SKKN thủ thuật sử dụng máy tính CASIO để giải một số dạng bài tập trắc nghiệm môn toán trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN CỪ
———————————

NGUYỄN HỮU HẢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

ĐẮK LẮK, THÁNG 02 NĂM 2017


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN CỪ
———————————

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

TÁC GIẢ

:

NGUYỄN HỮU HẢI

ĐƠN VỊ

:

THPT NGUYỄN VĂN CỪ

ĐẮK LẮK, THÁNG 02 NĂM 2017


MỤC LỤC

MỤC LỤC

i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

ii

1. MỞ ĐẦU

1

1.1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

. . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5. Phạm vi áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2. NỘI DUNG

3

2.1. Một số nội dung kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2. Một số dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.1. Một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số . . . . . .

5

2.2.2. Một số bài toán về cực trị của hàm số . . . . . . . . . .

9

2.2.3. Một số bài toán về sự tương giao . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.4. Một số bài toán về nguyên hàm và tích phân . . . . . .

15

2.3. Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

22

3.1. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.2. Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

TÀI LIỆU THAM KHẢO

24

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

N

: Tập các số tự nhiên

Z

: Tập các số nguyên

Q

: Tập các số hữu tỉ

R

: Tập các số thực

MTBT

: Máy tính bỏ túi

CNTT

: Công nghệ thông tin

THPT

: Trung học phổ thông

THPTQG : Trung học phổ thông Quốc gia
SKKN

: Sáng kiến kinh nghiệm

ii


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
- Bước vào năm học 2016-2017 Bộ giáo dục & Đào tạo đã có những đổi
mới mạnh mẽ về công tác thi cử, kiểm tra đánh giá. Hình thức kiểm tra trắc
nghiệm đã được áp dụng ở hầu hết các môn (trừ môn Văn). Bản thân tôi là
một giáo viên dạy bộ môn Toán lúc đầu cũng không thực sự đồng tình về
hình thức thi trắc nghiệm, nhưng qua hơn một học kỳ áp dụng đổi mới dạy
học, kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm tôi đã nhận thấy được nhiều ưu
điểm của hình thức thi trắc nghiệm .
Thứ nhất, kiểm tra được nhiều nội dung kiến thức của môn học trong một
bài kiểm tra, học sinh thực sự nắm vững kiến thức toàn diện mới đạt được
điểm cao.
Thứ hai, những học sinh có học lực yếu cũng có thể tránh được điểm liệt
nhiều hơn so với hình thức thi tự luận... Tuy nhiên với cách tổ chức kiểm
tra đánh giá mới này yêu cầu giáo viên và học sinh phải làm việc vất vả hơn
nhiều so với hình thức tự luận. Ngoài việc giáo viên dạy cho học sinh nắm
được kiến thức và có kỹ năng trình bày lập luận thì giáo viên phải dạy cho

học sinh cách làm bài tập trắc nghiệm để giảm thiểu tối đa thời gian giải
một bài toán.
- Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ về Công nghệ thông tin, Máy tính bỏ
túi (MTBT) là công cụ rất hữu hiệu hỗ trợ học sinh trong quá trình học và
giáo viên trong quá trình dạy. Có nhiều bài toán khó nhưng với chiếc MTBT
ta có thể giúp chúng ta tìm kiếm lời giải một cách dễ dàng.
- Vấn đề đặt ra là để giúp học sinh nâng cao được hiệu quả bài thi trắc
nghiệm trước hết giáo viên giảng dạy phải tích cực tìm tòi nghiên cứu các
chức năng của máy tính bỏ túi, sau khi đã trang bị cho học sinh nền tảng
kiến thức căn bản, kỹ năng trình bày tự luận thì tiếp đó chúng ta cần dạy cho
các em cách sử dụng máy tính. Ngoài các cách thức sử dụng thông thường ta
còn phải dạy các em các thủ thuật, các kết quả để có kết quả trong khoảng
thời gian ngắn nhất.
1


- Không ngoài mục đích nâng cao hiệu quả dạy học và giải toán cho học
sinh, giải quyết tốt hơn các bài kiểm tra trên lớp cũng như chuẩn bị cho kỳ
thi THPTQG sắp tới, tôi đã bỏ nhiều thới gian để tìm hiểu, nghiên cứu các
chức năng của MTBT và học các kỹ thuật sử dụng MTBT để giải các bài
tập toán từ đồng nghiệp và tìm tòi từ các tài liệu tham khảo. Tôi xin trình
bày đề tài với nhan đề: "Thủ thuật sử dụng máy tính CASIO để giải
một số dạng bài tập trắc nghiệm môn Toán trung học phổ thông".
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích trang bị thêm cho học sinh
cách giải một số dạng bài tập trắc nghiệm môn Toán cấp THPT nhờ kỹ năng
sử dụng MTBT.
- Giúp học sinh tự tin hơn trong quá trình giải toán, khi bên cạnh các em
có thêm công cụ học tập đắc lực là MTBT, qua đó nâng cao hiệu quả hơn
trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPTQG.

- Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho bản thân, trao đổi kinh nghiệm với
đồng nghiệp, tạo cảm hứng cho học sinh trong quá trình học tập.
- Hưởng ứng phong trào thi đua viết SKKN của tập thể giáo viên - nhân
viên trường THPT Nguyễn Văn Cừ năm học 2016 - 2017.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1.3.1. Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành đề tài này tôi đã nghiên
cứu kỹ các chức năng của MTBT và các thủ thuật sử dụng vào quá trình giải
các bài tập toán trắc nghiệm.
1.3.2. Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là nội dung
chương trình môn toán THPT, thủ thuật sử dụng MTBT để giải một số dạng
bài tập toán trắc nghiệm thường gặp thuộc chương trình lớp 12 và kiến thức
về MTBT.

