Giản đồ pha điện tử ở mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa

BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Vũ Thị Vân

GIẢN ĐỒ PHA ĐIỆN TỬ Ở MÔ HÌNH
ANDERSON – HUBBARD LẤP ĐẦY MỘT NỬA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

Hà Nội - 2019


BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Vũ Thị Vân

GIẢN ĐỒ PHA ĐIỆN TỬ Ở MÔ HÌNH

ANDERSON – HUBBARD LẤP ĐẦY MỘT NỬA

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS Hoàng Anh Tuấn

Hà Nội- 2019


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi
của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy PSG.TS Hoàng Anh Tuấn.
Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được
trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ
một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên
bất kỳ một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan
trên

Hà Nội, tháng 04 năm 2019
Tác giả luận văn

Vũ Thị Vân


Lời cảm ơn
Sau một thời gian học tập, nghiên cứu với sự nỗ lực của bản thân và sự

hướng dẫn, động viên của Quý thầy giáo, cô giáo cùng sự chia sẽ giúp đỡ của
các bạn trong lớp cao học, tôi đã hoàn thành luận văn của mình.
Để hoàn thành luận văn cao học và trở thành người biết phương pháp
nghiên cứu khoa học, tôi xin gởi đến thầy hướng dẫn trực tiếp tôi PGS.TS
Hoàng Anh Tuấn lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu quý cũng
như lòng kính trọng của mình. Thầy không chỉ trang bị thêm cho tôi những
kiến thức mới mà còn giảng lại cho tôi những kiến thức tôi chưa hiểu kĩ, thầy
tận tình chỉ tôi bước đầu phương pháp nghiên cứu khoa học để tôi làm quen
và có thể độc lập ứng dụng trong quá trình làm việc sau này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo của Viện Vật lý thuộc
Viện Hàn lâm khoa học và công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Tôi chân thành cảm ơn tới Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện
Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giải quyết kịp thời các công
văn, thủ tục cần thiết tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ học
tập và bảo vệ thành công luận văn của mình.
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các bạn lớp cao học K2017A – Viện Vật
lý đã đồng hành, giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu
khoa học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới gia đình, đồng nghiệp, bạn bè
đã động viên, chia sẻ với tôi trong suốt thời gian tôi làm việc, học tập, nghiên
cứu và hoàn thiện luận văn.

Hà Nội, tháng 04 năm 2019
Tác giả luận văn

Vũ Thị Vân


Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

Chữ viết tắt

Tên đầy đủ

MIT

Chuyển pha kim loại – điện môi

DMFT

Lý thuyết trường trung bình động

TDOS

Mật độ trạng thái điển hình

TMT

Lý thuyết môi trường điển hình

L-DMFT

Lý thuyết trường trung bình động tuyến tính hóa

LDOS

Mật độ trạng thái địa phương

CPA

Gần đúng thế kết hợp

TBN

Trung bình nhân

TBC

Trung bình cộng

AIM

Mô hình tạp Anderson


Danh mục các hình vẽ, đồ thị
Hình 1.1. Sơ đồ cấu trúc vùng năng lượng………………………………………..6
Hình 1.2. Bức tranh về phân vùng năng lượng trong hai trường hợp………....8
Hình 1.3. Bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi Mott trong trường hợp
lấp đầy một nửa……………………………………………………………………….9
Hình 1.4. Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái tại mức Fermi vào tỷ số
U/T……………………………………………………………………………………...9
Hình 1.5. Sơ đồ hiệu ứng của bất trật tự………………………………………....10
Hình 1.6. Độ dẫn của hệ mất trật tự. (a) kết quả từ thực nghiệm sử dụng bán
dẫn pha tạp Si:P cho thấy chuyển pha loại hai. (b) Sơ đồ dáng điệu điển hình
của độ dẫn như là hàm của bất trật tự 8……………………………………….11
Hình 1.7. Cấu trúc điển hình của vùng mất trật tự. Ec ký hiệu biên linh động
ngăn cách giữa các trạng thái lan truyền và định xứ…………………………..12
Hình 1.8. Bất trật tự giới hạn như là hàm của năng lượng, Wc(E), hay là
đường cong biên linh động của mô hình Anderson 9…………………………13

Hình 2.1. Trong lý thuyết trường trung bình, môi trường của một nút nhất
định được biểu diễn bằng một môi trường hiệu dụng, được biểu thị bằng
“hàm phổ hốc của nó” i(). Trong một hệ mất trật tự, i() cho các nút
khác nhau có thể khác nhau, phản ánh hiệu ứng định xứ Anderson………….21
Hình 2.2. a) Mật độ trạng thái  ( ) =− Im G. Kết quả của DMFT cho
d →  , tại nhiệt độ T = 0 và với tỉ số U t* = 1,2.5,3,4 ( từ trên xuống). b)

