Đề thi và đáp án thi chọn HSG toán 8 trường Lê Quý Đôn

PHềNG GIO DC V O TO BM SN
TRNG THCS Lấ QUí ễN
THI CHN I TUYN TON 8 NM HC 2007-2008
Ln 1
Thi gian: 120 phỳt ( Khụng k thi gian giao )
Bi 1: (3) Choa,b,c l cỏc s hu t khỏc 0 tha món a + b + c = 0
Chứng minh rằng: M=
2 2 2
1 1 1
a b c
+ +
là bình phơng của một số hữu tỷ
B i 2 :(5)
Rút gọn biểu thức sau và tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên :
M =
2 2
2 2 3 2
2 2 1 2
1
2 8 8 4 2
x x x
x
x x x x x




ữ
ữ
+ +

Bài 3: (3)
Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh :3 4 5
x x x
+ =
Bi 4:(6)
Cho tam giỏc ABC cú
ã
0
120BAC =
. Cỏc phõn giỏc AD,BE v CF .
a) (3)
Chng minh rng
1 1 1
AD AB AC
= +
b) (3) Tớnh
ã
FDE
Bi 5(3)
Cho a, b, c l cỏc s khụng õm v khụng ln hn 2 tha món a+b+c =3
Chng minh rng:
2 2 2
5a b c+ +
- Ht -
PHềNG GIO DC V O TO BM SN
TRNG THCS Lấ QUí ễN
P N BI THI CHN I TUYN TON 8 NM HC 2007-2008
Ln 1
Thi gian: 120 phỳt ( Khụng k thi gian giao )

B i 1 : (3 )
Ta có:
2 2 2
1 1 1
a b c
+ +
=
( )
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
a b c
a b c ab bc ac a b c abc a b c
+ +

+ + + + = + + = + +
ữ ữ ữ ữ

Vậy M là bình phơng của một số hữu tỷ ( 3)
B i 2 ( 5 )
M =
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2
2 2 2
.
4 2 2
2 4

x x x x x
x x x x
x


ữ

ữ
+
+

M =
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 1
2 2
.
2 4 4 2
x x
x x x
x
x x x

+

ữ
+
ữ
+ +

M =
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2
4 4 4
2 4 2 1 2 1
. .
2 2 4 2 4 2
x x x x
x x x x x x x
x x
x x x x
+ +
+ + +

=
+ +
M =
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
4
2 1
1
.
2
2 2 4
x x
x x
x
x
x
x x
+
+
+
=
+
( 3)
Để M xác định thì
( )

2
2
2
2 8 0
4 ( 2) 0
0
x
x x
x

+


+






0
2
x
x





(*)

Khi đố M nguyên thì 2M nguyên hay
1x
x
+
nguyên . Mà
1x
x
+
=1+
1
x


Z
x

Ư(1)=
{ }
1;1
Với x=-1 thoả mãn (*) và M = 0

Â
Với x = 1 thoả mãn (*) và M = 1

Â
Vậy x=1; x=-1 thoả mãn điều kiện bài ra .(2)
Bi 3 ( 3)
Phng trỡnh ó cho cú th vit li l :
3 4
1

5 5
x x

+ =
ữ ữ


Ta thy x = 2 l nghim ca phng trỡnh (0,25)
Vi
2x
ta xột
Nu x>2 thỡ
3 4
1
5 5
x x

+ >
ữ ữ

( 0,75)
Với x<2 dễ thấy x=0 và x=1 không phải là nghiệm của phương trình (0,5đ)
Với x<0 ta đặt x = -y thì y > 0 nên
1y ≥
Ta có
3 4 3 4 5 5
1 1 1
5 5 5 5 3 4
x x y y y y− −
           

+ = ⇔ + = ⇔ + =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
           

phương trình này vô nghiệm vì
5 5 5 5
1
3 4 3 4
y y
   
+ ≥ + >
 ÷  ÷
   
( 1,5đ)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =2
Bài 4: (6đ)
a)Từ B kẻ BK // AC cắt AD tại K
ta có tam giác ABK đều
Do đó
( )
1 1 1
.
AC
AB DB DK AB AD
AB AD AC AB AD
DC DA AD AD AB AC
−
= = = ⇒ = − ⇒ = +
( Cho 3 đ)
b)Áp dụng tính chất đường phân giác tính được

.BC AB
BD
AB AC
=
+
( cho 0,5đ)
Từ (a) suy ra
.AB AC
AD
AB AC
=
+
( 0,25đ)
Suy ra:
DA CA EA
DB CB EB
= =
nên DE là phân giác của
·
BDA
(cho 1,25đ)
Chứng minh tương tự được DF là phân giác
·
ADC
( cho 0,5đ)
Từ đó suy ra
·
0
90EDF =
(cho 0,5đ)