2


1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu lí luận môn Toán trung học phổ thông.
- Sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm thực tiễn.
1.5. Phạm vi áp dụng
Đề tài này có thể áp dụng được cho tất cả học sinh lớp 12 của Trường
THPT Nguyễn Văn Cừ.

2. NỘI DUNG
2.1. Một số nội dung kiến thức cơ sở
Định lý 2.1.1
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên tập K.
a) Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f (x) đồng biến trên K.
a) Nếu f (x) ≤ 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.
(với điều kiện f (x) = 0 có số nghiệm hữu hạn)

Định lý 2.1.2
Cho hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên
các khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b). Khi đó
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng)
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 .
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng)
thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 .
Định lý 2.1.3
Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 , f (x0 ) =
0 và có đạo hàm cấp hai khác không tại điểm x0 .
3


a) Nếu f (x0 ) < 0 thì hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 .
b) Nếu f (x0 ) > 0 thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 .
Lưu ý: Nếu x0 là điểm cực trị của các hàm số bậc ba, bậc bốn trùng
phương, hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất thì f (x0 ) = 0.
Định nghĩa 2.1.4
Cho hàm số y = f (x) xác định trên D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tập D nếu
f (x) ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f (x0 ) = M.
Kí hiệu M = max f (x).
D

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên tập D nếu
f (x) ≥ m với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f (x0 ) = m.
Kí hiệu m = min f (x).
D

Định nghĩa 2.1.5

Cho hàm số f (x) xác định trên K. Hàm số F (x) được gọi là một nguyên hàm
của hàm số f (x) trên K nếu F (x) = f (x) với mọi x thuộc K.
Định lý 2.1.6
Mọi hàm số f (x) liên tục trên tập K đều có nguyên hàm trên K.
Định nghĩa 2.1.7
Cho hàm số f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F (x) là một
nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [a; b].
Hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f (x), kí
hiệu là:
b

f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a).
a

4


2.2. Một số dạng toán
2.2.1. Một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số
Bài toán 1
1
Hàm số y = x3 − x2 + 1 đồng biến trên các khoảng
3
A. (−∞; 0) và (0; 2).
B. (0; 2) và (2; +∞).
C. (−∞; 0) và (2; +∞).

D. (−∞; 0) và (1; 2).

Hướng dẫn: Sử dụng chức năng tính đạo hàm của hàm số tại một điểm của

MTBT (SHIFT + ), trên mỗi khoảng đã cho ta nhập ngẫu nhiên một số
giá trị để kiểm tra dấu của f tại điểm đó rồi kết luận về tính đồng biến hay
nghịch biến trên khoảng đó.
Tuy nhiên bài toán này thì việc tính đạo hàm rất đơn giản nên ta nên tính
đạo hàm và dùng phím CALC để tính giá trị của đạo hàm tại các điểm sẽ
nhanh hơn.
Ta sẽ thử các phương án A, B, D trước vì có chứa các khoảng có độ dài ngắn
hơn.
− 1 = −1 nên
Thực hiện: y = x2 − 2x. Nhập vào máy tính x2 − 2x CALC →
3
loại đáp án A và B. x2 − 2x CALC →
− 1.5 = − nên loại đáp án D. Vậy đáp
4
án đúng là C. (−∞; 0) và (2; +∞).
Bài toán 2
1
sin 3x + 3x. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0).

Cho hàm số y =

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng
(0; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên R.
D. Hàm số nghịch biến trên R.
d 1
sin 2x + 3x |x= ta
dx 2

nhập một số giá trị của x cụ thể trên từng khoảng đã cho (thử càng nhiều
Hướng dẫn: Nhấn tổ hợp phím SHIFT + , nhập

giá trị thì độ chính xác càng cao) để kiểm tra dấu của đạo hàm.
5


d 1
sin 2x + 3x |x=
dx 2
Ta thử một số giá trị x0 cụ thể, kết quả được thể hiện trong bảng dưới đây.
Thực hiện: Nhập

d 1
sin 2x + 3x |x=
dx 2
Giá trị của f tại điểm x0

-100

-10

-5

0.1

0

5

10

100

3.48

3.40

2.16

3.98

4

2.16

3.40

3.48

Bảng 1:

Từ kết quả trên bảng 1 ta biết được đáp án đúng là C. Hàm số đồng biến
trên R.
Nhận xét: Với bài toán hàm số lượng giác thì việc xét dấu đạo hàm trên R là
hơi khó, với bài này học sinh khá và có một chút nhạy bén khi tính đạo hàm
rồi thì dễ dàng đưa ra được đáp án, nếu không thì thật sự khó khăn. Cách
thực hiện trên thì tương đối dễ dàng với mọi đối tượng học sinh.
Bài toán 3
x+1

. Khẳng định đúng là
x2 − x + 1
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1).

Cho hàm số y = √

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng
(1; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên R.
D. Hàm số nghịch biến trên R.
Nhận xét: Bài toán trên nếu thực hiện bằng việc tính đạo hàm và lập bảng
biến thiên thì sẽ rất khó đối với học sinh dưới mức trung bình.
d
x+1
√
Thực hiện: Dùng phím SHIFT + , Nhập
)
, đạo hàm
dx
x2 − x + 1 x=
của hàm số tại các điểm x cụ thể được thể hiện trong bảng dưới đây.
d
dx

√

x+1
x2 − x + 1

)

-10

-5

-1

0

1

5

10

100

0.0141

0.0521

0.5773

1.5

0

-0.0623

-0.0155

−1.5.. × 10−4

x=

Giá trị của f tại x0

Bảng 2:

Nhìn vào bảng giá trị (bảng 2) suy ra đáp án đúng là B.
6


Bài toán 4
Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 đồng biến trên R.
A. m ≤ 0.

