100 bài bất ĐẲNG THỨC có lời GIẢI CHI TIẾT

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


1

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:

TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015

- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc
biệt là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của
Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên.
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.
7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều
được coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự
sai xót nhất định.

Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:
!
Xin chân thành cám ơn!!!
Chúc các bạn học tập và ôn thi thật tốt!!!








Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014

Trưởng nhóm Biên soạn



Cao Văn Tú
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


2

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:

Giải
Vận dụng bất đẳng thức
1 1 1 1

()
4x y x y


ta có:

1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2a b b c a a b b c a a b c
  
        


1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2b c c a b b c c a b b c a
  
        


1 1 4 2
3 2 ( 3 ) ( 2 ) 2c a a b c c a a b c c a b
  
        

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra khi:
32
32
32
a b b c a
b c c a b a b c

c a a b c
   


      


   


Bài 2: Cho ba số dương a, b, c, chứng minh:

1 1 1 1 1 1 1
()
2a b b c c a a b c
    
  
(2)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.


Giải
 Áp dụng
1 1 1 1
()
4x y x y


ta có ngay điều phải chứng minh.
 Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

1 1 1 1 1 1 1
()
2 2 2 2a b c b c a c a b a b b c c a
    
        
(3)
 Kết hợp (2) và (3) ta có:

Bài 3: Với a, b, c là các số dương:

1 1 1 1 1 1 1
()
2 2 2 4a b c b c a c a b a b c
    
     
(4)
Bài 1: Chứng minh rằng với a, b, c dương:

1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 3a b c b c a c a b a b b c c a
    
        
(5)

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


3

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Giải
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
abc
  
. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 1
()
2 2 2 4a b c b c a c a b a b c
    
     

►Thực chất là từ (4) thêm giả thiết:
1 1 1
4
abc
  

Bài 4: Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng
thức sau:

tan tan tan
1
2 2 2
1 tan .tan 1 tan .tan 1 tan .tan 4.tan .tan .tan

2 2 2 2 2 2 2 2 2
A B C
B C C A A B A B C
  



Giải
Đặt
tan , tan , tan
2 2 2
A B C
x y z  
thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1
Hệ thức trở thành:
1
1 1 1 4
x y z
yz zx xy xyz
  
  

Ta có:

1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
4 4 4
1 1 1 1 1
4 4 4

x y z
yz zx xy
x y z
xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy
x x y y z z
xy yz zx yz xy zx yz zx xy yz zx xy
x z x y y z xy yz zx
xy yz zx yz xy zx x y z x
  
  
   
        
     
      
     
     
     
   
    
      
   
  
   
1
4yz xyz


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay
ABC
đều.

Bài 5: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện:

0, 1 0, 1 0, 4 0x y z x y z        
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1 4
x y z
Q
x y z
  
  

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


4

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:

Giải
Đặt
1 0, 1 0, 4 0a x b y c z        
.
Ta có:
6abc  
và
1 1 4 1 1 4

3
abc
Q
a b c a b c
  

      



Theo bất đẳng thức (1) ta có:

1 1 4 4 4 16 8
()
3
81
3
33
a b c a b c a b c
Q
     
  
   

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
31
22
31
6
ab

a b x y
a b c
cz
abc



   
  
   
  
  
  
  



Vậy:
1
3
MaxQ 
đạt được khi
1
2
1
xy
z








.
Bài 6: Chứng minh rằng :
2 2 2 1 1 1
6 4 6 4 6 4 4 4 4
x y z
x y y z z x x y z
    
  

Với x, y, z là các số dương. Dấu bằng xảy ra khi nào ?


Giải

 
2
2
1
1 1 1 4
4 4 6 4 6 4 6 4
x
xx
x y x y x y x y

    


.
Tương tự ta có:
1 1 4 1 1 4
;
4 4 6 4 4 4 6 4

yz
y z y z z x z x
   

.
Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi x = y = z = 1.
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b và c thoả:
ab bc ca abc  
. Chứng minh rằng:

     
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
ab a b bc b c ca c a
  
  
  


Giải
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!