Đồ thị của DMFT cho mô hình Hubbard trong hệ lấp đầy một nửa. T t * là
nhiệt độ, U t* là thế Coulomb trên nút 14……………………………………24
Hình 2.3. Sơ đồ pha cho mô hình “bán tròn”17……………………………..28
Hình 3.1. Giản đồ pha điện tử ở mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một
nửa tại nhiệt độ không tuyệt đối. Chọn W = 1 làm đơn vị năng lượng……....40
Hình 3.2. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi như là hàm của  khi
U = 0.5………………………………………………………………………………..41
Hình 3.3. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi như là hàm của  khi
U = 1.5………………………………………………………………………………..42


MỤC LỤC
MỤC LỤC ......................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 8
CHƯƠNG 1. CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ
ANDERSON ................................................................................................... 10
1.1. LÍ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN .................... 10
1.1.1. Nguyên lí hình thành các vùng năng lượng .................................. 10
1.1.2. Cấu trúc vùng năng lượng trong bức tranh một hạt ...................... 11
1.1.3. Thành công và hạn chế của lý thuyết vùng năng lượng ............... 13
1.2. MÔ HÌNH HUBBARD VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN
MÔI 8 ………….. .................................................................................... 13
1.3. CHUYỂN PHA KIM LOẠI ĐIỆN MÔI ANDERSON ...................... 16

CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ
ANDERSON ................................................................................................... 21
2.1. SƠ LƯỢC VỀ HÀM GREEN 11 ...................................................... 21
2.1.1. Định nghĩa hàm Green trễ Gr và hàm Green sớm Ga. ................... 21
2.1.2. Tính hàm Green bằng phương trình chuyển động. ....................... 23
2.1.3. Ví dụ: Tính hàm Green của hệ điện tử không tương tác từ phương
trình chuyển động. ................................................................................... 24
2.1.4. Tính chất của hàm Green không phụ thuộc vào thời gian. ........... 25
2.2. LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH ....................................... 26
2.2.1. Lý thuyết trung bình động cho hệ đồng nhất. ............................... 26
2.2.2. Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson ............... 31
CHƯƠNG 3. GIẢN ĐỒ PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI Ở MÔ HÌNH
ANDERSON – HUNBBARD LẤP ĐẦY MỘT NỬA .................................. 35
3.1. MÔ HÌNH VÀ HÌNH THỨC LUẬN .................................................. 35
3.2. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN ............................................ 46
CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN …………………………………………………..44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 45


8
MỞ ĐẦU
Sự phát triển của lý thuyết lượng tử vật lý hệ cô đặc đã phát hiện ra
nhiều cơ chế khác nhau gây ra chuyển pha kim loại – điện môi. Những cơ chế
quan trọng nhất có thể kể đến đó là cấu trúc vùng của chất rắn, sự có mặt của
mất trất tự và tương quan mạnh giữa các điện tử. Chuyển pha kim loại – điện
môi do sự tương quan của các điện tử gọi là chuyển pha Mott. Và mô hình
chủ yếu để mô tả hệ điện tử tương quan và chuyển pha Mott là mô hình
Hubbard. Mặt khác, mất trật tự trong vật rắn, chẳng hạn như tạp chất và nút
trống, gây ra sự thay đổi lớn so với tiên đoán của lý thuyết vùng năng lượng.
Đặc biệt, sự định xứ của các trạng thái tại mức Fermi gây ra chuyển pha kim

loại – điện môi, gọi là chuyển pha Anderson. Mặc dù từng hiện tượng được kể
đến ở trên, tương quan và mất trất tự, tự bản thân nó là những thách thức cho
các nhà nghiên cứu thực nghiệm cũng như lý thuyết và vẫn đang là đối tượng
được nghiên cứu tích cực, nhưng rõ ràng là mô hình thực tế của vật liệu đòi
hỏi phải xem xét đồng thời cả hai hiệu ứng này. Mô hình tổng quan để nghiên
cứu ảnh hưởng của mất trật tự và tương quan điện tử gọi là mô hình Anderson
– Hubbard (AHM).
Ở mô hình này chuyển pha kim loại – điện môi (MIT ) tại lấp đầy
không nguyên đã phát hiện bởi Byczuk và các cộng sự 1,2 bằng lý thuyết
trường trung bình động (DMFT). Họ đã chỉ ra rằng tại độ lấp đầy đặc biệt
bằng nồng độ pha tạp x hoặc bằng x + 1, sự tương hỗ giữa các hiệu ứng tách
vùng do mất trật tự và chuyển pha Mott do tương quan điện tử dẫn đến một
kiểu chuyển pha kim loại – điện môi mới. Kết quả tương tự cũng thu được
bằng phương pháp mô phỏng Monte – Carlo và chéo hóa chính xác 3. Giản
đồ pha kim loại – điện môi như là hàm của  và U, trong đó  là độ chênh
lệch năng lượng ở hai loại nút trong mô hình, tại T = 0K đã được nghiên cứu
bằng sự kết hợp của hai phương pháp lý thuyết trường trung bình động và gần
đúng thế kết hợp CPA 4. Tuy nhiên, giản đồ pha thu được trong các công
trình trên được cho là không đầy đủ vì kiểu lấy trung bình số học của các đại
lượng ngẫu nhiên một hạt trong các gần đúng DMFT và CPA không thể phân