B. m = 0.

D. m ≥ 0.

C. m < 0.

Hướng dẫn:
- Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến trên R khi và chỉ khi
f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R.
- Dùng chức năng tính đạo hàm tại một điểm của MTBT (SHIFT + ), kiểm
tra với m = 0 nếu f ≥ 0 đúng thì đáp án có thể A hoặc B hoặc D, nếu sai
thì đáp án là C. Trong trường hợp m = 0 mà đúng thì ta lấy một giá trị m
tùy ý, m ≤ 0 nếu đúng thì đáp án là A, nếu sai thì đáp án là B hoặc D.

d 3
Thực hiện: Nhấn SHIFT + . Với m = 0, nhập
(x ) |x=X →
− CALC → X?
dx
Ta nhập cho X một số giá trị và kết quả được thể hiện trong bảng 3.
d
x3 ) x=X
dx
Giá trị của f tại x0

-10

-5

-1

0

1

5

10

100

300

75

3

1.5

0

75

300

30000

Bảng 3:

Nhìn kết quả ở bảng 3 suy ra m = 0 đúng nên có thể đáp án A hoặc D cũng
d 3
đúng. Do đó ta kiểm tra với m ≤ 0, lấy m = −1, nhập
(x + 3x2 ) |x=X →
−
dx
CALC → X? Ta nhập cho X một số giá trị và kết quả được thể hiện trong
bảng 4.
d
x3 + 3x2 ) x=X
dx
Giá trị của f tại x0

-10

-5

-2

-1

0

1

2

10

240

45

0

-3

0

9

24

360

Bảng 4:

Từ bảng 4 ta loại đáp án A.
d 3
(x − 6x2 ) |x=X →
− CALC → X? Ta nhập
dx
cho X một số giá trị và kết quả được thể hiện trong bảng 5.
Với m ≥ 0, thử với m = 2, nhập
d
x3 + 3x2 ) x=X
dx
Giá trị của f tại x0

-10

-5

-2

-1

0

1

2

10

15

135

36

15

0

-9

-12

180

Bảng 5:
7


Từ bảng 5 suy ra đáp án C sai. Vậy đáp án đúng là B. m = 0.
Nhận xét: Bài toán này học sinh có học lực trung bình trở lên thì nên giải
theo cách tự luận vì sẽ mất ít thời gian hơn dùng MTBT. Vì hệ số a > 0 nên
chỉ cần tìm m để ∆y ≤ 0.
Bài toán 5
mx + 3 − 2m
(1), m là tham số. Tìm m để hàm số (1)
x+m
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Cho hàm số y =

A. −3 ≤ m ≤ 1.

B. −3 < m < 1.

C. m = 1 và m = −3.

D. m < −3 hoặc m > 1.

ax + b
(c = 0; ad − bc = 0) nghịch biến trên từng
cx + d
d
khoảng xác định khi và chỉ khi y < 0 với mọi x = − .
c
d M x + 3 − 2M
Thực hiện: Với m = 1 nhập
)
→
− CALC →
− M? →
−
dx
x+M
x=X
1→
− X? →
− 1 = 0 (lưu ý là phải nhập x = −m máy mới thực hiện được),
Hướng dẫn: Hàm số y =

thực hiện tương tự với các giá trị khác của x ta có kết quả sau:
d
dx

M x + 3 − 2M
x+m

|x=X

0

||

0

0

0

M?

1

1

1

1

1

X?

-2

-1

0

1

2

Bảng 6:

Từ kết quả trên ta loại đáp án A.
Thực hiện tương tự khi ta lấy m = 2,

d
dx

M x + 3 − 2M
)
x+M

5
M? →
− 2→
− X? →

− 0 = nên ta loại đáp án C, D.
4
Đáp án đúng là B. -3
→
− CALC →
−
x=X

Bài toán 6
Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = −x3 + mx2 − m đồng biến trên
khoảng (1; 2).
A. m < 3.

B. m ≥ 3.

C. m ∈ [1; 3].
8

D. m ≤ 3.


Hướng dẫn: Trong 4 đáp án có số 1 và số 3 nhưng ở đây số 1 chỉ xuất hiện ở
đáp C do đó ta thử với m = 1, nếu đúng thì ta loại được đáp án B, nếu sai
thì ta loại được các đáp án A, C và D , ta nhập các giá trị x ∈ (1; 2).
d
(−x3 + x − 1)|x=1.5 =
Thực hiện: Với m = 1 thì y = −x3 + x − 1, nhập
dx
23

− < 0. Nên ta loại đáp án A, C và D suy ra đáp án đúng là B. m ≥ 3.
4
Nhận xét: Bài toán này học sinh có học lực khá trở lên mới có thể giải được
bằng phương pháp tự luận và cũng mất khá nhiều thời gian.
2.2.2. Một số bài toán về cực trị của hàm số
Bài toán 1
Tìm cực trị của hàm số f (x) = xe−x .
A. x = e

B. x = e2

C. x = 1

D. x = 2

Hướng dẫn: Nếu x0 là điểm cực trị và có đạo hàm tại x0 thì f (x0 ) = 0 và
f (x) đổi dấu khi x qua điểm x0 . Giả sử f (x0 ) = 0, khi đó để kiểm tra tính
đổi dấu ta dùng máy để tính f (x0 − h) và f (x0 + h), ở đây h là số dương
tương đối bé.
Thực hiện: Sử dụng chức năng tính đạo hàm tại một điểm. Ở chế độ bình
d
d
, nhập
(xe−x ) |x=e = −0.1133860429 nên loại
thường nhấn SHIF T →
−
dx
dx
d
d

