3  x  4  đáp án A.
x 1
x 1

Cách 2: Dùng Casio với chức năng SHIFT SOLVE

(có thể chọn X  0 ). Ta được: x  4  đáp án A.
Cách 3: Dùng Casio với chức năng CALC để thử từng đáp án. Ta được: x  4  đáp án A.

0947141139

12


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

x

Câu 24. (22) Cho hai hàm số y  a , y  b

Facebook.com/ThayTungToan
y

C 

x

C 

2

1

với a, b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là (C 1 ) và

(C 2 ) như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 0  a  b  1 .

B. 0  b  1  a .

C. 0  a  1  b .

D. 0  b  a  1 .

O

x

Giải
Do y  a có đồ thị (C 1 ) đang có hướng đi lên khi x tăng (đồng biến trên  ) nên a  1 .
x

và y  a x có đồ thị (C 2 ) đang có hướng đi xuống khi x tăng (nghịch biến trên  ) nên 0  b  1 .
Suy ra 0  b  1  a  đáp án B.
Câu 25. (28) Cho log3 a  2 và log2 b 
A. I 

5
.
4

1
. Tính I  2 log3 log3 (3a )  log 1 b 2 .



2
4

B. I  4 .

D. I 

C. I  0 .

3
.
2

Giải
Cách 1: Biến đổi I  2 log 3 1  log 3 a   log 2 b  2 log 3(1 2) 

1
1 3
 2    đáp án D.
2
2 2

log a  2
a  32  9


 3



1
Cách 2: Ta có 

 I  2 log3 log3 (3.9)  log 1

1


2
log
b

 2

4
b  2  2
2




2 Casio

 
2



3
 đáp án D.

2

5
3

Câu 26. (29) Rút gọn biểu thức Q  b : 3 b với b  0 .
5

B. Q  b 9 .

A. Q  b 2 .

C. Q  b



4
3

4

D. Q  b 3 .

.

Giải
5
3

3

5
3

1
3

Ta có: Q  b : b  Q  b : b  b

5 1

3 3

4
3

 b  đáp án D.





Câu 27. (32) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  log x 2  2x  m  1 có tập xác
định là  . A. m  0 .

B. m  0 .

C. m  2 .

D. m  2 .

Giải
Yêu cầu bài toán tương đương: x 2  2x  m  1  0, x     '  1  (m  1)  0  m  0
 đáp án B.
0947141139

13


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

Câu 28. (42) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

log22 x  2 log2 x  3m  2  0 có nghiệm thực .
B. m 

A. m  1 .

2
.
3

D. m  1 .

C. m  0 .
Giải

x0

Đặt t  log2 x  t   , khi đó bất phương trình có dạng:
t 2  2t  3m  2  0  3m  t 2  2t  2  f (t ) (*)

Ta có f (t )  t 2  2t  2  (t  1)2  3  3  max f (t )  3 .
t 

Để (*) có nghiệm thì 3m  max f (t )  3  m  1  đáp án A.
t 

Câu 29. (43) Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn a 2  b 2  8ab , mệnh đề nào dưới đây đúng?

1
A. log(a  b)  (log a  log b) .
2

B. log(a  b)  1  log a  log b .

1
C. log(a  b)  (1  log a  log b) .
2

D. log(a  b) 

1
 log a  log b .
2

Giải
Ta có: a 2  b 2  8ab  (a  b)2  10ab  log(a  b)2  log 10ab 

 2 log(a  b)  1  log a  log b  log(a  b) 

1
1  log a  log b   đáp án C.
2

9t
Câu 30. (50) Xét hàm số f (t )  t
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của
9  m2
m sao cho f (x )  f (y)  1 với mọi số thực x, y thỏa mãn e x y  e(x  y ) . Tìm số phần tử của S .

A. 0 .

B. 1 .

D. 2 .

C. vô số.
Giải

Phân tích hướng tư duy (xem ví dụ trong bài giảng)
Do e x y  0, x, y   nên từ e x y  e(x  y)  x  y  0 .
Đặt t  x  y với t  0 , khi đó bất phương trình có dạng:
t
0
et  et  g(t )  et  et  0 (1)

t

Xét g(t )  e  et với t  0 .
Ta có: f '(t )  et  e ; g '(t )  0  et  e  t  1 .
Từ bảng biến thiên suy ra: g(t )  0 (2)

g(t )

Từ (1) và (2) , suy ra: g(t )  0  t  1  x  y  1 (*)

0947141139



g '(t )



1

0




1

0

14

Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn



Facebook.com/ThayTungToan







9x 9y  m 2  9y 9x  m 2
9x
9y
2.9x y  m 2 (9x  9y )
Ta có 1  f (x )  f (y )  x



9  m 2 9y  m 2
9x y  m 2 (9x  9y )  m 4
9x  m 2 9y  m 2







(*)
x y

2.9

2

x

y

x y

 m (9  9 )  9



2

x

y

4

4

x y

 m (9  9 )  m  m  9

9m  3



 S   3; 3 : có 2 phần tử  đáp án D.

MÃ ĐỀ 104
Câu 31. (5) Tìm nghiệm của phương trình log2 (x  5)  4 .
A. x  21 .

B. x  3 .

C. x  11 .

D. x  13 .

Giải
Cách 1: Ta có log2 (x  5)  4  x  5  24  x  21  đáp án A.
Cách 2: Dùng Casio với chức năng SHIFT SOLVE
(có thể chọn X  0 ). Ta được: x  21  đáp án A.
Cách 3: Dùng Casio với chức năng CALC để thử từng đáp án.
Ta được: x  3  đáp án A.
Câu 32. (8) Cho a là số thực dương khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log2 a  loga 2 .