9
biệt được trạng thái định xứ và trạng thái lan truyền và do vậy không thể mô
tả được chuyển pha Anderson.
Việc tìm kiếm thông số trật tự có thể phân biệt được trạng thái định xứ
và trạng thái lan truyền trong chuyển pha Anderson là một thách thức chủ yếu
khi nghiên cứu hệ điện tử không trật tự. Trái với trung bình cộng (arithmetic
average), trung bình nhân (geometrical average) đưa ra một xấp xỉ tốt hơn cho
giá trị khả dĩ nhất của mật độ trạng thái định xứ. Dobrosavljevic và các cộng

sự 18 đã phát triển lý thuyết môi trường điển hình (TMT) để nghiên cứu các
hệ không trật tự, trong đó mật độ trạng thái điển hình (TDOS) được xấp xỉ
bằng cách lấy trung bình hình học theo các cấu hình không trật tự, thay cho
mật độ trạng thái lấy trung bình số học. TDOS triệt tiêu một cách liên tục khi
độ lớn của mất trật tự tiến đến giá trị tới hạn và nó có thể dùng làm thông số
trật tự hiệu dụng trung bình cho chuyển pha Anderson. Giản đồ pha (U , ) tại
T = 0K đối với mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa thu được từ lý
thuyết môi trường điển hình cho định sứ Anderson (TMT) cho trường hợp V i
tuân theo phân bố đều trên đoạn  − 2,  2 bao gồm 3 pha: kim loại, điện
môi Mott (có khe cấm) và điện môi Anderson (không có khe cấm) đã được
thực hiện trong khuôn khổ của TMT với các phương pháp giải khác nhau đối
với bài toán tạp ở các công trình 5-7. Bản luận văn này có mục đích tìm hiểu
về định xứ Anderson đồng thời dẫn giải chi tiết các công thức thu nhận được
trong công trình 7, cũng như kiểm tra lại tính chính xác của DMFT tuyến
tính hóa được sử dụng trong công trình này.
Bản luận văn của em có tiêu đề “Giản đồ pha điện tử ở mô hình
Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa”. Ngoài phần mở đầu và kết luận, bản
luận văn gồm ba chương như sau:
Chương 1: Chuyển pha kim loại – điện môi và định xứ Anderson.
Chương 2: Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson.
Chương 3: Giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình Anderson –
Hubbard lấp đầy một nửa.


10
CHƯƠNG 1. CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ
ANDERSON
1.1. LÍ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN
1.1.1. Nguyên lí hình thành các vùng năng lượng
Theo lý thuyết lượng tử về cấu tạo nguyên tử (mẫu nguyên tử Bohr).

Theo mẫu này thì trong một nguyên tử riêng biệt:
Các điện tử chỉ có thể nằm trên các mức năng lượng gián đoạn nhất
định nào đó gọi là các mức năng lượng nguyên tử.
Mỗi nguyên tử phải nằm trên một mức năng lượng khác nhau (nguyên
lý loại trừ Pauli).
Một mức năng lượng được đặc trưng bởi một bộ gồm 4 số lượng tử: n,
l , m, s, trong đó:
n = 1, 2, 3,… (số lượng tử chính)
l = 0, 1, 2, 3,….., (n-1) (số lượng tử quỹ đạo)
m = - l , -( l -1), ….., ( l -1), l (số lượng tử từ)
s = +1/2, - 1/2 (số lượng tử spin)
Thực tế cho thấy rằng vị trí năng lượng của một mức chủ yếu chỉ do n
quyết định, do đó người ta đưa ra khái niệm lớp ( các mức có cùng một giá trị
của m) và kí hiệu các lớp bằng K (n = 1), L (n = 2), M ( n= 3),…Ngoài ra,
trong tất cả các lớp người ta cũng thấy rằng các mức năng lượng có cùng giá
trị của l bao giờ cũng nằm rất gần nhau, do đó nên người ta đưa ra thêm khái
niệm lớp con (các mức có cùng giá trị của n và cùng giá trị của l ) và ký hiệu
các lớp con này bằng cách viết giá trị bằng số của n (1, 2, 3…) kèm theo giá
trị của l ký hiệu bằng chữ: s(l = 0), p(l =1), d(l =2)… và tùy chọn có thể kèm
thêm số điện tử thuộc lớp con này viết dưới dạng số mũ của l .
Để có một vật liệu có thể xét bức tranh tưởng tượng về N nguyên tử
giống hệt nhau đang ở cách xa vô tận tiến lại gần nhau, khi đó:


11
Khi các nguyên tử nằm xa nhau đến mức có thể coi chúng là hoàn toàn
độc lập với nhau thì vị trí các mức năng lượng của chúng hoàn toàn trùng
nhau.
0

