Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm Toán 11 có đáp án và lời giải năm 2020, 2021

Mục lục

I

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

1

1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2

1

2
2

Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

2

3

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

B

Tính tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

C
D

Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu hỏi trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
5

PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

A

Phương trình sin x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

B
C

Phương trình cos x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình tan x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
30

D

Phương trình cot x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

E

Bài tập trắc nghệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP . . . . . . . . . . . . . . .
A Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . .

64
64

B

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

C

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

D
E

Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
65

F

Bài tập trắc nghệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2 TỔ HỢP-XÁC SUẤT
1

106

Quy tắc cộng - quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A

Quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1 Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Dạng 1. Các bài toán áp dụng quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

B

Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109


MỤC LỤC

MỤC LỤC

1

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Dạng 2. Đếm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Dạng 3. Chọn đồ vật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Dạng 4. Sắp xếp vị trí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

C
2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

A

Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
1 Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2

Các dạng toán về hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Dạng 1. Hoán vị các chữ số trong số tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Dạng 2. Hoán vị đồ vật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Dạng 3. Hoán vị vòng quanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Dạng 4. Hoán vị lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

B

Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
1
2

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Dạng 5. Đếm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Dạng 6. Bài toán chọn người và chọn đồ vật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

C

Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2

Tính chất của các số Ckn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Dạng 7. Các bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Dạng 8. Công thức hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

D
3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
1 Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
2

B

Tam giác Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Dạng 1. Khai triển nhị thức Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức tổ hợp bằng cách sử dụng khai triển nhị thức
Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Dạng 3. Tính tổng bằng cách sử dụng khai triển nhị thức Newton. . . . . . . . 205
Dạng 4. Tìm hệ số và tìm số hạng chứa xk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Dạng 5. Tìm hệ số không chứa x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Dạng 6. Tìm số hạng hữu tỷ (nguyên) trong khai triển (a + b)n . . . . . . . . . . 212
Dạng 7. Tìm số hạng có hệ số nhất trong khai triển biểu thức. . . . . . . . . . 215
Dạng 8. Sử dụng tính chất của số Ckn để chứng minh đẳng thức và tính tổng.

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 3/2299

. 216

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

C
4

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Phép thử và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

B

1

Phép thử, không gian mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

2

Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

3 Phép toán trên các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Dạng 1. Mô tả không gian mẫu và xác định số kết quả có thể của phép thử . . . 256
Dạng 2. Xác định biến cố của một phép thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

C
5

Dạng 3. Phép toán trên biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Xác suất của biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
1
2

Định nghĩa cổ điển của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Tính chất của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

3

Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

4

Xác suất điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Dạng 1. Sử dụng công thức tính xác suất của một biến cố . . . . . . . . . . . . 294
Dạng 2. Tính xác suất theo quy tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Dạng 3. Tính xác suất dùng công thức nhân xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 300

C

Dạng 4. Xác suất điều kiện, xác suất toàn phần và công thức Bayes . . . . . . 302
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

3 DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
1

337

Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
A

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Dạng 1. Một số bài toán số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
Dạng 3. Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Dạng 4. Phương pháp quy nạp trong một số bài toán khác và toán tổng hợp . . 351

2

B Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
1

Định nghĩa dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

2
3

Số hạng của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Số hạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

4

Cách xác định một dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

5

Tính tăng giảm của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

6 Dãy số bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 4/2299

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

Dạng 1. Dự đoán công thức và chứng minh quy nạp công thức tổng quát của dãy
số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
Dạng 2. Xét sự tăng giảm của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
C
3

Dạng 3. Xét tính bị chặn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
Bài tập trắc ngihệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
1
2

Định nghĩa cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
Tính chất các số hạng của cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

3

Số hạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

4

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Dạng 2. Tính chất của các số hạng trong cấp số cộng

. . . . . . . . . . . . . . 413

Dạng 3. Số hạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
Dạng 4. Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . 420
Dạng 5. Vận dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng . . . 423
C
4

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

Cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
1 Định nghĩa và các tính chất của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

B

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
Dạng 1. Chứng minh một dãy số là cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
Dạng 2. Xác định q. uk của cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
Dạng 3. Tính tổng liên quan cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
Dạng 4. Các bài toán về cấp số nhân có liên quan đến hình học . . . . . . . . . 489
Dạng 5. Các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và cấp số nhân . . . . . 493
Dạng 6. Cấp số nhân liên quan đến nghiệm của phương trình . . . . . . . . . . 494
Dạng 7. Phối hợp giữa cấp số nhân và cấp số cộng . . . . . . . . . . . . . . . . 496
Dạng 8. Các bài toán thực tế liên quan cấp số nhân . . . . . . . . . . . . . . . 499

C
5

Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

B

1

Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

2

Các định lý về giới hạn hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

3
4

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
Giới hạn vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
Dạng 1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
Dạng 2. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 5/2299