đáp án A, tương tự loại đáp án B, chỉ có
(xe−x ) |x=1 = 0;
(xe−x ) |x=1+0.01 <
dx
dx
d
0,
(xe−x ) |x=1−0.01 > 0 nên đáp án đúng là C. x = 1.
dx
Bài toán 2
1
4
4
Cho hàm số f (x) = x5 + x4 − x3 − 4x2 + 8x + 1(1). Số điểm cực trị của
5
3
3
hàm số (1) là
A. 1

B. 2

C. 4

D. 4

Hướng dẫn: Tìm các nghiệm của phương trình f (x) = 0 rồi kiểm tra tính
đổi dấu của hàm số tại các điểm đó để kết luận cực tri.
Thực hiện: f (x) = x4 + 3x3 − 4x2 − 8x + 8. Nhập x4 + 3x3 − 4x2 − 8x + 8
9

SHIFT →
− CALC →
− 0 =−
→ x = 1.
Dùng lược đồ Hoocner phân tích f (x) = (x − 1)(x3 + 4x2 − 8), phương trình
f (x) = 0 có 4 nghiệm −3, 236; −2; 1; 1, 236. nhập x4 + 3x3 − 4x2 − 8x +
8 CALC →
− −4 = 40; CALC →
− −3 = −4; CALC →
− 0 = 8; CALC →
−
1829
; CALC →
− 2 = 16. Vì vậy chọn đáp án D.
1.1 = −
10000
Bài toán 3
Cho hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + 1. Tìm tất cả các số thực m để hàm số
có ba cực trị.
A. m < 0

B. m > 0

C. m = 0

D. m = 0

Hướng dẫn: Yêu cầu của bài toán tương đương tìm m để phương trình y = 0

có ba nghiệm phân biệt. Nên ta tính đạo hàm y rồi thử lần lượt các giá trị
m trong các phương án A; B; C; D. Sử dụng chức năng giải phương trình bậc
ba trường hợp nào y = 0 có ba nghiệm phân biệt thì đó là giá trị m cần tìm.

Thực hiện: Ta có y = −4x3 + 4mx. Dùng máy tính giải phương trình bậc ba,
khi m < 0 ta lấy một giá trị m tùy ý trên miền này, chẳng hạn lấy m = −1
rồi thay trực tiếp vào các hệ số của phương trình trên máy tính kết quả cho
ba nghiệm 0; i; −i nên loại phương án A. Tiếp tục với phương án m > 0, ta
lấy m = 1 thay vào thì phương trình có 3 nghiêm 0; ±1. nên ta chọn đáp án
B. m > 0 , phương án D tất nhiên bị loại vì chứa cả phương án A và B.
Bài toán 4
Tìm tất cả các số thực m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(2m − 1)x + 1 có cực
đại, cực tiểu lần lượt x1 ; x2 thỏa mãn x21 + x22 = 2.
A. m = 1

B. m = 0

C. m = −1

D. m = 1 hoặc m = 0

Hướng dẫn:
- Tính y , thử giá trị m nào mà phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt
x1 ; x2 thỏa mãn x21 + x22 = 2. thì giá trị đó là đáp án cần tìm.
- Suy luận lôgic các đáp án. Nếu m = 1 đúng thì có thể m = 0 cũng đúng.
Do đó, ta thử m = 1 nếu đúng thì thử tiếp m = 0 mà cũng đúng thì đáp án
10


là D, nếu sai thì đáp án là A. Nếu thử m = 1 sai thì loại đáp án D và thử

tiếp m = 0, nếu đúng thì B là đáp án, nếu sai thì C là đáp án.
Thực hiện: Ta có y = 3x2 − 6mx + 6m − 3. Sử dụng MTBT giải phương trình
bậc hai y = 0, khi m = 1 thì phương trình có một nghiệm nên ta loại đáp
án A và do đó cũng loại đáp án D. Khi m = 0 phương trình có 2 nghiệm ±1
thỏa mãn x21 + x22 = 2, nên đáp án đúng là B. m = 0.
Nhận xét: Các nghiệm x1 , x2 trong trường hợp này khá đẹp nên ta dễ dàng
nhẩm được tổng x21 + x22 = 2 mà không cần đến máy tính, còn thông thường
thì ta lưu nghiệm vào các biến A; B rồi gọi thử lại A2 + B 2 = 2 hay không?
Bài toán 5
x2 + mx + 1
Cho hàm số y =
. Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho đạt
x+m
cực đại tại x = 2.
A. m = −1

B. m = −3

C. m = −1 hoặc m = −3

D. m = 1

Hướng dẫn: Trước hết ta kiểm tra điều kiện cần x0 là điểm cực trị thì f (x0 ) =
0 và kiểm tra điều kiện đủ x0 là điểm cực đại thì f (x) đổi dấu từ dương sang
âm.
d x2 + M x + 1
|x=X →
− CALC X = 2 =
dx
x+M

M = −1 = 0 có thể đáp án A, tiếp tục CALC X = 2 = M = −3 = 0 có thể
Thực hiện: Nhập vào máy tính

đáp án B hoặc C, tiếp tục CALC X = 2 = M = 1 = 0.8888... nên loại D. Giờ
d x2 + M x + 1
ta kiểm tra tính đổi dấu,
|x=X CALC X=1.999 = M =
dx
x+M
−1 = −2.003004 × 10−3 , CALC X = 2.001 = M = −1 = 1.997003997 × 10−3 .
nên ta loại A và C và chọn B. m = −3.
Nhận xét: Bài toán trên nếu giải bằng tự luận thì học sinh làm nhanh thì
cũng mất hơn 5 phút, còn học sinh trung bình và yếu có thể không làm được.
Nhưng nếu biết sử dụng máy tính thì thì có thể dễ dàng cho kết quả.

11


2.2.3. Một số bài toán về sự tương giao
Bài toán 1
2x − 1
có đồ thị (C). Tìm tất cả các số thực m để đường
1−x
thẳng (d) : y = x + m cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt .

