Lý thuyết và bài tập Con Lắc Đơn – Vật lý 12

I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1.Khái niệm con lắc đơn.
- Con lắc đơn gồm một vật nhỏ, khối lượng m, treo ở đầu một sợi dây mềm không dãn,
khối lượng không đáng kể, dài l.
- Trong hệ quy chiếu quán tính, vị trí cân bằng của con lắc đơn là vị trí dây treo có phương
thẳng đứng, vật nặng ở vị trí thấp nhất.
- Khi dao động của con lắc đơn với góc lệch nhỏ ( sinα   (rad)), con lắc dao động điều hoà
T = 2

với chu kỳ:

l
g

Trong đó:l là chiều dài của con lắc (đơn vị là mét); g là gia tốc trọng trường tại vị trí đặt con lắc
( đơn vị m/s2).
2. Con lắc đồng hồ.
- Đồng hồ quả lắc có con lắc làm bằng thanh kim loại mảnh và dao động của con lắc có
thể coi như dao động điều hoà của con lắc đơn.
- Chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T (thường T =2s); trong một số trường hợp do nhiệt
độ môi trường thay đổi và vị trí đặt con lắc thay đổi nên đồng hồ chạy sai. Gọi chu kỳ chạy sai
của đồng hồ là T2 (còn chu kỳ chạy đúng T =T1) và độ biến thiên chu kỳ là  T = T2 – T1. Nếu:
+

 T> 0:

T2 > T1: Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm.

+

 T< 0:

T2 < T1 :Chu kỳ giảm, đồng hồ chạy nhanh.

+  T= 0. Chu kỳ không đổi, con lắc chạy đúng.
- Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian  :
'
+ Thời gian biểu kiến con lắc chạy sai chỉ là:  = nT1 .

Với n là số chu kỳ con lắc chạy sai T2 trong khoảng thời gian  :

 =  − = 
'

+ Thời gian chạy sai:

T
T2



 
Nếu T2 thay đổi không đáng kể so với T1 thì:

n=


T2 .

T
T1

T
T1

II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l.
1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép.
1.2/ Chu kỳ của con lắc vướng đinh .
1.3/ Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.
1.4/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một lượng rất nhỏ l
1


Dạng 2: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo gia tốc trọng trường g.
2.1/ Gia tốc g thay đổi theo độ cao.
2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu.
2.3/ Thay đổi vị trí địa lí đặt con lắc.
Dạng 3: Thay đổi đồng thời cả chiều dài l và gia tốc trọng trường g.
3.1/ Thay đổi nhiệt độ môi trường và thay đổi gia tốc trọng trường g.
3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm) một lượng l và thay đổi
gia tốc g.
Dạng 4: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi khi có thêm lực lạ.
4.1/ Lực lạ là lực đẩy Acsimet.
4.2/ Lực là lực điện.
4.3/ Lực là là lực quán tính.
Sử dụng một số công thức gần đúng:
Nếu  rất nhỏ so với 1 thì: (1 +  ) n  1 + n ; (1 −  ) n  1 − n ;

(1   1 )(1   2 )  1   1   2
Dạng 1: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo chiều dài l

1.1/ Con lắc đơn có chiều dài cắt ghép.
* Phương pháp:
- Viết công thức tính chu kỳ T theo chiều dài l1;l2:( giả sử l2 >l1).
T1 = 2

l1
g

T2 = 2

l2
g

- Chu kỳ T của con lắc chiều dài l là

T = 2

l = l1+l2

Biến đổi ta được : T = T12 + T22

l = l1- l2

Tương tự:

l
g

T = T12 − T22

* Ví dụ:
Ví dụ 1: Con lắc đơn chiều dài l1 dao động điều hoà tại một nơi với chu kỳ T1 = 1,5s. Con lắc
đơn chiều dài l2 cũng dao động điều hoà tại nơi đó với chu kỳ T2 =0,9s. Tính chu kỳ của con lắc
chiều dài l dao động điều hoà ở nơi trên với:
l = l1+l2

và l = l1- l2

Hướng dẫn:
-Với

l = l1+l2

Sử dụng công thức T = T12 + T22
2


Thay số: T = 1,5 2 + 0,9 2 = 1,75s
-Với

l = l1- l2

Sử dụng công thức T = T12 − T22

Thay số: T = 1,5 2 − 0,9 2 = 1,2s
Ví dụ 2:
Một con lắc đơn có dây treo chiều dài l. Người ta thay đổi độ dài của nó tới giá trị l’ sao cho chu
kỳ dao động mới chỉ bằng 90% chu kỳ dao động ban đầu. Hỏi chiều dài l’ bằng bao nhiêu lần
chiều dài l ?
Hướng dẫn: Chu kỳ con lắc chiều dài l và l’ lần lượt là:

T1 = 2

Tỷ số:

l
g

và

T2 = 2

l'
g

T2
l'
=
= 90% = 0,9
T1
l

 l ' = 0,81l

Ví dụ 3:
Tại một nơi trên mặt đất một con lắc đơn dao động điều hoà.Trong khoảng thời gian t , con
lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong
khoảng thời gian t ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Xác định chiều dài ban đầu của
con lắc ?
Hướng dẫn:

