Phương pháp tính toán chỉ số.DOC

Phơng pháp tính toán chỉ số
Phơng pháp tính toán chỉ số khá giống với nhiều thuật toán phân tích thừa số tốt
nhất. Trong phần này sẽ xét tóm tắt về phơng pháp. Phơng pháp này dùng một cơ
sở phân tử là một tập chứa các số nguyên tố nhỏ. Giả sử = { p
1
, p
2
, , p

} Bớc
đầu tiên ( bớc tiền xử lý ) là tìm logarithm của B số nguyên tố trong cơ sở phần tử
bằng cách dùng hiểu biết về các log của phần tử trong cơ sở.
Trong quá trình tiền xử lý, ta sẽ xây dựng C = B + 10 đồng d thức theo
modulo p nh sau:
1 j C. Cần để chú ý rằng, các đồng d này có thể viết tơng đơng nh sau:
X
j
a
1j
log

p
1
+ + a
Bj
log

p
B
( mod p - 1)
1 j C. C đồng d thức đợc cho theo B giá trị log

p
i
( 1 i B ) cha biết. Ta hy
vọng rằng, có một nghiệm duy nhất theo modulo p - 1. Nếu đúng nh vậy thì có thể
tính các logarithm của phần tử theo cơ sở phần tử.
Làm thế nào để tạo các đồng d thức có dạng mong muốn ?. Một pơng pháp
sơ đẳng là chọn một số ngẫu nhiên x, tính
x
mod p và xác định xem liệu
x
mod
p có tất cả các thừa số của nó trong hay không. (Ví dụ bằng cách chia thử ).
Bây giờ giả sử rằng đã thực hiện xong bớc tiền tính toán, ta sẽ tính giá trị
mong muốn log

bằng thuật toán xác xuất kiểu Las Vegas. Chon một số ngẫu
nhiên s ( 1 s p - 2) và tính:
=
s
mod p
Bây giờ thử phân tích theo cơ sở . Nếu làm đợc điều này thì ta tính đợc đồng d
thức dạng:


s
p
1
c1

p
2
c2
p
B
cb
( mod p)
Điều đó tơgn đơng với

log

+ s c
1
log

p
1
+ + c
B
log

p
B
(mod p -1)
vì mọi giá trị đều đã biết trừ giá trị log

nên có thể dẽ dàng tìm đợc log

.
Sau đây là một ví dụ nhỏ minh hoạ 2 bớc của thuật toán.

Ví dụ 5.4
Giả sử p =10007 và = 5 là một phần tử nguyên thuỷ đợc dùng làm cơ sở
của các logarithm theo modulo p . Giả sử lấy = {2, 3, 5, 7 } làm cơ sở. Hiển
nhiên là log
5
5 = 1 nên chỉ có 3 giá trị log của các phần tử trong cơ sở cần pahỉ xác
định. Để làm ví dụ, chọn một vài số mũ may mắn sau : 4063, 5236 và 985.
Với x = 4063, ta tính
5
4063
mod 10007 = 2 ì 3 ì 7
ứng với đồng d thức
log
5
2 + log
5
3 + log
5
7 4063 ( mod 10006 ).
Tơng tự, vì
5
5136
mod 10007 = 54 = 2 ì 3
3

và 5
9865
mod 10007 = 189 = 3
3
ì 7

ta tìm đợc hai đồng d thức nữa:
log
5
2 + 3log
5
3 5136 (mod 10006)
3log
5
3 + log
5
7 9865 ( mod 10006)
Bây giờ ta có 3 đồng d thức theo 3 giá trị log cha biết. Giải phơng trình đồng d
này, ta có log
5
2 = 6578, log
5
3 = 6190, và log
5
7 = 1301.
Bây giờ giả sử ta cần tìm log
5
9451, và ta chọn số mũ ngẫu nhiên = 7736 và
tính:
9451 ì 5
7736
mod 10007 = 8400
Vì 8400 = 2
4
3
1

5
2
7
1
các thừa số trong nên ta nhận đợc:
log
5
9451 = 4log
5
2 + log
5
3 + log
5
5 + log
5
7 -s mod 10006
= 4 ì 6578 + 6190 + 2 ì 1 + 1310 - 7736 mod 10006
= 6057.
Kiểm tra lại thấy rõ rằng 5
6057
9451 ( mod 10007 ).
Đẫ có nhiều nghiêm cứu phân tích mò mẫm nhiều kiểuthuất toán khác nhau. Với
giả thuyết hợp lý. Thời gian chạy tiệm cận của giai đoạn tiền tính toán này cỡ O
( e