Chuyển pha kim loại – điện môi ở mô hình Anderson – Falicov – Kimball lấp đầy một nửa

BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Nguyễn Thị Huệ

CHUYỂN PHA KIM LOẠI - ĐIỆN MÔI Ở MÔ HÌNH
ANDERSON-FALICOV-KIMBALL LẤP ĐẦY MỘT NỬA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

Hà Nội- 2019


BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Nguyễn Thị Huệ

CHUYỂN PHA KIM LOẠI - ĐIỆN MÔI Ở MÔ HÌNH

ANDERSON-FALICOV-KIMBALL LẤP ĐẦY MỘT NỬA

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số

: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS Hoàng Anh Tuấn

Hà Nội -2019


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn này là do sự tìm tòi, học
hỏi của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy PGS.TS Hoàng Anh Tuấn.
Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được
trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì
một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên
bất kỳ một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lới cam đoan
trên.
Hà nội, tháng 04 năm 2019
Người cam đoan

Nguyễn Thị Huệ


Lời cảm ơn

Sau một thời gian học tập, nghiên cứu cùng với sự nỗ lực của bản thân
và sự giúp đỡ, hướng dẫn, động viên nhiệt tình của Quý thầy giáo, cô giáo
cũng như sự chia sẻ giúp đỡ của các bạn học viên trong lớp cao học, tôi đã
hoàn thành luận văn của mình.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hoàng Anh Tuấn, người
thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu khoa học và hoàn thiện bản luận văn này. Tôi xin
chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo của Viện Vật lý thuộc Viện Hàn lâm
khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy nhiệt tình và giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới lãnh đạo Viện Hàn lâm Khoa học và
Công nghệ Việt Nam, lãnh đạo Viện Vật Lý, Phòng sau Đại học đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này.Tôi xin bày tỏ lòng
cảm ơn sâu sắc tới các bạn lớp cao học K2017A- Viện Vật lý thuộc Viện Hàn
lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã đồng hành, giúp đỡ và hỗ trợ tôi
trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã luôn luôn động viên, giúp đỡ và chia sẻ với tôi trong suốt thời gian tôi làm
việc, học tập và nghiên cứu khoa học.
Mặc dù cũng có nhiều cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót. Kính mong sự góp ý, chỉ bảo của Quý thầy cô, cùng các bạn đọc để
luận văn của tôi được hoàn thiện hơn .
Hà nội, tháng 04 năm 2019
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Huệ


Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt
Viết tắt

Tiếng Việt

Tiếng Anh

FKM

Mô hình Falicov – Kimball

Falicov- Kimball Model

DMFT

Lý thuyết trường trung bình động

Dynamical Mean Field
Theory

LDOS

Mật độ trạng thái địa phương

Local Density of States

HFA

Gần đúng Hartree- Fock

Hartree – Fock
Approximation

MIT

Chuyển pha kim loại- điện môi

Metal- Insulator Transition

AFKM

Mô hình Anderson- FalicovKimball

Anderson- FalicovKimball Model )

TBC

Trung bình cộng

Arithmetic Average

TBN

Trung bình nhân

Geometric Average


Danh mục các hình vẽ, đồ thị
Hình 1.1. Cấu trúc vùng của vật liệu không trật tự; Ec là ngưỡng linh
động.................................................................................................................15
Hình 1.2. Minh họa: a) Sự phụ thuộc của độ dẫn vào nồng độ hạt tải ở bán

dẫn pha tạp Si:P [10]. b) Dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất
trật tự...............................................................................................................16
Hình 2.1. Lý thuyết trường trung bình động DMFT. Chất rắn được thay thế
bằng một nguyên tử trao đổi với các điện tử trong một môi trường tự hợp.
Thăng giáng lượng tử được tính đến đầy đủ, nhưng thăng giáng trong không
gian đã bị bỏ qua.............................................................................................26
Hình 2.2. Sơ đồ khối giải hệ phương trình DMFT bằng phương pháp lặp....29
Hình 2.3. Kết quả của DMFT cho d   , tại nhiệt độ T=0 và với tỷ số U/t*
1,2.5,3,4 ( từ trên xuống dưới)[17].................................................................30
Hình 3.1. Sơ đồ khối giải hệ phương trình DMFT bằng phương pháp
lặp....................................................................................................................38
Hình 3.2. Giản đồ pha điện tử ở mô hình Anderson- Falicov- Kimball lấp đầy
một nửa tại nhiệt độ không tuyệt đối, nhận được từ lời giải phương trình
(3.13)-(3.17)....................................................................................................44
Hình 3.3. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi (   0) như là hàm
của thông số đo độ mất trật tự ở w=0.5 và U=0.25........................................45
Hình 3.4. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi (   0) như là hàm
của thông số đo độ mất trật tự ở w=0.5 và U=0.75.......................................46


1

MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC…………………………………………………………………….1
MỞ ĐẦU...........................................................................................................3
CHƢƠNG 1.
TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH FALICOV- KIMBALL, ĐIỆN MÔI MOTTANDERSON VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠI- ĐIỆN MÔI.....................6
1.1. Mô hình Falicov- Kimball..........................................................................6
1.2. Phân loại kim loại và điện môi...................................................................8