Khi các nguyên tử nằm gần nhau cỡ A (cỡ 10-10m) thì các hàm sóng
của các điện tử trong các nguyên tử có sự chồng phủ lên nhau và ta không thể
tiếp tục coi chúng là độc lập nữa. Kết quả là các mức năng lượng nguyên tử
thôi không còn trùng chập nữa mà bị tách ra thành các vùng năng lượng.
Mỗi một mức năng lượng tách ra thành một vùng.
Mỗi vùng gồm N mức con nằm sít nhau và có thể coi như phổ năng
lượng của chúng phân bố gần như liên tục.
Sự tách một mức năng lượng nguyên tử ra thành một vùng năng lượng
rộng hay hẹp phụ thuộc vào sự phủ hàm sóng giữa các diện thuộc các nguyên
tử khác nhau với nhau nhiều hay ít.
Giữa các điện tử nằm trên các lớp ngoài của nguyên tử, nhất là các điện
tử hóa trị, có sự phủ hàm sóng mạnh, do đó vùng năng lượng lúc này rộng.
Các điện tử nằm trên các lớp càng sâu bên trong bao nhiêu thì sự phủ
hàm sóng càng yếu đi bấy nhiêu (do bị các điện tử bên ngoài che chắn và
vùng năng lượng đối với các lớp càng nằm sâu bên trong thì càng hẹp lại)
Xen giữa các vùng năng lượng được phép (vùng dẫn) là vùng cấm, nói
chung không có các điện tử có các giá trị năng lượng nằm trong vùng cấm
này.
1.1.2. Cấu trúc vùng năng lượng trong bức tranh một hạt
Theo nguyên lý năng lượng tối thiểu thì trong nguyên tử các mức năng
lượng thấp hơn bao giờ cũng được lấp đầy trước. Do đó các vùng năng lượng
tương ứng với các mức năng lượng của các điện tử nằm bên trong nguyên tử
(có mức năng lượng thấp hơn) bao giờ cũng được lấp đầy trước, chỉ còn vùng
ngoài (vùng hóa trị) là có thể chưa được lấp đầy hoàn toàn. Từ đó dựa trên cơ
sở vùng hóa trị được lấp đầy bao nhiêu, người ta phân loại các chất rắn thành
kim loại, bán dẫn, điện môi và bán kim loại như hình 1.1


12
Nếu vùng hóa trị được điện tử lấp đầy hoàn toàn và nằm cách xa vùng

năng lượng được phép tiếp theo, thì ta có chất điện môi, tức là chất cách điện.
Nếu vùng hóa trị mới chỉ được các điện tử lấp đầy một phần hoặc vùng
hóa trị đã được lấp đầy hoàn toàn nhưng lại chồng lên hoặc liền ngay với
vùng năng lượng tiếp theo (thường được gọi là vùng dẫn) thì ta có chất dẫn
điện hay ta gọi là kim loại hoặc bán kim loại.
Trong trường hợp tuy vùng hóa trị cũng đã được các điện tử lấp đầy
hoàn toàn nhưng vùng này lại khá gần với vùng dẫn, chỉ cách vùng dẫn bằng
một vùng cấm tương đối hẹp để sao cho về nguyên tắc các kích thích nhiệt
cũng có thể kích thích điện tử từ vùng hóa trị nhảy lên vùng dẫn (Eg  0,3 
3eV) thì ta có chất bán dẫn.

Hình 1.1. Sơ đồ cấu trúc vùng năng lượng.
Các chất rắn về mặt độ dẫn điện được phân loại như trên do hiện tượng
dẫn điện xảy ra trong chất rắn như sau:
Sự dẫn điện về bản chất là chuyển động của các điện tử trong tinh thể.
Nếu xét theo bức tranh vùng năng lượng thì đó là hiện tượng điện tử nhảy từ
mức năng lượng thấp hơn lên mức năng lượng cao hơn.
Vì các vùng bên trong đều bị lấp đầy nên trong các vùng này các điện
tử không thể nhảy lên các mức cao hơn được. Do đó chỉ có vùng ngoài cùng
(vùng hóa trị) là quan trọng nhất xét về tính chất dẫn điện.


13
1.1.3. Thành công và hạn chế của lý thuyết vùng năng lượng
*) Thành công
+ Giải thích được tại sao chất rắn là chất dẫn điện, chất bán dẫn hoặc chất
cách điện.
+ Thiết lập quan hệ giữa các tính chất của vật liệu và nguyên tử.
+ Giải thích sự tồn tại của các hạt có điện tích dương (lỗ trống) và giải thích
khái niệm khối lượng hiệu dụng.

+ Phép gần đúng một electron không thể tính đến các hiệu ứng tập thể như
hiện tượng sắt từ, siêu dẫn và sự chuyển pha do năng lượng toàn phần của
electron.
*) Hạn chế: Khi số điện tử ngoài cùng là lẻ thì mức trên cùng không được lấp
đầy và theo lý thuyết vùng năng lượng thì đó là kim loại. Nhưng trên thực tế ở
một số chất, như NiO2, hoặc hợp chất khác mặc dù lớp electron ở ngoài cùng
là lẻ mà chúng lại là điện môi. Điều này chứng tỏ sự hạn chế của lý thuyết
này.
MÔ HÌNH HUBBARD VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN
MÔI [8]
Trong mục này chúng ta xem xét chuyển pha kim loại - điện môi trong
mô hình Hubbard . Ở đây MIT được chia thành hai loại: Chuyển pha do hệ số
lấp đầy và chuyển pha do độ rộng vùng.
Để hình dung cơ chế của chuyển pha kim loại – điện môi Mott chúng ta
khảo sát các phân vùng Hubbard tạo bởi Hamiltonian.
1.2.