Gọi chu kỳ con lắc chiều dài l1, l2 là T1;T2
Xét trong khoảng thời gian t như nhau thì: 60T1 = 50T2



T2
l
l
36
6
= 2 =
 2 =
T1
l1 5
l1 25

 l2 =

36
l1 và l2 = l1 +44.
25

Giải hệ được: l = 100 cm.
1.2/Chu kỳ của con lắc vướng đinh .
*Phương pháp:
Một dao động toàn phần của con lắc bị

α1

vướng đinh gồm 2 giai đoạn:

+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với

l
chiều dài l và chu kỳ T1 = 2
.
g
+ Giai đoạn còn lại nó dao động với

I

l

α2

chiều dài l’ (điểm treo con lắc là vị trí đinh)

3


và chu kỳ T2 = 2

l'
.
g

1
1
1
Chu kỳ của con lắc là: T = T1 + T2 = (T1 + T2 )
2

2
2

* Ví dụ:
Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m làm bằng thép treo vào đầu một sợi dây
mềm có khối lượng không đáng kể dài l = 1 m.Phía dưới điểm treo Q theo phương thẳng đứng
của sợi dây có một chiếc đinh được đóng vào điểm O’ cách Q một đoạn O’Q = 50 cm sao cho
con lắc bị vấp phải đinh trong quá trình dao động điều hoà.
a/ Xác định chu kỳ dao động của quả cầu? cho gia tốc g = 9,8 m/s2
b/Nếu không đóng đinh vào O’ mà đặt tại vị trí cân bằng O một tấm thép được giữ cố định thì
hiện tượng xảy ra như thế nào? (Coi rằng va chạm của quả cầu vào vật cản là hoàn toàn đàn hồi)
Hướng dẫn:
a/ Trong quá trình dao động con lắc bị vướng vào đinh O’ nằm trên phương thẳng đứng của
dây treo nên mỗi dao động toàn phần của con lắc gồm 2 giai đoạn
+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với chiều dài l =1m và chu kỳ T1 = 2

l
1
= 2
= 2s .
g
9,8

+ Giai đoạn còn lại nó dao động với chiều dài l’ = OO’ =0,5m và chu kỳ
T2 = 2

l'
0,5
= 2
= 1,4 s .

g
9,8

Chu kỳ của con lắc bị vướng đinh là:
1
1
1
T = T1 + T2 = (T1 + T2 ) = 1/2 (2+1,4) = 1,7 s
2
2
2

b/ Tấm thép đặt tai VTCB O: Vì va chạm giữa quả cầu và tấm thép là hoàn toàn đàn hồi nên khi
quả cầu va chạm vào tấm thép nó sẽ bật ngược lại với vận tốc có cùng độ lớn ngay trước lúc va
chạm và vật lại lên đúng vị trí cao nhất A ( Vì cơ năng bảo toàn).
Vậy con lắc chỉ dao động trên cung OA nên chu kỳ dao động
là:
T = 1/2T1 = 1 s.
*Ví dụ 1:
Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây
treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài

 = 17.10-6K-1. Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 200c.
Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 300c ? ở 300c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi
ngày chạy sai bao nhiêu?
4


1
Hướng dẫn: + Sử dụng công thức: T2 = (1 + t )T1

2
1
Thay số: T2 = (1 + 17.10 −6 (30 − 20)). 2 = 2,00017 s
2

+ Chu kỳ T2>T nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm :  = 24.60.60 s là:

 =

T
T1

=

1
t = 24.3600.1/2.17.10-6 .10 = 7,34 s.
2

Ví dụ 2:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 320c, con lắc có thể
xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc

 = 2.10-5K-1. Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 170c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một
tuần nó chay sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh.
Một tuần :  = 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:

 =

T
T1

=

1
t = 7.24.3600.1/2.2.10-5 .15 = 90,72 s.
2

Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh. khi nhiệt độ môi trường
tăng thêm 100c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s. Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ
chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay
đổi.
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức:  = 

T
T1

=

1
t
2

1
Khi nhiệt độ tăng thêm300c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm: 1 = t1 = 60 s ;
2

Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên t2 thoả mãn:

1
2

 2 = t2 = 45s  t2 = 3 / 4t1 = 11, 250 c
1.3.Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.
- Con lắc đơn có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt độ môi trường thay đổi từ t1
đến t2 thì chiều dài của dây được xác định bởi:

l2 = l1 (1 +  .t )

với t = t 2 − t1 : Là độ biến thiên nhiệt độ của môi trường;

 : là hệ số nở dài của kim loại (Thường có giá trị rất nhỏ).
5


* Phương pháp:
+ Công thức tính chu kỳ T1; T2 tương ứng với chiều dài l1, l2 của con lắc:
T2 = 2

T1 = 2

l1
g

l2
g

T
l

l (1 + t )
1
+ Xét tỷ số: 2 = 2 = 1
= (1 + t ) 2  1 + t
T1
l1
l1
2
1

1
 T2 = (1 + t )T1
2

Và :

