Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm Toán 10 có đáp án và lời giải năm 2020, 2021

Mục lục

I

ĐẠI SỐ

1 MỆNH ĐỀ TẬP HỢP
1

2

A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2

2

Mệnh đề chứa biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3

Mệnh đề phủ định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

4
5

Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mệnh đề tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3

6

Các kí hiệu ∀ và ∃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Dạng 1. Mệnh đề có nội dung đại số và số học . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Mệnh đề có nội dung hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
10

Dạng 3. Thành lập mệnh đề - Mệnh đề phủ định . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
35

C

1

Tập hợp và phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2

Cách xác định tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3
4

Tập hợp rỗng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tập con. Hai tập hợp bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
35

5

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Dạng 1. Xác định tập hợp - phần tử của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 2. Tập hợp rỗng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36
40

Dạng 3. Tập con. Tập bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68
68

B

C
3

2

MỆNH ĐỀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B

2

1


MỤC LỤC

MỤC LỤC

B

1

Giao của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

2

Hợp của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3

Hiệu và phần bù của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dạng 1. Tìm giao và hợp của các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69
69

Dạng 2. Hiệu và phần bù của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Dạng 3. Sử dụng biểu đồ Ven và công thức tính số phần tử của tập hợp A ∪ B
C
4

để giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74
82

CÁC TẬP HỢP SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1
2

B

Các tập hợp số đã học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Các tập con thường dùng của R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Dạng 1. Xác định giao - hợp của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Dạng 2. Xác định hiệu và phần bù của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Dạng 3. Tìm m thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

C
5

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

SỐ GẦN ĐÚNG - SAI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A
B

Số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Quy tròn số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

C

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1

176

ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
1 Hàm số và tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2

Cách cho hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3

Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4
5

Sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Dạng 2. Tính giá trị của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Dạng 3. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . 181
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Dạng 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

2

C
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
HÀM SỐ Y = AX + B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

B

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 3/2406

ȍ GeoGebra

MỤC LỤC

MỤC LỤC

Dạng 1. Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Dạng 2. Xác định hệ số a và b của số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Dạng 3. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối 283
Dạng 4. Vẽ đồ thị hàm số cho bởi hệ nhiều công thức . . . . . . . . . . . . . . . 286
Dạng 5. Sự tương giao giữa các đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
C
3

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

HÀM SỐ BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
1 Hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
2

Đồ thị của hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

3

Chiều biến thiên của hàm số bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

4

5

Phương trình hoành độ giao điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Định lý Vi-ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

6

Một vài công thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Dạng 1. Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai . . . . . . . . . . 371
Dạng 2. Tìm tọa độ của đỉnh và các giao điểm của parabol với các trục tọa độ.
Tọa độ giao điểm giữa parabol (P ) và một đường thẳng. . . . . . . . . . . . . 375
Dạng 3. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số giao điểm của parabol (P ) và đường
thẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
Dạng 4. Xác định hàm số bậc hai khi biết các yếu tố liên quan. . . . . . . . . . 379
Dạng 5. Các bài toán liên quan đồ thị hàm số trị tuyệt đối của một hàm bậc hai 384
Dạng 6. Các bài toán liên quan đồ thị hàm số đối với trị tuyệt đối của biến . . 385

C

Dạng 7. Tính đơn điệu của hàm bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

3 PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1

524

MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

A

Tìm tập xác định của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

B

Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . 524
Phương trình hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
1

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

2

Các phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả thường gặp . . . . . . . . . . 529

3

Phương pháp giải phương trình dựa vào phương trình hệ quả . . . . . . . . . 530
Dạng 2. Khử mẫu (nhân hai vế với biểu thức) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
Dạng 3. Bình phương hai vế (làm mất căn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

C

Phương trình tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

Dạng 4. Phương pháp chứng minh hai phương trình tương đương . . . . . . . . 538
Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
D
2

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI . . . . . . . . . 583

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 4/2406

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

B

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
Dạng 2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
Dạng 3. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . 594
Dạng 4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Phương trình bậc bốn trùng phương . . . 603
Dạng 5. Biện luận theo m có áp dụng định lí Viète . . . . . . . . . . . . . . . . 607

Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
C
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
3

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN . . . . . . . . . 727
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
1
2

Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727

3

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
Dạng 1. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc
phương pháp cộng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
Dạng 2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
Dạng 3. Giải và biện luận hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn có chứa tham số (PP

C
4

Crame) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
A

Hệ phương trình gồm các phương trình bậc nhất và bậc hai . . . . . . . . . . . . . 811

B
C

Hệ phương trình đối xứng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814
Hệ phương trình đối xứng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818
Dạng 1. Giải hệ phương trình đối xứng loại 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số thỏa điều kiện cho trước. . . . . . . . . . . 821

D
E

Hệ phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
Hệ phương trình hai ẩn khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829

4 BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1

840

BẤT ĐẲNG THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840
1
2

B

Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840
Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841
Dạng 1. Sử dụng phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841
Dạng 2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844
Dạng 3. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852
Dạng 4. Sử dụng các bất đẳng thức hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853
Dạng 5. Chứng minh bất đẳng thức dựa vào tọa độ véc -tơ . . . . . . . . . . . . 855