H=

U

 Tijci+, c j , + 2  ni, ni,− .

i , j ,

(

i ,

)

Ở đây ci+, c j , là toán tử sinh (hủy) electron tại nút i với spin  ,
U là tương tác Coulomb của 2 electron cùng nằm trên 1 nút mạng.

* Trường hợp 1: U = 0 Hamiltonian có dạng H =i , j , Tij ci+, c j , .


14
Bài toán chuyển về giới hạn khảo sát chuyển động của electron trong
trường tinh thể. Bài toán này có thể giải bằng phương pháp gần đúng liên kết
mạnh trong vật lí chất rắn.
Vùng năng lượng có dạng:
E (k ) =



( R j − Ri )

Tij e

ik ( R j − Ri )

= T0 − T0  eikh .
h

Trong đó h là vecto nối hai nút liền kề, T0 = -Tij với hai nút liền kề và
coi như nhau tại mọi nút. Nếu mạng D chiều đối xứng, cách đều với hằng số
mạng a thì

E (k ) = T0 − T0



j =1...D

e

ik j a

= T0 − 2T0



j =1...D

cos(k j a).

Kết quả là electron chuyển động trong các vùng năng lượng có độ rộng
ZT0 với Z = 2D là số phối vị.
* Trường hợp 2: Ti≠j = 0 hay Tij = T0δij giống như trường hợp giới hạn
nguyên tử. Mỗi nút có hai mức năng lượng khả dĩ là T0 và T0 + U.
()

()

T0 T0+2DT0
a) U = 0



T0

T0+U



b) Ti≠j = 0 hay Tij = T0δij

Hình 1.2. Bức tranh về phân vùng năng lượng trong hai trường hợp hình a, b.
* Trường hợp tổng quát: UTi≠j ≠ 0, kết hợp cả hai trường hợp trên ta
suy ra bức tranh về phân vùng Hubbard: mỗi nút chứa hai mức năng lượng T 0
và T0 + U. Khi xét đến sự nhảy nút thì các mức năng lượng này bị nhòe và
mở rộng thành các vùng năng lượng với độ rộng ZT 0. Các vùng này gọi là


15
phân vùng (hay vùng con) Hubbard. Ta có thể mô tả chuyển pha kim loại –
điện môi Mott ở trạng thái lấp đầy một nửa như sau:
Khi U > UC hai phân vùng tách nhau, xuất hiện khe năng lượng giữa
hai phân vùng, mật độ trạng thái tại mức Fermi ρ(εF) = 0, vật liệu là điện môi
(Hình 1.3.a).
Khi U = UC = ZT0, hai phân vùng chạm nhau, xuất hiện chuyển pha
kim loại – điện môi (Hình 1.3.b).
Khi U < UC có sự chồng lấn của hai phân vùng, ρ(εF) ≠ 0, vật liệu là
kim loại (Hình 1.3.c).
()

()

F

T0

T0+U 

a) ρ(εF) = 0

F

T0

()

T0+U 
b) ρ(εF) = 0

F

T0

T0+U
c) ρ(εF) ≠ 0



Hình 1.3. Bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi Mott trong trường hợp
lấp đầy một nửa
* Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào tỷ số U/T như hình 1.4.
(F)

(U/T)C
U/T
Hình 1.4. Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái tại mức Fermi vào tỷ số U/T.


16
Khi U tăng thì ρ giảm từ một giá trị hữu hạn đến không. Như vậy, hàm
ρ liên tục tại điểm chuyển pha. Vì vậy mô hình suy ra từ Hamiltonian
Hubbard như trên cho ta chuyển pha liên tục hay chuyển pha bậc 2. Tuy
nhiên, điều này chỉ đúng tại nhiệt độ bằng 0K.
1.3.

CHUYỂN PHA KIM LOẠI ĐIỆN MÔI ANDERSON

Không cần bất cứ tương tác nào, bất trật tự tự nó cũng có thể dẫn tới
chuyển pha kim loại – điện môi, và nó được gọi là chuyển pha kim loại - điện
môi Anderson, hay là định xứ Anderson. Chúng ta có thể hình dung về điều
này như sau: Khi không có bất trật tự, tinh thể tuần hoàn và trạng thái riêng
của điện tử là các trạng thái Bloch, độ dẫn là đạn đạo. Nếu bất trật tự xuất
hiện ở mức độ yếu, độ dẫn trở thành khuếch tán do sự tán xạ, và lý thuyết
Drude thông thường hữu dụng. Tuy nhiên, nếu bất trật tự đủ lớn, nó có thể
bẫy các điện tử nhờ tán xạ nhiều lần, dẫn tới không còn sự dẫn điện nữa. Bằng
cách như vậy, bất trật tự có thể tạo nên MIT. Vì rằng các điện tử là các sóng
lượng tử, sẽ thích hợp khi cho rằng định xứ Anderson là một hiệu ứng giao
thoa hơn là một sự va chạm nhiều lần giữa các hạt. Ta cũng có nhận xét thêm
rằng cách thức trên có thể được áp dụng không chỉ cho các điện tử mà còn
cho bất kỳ một loại sóng khác. Sự sắp xếp ngẫu nhiên của các điểm mạng có
thể được xem như một thế ngẫu nhiên bổ sung vào thế tuần hoàn ban đầu của
tinh thể (Hình 1.5)
Đạn đạo