1.2.1. Định nghĩa............................................................................................8
1.2.2. Phân loại điện môi………………………………………………......10
1.2.3.Chuyển pha kim loại- điện môi Mott……………………………......11
1.2.4. Định xứ Anderson……………………………..................................13
CHƢƠNG 2.
HÀM GREEN VÀ LÝ THUYẾT TRƢỜNG TRUNG BÌNH ĐỘNG (DMFT)
VÀ DMFT TUYẾN TÍNH HÓA……………………………………………17
2.1. Phƣơng pháp hàm Green………………………………………………..17
2.1.1 Định nghĩa hàm Green trễ G R , hàm Green sớm G A ………………...17
2.1.2. Một số dạng khác của các hàm Green………………………………19
2.1.3. Ví dụ hàm Green cho các điện tử không tƣơng tác………………...22
2.1.4. Tính chất cơ bản của hàm Green…………………………………....24
2.2. Lý thuyết trƣờng trung bình động……………………………………....25


2

2.2.1. Lý thuyết trƣờng trung bình động cho hệ đồng nhất……………….27
2.2.2 . Lý thuyết trƣờng trung bình động tuyến tính hóa DMFT…………31
CHƢƠNG 3.
GIẢN ĐỒ PHA KIM LOẠI- ĐIỆN MÔI Ở MÔ HÌNH ANDERSONFALICOV- KIMBALL LẤP ĐẦY MỘT NỬA.............................................34
3.1. Mô hình và hình thức luận........................................................................34
3.2. Kết quả thảo luận và tính số.....................................................................43
CHƢƠNG 4.
KẾT LUẬN.....................................................................................................47
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................48


3

MỞ ĐẦU
Nhƣ chúng ta đã biết, trong những năm gần đây cấu trúc và tính chất
của các hệ cô đặc không trật tự thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học
cũng nhƣ nhiều nhà vật lý. Lí do của nó cho thấy, thứ nhất xuất phát từ những
thành tựu của vật lý chất rắn và ứng dụng của nó. Thứ hai, chuyển động của
các hạt lƣợng tử có thể bị triệt tiêu hoặc thậm chí bị phá hủy bởi các tƣơng tác
và rối loạn Coulomb và bất trật tự, đó chính là những động lực thúc đẩy quá
trình chuyển pha kim loại - điện môi (MIT). Chuyển pha kim loại- điện môi
do sự tƣơng quan của các điện tử gọi là chuyển pha Mott hoặc MottHubbard. Chuyển pha kim loại - điện môi Mott- Hubbard đƣợc đặc trƣng bởi
một khe cấm tại mật độ của các trạng thái ở mức Fermi. Mặt khác, mất trật tự
trong vật rắn, chẳng hạn nhƣ tạp chất và nút trống, gây ra sự thay đổi lớn so
với tiên đoán của lý thuyết vùng năng lƣợng. Vào năm 1958, nhà vật lý ngƣời
Mỹ Anderson khi phân tích mô hình liên kết chặt không trật tự (sau này đƣợc
gọi là mô hình Anderson) đã chỉ ra rằng mất trật tự đủ lớn sẽ cản trở sự
khuyếch tán của hạt tải. Các quá trình tán xạ ngƣợc kết hợp làm cho các hạt
tải bị định xứ. Đặc biệt, sự định xứ của các trạng thái tại mức Fermi gây ra
chuyển pha kim loại - điện môi, gọi là chuyển pha Anderson. Ở định xứ
Anderson, đặc tính của phổ ở mức Fermi thay đổi từ liên tục sang rời rạc dày
đặc. Một điều hợp lí là cả hai MIT đều có thể phát hiện ra bằng cách biết một
đại lƣợng duy nhất đó là mật độ trạng thái địa phƣơng. Chuyển pha kim loại điện môi do sự tƣơng quan điện tử, hay còn gọi là chuyển pha Mott, thƣờng
đƣợc nghiên cứu thông qua mô hình lí thuyết tối thiểu. Mô hình này là mô
hình vi mô, miêu tả các thành phần cơ bản nhất đƣợc cho là nguyên nhân tạo
ra chuyển pha Mott.
Thông thƣờng mô hình này có hai thành phần: phần động năng mô tả
chuyển động của điện tử và phần tƣơng tác Coulomb mô tả khả năng định xứ
của điện tử. Một trong những mô hình nhƣ vậy và giải thích khá thành công
chuyển pha Mott là mô hình Hubbard [1]. Mô hình Hubbard do Hubbard,
Gutzwiller, Kanamori độc lập đề xƣớng vào những năm đầu của thập kỉ 60
của thế kỉ trƣớc. Mô hình Hubbard mô tả sự cạnh tranh giữa động năng và thế

