Thi chon HSG 11 cấp trường

THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC
Thời gian làm bài : 90 phút
*********
Câu 1. Cho dãy số (u
n
) xác đònh bởi:






∈
+
=
=
+
*
1
1
,
1
1
Nn
u
u
u
u
n
n
n

a) Xét tính đơn điệu và tính bò chặn của dãy số (u
n
) .
b) Tính limu
n
.
Câu 2. Cho tam giác ABC, đặt a = BC , b = CA , c = AB. Chứng minh rằng :
Dãy số a, b, c là cấp số cộng khi và chỉ khi dãy số
2
cot,
2
cot,
2
cot
C
g
B
g
A
g
là cấp số
cộng .
Câu 3. Tính các giới hạn :
a) A =
2222
2222
)2(...642
)12(...531
lim

n
n
n
++++
−++++
∞→
b) B =
n
n
n
5...551
3...331
lim
2
2
++++
++++
∞→
b) C =
)cos1(
cos1
lim
0
xx
x
x
−
−
→
d) D =

(
)
xxxx
x
29327lim
2
3
23
−−+
±∞→
Câu 4. Cho phương trình : atg
2
x + btgx + c = 0 (1) , với 2a + 3b + 6c = 0 .
Chứng minh rằng phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng







+
π
π
π
kk
4
;
,
Zk

∈∀
.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a ,mặt
bên SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD) .
a) Tính các khoảng cách : d[O,(SBC)] , d[A,(SCD)] , d(AC,SB)
b) Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
c) Mặt phẳng (P) chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD) cắt hình chóp đã cho
theo thiết diện hình gì ? Tính diện tích thiết diện theo a .
**********************