Đạo hàm và tiếp tuyến

Ngun ti liu :
Đạo hàm
Dạng 1: Xét tính khả vi tại một điểm
Bài 1. Cho f(x)= x(x-1)(x-2)...(x-1994). Tính f'(0).
Bài 2. Cho f(x)= x(x+1)(x+2)...(x+2007). Tính f'(-1000).
Bài 3. Cho





=

=
0x nếu0
0
x
x
2
sin
(x)g
. Tính g'(0).
Bài 4. Cho





=

=
0nếu x 0
1 x và0,
x
x11
f(x)
x
và





=


=
0x nếu 0
0x
x
cosx1
g(x)
,
a. Xét tính liên tục của f(x), g(x) tại x=0;
b. Xét tính khả vi của f(x), g(x) tại x=0.
Bài 5. Cho
2)(
+=
xxxf
. Tính đạo hàm của f(x) tại x=0.

Bài 6. Cho
x
x
xf
+
=
1
)(
. Tính đạo hàm của f(x) tại x=0.
Bài 7. Cho hàm số
13
32
2

+
=
x
xx
y
.
CMR: f(x) liên tục tại x=-3 nhng không tồn tại đạo hàm tại x= -3
Bài 8. Cho





=

=

0x nếu 0
0
x
f(x)
1
sinx
và





=

=
0x nếu 0
0x
x
1
g(x)
sin
2
x
a. Xét tính liên tục của f(x), g(x) tại x=0;
b. Xét tính khả vi của f(x), g(x) tại x=0.
Bài 9. Cho hàm số

=

=
0x nếu 0
0x
x
1
f(x)
sin
n
x
. Xác định n sao cho:
a. f(x) liên tục tại x=0.
b. f(x) có đạo hàm tại x=0.
c. f(x) có đạo hàm liên tục tại x=0.
Bài 10. CMR: Đạo hàm của một hàm số chẵn là hàm số lẻ còn đạo hàm của một hàm số lẻ là một hàm số chẵn.
Bài 11. CMR: Nếu y= f(x) là hàm tuần hoàn và khả vi trên R thì f(x) cũng là hàm tuần hoàn.
Dạng 2: Lập công thức đạo hàm
Bài 1. Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của y=tgx
Bài 2. Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của y=cotgx
Bài 3. Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của
3
xy
=


1
Ngun ti liu :
Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số tồn tại đạo hàm tại x

o
.
Bài 1. Cho





+
>

+
=
0 x1ax
2
x
0x
x
1)e(x
f(x)
.Tìm a để f(x) tồn tại đạo hàm tại x= 0.
Bài 2. Cho



>++
+
=
0 x 1 b ax
0 x bsinx acosx

f(x)
.Tìm a, b để f(x) tồn tại f'(0).
Bài 3. Cho





<+
+
=
1- xbx
2
x
1- xa
2
x-
f(x)
. Tìm a, b để f(x) tồn tại f'(-1).
Bài 4. Cho
[ ]






>++
=
1;2,2

1,
)(
2
2
xx
xbaxx
xf
. Tìm a, b để hàm số tồn tại đạo hàm tại x=1
Dang 4: Tính đạo hàm bằng công thức
Tính đạo hàm cấp một của các hàm số sau
y=cos
2
(x
2
-2x+2); y=|x
2
-5x+6|. y=(2-x
2
)cosx+2xsinx.
Dạng 5: Tính đạo hàm bằng công thức và định nghĩa
Bài 1: Cho
x1
x
f(x)và)xln(1xF(x)
+
=+=
. CMR: F'(x)= f(x).
Dạng 6: Đạo hàm cấp cao
1 Bài 1: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a)

)0(,
1

+
=
a
bax
y
b)
dcx
bax
y
+
+
=
c)
x
x
y

=
1
2
d)
23
35
2
+

=

xx
x
y
e)
3
1 x
x
y
+
=
f)
65
472
2
2


=
xx
xx
y
g)
12
23
2
2
+
+
=
xx

xx
y
. f)
32
2035
2
2


=
xx
xx
y
Bài 2: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a. y=sinax b. y= cosax c. y= sin
4
x- cos
4
x. d. y= sin2xcos5x
Tiếp tuyến
I. Ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến
1. Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm.
Bài 1. Cho (C
m
): y= x
3
+mx
2
-m-1. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C
m

) tại các điểm cố định của (C
m
).
Bài 2. Cho (C) y=x
3
+1-k(x+1).Viết phơng trình tiếp tuyến (d) tại giao điểm của (C) với Oy. Tìm k để (d) chắn trên hai
trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
Bài 3. Cho (C):y=-x
4
+2x
2
. Viết phơng trình tiếp tuyến tại A(
2
; 0).

