Chương 1 - Bài 6: Khảo sát hàm số - Vẽ đồ thị

Nguy n Phú Khánh – à L t

Bài 6: KH O SÁT S BI N THIÊN
VÀ V
TH HÀM S
6.1 TÓM T T LÝ THUY T

( )

Hàm s b c ba f x = ax 3 + bx 2 + cx + d

(a ≠ 0 )

( )

th c a hàm s f x = ax 3 + bx 2 + cx + d

Dáng i u

8

(a ≠ 0 )

y

y
5

6

4

x
-8

2

-6

-4

-2

2

4

6

8

x
-6

-4

-2

2

4

-5

-2

-4

M t s tính ch t thư ng g p c a hàm s b c ba
1.
th c t Ox t i 3 i m phân bi t

 f ′(x ) =0 :có 2 nghiem phan biet x 1, x 2

⇔
 f (x 1 ).f (x 2 ) < 0

2. Gi s a > 0 ta có :
a)
th c t Ox t i 3 i m phân bi t có hồnh

b)

>α

 f ′(x ) = 0 có 2 nghiem phan biet α < x < x
1
2

⇔  f (α ) < 0
 f (x ).f (x ) < 0
2

 1
th c t Ox t i 3 i m phân bi t có hồnh
<α
 f ′(x ) = 0 có 2 nghiem phan biet x < x < α
1
2

⇔  f (α ) > 0
 f (x ).f (x ) < 0
2
 1

Tương t cho trư ng h p a < 0 .
Ví d 1:Kh o sát s bi n thiên và v
* Hàm s

ã cho xác

th c a hàm s y = x 3 + 3x 2 + 1 .
Gi i:

nh trên »
123


Nguy n Phú Khánh – à L t
* Gi i h n : lim y = −∞

lim y = +∞ hàm s khơng có ti m c n.

x →−∞

x →+∞

o hàm : y ' = 3x 2 + 6x

*

x = −2, f −2 = 5
y' = 0 ⇔ 
x = 0, f 0 = 1


( )
()

(

)

(

)

ng bi n trên các kho ng −∞; −2 và 0; +∞ , ngh ch bi n trên

Hàm s

(

kho ng −2; 0

)

Hàm s có i m c c

( )

i t i x = −2, f −2 = 5 và có i m c c ti u t i

()

x = 0, f 0 = 1
* B ng bi n thiên :
x
−∞
y'
0
y

−2

0

+∞

0

+

−

+
5

+∞
1

−∞

( )

* f '' x = 6x + 6

( )
nên I ( −1; 3 ) là

( )

( )

f '' x = 0 ⇔ x = −1, f −1 = 3 , f '' x

*

th :
th hàm s

i mu nc a

i d u m t l n qua nghi m x = −1

th .

i qua các i m

y

( −3;1) , ( −2;5 ) , ( −1; 3 ) , ( 0;1) , (1; 5 ) và
nh n i m I ( −1; 3 ) là i m u n c a

5

th .

3

-3

-2

-1

0

1

x

Ví d 2: Cho hàm s y = −x 3 − 3x 2 + mx + 4 , trong ó m là tham s th c.

1. Kh o sát s bi n thiên và v
th c a hàm s ã cho, v i m = 0
2. Tìm t t c các giá tr c a tham s m
hàm s ã cho ngh ch bi n trên
kho ng 0; +∞ .

(

)

Gi i :
124


Nguy n Phú Khánh – à L t
1. V i m = 0 , ta có hàm s y = −x 3 − 3x 2 + 4
* Hàm s ã cho xác nh trên »
* Gi i h n : lim y = −∞
lim y = +∞ hàm s không có ti m c n.
x →−∞

*

x →+∞

2

o hàm : y ' = −3x − 6x

x = −2, y −2 = 0

y' = 0 ⇔ 
x = 0, y 0 = 4


( )
()

(

)

ng bi n trên kho ng −2; 0 , ngh ch bi n trên các kho ng

Hàm s

( −∞;2 ) và ( 0; +∞ )
Hàm s

có

()

i t i x = 0, y 0 = 4 và có

i m c c

i m c c ti u t i

( )

x = −2, y −2 = 0

* B ng bi n thiên :
x
−∞
y'
0
+∞
y

−2

0

+∞

0

−

+

−
4
0

*
th :
Giao i m c a

−∞
y

th v i tr c

4

( )

Oy A 0; 4

Giao i m c a th v i tr c
Ox B −2; 0 ,C 1; 0

(

) ( )

−3 −2

2. Tìm t t c các giá tr c a tham s m

(

hàm s

O

1

x

ã cho ngh ch bi n trên

)

kho ng 0; +∞ .
Hàm s

(

)

ã cho ngh ch bi n trên kho ng 0; +∞ khi và ch khi

( )

y ' = −3x 2 − 6x + m ≤ 0, ∀x > 0 ⇔ m ≤ 3x 2 + 6x = f x

( )
( )
Ta có f ' ( x ) = 6x + 6 > 0, ∀x > 0 và f ( 0 ) = 0 .
Hàm s f x = 3x 2 + 6x liên t c trên 0; +∞

B ng bi n thiên
125


Nguy n Phú Khánh – à L t

x
y'

0

+∞
+
+∞

y

0

ó ta ư c : m ≤ 0 .