Khuếch tán

Định xứ

Bất trật tự
Hình 1.5. Sơ đồ hiệu ứng của bất trật tự.
Hiệu ứng tương tự có thể được thực hiện qua việc bơm các tạp chất mà
ở đó sự sai khác giữa thế do các nguyên tử tạp phân bố ngẫu nhiên và do các


17
nguyên tử của mạng tinh thể có thể được xem như thế bổ sung ngẫu nhiên.
Nếu nồng độ pha tạp thấp, và do vậy thang năng lượng của thế bổ sung ngẫu
nhiên nhỏ, thì hiệu ứng của nó có thể tính theo nhiễu loạn, và mô hình Drude
mô tả sự khuếch tán áp dụng rất tốt. Mặt khác, khi nồng độ pha tạp đủ lớn,
thang năng lượng của thế ngẫu nhiên lớn hơn động năng, thì các điện tử sẽ bị
bẫy bởi các tạp. Trong một hệ cô đặc tất nhiên các kích thích nhiệt có thể bứt
các điện tử khỏi bẫy, vì thế hiện tượng này chỉ dẫn đến chuyển pha thực sự
sắc nét tại nhiệt độ không tuyết đối. Tại nhiệt độ hữu hạn ta chỉ có thể tìm
thấy sự xuyên chéo (crossover) (Hình 1.6.b).


T>0

T=0
Wc
(a)

W

(b)

Hình 1.6. Độ dẫn của hệ mất trật tự. (a) kết quả từ thực nghiệm sử
dụng bán dẫn pha tạp Si:P cho thấy chuyển pha loại hai. (b) Sơ đồ
dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất trật tự 9.
Phân loại chuyển pha Mott rõ ràng không phải là vấn đề tầm thường.
Vào cuối những năm 1970 Mott cho rằng nếu mô hình Drude hữu dụng thì bất
trật tự chỉ làm giảm quãng đường tự do trung bình mà nó không thể nhỏ hơn
hằng số mạng a. Điều này dẫn tới độ dẫn Drude tối thiểu, dẫn tới giả thiết
chuyển pha là loại một. Tuy nhiên, một vài năm sau, độ dẫn nhỏ hơn giới hạn
Mott đã được tìm thấy ở bán dẫn pha tạp, Si: P. Trên hình 1.6.a chỉ ra rằng độ
dẫn giảm rất nhanh ở gần nồng độ pha tạp tới hạn, và nó có thể nhỏ hơn hai
bậc so với giới hạn Mott, dẫn tới giả thiết chuyển pha là loại hai. Hình 1.6.b


18
chỉ ra sơ đồ hành xử của độ dẫn như là hàm của trật tự. Nếu bất trật tự, W,
nhỏ (miền kim loại), tại T=0 ta thấy độ dẫn giảm khi bất trật tự tăng. Độ dẫn
tiến tới không tại giá trị bất trật tự tới hạn W c, và với W > Wc nó vẫn bằng
không, nghĩa là ta có miền điện môi.
Một trong những mô hình đơn giản nhất mô tả hệ mất trật tự là mô
hình liên kết chặt được Anderson xem xét sau đây:

(

)

H = −t  ai†a j + H .c. +   i ni .
ij

i

Trong đó <ij> ngụ ý chỉ tính đến tương quan giữa các nút lân cận nhất,
thông thường đơn vị của năng lượng được lấy là tích phân nhảy nút t = 1, yếu
tố chéo i là ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều có độ rộng W, đối xứng qua
điểm 0. Vì rằng Hamiltonian đối xứng theo năng lượng, vì thế trong nhiều
trường hợp chỉ cần xét E  0.
Nếu W đủ lớn, số hạng chéo của Hamiltonian chiếm ưu thế, và các
trạng thái định xứ tại nút mạng. Nếu W nhỏ, các yếu tố không chéo (động
năng) chiếm ưu thế, và các trạng thái lan truyền khắp cả hệ. Tuy nhiên, trong
trường hợp này cũng có những trạng thái định xứ trong hệ được ngăn cách với
trạng thái lan truyền bởi ngưỡng linh động Ec (Hình 1.7).