T T 2−T1 1
=
= t
T1
T1
2
* Nhận xét: Khi nhiệt độ của môi trường tăng thì chu kỳ của con lắc sẽ tăng (đồng hồ

chạy chậm) và ngược lại.
Thời gian chạy sai sau một khoảng thời gian  :

 =

T

T1

=

1
t
2

*Ví dụ 1:
Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc đơn với dây
treo và vật nặng làm bằng đồng có hệ số nở dài

 = 17.10-6K-1. Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân không, nhiệt độ 200c.
Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 300c ? ở 300c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi
ngày chạy sai bao nhiêu?
1
Hướng dẫn: + Sử dụng công thức: T2 = (1 + t )T1
2
1
Thay số: T2 = (1 + 17.10 −6 (30 − 20)). 2 = 2,00017 s
2

+ Chu kỳ T2>T nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm :  = 24.60.60 s là:

 =

T
T1

=

1
t = 24.3600.1/2.17.10-6 .10 = 7,34 s.
2

Ví dụ 2:

6


Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 320c, con lắc có thể
xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc

 = 2.10-5K-1. Vào mùa lạnh nhiệt độ trung bình là 170c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một
tuần nó chay sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh.
Một tuần :  = 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:

 =

T
T1

=

1
t = 7.24.3600.1/2.2.10-5 .15 = 90,72 s.
2

Ví dụ 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh. khi nhiệt độ môi trường
tăng thêm 100c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s. Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ
chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu? Coi gia tốc trọng trường không thay
đổi.
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức:  = 

T
T1

=

1
t
2

1
Khi nhiệt độ tăng thêm300c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm: 1 = t1 = 60 s ;
2

Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên t2 thoả mãn:
1
2

 2 = t2 = 45s  t2 = 3 / 4t1 = 11, 250 c
1.4/Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hay thêm)
một lượng rất nhỏ ∆l
* Phương pháp:
+ Chu kỳ T theo chiều dài l1; l2:( giả sử l2 = l1 + l ).
T1 = 2

l1
g

T2 = 2

l2
g

T
l
l + l
l
1 l
+ Tỷ số: 2 = 2 = 1
= (1 + ) 2  1 +
T1
l1
l1
l1
2 l1
1

1 l
)T1
2 l1

Khi đó:

T2  (1 +

Và:

T T 2−T1 1 l
=
=
T1
T1
2 l1

Với

l = l2 -

l1

7


+ Thời gian chạy sai sau khoảng thời gian 

 =

T
T1

=

1 l
2 l1

* Ví dụ 1:
Một con lắc đếm giây có chu kỳ chạy đúng T = 2 s. Người ta thay đổi một lượng nhỏ chiều dài
con lắc thì thấy mỗi ngày nó chạy nhanh 90s. Hỏi chiều dài đã thay đổi một lượng bằng bao
nhiêu chiều dài ban đầu,biết gia tốc trọng trường của con lắc không thay đổi.
Hướng dẫn: Vì đồng hồ chạy nhanh (chu kỳ giảm) và gia tốc trọng trường g không thay đổi
nên chiều dài con lắc phải giảm.
Sử dụng công thức:  = 


T
T1

=

1 l
1 l
= 24.3600.
= 90
2 l1
2 l1

l
= 0,00208 = 0,208%
l1

Vậy chiều dài của con lắc giảm đi một đoạn bằng 0,208% chiều dài ban đầu.
Ví dụ 2.
Một con lắc đơn dao động nhỏ với chu kỳ T.Nếu chu kỳ của con lắc bị giảm 1% so với giá trị
lúc đầu thì chiều dài của con lắc sẽ thay đổi như thế nào? Bằng bao nhiêu phần trăm so với

chiều dài ban đầu?
Hướng dẫn:
Vì chu kỳ tỷ lệ thuận với căn bậc hai chiều dài nên chu kỳ giảm chiều gài cũng giảm:
Vận dụng công thức :

T l
l
=
= 0, 01 
= 0, 02
T
2l
l

Vậy chiều dài con lắc giảm 2%.
Dạng 2: Chu kỳ con lắc thay đổi theo gia tốc
trọng trường g.
2.1/Gia tốc g thay đổi theo độ cao.
* Phương pháp:
+Tại mặt đất gia tốc g được xác định: g = G
Chu kỳ T1 = 2

M
.
R2

l
g

Tại độ cao h so với mặt đất ( h rất nhỏ so với R):

g’ = G

M
l
. Khi đó T2 = 2
2
( R + h)
g'

8


+ Tỷ số

T2
=
T1

 T2 = (1 +



g
R+h
h
=
= 1+
'
R
R

g

h
)T1
R

T h
=
T1
R

* Nhận xét: Đưa con lắc lên cao chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian con lắc
đồng hồ chạy chậm sau khoảng thời gian  :