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 5/2406

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

Dạng 6. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
C

2

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN . . . . . . . . . . . 898
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
1 Giải và biện luận bất phương trình ax + b > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
2

B

Giải và biện luận bất phương trình ax + b ≤ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
Dạng 1. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
Dạng 2. Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . 904
Dạng 3. Tìm giá trị của tham số để bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều
kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906
Dạng 4. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
Dạng 5. Giải và biện luận hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . 909
Dạng 6. Tìm giá trị của tham số để hệ bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều
kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912

3

C
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983

A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
1

Nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983

2
3

Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985
Dạng 1. Xét dấu tích - thương các nhị thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . 985
Dạng 2. Xét dấu nhị thức có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990
Dạng 3. Giải bất phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995
Dạng 4. Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức . . . . . . . . . . . . . . . . 998
Dạng 5. Giải bất phương trình bậc nhất chứa dấu giá trị tuyệt đối. . . . . . . . 1002

4

C
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054

1

B

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054

2 Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054
Dạng 1. Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . 1054
Dạng 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 1057

5

Dạng 3. Các bài toán thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
1

Tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073

2

Định lí về dấu của tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 6/2406

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

B

3

Định lí về dấu của tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073

4

Bất phương trình bậc hai một ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn mang một dấu . . 1076
Dạng 3. Giải bất phương trình bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078
Dạng 4. Bài toán có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084

C

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090

5 THỐNG KÊ
1209
1
BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209
1

B

Bảng phân bố tần số và tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209

2 Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209
Dạng 1. Bảng phân bố tần số và tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209
Dạng 2. Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp . . . . . . . . . . . . . . 1213

2

BIỂU ĐỒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219

B

1

Biểu đồ tần suất hình cột . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219

2

Đường gấp khúc tần suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219

3 Biểu đồ hình quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220
Dạng 1. Vẽ biểu đồ tần số và tần suất hình cột . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220
Dạng 2. Biểu đồ đường gấp khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224

3

Dạng 3. Biểu đồ hình quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229
SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VỊ. MỐT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233
1

Số trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233

2
3

Số trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233
Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234
Dạng 1. Số trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234
Dạng 2. Số trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235

Dạng 3. Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237

4

PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243

B

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244
Dạng 1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu KHÔNG ghép lớp . 1244
Dạng 2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu ghép lớp . . . . . . 1247

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 7/2406

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

6 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1

1254

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254
1 Khái niệm cung và góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254
2

B

Số đo của cung và góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256
Dạng 1. Liên hệ giữa độ và rađian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256
Dạng 2. Độ dài cung lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257
Dạng 3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác . . . . . . . . . . 1259

C
2

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276

B

1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276

2

Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276

3
4

Ý nghĩa hình học của tang và côtang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277
Công thức lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277

5

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . 1278

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279
Dạng 1. Dấu của các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279
Dạng 2. Tính giá trị lượng giác của một cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282
Dạng 3. Sử dụng cung liên kết để tính giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . 1285
Dạng 4. Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . 1287

3

C
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325
A

Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325
Dạng 1. Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325

B
C

Công thức nhân đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329
Dạng 2. Tính các giá trị lượng giác của các góc cho trước . . . . . . . . . . . . 1329
Dạng 3. Rút gọn biểu thức cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1330

D

Dạng 4. Chứng minh đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1330
Công thức biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333
Dạng 5. Biến đổi một biểu thức thành một tổng hoặc thành một tích . . . . . . 1333
Dạng 6. Chứng minh một đẳng thức lượng giác có sử dụng nhóm công thức biến
đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337
Dạng 7. Dùng công thức biến đổi để tính giá trị (rút gọn) của một biểu thức
lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342
Dạng 8. Nhận dạng tam giác. Một số hệ thức trong tam giác . . . . . . . . . . 1346

E

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1361

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 8/2406

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

HÌNH HỌC

II

1394

1 VEC-TƠ
1

1395

CÁC ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395
1 Định nghĩa, sự xác định véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395
2

Hai véc-tơ cùng phương, cùng hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396

3

Hai véc-tơ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397
Dạng 1. Xác định một véc-tơ, phương hướng của véc-tơ, độ dài của véc-tơ . . . 1397
Dạng 2. Chứng minh hai véc-tơ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399

C
2

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421

B

1

Định nghĩa tổng và hiệu hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421

2

Quy tắc hình bình hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422

3 Các tính chất của phép cộng, trừ hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422
Dạng 1. Xác định véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422
Dạng 2. Xác định điểm thỏa đẳng thức véc-tơ cho trước . . . . . . . . . . . . . 1426

Dạng 3. Tính độ dài của tổng và hiệu hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1430
Dạng 4. Chứng minh đẳng thức véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434

C
3

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444

TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494
A
B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495
Dạng 1. Các bài toán sử dụng định nghĩa và tính chất của phép nhân véc-tơ với
một số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495
Dạng 2. Phân tích một véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương . . . . . . . . 1497
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức véc-tơ có chứa tích của véc-tơ với một số . . . . 1502
Dạng 4. Chứng minh tính thẳng hàng, đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510
Dạng 5. Xác định M thoả mãn đẳng thức véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513

