Chuyen de chung minh THCS

CHUYÊN ĐỀ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC.
A, Trong chương trình toán THCS cũng như trong bồi dưỡng học sinh giỏi
cấp II, chứng minh đẳng thức là một trong những chuyên đề quan trọng. Thông
qua chứng minh đẳng thức ta có thể ôn lại cho học sinh rất nhiều kiến thức về
tính toán, biến đổi, rút gọn trong tập hợp Q.
Chứng minh đẳng thức, học sinh ngoài việc được rèn luyện kĩ năng tính
toán, biến đổi, học sinh còn được nâng cao về mặt tư duy lôgic, lập luận các vấn
đề chặt chẽ, được rèn luyện khả năng sáng tạo. Có thể nói phương pháp chứng
minh đẳng thức rất đa dạng và là tổng hợp các phương pháp lập luận, biến đổi
để chứng minh đề nào dược một vấn đề nào đó của cấp học.
Trong chuyên đề chứng minh đẳng thức, ở đây chỉ xin nêu ra một số dạng
chứng minh và một số phương pháp giải gần gũi với học sinh cấp II. Công cụ
toán học chưng minh đẳng thức chỉ phù hợp với đối tượng học sinh cấp II. Cái
quan trọng là yêu cầu học sinh phải có sự lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ
các khía cạnh, các trường hợp cụ thể của từng vấn đề. Đặc biệt là hết sức sáng
tạo trong chứng minh đẳng thức, biết đặc biệt hoá, tổng quát hoá những vấn đề
cần thiết.
Trong tài liệu này không đi sâu vào lí thuyết mà chủ yếu đưa ra từng loại
bài tập qua các ví dụ cụ thể từ đó hình thành kĩ năng, phương pháp chứng minh.
Hệ thống bài tập vân dụng sẽ giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các
phương pháp chứng minh và đặc biệt có điều kiện để rèn luyện khả năng sáng
tạo của mình.
I. Các phương pháp chứng minh:
1. Chứng minh bằng cách biến đổi đồng nhất.
2. Chứng minh bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.
3. Chứng minh dựa vào dãy tỉ số bằng nhau.
4. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
II. Một số ví dụ và bài tập.
1.Chứng minh bằng cách biến đổi đồng nhất.
Bài 1: Cho phân số

b
a
. Chứng minh rằng nếu có
b
a
yb
xa
=
−
−
thì
b
a
y
x
=

Chứng minh:
Ta có :
b
a
yb
xa
=
−
−

⇒
(a – x ).b = (b – y ). a

⇒
ab – x b = ab – a y

⇒
bx = ay hay
b
a
y
x
=
Bài 2: Cho ab – ac + bc – c
2
= - 1 với a,b,c
∈
Z.
Chứng minh rằng : a + b = 0.
Chứng minh:
Ta có : ab – ac + bc – c
2

= - 1
(ab – ac ) + (bc – c
2
) = - 1
a(b – c )+ c(b – c ) = -1
(b – c )(a + c) = -1
Vì a, b, c nguyên nên:




−=−
=+
1
1
cb
ca
hoặc



=−
−=+
1
1
cb
ca

⇒
a + b = 0. (ĐPCM)
Bài 3: Cho
1
=−
a
b
c
d
(1). Chứng minh rằng:
d
c
b

a
d
c
b
a
−=
.
Chứng minh:
Ta có :
bd
bcad
d
c
b
a
−
=−
(2)
Từ (1)
⇒

1
=
−
ac
bcad

⇒
ad – bc = ac (3).
Thay (3) vào (2) :

bd
ac
d
c
b
a
=−
=
d
c
b
a
(ĐPCM)
Bài 4: Cho các số a, b, c, x , y , z thoả mãn điều kiện
c
z
b
y
a
x
==

Chứng minh rằng :
c
bxay
b
azcx
a
cybz
−

=
−
=
−
Chứng minh:
Đặt
c
z
b
y
a
x
==
= k thì x = ak ; y = bk ; z = ck.