 =

T
T1

=

h
R

* Ví dụ 1:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T =2s. Đưa con lắc lên độ cao
h=1km so với mặt đất và coi như nhiệt độ ở độ cao đó không đôi so với mặt đất.
a/ Xác định chu kỳ của con lắc tại độ cao đó? Cho bán kính trái đất R= 6370 km.
b/ Tại độ cao h con lắc chạy nhanh hay chậm , mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?
Hướng dẫn:

a/Chu kỳ của đồng hồ ở độ cao h: T2 = (1 +
Thay số: T2 = (1 +

h
)T1
R

1
).2 =2.00013 s.
6370

b/Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm:

 =

T
T1

=

h
1
= 24.3600.
= 13,569 s
R
6370

Ví dụ 2:
Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 4s tại mặt đất. Đem con lắc lên độ cao h so với mặt đất
thì chu kỳ dao động thay đổi 0,2% so với ban đầu. Tính độ cao h? Cho bán kính trái đất R =

6400 km.
Hướng dẫn: + Tại mặt đất chu kỳ T = 4s. Lên độ cao h chu kỳ T’ và có:
 T = T’ - T = 0,2% T 

+ áp dụng công thức:


h
= 0,002
R

T
= 0,002
T

T h
=
T
R
 h = 0,002 R = 12,8km

2.2/ Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu.
9


*Phương pháp:
+ Tại mặt đất lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên vật:
F =G

M .m

 .Vm
=G 2 .=G
2
R
R

Và chu kỳ

T1 = 2

4
3
R2

 . R 3 m

= mg

l
g

+ Xét ở độ sâu h trong lòng trái đất, lực hấp dẫn tác dụng lên vật:
F' = G

M .m
 .V m
=G
.=G
2
R

R2
'

'

T2 = 2

Khi đó chu kỳ

+ Tỷ số
 T2 = (1 +

T2
=
T1

4
3

 .  ( R − h) 3 m
R2

= mg '

l
g'

g
=
g'

h
)T1
2R

1

R
h −
h
= (1 − ) 2  1 +
R−h
R
2R


T
h
=
T
2R

* Nhận xét: Đưa con lắc xuống sâu trong lòng đất chu kỳ của con lắc tăng lên, đồng hồ
chạy chậm.
Thời gian đồng hồ quả lắc chạy chậm sau khoảng thời gian  :

 =

T
T1

=

h
2R

* Ví dụ 1:
Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất là T= 2s. Đưa con lắc xuống giếng sâu
100m so với mặt đất thì chu kỳ của con lắc là bao nhiêu ? Coi trái đất như một hình cầu đồng
chất bán kính R = 6400km và nhiệt độ trong giếng không thay đổi so với nhiệt độ trên mặt đất.
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức: T2 = (1 +

h
0,1
)T1 = (1 +
) = 2,0000156s
2R
2.6400

Chu kỳ con lắc dưới giếng tăng lên so với con lắc đặt trên mặt đất.
Ví dụ 2:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tren mặt ‘đất. Đưa đồng hồ lên cao 320m so với mặt đất
thấy đồng hồ chạy chậm. Đưa đồng hồ xuống hầm mỏ sâu h’ so với mặt đất lại thấy đồng hồ
chạy giống ở độ cao h.
a/ Xác định độ sâu của hầm mỏ? Coi nhiệt độ không thay đổi .
10


b/ Sau một tuần thì đồng hồ chạy sai bao nhiêu thời gian? Coi trái đất hình cầu đồng chât bán

kính R = 6400km.
Giải:
a/

Gọi chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T1; chu kỳ ở độ cao h và ở hầm mỏ là T2 và T2’. 

T2 = T2’

T T
=
T1
T1



h
h'
=
 h ' = 2h = 640m
R 2R
b/ Thời gian đồng hồ chạy chậm sau 1 tuần :


Vận dụng công thức:  = 

T
T1

=

h
0,64
= 7.24.3600.
= 30,24 s
2R
2.6400

2.3/ Thay đổi vị trí địa lí đặt con lắc.
* Phương pháp:
Đặt con lắc tại 2 vị trí A(g1); B(g2)
Với g1; g2 lệch nhau không nhiều (Giả sử g2= g1 + g )

thì chu kỳ con lắc lần lượt là: T1 = 2



T2
=
T1

g1
=
g2

 T2 = (1 −


l
l
và T2 = 2

g1
g2

g1
g
 1−
g1 + g
2 g1

g
)T1
2 g1

Với g = g2-g1.

T
g
=−
T1
2g1

+ Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian  :

 =

T
T1

=

g
2g1

*Ví dụ 1.
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội (T = 2s). Đưa con lắc vào Hồ Chí Minh giả sử
nhiệt độ không thay đổi, Biết gia tốc ở Hà Nội và Hồ Chí Minh lần lượt là: g1 = 9,793m/s2 và
g2= 9,787m/s2.
a/ Hãy xác định chu kỳ của con lắc tại Hồ Chí Minh?
b/ Tại Hồ Chí Minh con lắc chạy nhanh hay chậm? Sau 12giờ nó chạy sai bao nhiêu thời gian?
Hướng dẫn:
11


a/ g = g2-g1 = 9,787 – 9,793 = -0,006.
Sử dung công thức: T2 = (1 −

g
)T1
2 g1

Thay số T2 = 2,006 s.