Cho hàm số y =

A. m < −5 B. m > −1 C. −5 ≤ m ≤ −1 D. m < −5 hoặc m > −1
Lập luận: Trong 4 đáp án thì có 3 đáp án liên quan đến số −5 (tương tự với
số −1). Với m < −5 ta lấy một giá trị tùy ý, chẳng hạn m = −6 thay vào

phương trình hoành độ giao điểm nếu có hai nghiệm phân biệt thì đáp án có
thể A hoặc D, khi đó ta thử tiếp m = 0 nếu đúng thì đáp án là D, nếu sai thì
đáp án là A. Nếu m = −6 sai thì loại đáp án A và D, ta thử tiếp với m = 0
nếu đúng thì đáp án là B, nếu sai thì đáp án là C.
Thực hiện: Kiểm tra với m < −5 : Lấy m = −6 nhập vào máy tính
2x − 1
− x − M nhấn SHIF T →
− CALC →
− M →
− −6 =−
→ X →
−
1−x
2x − 1
0 =−
→ X = 3.62, quay lại
− x − M : (x − 3.62) nhấn SHIF T →
−
1−x
CALC →
− M→
− −6 =−
→X→
− 0 =−
→ X = 1.38 nên đáp án có thể là A hoặc
D.

2x − 1
− x − M nhấn
1−x

SHIF T →
− CALC →
− M →
− 0 =−
→ X →
− 0 =−
→ X = −1.62, quay lại
2x − 1
− x − M : (x + 1.62) nhấn SHIF T →
− CALC →
− M →
− 0 =−
→
1−x
X→
− 0 =−
→ X = 0.62 nên đáp án đúng là D. m < −5 hoặc m > −1.
Tiếp tục kiểm tra với m > −1 : Lấy m = 0,

Bài toán 2
2x − 2
có đồ thị (C). Tìm tất cả các số thực m để đường
x+1
thẳng (d) : y = 2x + m cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt A, B
√
sao cho AB = 5.

Cho hàm số y =

A. m = −2

B. m = −3

C. m = −2 hoặc m = 10

D. m = −2 hoặc m = −1

Hướng dẫn: Gọi A(x1 ; kx1 + m), B(x2 ; kx2 + m) là độ giao điểm của đồ thị
ax + b
hàm số y =
và đường thẳng y = kx + m, ta dễ dàng chứng minh được
cx + d
12


√
AB = |x1 − x2 | 1 + k 2 .
Áp dụng kết quả trên cho bài toán này, ta cần tìm m để phương trình hoành
độ giao điểm có hai nghiệm x1 , x2 sao cho |x1 − x2 | = 1.
Về mặt lôgic ta sẽ kiểm tra m = −2, nếu sai thì đáp án là B, nếu đúng thì
đáp án có thể A hoặc C hoặc D, khi đó ta kiểm tra tiếp m = 10 nếu đúng
thì đáp án là C, nếu sai thì đáp án là D.
2X − 2
− 2X − M
X +1
nhấn SHIF T →
− CALC →
− M →
− −2 =−
→ X →

− 1 =−
→ X = 1, như vậy
2X − 2
− 2X − M : (X − 1) nhấn
x1 = 1. Quay lại màn hình và bổ sung
X +1
SHIF T →
− CALC ==−
→ X = 0 nên x2 = 0 thỏa mãn |x1 − x2 | = 1, nên đáp
Thực hiện: Ta kiểm tra với m = −2, nhập váo máy tính

án đúng có thể là A hoặc C hoặc D.

2X − 2
− 2X − M SHIF T →
−
X +1
CALC →
− M →
− 10 =−
→ X →
− 1 =−
→ X = −3, như vậy x1 = −3. Quay
2X − 2
lại màn hình và bổ sung
− 2X − M : (X + 3) nhấn SHIF T →
−
X +1
CALC ==−
→ X = −2 nên x2 = −2 thỏa mãn |x1 − x2 | = 1. Suy ra đáp án

Kiểm tra khi m = 10 quay lại màn hình

là C. m = −2 hoặc m = 10.
Bài toán 3
x+1
có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì đường thẳng
2x − 1
(d) : y = −x + 2m cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

Cho hàm số y =

độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất.
1
3
5
7
A. m =
B. m =
C. m =
D. m =
2
2
2
2
Hướng dẫn: Cách giải bài toán 3 cũng tương tự bài toán 1; 2, nhưng ở bài
toán này ta tìm m để |x1 − x2 | nhỏ nhất. Thử các giá trị m vào phương trình
hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm x1 , x2 rồi tính |x1 − x2 | trong các trường
hợp rồi chọn giá trị nhỏ nhất.
1
x+1

nhập vào máy tính
+ x − 2M SHIFT
Thực hiện: Với m =
2
2x − 1
1
→
− CALC →
− M →
−
=−
→ x →
− 1 = ... phương trình vô nghiệm nên loại
2
phương án A.
3
x+1
3
Với m = : Quay lại
+ x − 2M SHIFT →
− CALC →
− M→
− =−
→
2
2x − 1
2
13

x→
− 1 =−
→ x = 1 (x1 = 1). Quay lại và sửa
SHIFT →
− CALC →
− M →
−

x+1
+ x − 2M
2x − 1

: (x − 1)

3
=−
→ x →
− 1 =−
→ x = 2 (x2 = 2), nên
2

|x1 − x2 | = 1.
x+1
5
: Quay lại
+ x − 2M SHIFT →
− CALC →
− M →
−
Với m =

2
2x − 1
5
=−
→ x →
− 1 =−
→ x = 0.697 (x1 = 0.697). Quay lại và và thêm vào
2
x+1
5
+ x − 2M : (x − 0.697) SHIFT →
− CALC →
− M →
−
=−
→x→
−
2x − 1
2
1 =−
→ x = 4.302 (x2 = 4.302), nên |x1 − x2 | = 3.605.
7
x+1
7
Với m = : Quay lại
+ x − 2M SHIFT →
− CALC →
− M→
− =−
→