Hình 1.7. Cấu trúc điển hình của vùng mất trật tự. Ec ký hiệu biên linh
động ngăn cách giữa các trạng thái lan truyền và định xứ.
Lý do tồn tại ngưỡng linh động có thể được giải thích như sau: Giả sử
có trạng thái định xứ trong miền năng lượng của các trạng thái lan truyền.
Theo lý thuyết nhiễu loạn, với sự thay đổi vô cùng bé của bất trật tự ngẫu


19
nhiên thì trạng thái định xứ sẽ lại (kết hợp) với các trạng thái lan truyền để
tạo nên một trạng thái lan truyền mới. Thậm chí không có một chứng minh
chặt chẽ đối với các trạng thái định xứ nằm gần đuôi vùng và các trạng thái
lan truyền nằm ở giữa vùng, nhưng hầu như điều đó đã xảy ra. Mặt khác, tiếp
cận mỗi đuôi vùng, khi vượt quá năng lượng tới hạn E, ta có gọi là đuôi
Lisfschitz chứa các trạng thái định xứ mạnh. Trong miền này mật độ trạng
thái giảm nhanh, điển hình theo hàm mũ

( − B( ( E−E )) ).
DOS ( E ) = Ae




Hình 1.7 giải thích vì sao một vật liệu mất trật tự với vùng không lấp
đầy có thể là một chất điện môi. Nếu mức Fermi EF nằm ở miền định xứ, các
điện tử gần EF định xứ mạnh do sự dẫn điện không thể xảy ra. Bây giờ ta thay
đổi mức Fermi, chẳng hạn đặt vào đây một điện thế, ta có thể dịch EF đến
miền lan truyền, khi đó ta có thể đo được một độ dẫn hữu hạn. Trong việc tính
toán lý thuyết đôi khi sẽ là thuận lợi hơn nếu ta ấn định năng lượng E và thay
đổi bất trật tự. Khi bất trật tự tăng, các ngưỡng linh động bắt đầu dịch chuyển
về tâm vùng, và nó đạt tới giá trị năng lượng kiểm định tại một giá trị của
năng lượng, Wc(E). Đường cong Wc(E) thường được gọi là đường cong
ngưỡng linh động, và với mô hình mô tả bởi Hamiltonian nó được cho trên
hình 1.8

Hình 1.8. Bất trật tự giới hạn như là hàm của năng lượng, Wc(E), hay
là đường cong biên linh động của mô hình Anderson 10.


20
Khi bất trật tự tăng ngưỡng linh động chuyển động ra xa tâm vùng, tuy
nhiên trong lúc đó vùng cũng mở rộng ra khi bất trật tự tăng. Sau đó nó trở
lại, và chuyển động nhanh, dẫn tới trong một khoảng rộng, 0  E  4.0,
ngưỡng linh động gần như không đổi. Tại giá trị tới hạn, Wc  16.5, ngưỡng
linh động đạt giá trị 0. Điểm này thường được gọi là điểm tới hạn của hệ, vì
khi bất trật tự vượt giá trị này, W > Wc, toàn vùng chỉ chứa các trạng thái định
xứ. Quỹ đạo của ngưỡng linh động là liên tục, do vậy số trạng thái lan truyền

thay đổi một cách liên tục theo bất trật tự nếu như mật độ trạng thái là liên
tục. Bởi vì các trạng thái lan truyền gắn liền với độ dẫn của hệ, từ đó suy ra
rằng độ dẫn cũng thay đổi liên tục theo bất trật tự, nghĩa là một lần nữa ta có
chuyển pha kim loại hai.


21
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH
XỨ ANDERSON
2.1. SƠ LƯỢC VỀ HÀM GREEN [11]
2.1.1. Định nghĩa hàm Green trễ Gr và hàm Green sớm Ga.

( )

(

G r t , t ' = −i t − t '

( )

(

G a t , t ' = i t ' − t

)

 A(t ) , B t '  .

 −

)

 A(t ) , B t '  .

 −

()

(2.1.1)

()

(2.1.2)

Trong đó  ( x ) là hàm bậc thang, tức là
𝜃(𝑥) = {

1 𝑣ớ𝑖 𝑥 > 0
là hàm bước Heaviside.
0 𝑣ớ𝑖 𝑥 < 0

Ở đây ... là kí hiệu lấy trung bình thống kế của hệ, tức là

X =

(

trong đó H là Hamiltonian của hệ,  =

(

)

)

1
Tr e−  H X ,
Z

1
là nhiệt độ nghịch đảo và
T

Z = Tr e −  H là hàm phân hoạch của hệ.

()

A ( t ) và B t '

là toán tử phụ thuộc thời gian trong biểu diễn

Heisenberg và tiến hóa theo quy luật

()

A ( t ) = eiHt Ae −iHt ; B t ' = eiHt Be −iHt .

(2.1.3)

Ký hiệu ...− là giao hoán tử hay phản giao hoán tử, có nghĩa là

 A, B− = AB −  BA.

(2.1.4)


22
Với  = 1 tương ứng với giao hoán tử  A, B  = AB − BA . Trong đó A, B
là các toán tử boson hay có dạng boson( toán tử có dạng boson là toán tử có
dạng là tích số của các toán tử boson hay có dạng là tích số của số chẵn lần
các toán tử fermion)
Với  = −1 tương ứng với phản hoán tử  A, B = AB + BA . Trong A, B
là các toán tử fermion hay có dạng fermion (toán tử có dạng fermion là toán
tử có dạng là tích số của số lẻ lần các toán tử fermion)
Từ định nghĩa ta thấy hàm Green trẽ luôn bằng 0 khi t  t  và hàm
Green sớm luôn bằng 0 khi t  t  .
Hàm Green trễ và hàm Green sớm còn được ký hiệu như sau:
r a
G ( ) ( t , t) =

A( t ) B (t)

r( a )

(2.1.5)

.