C
D
4

Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611

B

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612
Dạng 1. Tìm tọa độ của một điểm và độ dài đại số của một véc-tơ trên trục . 1612
Dạng 2. Xác định tọa độ của một véc-tơ và một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy1616
Dạng 3. Tính tọa độ trung điểm - trọng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 9/2406

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

Dạng 4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, điểm thuộc đường thẳng . . . . . . . 1622
C

Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627

D

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635

2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG
1

◦

1695
◦

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0 ĐẾN 180 . . . . . . . . . 1695
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695

B

1

Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0◦ đến 180◦ . . . . . . . . . . . . . . 1695

2

Góc giữa hai vec-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696
Dạng 1. Tính các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696
Dạng 2. Tính giá trị các biểu thức lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1700

2

C

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737

3

Tích vô hướng của hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737
A

B

Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737
1
2

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737
Các tính chất của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737

3

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738

4

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738
Dạng 1. Các bài toán tính tích vô hướng của hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . 1738
Dạng 2. Tính góc giữa hai véc-tơ -góc giữa hai đường thẳng-điều kiện vuông góc 1742
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng hoặc về độ dài. . . . . . . . . 1745
Dạng 4. Ứng dụng của biểu thức toạ độ tích vô hướng vào tìm điểm thoả mãn

điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1750
Dạng 5. Tìm tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác - tìm tọa độ hình chiếu
vuông góc của một điểm lên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754

4

C
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . 1827
A

B

Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827
1

Hệ thức lượng trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827

2
3

Định lý hàm số cosin, công thức trung tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827
Định lý sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828

4

Các công thức diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829
Dạng 1. Một số bài tập giúp nắm vững lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829

Dạng 2. Xác định các yếu tố còn lại của một tam giác khi biết một số yếu tố về
cạnh và góc của tam giác đó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835
Dạng 3. Diện tích tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1840

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 10/2406

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

Dạng 4. Chứng minh hệ thức liên quan giữa các yếu tố trong tam giác . . . . . 1842
Dạng 5. Nhận dạng tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847
Dạng 6. Nhận dạng tam giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1850
Dạng 7. Nhận dạng tam giác đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853
Dạng 8. Ứng dụng giải tam giác vào đo đạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855
C

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1861

3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
1

1949

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG
THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949
1

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949

2
3

Phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949
Phương trình chính tắc của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949

4

Véc-tơ pháp tuyến của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949

5

Phương trình tổng quát của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950
Dạng 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 1950
Dạng 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . 1951
Dạng 3. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng

. . . . . . . . . . . . . . 1954

Dạng 4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 1957
Dạng 5. Viết phương trình đường phân giác của góc do ∆1 và ∆2 tạo thành . . 1959
Dạng 6. Phương trình đường thẳng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . 1962
C
2

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1970

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080

B

1

Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính . . . . . . . . . . . . . . . 2080

2

Dạng khác của phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080

3 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080
Dạng 1. Tìm tâm và bán kính đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080
Dạng 2. Lập phương trình đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2082
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm . . . . . . . 2089
Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi một điểm . . . . . . . 2092

Dạng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thỏa mãn điều kiện cho
trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097
Dạng 6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn . . . . . . . . . . . . . 2104
Dạng 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109
Dạng 8. Phương trình đường thẳng chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110
Dạng 9. Phương trình đường tròn chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 11/2406

ȍ GeoGebra


Dạng 10. Tìm tọa độ một điểm thỏa một điều kiện cho trước . . . . . . . . . . 2117
C
3

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129

ĐƯỜNG ELIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178
1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178
2

Phương trình chính tắc của Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178

3

Hình dạng của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2180
Dạng 1. Xác định các yếu tố của elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2180
Dạng 2. Viết phương trình đường Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183
Dạng 3. Tìm điểm thuộc elip thỏa điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . 2186

C

III

Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2197

ĐỀ KIỀM HKI

2225

1

Đề HK1, Bình Phú, Hồ Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226

2
3

Đề HK1 T10, Chuyên Trần Phú, Hải Phòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2230
Đề HK1, THPT Trần Phú, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2242

4

HK1, Toán 10, Sở GD & ĐT Bắc Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2251

5

Trung Học Thực Hành Sư Phạm-HCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259

6
7

Phước Vĩnh, Bình Dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263
HK1, Chuyên QH Huế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2271

8

Đề HK1, Trần Quốc Tuấn, Gia Lai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2281

9

Đề thi HK1 Toán 10, Nguyễn Việt Dũng, Cần Thơ . . . . . . . . . . . . . . . 2284

10 Đề HK1 Toán 10, Phước Thạnh, Tiền Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2290