5

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Ta có:
ab bc ca abc  
1 1 1
1
abc
   
. Đặt
1 1 1
;;x y z
a b c
    x+y+z=1
.
Khi đó ta có:




















 


11
2
33
4 4 4 4 6 6
44
33
3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2
1 1 1
33
2
22
3 3 4 4 2 2
22
2 2 2 2 2 2
2
xy
a b x y x y
xy
xy

ab a b x x y y x y x y x y
xy
xy
xy
x y x y x y x y
xy
xy
x x y y x y x y x y







    

    


  
     


   

Tương tự ta có:
   
4 4 4 4
3 3 3 3

;
22
y z z xb c c a
bc b c ca c a






Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:
     
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
x y z
ab a b bc b c ca c a
  
     
  
.
Suy ra điều phải chứng minh
Bài 8: Với x, y, z, t là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x t t y y z z x
A
t y y z z x x t
   
   

   


Giải
Ta có:

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4
1 1 1 1
4 ( ) ( ) 4
4 4 4( )
( ) ( ) 4 4 0
x t t y y z z x
A
t y y z z x x t
x y t z y x z t
x y t z
t y y z z x x t t y z x y z x t
x y z t
x y t z
x y z t x y z t z y z t
   
         
   
   
   
            
   
       
   
  

       
        

Vậy MinA = 0 khi x = y = z = t.

Bài 9: Cho x, y, z là ba số dương. chứng minh rằng:
 
1 1 1 1 1
( ) 6
9x y z x y z
  



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
x y z

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


6

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:

Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có:

yx
+ z

3 xyz
;
1 1 1 1 1 1 3
3 . .
x y z x y z
xyz
   

Từ đó:
()x y z
1 1 1 1 1 1 1 1
9
9x y z x y z x y z
   
      
   

   

Đẳng thức xảy ra khi
x y z
.

Bài 10: Cho ba số a, b, c bất kì và x, y, z là ba số thực dương ta có:

 
 
2
2 2 2
7

abc
abc
x y z x y z

  

. (Bất đẳng thức sơ-vac).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b c
x y z

.

Giải
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:
 
     
 
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
.
a b c a b c
x y z x y z
x y z
x y z
abc








        













  

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 11: Chứng minh rằng:
2 2 2
abc
abc
b c a

    
với a, b, c là các số thực dương.

Giải
Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:
 
2
2 2 2
abc
abc
abc
b c a a b c

     

. Suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
abc
abc
b c a
    



Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


7

Chủ biên: Cao Văn Tú

Email:
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6 6 6
3 3 3 3 3 3
a b c
B
b c c a a b
  
  

Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mãn:
1abc  


Giải
Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:
 
 
2
3 3 3
6 6 6 3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2
2
abc
a b c a b c
B
b c c a a b
abc



    
  

. Mặt khác theo bất đẳng
thức Bunhiacovski ta có:
 
 
 
 
     
2
2
4
2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 3 3
1
99
9
a b c a b c aa a bb b cc c
a b c a b c a b c a b c


        


           
.

Vậy
1
18
B 

Bài 13: Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1. Chứng minh rằng :

       
3 3 3 3
1 1 1 1 4
3x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy
   
       


Giải
Đặt
1 1 1 1
; ; ; y z t=x
a b c d
  
, theo bài ra ta có abcd = 1 và

 
2
3
3
11
1 1 1 1
a

x yz zt ty b c d
a bc dc bd

   




; tương tự ta có :
     
2 2 2
3 3 3
1 1 1
;;
b c d
y xz zt tx a c d z yt xt xy a b d t yz zx xy a b c
  
           

Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có:

       
 
 
3 3 3 3
2
2 2 2 2
4
1 1 1 1
3

44
3 3 3
x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy
a b c d
a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
a b c d abcd
  
       
  
    
          
  
  

(Mở rộng tự nhiên bất đẳng thức (7) cho bốn số)
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


8

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Dấu bằng xảy ra khi
1a b c d
a b c d
b c d a c d a b d a b c
   




  

       


Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
     
8 8 8
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c
B
b c a c b a
  
  

Trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện
1ab bc ca  


Giải
Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có:
     
 
     
 
   
2
4 4 4

8 8 8
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
4 4 4
4 4 4 2 2 2 2 2 2
22
abc
a b c
B
b c a c b a b c a c b a
abc
a b c a b b c a c

   
       


    

Xét biểu thức
2 2 2 2 2 2
a b b c a c
. Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có :
2 2 2 2 2 2 4 4 4
a b b c a c a b c    
. Do đó:
 
   
 

 
22
4 4 4 4 4 4
4 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4 4
4
2 2 4
a b c a b c
abc
B
a b c a b c a b c
   

  
      
.
Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski
 
2
4 4 4
1 ab bc ca a b c     
.