4

năng trong mạng tinh thể là trọng tâm của vấn đề nghiên cứu MIT và vấn đề
tƣơng quan điện tử. Dạng giản lƣợc của mô hình Hubbard là FalicovKimball, khi một thành phần spin trong mô hình đóng băng và không chuyển
động [2]. Mô hình Falicov- Kimball đơn giản nhƣng nó vẫn mang những đặc
tính đặc trƣng của hệ điện tử tƣơng quan mạnh đặc biệt nó giải thích đƣợc sự
chuyển pha kim loại- điện môi Mott khi lấp đầy một nửa. Mô hình Falicov –
Kimball cùng với bất trật tự gọi là mô hình Anderson- Falicov- Kimball
(AFKM). Trong mô hình này các hạt linh động đƣợc phân bố trên các thế
ngẫu nhiên. Giản đồ pha kim loại - điện môi ở AFKM lấp đầy một nửa đã
đƣợc xây dựng bằng cách sử dụng lý thuyết trƣờng trung bình động (DMFT)
kết hợp với việc lấy trung bình nhân mật độ trạng thái địa phƣơng (LDOS)
trong công trình của Byczuk [3]. Phƣơng pháp này đƣợc gọi là lý thuyết môi
trƣờng điển hình.
Bản luận văn này có mục đích tìm hiểu về định xứ Anderson, chuyển
pha kim loại – điện môi Mott và dẫn giải chi tiết các công thức nhận đƣợc
trong công trình [3], qua đó hiểu rõ cách thức áp dụng lý thuyết môi trƣờng
điển hình cho hệ mà ở đó tƣơng quan điện tử và mất trật tự đồng thời có mặt.
Đề tài luận văn của tôi là: Chuyển pha kim loại - điện môi ở mô hình
Anderson- Falicov- Kimball lấp đầy một nửa.
Đề tài hƣớng tới những kết quả sau đây:
1) Tìm hiểu về chuyển pha kim loại – điện môi và phân loại điện môi, về lý
thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) và DMFT tuyến tính hóa.
2) Xây dựng giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình Anderson- FalicovKimball lấp đầy một nửa.
Phƣơng pháp lý thuyết đƣợc sử dụng trong luận văn là lý thuyết môi
trƣờng điển hình, trong đó kết hợp giữa DMFT và việc lấy trung bình nhân
mật độ trạng thái địa phƣơng. Để đơn giản hóa việc tính toán DMFT tuyến
tính cũng đã đƣợc áp dụng ở đây.

5

Bài luận văn của tôi có bố cục nhƣ sau:
Chƣơng 1: Chuyển pha kim loại – điện môi và phân loại điện môi.
Chƣơng 2: Lý thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) và DMFT tuyến
tính hóa.
Chƣơng 3: Giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình AndersonFalicov-Kimball lấp đầy một nửa.
Chƣơng 4: Kết luận


6

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH FALICOV- KIMBALL,
ĐIỆN MÔI MOTT- ANDERSON VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠIĐIỆN MÔI
Trong những năm gần đây, ngành khoa học vật liệu phát triển mạnh mẽ
đã tạo ra rất nhiều ứng dụng trong khoa học, kĩ thuật phục vụ cho lợi ích của
con ngƣời. Việc nghiên cứu tính chất của điện tử là một trong những nhiệm
vụ quan trọng nhất của vật lí chất rắn. Bởi vì điện tử là hạt mang điện, có khối
lƣợng bé, nó rất linh động và tham gia vào nhiều quá trình, quy định tính chất
của vật liệu. Tuy nhiên để mô tả đúng tính chất của điện tử trong tinh thể là
một công việc rất khó bởi vì ta cần phải xét một hệ gồm rất nhiều hạt tƣơng
tác với nhau: điện tử, lỗ trống, phonon, tạp chất…Khi ta tính toán phải lập và
giải phƣơng trình rất lớn đến nỗi các máy tính hiện đại ngày nay cũng không
thể giải đƣợc chính xác. Vì vậy ta cần phải đơn giản các phép toán bằng cách
sử dụng các phƣơng pháp tính gần đúng.
1.1. MÔ HÌNH FALICOV- KIMBALL [3]
Chuyển pha kim loại – điện môi do sự tƣơng quan của các điện tử gọi
là chuyển pha Mott. Và mô hình đơn giản nhất để mô tả hệ điện tử tƣơng
quan và chuyển pha Mott là mô hình Falicov - Kimball. Ở mô hình Hubbard

Hamiltonian có dạng:
H

1

 tijci†, c j  2 U  ni, ni, ,

i , j ,

(1.1)

i ,

trong đó ci† (c j ) là toán tử sinh (hủy) điện tử tại nút i và spin  , ni  ci† ci
biên độ nhảy nút tij không phụ thuộc vào spin. Một mô hình giản lƣợc từ mô
hình này có thể thu đƣợc bằng cách chỉ cho phép một trong hai loại spin nhảy
(chẳng hạn ( t  t , t  0 )). Đơn giản hóa này lần đầu tiên đƣợc thảo luận bởi
Hubbard và Gutzwiller nhƣ là một gần đúng cho mô hình đầy đủ. Sau đó nó
đƣợc xem xét bởi Falicov và Kimball [2] nhƣ là một mô hình cho chuyển tiếp
bán dẫn –kim loại trong các hệ nhƣ SmB6, V2O3 và Ti2O3 lấy tƣơng ứng các
hạt di động và cố định là điện tử -d và điện tử -f không spin. Sau đó Kennedy


7

và Lieb đã nghiên cứu nó nhƣ là một mô hình kết tinh của điện tử di động và
hạt nhân bất động. Các Hamiltonian cho “mô hình Hubbard giản lƣợc” này
còn gọi là mô hình “Falicov- Kimball”, có thể đƣợc viết bằng các hình thức
khác nhau.
H simp  t

†



ci c j  U  ni ni    ni

( Ri , R j )

 t


( Ri , R j )

Ri ,

Rj
†

(1.2)

d i d j  U  ni ni    d ni   f ni .
d

f

d

Ri

f

(1.3)