b/ Chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian con lắc chạy chậm trong một ngày đêm:

 =

T
T1

=

g
0,006
= 12.3600.
= 13,23s
2 g1
2.9,793

Ví dụ 2; Con lắc đơn dao động nhỏ được đưa từ Quảng Ngãi vào thành phố Hồ Chí Minh, thì
chu kỳ dao động tăng 0,015%. Xác định gia tốc tại Quảng Ngãi biết gia tốc trọng trương tại Hồ
Chí Minh là
g = 9,787m/s2?
Hướng dẫn: Vận dụng công thức:
g
= −0, 00015  g − g 0 = −0, 00015 g 0
T
g 
g0

=−
T1
2g1
 g 0 = g + 0, 00015 g = 9, 790m / s 2

Dạng 3:Thay đổi đồng thời cả chiều dài l
và gia tốc trọng trường g.
3.1/Thay đổi nhiệt độ môi trường và thay đổi gia tốc trọng trường g.
Trường hợp 1: Gia tốc g thay đổi theo độ cao hoặc độ sâu.
*Phương pháp:

+ Tại mặt đất (nhiệt độ t 1 ) chu kỳ con lắc : T1 = 2

l1
g

+ Tại độ cao h so với mặt đất (nhiệt độ t2) chu kỳ là: T2 = 2

+ Xét tỷ số

T2
l
= 2
T1
l1

l2
g'

T2
:
T1
g
h
1
h
= 1 + t .(1 + )  1 + t +
'
R
2
R

g

1
h
 T2 = (1 + t + )T1
2
R

12




T 1
h
=  t +
T1
2
R

Với

t = t 2 − t1

+ Nếu con lắc ở độ sâu h trong lòng đất thì:

T2
1
h
 1 + t +

T1
2
2R
1
h
 T2 = (1 + t +
)T1
2
2R


T 1
h
= t +
T1
2
2R

+ Thời gian con lắc chạy sai sau khoảng thời gian  :
Độ cao h:  = 
Độ sâu h:  = 

T
T1
T
T1

1
h
=  ( t + )

2
R
1
h
=  ( t +
)
2
2R

Ví dụ1:
Một con lắc đồng hồ được coi như một con lắc đơn nó chạy đúng ở ngang mực nước biển, nhiệt
độ 200c. Đưa con lắc lên độ cao h = 3.2km, nhiệt độ
-100c thì nó chạy nhanh hay chạy chậm? Mỗi ngày chạy sai bao nhiêu biết hệ số nở dài của con
lắc là  = 1,8.10-5K-1. Bán kính trái đất R = 6400 km.
Hướng dẫn: Sử dụng CT:
T 1
h 1
3,2
= t + = .1,8.10 −5 (−10 − 20) +
= 2,3.10 − 4  0
T1
2
R 2
6400

Vậy đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm sau một ngày đêm:

 =

T
T1

1
h
=  ( t + ) = 24.3600.2,3.10 − 4 = 19,87 s
2
R

Ví dụ 2:
Một con lắc đồng hồ ( xem như con lắc đơn) chạy đúng với chu kỳ T =2 s tại mặt đất có nhiệt
độ 250c. Dây treo con lắc làm bằng kim loại có hệ số nở dài  = 2.10-5K-1.
a/ Đưa con lắc lên độ cao 1,5km so với mặt đất con lắc lại chạy nhanh hay chạy chậm? Một
tuần chạy sai bao nhiêu? Coi nhiệt độ vẫn là 250c.Cho biết bán kính trái đất R = 6400km.
b/ ở độ cao h=1,5km, muốn đồng hồ vẫn chạy đúng thì nhiệt độ ở đó phải là bao nhiêu?
Hướng dẫn:

13


a/ Tại mặt đất t1= 250c, T = 2s. Lên độ cao h nhiệt độ môi trường không thay đổi nên chu kỳ
tăng lên. Đồng hồ chạy chậm.
Sau 1 tuần (7.24.3600s) đồng hồ chạy chậm một thời gian:

 =

T
T1

=

h
1,5
= 7.24.3600.
= 141,75s
R
6400

b/ ở độ cao h =1,5km, nhiệt độ t2 . Muốn chu kỳ con lắc không thay đổi ( vẫn là T)
 T = 0 

T
= 0.
T1

Vận dụng công thức: 
 t 2 = t1 −

T 1
h
1
h
= t +  t + = 0
T1
2
R
2
R

2h

2.1,5
= 25 −
= 1,56 0
−5
R
6400.2.10

Ví dụ 3:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T0 ở nhiệt độ t1. Biết hệ số nở dài
của dây treo con lắc là  = 4.10-5K-1.
a/ Tại mặt đất nếu nhiệt độ của môi trường tăng thêm 300c thì chu kỳ của con lắc sẽ tăng hay
giảm bao nhiêu phần trăm so với lúc đầu?
b/ Đưa đồng hồ lên độ cao h so với mặt đất, nhiệt độ giảm 250c. Muốn đồng hồ vẫn chạy đúng
thì h bằng bao nhiêu?
c/ Người ta đưa đồng hồ trên xuống hầm mỏ sâu 400m so với mặt đất, nhiệt độ dưới hầm thấp
hơn nhiệt độ trên mặt đất 150c, hỏi đồng hồ chạy thế nào? mỗi ngày đồng hồ chạy sai bao
nhiêu?
Cho biết bán kính trái đất R = 6370km.
Hướng dẫn:
a/

Trên mặt đất chu kỳ con lắc thay đổi theo nhiệt độ. Nhiệt độ tăng do đó chu kỳ con lắc tăng.