IV

ĐỀ KIỀM HKII

2302

11 Đề HK2 (2016-2017), Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh . . . . . . . . . . . . . . 2303
12 Đề HK2, THPT Long Mỹ, Hậu Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318
13 Đề HK2, THPT Hải An - Hải Phòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326
14 Đề HK2, Sở Giáo dục và Đào tạo Vĩnh Phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2332
15 Đề HK2, Sở Giáo dục & Đào tạo An Giang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338
16 Đề GHK2, THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai . . . . . . . . . . . . . 2350
17 Đề GHK2, THPT Nguyễn Trãi, Khánh Hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2363
18 Đề HK2, THPT Quỳnh Lưu 4, Nghệ An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2370
19 Đề HK2, THPT Nguyễn Trãi, Ba Đình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2385
20 Đề HK2, THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai . . . . . . . . . . . . . . 2393


PHẦN

I
ĐẠI SỐ

1


Chương 1:

MỆNH ĐỀ TẬP HỢP
§1 MỆNH ĐỀ

A
1

TÓM TẮT LÍ THUYẾT

MỆNH ĐỀ

Định nghĩa. Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai.
• Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
• Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.
Những điểm cần lưu ý.
• Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.
• Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa.
Ví dụ: Q:“6 chia hết cho 3”.
• Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, không thể vừa

!

đúng vừa sai cũng là một mệnh đề.
Ví dụ: “Có sự sống ngoài Trái Đất” là mệnh đề.
• Trong thực tế, có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa
điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác.
Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai.
Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học.

2

MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

Định nghĩa. Những câu khẳng định mà tính đúng-sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến gọi
là những mệnh đề chứa biến.
Å ã
1
2
Ví dụ: Cho P (x) : x > x với x là số thực. Khi đó P (2) là mệnh đề sai, P

là mệnh đề đúng.
2
3

MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

Định nghĩa. Cho mệnh đề P . Mệnh đề “Không phải P ” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí
hiệu là P .
2


CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

1. MỆNH ĐỀ

• Mệnh đề P và mệnh đề phủ định P là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P đúng thì P
sai, nếu P sai thì P đúng.
• Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đề
P : “2 là số chẵn”. Khi đó, mệnh đề phủ định của P có thể phát biểu là P : “2 không phải là số
chẵn” hoặc “2 là số lẻ”.
4

MỆNH ĐỀ KÉO THEO VÀ MỆNH ĐỀ ĐẢO

Định nghĩa. Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo.
• Kí hiệu là P ⇒ Q.
• Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai.
• P ⇒ Q còn được phát biểu là “ P kéo theo Q”, “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”.
Chú ý
• Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng: P ⇒ Q. Khi đó ta nói P là

giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần

!

để có P .
• Trong logic toán học, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề P ⇒ Q người ta không quan tâm
đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P , Q. Không phân biệt trường hợp P có phải
là nguyên nhân để có Q hay không mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng.
Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu” là một mệnh đề
đúng. Vì ở đây hai mệnh đề P : “Mặt trời quay xung quanh trái đất” và Q: “Việt Nam nằm
ở châu Âu” đều là mệnh đề sai.

Định nghĩa. Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh
đề P ⇒ Q.

! Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là một mệnh đề đúng.
5

MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

Định nghĩa. Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề
tương đương.
• Kí hiệu là P ⇔ Q
• Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P cùng đúng hoặc cùng sai. (Hay
P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai)
• P ⇔ Q còn được phát biểu là “P khi và chỉ khi Q”, “P tương đương với Q”, hay “P là điều kiện
cần và đủ để có Q”.

!

Hai mệnh đề P , Q tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như
nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai).
Ví dụ: “Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là một mệnh đề đúng.

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 3/2406

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

6

1. MỆNH ĐỀ

CÁC KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃

• Kí hiệu ∀ (với mọi): “∀x ∈ X, P (x)” hoặc “∀x ∈ X : P (x)”.
• Kí hiệu ∃ (tồn tại): “∃x ∈ X, P (x)” hoặc “∃x ∈ X : P (x)”.
Chú ý

!
B

• Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)” là mệnh đề “∃x ∈ X, P (x)”.
• Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P (x)” là mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)”.

CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Mệnh đề có nội dung đại số và số học

ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG 1 ĄĄĄ

Ví dụ 1. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
√
a) A : “ 6 là số hữu tỉ”.
b) B : “n chia hết cho 3 và 5 thì n chia hết cho 15”.
c) C : “∀x ∈ N : x2 + x + 3 > 0”.
x y
d) D : “∃x ∈ N, ∃y ∈ R : + = 2”.
y x
Lời giải.
√
a) A : “ 6 không là số hữu tỉ”.
b) B : “n không chia hết cho 3 hoặc n không chia hết cho 5 thì nó không chia hết cho 15 ”.
c) C : “∃x ∈ N : x2 + x + 3 ≤ 0”.
x y
d) D : “∀x ∈ N, ∀y ∈ R : + = 2”.
y x
Ví dụ 2. Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó:
a) ∀x ∈ R : x2 + 6 > 0.
b) ∃x ∈ R : x2 + x + 1 = 0.
c) ∃x ∈ R : x > x2 .
Lời giải.
a) Mệnh đề đúng.
Phủ định là A : ∃x ∈ R : x2 + 6 ≤ 0.
b) Mệnh đề sai vì phương trình x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm trong R.
Phủ định là B : “∀x ∈ R : x2 + x+ = 0.