Ri

Do sự bất động của một trong các loại hạt fermion mà không có sự
truyền năng lƣợng giữa hai loại hạt ,  (hoặc d, f) tức là chúng không liên kết
động học. Đối với mô hình này, ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng khi nhiệt độ
đủ thấp và tại lấp đầy một nửa các hạt bất động sẽ tạo nên trật tự điện tích
dạng bàn cờ, ít nhất là một loại mạng lồng nhau.
Mặc dù đơn giản hóa đƣợc bổ sung trong (1.3) mô hình này vẫn còn
phức tạp- đặc biệt là với hệ lấp đầy khác một nửa. Tuy nhiên một cách giải
chính xác là có thể có ở d=  , nhƣ lần thứ nhất đƣợc thể hiện bởi Brandt và
Mielsch [4]. Các tác giả này đã sử dụng thực tế là phần chéo của năng lƣợng

 ii , chỉ phụ thuộc vào số hạng chéo Gii tại cùng một vị trí
Ri, tức là iiGii . Do đó  ii không phụ thuộc tƣờng minh vào dạng của
riêng tối giản

động năng, mà chỉ thông qua Gii . Hệ quả là dạng phiếm hàm của nó không
thay đổi ngay cả khi t k  0 tƣơng ứng với giới hạn nguyên tử. Do đó tại
d   mô hình Hubbard giản lƣợc có thể đƣợc xem nhƣ một vấn đề nguyên
tử (hoặc đơn hạt) với sự có mặt của một trƣờng tổng quát, phụ thuộc thời gian

i

iiGii   Giiat (i ) ,
at

ở đây “at” chỉ giới hạn nguyên tử, tức là với t=0.

(1.4)


8

Các trƣờng i sẽ đƣợc đƣa vào để



at

trở thành phiếm hàm tổng

quát của Giiat , chỉ liên kết với các điện tử di động. Với thủ thuật này vấn đề
đƣợc chia tách thành bài toán đơn hạt một có thể giải quyết đƣợc.
Một phƣơng pháp khác để đạt đƣợc lời giải chính xác cho mô hình
(1.3) đã đƣợc tìm ra bởi van Dongen và Vollhardt [5] cho mô hình có thêm số
hạng tƣơng tác gần nhì trên mạng Bethe. Họ chỉ ra rằng tại d   mọi con
đƣờng từ một nút Ri đến nút khác trên mạng tƣơng ứng với một toán tử thuần
nhất fermion c path . Điều này làm cho phép thay thế (1.2) bởi Hamiltonian
hiệu dụng tƣơng đƣơng:



†



MT
H simp
  H i c path , c path .
Ri

(1.5)

MT
Nghĩa là tại d   , H simp
có cùng động học nhƣ H simp . Rõ ràng, (1.5)

có dạng đơn nút, giống nhƣ mô hình Ising ở gần đúng trƣờng trung bình
Weiss tại d   . Cách tiếp cận này rất khác so với CPA tổng quát, cũng thể
hiện sự liên kết chặt chẽ giữa giới hạn d   với các lời giải đơn nút cho các
mô hình mạng fermion.
1.2. PHÂN LOẠI KIM LOẠI VÀ ĐIỆN MÔI [6]
1.2.1. Định nghĩa
Để phân biệt chất nào là kim loại, chất nào là điện môi, một đại lƣợng trực
quan nhất ngƣời ta hay sử dụng là độ dẫn điện. Ở các chất điện môi, độ dẫn
điện bằng không (không dẫn điện), trong khi đó các chất kim loại, nó khác
không (có dẫn điện). Bản chất dẫn điện của hệ là do sự dịch chuyển có hƣớng
của các hạt mang điện. Sự dịch chuyển chịu ba ảnh hƣởng cơ bản là:
* Trƣờng thế tạo ra bởi các ion
* Tƣơng tác Coulomb giữa các electron
* Tác dụng của từ trƣờng ngoài


9

Các hạt mang điện chuyển động khi có điện trƣờng ngoài thƣờng gắn

liền với sự chuyển động có hƣớng của không những của điện tích mà của cả
khối lƣợng, năng lƣợng, momen động lƣợng, xung lƣợng spin. Chính vì vậy,
sự chuyển động của các hạt mang điện trong vật liệu phụ thuộc vào thế của
các ion (tính chất từ của các ion, sai lệch mạng…), tƣơng tác điện tử- điện tử,
hay cả điện- từ trƣờng ngoài. Sự có mặt của trƣờng ngoài và sự chuyển động
của hạt mang điện dẫn tới hệ ở trạng thái không cân bằng nhiệt động. Tuy
nhiên, nếu coi trƣờng ngoài là nhỏ, ta có thể xét hệ ở trạng thái giả cân bằng.
Khi đó trƣờng ngoài có thể coi là một nhiễu loạn nhỏ và ta thu đƣợc mối liên
hệ giữa mật độ dòng J (q, ) và điện trƣờng ngoài E ( ,   1...D, D là số
chiều của hệ) đƣợc mô tả bằng định luật Ohm.
J (q,  )    (q,  ).E (q,  ) .

(1.2.1)



Áp dụng lí thuyết phản ứng tuyến tính ta thu đƣợc tensor độ dẫn  
qua hàm tƣơng quan. Ta sẽ dựa vào tính chất của   ( q, ) để xác định kim
loại, điện môi. Nhƣ đã trình bày ở trên, để phù hợp với bức tranh điểm giới
hạn lƣợng tử, ta chỉ định nghĩa trạng thái kim loại, điện môi ở nhiệt độ T=0,
một chất là điện môi khi độ dẫn điện tĩnh bị triệt tiêu

  DC (T  0)  lim lim lim Re  (q,  )  0
T 0  0 q 0

(1.2.2)

Ngƣợc lại, các chất kim loại là chất có   hữu hạn khi T=0, thƣờng thỏa mãn
công thức Drude cho tần số nhỏ (kim loại Drude).