2
Ngun ti liu :
Bài 4. Cho (C):
4
9
2
4
1
24
=
xxy
. Viết phơng trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox.
Bài 5. Cho (C):
3
1

+
=
x
x
y
. Tìm tọa độ các giao điểm của các tiếp tuyến vuông góc với (d): y=x+ 2009
Bài 6. Cho (C):
1
22
2
+
++
=
x
xx
y
.
a. Điểm A thuộc (C) với x
A
=a. Viết phơng trình tiếp tuyến (d
a
) tại A.
b. Tìm a để (d
a
) đi qua B(1;0). CMR: có hai giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán và hai tiếp tuyến tơng ứng vuông
góc nhau.
Bài 7. Cho đồ thị (C):
2
212 xxy

++=
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với đờng thẳng: y=-
1.
2. Viết phơng trình tiếp biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc.
Bài 1. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A






4;
12
19
đến (C): y=2x
3
-3x
2
+5.
Bài 2. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A







2;
9
23

đến (C): y=x
3
-3x
2
+2.
Bài 3. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A







1;
3
2
đến (C): y=x
3
-3x+1.
Bài 4. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến (C): y=x
3
-x-6.
Bài 5. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến (C): y=-x
3
+9x
Bài 6. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến (C): y=2x
3
+3x
2
-1.

Bài 7. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x
3
-3x
2
+2.
Bài 8. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;-2) đến (C): y=x
3
-3x
2
+2.
Bài 9. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x
3
-3x
Bài 10.Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;-1) đến (C): y=2x
3
+3x
2
-1.
Bài 11.Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;3) đến (C): y=3x-4x
3
.
Bài 12. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;
4
5
) đến (C):
1
1
2
+
++

=
x
xx
y
.
Bài 13. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;0) đến (C):
1
1
2
+
++
=
x
xx
y
.
Bài 14. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;0) đến (C):
1
22
2
+
++
=
x
xx
y
.
3. Viết phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc
Bài 1. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x
3

-3x
2
, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng:
mxy
+=
3
1
.
Bài 2. Cho (C): y=x
3
-3x+7.
a. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng:y=6x-1
b. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng:
2
9
1
+=
xy
.
c. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đờng thẳng: y=2x+3 một góc 45
0
.
Bài 3. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=-x
3
+3x

biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng: y=-9x+1.
Bài 4. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x
3
-3x

2
+2, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: 5y-3x+4=0.
Bài 5. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x
3
-3x
2
+2, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng:
xy
3
1
=
.
Bài 6. Cho đồ thị (C): y=2x
3
-3x
2
- 12x- 5.
a. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng:y=6x-4

3
Ngun ti liu :
b. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng:
2
3
1
+=
xy
.
c. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đờng thẳng:
2

2
1
+=
xy
một góc 45
0
.
Bài 7. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C):
42
3
1
23
+=
xxxy
a. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc k=-2.
b. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dơng Ox một góc 60
0
.
c. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dơng Ox một góc 15
0
.
d.Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với Ox một góc 75
0
.
e.Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y=-x+2
f. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y= 2x-3.
g. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đờng thẳng y=3x+7 một góc 45
0
.
h. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đờng thẳng

3
2
1
+=
xy
một góc 30
0
.
Bài 8. Cho đồ thị (C):
56
2
+=
xxy
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng
y=2x-1
Bài 9. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C):
1
1
2
+

=
x
xx
y
song song với đờng thẳng y=-x.
II. Các dạng toán liên quan đến tiếp tuyến
1. Các dạng toán liên quan đến bài toán cơ bản 1
Dạng 1: Cho hàm số y= ax
3

+ bx
2
+cx+ d (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) tại một điểm.
Bài 1. Cho A(x
0
;y
0
) thuộc đồ thị (C): y=x
3
-3x+1. Tiếp tuyến với (C)tại A cắt đồ thị tại điểm B khác A.Tìm tọa độ điểm B.
Bài 2. Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=x
3
- 3x-2. Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt đồ
thị (C) tại các điểm A
1
, B
1
, C
1
. Chứng minh rằng A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng.
Bài 3. Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=ax
3
+ bx
2