Vận dụng công thức:

T 1
1
= t = .4.10 −5.30 = 6.10 − 4 = 0,06%
T0
2

2

b/ Đưa đồng hồ lên cao, gia tốc g giảm nhưng đồng thời nhiệt độ cũng giảm do đó chiều dài
con lắc giảm.
Vận dụng công thức:
T 1
h
=  t +
T0
2
R

14


1
h
Muốn chu kỳ con lắc không thay đổi thì T = 0  t + = 0
2
R

h=−

Rt
6370.4.10 −5.(−25)
=−
= 3,18km
2
2

c/ Khi đưa con lắc xuống độ sâu h so với mặt đất sự biến thiên chu kỳ của con lắc thay đổi tính
theo công thức:



T 1
h
1
0,4
= t +
= .4.10 − 4 (−15) +
= −2,68.10 − 4
T0
2
2R 2
2.6370

T  0 nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian đồng hồ chạy sai sau một ngày :

 =

T
T0

1
h
1
0,4
=  ( t +

) = 24.3600. .4.10 −5 (−15) +
= 23,20s
2
2R
2
2.6370

Trường hợp2: Gia tốc g thay đổi theo vị độ địa lí.
* Phương pháp:
+ Chiều dài con lắc phụ thuộc vào nhiệt độ: l2 = l1(1+ t )
+Gia tốc trọng trường g tại 2 vị trí có vĩ độ khác nhau: g1; g2
(giả sử g2= g1 + g )
Ta có:


T2
l
= 2
T1
l1

g1
g1
1
1 g
= 1 + t
 1 + t −
g2
g1 + g
2

2 g1

T 1
1 g
 t −
T1
2
2 g1

+ Thời gian đồng hồ quả lắc chạy sai sau một thời gian  :

 =

T
T1

1
1 g
  ( t −
)
2
2 g1

Ví dụ :
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội được đem vào Hồ Chí Minh đã chạy chậm
34,56s trong một ngày đêm.
a/ Tính gia tốc g tai TP.HCM biết tại Hà Nội gia tốc là g1 = 9,793m/s2 và nhiệt độ tại Hà Nội
thấp hơn ở Hồ Chí Minh 100c.
b/ Muốn đồng hồ ở HCM chạy đúng người ta đặt đồng hồ vào phòng có nhiệt độ thích hợp. Hỏi
nhiệt độ rong phòng và bên ngoài chênh lệch nhau là bao nhiêu? Cho hệ số nở dài của thanh

treo là 2.10-5K-1
Hướng dẫn:
15


a/ Khi đưa đồng hồ từ Hà Nội vào Hồ Chí Minh thì chu kỳ dao động của quả lắc đồng hồ chịu
ảnh hưởng đồng thời của nhiệt độ và gia tốc g do thay đổi vĩ độ.
Vận dụng công thức:  = 

T

1
1 g
  ( t −
)
2
2 g1

T1

1
1 g
) = 34,56
Vì đồng hồ chạy chậm mỗi ngày 34,56s nên:    ( t −
2
2 g1

1 g 1
= t − 4.10 − 4
2 g1 2

1
1 g
t −
= 4.10 − 4
2
2 g1


g
= 2.10 −5.10 − 8.10 − 4 = −6.10 − 4
g1

 g 2 − g1 = −6.10−4 g1  g 2 = 9, 787m / s 2

b/ Gọi nhiệt độ ở Hà Nội: t1; HCM: t2; trong phòng ở HCM : t2’

T2
l
l2
1
= 2' =
 1 −  .t '
'
'
T2
l2
l2 (1 +  .t )
2
Mặt khác:

T2
1
1 g
 1 +  (t 2 − t1 ) −
T1
2
2 g1

Và T2’ = T1.
Giải hệ được:
lệch

Nhiệt độ trong phòng và bên ngoài ở TP.HCM chêch

-250c.
3.2/ Chiều dài con lắc thay đổi do cắt (hoặc thêm)
một lượng ∆l và thay đổi gia tốc g.
Trường hợp 1: g thay đổi khi thay đổi độ cao (hoặc độ sâu) của con lắc.