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

Dạng 3. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa an . . . . . . . . . . . . . . 565
Dạng 4. Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
Dạng 5. Giới hạn dãy số chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
6

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
A

B

Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
1

Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

2
3

Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
Giới hạn vô cực của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
Dạng 1. Giới hạn của hàm số dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
Dạng 2. Giới hạn dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
Dạng 3. Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức và giới hạn một bên. . . . 657

C
7

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663

Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
1 Hàm số liên tục tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
2

Hàm số liên tục trên một khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733

3

Một số định lí cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . 734
Dạng 2. Hàm số liên tục trên một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740
Dạng 3. Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn . . . . . . . . . . . . 743

C

Dạng 4. Chứng minh phương trình có nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752

4 ĐẠO HÀM
1

804

Đạo hàm và ý nghĩa của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
1
2

B

Đạo hàm tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
Đạo hàm trên một khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
Dạng 2. Số gia của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808
Dạng 3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810
Dạng 4. Phương trình tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

2

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839
1 Đạo hàm của một hàm số thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839
2

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

3

Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 6/2299

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

B
3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879

B

1

Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879

2

Đạo hàm của hàm số y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879

3
4

Đạo hàm của hàm số y = cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879
Đạo hàm của hàm số y = tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879

5

Đạo hàm của hàm số y = cot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880
Dạng 1. Tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880
Dạng 2. Tính đạo hàm tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884

4

Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906
A

5

Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

B Trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907
Đạo hàm cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918
A

Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918
1

B

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918

2 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918
Trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919

HÌNH HỌC

II
6

PHÉP BIẾN HÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943
1

7

942

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943

PHÉP TỊNH TIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943

B

1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943

2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943

3
4

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944
Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944

CÁC DẠNG TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944
Dạng 1. Xác định ảnh của một điểm qua một phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . 944

C
8

Dạng 2. Xác định ảnh trong hệ tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945

Phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971
1

2

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971
Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971

3

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 7/2299

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

4
B

Trục đối xứng của một hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972

Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972
Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . 972

C

9

Dạng 2. Tìm trục đối xứng của một đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973

PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993
1
2

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993
Biểu thức tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993

3

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993

4

Tâm đối xứng của một hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994

CÁC DẠNG BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994
Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . 994
Dạng 2. Tìm tâm đối xứng của một hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994

C

10

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995

PHÉP QUAY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010

B

1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010

2

Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010

3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010
CÁC DẠNG BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua một phép quay . . . . . . . . . . . . . 1011

C
11

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012

PHÉP DỜI HÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035

B

1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035

2

Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035

3
4

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
Khái niệm hai hình bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035

CÁC DẠNG BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua một phép dời hình . . . . . . . . . . . 1035

12

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036
PHÉP VỊ TỰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046
A

B

TÓM TẮT LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046
1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046

2
3

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046
Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047

CÁC DẠNG BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048
Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . 1048
Dạng 2. Tìm tâm vị tự của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 8/2299

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

C
13

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048

PHÉP ĐỒNG DẠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

B

1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

3 Hình đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082
CÁC DẠNG BÀI TẬP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082
Dạng 1. Xác định ảnh của một hình qua phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . 1082

C

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083

1 ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ SONG SONG
1091
1
Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
1

Khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091

2
3

Các tính chất thừa nhận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
Cách xác định một mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092

4

Hình chóp và hình tứ diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092
Dạng 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092
Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 1097
Dạng 3. Xác định thiết diện

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103

Dạng 4. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui . 1109
C
2

Dạng 5. Bài toán cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122

Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . 1161
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161
1
2

B

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . 1161
Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163
Dạng 1. Chứng minh hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163
Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 1171
Dạng 3. Tìm thiết diện bằng cách kẻ song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174
Dạng 4. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng và các yếu tố cố định . . . . . . . . . . 1180

C
3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226
A Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226

B

1

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226

2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng . . . . . . . . . . . 1228

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 9/2299

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

Dạng 2. Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi biết một mặt phẳng song
song với đường thẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236
Dạng 3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . 1241
4

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246
Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285
A

B

Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285

1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285

2
3

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285
Định lý Ta-lét (Thalès) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286

4

Hình lăng trụ và hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286

5

Hình chóp cụt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288
Dạng 2. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β) biết (α) qua điểm
A; song song với mặt phẳng (γ)

C
5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294

Dạng 3. Xác định thiết diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1300
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304

Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian . . . . . . . . . . . . . 1341
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341
1
2

Phép chiếu song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341
Các tính chất của phép chiếu song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341

3

Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng . . . . . . . . . . 1341

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342
Dạng 1. Vẽ hình biểu diễn của một hình cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . 1342
Dạng 2. Sử dụng phép chiếu song song để chứng minh song song . . . . . . . . 1344

2 VECTO TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
1

1351

Véc-tơ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351
1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351
2