2
2x − 1
2
x+1
x→
− 1 =−
→ x = 6.372 (x1 = 6.372). Quay lại và thêm vào
+ x − 2M :
2x − 1
7
(x − 6.372) SHIFT →
− CALC →
− M →
−
=−
→ x →
− 1 =−
→ x = 0.628
2
(x2 = 0.628), nên |x1 − x2 | = 5.744.
3
So sánh các kết quả trên ta chọn đáp án B. m = .
2
Nhận xét: Theo cách làm trên cũng có những lúc máy tính thực hiện hơi lâu,
do vậy khi làm bài thi học sinh có thể chuẩn bị hai máy tính để tiết kiệm
thời gian.
Bài toán 4
2x + 1
, có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = x + m. Với giá
x+1

trị nào của m thì d cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tam

Cho hàm số y =

giác OAB vuông tại O.

2
2
D. m = −
3
3
Hướng dẫn: Gọi A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ), tam giác OAB vuông tại O khi và chỉ
A. m = −1

B. m = −2

C. m =

khi x1 .x2 + y1 .y2 = 0. Ở đây x1 , x2 là nghiệm của phương trình hoành độ giao
điểm, y1 = x1 + m; y2 = x2 + m. Ta thực hiện tương tự các bài toán ở trên,
giá trị m mà x1 .x2 + y1 .y2 = 0. là giá trị cần tìm.
Thực hiện:
Với m = −1 : Nhập

2x + 1
−x−M
x+1

14

SHIFT →
− CALC →
− M →
− −1 =−
→


2x + 1
−x−M :
x+1
(x − 2.732) SHIFT →
− CALC →
− M →
− −1 =−
→x→
− 1 =−
→ x2 = −0.732 suy

x →
− 1 =−
→ x1 = 2.732 suy ra y1 = 1.732. Quay lại

ra y2 = −1.732. Trường hợp này x1 .x2 + y1 .y2 = −4.9996 nên loại A.
2x + 1
− x − M SHIFT →
− CALC →
− M →
− −2 =−
→x→
−

Với m = −2 :
x+1
2x + 1
1 =−
→ x1 = 3.791 suy ra y1 = 1.791. Quay lại
− x − M : (x−3.791)
x+1
SHIFT →
− CALC →
− M →
− −2 =−
→ x →
− 1 =−
→ x2 = −0.791 suy ra y2 =
−2.791. Trường hợp này x1 .x2 + y1 .y2 = −7.997 nên loại B.
2x + 1
2
2
:
− x − M SHIFT →
− CALC →
− M →
−
=−
→ x →
−
Với m =
3
x+1
3

2x + 1
− x − M : (x − 0.77)
1 =−
→ x1 = 0.77 suy ra y1 = 1.43. Quay lại
x+1
2
SHIFT →
− CALC →
− M→
− − =−
→x→
− 1 =−
→ x2 = −0.43 suy ra y2 = 0.23.
3
2
11
Trường hợp này x1 .x2 + y1 .y2 = −
ta chọn đáp án C. m = .
5000
3
2
Nhận xét: Với m = do các kết quả trong quá trình tính toán ta làm tròn
3
số nên x1 .x2 + y1 .y2 xấp xỉ số 0. Lý do ta không lưu vào các biến là mỗi lần
lưu ta phải nhập lại biểu thức phương trình hoành độ giao điểm nên để tiện
và nhanh hơn ta ghi kết quả ra giấy nháp và tính x1 .x2 + y1 .y2 bởi máy tính
khác. Còn nếu ta lưu vào các biến thì tích trên sẽ đúng bằng 0.
2.2.4. Một số bài toán về nguyên hàm và tích phân
Ngoài việc học sinh nắm được kiến thức, các phương pháp tính nguyên
hàm, tích phân thì ta cần trang bị cho các em cách thức sử dụng MTBT để

tìm kết quả một cách nhanh nhất.
Ta biết rằng giữa bài toán nguyên hàm và bài toán tích phân có mối quan
hệ chặt chẽ với nhau.
Bài toán 1
ln3 x
Hàm số F (x) nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
.
x
ln4 x
x ln4 x
A. F (x) =
B. F (x) =
2x2
4

15


ln4 (x + 1)
ln4 x + 1
C. F (x) =
D. F (x) =
.
4
4
Hướng dẫn: Cách giải thông thường là dùng định nghĩa chứng tỏ F (x) = f (x)
hoặc dùng phương pháp đổi biến đặt t = ln x.
Để giải bài toán trên bằng MTBT ta cần nhờ đến tích phân, được giải thích
b

f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a) ⇒ A − (F (b) − F (a)) = 0,

như sau: A =
a

trong đó F (x) là một nguyên hàm của f (x).
ln3 x
dx vào máy tính rồi lưu vào biến A bằng
Thực hiện: Nhập tích phân
x
1
ST O
cách ấn phím SHIF T −−→ A, việc lấy hai cận của tích phân là tùy ý miễn
2

sao thuộc miền tồn tại tích phân của hàm số f (x) là được. Tiếp đến ta
ln4 x
ấn phím AC về màn hình bình thường rồi nhập
, ấn CALC →
− 1 =
2x2
CALC →
− 2 = . Ấn AC và Gọi lại A − (Ans − P reAns) = 0.02885... nên
ln4 x + 1
không phải đáp án A, ta thử phương án B hoàn toàn tương tự nhập
,
4
ấn CALC →
− 1 = CALC →
− 2 = . Ấn AC và Gọi lại A − (Ans − P reAns) = 0

nên B. là đáp án đúng. Ở đây Ans − P reAns = F (b) − F (a).
Lưu ý: Máy tính CASIOf x − 570V N P LU S có thể tự nhớ hai giá trị cùng
một lúc mà không cần người dùng phải lưu vào biến, giá trị sau cùng là Ans,
giá trị liền trước đó là P reAns. Tuy nhiên nếu học sinh khó hiểu thì ta có
ST O

thể dùng biến B và C để lưu giá trị của F (x) tại CALC →
− 1 −−→ B và
ST O

CALC →
− 2 −−→ C rồi gọi A − (C − B).
Bài tập 2
x ln(x2 + 1)
dx
Tìm
x2 + 1
1
A. F (x) = ln2 (x2 + 1) + C
4
1
C. F (x) = ln(x2 + 1) + C
2