* Phương pháp:
Chiều dài của con lắc tại mặt đất và ở độ cao h là: l1; l2
( Giả sử l2 = l1+ l

 l = l1 − l 2 )

Chu kỳ dao động lần lượt T1;T2:
Lập tỷ số

T2

:
T1

T2
l
= 2
T1
l1

+ Con lắc ở độ cao h:


T2
l
= 2
T1
l1

g
g'
g
l
h
1 l h
= (1 + ) (1 + )  1 +
+
'
l1
R
2 l1 R

g

T 1 l h
=
+
T1
2 l1 R

16


+ Con lắc ở độ sâu h:


T 1 l
h
=
+
T1
2 l1 2 R

+Với con lắc đồng hồ, thời gian chạy sai sau khoảng thời gian  :
Độ cao h:  = 
Độ sâu h:  = 

T
T1
T
T1

=(

1 l h
+ )
2 l
R

=(

1 l
h
+
)
2 l
2R

Trường hợp 2: Thay đổi vĩ độ địa lí đặt con lắc.
* Phương pháp:
+ Vị trí A(gia tốc trọng trường g1), vị trí B(gia tốc trọng trường g2)
( giả sử g2= g1 + g  g = g 2 − g1 )

T2
l
= 2
T1
l1

g1
l + l
= 1

g2
l1

 T2  (1 +

1 l 1 g
−
)T1
2 l1 2 g1

g1
1 l 1 g
 1+
−
g1 + g
2 l1 2 g1

Và

T 1 l 1 g

−
T1
2 l1 2 g1

+Thời gian đồng hồ quả lắc chạy sai sau một thời gian  :

=

T

T1

(

1 l 1 g
−
)
2 l1 2 g1

Ví dụ 1:
Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất T = 2,006s.
a/ Tính chiều dài của con lắc biết tại mặt đất g = 9,8m/s2.
b/Để chu kỳ của con lắc không thay đổi khi đưa lên độ cao h người ta đã thay đổi chiều dài của
con lắc 1mm. Hỏi chiều dài đã tăng hay giảm? Độ cao h bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
a/ Vận dụng công thức: T = 2

l
. Suy ra l=1m
g

b/ Khi lên cao gia tốc trọng trường giảm. Để chu kỳ không đổi thì chiều dài cũng phải giảm.
Gọi l là độ giảm chiều dài thì l = l2 − l1 = −1mm Vận dụng công thức: 

T 1 l h
=
+ .
T1
2 l1 R

17


 T = 0  h 

R l
2 l

Thay số h=3,2km.

Ví dụ 2:
Một con lắc đơn dao động điều hoà có chu kỳ T= 1 s tại Hà Nội có gia tốc trọng trường là g1=
9,787 m/s2,đưa con lắc sang Pa-ri có gia tốc g2 = 9,805 m/s2,coi nhiệt độ ở 2 nơi là như nhau.
a/ Tại Pa-ri chu kỳ con lắc tăng hay giảm? sai lệch bao nhiêu phần trăm so với tại Hà Nội?
b/ Muốn chu kỳ dao động của con lắc tại Pa-ri vẫn là 1s thì chiều dài con lắc phải thay đổi như
thế nào so với chiều dài ban đầu?
Hướng dẫn:
+ Tại Hà Nội: g1= 9,787 m/s2 ; T= 1 s
Tại Pa-ri chu kỳ dao động T’:
a/ Vận dụng công thức:

T
1 g
1 9,805 − 9,787
−
=−
= −9,2.10 − 4
T
2 g1
2

9,787

 T = T ' − T  0 . Vậy chu kỳ tại Pa-ri giảm.

T
T

= 9,2.10 − 4 = 0,092%

b/ Để tại Pa-ri chu kỳ con lắc vẫn là 1s thì T = 0 .
Vận dụng công thức:

T 1 l 1 g
l g 9,805 − 9,787

−

=
=
= 1,8.10 −3
T1
2 l1 2 g1
l1
g1
9,878

Vậy chiều dài phải tăng thêm 0,18% chiều dài ban đầu.
Ví dụ 3: Đưa một con lắc đơn từ mặt đất lên độ cao h=9,6km. Biết bán kính trái đất R=6400km,
coi chiều dài của con lắc đơn không phụ thuộc vào nhiệt độ. Muốn chu kỳ của con lắc đơn
không thay đổi thì chiều dài của con lắc phải thay đổi thế nào?

Hướng dẫn:
Vận dụng công thức sự biến đổi chu kỳ theo độ cao và theo nhiệt độ:

T h 1
= +  .t. Vì chu
T
R 2

kỳ không thay đổi nên
T = 0 


l
l

l
2h
2.9, 6
=−
=−
= −0, 003
l
R
6400

0

Vậy chiều dài con lắc đơn giảm 0,3%chiều dài ban đầu.
Dạng 4: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi
khi có thêm lực lạ.