Các quy tắc tính toán với véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1351

3

Một số hệ thức véc-tơ trọng tâm, cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352

4
5

Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352
Phân tích một véc-tơ theo ba véc-tơ không đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . 1352

6

Tích vô hướng của hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353
Dạng 1. Xác định véc-tơ và các khái niệm có liên quan . . . . . . . . . . . . . . 1353
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354
Dạng 3. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355
Dạng 4. Tích vô hướng của hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 10/2299

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

Dạng 5. Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357
Dạng 6. Phân tích một véc-tơ theo 3 véc-tơ không đồng phẳng cho trước . . . . 1358
Dạng 7. Ứng dụng véc-tơ chứng minh bài toán hình học . . . . . . . . . . . . . 1359
2

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1360
Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388
A

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388
1

B

Tích vô hướng của hai véc-tơ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388

2 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389
Dạng 1. Xác định góc giữa hai véc-tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389
Dạng 2. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian . . . . . . . . . . 1390

Dạng 3. Sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . 1391
Dạng 4. Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba 1393

C
3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484
1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484
2

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 1484

3

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484

4

Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt
phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485

5

Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc . . . . . . . . . . . . . . 1486

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487
Dạng 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487
Dạng 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1489
Dạng 3. Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một
điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . 1492

4

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493
Hai mặt phẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625
A

B

Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625
1

Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625

2
3

Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625
Diện tích hình chiếu của một đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625

4

Hai mặt phẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625

5

Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương . . . . . . . . . . . . 1626

6 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627
Dạng 1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627
Dạng 2. Tính diện tích hình chiếu của đa giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628
Dạng 3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 11/2299

ȍ GeoGebra


MỤC LỤC

MỤC LỤC

Dạng 4. Thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng . . 1631
C
5

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632

Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1782

A

B

Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1782
1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 1782
2

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1782

3

Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song . . . . . . . . 1782

4
5

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1782
Đường thẳng vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1783

Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783
Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 1783
Dạng 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 1784
Dạng 3. Khoảng cách giữa đường và mặt song song - Khoảng cách giữa hai mặt
song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786
Dạng 4. Đoạn vuông góc chung - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

C

1788

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1791

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ I CÁC
TRƯỜNG THPT
1893
III

1

THPT Chuyên Hà Nội Amsterdam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894

2

THPT Đan Phượng Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902

3

Chu Văn An, HCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1909

4
5

Dĩ An, Bình Dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912
Củ Chi, Hồ Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1920

6

Nguyễn Trung Ngạn, Hưng Yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925

7

Chuyên Trần Phú, Hải Phòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936

8
9

Hoàng Hoa Thám, HCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1950
Lê Hồng Phong, Hồ Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953

10 Sở Giáo Dục và Đào Tạo Bà Rịa-Vũng Tàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958
11 THPT Nguyễn Thị Minh Khai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967
12 Sở GD - ĐT Nam Đinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1970
13 Ân Thi, Hưng Yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975
14 Lương Thế Vinh, TPHCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1982
15 Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984
16 THPT Nguyễn Du, TP.HCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003
17 LuongTheVinh-DongNai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005
18 Nguyễn Chí Thanh HCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2020
19 Hoa Lư A, Ninh Bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 12/2299

ȍ GeoGebra


20 THPT Nguyễn Công Trứ, HCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035

21 HK1 THPT Hoài Đức A, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039
22 THPT Nguyễn Hữu Cầu, Hồ Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047
23 Kim Liên Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2050
24 THPT Lý Thánh Tông, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2060
25 THPT Nguyễn Trãi, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068
26 Toán 11 không chuyên, PTNK, Hồ Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077
27 THPT Phước Vĩnh, Bình Dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2081
28 Yên Mỹ - Hưng Yên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2091
29 Nguyễn Sỹ Sách, Nghệ An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2100
30 Thạch Thành 1, Thanh Hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2111
31 THPT Chuyên SPHN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ II CÁC
TRƯỜNG THPT
2125
IV

32 Đề HK2, Sở Giáo dục & Đào tạo Bình Phước . . . . . . . . . . . . . . 2126
33 Đề HK2, Sở Giáo dục & Đào tạo Thái Bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136
34 HK2, THPT Chuyên Amsterdam, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2149
35 Đề HK2 (2016 - 2017), THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai . . . . . . 2159
36 Đề HK2 (2016-2017), THPT Đoàn Kết, Hai Bà Trưng, Hà Nội . . . . . . . . . 2174
37 Đề HK2 (2016-2017, THPT Kim Liên, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183
38 Đề HK2, THPT Nguyễn Trãi, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2190
39 Đề GHK2, THPT Lý Thánh Tông, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2198
40 Đề HK2, THPT Trương Định, Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206
41 Đề HK2, THPT Hai Bà Trưng, Huế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213
42 Đề HK2, THPT Đông Sơn 2, Thanh Hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2222
43 Học kỳ 2 Lớp 11 THPT MƯỜNG BI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229
44 Đề HK2, THPT Tô Hiến Thành, Thanh Hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236