Bài 15: Cho x,y, z > 0 và thoả:
2 2 2
1
3
x y z  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3
33
2 3 5 2 3 5 2 3 5
y
xz
x y z y z x z x y

     


Giải

Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi chúng bằng
nhau và bằng
1
3
.
Giải: Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có :
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


9

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:




 











3 3 3 4 4 4
2 2 2
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 8 2 8 10
1
2 2 2
30
x y z x y z
x y z y z x z x y
x xy xz y yz yx z xz yz
x y z x y z x y z
x y z xy yz zx x y z x y z x y z
x y z
    
     
     

     
  
           
   

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
2 2 2
2 2 2
2 3 5 2 3 5 2 3 5
1
3
1
2 2 2
3
x y z
x xy xz y yz yx z xz yz
x y z x y z
x y z













     
     
  
.
Bài 16: Cho a, b, c > 0 và thoả: a.b.c = 1
Chứng minh rằng:
 
 
 
222
3
3 3 3
a b c b c a c a b
  
  



Giải
Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
chúng bằng nhau và bằng 1.
- Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt
1 1 1
;; b c . a
x y z
  

Đặt
1 1 1
;; b c . a

x y z
  
Theo giả thiết ta có: xyz = 1
Ta có
 
2
3
3
2 2 2
1 1 1
x
a b c y z
x y z






; tương tự ta có:
 
2
3
3
2 2 2
1 1 1
y
b a c x z
y x z







;
 
2
3
3
2 2 2
1 1 1
z
c b a y x
z y x






.
Do đó Áp dụng bất đẳng thức (7) ta có :

 
 
 
 
 
 

2
22
2
22
2
2 2 2 2 2
2
22
3
33
22
y
xz
y z x z y x
b c a
a b c c a b
x y z x y z
xyz
x y z
     
  


   
  


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!

10

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1x y z  


Bài 17: Cho 3 số thực dương x, y, z > 0 thoả:
3x y z  
. Tìm GTNN của biểu thức:
A =
2
22
y
xz
x yz y zx z xy

  


Giải
Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :
 
2
2
22
x y z
y
xz

x yz y zx z xy x y z yz zx xy


       
.Ta có
yz zx xy x y z    
.
Do đó
 
2
2
22
3
22
x y z
y x y z
xz
x y z x y z
x yz y zx z xy


    
    
  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
1
x y z
x y z x y z

x y z
x yz y zx z xy


  


     





  



Bài 18: Với x, y, z là các số dương và
. . 1x y z 

Chứng minh rằng:
3
2
x y z
x yz y zx z xy
  
  

(1)

Giải
Đặt
,,a x b y c z  

Bài toán trở thành: a, b, c là số dương và
. . 1abc

Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
3
2
a b c
a bc b ac c ab
  
  

(2)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
 
 
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
abc
a b c
a bc b ac c ab a bc b ac c ab


  
       

Bình phương hai vế bất đẳng thức:
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


11

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
   
   
   
 
 
2
24
2
2
2 2 2
2 2 2
44
2
2 2 2
4
2
(3)
3( )

33
33
a b c a b c
VT
a bc b ac c ab
a bc b ac c ab
a b c a b c
a b c ab bc ac
a b c ab bc ac
abc
abc

   


    


    


   

    

    





  


( Vì
 
2
3
33ab bc ac abc   
)

Đặt
 
2
t abc  
thì
9t 
( vì
3
33a b c abc   
)
Ta có:
2
3 15 3 3 3.9 15 3 3 9
2.
3( 3) 12 12 3 12 12 3 2
t t t t
t t t
   
     
  

2
93
(5') (4')
22
VT VT   

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1

điều phải chứng minh

Tổng quát: Ta có bài toán sau: với
 
12
, , , 2
n
x x x n 
là số dương và
12
. 1
n
x x x 

Chứng minh rằng:
12
1 2 3 2 3 4 1 2 1

2
. . .

n
n n n n
x
xx
n
x x x x x x x x x x x x

   
  