+cx+d. Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C
cắt đồ thị (C) tại các điểm A
1
, B
1
, C
1
. Chứng minh rằng A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng
Dạng 2: Cho hàm số y=ax
4
+bx
2
+ c (C). Gọi (d) là tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại M.
1) Tìm M để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt P, Q khác M.
2) Gọi I là một điểm liên quan đến P, Q. Tìm quỹ tích điểm I
Bài 1. Cho (C):
2
5
3
2
1
24
+=
xxy

a. Gọi (t) là tiếp của (C) tại M với x
M
=a. CMR: Hoành độ các giao điểm của (t) với (C) là nghiệm của phơng trình: (x-
a)
2
(x
2
+2ax+3a
2
-6)=0
b. Tìm a để (t) cắt (C) tại P, Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của PQ.
Bài 2. Cho (C): y=x
4
-2x
2
. Gọi (d) là tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại M thuộc (C). Tìm M để (d) cắt (C) tại hai điểm phân
biệt P, Q khác M khi đó tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác OPQ
Dạng 3: Cho (H):
0
xx
bax
y

+
=
hoặc
0
2
xx
cbxax

y

++
=
. Gọi d
1
, d
2
là hai tiệm cân của (H), d là
tiếp tuyến bất kỳ của (H) tại M.A,B là giao điểm của d với d
1
,d
2
và I là giao điểm của d
1
và d
2
.
1) CMR: M là trung điểm của A, B
2) CMR diện tích tam giác IAB= const.
3) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Bài 1. Cho (C):
32
54
+

=
x
x
y

và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm
cận tại A,B.
a. CMR: M là trung điểm của A, B
b. CMR diện tích tam giác IAB= const.
c. Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.

4
Ngun ti liu :
Bài 2. Cho (C):
3
13

+
=
x
x
y
và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận
tại A,B.
a. CMR: M là trung điểm của A, B
b. CMR diện tích tam giác IAB không đổi.
c. Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Bài 3. Cho (C):
22
43
2

+
=
x

xx
y
và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm
cận tại A,B.
a. CMR: M là trung điểm của A, B
b. CMR diện tích tam giác IAB không đổi.
c. Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
Bài 4. Cho (C):
2
52
2
+
+
=
x
xx
y
và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm
cận tại A,B.
a. CMR: M là trung điểm của A, B
b. CMR diện tích tam giác IAB= const.
c. Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
2. Các bài toán liên quan đến bài toán 2
Dạng 1: Cho hàm số y= ax
3
+ bx
2
+cx+ d (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho từ M kẻ đợc p tiếp
tuyến đến (C).
Bài 1. Cho (C): y=x

3
-3x
2
+2. Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua M nằm trên đồ thị (C).
Bài 2. Cho (C): y=x
3
+ ax
2
+bx+c. Tìm các điểm M thuộc (C) để kẻ đúng đợc một tiếp tuyến đến đồ thị.
Dạng 2: Cho hàm số y= ax
3
+ bx
2
+cx+ d (C) và đờng thẳng d:

+=
xy
. Tìm M thuộc d sao
cho từ M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
Bài 1. Cho (C): y=x
3
-3x
2
+2. Tìm trên đờng thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
Bài 2. Cho (C): y=x
3
-12x+12. Tìm trên đờng thẳng: y=-4 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Bài 3. Cho (C): y=x
3
-6x

2
+9x-1. Từ một điểm bất kỳ thuộc đờng thẳng x=2 kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến (C).
Bài 4. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C):y=x
3
+3x
2
trong đó có hai tiếp
tuyến vuông góc nhau.
Bài 5. Cho (C): y=-x
3
+3x
2
-2. Tìm trên đờng thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Bài 6. Cho (C): y=x
3
-3x. Tìm trên đờng thẳng: x=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Bài 7. Cho (C): y=x
3
-3x. Tìm trên đờng thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Dạng 3: Cho (H):
0
xx
bax
y

+
=
hoặc
0
2

xx
cbxax
y

++
=
và d:

+=
xy
. Tìm M thuộc (d) sao
cho từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc

Bài 1. Tìm trên đờng thẳng x=1 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C):
x
xx
y
23
2
+
=
.
Bài 2. Cho (C):
1
2

=
x
x
y

. Tìm trên đờng thẳng y=4 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45
0
.
Bài 3. Cho (C):
1
12
2

+
=
x
xx
y
. Tìm trên đờng thẳng y=7 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45
0
Bài 4. Cho (C):
1
2
2

++
=
x
xx
y
. Tìm các điểm A thuộc Ox kẻ đợc đúng một tiếp tuyến đến đồ thị.
Bài 5. Cho (C):
1
1
2

+

=
x
xx
y
. Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ đợc hai tiếp tuyến đến đồ thị.

5