B. log2 a 

1
.
log2 a

C. log2 a 

1
.
loga 2

D. log2 a   loga 2 .

Giải
Ta có công thức log2 a 

1
 đáp án C.
loga 2

Câu 33. (11) Tìm tập xác định D của hàm số y  x 2  x  2 .
3

A. D   .

B. D  (0; ) .

C. D  (; 1)  (2; ) .

D. D   \ 1;2 .

Giải



3  
x  1
Do 
, suy ra điều kiện: x 2  x  2  0  
 D   \ 1;2  đáp án D.




30
x 2




Câu 34. (19) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x  m có nghiệm thực.
A. m  1 .

B. m  0 .

C. m  0 .

D. m  0 .

Giải

0947141139

15


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan

Với x    3x  0;  . Mà số nghiệm của phương trình 3x  m chính là số giao điểm của đồ thị
y  3x và đường thẳng y  m song song hoặc trùng với trục Ox . Do đó để phương trình có nghiệm

thì m  0;  hay m  0  đáp án C.
Chú ý: Nếu hàm số y  f (x ) có tập giá trị là D thì phương trình f (x )  m có nghiệm  m  D .





Câu 35. (26) Tìm tập xác định D của hàm số y  log3 x 2  4x  3 .



 



A. D  2  2;1  3;2  2 .

B. D  (1; 3) .



C. D  (;1)  (3; ) .

 



D. D  ;2  2  2  2;  .
Giải

x  1
Điều kiện x 2  4x  3  0  
 D  (;1)  (3; )  đáp án C.
x  3
Câu 36. (29) Với mọi a,b, x là các số thực dương thỏa mãn log2 x  5 log2 a  3 log2 b , mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. x  3a  5b .

C. x  a 5  b 3 .

B. x  5a  3b .

D. x  a 5b 3 .

Giải

 
x  log a b   x  a b

Ta có 5 log2 a  3 log2 b  log2 a 5  log2 b 3  log2 a 5b 3 .
Khi đó log2 x  5 log2 a  3 log2 b  log2

5 3

5 3

2

 đáp án D.

Câu 37. (31) Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9x  2.3x 1  m  0 có hai nghiệm thực

x 1, x 2 thỏa mãn x1  x 2  1 .
A. m  6 .

B. m  3 .

C. m  3 .

D. m  1 .

Giải
Đặt t  3x với t  0 , khi đó phương trình có dạng: t 2  4t  m  0 (*) .
x

x

x x2

Ta có t1t2  3 1.3 2  3 1

 31  3 (1)

Mà theo Vi – ét phương trình (*) có: t1t2  m (2) .
Từ (1) và (2) , suy ra: m  3  đáp án C.
Chú ý:
Với những dạng toán như này, nếu tìm từ 2 giá trị m trở lên ta cần kiểm tra thêm điều kiện có 2 nghiệm
dương của (*) (ở câu hỏi này do tìm được 1 giá trị của m , trong khi đáp án cũng chỉ có 1 nên ta không cần
kiểm tra điều này).

0947141139

16


Gv: Nguyễn Thanh Tùng

Hocmai.vn

Facebook.com/ThayTungToan





Câu 38. (40) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  ln x 2  2x  m  1 có tập xác
A. m  0 .

định là  .

B. 0  m  3 .

C. m  1 hoặc m  0 .

D. m  0 .

Giải
2

Yêu cầu bài toán tương đương: x  2x  m  1  0, x     '  1  (m  1)  0  m  0
 đáp án D.

Câu 39. (43) Với các số thực dương x, y tùy ý, đặt log3 x  , log3 y   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 x 



A. log27    9     .

 2
 y 

3

 x 


B. log27      .
 y 
2

3

3

 x 


D. log27      .
 y 
2

3

 x 



C. log27    9     .
 y 
2

Giải

3

3

1
 x 
 x 
 x 
1

 
 
 
2
log

log

log

log
x
 log3 y  log3 x  log3 y     đáp án D.
Ta có:



3 
27 
3

3
3
 y 
2
2
 y 
 y 

Câu 40. (46) Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a ln2 x  b ln x  5  0 có hai nghiệm
phân biệt x 1, x 2 và phương trình 5 log2 x  b log x  a  0 có hai nghiệm phân biệt x 3 , x 4 thỏa mãn

x1x 2  x 3x 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất S min của S  2a  3b .
A. S min  30 .

B. S min  25 .

C. S min  33 .

D. S min  17 .

Giải
Đặt t  ln x , khi đó phương trình a ln2 x  b ln x  5  0 có dạng: at 2  bt  5  0 (1) .
Đặt u  log x , khi đó phương trình 5 log2 x  b log x  a  0 có dạng: 5u 2  bu  a  0 (2) .
Điều kiện để (1) , (2) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 và u3, u4 là:   b2  20a  0 (*) .

b


b





a
t1  t2  ln x 1  ln x 2  ln(x 1x 2 )  

x
x

e
 1 2
a
Áp dụng Vi – et cho (1) và (2) , ta có: 



b



b


u3  u4  log x 3  log x 4  log(x 3x 4 )  
x 3x 4  10 5






5



Theo giả thiết x1x 2  x 3x 4 và kết hợp điều kiện a,b  * , ta có:
e

b

a

b

5

 10

b

b
b
b
5
a,b*
a*
   ln10 5     ln10 
a 
 2,17 
 a  3 (2*)
a

a
5
ln10

*

b
Từ (*) và (2*) , suy ra: b 2  20a  60 
b  8 .

Khi đó S  2a  3b  2.3  3.8  30 , suy ra S min  30 (khi a  3;b  8 )  đáp án A.
0947141139

17