bai thuyet trinh ly thuyet so ve Thuat toan Oclit

Giáo viên hướng dẫn: Thầy Thiện
Nhóm thuyết trình VI: Tiển, Long, Trinh.
Bài giảng
UCLN VÀ THUẬT TOÁN Ơ-CLIT
I. Mục Tiêu
• Nhằm giúp giáo sinh hiểu một cách hệ thống,tổng quát từ Ước =>ƯC =>UCLN của các số tự
nhiên(đến số nguyên). Trong đó trình bày từ phương pháp tìm UCLN : bằng cách phân tích các
số ra thừa số nguyên tố => đến thuật toán Ơ-clit.(thuyết trình thuật toán Ơ-clit mở rộng và thuật
toán Ơ-clit tìm UCLN của hai hay nhiều đa thức).
• Xây dựng hệ thống bài tập củng cố.
II. Chuẩn Bị
• Bảng phụ ,thước kẻ, phấn màu.
• Sgk toán 6 tập .
• Đại số sơ cấp và thực hành giải toán(Hoàng Kì).
• Lý thuyết số (Nguyễn Hữu Hoan).
III. Nội Dung
Hoạt động của GV và HS Nội Dung
Hoạt Động 1 : Kiểm Tra Bài Cũ
Câu 1:
a. Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác
0 khi nào ?.
HS: Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b
khác 0 khi tồn tại số tự nhiên q sao cho
a= b.q
b, Khi ấy b là gì của a ?.
HS: b là ước của a (a là bội của b)
c, tìm ước của 4 và 6?
HS : Ư(4)={1;2;4}
Ư(6)={1;2;3;6}
Câu 2:
a,Ước chung của hai số a và b là gì ?

HS : Ước chung của hai số a và b là ước của hai
số đó .
GV:Ước chung của hai hay nhiều số là ước của
tất cả các số đó.
b, tìm ƯC của 4 và 6 ?
HS :ƯC(4;6)=Ư(4)
I
Ư(6)={1;2}
GV: Số nào là số lớn nhất trong tập hợp các ước
chung của 4 và 6?
HS: Số “2” số lớn nhất trong tập hợp các ước
chung của 4 và 6.
1.Ước:
Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác
0 khi tồn tại số tự nhiên q sao cho
• a= b.q (b là ước của a )
Ư(4)={1;2;4}
Ư(6)={1;2;3;6}
2, Ước chung của hai hay nhiều số là ước
của tất cả các số đó.
ƯC(4;6)=Ư(4)
I
Ư(6)={1;2}
GV: Số “2” được gọi là gì ? chúng ta cùng đi
qua bài học hôm nay để tìm đáp án cho câu hỏi
này.
Hoạt động 2: Tìm ƯCLN Bằng Cách Phân Tích Các Số Ra Thừa Số Nguyên Tố
1.ƯCLN
Vd1: Từ câu 2 ta có : ƯC(4;6)={1;2}
• 2 là ƯC của 4 và 6

• 2 là số lớn nhất trong tập các ước chung
của 4 và 6.
Số 2 được gọi là ước chung lớn nhất của 4 và 6
. KH :ƯCLN(4;6)
Vd2: ƯCLN(8,12) = ?
GV hướng dẫn:
• B1: tìm ƯC(8,12)
• B2: Số nào là số lớn nhất trong tập
hợp các ước chung của 8 và 12?
HS: B1: ƯC(8,12)={1;2;4}
B2: Số “4” là số lớn nhất trong tập hợp các
ước chung của 8 và 12.
Vậy ƯCLN(8,12)= 4.
Vd3: ƯCLN(36;84;168) = ?
GV hướng dẫn :
• Để tìm ƯC(36;84;168) thì ta phải liệt
kê từng Ư(36);Ư(84); Ư(168) thì rất
lâu và khó.
• Đó là cách tìm ước chung theo định
nghĩa (liệt kê từng ước=> tìm ước
chung=>lấy số lớn nhất).
• Có phương pháp nào giúp ta tìm
ƯCLN của nhiều số có giá trị tương
đối lớn một cách dễ dàng ! (khắc
phục hạn chế liệt kê từng ước).
2.Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra
thừa số nguyên tố
? Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa
số nguyên tố là gì?
HS: Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa

số nguyên tố là: viết số đó dưới dạng tích các
thừa số nguyên tố.
Vd1: Phân tích sồ 30 ra thừa số nguyên tố ?
HS : 30= 2.3.5
Vd1 (Vd3 phần 1): ƯCLN(36;84;168) = ?
GV hướng dẫn :
B1 :Phân tích 3 số đó ra thừa số nguyên tố
• 36= ?
• 84=?
• 168=?
HS: 36= 2.2.3.3 = 2
2
.3
2
84= 2.2.3.7 = 2
2
.3.7
168= 2.2.2.3.7 = 2
3
.3.7
B2 : Chọn các thừa số chung lấy số mũ nhỏ
nhất ?
1.ƯCLN
ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất
trong tập hợp các ước chung của các số đó.
Nhận Xét :
• Tất cả các ước chung của 4 và 6(là1;2)
đều là ước của ƯCLN(4;6).
• Vậy để tìm các ước chung của các số
đã cho thì ta tìm ước của “ƯCLN của

các số đó”.
Vd 2: ƯCLN(8,12) = ?
B1: ƯC(8,12)={1;2;4}
B2: Số “4” là số lớn nhất trong tập hợp
các ước chung của 8 và 12.
Vậy ƯCLN(8,12)= 4.
2. Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các
số ra thừa số nguyên tố
a, phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa
số nguyên tố là: viết số đó dưới dạng tích các
thừa số nguyên tố.
Vd1: 30= 2.3.5
Quy tắc: Muốn tìm ƯCLN của hai hay
nhiều số lớn hơn 1, ta thực 3 bước :
B1 :Phân tích mỗi số đó ra thừa số nguyên tố.
B2 : Chọn các thừa số chung lấy số mũ nhỏ
nhất.
B3 : Lập tích các thừa số đã chọn ,mỗi thừa
số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.Tích đó là
ƯCLN phải tìm.
Vd 2:ƯCLN(14;6,20) = ?
B1:phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố:
Hoạt động 3 :Thuật Toán Ơ-clit
1. Thuật Toán Ơ-clit
Vd1(Vd3 phần 2): ƯCLN(396;378) = ?
Ta có : 396 = 378.(…)+ (…) ?
HS: 396 = 378.1+ 18
Theo bổ đề 2 ta được:
• ƯCLN(396;378) = ƯCLN(…;...) ? (*)
HS: ƯCLN(396;378) = ƯCLN(378;18) (*)

Ta có : 378 = 18.(…) + (…) ?
HS: 378 = 18.21 + 0
Theo bổ đề 1 :
• ƯCLN(378;18) = … ? (**)
HS: ƯCLN(378;18) = 18 (**)
Vậy từ (*) và (**) ta có: … = …
HS: Vậy từ (*) và (**) ta có:
ƯCLN(396;378) = 18.
Vd2: ƯCLN(126;51) = ?
Áp dụng theo từng bước của thuật toán Oclit.
HS:
• B1 : Ta có 126 = 51.2 + 24
Vì 24
≠
0 nên ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24)
• B2; 51 = 24.2 + 3
Vì 3
≠
0 nên
ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24)=ƯCLN(24;3)
• B3; 24 = 3.8 + 0
Vậy :
ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24)=ƯCLN(24;3)=3
GV hướng dẫn cách ghi sau:
126 51

51 24 2

24 3 2

0 8
Vd3: a, ƯCLN(57;38) = ?
323 57

57 38 5

38 19 1
1. Thuật Toán Ơ-clit
Định lí :
∃
ƯCLN(a;b)
∀
a, b
∈
Z
*
.
 Với hai số nguyên a,b khác 0 ta có
ƯCLN(a;b) = ƯCLN(|a|;|b|) nên ta có thể giả
thiết a>0,b>0 và a>b.
a, B ổ đề 1 : ƯCLN(a;b) = b nếu aMb .
Vd :ƯCLN(12;48) = 12.
b, Bổ đề 2 : nếu a = bq + r , 0
≤
r < b thì
ƯCLN(a;b) = ƯCLN(b;r)
 Thuật Toán : cho a,b là 2 số nguyên (a > b
> 0) tìm số tự nhiên d = ƯCLN(a;b)
Thực hiện phép chia có dư:
a = bq + r (*) 0

≤
r < b
Đặt: a = r
o
, b= r
1
, r = r
2
, q = q
1
khi đó (*) trở
thành:
r
o
= r
1
.q
1
+ r
2
(0
≤
r
2
<r
1
)
B1: Nếu r
2
= 0 (hay a

M
b) theo bổ đề 1 ta được:
d=ƯCLN(a;b) = ƯCLN(r
o
;r
1
) = r
1
= b

.
⇒
Kết thúc
B2: Nếu r
2

≠
0 (hay a
M
b) theo bổ đề 2 ta được:
d=ƯCLN(a;b)=ƯCLN(r
o
;r
1
) =ƯCLN(r
1
; r
2
)