Ký hiệu này thường được gọi là ký hiệu của Zubarev đưa ra năm 1960.
Đối với hệ cân bằng (tức là Hamiltonian không phụ thuộc vào thời

gian) hàm Green hai thời gian chỉ phụ thuộc vào hiệu số giữa hai thời gian
Ta xét hàm Green trễ:
G r ( t , t  ) = −i ( t − t  )  A ( t ) , B ( t  ) 

(

(2.1.6)

)

= −i ( t − t  ) A ( t ) B ( t  ) −  B ( t  ) A ( t ) .

Mặt khác ta có:

(
(

)

1
Tr e −  H A ( t ) B ( t  )

1
= Tr e−  H eiHt Ae−iHt eiHt Be −iHt

1
iH t −t
−iH t −t 
= Tr e−  H e ( ) Ae ( ) B .


A( t ) B ( t) =

(

)

)

(2.1.7)


23
Như vậy hàm Green trễ (2.1.6) chỉ phụ thuộc vào hiệu t − t  . Tương tự
như vậy cho hàm Green sớm.
Như vậy đối với hệ cân bằng thì hàm Green hai thời gian chỉ phụ thuộc
vào hiệu số giữa hai thời gian G ( t , t  ) = G ( t − t  ) .
Vì vậy ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier thuận nghịch
G ( t − t) =



d
−i ( t −t  )
.
 2 G ( ) e
−

G ( ) =



 dtG ( t ) e

it

(2.1.8)

.

(2.1.9)

−

2.1.2. Tính hàm Green bằng phương trình chuyển động.
Phương trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian có thể nhận
được bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian cho hàm Green.
Xét hàm Green trễ
i

G ( t − t  )  ( t − t  )
 A ( t )

=
, B (t)
 A ( t ) , B ( t  )  − − i i
t
t
 t
 −

i

i

G ( t − t )
=  ( t − t )  A, B − − i ( t − t  )  A, H ( t ) , B ( t  )
−
t

G ( t − t )
=  ( t − t )  A, B − +
t

 A, H (t ) B (t)

.

(2.1.10)

Với hàm Green sớm ta cũng thu được phương trình chuyển động giống
như vậy.
Phương trình (2.1.10) được gọi là phương trình chuyển động cho hàm
Green theo thời gian.
Lấy ảnh Fourier cho phương trình (2.1.10) ta thu được


24

 AB



=  A, B − +

 A, H  B



.

(2.1.11)

Phương trình (2.1.11) được gọi là phương trình chuyển động cho hàm
Green nhưng viết dưới dạng tần số.
2.1.3. Ví dụ: Tính hàm Green của hệ điện tử không tương tác từ
phương trình chuyển động.
Xét hệ các hạt fermion không tương tác có Hamiltonian như sau:
H 0 =   k ck† ck .

(2.1.12)

k

Trong đó ck† và ck là toán tử sinh và hủy hạt fermion có xung lượng
k ,  k là hệ thức tán sắc của hạt fermion.

Phương trình chuyển động cho hàm Green fermion có dạng

 ck ck†





= ck , ck†



+

= 1 + ck , H 

ck , H  c†
k
ck†





(2.1.13)

.

Vì toán tử ck† , ck là toán tử fermion nên  =− 1 . Tính giao hoán tử
giữa ck và H


ck , H  = ck ,   p c† c ps  =   p ck , c † c ps 

ps
ps


 ps 
ps

(





=   p ck , c†ps cks − c †ps ck , c ps
ps

)

(2.1.14)

=   p k p s c ps =  k ck .
ps

Thay (2.1.14) vào (2.1.13) ta thu được phương trình chuyển động như
sau:


25

 ck ck†



=1 +  k

ck ck†



.

(2.1.15)

Phương trình này tự khép kín và ta thu được nghiệm của phương trình
(2.1.15) là

ck ck†



=

1
.
 − k

(2.1.16)

2.1.4. Tính chất của hàm Green không phụ thuộc vào thời gian.
Xét hàm Green có dạng G ( z ) =

1
.
z−H

Nếu toán tử H có phổ gián đoạn thì G ( z ) = 
n

1
n n .
z − En

()

 
 n r *n  r 


 .
Hay trong r - biểu diễn thì G  r , r ; z  = 
z − En

 n
Vì trị riêng của H là En trong tổng và E trong tích phân luôn là thực,
do đó hàm Green G ( z ) giải tích khắp nơi trên mặt phẳng phức trừ những
điểm z trùng với trị riêng của H trên trục thực.
Nếu z trùng với trị riêng gián đoạn En của H thì hàm G ( z ) không xác
định. Tuy nhiên tại các lân cận z = E  i thì hàm Green luôn giải tích với
mọi   0 dù nhỏ. Khi đó ta có hai hàm Green giới hạn





G  r , r ; E  = lim+ G  r , r ; E  i  .

  →0 



Các hàm Green G  r , r  ; E  có quan hệ trực tiếp với mật độ trạng thái.



Đó là đại lượng quan trọng nhất trong vật lý chất rắn.
Sử dụng đồng nhất thức ta được: