Câu hỏi Phụ - Tìm Max - Min

Nguồn tài liệu :
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
*Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
[ ]
a;b
ta thực hiện theo các bước:
• Tính f
’
(x) , giải phương trình f
’
(x) = 0 để tìm tất cả các nghiệm x
1
, x
2
… x
n
trong
[ ]
a;b
(chú ý ta phải
tìm tất cả các giá trị của x mà tại đó đạo hàm khơng tồn tại).
• Tính và so sánh f(a); f(x
1
) … f(x
n
) (hoặc dùng bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết
luận về max và min)
Kết luận : Vậy GTLN M=
( ) ( ) ( ){ }
bfxfxfaf
n

;........;;)(
1
GTNN m=
( ) ( ) ( ){ }
bfxfxfaf
n
;........;;)(
1
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên miền
[ ]
D a;b≠
ta thực hiện.
• Tính f
’
(x), giải phương trình f
’
(x) = 0 để tìm tất cả các nghiệm x
1
, x
2
… x
n
trong D
• Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x)
• Từ bảng biến thiên
⇒
kết luận.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2

y x 3x 9x 1= − − +
trên
[ ]
2;4−
Maxy = 6 tại x = -1
Miny = -26 tại x = 3.
Ví dụ2: Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
−2x+3 trên [0;3].
Kq:
]3;0[
Min
f(x)=f(1)=2 và
]3;0[
Max
f(x)=f(3)=6.
Ví dụ 3: Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
1
44
2
−
+−
x
xx
với x<1.
Kết quả :
)1;(
−∞
Max
f(x) = f(0) = −4

Ví dụ 4: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y =
1
24
2
++
xx
x
. Kết quả :
R
Max
y = f(±1) =
3
1
Ví dụ 5: Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. Kết quả:
);0(
+∞
Min
y=f(1)= −3
Ví dụ 6: Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 +
2
x4
−
.
Kết quả:
522)2(
]2;2[
−==

−
fyMax
;
7)2(
]2;2[
−=−=
−
fyMin
Ví dụ 7: Cho 2 số dương x; y thỏa mãn x + y =
5
4
. Tìm GTNN của biểu thức
4 1
S
x 4y
= +
.
Ví dụ 8 : Cho x, y ≥ 0, x+y=1. T×m Max, Min cđa biểu thức
11
+
+
+
=
x
y
y
x
S
Ví dụ 9 : T×m Max,Min cđa
22

22
4
)4(
yx
yxx
S
−
−−
=
víi x
2
+ y
2
> 0
Ví dụ 10 : Cho x,y > 0 , x+y=1. T×m Min cđa
y
y
x
x
S
−
+
−
=
11

Ví dụ 11: Tìm gá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số :
2
4 xxy
−+=

Vậy
[ ]
22
max
2;2
=
−
y
;
[ ]
2
min
2;2
−=
−
y
Ví dụ 12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( )
3
26
14 xxy
−+=
trên đoạn
[ ]
1;1−
.
Lời giải Đặt t = x
2
với
[ ] [ ]

x 1;1 t 0;1∈ − ⇒ ∈
.

1
Nguồn tài liệu :
Vậy Max y = 4 đạt được tại x = 0 Min y =
4
9
đạt được tại x =
2
3
±
.
Chú ý : trong một số bài tốn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ta sử dụng phương
pháp đặt ẩn phụ để đơn giản bài tốn . Khi sử dụng phương pháp này cần lưu ý :
• Đặt ẩn phụ t , tìm điều kiện của ẩn phụ với tương ứng
ItDx
∈⇒∈
•Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số đối với biến t trên tập I
Ví dụ 12: Tìm GTLN ,GTNN của biểu thức:
2
2cos cos 1
cos 1
x x
A
x
+ +
=
+
Vậy maxA = 2 , minA=1

Ví dụ 13 :Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
Ví dụ 14 : Cho hàm số
( )
πα
α
αα
;0
1cos2
cos2cos
2
2
∈
+−
+−
=
xx
xx
y
. Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1
Ví dụ 15 : Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx
−
x
3
sin
3
4
trên đoạn [0;π]
Kết quả:
];0[
Max

π
f(x)=f(π /4)= f(3π /4)=
3
22
;
];0[
Min
π
f(x)=f(0)=f(π )=0
Ví dụ 16 : Cho
0
≠
ab
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
F
++