Re   (T  0,   0)  ( Dc )


.
 (1   2 2 )

(1.2.3)

Trong đó ( Dc ) là trọng số Drude, là thời gian tán xạ trung bình của điện
tử với tạp. Trong lí thuyết Drude đơn giản ta có:
( Dc )  

e2n
 .
m*

(1.2.4)


10

Với e là điện tích của điện tử, n là nồng độ điện tử với khối lƣợng hiệu
dụng m* của chuẩn hạt. Nếu không có tán xạ electron, khi đó  1  0 ta lại
có bất biến tịnh tiến, vì vậy với kim loại là lí tƣởng ta viết đƣợc:





Re   (T  0,  0)  ( Dc )  (0) .

(1.2.5)

1.2.2. Phân loại điện môi
Nguyên nhân dẫn tới trạng thái điện môi của hệ là sự cản trở chuyển
động của hạt tải. Sự cản trở này do tƣơng tác của các điện tử với các giả hạt
lân cận. Chính vì vậy, do từng bản chất tƣơng tác của điện tử với các giả hạt
mà ngƣời ta có thể phân loại các dạng điện môi khác nhau. Hạn chế tại nhiệt
độ T=0 và trƣờng ngoài yếu cho phép chúng ta xác định hai loại điện môi cơ
bản là:
+ Loại 1: Điện môi do tƣơng tác giữa electron và ion
+ Loại 2: Điện môi do tƣơng tác giữa electron với electron
Điện môi loại 1 có thể giải thích bằng lí thuyết một electron, trong đó ba đại
diện cơ bản là:
* Điện môi vùng (band insulator) hay điện môi Bloch- Wilson: do tƣơng tác
điện tử với thế tuần hoàn của ion
* Điện môi Peierls: do tƣơng tác giữa điện tử với biến dạng của mạng tinh thể
* Điện môi Anderson: Do sự có mặt của mất trật tự do các tạp chất hoặc do sự
không lí tƣởng của mạng tinh thể, ví dụ nhƣ tƣơng tác của electron với tạp
chất và các sai hỏng mạng.
Sự xuất hiện pha điện môi do tƣơng tác lẫn nhau giữa các electron hoàn
toàn khác so với điện môi do tƣơng tác giữa các electron và ion vì phải sử
dụng đến lí thuyết hệ nhiều hạt. Với tƣơng tác này ta có điện môi thứ tƣ là :


11

* Điện môi Mott: do tƣơng tác điện tử với điện tử. Do hiệu ứng lƣợng tử
trong quan hệ nhiều hạt, khe năng lƣợng hình thành trong phổ kích thích của
điện tử mà ta có trạng thái điện môi. Tùy vào bức tranh tƣơng quan của hệ
điện tử mà ngƣời ta chia điện môi Mott thành các loại sau:
+ Điện môi Mott- Heisenberg: trạng thái điện môi tồn tại cùng với trật tự phản
sắt từ khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ Neel
+ Điện môi Mott – Hubbard: nếu cùng với tính chất điện môi còn có tính chất
trật tự điện tích
+ Điện môi Mott- Anderson: Khi trạng thái điện môi hình thành do tƣơng
quan điện tử có kèm với mất trật tự.
1.2.3. Chuyển pha kim loại- điện môi Mott [7]
Chuyển pha kim loại- điện môi (MIT) là một trong những hiện tƣợng
thú vị nhƣng khó khăn nhất trong nghiên cứu vật lí chất rắn. Những chất hoàn
toàn là điện môi nhƣ Si, Ge hay kim loại dẫn điện tốt nhƣ Au, Ag có thể mô tả
rất tốt bằng những lí thuyết đơn giản. Tuy nhiên, những tính chất vật lí thú vị
và đặc biệt có tính ứng dụng cao trong công nghệ hiện đại lại nằm ở những
hợp chất phức tạp có chuyển pha kim loại- điện môi Mott mà những lí thuyết
đơn giản không thể giải thích đƣợc. Ở gần điểm chuyển pha MIT các tính chất
vật lí thay đổi đột ngột khi ta thay đổi các điều kiện ngoài áp dụng vào hệ.
Các điều kiện ngoài có thể là áp suất, nhiệt độ hay điện - từ trƣờng ngoài. Chỉ
một thay đổi nhỏ của các điều kiện ngoài làm cho hệ thay đổi bản chất vật lí,
vì vậy nó mở ra ứng dụng rất lớn trong công nghệ. Lý thuyết đầu tiên mô tả
thành công các kim loại, điện môi và chuyển pha giữa chúng dựa trên hệ điện
tử không tƣơng tác hoặc tƣơng tác yếu. Theo đó tại độ không tuyệt đối, kim
loại và điện môi đƣợc phân biệt nhau thông qua sự lấp đầy của các vùng năng
lƣợng. Đối với điện môi vùng hóa trị đƣợc điện tử lấp đầy hoàn toàn và vùng
dẫn bỏ trống, trong khi đó ở kim loại vùng dẫn đƣợc lấp đầy một phần. Nói
cách khác, mức Fermi ở chất điện môi nằm trong khe cấm, còn ở kim loại nó
nằm trong vùng dẫn. Trong khuôn khổ của lí thuyết vùng năng lƣợng, sự hình

12

thành cấu trúc vùng năng lƣợng đƣợc quyết định hoàn toàn bởi tính tuần hoàn
của các nguyên tử trong tinh thể. Sự phân biệt cơ bản giữa kim loại và điện
môi trong lí thuyết này đƣợc thiết lập vào năm đầu tiên của cơ học lƣợng tử.
Tiếp theo đó vào những năm 1930 ngƣời ta công nhận rằng các chất điện môi
với khe cấm hẹp là chất bán dẫn do kích thích nhiệt của các điện tử.
Mặc dù lí thuyết vùng năng lƣợng đã thành công trên nhiều phƣơng
diện, năm 1937 de Boer và Verway đã cho thấy nhiều oxit kim loại chuyển
tiếp dù có lớp d bị lấp đầy một phần nhƣng lại là vật dẫn kém và thƣờng là
chất điện môi. Ví dụ điển hình là NiO. Liên quan đến vấn đề của tƣơng quan
điện tử: tƣơng tác đẩy Coulomb giữa các điện tử có thể là nguồn gốc hình
thành nên điện môi. Đây có thể xem là điểm khởi đầu của một lĩnh vực
nghiên cứu quan trọng trong vật lí chất đậm đặc: hệ điện tử tƣơng quan mạnh.
Từ đó tới nay nhiều nỗ lực và tiến bộ đã đƣợc thực hiện, cả lí thuyết lẫn
thực nghiệm, để hiểu rõ vì sao vật liệu với các vùng lấp đầy một phần có thể
là chất điện môi và chất điện môi có thể trở thành kim loại khi các thông số
điều khiển đƣợc thay đổi nhƣ thế nào. Trên phƣơng diện lí thuyết, Mott có
những bƣớc đi đầu tiên cho thấy tƣơng quan điện tử- điện tử có thể giải thích
thế nào về trạng thái điện môi, và chúng ta gọi nó là điện môi Mott. Ông đã
xem xét một mạng tinh thể với quỹ đạo đơn điện tử trên mỗi nút mạng. Khi
không có tƣơng tác điện tử - điện tử thì một vùng năng lƣợng đƣợc hình thành
từ sự chồng lấn của các quỹ đạo của nguyên tử trong hệ, trong đó vùng sẽ
đƣợc lấp đầy khi trên mỗi nút có hai điện tử với spin đối nhau. Tuy nhiên, khi
có hai điện tử ở trên cùng một nút thì chúng sẽ đẩy nhau bằng tƣơng tác
Coulomb, dẫn tới vùng này sẽ đƣợc tách làm đôi: phân vùng dƣới đƣợc hình
thành từ các điện tủ nhảy vào nút trống và phân vùng trên từ các điện tử nhảy
vào nút đã có sẵn một điện tử. Nhƣ vậy, với hệ lấp đầy một nửa, tức là hệ có

trung bình một điện tử trên một nút mạng, thì vùng dƣới đƣợc lấp đầy hoàn
toàn và hệ là điện môi. Ngoài ra Mott cũng cho rằng sự tồn tại trạng thái điện
môi không phụ thuộc vào trật tự từ trong hệ, trong đó Slater có quan điểm
ngƣợc lại khi giải thích pha điện môi xuất phát từ trật tự phản sắt từ.


13

Hai trong số các mô hình chủ yếu mô tả hệ điện tử tƣơng quan là mô
hình Hubbard thông thƣờng và mô hình Falicov- Kimball. Mô hình Hubbard
mô tả các điện tử linh động trên mạng với thông số nhảy nút t và tƣơng tác
đẩy Coulomb U của hai điện tử trên cùng một nút mạng. Tuy nhiên đây là
một mô hình đơn giản nhƣng nó chỉ đƣợc giải chính xác trong trƣờng hợp một
chiều hoặc hệ có số chiều bằng vô cùng. Ở trƣờng hợp số chiều vô hạn, lí
thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) chỉ ra rằng trạng thái cơ bản của hệ
lấp đầy một nửa, nếu không có hiện tƣợng vấp, là điện môi phản sắt từ với
mọi giá trị của U. Trong trƣờng hợp bị vấp, hệ nằm ở trạng thái kim loại bị
phá vỡ và hệ chuyển sang trạng thái điện môi Mott với một miền đồng tồn tại
giữa hai pha kim loại và điện môi.
Một mô hình quan trọng khác của hệ tƣơng quan mạnh là mô hình
Falicov- Kimball (FKM), đƣợc xem nhƣ mô hình Hubbard giản lƣợc khi các
hạt với một hƣớng spin nào đó có tham số nhảy nút bằng zero, tức là chúng
không chuyển động. Ở mô hình này đối xứng SU(2) của spin bị phá vỡ và lí
thuyết trƣờng trung bình động chỉ ra tại lấp đầy một nửa hệ nằm ở pha điện
môi phản sắt từ, và hiện tƣợng tách pha xảy ra tại hệ lấp đầy khác một nửa khi
tƣơng tác Coulomb U nhỏ.
Tƣơng tự ở mô hình Hubbard, chuyển pha kim loại- điện môi tại hệ lấp
đầy một nửa cũng xảy ra ở FKM khi U thay đổi. Điều khác biệt cơ bản giữa
hai mô hình là trong khi pha kim loại ở mô hình Hubbard đƣợc mô tả bởi
chất lỏng Fermi thì pha kim loại ở FKM là chất lỏng không Fermi.