45 Đề HK2, THPT Thiệu Hóa, Thanh Hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2247
46 Đề HK2 (2016-2017), THPT Nông Cống 3, Thanh Hóa . . . . . . . . . . . . . 2253
47 Đề HK2, THPT Hà Huy Tập, Hà Tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266
48 Đề HK2, THPT Lê Quảng Chí, Hà Tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2274
49 Đề HK2 (2016-2017), THPT Phan Đình Phùng, Hà Tĩnh . . . . . . . . . . . . 2279
50 Đề HK2, Trần Hưng Đạo, Gia Lai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2290


PHẦN

I
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

1


Chương 1:

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A
1

LÝ THUYẾT
ĐỊNH NGHĨA

a) Hàm số sin

Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x
sin x : R → R
x → y = sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x. Tập xác định của hàm số sin là D = R.
b) Hàm số côsin
Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x
cos x : R → R
x → y = cos x

được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cos x. Tập xác định của hàm số côsin là D = R.
c) Hàm số tang
sin x
Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức y =
(cos x = 0) , kí hiệu là y = tan x.
cos x
π
Tập xác định của hàm số y = tan x là D = R \
+ kπ, k ∈ Z .
2
d) Hàm số côtang
cos x
Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y =
(sin x = 0) , kí hiệu là y = cot x.
sin x
Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R \ {kπ, k ∈ Z}.

2

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

B

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

TÍNH TUẦN HOÀN
a) Định nghĩa Hàm số y = f (x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một
số T = 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:
• x − T ∈ D và x + T ∈ D.
• f (x + T ) = f (x).
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π; hàm số y = cos x
tuần hoàn với chu kì T = 2π; hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T = π; hàm số y = cot x
tuần hoàn với chu kì T = π.
b) Chú ý
2π
.
|a|
2π
Hàm số y = cos (ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 =
.
|a|
π
.
Hàm số y = tan (ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 =
|a|
π
Hàm số y = cot (ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 =

.
|a|
Hàm số y = f1 (x) tuần hoàn với chu kỳ T1 và hàm số y = f2 (x) tuần hoàn với chu kỳ T2 thì

• Hàm số y = sin (ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 =
•
•
•
•

hàm số y = f1 (x) ± f2 (x) tuần hoàn với chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 .

C

SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
a) Hàm số y = sin x
• Tập xác định D = R, có nghĩa xác định với mọi x ∈ R;
• Tập giá trị T = [−1; 1], có nghĩa −1 ≤ sin x ≤ 1;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, có nghĩa sin (x + k2π) = sin x với k ∈ Z;
π
π
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng − + k2π; + k2π và nghịch biến trên mỗi khoảng
2
2
Å
ã
π
3π
+ k2π;
+ k2π ,k ∈ Z;

2
2
• Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
y
O
π

−π

x

b) Hàm số y = cos x
• Tập xác định D = R, có nghĩa xác định với mọi x ∈ R;
• Tập giá trị T = [−1; 1], có nghĩa −1 ≤ cos x ≤ 1;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, có nghĩa cos (x + k2π) = cos x với k ∈ Z;
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng
(k2π; π + k2π),k ∈ Z;
• Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 3/2299

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 y

−

c) Hàm số y = tan x
• Tập xác định D = R \

π O
2

x

π
2

π
+ kπ, k ∈ Z ;
2

• Tập giá trị T = R;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π, có nghĩa tan (x + kπ) = tan x với k ∈ Z;
π
π
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng − + kπ; + kπ , k ∈ Z;
2
2
• Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
y

−

3π
2

−π

−

π
2

O

π
2

π

3π
2

x

d) Hàm số y = cot x
• Tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z} ;
• Tập giá trị T = R;
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π, có nghĩa tan (x + kπ) = tan x với k ∈ Z;
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z;

• Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
y

−

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

3π
2

−π

−

π
2

O

Trang 4/2299

π
2

π

3π
2

x

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

D

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y =
A. D = R.

2020
.
sin x

C. D = R \ {kπ, k ∈ Z}.

B. D = R \ {0}.
π
D. D = R \
+ kπ, k ∈ Z .
2

Lời giải.

Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
Vậy tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z} .
Chọn đáp án C
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số y =
A. D = R.
C. D = R \ {kπ, k ∈ Z}.

1 − sin x
.
cos x − 1
π
+ kπ, k ∈ Z .
B. D = R \
2
D. D = R \ {k2π, k ∈ Z}.