1
c) Mệnh đề đúng, ví dụ x = .
2
Phủ định là ∀x ∈ R : x ≤ x2

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 4/2406

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

1. MỆNH ĐỀ

Ví dụ 3. Điều chỉnh các mệnh đề sau để được các mệnh đề đúng:
a) ∀x ∈ R : 3x − 1 = 0.
b) ∀x ∈ R : x2 − 4x = 0.
c) ∃x ∈ R : x2 + 1 < 0.
1
d) ∀x ∈ R : x > .
x
Lời giải.
a) ∃x ∈ R : 3x − 1 = 0.
b) ∃x ∈ R : x2 − 4x = 0.
c) ∃x ∈ R : x2 + 1 > 0 hoặc ∀x ∈ R : x2 + 1 > 0.
1
d) ∃x ∈ R : x > .

x
Ví dụ 4. Chứng minh “Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.”
Lời giải.
Giả sử n là số lẻ ⇒ n = 2k + 1, k ∈ N
⇒ n2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k) + 1
⇒ n2 là số lẻ (trái giả thiết).
Vậy n là số chẵn.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng:
a) Với mọi số nguyên n thì n3 − n chia hết cho 3.
b) Với mọi số nguyên n thì n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 6.
Lời giải.
a) Ta có: n3 − n = n(n2 − 1) = n(n − 1)(n + 1) = (n − 1)n(n + 1).
Do n − 1, n, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3.
Khi đó (n − 1)n(n + 1) chia hết cho 3 hay n3 − n chia hết cho 3.
b) Ta có n − 1, n là 2 số nguyên liên tiếp nên tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 2.
Xét 3 số nguyên liên tiếp n − 1, n, n + 1, trong 3 số này có ít nhất 1 số chia hết cho 3.
• Nếu 1 trong 2 số n − 1, n cho hết cho 3 thì tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 3.
• Nếu n+1 chia hết cho 3 thì 2n−1 = 2(n+1)−3 cũng chia hết cho 3. Suy ra tích n(n−1)(2n−1)
chia hết cho 3.
Vậy tích n(n − 1)(2n − 1) vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 nên chia hết cho 6.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Hãy xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau đây và tìm mệnh đề phủ định của chúng:
a) A : “∀x ∈ R : x2 > 1”.
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 5/2406

ȍ GeoGebra

CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

1. MỆNH ĐỀ

b) B : “∃x ∈ Z : 6x2 − 13x + 6 = 0”.
c) C : “∀x ∈ N, ∃y ∈ N : y = x + 2”.
x y
d) D : “∀x ∈ R, ∀y ∈ R : + ≥ 0”.
y x
Lời giải.
a) Mệnh đề sai, ví dụ như x = 0.
Phủ định là A : “∃x ∈ R : x2 ≤ 1”.


3
x=

2 , cả hai nghiệm đều không thuộc Z.
b) Mệnh đề sai vì 6x2 − 13x + 6 = 0 ⇔ 
2
x=
3
Phủ định là B : “∀x ∈ Z : 6x2 − 13x + 6 = 0”.
c) Mệnh đề đúng.
Phủ định là C : “∃x ∈ N, ∀y ∈ N : y = x + 2”.
d) Mệnh đề sai, ví dụ x = 1, y = −2.
x y
Phủ định là D : “∃x ∈ R, ∃y ∈ R : + < 0”.

y x
Bài 2. Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau. Nếu mệnh đề sai hãy sửa lại cho đúng:
a) ∀x ∈ R : x > 4 ⇒ x > 16.
b) ∀x ∈ R : x2 > 36 ⇒ x > 6.
ax2 + bx + c = 0
c)
có nghiệm kép ⇔ ∆ = b2 − 4ac = 0.
a=0
a>b

⇔ a > c.
b>c

a ... 3
.
⇔ ab .. 6.
e) ∀a, b ∈ Z :
.
 .
b.2
Lời giải.

d) ∀a, b, c ∈ R :

a) Mệnh đề đúng.
b) Mệnh đề sai, ví dụ x = −7.
Sửa lại là ∀x ∈ R : x > 6 ⇒ x2 > 36 hoặc ∃x ∈ R : x2 > 36 ⇒ x > 6.
c) Mệnh đề đúng.
a>b
d) Mệnh đề

⇒ a > c là đúng.
b>c
Mệnh đề a > c ⇒

a>b

là sai, vì dụ như a = 3, c = 1, b = 0.

b>c
Như vậy mệnh đề

ax2 + bx + c = 0

có nghiệm kép ⇔ ∆ = b2 − 4ac = 0 là sai.

a=0
Sửa lại mệnh đề đúng là ∀a, b, c ∈ R :

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

a>b

⇒ a > c.

b>c

Trang 6/2406

ȍ GeoGebra

CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

e) Mệnh đề


a ... 3
 ..
b.2

1. MỆNH ĐỀ

.
⇒ ab .. 6 là đúng.

.
Mệnh đề ab .. 6 ⇒


a ... 3
 ..
b.2

là sai, ví dụ như a = 6, b = 1.


a ... 3
.
⇔ ab .. 6 là sai.