1.2.4. Định xứ Anderson [8]
Năm 1958 Anderson công bố bài báo kinh điển (sau này đƣợc trao giải
thƣởng Nobel), trong đó ông chứng minh rằng, dƣới tác dụng của thế ngẫu
nhiên dáng điệu của hàm sóng electron có thể thay đổi một cách cơ bản, trở
thành định xứ, nếu độ ngẫu nhiên đủ mạnh [9].
Anderson xét một mô hình liên kết mạnh mô tả bằng Hamiltonian:


14

H    i ai†ai  V  ai†a j  hc ,
i

(1.2.6)

ij

trong đó ij ngụ ý chỉ tính đến tƣơng quan giữa các nút lân cận gần nhất; yếu
tố chéo  i là ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều:
1
 W nÕu   W
p ( )   2
0
nÕu   W .


Bài toán này có hai tham số: V đặc trƣng cho mức độ phủ nhau của hàm sóng
electron ở các nút lân cận gần nhất (khả năng lan truyền) và W là số đo mức
độ mất trật tự của hệ. Anderson chứng minh rằng, với mỗi loại mạng, tồn tại
một giá trị ngƣỡng (W/V)c mà nếu (W/V)<<(W/V)c thì trạng thái electron

trong hệ có thể lan truyền ra xa (trạng thái lan truyền – extended states), còn
nếu (W/V)>>(W/V)c thì trạng thái electron bị định xứ (localized states):
 (r )  exp  r  r0  /  ,

(1.2.7)

trong đó  là độ dài định xứ (localization length), kích thƣớc đặc trƣng của
trạng thái.
Anderson nhận đƣợc kết quả trên bằng sử dụng lý thuyết nhiễu loạn.
Sau này một lƣợng lớn các công trình tính toán số của nhiều nhà khoa học
khác đã khẳng định kết luận của Anderson, đồng thời cho giá trị cụ thể của
(W/V)c đối với các loại mạng khác nhau, chẳng hạn với mạng lập phƣơng đơn
giản W / V c  15 với hypercube bốn chiều W / V c  24
Mott là ngƣời đầu tiên đã mang lại cho mô hình Anderson một nội
dung vật lý cụ thể, làm cho nó trở nên “đo đƣợc”. Theo Mott, mất trật tự
(thăng giáng) dẫn đến xuất hiện các trạng thái trong vùng cấm. Các trạng thái
ở đuôi vùng (nơi mật độ trạng thái nhỏ) bị định xứ. Các trạng thái định xứ
phân tách với các trạng thái truyền qua bằng một ranh giới, gọi là ngƣỡng linh
động (mobility edge), nhƣ mô tả bằng Ec (trên hình 1.1)


15

Hình 1.1: Cấu trúc vùng của vật liệu không trật tự; Ec là ngưỡng linh động.
Nếu mức Fermi E f nằm trong miền các trạng thái truyền qua (Hình 1.1)
thì độ dẫn điện ở nhiệt độ không  T  0 của hệ có giá trị khác không. Còn,
nếu E f nằm trong vùng các trạng thái định xứ thì  T  0  0 . Bằng cách nhƣ
vậy, Mott đã gắn định xứ với  T  0 (là đại lƣợng đo đƣợc):  T  0 là hữu
hạn nếu (W/V)<< (W/V)c và  T  0  0 nếu (W/V)>> (W/V)c .
Hơn nữa, Mott còn đề xuất một cơ chế chuyển pha kim loại – điện môi.

Trong thực nghiệm, ngƣời ta có thể dịch chuyển vị trí mức Fermi E f bằng
thay đổi mật độ điện tử. Đồng thời, vị trí các ngƣỡng linh động cũng có thể xê
dịch bằng thay đổi nồng độ tạp. Thành ra, bằng thay đổi nồng độ tạp hoặc
thay đổi mật độ electron ta có thể thay đổi vị trí tƣơng đối giữa các mức
Fermi E f và ngƣỡng linh động, chuyển hệ từ trạng thái kim loại, ứng với mức
Fermi nằm trong vùng truyền qua và  T  0  0 sang trạng thái điện môi,
ứng với mức Fermi nằm trong vùng định xứ và  T  0  0 . Loại chuyển pha
kim loại – điện môi nhƣ vậy đã quan sát đƣợc chẳng hạn ở các bán dẫn pha
tạp (doped semiconductors) (Hình 1.2 bên dƣới)


16



T>0

T=0
Wc
(a)

W

(b)

Hình 1.2: Minh họa: a) Sự phụ thuộc của độ dẫn vào nồng độ hạt tải ở bán
dẫn pha tạp Si:P [10]. b) Dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất
trật tự.