Lời giải.
Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z.
Vậy tập xác định D = R \ {k2π, k ∈ Z} .
Chọn đáp án D
Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số y =

1

π .
2
B. D = R \ {kπ, k ∈ Z}.

sin x −

π
A. D = R \ k , k ∈ Z .
2
π
C. D = R \ (1 + 2k) , k ∈ Z .
D. D = R \ {(1 + 2k) π, k ∈ Z}.
2
Lời giải.
π
π
π
= 0 ⇔ x − = kπ ⇔ x = + kπ, k ∈ Z.
Hàm số xác định ⇔ sin x −
2
2
2
π
Vậy tập xác định D = R \
+ kπ, k ∈ Z .
2
Chọn đáp án C
1
.
Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số y =
sin x − cos x
π
A. D = R.
B. D = R \ − + kπ, k ∈ Z .
4
π

π
C. D = R \
+ k2π, k ∈ Z .
D. D = R \
+ kπ, k ∈ Z .
4
4
Lời giải.
π
Hàm số xác định ⇔ sin x − cos x = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z.
4
π
Vậy tập xác định D = R \
+ kπ, k ∈ Z .
4
Chọn đáp án D
1
1
+
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng
sin x cos x
sau đây?
Å
ã
π
3π
A. k2π; + k2π với k ∈ Z.
B. π + k2π;
+ k2π với k ∈ Z.
2

2
π
C.
+ k2π; π + k2π với k ∈ Z.
D. (π + k2π; 2π + k2π) với k ∈ Z.
2
Lời giải.

Câu 5. Hàm số y = tan x + cot x +

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 5/2299

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Hàm số xác định ⇔

sin x = 0

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

⇔ sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x =

kπ

, k ∈ Z.
2

cos x = 0
3π
3π
nhưng điểm
thuộc khoảng (π + k2π; 2π + k2π).
Ta chọn k = 3 ⇒ x =
2
2
Vậy hàm số không xác định trong khoảng (π + k2π; 2π + k2π)
Chọn đáp án D
π
Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y = cot 2x −
+ sin 2x
4
π
A. D = R \
+ Kπ, k ∈ Z .
B. D = ∅.
4
π
π
C. D = R \
+ k ,k ∈ Z .
D. D = R.
8
2
Lời giải.

π
π
π kπ
Hàm số xác định sin 2x −
= 0 ⇔ 2x − = kπ ⇔ x = +
, k ∈ Z.
4
4
8
2
π
π
+ k ,k ∈ Z .
Vậy tập xác định D = R \
8
2
Chọn đáp án C
x π
−
Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số y = 3 tan2
.
2
4
ß
™
3π
π
A. D = R \
+ k2π, k ∈ Z .
B. D = R \

+ k2π, k ∈ Z .
2
™
ß2
π
3π
+ kπ, k ∈ Z .
D. D = R \
+ kπ, k ∈ Z .
C. D = R \
2
2
Lời giải.
x π
x π
π
3π
−
= 0 ⇔ − = + kπ ⇔ x =
+ k2π, k ∈ Z.
Hàm số xác định ⇔ cos2
2ß 4
2 ™4
2
2
3π
Vậy tập xác định D = R \
+ k2π, k ∈ Z .
2
Chọn đáp án A

cos 2x
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Câu 8. Hàm số y =
1 + tan
Å
ãx
π
3π
π
π
A.
+ k2π;
+ k2π với k ∈ Z.
B. − + k2π; + k2π với k ∈ Z.
4
2
Å2
ã
Å 2
ã
3π
3π
3π
C.
+ k2π;
+ k2π với k ∈ Z.
D. π + k2π;
+ k2π với k ∈ Z.
4
2

2
Lời giải.

π
x = − + kπ
tan x = −1
4
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1+tan x = 0 và tan x xác định ⇔
⇔
,k ∈
π

cos x = 0
x = + kπ
2
Z.

π
x = −
4 nhưng điểm − π thuộc khoảng − π + k2π; π + k2π .
Ta chọn k = 0 ⇒
π
x =
4
2
2
2
π
π
Vậy hàm số không xác định trong khoảng − + k2π; + k2π .

2
2
Chọn đáp án B
3 tan x − 5
Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số y =
.
1 − sin2 x
π
π
A. D = R\
+ k2π, k ∈ Z .
B. D = R \
+ kπ, k ∈ Z .
2
2
C. D = R \ {π + kπ, k ∈ Z}.
D. cos x = ±1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 6/2299

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Lời giải.
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 − sin2 x = 0 và tan x xác định
sin2 x = 1
π
⇔
⇔ cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z.
2
cos x = 0
π
Vậy tập xác định D = R \
+ kπ, k ∈ Z .
2
Chọn đáp án B
√
Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin x + 2.
A. D = R.

B. D = [−2; +∞).

C. D = [0; 2π].

D. D = ∅.

Lời giải.
Ta có −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ sin x + 2 ≤ 3, ∀x ∈ R.
Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của sin x + 2 với mọi x ∈ R.
Vậy tập xác định D = R.
Chọn đáp án A
Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y =
A. D = R.