Thực hiện phép chia có dư:
r
1
= r
2
.q
2
+ r
3
(0
≤
r
3
<r
2
)
B3: Nếu r
3
= 0 thì d = r
2

⇒
Kết thúc.
B4: Nếu r
3

≠
0 quay lại B2 ……
Thực hiện liên tiếp quá trình này ta được dãy
giảm nghiêm ngặt những số tự nhiên:

r
1
> r
2
> r
3
………….
≥
0
Quá trình trên phải kết thúc, không quá b bước (
∃
n <= b sa o cho r
n-1
= r
n
.q
n
)
d=ƯCLN(a;b)=ƯCLN(r
o
;r
1
) =ƯCLN(r
1
; r
2
)
………. = ƯCLN(r
n-1
;r

n
) .
Hệ Quả : Nếu d = ƯCLN(a;b)
⇒

∃
x,y
∈
Z
sao cho d = a.x + b.y.
Khi d = 1 thì a,b nguyên tố cùng nhau
Vd2: ƯCLN(126;51) = ?
• B1 : Ta có 126 = 51.2 + 24
Vì 24
≠
0 nên ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24)
• B2; 51 = 24.2 + 3
Vì 3
≠
0 nên
ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24)=ƯCLN(24;3)
0 2
ƯCLN(323;57) = 19 .
b, Tìm x,y
∈
Z sao cho 19 = 323.x + 57.y ?
GV hướng dẫn :
Từ thuật toán Ơ-clit ta suy ra được một thuật
toán cho phép tìm đồng thời d = ƯCLN(a;b) và
cặp số x,y

∈
Z sao cho d =a.x + b.y.Được gọi là
thuật toán Ơ-clit mở rộng .
2 Thuật Toán Ơ-clit mở rộng
Vd1 (Vd3 b):
Tìm x,y
∈
Z sao cho 19 = 323.x + 57.y ?
• B3; 24 = 3.8 + 0
Vậy :
ƯCLN(126;51)=ƯCLN(51;24)=ƯCLN(24;3)=3
2. Thuật Toán Ơ-clit mở rộng
Tìm công thức của x
k
,y
k
sao cho ở từng bước
của thuật toán Ơ-clit xảy ra đẳng thức :
r
k
= a.x
k
+ b.y
k
(*)
Vì: r
0
= a = a.1+ b.0 nên lấy x
0
= 1, y

0
=0
r
1
= b = a.0+ b.1 nên lấy x
0
= 0, y
0
=1
Giả sử tính được x
k-2
, y
k-2
và x
k-1
, y
k-1
thì :
• x
k
= x
k-2
- x
k-1
.q
k-1
• y
k
= y
k-2

- y
k-1
.q
k-1
(2
≤
k
≤
n)
Khi thuật toán kết thúc thì r
n+1
=0 và d = r
n
.
(*) trở thành : r
n
= a.x
n
+ b.y
n

Với :

x
n
= x
n-2
– x
n-1
.q

n-1
y
n
= y
n-2
– y
n-1
.q
n-1
Vậy:

d = r
n
và x = x
n
,y = y
n
d = ƯCLN(a;b) và d =a.x + b.y
i q r
0
r
1
r
2
x
0
x
1
x
2

y
0
y
1
y
2
0 5 323 57 38 1 0 1 0 1 -5
1 1 57 38 19 0 1 -1 1 -5 6
2 2 38 19 0 1 -1 -5 6
Vd2 :Tìm x,y
∈
Z sao cho d = 41.x + 24.y
Với d = ƯCLN(41;24) ?
i q r
0
r
1
r
2
x
0
x
1
x
2
y
0
y
1
y

2
0 1 41 24 17 1 0 1 0 1 -1
1 1 24 17 7 0 1 -1 1 -1 2
2 2 17 7 3 1 -1 3 -1 2 -5
3 2 7 3 1 -1 3 -7 2 -5 12
4 3 3 1 0 3 -7 -5 12
ƯCLN(41;24) = 1 và 1 = 41.(-7) + 24.12
Vd3 : ƯCLN(f(x);g(x)) = ? f(x) = x
4
– 4x
3
+ 3x
2

+ 4x – 4 và g(x) = x
4
– 4x
3
+ 5x
2
– 2x
GV hướng dẫn : để tìm ƯCLN của 2 đa thức ta có
thể dùng thuật toán Ơ-clit như tìm ƯCLN của hai