0
=
−
=
−
a
bckbck
a
cybz
(1)
0
=
−
=
−

b
ackack
b
baycz
(2)
0
=
−
=
−
c
bakbak
c
bxay
(3)
Từ (1),(2),(3)
⇒

c
bxay
b
azcx
a
cybz
−
=
−
=
−

Chứng minh bằng cách hoán vị vòng quanh:
Sử dụng phương pháp này với các chứa nhiều biến số mà chỉ hoán vị vòng
quanh các biến số đó không làm thay đổi biểu thức.
Ví dụ : Chứng minh rằng:
))(())(())(( abcb
ac
caba
cb
bcac
ba
−−
−
+
−−
−
+
−−
−
=
accbba
−
+
−
+
−
222
Nhận xét: Ta thay a bằng b ; b bằng c; c bằng a.
Ta chỉ cần biến đổi một thành phần của biểu thức các kết quả của các bài tập
khác sẽ được suy ra từ phép biến đổi vòng quanh.
Ta có:

))(( bcac
ba
−−
−
=
))((
)()(
bcac
bcca
−−
−+−
=
cb
−
1
+
ac
−
1
(1)
Thay a = b; b =c ; c = a vào các thành phần còn lại ta có:
))(( caba
cb
−−
−
=
ba
−
1
+

ca
−
1
(2)
))(( abcb
ac
−−
−
=
ba
−
1
+
cb
−
1
(3)
Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2),(3)
⇒
VT =
accbba
−
+
−
+
−
222
= VP (ĐPCM)
Bài tập :
1)Chứng minh rằng ;

nmnm
mn
+++
2
=
nmnm
+−+
2) Cho x, y là hai số khác nhau , thoả mãn điều kiện:
9x(x – y ) – 10 (y – x )
2
= 0 . Chứng minh rằng: x = 10 y
2. Chứng minh bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
Kiến thức cơ bản:
Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1, (a + b )
2
= a
2
+ 2ab + b
2
.
2, (a – b )
2
= a
2
- 2ab + b
2
.
3, (a – b )(a + b) = a
2

– b
2

4, (a + b)
3
= a
3
+ 3 a
2
b + 3 ab
2
+ b
3
(a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab (a + b)
5, (a – b )
3
= a
3
– 3a
2
b + 3 ab
2
– b
3

(a – b )
3
= a
3
– b
3
– 3ab (a – b )
6, (a – b )(a
2
+ ab + b
2
) = a
3
– b
3

7, (a + b)(a
2
– ab + b
2
) = a
3
+ b
3

Ta cũng có : (a + b + c )
2
= a
2
+ b

2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ac.
Tổng quát hằng đẳng thức 3 và 7, ta có hằng đẳng thức:
8, a
n
– b
n
= (a – b )(a
n-1
+ a
n-2
b + a
n-3
b
2
+…+ ab
n-2
+ b
n-1
)
với mọi số nguyên dương n.
Tổng quát hằng đẳng thức 6, ta có hằng đẳng thức.
9,a
n
+ b
n
= (a + b )(a
n-1

– a
n-2
b + a
n-3
b
2
– … – ab
n-2
+ b
n-1
) với mọi số lẻ n.
Tổng quát các hằng đẳng thức 1,2,4,5 ta có công thức Niu-tơn.
(a + b )
n
= a
n
+ c
1
a
n-1
b + c
2
a
n-2
b
2
+ c
3
a
n-3

b
3
+ .. .+ c
n-1
ab
n-1
+ b
n

Trong đa thức trên vế phải là một đa thức có n + 1 hạng tử, bậc của mỗi hạng
tử đối với tập hợp các biến a, b là n.
Bài 1: Cho : a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca. (1)
Chứng minh rằng: a = b = c.
Chứng minh:
Nhân hai vế của biểu thức (1) với số 2 ta có:
2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
= 2ab + 2bc + 2ca
⇔
2a

2
+ 2b
2
+ 2c
2
– 2ab – 2bc – 2ac = 0
⇔
(

a
2
– 2 ab + b
2
) + (b
2
– 2bc + c
2
) + (c
2
– 2ac + a
2
) = 0
⇔
(a – b )
2
+ (b – c )
2
+ (c – a)
2
= 0 (1)