Như vậy mệnh đề ∀a, b ∈ Z :
 ..
b.2

a ... 3
.
⇒ ab .. 6
Sửa lại mệnh đề đúng là ∀a, b ∈ Z :
 ..
b.2
Bài 3. Xét tính đúng - sai các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của chúng:
a) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 .
b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 + 2 > b2 + 1.
c) ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : a + b > 1.
d) ∃a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 < b.
e) ∀a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 = b + 1.
f) ∀a, b, c ∈ R mà a + b + c = 0 thì −

a2 + b 2 + c 2
= ab + bc + ca.
2

Lời giải.
a) Mệnh đề sai vì (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 .
Phủ định là ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 .
b) Mệnh đề sai, ví dụ a = 0, b = 2.
Phủ định là ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 + 2 ≤ b2 + 1.
c) Mệnh đề đúng.
Phủ định là ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : a + b ≤ 1.
d) Mệnh đề sai, ví dụ a = 3, b = 1.

Phủ định là ∀a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 ≥ b.
e) Mệnh đề đúng, số b xác định bởi b = a2 − 1, ∀a ∈ R.
Phủ định là ∃a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 = b + 1.
f) Mệnh đề đúng vì a + b + c = 0 ⇔ (a + b + c)2 = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 0
a2 + b 2 + c 2
⇔−
= ab + bc + ca.
2
a2 + b 2 + c 2
Phủ định là ∃a, b, c ∈ R mà a + b + c = 0 thì −
= ab + bc + ca.
2
Bài 4. Chứng minh rằng ∀a, b > 0 :

a b
+ ≥ 2.
b a

Lời giải.
a b
+ < 2 ⇒ a2 + b2 < 2ab ⇒ (a − b)2 < 0
b a
(vô lý).

Giả sử:

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 7/2406

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

Vậy ∀a, b > 0 :

1. MỆNH ĐỀ

a b
+ ≥ 2.
b a

Bài 5.
a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.
b) Nếu x = −1 và y = −1 thì x + y + xy = −1.
c) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
d) Nếu x2 + y 2 = 0 thì x = 0 và y = 0.
Lời giải.
a) Giả sử a ≥ 1 và b ≥ 1, suy ra a + b ≥ 2 (trái giả thiết).
Vậy nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.
b) Giả sử: x + y + xy = 1 ⇒ x + 1 + y + xy = 0 ⇒ (x + 1)(y + 1) = 0 ⇒

x = −1
y = −1

(trái giả thiết).

Vậy nếu x = −1 và y = −1 thì x + y + xy = −1.

c) Giả sử tổng a + b là số lẻ thì một trong hai số a, b có 1 số là số lẻ còn số còn lại là số chẵn nên tích
a.b là số chẵn (trái giả thiết).
Vậy nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
d) Giả sử x = 0 hoặc y = 0.
• Nếu x = 0 ⇒ x2 > 0 ⇒ x2 + y 2 > 0 (trái giả thiết).
• Nếu y = 0 ⇒ y 2 > 0 ⇒ x2 + y 2 > 0 (trái giả thiết).
Vậy nếu x2 + y 2 = 0 thì x = 0 và y = 0.

Bài 6. Chứng minh rằng

|x| < 1
|y| < 1

⇒ |x + y| < |1 + xy|.

Lời giải.
Giả sử |x + y| ≥ |1 + xy| ⇒ (|x + y|)2 ≥ (|1 + xy|)2 ⇒ x2 + y 2 + 2xy ≥ 1 + x2 y 2 + 2xy
⇒ (1 − x2 ) (1 − y 2 ) ≤ 0


1 − x2 ≤ 0
|x| ≥ 1


 1 − y2 ≥ 0
 |y| ≤ 1


⇒
⇒⇒ 

(trái giả thiết)
2
 1−x ≥0
 |x| ≤ 1


1 − y2 ≤ 0
Vậy

|x| < 1
|y| < 1

|y| ≥ 1

⇒ |x + y| < |1 + xy|.

Bài 7. Chứng minh

√

a+

√
√
a + 2 < 2 a + 1, ∀a > 0.

Lời giải.
Giả sử

√

√
a + a + 2 ≥ 2 a + 1, ∀a > 0
√
√
√
2
2
⇒
a+ a+2 ≥ 2 a+1
⇒ a + 2 a(a + 2) + a + 2 ≥ 4(a + 1)
√

⇒

a(a + 2) ≥ a + 1, với a + 1 > 0

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 8/2406

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

1. MỆNH ĐỀ

⇒ a2 + 2a ≥ a2 + 2a + 1
⇒ 0 > 1 (vô lí)

√
√
√
Vậy ∀a > 0 : a + a + 2 < 2 a + 1.
Bài 8. Chứng minh rằng nếu ac > 2(b + d) thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm
x2 + ax + b = 0

(1)

x2 + cx + d = 0

(2)