Bài 19: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
abc ab bc ca  
thì
3
16
111
2 3 2 3 2 3a b c b c a c a b

     


Giải
Từ
abc ab bc ca  
suy ra
1 1 1
1
abc
  

.
đặt
1 1 1
;; y z x
a b c
  
thì
1x y z  
. Áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :
1 2 3 36 1 2 3
23
2 3 2 3 36
x y z
a b c
x y z x y z a b c

       
   

Tương tự ta cũng có:
2 3 2 3
;;
36 36
11
2 3 2 3

y z x z x y
b c a c a b
   


   

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


12

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có:
 
6
13
36 6 16
111
2 3 2 3 2 3
x y z
a b c b c a c a b

  
     

Cách 2:
     
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3
.
2 3 9 9 4a b c a c b c b c a c b c b c a b c
   
      
   

         
   

Tương tự ta có:

     
     
1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2
.;
2 3 9 9 4
1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2
.
2 3 9 9 4
b c a a c a c b a a c a c b a a b c
c a b b c b a b a b c a b b a b c a
   
      
   
         
   
   
      
   
         
   

cộng vế với vế ta có:
1 1 1 1 6 6 6 3
2 3 2 3 2 3 36 16a b c b c a c a b a b c


     

     


suy ra điều phải chứng minh.
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 3.

Bài 20: Cho

, , 0
1
x y z
x y z

  
. Chứng minh rằng:
2 2 2
9
1 1 1 10
x y z
P
x y z
   
  


Giải

 

2 2 2
2 2 2
3 3 3
2 2 2
2
2 2 2
4 4 4
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
11
x y z
P x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x x y y z z x y z x y z

   
      

   
  
   



    

  



     

       


Đặt
2 2 2
t x y z  
từ điều kiện
1
3
t

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và Côsi ta có:
 
 
 
3 3 3 2 2 2
3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
1 3 1
13

2 3 2 2 3
x y z x y z x y z xy yz zx xyz
x y z t
x y z x y z t t
           



          




Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


13

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
2 2 2
2
2
2
2 2 3 10 3 9 9
11
3 10 3 10 10
31
1 3 3
3

3
1
( )(57 9)
99
3
3 10 3 10 10
t t t t
P
t
tt
t
tt
tt
tt
P
tt
  
       

  


  


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
1
3



đpcm.

Bài 21: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm
GTNN của biểu thức: P =
     
2 2 2
2 2 2
x y z y z x z x y
y y z z z z x x x x y y


  


Giải

     
2 2 2
22
2
22
2
2 2 2 2 2 2
2
22
2 2 2
x y z y z x z x y
x yz z xy
y xz
P

y y z z z z x x x x y y y y z z z z x x x x y y
yy
x x z z
y y z z z z x x x x y y

     
     
  
  

Đặt
; ; ; b c a x x y y z z  

Ta có

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2

2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 3
2
4
33
abc
a b c a b c
P
b c c a a b a b c b c a c a b ab bc ca
a b c ab bc ca a b c
ab bc ca
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
abc
ab bc ca

      
       
      

  
     




Mặt khác ta có

2 2 2
a b c ab bc ca    
. Nên ta có:
2P
. dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
abc
. Hay
x=y=z=1 x x y y z z  


Bài 22: Cho a, b, c lµ c¸c sè d-¬ng. Chøng minh r»ng:

2
3





 ba
c
ac
b
cb
a


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!

14

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Giải
Ta cã:

2
3
2
9
2
9
)
111
)((
)(2
99111

































ba
c
ac
b
cb
a
ba
cba
ac
cba

cb
cba
baaccb
cba
cbabaaccbbaaccb

(§pcm).

Bài 23: Cho a,b,c>0 và
3
2
abc  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S a b c
b c a
     


Giải

2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
22
1 1 1
S
1 1 1 1 4

(1 4 )( ) (1. 4. ) ( )
17
a b c
b c a
a a a a
b b b b
     
       

Tương tự
22
22
1 1 4 1 1 4
( ); ( )
17 17
b b c c
c c a a
     

Do đó:

1 4 4 4 1 36
( ) ( )
17 17
1 9 135 3 17
()
4( ) 4( ) 2
17
S a b c a b c
a b c a b c

abc
a b c a b c
         


     

   