B. F (x) = ln2 (x2 + 1) + C
1
D. F (x) =
ln(x2 + 1) + C
x+1

Nhận xét: Bài toán này nếu giải bằng phương pháp tự luận thì sẽ mất khá
nhiều thời gian của học sinh, nhưng nếu dùng MTBT thì rất đơn giản. Ở
đây tác giả đã cố tình để đáp án ở phương án A để người đọc kiểm tra được
nhanh chóng hơn.
16


1

x ln(x2 + 1)
dx vào máy tính rồi lưu vào
x2 + 1
0
ST O
biến A bằng cách ấn phím SHIF T −−→ A . Tiếp đến ta ấn phím AC về màn
1
hình bình thường rồi nhập ln2 (x2 + 1)), ấn CALC →
− 0 = CALC →
− 1=.
4
Ấn AC và Gọi lại A − (Ans − P reAns) = 0 nên đáp án đúng là A.

Thực hiện: Ta nhập tích phân

Bài tập 3
3x2 + 3x + 3
Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3
thỏa mãn
x − 3x + 2
F (2) = 3. Kết quả là:

3
2
1
9
A. F (x) =
+
+
−
2
x − 1 (x − 1)
x+2 4
3
+ 2 ln |x − 1| + ln |x + 2| + 6 − 2 ln 2
B. F (x) = −
x−1
2
C. F (x) = 3 ln |x − 1| −
+ ln |x + 2| + 3 − 2 ln 6
(x − 1)2
1
D. F (x) = −3 ln |x − 1| + 2 ln |x + 2| −
+ 2 ln 2 − 1
x−1
Bằng cách thực hiện tương tự như hai bài tập trên ta có kết quả là phương
án B.
Nhận xét: Bài toán trên cách giải thông thường là phương pháp hệ số bất
3x2 + 3x + 3
3
2
1

định, tức là phân tích f (x) = 3
=
+
+
và
x − 3x + 2
(x − 1)2 x − 1 x + 2
chỉ những học sinh khá trở lên mới có thể làm được và mất khá nhiều thời
gian. Như vậy với những bài toán kiểu này thì chỉ cần trang bị cho học sinh
cách thực hiện, lúc đó bài toán dễ hay khó cũng dễ dàng tìm được kết quả.
Bài tập 4
1

(2x + 3)ex dx = a + be (a, b ∈ Z). Tính tổng a + b.

Biết
0

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. −1.

1

(2x + 3)ex dx vào máy tính rồi lưu vào biến

Hướng dẫn: Nhập tích phân
0

A. Khi đó ta có phương trình A = a + e.b ⇒ a = A − be. Đẳng thức này có
dạng f (x) = A − ex, ở đây ta xem a = f (x); b = x. Do a, b ∈ Z nên ta dùng
chức năng của TABLE (MODE 7) ta sẽ tìm được a và b.

17


1

(2x + 3)ex dx →
− SHIFT−
→STO−
→A.

Thực hiện: Nhập
0

Từ đề bài ta có a = A − be., ấn MODE 7 →
− f (x) = A − xe = g(x) ==
Start →
− −5 →
− End →
− 5 = Step →
− 1 = kết quả được thể hiện trong bảng
sau:
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

X

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

F(X)

20.7

18.0

15.3

12.5

9.8

7.1

4.4

1.7

-1

-3.7

-6.4

Bảng 7:

Nhìn vào bảng ta có a + b = 2 nên đáp án là A. 2.
Bài tập 5
π
4

Biết

sin4 xdx = aπ + b (a, b ∈ Q). Tính tổng a + b.

0

11
5
.
B. .
C. 4.
D. 7.
32
32
Hướng dẫn: Nhập tích phân vào máy tính rồi lưu vào biến A, giả sử a+b = M

A. −

là một trong 4 đáp án trên, từ đó ta có a = M − b nên ta có phương trình
A = (M − b)π + b. Bây giờ ta dùng chức năng dò nghiệm SHIFT + SOLVE
để tìm x của phương trình (M − x)π + x − A = 0.
π
4

Thực hiện: Nhập

sin4 xdx →
− SHIFT →
− STO →
− A. Ấn AC và nhập phương

0

5
trình − − X π + X − A →
− SHIFT−
→ SOLVE = = Sove for X →
− 0=
32
1
5
X = 0.25 = . Vậy đáp án đúng là A. − .
4
32
Nhận xét:
- Bài toán 5 khó hơn bài toán 4 do a, b ∈ Q, do vậy nếu a, b không thuộc Z

thì rất khó khăn nếu ta sử dụng chức năng TABLE.
- Khi máy tính dò tìm ra nghiệm x không phải là số hữu tỉ thì ta loại phương
án đó và tiếp tục thực hiện với các phương án tiếp theo cho đến khi tìm được
nghiệm x hữu tỉ hay đã thực hiện đến lần thứ 3 mà không có kết quả thì
phương án còn lại là đáp án đúng.