Lời giải.
Giả sử cả hai phương trình đều vô nghiệm, khi đó ta có
∆1 = a2 − 4b < 0
⇒ a2 + c2 < 4(b + d)
2
∆2 = c − 4d < 0
⇒ a2 + c2 < 2ac (do 2(b + d) ≤ ac)
⇒ (a − c)2 < 0 (vô lí).
Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 9. Chứng minh khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con
gà.
Lời giải.
Giả sử không có lồng nào chứa nhiều hơn 1 con gà. Khi đó số gà sẽ không nhiều hơn số lồng. Vậy có
nhiều nhất là n con gà. Điều này mâu thuẫn với giải thiết có n + 1 con gà.
Vậy khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con gà.
Bài 10. Chứng minh với mọi số tự nhiên n:
a) n2 + n + 1 không chia hết cho 9.

b) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49.
Lời giải.
a) Giả sử n2 + n + 1 chia hết cho 9, khi đó n2 + n + 1 = 9k, với k là số nguyên. Như vậy phương trình
n2 + n + 1 − 9k = 0 (1) sẽ có nghiệm nguyên.
Xét ∆ = 1 − 4(1 − 9k) = 36k − 3 = 3(12k − 1). Ta thấy ∆ chia hết cho 3, 12k − 1 không chia hết
cho 3 nên ∆ không chia hết cho 9, do đó ∆ không là số chính phương nên phương trình (1) không
có nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết).
Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9.
b) Giả sử n2 + 11n + 39 chia hết cho 49, khi đó n2 + 11n + 39 = 49k, với k là số nguyên. Như vậy
phương trình n2 + 11n + 39 − 49k = 0 (1) sẽ có nghiệm nguyên.
Xét ∆ = 112 − 4(39 − 49k) = 196k − 35 = 7(28k − 5). Ta thấy ∆ chia hết cho 7, 28k − 5 không chia
hết cho 7 nên ∆ không chia hết cho 49, do đó ∆ không là số chính phương nên phương trình (1)
không có nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết).
Vậy n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49.

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 9/2406

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

1. MỆNH ĐỀ

Dạng 2. Mệnh đề có nội dung hình học

ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG 2 ĄĄĄ

Ví dụ 1. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau:
a) P : “Hai véc-tơ bằng nhau thì có độ dài bằng nhau”.
b) Q : “Hai véc-tơ bằng nhau nếu chúng có độ dài bằng nhau”.
Lời giải.
a) Mệnh đề P là mệnh đề đúng theo định nghĩa hai véc-tơ bằng nhau.
b) Mệnh đề Q là mệnh đề sai. Hai véc-tơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
Như vậy còn thiếu điều kiện về hướng của hai véc-tơ.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau:
a) Nếu AB 2 + AC 2 = BC 2 thì tam giác ABC vuông tại B.
“
b) Nếu AB > AC thì C > B.
c) Tam giác ABC đều khi và chỉ khi nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện AB = AC và
A = 600 .
Lời giải.
a) Mệnh đề sai. Mệnh đề đúng là: “Nếu AB 2 + AC 2 = BC 2 thì tam giác ABC vuông tại A”.
b) Mệnh đề đúng theo mối liên hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.
c) Mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết tam giác đều.

Ví dụ 3. Cho tứ giác lồi ABCD. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau:
a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó thỏa mãn AC = BD.
b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nếu nó có ba góc vuông.
Lời giải.
a) Mệnh đề sai. Mệnh đề có cấu trúc P ⇔ Q trong đó mệnh đề P ⇒ Q: “Tứ giác ABCD là hình
chữ nhật thì AC = BD” là mệnh đề đúng còn mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề sai.
b) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau:

#»
#»
a) Hai véc-tơ #»
a và b cùng hướng với véc-tơ #»
c thì #»
a , b cùng hướng.
#»
b) Trong ba véc-tơ khác véc-tơ 0 và cùng phương thì có ít nhất hai véc-tơ cùng hướng.
Lời giải.
a) Mệnh đề đúng theo cách hiểu về hướng của véc-tơ.
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 10/2406

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

1. MỆNH ĐỀ

#»
#»
b) Mệnh đề đúng. Thật vậy: Xét ba véc-tơ #»
a , b , #»
c khác véc-tơ 0 và cùng phương. Khi đó có 2
trường hợp:

#»

Trường hợp 1. Hai véc-tơ #»
a , b cùng hướng
Trường hợp này phù hợp kết luận.
#»
Trường hợp 2. Hai véc-tơ #»
a , b ngược hướng
#»
Khi đó nếu véc-tơ #»
c ngược hướng với véc-tơ #»
a thì #»
c và b cùng hướng.

Bài 2. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau:
a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
b) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có một góc bằng 60◦ và hai đường trung tuyến
bằng nhau.
Lời giải.
a) Mệnh đề sai vì hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau nhưng ngược lại, hai tam giác
có diện tích bằng nhau thì có thể không bằng nhau. Ví dụ một tam giác vuông có cạnh góc vuông
là 2 và 8, tam giác vuông thứ hai có cạnh góc vuông là 4 và 4 có cùng diện tích nhưng hai tam
giác không bằng nhau.
b) Mệnh đề đúng. Thật vậy, xét tam giác ABC tùy ý.
+) Nếu tam giác ABC đều thì cả ba góc bằng 60◦ và cặp trung tuyến nào cũng bằng nhau.
+) Ngược lại, giả sử có hai trung tuyến BM và CN bằng nhau. Khi đó hình thang BCM N có
“ = C và góc một
hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân. Do đó tam giác ABC có B
góc bằng 60◦ nên tam giác ABC đều.

