Đề thi HSG môn Toán lớp 11

Đề thi học sinh giỏi cấp trờng
năm học 2009 2010
Môn: Toán khối 11
Thời gian 120 phút (Không kể thời gian giao đề).
Câu I:(5 điểm).
Cho phơng trình:
02sincossin
44
=+++
mxxx
(1).
1. Giải phơng trình (1) khi m =
2
1
.Khi đó tính tổng tất cả các nghiệm thuộc [1;100]
của phơng trình.
2. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
Câu II: (5 điểm).
1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác
nhau. Tính tổng tất cả các số trên.
2. Chứng minh:
1
1
1
1
1
1
+
+
+

=
+
k
n
k
n
C
n
C
k
. áp dụng tính tổng:
n
nnn
o
n
C
n
CCC
1
1
...
3
1
2
1
21
+
++++
.
Câu III: (5 điểm).

1. Tính giới hạn:
1
7523
lim
2
3 232
1

+++

x
xxxx
x
2. C/m rng phng trỡnh
3 2 4
1 4 3 0( ) ( )m x x x + =
luụn cú ớt nht hai nghim vi
mi giỏ tr ca m.
Câu IV: (5 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác
đều, SC = SD =
3a
. Gọi H, K lần lợt là trung điểm SA, SB. M là một điểm thuộc cạnh
AD. Mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N.
a. Chứng minh HKNM là hình thang cân.
b. Đặt AM = x (
ax

0
). Tính diện tích hình thang cân HKNM theo a,x. Tìm vị trí

của M để diện tích trên bằng
16
153
2
a
.
-----------------Hết-----------------
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.