17

CHƢƠNG 2. HÀM GREEN VÀ LÝ THUYẾT TRƢỜNG TRUNG
BÌNH ĐỘNG (DMFT) VÀ DMFT TUYẾN TÍNH HÓA
2.1. PHƢƠNG PHÁP HÀM GREEN [11]
Một trong những phƣơng pháp hữu hiệu để nghiên cứu vật lý hệ nhiều
hạt là sử dụng hàm Green vật lý để giải các phƣơng trình vi phân. Nó đƣợc
phát triển từ thế kỉ 19 nhằm tiếp cận các bài toán trong âm học, tĩnh học, thủy
động lực học. Vào những năm 1950 và 1960 các hàm Green lƣợng tử đƣợc
Feynman và Schwinger đề xuất nhƣ là các hàm truyền trong lý thuyết trƣờng
lƣợng tử. Ngay sau đó chúng đƣợc mở rộng cho vật lí thống kê và hệ nhiều
hạt. Những hàm truyền này chính là các hàm tƣơng quan liên kết giữa các vị
trí và các thời điểm khác nhau. Hàm Green vật lý có thể là hàm Green một hạt
hay hàm Green nhiều hạt. Khi hàm Green đƣợc xác định thì các tính chất vật
lý của hệ tƣơng ứng với các tính chất một hạt hay nhiều hạt cũng đƣợc xác
định theo. Trong phần này sẽ đƣa ra các định nghĩa về hàm Green trong vật lý
lƣợng tử đƣợc Zubarev đƣa ra vào năm 1960 để giải gần đúng các bài toán
trong vấn đề tƣơng quan mạnh.
Hàm Green hai thời gian thông thƣờng ở ba dạng: Hàm Green trễ, hàm
Green sớm và hàm Green nhân. Trong đó hàm Green trễ và hàm Green sớm
hay đƣợc áp dụng trong nghiên cứu các hệ vật lý cụ thể.
2.1.1. Định nghĩa hàm Green trễ G R , hàm Green sớm G A
Hàm Green trễ đƣợc định nghĩa là:
G R ( x, t; x ', t ')  i (t  t ')  ( x, t ), † ( x ', t ') 



.

(2.1)

Các kí hiệu trên là đối với các hạt boson, khi  A, B   A, B  là giao hoán tử.
Các kí hiệu dƣới là cho fermion, khi  A, B    A, B là phản giao hoán tử.
Hơn nữa, x  (r , ) , vì vậy mà  † ( x)   † (r ) sinh ra một hạt ở vị trí r với
một hình chiếu spin  (nếu hạt có spin).
Hàm Green sớm đƣợc xác định nhƣ sau:


18

G A ( x, t; x ', t ')  i (t ' t )  ( x, t ), † ( x ', t ') 



.

(2.2)

Chú ý rằng: G R ( x, t; x ', t ')  0 chỉ khi t>t’ và G A ( x, t; x ', t ')  0 chỉ khi tNgoài ra hai dạng khác của hàm Green, đƣợc gọi là “G- lớn hơn” và “G- nhỏ
hơn” cũng đƣợc định nghĩa là:
G  ( x, t; x ', t ')  i  ( x, t ) † ( x ', t ') .

(2.3)

G  ( x, t; x ', t ')  i()  † ( x ', t ') ( x, t ) .

(2.4)

Trong kí hiệu G< trên là cho fermion và dƣới là cho boson. Các hàm Green trễ

và hàm Green sớm sau đó có thể viết dƣới dạng:
G R ( x, t; x ', t ')   (t  t ') G  ( x, t; x ', t ')  G  ( x, t; x ', t ')  .
G A ( x, t; x ', t ')   (t  t ') G  ( x, t; x ', t ')  G  ( x, t; x ', t ')  .

(2.5)

(2.6)

Sau đây chúng ta sẽ làm rõ kí hiệu ..... và sự phụ thuộc thời gian ở
các công thức trên. Chúng ta sẽ xem xét một hệ vĩ mô ở trạng thái cân bằng
nhiệt động lực học tại nhiệt độ T (có thể bằng 0 hoặc khác 0). Kí hiệu .....
biểu diễn trung bình nhiệt động và trung bình lƣợng tử ở hệ này. Nói chung,
có hai kiểu tập hợp có thể mô tả trong hệ là: tập chính tắc và tập chính tắc lớn.
Trong tập chính tắc số hạt N trong hệ là ấn định, và hệ có thể trao đổi
năng lƣợng với nguồn. Năng lƣợng trung bình của hệ đƣợc xác định bởi nhiệt
độ T. Trung bình thống kê lƣợng tử của một toán tử tùy ý A trong tập này
đƣợc đƣa ra bởi:
A 

1
n A n e  En ,

Z n

(2.7)


19

ở đây n là trạng thái riêng của hệ mô tả bằng Hamiltonian H với giá trị riêng

En,  

1
và Z   n e  En là hàm phân bố. Chúng ta có thể viết giá trị kỳ
k BT

vọng trong một cơ sở độc lập bằng cách xác định ma trận mật độ.
1  H
e
Z

(2.8)

Z  Tre  H

(2.9)



Và

Với định nghĩa này, chúng ta có thể viết:
A  Tr (  A) .

(2.10)

Trong tập chính tắc lớn hệ không có số hạt ấn định. Thay vào đó, hệ hạt có
thể trao đổi (ngoài năng lƣợng) với nguồn. Nhƣ vậy chúng ta cần một tham số
khác (ngoài nhiệt độ T), cụ thể là thế hóa học  , xác định số hạt trung bình
trong hệ, ma trận mật độ của tập này đƣợc xác định bởi:

1   ( H  N )
e
.
Z

(2.11)

Z  Tre  ( H  N ) .

(2.12)



Trong đó N là toán tử số hạt. Với những định nghĩa của  và Z nhƣ trên, ta
lại có:
Z  Tre  H .

(2.13)

Đánh giá thực tế vết này là thuận tiện khi sử dụng cơ sở bao gồm các trạng
thái riêng của toán tử H-  N . Lƣu ý rằng tổng số hạt trong một trạng thái
riêng này là xác định (khi H bảo toàn tổng số hạt), nhƣng có thể là một số
không âm tùy ý.
2.1.2. Một số dạng khác của các hàm Green