Bài 5: (3đ)
Từ giả thiết ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 0 8 2 4 0a b c ab bc ca a b c abc− − − ≥ ⇔ + + + − + + − ≥
( 1đ)
Cộng hai vế với
2 2 2
a b c+ + ,sau đó thu gọn ta được
( )
2
2 2 2 2 2 2
4 5a b c a b c abc a b c abc+ + ≥ + + + + ⇔ + + + ≤
(1đ)
Mà
0abc ≥
nên
2 2 2
5a b c+ + ≤ (0,5đ)
Dấu bằng xảy ra khi trong ba số a,b,c có một số bằng 0, một số bằng 2 và một số
bằng 1( cho 0,5đ)
D
I
A
B
C
K
F
E
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỈM SƠN
TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2007-2008
Thời gian làm bài: 120 phút
( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(6đ )
Cho biểu thức:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3 2 2
2
3 2
2 10 5 3 3 2
: .
2 1 2 1 1
1 1
1 1 2
x
x x
P
x x x
x x x x
x x x
 
 
+
− −
 ÷
= + + −
 ÷

 ÷
 ÷
+ − −
+ + + +
 
+ + −
 ÷
 
 
 
a) ( 3 đ ) Rút gọn P
b) (3đ )Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P có giá trị là bội của 4
Bài 2: ( 3 đ )
Cho x, y >0 thỏa mãn điều kiện
2 3 3 4
x y x y+ ≥ +
Chứng minh rằng:
3 3
2x y+ ≤
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
Bài3 ( 3đ )
Cho số A = 11…11122…2225
( Có 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2)
Chứng minh rằng A là số chính phương
Bài 4: ( 6 đ )
Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho
1
3
AM
AB

=

và
2
3
AN
AC
=
Gọi D là giao điểm của BN và CM và E là giao điểm của MN và BC
a) ( 3 đ )Tính
EB
EC
b) ( 3 đ ) Tính tỷ số diện tích của tứ giác AMDN và tam giác ABC.
Bài 5(2 đ ):
Cho h×nh thang c©n ABCD cã ®¸y lín AB b»ng ®êng chÐo AC v CD à
2
= 2BC
2
.
Tính
·
BAD
======================= Hết ( Đề thi có 05 Bài gồm 7 câu )======================
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỈM SƠN
TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2007-2008
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1:(6đ ) a) ( 3 đ ) Rút gọn P
( )
( ) ( )

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
3 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
2
3 2
2 10 5 3 3 2
: .
2 1 2 1 1
1 1

1 1 2
10 1 3 1 1 3 1 1
3 6 2 10 2
: (1,5 )
1
1 1 1 1 2 1 1 1
2 1 1 1
2 2 4
10
1 1
x
x x
P
x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x
P d
x
x x x x x x x
x x x
x x
P
x
x x
 
 
+
− −

 ÷
= + + −
 ÷
 ÷
 ÷
+ − −
+ + + +
 
+ + −
 ÷
 
 
 
 
− + − + − + +
+ − −
 ÷
= + ×
 ÷
−
+ + + + − + +
 
− + +
+ −
= ×
+ +
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )

( )
2
2 2
2
8 2
2 2 1 2 1
2
(1,5 d)
1 2 2 2
10 6 6
4 4
x x
x x x
x x x x
x
x
+ −
+ − −
× = = =
− + − −
− − −
−
b) (3đ )Tìm x
∈ ¢
để P có giá trị là bội của 4
Điều kiện :
1x
≠ ±
;
2x

≠ ±
( 0,5 đ)
Để P nguyên thì
( )
2 1
2
2 2
x
x x
−
∈ ⇒ ∈
− −
¢ ¢
x⇒ ∈
Ư(2) =
{ }
1; 2± ±
( 1,25 đ)
Với x-2=1 thì x = 3 khi đó P = 4 thỏa mãn ( 0, 25 đ)
Với x-2 = -1 thì x= 1 không thỏa mãn ĐKXĐ ( 0, 25 đ)
Với x-2 = 2 thì x=4 khi đó P = 3 không thỏa mãn ( 0, 25 đ)
Với x-2 = -2 thì x= 0 khi đó P = -1 không thỏa mãn ( 0, 25 đ)
Vậy x = 3 thỏa mãn điều kiện bài ra ( 0, 25 đ)
Bài 2: ( 3 đ ):
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:
3 2
2x x x+ ≥ và
2 4 3
2y y y+ ≥
( 0,5đ )

Do vậy
3 2 4 2 3
2 2x x y y x y+ + + ≥ +
( 0,25đ)
( ) ( )
2 2 3 2 3 3 4 2 3
x y x y x y x y x y⇒ + ≥ + + + − − ≥ +
( Do
2 3 3 4
x y x y+ ≥ +
) ( 0,5đ)
Mà
2 4 2
1 2 ; 1 2x x y y+ ≥ + ≥
( 0, 5đ)
Nên
2 4 2 2 3 2 3 3 4
1 1 2 2 2 2x y x y x y x y x y+ + + ≥ + ≥ + ≥ + + +
( 0,5 đ)
Do vậy
3 3
2x y+ ≤
( 0, 25đ)
Dấu bằng xẩy ra khi x = y = 1 ( 0, 5 đ)
Bài 3: ( 3 đ ) CMR A = 11…11122…2225 là số chính phương
Ta có 9A = 100. . .00100 . . .0025 ( Cho 0,75đ)
2004số0 2005số 0
9A = 100 . . . 00 + 100 . . .00 + 25 ( Cho 0,75đ )
4012số0 2007số0
9A = 100. . .00

2
+ 2.5.100. . .00 + 5
2
( Cho 0,75 đ )
2006số0 2006số0
9A =
( )
2
2006
10 5+
là số chính phương ( Cho 0,75 đ)