Bài 24: Cho x,y,z là ba số thực dương và
1x y z  
. Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
y z x
     



Giải
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


15

Chủ biên: Cao Văn Tú

Email:

2 2 2 2 2
22
22
22
1 1 1 1 9
(1. 9. ) (1 9 )( ) ( )
82
1 1 9 1 1 9
: ( ); ( )
82 82
1 9 9 9 1 81
( ) ( )
82 82
1 1 80
( ) 82
82
x x x x
y y y y
TT y y z z
z z x x
S x y z x y z
x y z x y z
x y z
x y z x y z
       
     
         



     

   


Bài 25: Cho a,b,c>0 và
2 3 20a b c  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
3 9 4
2
S a b c
a b c
     


Giải
Dự đoán a=2,b=3,c=4
12 18 16 12 18 16
4 4 4 4 2 3 3a 2
20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 13
S a b c a b c b c
a b c a b c
S
     
               
     
     
     

Bài 26: Cho x,y,z> 0 và
1 1 1
4
x y z
  
. Tìm giá trị lớn nhất của
1 1 1
2x 2 2z
P
y z x y z x y
  
     


Giải

Ta có
1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 4 4 16 1 1 1 2 1
;
2 2 16
:
1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
;
2 16 2 16
1 4 4 4
1
16
x y x y y z y z x y y z x y y z x y z x y z x y z
TT
x y z x y z x y z x y z

S
x y z

              

       

   
     
   
   
   

   



Bài 26: Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 . Chứng minh rằng
1 1 1
8 8 8 4 4 4
x y z x y z  
    


Giải
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


16

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Dự đoán x=y=z = 2 và
33
8 .8 64 4
x x x x

nên :
3
22
3
22
3
22
33
222
8 8 8 3 8 .8 .8 12.4 ;
8 8 8 3 8 .8 .8 12.4 ;
8 8 8 3 8 .8 .8 12.4
8 8 8 3 8 .8 .8 3 8 .8 .8 192
x x x x x
y y y y y
z z z z z
x y z x y z
   
   
   
    

Cộng các kết quả trên => đpcm.

Bài 27: Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng:
3 3 3 3
33
11
1
33
x y y z
zx
xy yz zx
   

  


Giải
     
3 3 3 3
3
3 3 3 3
33
2 2 2
1 3 3x
1 3x 1 3
3 3 1 3 x 3
;;
x x x
1 1 1 1
3 3 3 3 3
x y xy x y x y xyz xy x y xy x y z xy xyz y

x y y y z yz
z x z
xy xy xy yz yz yz z z z
S
xy yz zx
x y z
             
   

     

    




Bài 28: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
  
   
22
1
11
x y xy
P
xy




Giải

  
   
  
     
2
2 2 2 2 2
1
11
1 1 1
2
4 4 4
1 1 1 1 1
x y xy
x y xy x y xy
PP
x y x y x y xy
  


   


      
      

Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4

KL: Khi dấu = xảy ra.

Bài 29: Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng:
3 3 3
abc
ab bc ca
b c a
    



Giải
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


17

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Cách 1:
 
2
3 3 3 4 4 4 2 2 2 2
()
ab bc ac
a b c a b c a b c
ab bc ac
b c a ab bc ca ab bc ac ab bc ac



         
   

Cách 2:
3 3 3
2 2 2
2a ; 2 ; 2a
a b c
ab bc b ca
b c a
     


3 3 3
2 2 2
2( )
abc
a b c ab bc ac ab bc ac
b c a
          


Bài 30: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng
2 3z 5 3 5 2 5 51
1 1 2 1 3z 7
y z x x y
xy
     
  
  

Giải

 
2 3z 5 3 5 2 5
1 1 2 1 3z
2 3z 5 3 5 2 5
1 1 1 3
1 1 2 1 3z
1 1 1 9
2 3z 6 3 24. 3
1 1 2 1 3z 2 3z 3
9 51
24. 3
21 7
y z x x y
xy
y z x x y
xy
xy
x y x y
     

  
     
      
  

        


     

  


Bài 31: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2
2
( 1)
( 1)
x y xy y x
A
xy y x x y
   

   
(Với x; y là các số thực dương).