T

Bài t p t luy n
1. a ) Kh o sát s bi n thiên và v

( )

f x = −x 3 +

( )

th C c a hàm s

3 2
x + 6x − 3 .Ch ng minh r ng phương trình

2

3 2
x + 6x − 3 = 0 có ba nghi m phân bi t , trong ó có m t nghi m dương
2
1
nh hơn .
2
b ) Kh o sát s bi n thiên và v
th C c a hàm s
−x 3 +

( )

1 3
17
x − 2x 2 +
.Ch ng minh r ng phương trình f x = 0 có 3 nghi m
3
3
phân bi t.

( )

( )

f x =

c) Kh o sát s bi n thiên và v

( )

th C c a hàm s

( )

f x = −x 3 + 3x 2 + 9x + 2 . Vi t phương trình ti p tuy n c a

i m có hồnh

(

( )

th C t i

( )

x 0 , bi t r ng f '' x 0 = −6 . Gi i b t phương trình

)

f ' x −1 > 0
d ) Kh o sát s bi n thiên và v

th hàm s

( )

c các ư ng th ng i qua i m M 4; 4 và c t

2. Tìm h s a, b, c sao cho

f (x ) = x 3 − 6x 2 + 9x .Tìm t t

( )

th C t i 3 i m phân bi t.

( )

th c a hàm s f x = x 3 + ax 2 + bx + c c t tr c

tung t i i m có tung
b ng 2 và ti p xúc v i ư ng th ng y = 1 t i i m có hoành
là −1 . Kh o
sát s bi n thiên và v
th c a hàm s v i giá tr a, b, c v a tìm ư c

126


Nguy n Phú Khánh – à L t
1
3. Tìm các h s m, n, p sao cho hàm s f x = − x 3 + mx 2 + nx + p
3

( )

( )

i t i i m x = 3 và

()

th C ti p xúc v i ư ng th ng d : y = 3x −

tc c
1
t i
3

( )

giao i m c a C v i tr c tung .
Hư ng d n :
1. a ) T b ng bi n thiên ta th y phương trình cho có ba nghi m phân bi t
f

x 1 < −1 < x 2 < 2 < x 3 và 
f

b ) f −2 f 0 < 0 .Hàm s

( ) ()

( 0 ) = −3 < 0

1
 1
⇒ f 0 .f   < 0 ⇒ x ∈  0;  .

1 1
 = >0
2
 2
2 4

()

f liên t c trên o n 0;2  và theo
 

(

nh lý v giá tr

)

trung gian c a hàm s liên t c , t n t i m t s th c α ∈ −2; 0 sao cho

( )

( )

f α = 0 . S α là m t nghi m c a phương trình f x = 0 . M t khác hàm s
f

(

)

ng bi n trên kho ng 0; +∞ nên phương trình có nghi m duy nh t

α ∈ ( −2; 0 ) .

() ()

f 0 f 4 < 0 . Hàm s f liên t c trên o n 0; 4  và theo
 

nh lý v giá tr

( )

trung gian c a hàm s liên t c , t n t i m t s th c β ∈ 0; 4 sao cho

( )

( )

f β = 0 . S β là m t nghi m c a phương trình f x = 0 . M t khác hàm s
f

( )

( )

ng bi n trên kho ng 0; 4 nên phương trình có nghi m duy nh t β ∈ 0; 4 .

(

)
ó phương trình f ( x ) = 0

Tương t phương trình có nghi m duy nh t thu c kho ng 4; +∞ .
th c t tr c hoành t i 3 i m phân bi t , do

có 3 nghi m phân bi t.
c) f '' x = −6x + 6 ⇒ x 0 = 2, f 2 = 24 ⇒ t : y = 9x + 6

( )
()
()
f ' ( x − 1) = −3 ( x − 1) + 6 ( x − 1) + 9 = −3x + 12x
⇒ f ' (x ) > 0 ⇔ 0 < x < 4
2

2

2.

127


Nguy n Phú Khánh – à L t
2 = c
a = 3



 f −1 = −1 + a − b + c = 1 ⇔ b = 3


c = 2
 f ' −1 = 3 − 2a + b = 0


3.

 
1 


 d ∩ Oy = A  0; −  

1
3 
 



p = −
3

1

⇔ n = 3
f 0 =p=−

3

m = 1

f ' 0 = n = 3


 f ' 3 = 6m − 6 = 0


( )
( )

()

()
()
()

( )

(a ≠ 0 )

Hàm s trùng phương f x = ax 4 + bx 2 + c

( )

(a ≠ 0 )

th c a hàm s f x = ax 4 + bx 2 + c

Dáng i u

y

y

x

x2

x1

x

O

x1 O

x2

M t s tính ch t thư ng g p c a hàm s trùng phương
1.

th c a hàm s

( )

f x = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) c t tr c hoành t i 4

i m phân bi t l p thành c p s
c ng khi phương trình:
2
2

aX + bX + c = 0, X = x ≥ 0 có 2 nghi m dương phân bi t th a X1 = 9X 2 .

