duong thang, duong tron, elip, parabol trong đề ĐH

ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
VD1: Cho tam giác ABC với A(-2 ; 1), B(4 ; 3), C(2 ; -3).
a) Tìm phương trình tham số và tổng quát của cạnh BC.
b) Tìm phương trình đường cao AH.
c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(-2 ; 1) và song song với BC.
Kq: a)
4
3 3
x t
y t
= +


= +

; 3x - y - 9 = 0; b)x + 3y - 1 = 0; c) 3x - y + 7 = 0.
VD2: Cho tam giác ABC với A(1 ; -1), B(-2 ; 1); C(3 ; 5).
a) Viết phương trình đường cao AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABK.
Kq: a) 4x + y - 3 = 0; b) S = 11/2(đvdt).
VD3( ĐHKA - 2002): Trong mp Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. (BC):
3 3 0;x y− − =
A và B thuộc Ox, bán kính đường tròn nội tiếp r = 2. Tìm trọng tâm
G của tam giác ABC.
Kq: G(
7 4 3 6 2 3
;
3 3
+ +
); G(
4 3 1 6 2 3

;
3 3
− − − −
).
VD4 (ĐHKB - 2002): Trong mặt phẳng Oxy cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/2 ;
0); (AB): x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh
A có hoành độ âm.
Kq: A(-2 ; 0); B(2 ; 2); C(3 ; 0); D(-1 ; -2).
VD5 (ĐHKB 2003) Trong mp Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, góc BAC = 90
0
.
M(1 ; -1) là trung điểm của BC; G(2/3 ; 0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ
các đỉnh của tam giác.
Kq: A(0 ; 2); B(4 ; 0); C(-2; -2).
VD6 ( dự trữ ĐHKD 2003): Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(1 ; 0) và hai
đường thẳng lần lượt chứa các đường cao có phương trình tương ứng là: x - 2y + 1 =
0 và 3x + y - 1 = 0. tính diện tích tam giác ABC.
Kq: S = 14 (đvdt).
VD7 (ĐHKA 2004) Trong mp Oxy cho A(0 ; 2); B(
3; 1)− −
. Tìm tọa độ trực tâm và
tâm đường tròn ngoại tiếp tam gác OAB.
Kq: H(
3; 1)−
; E(
3;1)−
.
VD8 (ĐHKB 2004): Trong mp Oxy cho A(1 ; 1); B(4 ; -3). Tìm điểm C thuộc
đường thẳng x - 2y - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
Kq: C(7 ; 3) hay C(-43/11; -27/11).

VD9 (ĐHKD 2004): Trong mp Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1 ; 0); B(4 ;
0); C(0 ; m) với m
≠
0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định
m để tam giác GAB vuông tại G.
Kq: G(1 ; m/3); m =
3 6±
.
VD10 (dự trữ ĐHKB 2004): Trong mp Oxy cho I(-2 ; 0) và hai đường thẳng d
1
: 2x
- y + 5 = 0; d
2
: x + y - 3 = 0. Viết ptđt d đi qua I và cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
lần
lượt tai A, B sao cho:
2IA IB=
uur uur
.
Kq: y =
7
3
(x + 2).
VD11 (ĐHKA 2005) Trong mp Oxy cho 2 đường thẳng d
1
: x - y = 0; d
2

: 2x + y - 1 =
0. Tìm các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d
1
, C thuộc d
2
, B và D thuộc Ox.
Kq: A(1 ; 1); C(1 ; -1); B(2 ; 0); D(0 ; 2) hoặc D(2 ; 0); B(0 ; 2).
1
VD12 (ĐHKA 2006) Trong mp Oxy cho 3 đường thẳng d
1
: x + y + 3 = 0; d
2
: x - y -
4 = 0; d
3
: x - 2y = 0. Tìm m thuộc d
3
sao cho khoảng cách từ M đến d
1
bằng 2 lần
khoảng cách từ M đến d
2
.
Kq: M(-22 ; -11) hoặc M(2 ; 1).
VD13 (ĐHKB 2007) : Trong mp Oxy,cho A(2 ; 2) và các đường thẳng d
1
: x + y - 2 =
0; d
2
: x + y - 8 = 0. Tìm các điểm b thuộc d