√
sin x − 2.

B. R \ {kπ, k ∈ Z}.

C. D = [−1; 1].

D. D = ∅.

Lời giải.
Ta có −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ −3 ≤ sin x − 2 ≤ −1, ∀x ∈ R.
Do đó không tồn tại căn bậc hai của sin x − 2.
Vậy tập xác định D = ∅.
Chọn đáp án D
Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số y = √

1
.
1 − sin x
π
B. D = R \
+ kπ, k ∈ Z .
2
D. D = ∅.

A. D = R \ {kπ, k ∈ Z}.
π
C. D = R \
+ k2π, k ∈ Z .

2
Lời giải.
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 − sin x > 0 ⇔ sin x < 1. (∗).
π
Mà −1 ≤ sin x ≤ 1 nên (∗) ⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k2π, k ∈ Z.
2
π
Vậy tập xác định D = R \
+ k2π, k ∈ Z .
2
Chọn đáp án C
√
√
Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số y = 1 − sin 2x − 1 + sin 2x.

A. D = ∅.
B. D = R.
ï
ò
ï
ò
π
5π
5π
13π
C. D =
+ k2π;
+ k2π , k ∈ Z.
D. D =
+ k2π;

+ k2π , k ∈ Z.
6
6
6
6
Lời giải.
1 + sin 2x ≥ 0
Ta có −1 ≤ sin 2x ≤ 1 ⇒
, ∀x ∈ R.
1 − sin 2x ≥ 0
Vậy tập xác định D = R.
Chọn đáp án B
Câu 14. Tìm tập xác định D của hàm số y =
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

√
π
5 + 2 cot2 x − sin x + cot
+x .
2

Trang 7/2299

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. D = R \

ß

C. D = R.

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

™
kπ
,k ∈ Z .
2

π
+ kπ, k ∈ Z .
2
D. D = R \ {kπ, k ∈ Z}.

B. D = R \ −

Lời giải.
π
Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời 5+2 cot2 x−sin x ≥ 0, cot
+x
2
xác định và cot x xác định.
2 cot2 x ≥ 0
Ta có
⇒ 5 + 2 cot2 x − sin x ≥ 0, ∀x làm cot x xác định.
− 1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ 5 − sin x ≥ 0

π
π
π
π
+ x xác định ⇔ sin
+ x = 0 ⇔ + x = kπ ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z.
Ta có cot
2
2
2
2
Mà cot x xác định ⇔ sin x =
0
⇔
x
=
kπ,
k
∈
Z.

x = − π + kπ
kπ
2
Do đó hàm số xác định ⇔
, k ∈ Z.
⇔x=
x = kπ
2
ß

™
kπ
Vậy tập xác định D = R \
,k ∈ Z .
2
Chọn đáp án A
π
Câu 15. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan
cos x .
2
π
π
A. D = R \
+ kπ, k ∈ Z .
B. D = R \
+
π, ∈ Z .
2
C. D = R.
D. D = R \ {kπ, k ∈ Z}.
Lời giải.

π
π
. cos x = + kπ ⇔ cos x = 1 + 2k. (∗)
2
2
Do k ∈ Z nên (∗) ⇔ cos x = ±1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
Hàm số xác định khi và chỉ khi

Vậy tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z} .
Chọn đáp án D
Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin x.
B. y = cos x.
C. y = tan x.

D. y = cot x.

Lời giải.
Nhắc lại kiến thức cơ bản:
• Hàm số y = sin x là hàm số lẻ
• Hàm số y = cos x là hàm số chẵn
• Hàm số y = tan x là hàm số lẻ
• Hàm số y = cot x là hàm số lẻ
• Vậy y = cos x là đáp án đúng
Chọn đáp án B
Câu 17. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = − sin x.

B. y = cos x − sin x.

C. y = cos x + sin2 x.

D. y = cos x sin x.

Lời giải.
Tất các các hàm số đều có TXĐ: D = R. Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Bây giờ ta kiểm tra f (−x) = f (x)
hoặc f (−x) = −f (x).
• Với y = f (x) = − sin x. Ta có f (−x) = − sin (−x) = sin x = − (− sin x) ⇒ f (−x) = −f (x). Suy

ra hàm số y = − sin x là hàm số lẻ.
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 8/2299

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

• Với y = f (x) = cos x − sin x. Ta có f (−x) = cos (−x) − sin (−x) = cos x + sin x ⇒ f (−x) =
{−f (x), f (x)}. Suy ra hàm số y = cos x − sin x không chẵn không lẻ.
• Với y = f (x) = cos x + sin2 x. Ta có f (−x) = cos (−x) + sin2 (−x) = cos (−x) + [sin (−x)]2 =
cos x + [− sin x]2 = cos x + sin2 x ⇒ f (−x) = f (x). Suy ra hàm số y = cos x + sin2 x là hàm số
chẵn.
• Với y = f (x) = cos x · sin x. Ta có f (−x) = cos (−x) · sin (−x) = − cos x sin x ⇒ f (−x) = −f (x).
Suy ra hàm số y = cos x sin x là hàm số lẻ
Chọn đáp án C
Câu 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin 2x.