Giải
Đặt
2
( 1) 1
;0
xy
a a A a
xy y x a

    


Có
1 8 1 8 1 8 2 10 10
( ) .3 2. .
9 9 9 9 3 3 3 3
a a a
A a A
a a a
           


Bài 32: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn:
3abc  
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca
abc
a b b c c a

   



Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


18

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Giải
3(a
2
+ b
2
+ c
2
) = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
) = a
3
+ b
3
+ c
3
+ a
2
b + b
2
c + c
2
a + ab
2
+ bc

2
+
ca
2

Mà a
3
+ ab
2


2a
2
b ;b
3
+ bc
2


2b
2
c;c
3
+ ca
2


2c
2
a Suy ra 3(a

2
+ b
2
+ c
2
)

3(a
2
b + b
2
c +
c
2
a) > 0
Suy ra
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca
abc
abc

   

2 2 2
2 2 2
2 2 2
9 ( )
P

2( )
abc
abc
abc
  
    


t = a
2
+ b
2
+ c
2
, với t

3.
Suy ra
9 9 1 3 1
34
2 2 2 2 2 2 2
t t t
Pt
tt

         
 P  4 a = b = c = 1

Bài 33: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn
a2bc  

. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1 97
2
a b c
b c a
     


Giải

2
2 2 2
22
22
22
9 1 81 1 1 4 9
1. . 1 ;
4 16 4
97
1 4 9 1 4 9
;
44
97 97
a a a a
b b b b
b b c c
c c a a
      

       
      
      
   
     
   
   
cộng các vế lại

Bài 34: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
3 3 3
4( )15Pabc abc 
.

Giải
Có
22 2
()( )( )aabcabcabc
(1) ,
22 2
()( )( )bbcabcabca
(2)

22 2
()( )( )ccabcabcab
(3) . Dấu ‘=’ xảy ra
abc  

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế

với vế của (1), (2), (3) ta có :
( )( )( )abcabcbcacab
(*)
Từ
2abc  
nên (*)
(22)(22)(22)abc a b c  

88( )8( )90abcabbccaabc

898( )098( )8abcabbccaabcabbcca
(*)
Ta có
333 3
()3()()386()3abcabcabcabbccaabcabbccaabc

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


19

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Từ đó
 
333
4()152724()32398()32abcabcabcabbccaabcabbcca
(**)
Áp dụng (*) vào (**) cho ta
333

4( )153.(8)328abcabc

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
3
abc  
.
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi
2
3
abc  


Bài 35: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
3 3 3
21
3
94
a b c abc    
.

Giải

 
3 3 3
3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
3
*3
ó 3 ( )( )

3 ( ) (1)
ó ( )( )( ) (1 2a)(1 2 )(1 2 )
28
1 4( ) 8a 6a (2)
33
(1) d(2)
P a b c abc
Tac a b c abc a b c a b c ab bc ac
a b c abc a b c ab bc ac
c abc a b c a b c a b c b c
ab bc ca bc bc ab bc ca
an a
   
          
         
            

         

 
 
 
3 3 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
25
3
33

1
11
à
2 6 6
1 1 1 1 1 1 1 2
0.
3 3 3 3 6 3 6 9
b c abc a b c ab bc ca
abc
m ab bc ca P a b c
a b c a b c P
         
  
       
     
             
     
     


   
3 3 3
3 3 3 2 2 2
2
2 2 2
*3
( )( )( ) (1 2a)(1 2 )(1 2 ) 1 4( ) 8a 0
1
) 2a (3)
4

3 ( )( ) 6a
6a 3 6a
1
P a b c abc
abc a b c a b c a b c b c ab bc ca bc
ab bc ca bc
P a b c abc a b c a b c ab bc ac bc
a b c ab bc ac bc a b c ab bc ca bc
   
                  
    
            
             

 
11
3 2a 1 3.
44
ab bc ca bc     

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


20

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:

Giải
Chứng minh được

   
 
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
(6 2 )(6 2 )(6 2 ) 216 72( ) 24( x) 8x
8
24 ( x) (1)
3
mà 9 2x 2 2xz 9
x xz 36 3x 3 3xz (2)
8
ê x xz 24 (
3
xyz x y z x y z x y z
x y z x y z xy yz z yz
xyz xy yz z
x y z x y z y yz
x y z y yz y yz
N n xyz x y z y yz
       
           
     
         
         
         
 
 
2

2 2 2
2
2 2 2
x)+ 36 3x 3 3xz
1
x xz 12 ( x) mà 3( x)
3
1 36
x xz 12 . 12 8
3 3 9
xy yz z y yz
xyz x y z y yz xy yz z x y z xy yz z
x y z
xyz x y z y yz
    
                

            


Bài 37: Cho
a 1342; 1342b
. Chứng minh rằng
 
22
2013 .a b ab a b   
Dấu đẳng thức
xảy ra khi nào?