1
, C thuộc d
2
sao cho tam giác ABC vuông
cân tại A.
Kq: B(-1 ; 3); C(3 ; -5) hoặc B(3 ; -1); C(5 ; 3).
VD14 (ĐHKB 2008): Trong mp Oxy, Tìm tọa độ C của tam giác ABC biết hình
chiếu của C lên đường thẳng AB là H(-1 ; -1). Đường phân giác trong góc A: x - y +
2 = 0; đường cao kẻ từ B: 4x + 3y - 1 = 0.
Hd: Gọi H’ đối xứng với H qua AD thì H’ thuộc AC. H’(-3 ; 1). AC qua H’ và vuông
góc với BK nên (AC): 3x - 4y + 13 = 0.
A là giao của AD và AC. Tìm được A(5 ; 7).
Ch qua H và có vtpt
AH
uuur
nên (CH): 3x + 4y + 7 = 0.
C là giao của CH và AC.
Kq: C(-10/3 ; 3/4).
VD15: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(1 ; 2), đường trung tuyến BM: 2x + y
+ 1 = 0, đường phân giác CD: x + y - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.
HD: M(m ; -2m -1) suy ra C(2m - 1; -4m - 4) mà C thuộc CD, tính được C(-7; 8).
A’ đối xứng với A qua CD; Tìm được A’(-1 ; 0). BC đi qua C và A’.
Kq: 4x + 3y + 4 = 0.
VD16: trong mp Oxy cho tam giác ABC có M(-1 ; 1) là trung điểm của một cạnh, hai
cạnh còn lại có phương trình 2x + y - 2 = 0; 3x + 2y - 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh
của tam giác ABC.
Hd: Không mất tính tổng quát ta cho M l;à trung điểm của BC. (AB) : 2x + y - 2 = 0;
(BC): 3x + 2y - 1 = 0. Khi đó A(-3; -4).
B(b, 2 - 2b); C(c ; (1 - 3c)/2), dùng giả thiết M là trung diểm của BC, suy ra b = 7; c =
-9. Do đó B(7 ; -12); C(-9 ; 14).

VD17: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(3 ; 1); B(1 ; -5), trực tâm H(1 ; 0). Xác định
tọa độ đỉnh C. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Hd: Gọi C(x
0
; y
0
). Từ
0
0
CH AB
BH AC

=


=


uuuruuur
uuuruuur
suy ra C(-2 ; 1).
Gọi phương trình đường tròn
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
. Giải hệ 3 pt 3 ẩn được a =
1/2; b = -3/2; c = -10. Vậy ptđtròn
2 2
3 10 0x y x y+ + + − =
.
VD18: Trong mp Oxy cho A(-2 ; 0); B(0 ; 4)

a) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm O, A, B.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại A và B.
c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) xuất phát từ M(4 ; 7).
HD: a) x
2
+ y
2
+ 2x - 4y = 0.
b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A: x + 2y + 2 = 0, Tại B: x + 2y - 8 = 0.
c) (C) có tâm I(-1 ; 2). Bán kính R =
5
.
Hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x = -1
5±
. Hai tiếp tuyến này không qua M(4
; 7).
2
Do đó phương trình tiếp tuyến qua M(4 ; 7) có dạng: y - 7 = k(x - 4) tức kx - y + 7 -
4k = 0 (d).(d) tiếp xúc với (C)
⇔
d(I ; d) = R
⇔
2
2 7 4
5
1
k k
k
− − + −
= ⇔

+
k = 2 hay k
= 1/2. Từ đó tìm ra (d): 2x - y - 1 = 0 hoặc (d): 1/2 x - y + 5 = 0.
VD19 (ĐHKD - 2003): Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x - 1)
2
+ (y - 2)
2
= 4, và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng
với đường tròn (C) qua d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
Kq: (C’): (x - 3)
2
+ y
2
= 4.
Giao điểm của (C) và (C’) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2).
VD20 (ĐHKB 2005): Trong mp Oxy, cho A(2 ; 0); B(6 ; 4 ). Viết phương trình
đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của (C) đến B
bằng 5.
HD: (C) tiếp xúc với Ox tại A nên
(1;0)IA i⊥
uur r
từ đó tìm được tọa độ tâm I của đường
tròn
Kq: (C): (x - 2)
2
+ (y - 7)
2
= 49 hoặc (C): (x - 2)
2
+ (y - 1)

2
= 1.
VD21 (Dự bị KA - 2002): Trong mp Oxy cho hai đường tròn:
(C
1
): x
2
+ y
2
- 10x = 0; (C
2
): x
2
+ y
2
+ 4x -2y - 20 = 0;
1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C
1
), (C
2
) và có tâm nằm
trên đường thẳng x + 6y - 6 = 0.
2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C
1
) và (C
2
).
HD: 1) Phương trình đường tròn có dạng:
m(x
2

+ y
2
- 10x ) + n(x
2
+ y
2
+ 4x -2y - 20) = 0. với m
2
+ n
2
> 0.
Xác định tâm theo m,n. Mặt khác tâm thuộc x + 6y - 6 = 0. chọn m tùy ý và suy ra n.
Kq: x
2
+ y
2
- 24x + 2y + 20 = 0;
2)C
1
(I
1
; R
1
); C
2
(I
2
; R
2
) suy ra I