B. y = x cos x.

C. y = cos x · cot x.

D. y =

tan x
.
sin x

Lời giải.
• Xét hàm số y = f (x) = sin 2x.
TXĐ: D = R. Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = sin (−2x) = − sin 2x = −f (x) ⇒ f (x)
là hàm số lẻ.
• Xét hàm số y = f (x) = x cos x.
TXĐ: D = R. Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = (−x) . cos (−x) = −x cos x = −f (x)
⇒ f (x) là hàm số lẻ.
• Xét hàm số y = f (x) = cos x cot x. TXĐ: D = R\ {kπ (k ∈ Z)} . Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta
có f (−x) = cos (−x) . cot (−x) = − cos x cot x = −f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ.
tan x
π
• Xét hàm số y = f (x) =
. TXĐ: D = R\ k (k ∈ Z) . Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có
sin x
2
tan (−x)
− tan x
tan x
f (−x) =
=
=
= f (x) ⇒ f (x) là hàm số chẵn
sin (−x)
− sin x
sin x

Chọn đáp án D
Câu 19. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = |sin x|.

B. y = x2 sin x.

C. y =

x
.
cos x

D. y = x + sin x.

Lời giải.
Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ
Chọn đáp án A
Câu 20. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
π
A. y = sin x cos 2x.
B. y = sin3 x · cos x −
.
2
tan x
C. y =
.
D. y = cos x sin3 x.
2
tan x + 1
Lời giải.

tan x
Ta dễ dàng kiểm tra được các hàm số y = sin x cos 2x; y =
và y = cos x sin3 x là các hàm số
tan2 x + 1
lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
π
π
Xét hàm số y = sin3 x · cos x −
, ta có y = f (x) = sin3 x · cos x −
= sin3 x · sin x = sin4 x.
2
2
Kiểm tra được đây là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung
Chọn đáp án B
Câu 21. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 9/2299

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. y = cos x + sin2 x.

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

B. y = sin x + cos x.

C. y = − cos x.

D. y = sin x cos 3x.

Lời giải.
Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn. Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ. Đáp
án D là hàm số lẻ
Chọn đáp án D
Câu 22. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
sin x + 1
A. y = cot 4x.
B. y =
.
C. y = tan2 x.
D. y = |cot x|.
cos x
Lời giải.
Ta kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Đáp án B là hàm số
không chẵn, không lẻ. Đáp án C và D là các hàm số chẵn.
Chọn đáp án A
Câu 23. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
cot x
tan x
π
−x .
B. y = sin2 x.
C. y =

.
D. y =
.
A. y = sin
2
cos x
sin x
Lời giải.
π
Viết lại đáp án A là y = sin
− x = cos x. Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn.
2
Đáp án C là hàm số lẻ.
Chọn đáp án C
Câu 24. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
A. y = 1 − sin2 x.

B. y = |cot x| · sin2 x.

C. y = x2 tan 2x − cot x.
Lời giải.

D. y = 1 + |cot x + tan x|.

Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn. Đáp án C là hàm số lẻ.
Chọn đáp án C
Câu 25. Cho hàm số f (x) = sin 2x và g(x) = tan2 x. Chọn mệnh đề đúng
A. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.
B. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn.
C. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn.

D. f (x) và g(x) đều là hàm số lẻ.

Lời giải.
• Xét hàm số f (x) = sin 2x. TXĐ: D = R. Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) = sin (−2x) =
− sin 2x = −f (x) ⇒ f (x) là hàm số lẻ.
π
• Xét hàm số g(x) = tan2 x. TXĐ: D = R\
+ kπ (k ∈ Z) .
2
Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
Ta có g (−x) = [tan (−x)]2 = (− tan x)2 = tan2 x = g(x) ⇒ f (x) là hàm số chẵn.
Chọn đáp án B
Câu 26. Cho hai hàm số f (x) =
đúng?
A. f (x) lẻ và g(x) chẵn.
C. f (x) chẵn, g(x) lẻ.

cos 2x
|sin 2x| − cos 3x
và g(x) =
. Mệnh đề nào sau đây là
2
2 + tan2 x
1 + sin 3x
B. f (x) và g(x) chẵn.
D. f (x) và g(x) lẻ.