Bài 3. Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau:
a) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi nó có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

b) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ nó có hai đường chéo bằng nhau.
Lời giải.
a) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
b) Mệnh đề sai. Chẳng hạn hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không nhất thiết
phải là hình bình hành.

Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề:
P : “Tứ giác ABCD là hình vuông”.
Q: “Tứ giác ABCD là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”.
Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.
Lời giải.
Phát biểu mệnh đề:
Cách 1. “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”.
Cách 2. “Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để nó là hình thoi có hai đường chéo
bằng nhau”.
Mệnh đề này đúng theo tính chất và dấu hiệu nhận biết hình vuông.
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 11/2406

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

1. MỆNH ĐỀ

Bài 5. Xét các tập hợp:
X: tập hợp các tứ giác.

A: Tập hợp các hình vuông.
B: Tập hợp các hình chữ nhật.
D: Tập hợp các hình thoi.
E: Tập hợp các tứ giác có trục đối xứng.
Phát biểu thành lời nội dung các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.
a) ∀x ∈ X, x ∈ B ⇒ x ∈ A.
b) ∀x ∈ X, x ∈ A ⇒ x ∈ D.
c) ∀x ∈ X, x ∈ E ⇒ x ∈ B.
d) ∀x ∈ X, x ∈ D ⇒ x ∈ E.
e) ∃x ∈ E : x ∈
/ B.
Lời giải.
a) Phát biểu: “Mọi hình chữ nhật đều là hình vuông”.
Mệnh đề này sai vì hai cạnh của hình chữ nhật không phải lúc nào cũng bằng nhau.
b) Phát biểu: “Mọi hình vuông đều là hình thoi”.
Mệnh đề này đúng vì mọi hình vuông đều là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
c) Phát biểu: “Mọi tứ giác có trục đối xứng đều là hình chữ nhật”.
Mệnh đề này sai, ví dụ hình thang cân có trục đối xứng nhưng hình thang cân có các góc có số
đo không nhất thiết phải bằng 90◦ .
d) Phát biểu: “Mọi hình thoi đều có trục đối xứng”.
Mệnh đề này đúng vì mỗi hình thoi đều có ít nhất hai trục đối xứng là hai đường chéo.
e) Phát biểu: “Tồn tại một tứ giác có trục đối xứng mà không phải là hình chữ nhật”.
Mệnh đề này đúng, chẳng hạn hình thang cân có góc ở đáy bằng 60◦ .
Dạng 3. Thành lập mệnh đề - Mệnh đề phủ định
a) Phát biểu thành lời khi cho cho một mệnh đề dạng kí hiệu.
b) Dùng kí hiệu ∀, ∃ phát biểu một mệnh đề.
c) Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề.
d) Phủ định một mệnh đề.
ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG 3 ĄĄĄ

Ví dụ 1. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây:
a) “∀x ∈ R, x2 = 0”.
1
b) “∃x ∈ R, x2 < ”.
2
1
c) “∀x ∈ R, ≥ x”.
x
√
d) “∃x ∈ R, x > x”.
Lời giải.

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 12/2406

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. MỆNH ĐỀ TẬP HỢP

1. MỆNH ĐỀ

a) Mọi số thực đều có bình phương khác không.
1
.
2
c) Mọi số thực đều có nghịch đảo lớn hơn hoặc bằng chính nó.

b) Tồn tại một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn

d) Tồn tại một số thực sao cho căn bậc hai của nó lớn hơn nó.

Ví dụ 2. Dùng các kí hiệu ∀, ∃ phát biểu các mệnh đề sau:
a) Tồn tại một số tự nhiên chia hết cho 9.
b) Mọi số không âm đều lớn hơn không.
c) Tồn tại một số thực không là số dương cũng không là số âm.
Lời giải.

.
a) “∃n ∈ N, n .. 9”.

b) “∀x ≥ 0, x > 0”.
c) “∃x ∈ R, x = 0”.
Ví dụ 3. Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề sau:
a) “∀x ∈ R, x2 > 0”.
b) “∀n ∈ N, n2 > n”.
Lời giải.
a) ∃x = 0 ∈ R, 02 = 0 ⇒ Mệnh đề sai.
b) ∃n = 1 ∈ N, 12 = 1 ⇒ Mệnh đề sai.
Ví dụ 4. Phủ định các mệnh đề sau đây:
a) Tất cả bài tập trong sách này đều dễ.
b) Có ít nhất một hình thang nội tiếp được trong đường tròn.
c) “∃x ∈ R, x + 3 = 5”.
d) “∀x ∈ R, x > 5”.
Lời giải.
a) Tồn tại một bài tập trong sách không dễ.
b) Mọi hình thang đều không nội tiếp được trong đường tròn.
c) “∀x ∈ R, x + 3 = 5”.

d) “∃x ∈ R, x ≤ 5”.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây:
1
a) “∃x ∈ R, = x”.
x
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 13/2406

ȍ GeoGebra