1
I
2
< R
1
+ R
2
nên (C
1
) và (C
2
) cắt nhau tại 2 điểm > có
2 tiếp tuyến chung.
Nhận thấy x = x
0
không phải là tiếp tuyến chung nên tt có dạng : y = ax + b hay ax - y
+ b = 0 (
∆
).
Sử dụng d(I
1
;
∆
) = R
1
= 5. d(I
12
;
∆
) = R

2
= 5.
Kq: x + 7y - 5
25 2±
= 0.
Cách khác: R
1
= R
2
= 5. nên tiếp tuyến song song với
1 2
I I
uuur
và sử dụng d(I
1
;
∆
) = R
1
=
5 ta cũng có kq như trên.
VD22 (DỰ BỊ KB - 2005)Trong Oxy cho 2 đường tròn (C
1
): x
2
+ y
2
= 9; (C
2
): x

2
+ y
2
- 2x - 2y - 23 = 0; Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn. Chứng
minh rằng nếu K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm của (C1)nhỏ hơn khoảng
cách từ K đến tâm của (C
2
).
Hd: Trục đẳng phương (d): (x
2
+ y
2
- 9) - (x
2
+ y
2
- 2x - 2y - 23) = 0 hay x + y + 7 = 0.
Gọi K(x
K
; y
K)
thuộc d ta chứng minh được IK
2
- OK
2
> 0;
VD23:(ĐỀ 13 - 2010) Trong mp Oxy, cho (C): x
2
+ y
2

+ 2x - 4y + 2 = 0 và đường
thẳng (d) : x - y + 1 = 0. Tìm tọa độ M thuộc (d) mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với
(C) tại 2 tiếp điểm A, B sao cho
AMB∠
= 120
0
.
Kq: M
1
(-1 ; 0); M
2
(1 ; 2).
VD24: (ĐỀ 14 - 2010): Trong mp Oxy cho (C): x
2
+ y
2
- 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc
trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến
bằng 60
0
.
Kq: M
1
(0 ;
7
); M
2
(0 ; -
7
).

3
VD25: (ĐỀ 16 - 2010): Trong mp Oxy, cho (C): (x - 1)
2
+ y
2
= 1 và 2 điểm A(1 ; 1);
B(1 ; -3/4). Viết phương trình đường thẳng d đi qua B và cắt (C) tại M, N sao cho
diện tích tam giác AMN lớn nhất.
Hd: Tâm đường tròn I(1 ; 0). Gọi (d): a(x - 1) + b( y + 3/4) = 0.
S
AMN
= 7/3 S
IMN
= 7/6 IM . IN sin
MIN
∠
7
6
≤
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
MIN
∠
=
90
0
. d(I ; d) =
2
2

2 2b a⇔ = ±

. Chon a = 1 suy ra b.
Kq: (d
1
):
3 2
2 2 1 0.
2
x y+ + − =
(d
2
):
3 2
2 2 1 0.
2
x y− − − =
ELIP
• Chú ý về tiếp tuyến của (E):
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
.
+ Tiếp tuyến với (E) tại tiếp điểm M
0
(x
0
; y
0

) có phương trình
0
2 2
1
o
x x y y
a b
+ =
+ Nếu không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất (
∆
) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc
với (E):
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =

2 2 2 2
a A b B C⇔ + =
(*)
Hướng dẫn chứng minh (*). Ta đưa (E) về dạng phương trình đường tròn bằng
cách đặt X = x/a; Y = y/b. Bài toán đưa về tìm điều kiện để (
∆
) : AaX + BbX + C
= 0 tiếp xúc với X
2
+ Y
2

= 1, Tức d(O,
∆
) = 1 hay
2 2 2 2
a A b B C+ =
.
Thường ta viết phương trình (
∆
)theo hệ số góc dạng : kx - y + c = 0 và lưu ý trường
hợp (
∆
)
⊥
x’x tức (
∆
): x =
a±
.
VD1: Cho (E) : x
2
+ 4y
2
- 40 = 0.
a) Xác định tiêu điểm, Hai đỉnh trên trục lớn, 2 đỉnh trên trục nhỏ và tâm sai của (E).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M
0
(-2 ; 3).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết nó xuất phát từ M(8 ; 0).
d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E)biết nó vuông góc với đường thẳng (d) : 2x -
3y + 1 = 0. Tính tọa độ tiếp điểm.