Giải

Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:
      
22
1342 1342 0; 1342 1342 0; 1342 1342 0a b a b a b          

Thật vậy:
     
  
 
   
   
22
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1342 1342 0 2.1342. 2.1342 0 (1)
1342 1342 0 1342a 1342 1342 0 (2)
2.1342. 2.1342 1342a 1342 1342 0
3.1342. 3.1342 2.2013. 3.1342
2013. 2013.
a b a b a b
a b ab b
a b a b ab b
a b ab a b a b
a b a b
         
       
         
        

   
     
2.2013.1342 2013. 2013. 1342 1342 2013.a b a b a b        

Bài 38: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
       
4 4 2 2
1 3 6 1 3A x x x x      


Bài 36: Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:

2 2 2
x x 8y z xy yz z xyz      


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


21

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:

Giải

       
       
 
 

4 4 2 2
2
2 2 2 2
2
2
22
2
2
22
4 2 4 2
4
1 3 6 1 3
1 3 4 1 3
2x 8x 10 4 x 4x 3
2( 2) 2 4 ( 2) 1
4( 2) 8( 2) 4 4( 2) 8( 2) 4
8( 2) 8 8
A x x x x
A x x x x
A
A x x
A x x x x
Ax
      

      


     



     

         
   

Bài 39: Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
  
     


Giải

 
 
   
 
 
2 2 2 2 3 3
33
33
3 3 3 3 3 3
x 2x 2x x x
11
1x
1x

1 1 1
;;
1 x 1 y 1 z
y y x y x y y x y y y x y
y xy x y z
y xy x y z
z x y
dpcm
y x y z z x y z x x y z
          
       
   
    
           

Bài 40: Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
  
  


Giải

 
2 2 2
1 1 1 3 3 3 3 3

; ; .3
1 4 1 4 1 4 4 4 4 4 2
x y y z z x
x y z VT x y z
y z x
  
             


Bài 41: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương a, b:

1
a
+
1
b

4
a+b


Giải
Xét hiệu
1
a
+
1
b
−
4

a+b
=
a+b
ab
−
4
a+b
=
( )
a+b
2

−4ab
ab(a+b)
=
( )
a−b
2

ab(a+b)
 0
 VT  VP. Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra  a = b.

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


22

Chủ biên: Cao Văn Tú

Email:
Bài 42: Chứng minh rằng: |a| + |b|  |a + b| a, b.

Giải
Nhận xét: |x|
2

= x
2

với x và |x|.|y| = |xy| x, y.
Ta có:
|a| + |b|  |a + b|  (|a| + |b|)
2

 (|a + b|)
2


 |a|
2

+ 2|a|.|b| + |b|
2

 (a + b)
2


 a

2

+ 2|ab| + b
2

 a
2

+ 2ab + b
2


 |ab|  ab (đúng với mọi a, b).
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Dấu “=” xảy ra  ab  0.

Bài 43: Cho a, b, c là ba số thực bất kì. Chứng minh bất đẳng thức:
2
2 2 2
33
a b c a b c   






Giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
 

 
 
 
 
 
 
     
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
3
39
32
22
0
abc
abc
a b c a b c
a b c a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b b c c a


      
        
     

      

Bất đẳng thức cuối cùng là đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh cũng
đúng.
Dấu “=” xảy ra  a = b = c.