* Phương pháp:
18


Ngoài trọng lực P con lắc còn chịu thêm tác dụng của những lực F không đổi thì coi
như con lắc chịu tác dụng của trọng lực hiệu dụng Phd với Phd = P + F

Phd gây ra g hd (ở VTCB nếu cắt dây vật sẽ rơi với gia tốc g hd này)

g hd =

Phd
m
Chu kỳ mới của con lắc được xác định bởi: T = 2

l
g hd

4.1/ Lực lạ là lực đẩy Acsimet.
Ví dụ 1: Hãy so sánh chu kỳ của con lắc đơn trong không khí với chu kỳ của nó trong
chân không biết vật nặng có khối lượng riêng D, không khí có khối lượng riêng là d.
* Phương pháp:
Trong chân không: T0 = 2
Trong không khí:

l
g

Phd = P + Fa
Phd = P - Fa

g hd = g −

T = 2

T
=
T0

dVg
d
=g− g
DV
D

l
d

g 1 − 
 D

1
1−

Fa

P

d
D

4.2/ Lực lạ là lực điện
Ví dụ 1: Con lắc đơn có chiều dài l, vật nặng m tích điện +q đặt trong điện trường đều có cường
độ E ở nơi có gia tốc trọng trường g có chu kỳ dao động như thế nào?
*Phương pháp:
a) Khi cường độ điện trường hướng thẳng đứng xuống dưới:

Phd = P + F
Phd = P+F
g hd = g +

F
qE
=g+
m
m

E
19


T = 2

l
= 2
g hd

l
g+

qE

m

b) Khi cường độ điện trường hướng thẳng đứng lên trên:

Phd = P + F
Phd = P- F
g hd = g −

T = 2

F
qE
=g−
m
m

l
= 2
g hd

l
g−

qE
m

(điều kiện: g 

E

qE
)
m

Nếu F>P thì có hiện tượng như bóng bay và

T = 2

F

l
qE
−g
m

P
c) Khi cường độ điện trường hướng sang phải:
* Vị trí cân bằng được xác định bởi  :


E

F qE
tan  = =
P mg
* Phd = P + F
Theo hình vẽ: Phd = P 2 + (qE )

2

g hd =

 qE 
g +

 m 

F

2

2

l

T = 2

 qE 
g +

 m
2

2

P

Phd

20

d) Khi cường độ điện trường có hướng hợp với phương ngang một
góc  :

Phd = P + F
Theo hình vẽ: P 2 hd = P 2 + (qE ) − 2 P.qE. cos(90 0 −  )



2

2

(

qE
 qE 
0
g hd = g 2 + 
 − 2 g. . cos 90 − 
m
 m

T = 2

)

E



F

l
g hd

* Vị trí cân bằng được xác định bởi  :

P

Phd

Theo định lí hàm số cos: (qE ) = P 2 + Phd2 − 2.P.Phd cos
2

4.3/ Lực lạ là lực quán tính
a) Khi điểm treo con lắc có gia tốc

a0

hướng thẳng đứng lên

trên.
(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng lên trên nhanh dần đều
hoặc chuyển động thẳng đứng xuống dưới chậm dần đều)

a0

Ở đây : Phd = P + Fqt

Phd = P + Fqt

Phd = P + ma0
ghd=g+a0

T = 2

l
g + a0

b) Khi điểm treo con lắc có gia tốc

Fqt

P

a0

hướng thẳng đứng

xuống dưới.
(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng đi xuống nhanh dần đều
hoặc chuyển động thẳng đứng lên trên chậm dần đều)

a0
Ở đây : Phd = P + Fqt
Phd = P - Fqt
Fqt

21

Phd = P − ma0

ghd=g - a0

l
g − a0

T = 2

/(điều

kiện g>a0)

c) Khi điểm treo con lắc có gia tốc

a0

hướng ngang sang

phải.



* Vị trí cân bằng được xác định bởi  :
tan  =

Fqt

=

P

a0

ma0 ao
* Phd = P + Fqt
=
mg
g

Theo hình vẽ:
Fqt

Phd = P + (ma0 )

2

2

g hd = g 2 + a 0

2

Phd

l

T = 2

g + a0
2

P

2

d)Khi điểm treo con lắc có gia tốc

a0

hướng xiên lên một góc

:

a0
Phd = P + Fqt

(

Theo hình vẽ: Phd2 = P 2 + (ma0 ) − 2P.ma0 . cos 90 0 + 
2

(

g hd = g + a0 − 2 g.a0 . cos 90 + 
2

T = 2

2

0

)





)

l
g hd

* Vị trí cân bằng được xác định bởi  :

Fqt

Theo định lí hàm số cos:

(ma0 )2 = P 2 + Phd2 − 2.P.Phd cos

P
Phd

22

a0

e)Khi điểm treo con lắc có gia tốc

hướng xiên xuống một

góc  :



a0



Phd = P + Fqt

(

Theo hình vẽ: Phd2 = P 2 + (ma0 ) − 2P.ma0 . cos 90 0 − 
2

(

g hd = g 2 + a 0 − 2 g.a 0 . cos 90 0 − 
2

T = 2

)

Fqt



)

l
g hd

Phd

P

* Vị trí cân bằng được xác định bởi  :
Theo định lí hàm số cos: (ma0 ) = P 2 + Phd2 − 2.P.Phd cos
2

Qua việc tổng hợp một số dạng bài tập về chu kỳ của con lắc đơn khi chiều dài và gia tốc trọng
trường thay đổi và vận dụng vào trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh đã biết xác định
dạng bài trong từng trường hợp cụ thể và có kỹ năng tính toán.
Bên cạnh những kết quả đạt được khi vận dụng, song chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót,
mong nhận được những nhận xét, góp ý của các thầy cô giáo để chuyên đề được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

23