+−+=
2
2
2
4
4
4
4
Hướng dẫn : Đặt
a
b
b
a
t
+=
, do
a
b
b
a
;
cùng dấu nên
222
≥⇒=≥+=+=

t
ba
ab
a
b
b
a
a
b
b
a
t
khi đó:
;2
2
2
2
2
2
−=+
t
a
b
b
a
24
24
4
4
4

4
+−=+
tt
a
b
b
a
nên
( )
45224
24224
++−=⇔+−−+−=
tttFttttF
Chú ý : trong một số bài tốn khi tính đạo hàm mà khơng giải được nghiệm hoặc khơng nhận xét
được dấu của đạo hàm thì cách thơng thường nhất là ta tiếp tục tính đạo hàm cấp 2, cấp 3... đến khi nào
tìm được nghiệm hoặc nhận xét được dấu thì dừng và thực hiện ngược lại như bài tốn trên
Ví dụ 17: Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số :
xxy cos3sin
5
+=
Hướng dẫn : Vì
xx
45
sinsin
≤
nên
xxxxy cos3sincos3sin
45
+≤+=
Ta tìm GTLN của hàm số

xxy cos3sin
4
+=
TLN là
3
đạt được khi
π
21cos
1cos
sinsin
45
kxx
x
xx
=⇔=⇔



=
=
Tương tự ta có Vì
xx
45
sinsin
−≥
nên
xxxxy cos3sincos3sin
45
+−≥+=
Ta tìm GTNN của hàm số

xxy cos3sin
4
+−=
GTNN là
3
−
đạt được khi
ππ
21cos
1cos
sinsin
45
kxx
x
xx
+=⇔−=⇔



−=
−=
Chú ý : trong một số bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ta cần nhận xét đánh giá để
chuyển về một hàm trung gian rồi đi tìm GTLN ,GTNN của hàm trung gian đó. Mà mục đích là để sử dụng
phương pháp đặt ẩn phụ để đơn giản bài tốn
Ví dụ 18: Tìm a để GTNN của hàm số
2 2
y 4x 4ax a 2a= − + −
trên
[ ]
2;0−

bằng 2.

2
Nguồn tài liệu :
KL: Vậy a = -1 hoặc
1 3a = +
thì GTNN của hàm số bằng 2.
Bài tập tự giải
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau :
1.
y x 2 4 x= − + −
2. y=2x
3
+3x
2
−1 trên đoạn






−
1;
2
1
Kết quả:
4)1(
]1;
2

1
[
==
−
fyMax
;
1)0(
]1;
2
1
[
−==
−
fyMin

3. y=f(x)=x
2
−2x+3. Kq:
R
Min
f(x) = f(1) = 2.
4. y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả:
R
Min
y=f(±1)=2; Không có
R

Max
y
5. y = x
4
+4x
2
+5. Kết quả:
R
Min
y=f(0)=5; Không có
R
Max
y
6.
2cos
1sin22
+
−
=
x
x
y
. Kết quả:
R
Min
y=
3
7
−
;

R
Max
y=1
7.
1
33
2
2
++
++
=
xx
xx
y
. Kết quả:
R
Min
y=
3
1
;
R
Max
y=3
8.
y sin x 3sin 2x= +
9. (ĐHCSND)
y 5cosx cos5x= −
trên đoạn
;

4 4
π π
 
−
 
 
10. (ĐHKTQD - 97)
3 2
y x 3x 72x 90= + − +
trên đoạn
[ ]
5;5−
Bài 2: Tìm GTNN của
1. (HVNH – 98)
1 1
y
sinx cos x
= +
với
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
2. (HVCNBCVT – 99)
2
f (x) 2sin x 4sin xcosx+ 5= +

Bài 3: Tìm GTLN , GTNN của các hàm số sau:
1. (ĐHGT – 98)
2 2
2x 4x
y sin cos 1
1 x 1 x
= + +
+ +
2. (ĐHSPI –2001):
2
2
3cos4x 4sin x
y
3sin x 3cos4x
+
=
+
3. (HVQHQT – 2001)
y x 1 9 x= − + −
với
3 6x
≤ ≤
4. (ĐHNT –2001)
x y
P
1 x 1 y
= +
− −
với x>0; y>0 và x +y = 1
5.

xx
xx
y
44
66
cossin1
cossin1
++
++
=
6.
xx
xx
y
24
24
cos2sin3
sin4cos3
+
+
=
7.
)cos1(sin xxy
+=
8.
xxy 2sin3sin
+=
9.
xx
y

cos4
1
sin4
1
−
+
+
=
10.
a
tgx
tgx
a
x
x
y
+
−
+
+−
−
+
=
1
1
)1(
2sin1
2sin1
víi







∈
4
;0
π
x
11.
xx
xxxx
y
sincos
sincoscos.sin
66
+
+
=
B i 5: à Cho
2
0
π
≤≤
x
vµ 2 ≤ m ,
Zn
∈
. T×m Max,Min cđa

xxy
nm
cos.sin
=
B i 6:à
a. Cho 1 ≤ a T×m Min cđa
xaxay sincos
+++=
b. T×m Max,Min cđa
xxy sin.21cos.21
+++=