Bài 44: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:
12
a b c
a b b c c a
   
  


Giải
Ta cần chứng minh hai bất đẳng thức:
1
2
a b c
a b b c c a
a b c
a b b c c a

  


  


  


  


Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


23

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:

 Chứng minh bất đẳng thức
1
a b c
a b b c c a
  
  
(1)
Vì a, b, c > 0 nên ta có:
1
aa
b c a b c
a b a b c
bb
b c a b c
b c a b c
c a a b c
cc
c a a b c

a b c a b c
b c b c c a a b c a b c a b c



  
   



     

  

   




  

      
        


 Chứng minh bất đẳng thức
2
a b c
b c b c c a
  

  

Đầu tiên, ta cần chứng minh một bất đẳng thức phụ:
x x z
y y z




với 0 < x < y và z > 0.
(Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp biến đổi
tương đương)
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

2
a c a
a b a b c
b a b a b c c a a b b c
b c a b c a b b c c a a b c a b c a b c
c b c
c a a b c




  

   

       


           





  


Bài 45: Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh:
a
3

+ b
3


1
4


Giải
Ta có: a
3

+ b
3

= (a + b)(a

2

− ab + b
2

) = a
2

− ab + b
2


Mà (a + b)
2

= 1  a
2

+ 2ab + b
2

= 1 (1)
(a − b)
2

 0  a
2

− 2ab + b
2

 0 (2)
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta có:
2(a
2

+ b
2

)  1  a
2

+ b
2


1
2

Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


24

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Lại từ (2)  2ab  a
2

+ b

2


1
2
 ab 
1
4
 − ab  −
1
4

Vậy a
3

+ b
3

= a
2

− ab + b
2


1
2
−
1
4

=
1
4
(đccm)
Dấu “=” xảy ra  a = b =
1
2

Bài 46: Chứng minh rằng, với a, b là hai số khác 0 và cùng dấu thì:
a
b
+
b
a
 2


Giải
Không mất tính tổng quát, giả sử a  b
Khi đó a = b + c (c  0)
Vì c  0 nên ta có:
   
2 2 2
1 1 1 2
a b b c b c b bc c b b bc
b a b b c b b c b b c b b c
   
          
   

Dấu “=” xảy ra  c = 0  a = b

Bài 47: Cho các số dương x, y có tổng không quá 1. Chứng minh:
22
11
4
x xy y xy




Giải
Áp dụng bất đẳng thức
1
a
+
1
b

4
a+b
(a, b > 0)
với a = x
2

+ xy > 0 và b = y
2

+ xy > 0:
 

2
2 2 2 2
1 1 4 4
4
x xy y xy x xy y xy
xy
   
    

(vì x + y  1)

Bài 48: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a
2

+ b
2

+ c
2

= 3. Chứng minh rằng: ab +
bc + ca + a + b + c  6.

Giải

Ta có: ab + bc + ca  a
2

+ b
2

+ c
2

= 3
Mà (a + b + c)
2

 3(a
2

+ b
2

+ c
2

) = 3.3 = 9  a + b + c  3
Tuyển tập 100 bài tập về Bất đẳng thức có lời giải chi tiết năm 2015 Lưu hành nội bộ!


25

Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Từ đó có đccm.
Bài 49: Với mọi số thực a, b, c chứng tỏ:
   
2
22

4
a
b c b a c c a b     


Giải
Giả sử
   
2
22
4
a
b c b a c c a b     

Khi đó, ta có:
   
2
22
2
22
2
4
20
4
0
2
a
b c b a c c a b
a
b c ab ac bc

a
bc
     
      

   



Điều này là vô lí vì x
2

 0 với mọi x  R.
Do đó giả sử sai. Vậy
   
2
22
4
a
b c b a c c a b     

Bài 50: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3 thì ta có bất đẳng thức
2
n

> 2n + 1.

Giải
1. Với n = 3 thì 2
n

= 2
3

= 8, 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7  2
n

> 2n + 1.
Mệnh đề đúng với n = 3.
2. Giả sử mệnh đề cũng đúng với n = k (k  N, k  3). Khi đó 2
k

> 2k + 1
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là
2
k+1

> 2(k + 1) + 1. Thật vậy, 2
k+1

= 2.2
k

> 2.(2k + 1) (theo giả thiết quy nạp)
 2
k+1

> 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 (vì k  3)
Vậy mệnh đề đúng với mọi k  3.
3. Kết luận: 2

n

> 2n + 1 với mọi n  N, n  3.

Bài 51: Chứng minh rằng:
2 2 2 2
1 1 1 1
01
234 n
    
với n  N, n  2

Giải

2 2 2 2
1 1 1 1
234
S
n
   

Hiển nhiên S > 0 vì tổng của (n − 1) số dương là một số dương