Lời giải.
Ƅ Sưu tầm & biên soạn

Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 10/2299

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

• Xét hàm số f (x) =

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

cos 2x
. TXĐ: D = R.
1 + sin2 3x

Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D. Ta có f (−x) =

cos (−2x)
cos 2x
=
= f (x) ⇒ f (x) là hàm
2
1 + sin (−3x)
1 + sin2 3x

số chẵn.

|sin 2x| − cos 3x
• Xét hàm số g(x) =
.
2 + tan2 x
π
TXĐ: D = R\
+ kπ (k ∈ Z) .
2
Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
|sin (−2x)| − cos (−3x)
|sin 2x| − cos 3x
Ta có g (−x) =
=
= g(x) ⇒ g(x) là hàm số chẵn.
2
2 + tan (−x)
2 + tan2 x
Vậy f (x) và g(x) chẵn.
Chọn đáp án B
Câu 27. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
π
1
A. y =
B. y = sin x +
.
3 .
4
sin
x
√

√
π
C. y = 2 cos x −
.
D. y = sin 2x.
4
Lời giải.
π
1
Viết lại đáp án B là y = sin x +
= √ (sin x + cos x) .
4
2
√
π
Viết lại đáp án C là y = 2 cos x −
= sin x + cos x. Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có
4
đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ. Xét đáp án D.
π
Hàm số xác định ⇔ sin 2x ≥ 0 ⇔ 2x ∈ [k2π; π + k2π] ⇔ x ∈ kπ; + kπ
2
π
⇒ D = kπ; + kπ (k ∈ Z) .
2
√
π
π
Chọn x = ∈ D nhưng −x = − ∈

/ D. Vậy y = sin 2x không chẵn, không lẻ
4
4
Chọn đáp án A
Câu 28. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Đồ thị hàm số y = |sin x| đối xứng qua gốc tọa độ O.
B. Đồ thị hàm số y = cos x đối xứng qua trục Oy.
C. Đồ thị hàm số y = |tan x| đối xứng qua trục Oy.
D. Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua gốc tọa độ O.
Lời giải.
Ta kiểm tra được hàm số y = |sin x| là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục Oy. Do đó đáp
án A sai
Chọn đáp án A
Câu 29. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
π
π
π
A. y = 2 cos x +
+ sin (π − 2x).
B. y = sin x −
+ sin x +
.
2
4
4
√
√
√
π
C. y = 2 sin x +

− sin x..
D. y = sin x + cos x.
4
Lời giải.
π
Viết lại đáp án A là y = 2 cos x +
+ sin (π − 2x) = −2 sin x + sin 2x.
2
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 11/2299

ȍ GeoGebra


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

π
π
π √
Viết lại đáp án B là y = sin x −
+ sin x +
= 2 sin x · cos = 2 sin x.
4
4
4

√
π
Viết lại đáp án C là y = 2 sin x +
− sin x = sin x + cos x − sin x = cos x.
4
Ta kiểm tra được đáp án A và B là các hàm số lẻ. Đáp án C là hàm số chẵn.
sin x ≥ 0
π
Xét đáp án D. Hàm số xác định ⇔
⇒ D = k2π; + k2π (k ∈ Z) .
2
cos x ≥ 0
π
π
/ D.
Chọn x = ∈ D nhưng −x = − ∈
4
√4
√
Vậyy = sin x + cos xkhông chẵn, không lẻ
Chọn đáp án C
Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
π
π
A. y = x4 + cos x −
.
B. y = x2017 + cos x −
.
3
2

2018
2018
2017
C. y = 2015 + cos x + sin
x.
D. y = tan
x + sin
x.
Lời giải.
π
= y = x2017 + sin x. Ta kiểm tra được đáp án A và D
Viết lại đáp án B là y = x2017 + cos x −
2
không chẵn, không lẻ. Đáp án B là hàm số lẻ. Đáp án C là hàm số chẵn
Chọn đáp án B
Câu 31. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π.
C. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π.

B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.
D. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.

Lời giải.
Vì hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π
Chọn đáp án C
Câu 32. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = sin x.

B. y = x + sin x.

C. y = x cos x.

D. y =

sin x
.
x

Lời giải.
Hàm số y = x + sin x không tuần hoàn. Thật vậy:
Tập xác định D = R.
Giả sử f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ D ⇔ (x + T ) + sin (x + T ) = x + sin x, ∀x ∈ D ⇔ T + sin (x + T ) =
sin x, ∀x ∈ D.(∗)
Cho x = 0 và x = π, ta được
T + sin x = sin 0 = 0

⇒ 2T + sin T + sin (π + T ) = 0 ⇔ T = 0. Điều này trái với định nghĩa

T + sin (π + T ) = sin π = 0
là T > 0.
Vậy hàm số y = x + sin x không phải là hàm số tuần hoàn.
sin x
Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x cos x và y =
không tuần hoàn
x
Chọn đáp án A
Câu 33. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?
A. y = cos x.

B. y = cos 2x.

C. y = x2 cos.

D. y =

1
.
sin 2x

Lời giải.
Ƅ Sưu tầm & biên soạn
Th.s Nguyễn Chín Em

Trang 12/2299

ȍ GeoGebra