3
Nguồn tài liệu :
Bài 7: (ĐHAN Khối A – 97) Tìm tập giá trị của hàm số sau:
2 2
2 4 2 4y x x x x= + + − − +
Bài 8: gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình:
2 2
2x 2(m 1)x m 4m 3 0+ + + + + =
Tìm GTLN của
1 2 1 2
2( )A x x x x= − +
Bài 9: Cho hàm số
4 2 2
y x 6bx b= + +

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
[ ]
2;1−
65) Cho hàm số
2
13
2
++
+
=
xx
x
y
. Chứng minh rằng :
1y
7
9
≤≤−
55) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m
3
, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích
thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất?
Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m
57) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1 nghòch biến trên khoảng( −1;0).
Kết quả : m ≤
3

4
−

58) Tìm trên (C): y =
2
3
2
−
−
x
x
điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ
nhất. Kết quả :M(0;
2
3
)
BT10
Gi¶ sư
0
12
4612
2
22
=+−+−
m
mmxx
cã nghiƯm x
1,
x
2

T×m Max,Min cđa
3
2
3
1
xxS
+=


BT15 (§H Th ¬ng m¹i 2000)
T×m Max,Min cđa
xxaxxy cos.sin.cossin
66
++=
BT16 (HVQY 2000)
T×m Max,Min cđa
1cos.sincossin
44
+++=
xxxxy
BT17 (§H C¶nh S¸t 2000)
T×m Max,Min cđa
xxy 5coscos5
−=
Víi







−
∈
4
;
4
ππ
x
BT18 (§HQG TPHCM 1999)
Cho
mxxxxxf
+−++=
2sin3)cos.(sin22cos)(
32
T×m Max,Min cđa f(x) . Tõ ®ã t×m m ®Ĩ
xxf
∀≤
.36)(
2
2)- Sư dơng GTLN, GTNN cđa hµm sè trong ph ¬ng tr×nh, bpt ,hpt, hbpt
BT1
GPT:
16
1
)1(
55
=−+
xx

BT2(§H Thủ S¶n 1998)

T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm
mxxxx
=+−−++−
)2)(2(22
BT3(§H Y TPHCM 1997) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm
a)
mxxxx
++−=−+
99
2
b)
mxxxx
=−+−−++
)6)(3(63
BT4 T×m m ®Ĩ bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm

13.
+≤−−
mxxm
BT5(§HQG TPHCM 1997)
T×m m ®Ĩ
42)1(
222
++≤++
xxmx
®óng víi mäi x thc [0;1]
BT7(§HGT 1997)

4
Nguồn tài liệu :

T×m m ®Ó
)352()3).(21(
2
−−+≥−+
xxmxx
®óng






−
∈∀
3;
2
1
x
BT8
T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã 4 nghiÖm ph©n biÖt
mxxxxxx
+−=+−−+−
42224)22(
2232
BT9
T×m a dÓ BPT sau ®óng víi mäi x thuéc R
0122436cos.15sin363cos5cos3
224
>−++−−−
aaxxxx

BT10
a)T×m m ®Ó
mxxxx
+−≤−+
2)6)(4(
2
®óng víi mäi x thuéc [-4;6]
b)T×m m ®Ó
182)2)(4(4
2
−+−≤+−−
mxxxx
®óng víi mäi x thuéc [-2;4]
BT11(§HQG TPHCM 1998)
T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt
axx
x
x
+−=
−
−
12
12
13
2
BT12 (§H QGTPHCM 1997-1998)
a) T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
mxxxxx
=−+−+
4sin)cos(sin4)cos(sin4

26644
b) T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
mxxx
=+
cos.sin.64cos
c)T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
xmxx 4cos.cossin
2244
=+
BT13 (§H CÇn Th¬ 1997)
T×m m dÓ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
xxmxxx 2cos31.cos2cossin2cos3
22446
+=−++

BT14(§HGT 1999)
a)T×m m ®Ó
02cos.sin42cos.
=−+−
mxxxm
Cã nghiÖm






∈
4
;0

π
x
b)T×m m ®Ó
mxxx
=
3sin.2cos.sin
Cã ®óng 2 nghiÖm






∈
2
;
4
ππ
x
BT15
T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
6
9.69.6
mx
xxxx
+
=−−+−+
BT16
T×m a ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau ®óng víi mäi x thuéc R
13)1(49.

>+−+
aaa
xx
BT17
T×m a ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
(
)
).(log1log
2
2
2
axax
+<+
BT18
T×m a ®Ó hÖ bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm





<++
<−+
01.3
0123
2
2
mxx
xx
3)- Sö dông GTLN, GTNN chøng minh bÊt ®¼ng thøc
BT1

CMR
13122
2
≤−+≤−
xx
Víi mäi x thuéc TX§
BT2
a)T×m m ®Ó
28
2
+=+
xxm
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt
b)Cho a + b + c = 12 CMR
6.6888
222
≥+++++
cba
BT3

5