18


2.3. Bài tập vận dụng
x3 x2
+
− 2x + 1.
Bài 1. Hàm số y =
3
2
A. Nghịch biến trên khoảng (−2; 1).
B. Đồng biến trên khoảng (−2; 1).
C. Nghịch biến trên khoảng (−∞; 1).
D. Đồng biến trên khoảng (−2; +∞).
Bài 2. Cho hàm số y = −x5 + 10x3 − 45x + 20. Chọn khẳng định đúng.
A. Nghịch biến trên R.

√
√
B. Đồng biến trên khoảng (−∞; 3) và nghịch biến trên khoảng ( 3; +∞).
C. Đồng biến trên R.

√ √
D. Nghịch biến trên khoảng (− 3; 3).

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
1
y = x3 + 2x2 − mx − 5 đồng biến trên R.
3
A. m < −4.
B. m > −4.
C. m ≤ −4.
D. m ≥ −4.
mx + 4
nghịch biến trên
Bài 4. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y =
x+m
khoảng (−∞; 1) khi
A. −2 < m ≤ −1.

B. Không tồn tại m.

C. −2 < m ≤ 1.

D. −2 < m < 2.

Bài 5. Hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 1
A. Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đại.
B. Nhận điểm x = −1 làm điểm cực tiểu.
C. Nhận x = 3 làm điểm cực tiểu.
D. Nhận điểm x = 1 làm điểm cực đai.
Bài 6. Hàm số y = x − sin 2x.
π
A. Nhận điểm x = − làm điểm cực tiểu.
6

π
B. Nhận điểm x = − làm điểm cực đại.
6
π
C. Nhận điểm x = − làm điểm cực tiểu.
2
π
D. Nhận điểm x = làm điểm cực đại.
2
19


1 3
x − mx2 + (m + 6)x − 2m3 + 1, (1). Tìm tất cả
3
các giá
 trị thực của m để hàm số (1) có cực
 tri.

m < −2
m = −2
m ≤ −2
A. 
B. −2 < m < 3 C. 
D. 
m>3
m=3
m≥3
Bài 7. Cho hàm số y =

1
Bài 8 . Cho hàm số y = x3 − mx2 − x + m − 1. Tìm các giá trị của tham
3
số m để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 + 4x1 x2 = 2.
A. m = ±3.

B. m = 2.

D. m = ±1.

C. m = 0.

Bài 9. Cho hàm số y = x3 − (m + 3)x2 + (2m − 1)x + m2 + m, (1). Tìm
tất cả các giá trị
√ thực của m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu thỏa mãn
52
|xCD − xCT | >
.
3


m < −1
m = −1
A. 
B. −1 ≤ m ≤ 1 C. 
D. m = ±1
m>1
m=1
Bài 10. Tìm m để hàm số y = −x3 + (2m + 1)x2 − (m2 − 3m + 2)x − 4 có
cực đại, cực tiểu thuộc về hai phía so với trục hoành.

A. m ∈ (1; 2).

B. m ∈ (2; +∞).

C. m ∈ (−∞; 1).

D. m ∈ (−1; 2).

Bài 11. Tìm m để phương trình x4 − 2x2 + 3 + 2m = 0 có bốn nghiệm phân
biệt.

3
3
A. 2 < m < 3. B. − < m < −1. C. −3 < m < −2. D. 1 < m < .
2
2
x+3
Bài 12. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Tìm tất cả các số thực m để
x+1
đường thẳng (d) : y = 2x + m cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt.
A. m ≤ 20.

B. ∀m ∈ R.

C. Không có giá trị nào của m.
D. m > 20.
2x − 1
Bài 13. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng

x−1
(d) : y = x + m cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
tam giác OAB vuông tại O.
B. m = 0.
C. m = −2.
D. m = 1.
x+3
Bài 14. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì
x+1
đường thẳng (d) : y = 2x + m cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt
A. m = 2.

20


A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất.
A. m = 1.

B. m = 2.
C. m = 3.
D. m = 4.
2x + 1
Bài 15. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Tìm tất cả các số thực m để
x+1
đường thẳng (d) : y = x + m − 1 cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân
√
biệt M, N sao cho M N = 2 2.
√

√
√
√
B. m = 4 ± 10
C. m = 2 ± 3
D. m = 2 ± 10
A. m = 4 ± 3
x
Bài 16. Biết F (x) nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
cos2 x
thỏa mãn F (0) = 0. Tính F (π).
1
A. F (π) = −1.
B. F (π) = .
C. F (π) = 0.
D. F (π) = 1.
2
ln2 x
Bài 17. Tìm
dx.
x 2 − ln3 x
1
2
B. F (x) = −
2 − ln3 x + C.
2 − ln3 x + C.
A. F (x) = −
3
3
2

1
3
C. F (x) =
2 − ln x + C.
D. F (x) =
2 − ln3 x + C.
3
3
x3 + 3x2 + 3x − 1
.
Bài 18. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) =
x2 + 2x + 1
Khi đó
x2
2
x2
1
A. F (x) =
+x+
+ 2.
B. F (x) =
− 2x +
− 2.
2
x+1
2
x+1
x3
1
x2

1
C. F (x) =
+ 3x −
.
D. F (x) =
+x−
.
2
x+1
2
x+1
π
3

Bài 19. Cho tích phân
π
4

√
cos 2x
dx
=
a
+
b
3 (a, b ∈ Q). Tính giá
cos2 x sin2 x

trị biểu thức a + b.
2

4
B. − .
C. .
D. 3.
3
3
π
6
1
Bài 20. Cho tích phân
dx = a ln 3 + b (a, b ∈ Q). Tính giá trị biểu
3
0 cos x
thức a + b.
7
11
A. .
B. .
C. 4.
D. 7.
12
12
A. −2.

21