Hd: a) (E):
2 2
1
40 10
x y
+ =
. Hai tiêu điểm nằm trên trục lớn F
1
(
30;0)−
; F
2
(
30;0)
. Hai
đỉnh nằm trên trục lớn A
1
( 2 10;0)−
;
A
2
(2 10;0)
;
Trục nhỏ nằm trên Oy vớ 2 đỉnh là B
1
(
0; 10)−
; B
2
(

0; 10)
;
Tâm sai của (E) là e = c/a =
3
2
b) Dễ thấy M
0
thuộc (E). Kq: x - 6y + 20 = 0.
c) Phương trình tiếp tuyến với (E) xuất phát từ M(8 ; 0)
(E) có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x =
2 10±
. Hai tiếp tuyến này không đi
qua M. Do đó phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k(x - 8) hay kx - y - 8k = 0 (
∆
). (
∆
) tiếp xúc với (E):
2 2
1
40 10
x y
+ =

2 2
40 10 60k k⇔ + =
15
6
k⇔ = ±
.
Kq:

15 6 8 5 0x y− − =
;
15 6 8 5 0x y+ − =
.
d) phương trình tiếp tuyến vuông góc với (d) có dạng: (d’): 3x + 2y + c = 0.
4
(d’) tiếp xúc với (E) nên: 40.9 + 10 . 4 = C
2

20.C⇔ = ±
Gọi M
0
(x
0
; y
0
) là tiếp điểm
của tiếp tuyến (d’) với (E) thì (d’) :
0
1
40 10
o
x x y y
+ =
⇔
x
0
x + 4y
0
y - 40 = 0.

Với C = 20 thì (d’): 3x + 2y + 20 = 0. Do đó
0
0 0
0
6
4
40
1
3 20 20
x
x y
y
= −

−
⇒ = = ⇔

= −

hay M
0
(-6
; -1). Tương tự với C = -20 thì M
0
(6 ; 1).
VD2 (ĐHKD - 2002): Cho (E):
2 2
1
16 9
x y

+ =
. Cho M di chuyển trên Ox. N di chuyển
trên Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với(E). Tìm tọa độ M, N sao cho độ
dài đoạn Mn ngắn nhất, Tìm độ dài đoạn ngắn nhất đó.
Hd: M(m , 0); n(0 ; n). MN: nx + my - nm = 0; MN tiếp xúc với (E) nên
16n
2
+ 9m
2
= m
2
n
2
.
Ta có MN
2
= m
2
+ n
2
. theo bunhia 7 =
2 2
2 2
4 3 16 9
. .m n m n MN
m n m n
+ ≤ + + =
.
MN nhỏ nhất khi và chỉ khi
2 2

3 4
4 3
m n
m n
m n
= ⇔ =
, kết hợp m
2
+ n
2
= 49 ta tìm được m
=
2 7; 21n =
(Vì m, n > 0).
VD3 (ĐHKD - 2005): Trong mp Oxy cho C(2 ; 0) và (E):
2 2
1
4 1
x y
+ =
. Tìm tọa độ
các điểm A., B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành
và tam giac ABC là tam giác đều.
HD: A
2
4
( , )
2
a
a

−
; B
2
4
( , )
2
a
a
−
−
với -2 < a < 2. Sử dụng CA
2
= AB
2
tìm được a =
2(loại), a = 2/7.
Kq: A(
2 4 3
;
7 7
) và B(
2 4 3
;
7 7
−
) hoặc A(
2 4 3
;
7 7
−

) và (
2 4 3
;
7 7
).
VD4 (ĐHKD - ): Trong mp Oxy, cho (E):
2 2
1
9 4
x y
+ =
và đường thẳng d
m
: mx - y - 1
= 0.
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng d
m
luôn cắt (E) tại hai điểm
phân biệt.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuến đó đi qua N(1 ; -3).
HD: a) (E): 4x
2
+ 9y
2
- 36 = 0. d
m
: y = mx -1. Phương trình hoành độ giao điểm của
(d
m
) và (E): (4 + 9m

2
)x
2
- 18mx - 25 = 0. Có
∆
’ > 0 (đpcm).
b)
∆
1
: x + 2y + 5 = 0;
∆
2
: 5x - 4y - 17 = 0.
VD5 (DỰ TRỮ KA - 2003): Trong mp Oxy cho (E):
2 2
1
4 1
x y
+ =
. M(-2 ; 3); N(5 ;
n). Viết phương trình đường thẳng d
1
, d
2
qua M và tiếp xúc với (E). Tìm n để trong số
các tiếp tuyến của (E) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d
1
hoặc d
2.
Kq: a) d

1
: x = -2; d
2
: 2x + 3y - 5 = 0.
b) Dễ thấy tiếp tuyến qua N(5 ; n) không song song với x = -2. Kq: N(5 ; -5).
VD6 (ĐHKA - 2008): Trong mp Oxy, lập phương trình chính tắc của (E) có tâm sai
bằng
5
3
và hình chử nhật cơ sở có chu vi 20.
5