(

)

2. Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0

(1 )
()

t t = x 2 ≥ 0 ⇔ x = ± t , ta có phương trình: at 2 + bt + c = 0 2 M t

()

nghi m dương c a 2

()

ng v i 2 nghi m c a 1 .

V y i u ki n c n và

()

()

phương trình 1 có nghi m là phương trình 1 có ít

nh t m t nghi m khơng âm.

128


Nguy n Phú Khánh – à L t

∆ > 0

1 có 4 nghi m ⇔ 2 có 2 nghi m dương ⇔ P > 0
S
 >0
2

()

()

P = 0

1 có 3 nghi m ⇔ 2 có 1 nghi m dương và 1 nghi m b ng 0 ⇔  S
 >0
2
P < 0

∆ = 0
1 có 2 nghi m ⇔ 2 có 1 nghi m dương ⇔  
S
 > 0
 2
 P = 0


S < 0
t1 < 0 = t2

1 có 1 nghi m ⇔ 2 có nghi m th a 
⇔  2
∆ = 0
t1 = t2 = 0


S
 2 = 0

∆ < 0


 ∆ ≥ 0
1 vô nghi m ⇔ 2 vơ nghi m ho c có 2 nghi m âm ⇔  
P >0

S


 2 < 0

0 < t1 < t2

1 có 4 nghi m t o thành c p s c ng ⇔ 
. Ta gi i h pt:
 t2 = 3 t1


t = 9t
1
2
S = t1 + t2
P = t t
1 2


()

()

()

()

()

()

()

()

()

3. Phương trình b c 4 có tính

i x ng: ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0

(1 )

N u a = 0 , ta có phương trình: x (bx 2 + cx + b) = 0
N u a ≠ 0 , ta có phương trình tương ương:


1 
1
a x2 + 2  + b x +  + c = 0
x
x 



•
•

129


Nguy n Phú Khánh – à L t
1
, phương trình ư c vi t thành:
x
a(t 2 − 2) + bt + c = 0, t ≥ 2 2

tt =x +

()

Chú ý:
1
, ta có:
x
* M t nghi m l n hơn 2 c a phương trình 2 tương ng v i 2 nghi m dương

Khi kh o sát hàm s t = x +

()

()

c a phương trình 1 .

()

* M t nghi m nh hơn 2 c a phương trình 2 tương ng v i 2 nghi m âm c a

()

phương trình 1 .

()

* M t nghi m t = −2 c a phương trình 2 tương ng v i nghi m x = −1 c a

()

phương trình 1 .

()

* M t nghi m t = 2 c a phương trình 2 tương ng v i nghi m x = 1 c a

()

phương trình 1 .
1
vơ nghi m khi t < 2
x
4. Phương trình b c 4 có tính i x ng: ax 4 + bx 3 + cx 2 − bx + a = 0

* Phương trình t = x +

(1 )

N u a = 0 , ta có phương trình: x (bx 2 + cx − b) = 0
N u a ≠ 0 , ta có phương trình tương ương:


1 
1
a x 2 + 2  + b x −  + c = 0
x
x 


•
•

1
, phương trình ư c vi t thành:
x
a(t 2 + 2) + bt + c = 0, t ∈ » 2

tt =x −

()

1
có 2 nghi m trái d u v i m i t
x
5. (x + a )(x + b )(x + c )(x + d ) = e , v i a + b = c + d .

Chú ý: Phương trình t = x −
t t = x 2 + (a + b )x .

6. (x + a )4 + (x + b )4 = c ,v i α =

Ví d 1:Kh o sát s bi n thiên và v

a −b
.
2

tt =x+

a +b
, t∈»

2

th c a hàm s y = x 4 − 2x 2 − 3 .
130


Nguy n Phú Khánh – à L t

Gi i:
* Hàm s ã cho xác nh trên »
* Gi i h n : lim y = lim y = +∞ hàm s khơng có ti m c n.
x →−∞

x →+∞

(

( )

o hàm : f ' x = 4x 3 − 4x = 4x x 2 − 1

*

x = 0, f 0 = −3

f ' x = 0 ⇔ x = −1, f −1 = −4
x = 1, f −1 = −4


* B ng bi n thiên :

x
−∞
−1
y'
−
−
0
+
+∞
y
−4

()
( )
( )

( )

Hàm s

)

(

0

1

0

+∞
0

+
−3

+∞
−4

)

(

)

ng bi n trên các kho ng −1; 0 và 1; +∞ , ngh ch bi n trên kho ng

( −∞; −1) và ( 0;1)
Hàm s có i m c c

( )
f '' ( x ) = 12x

x = −1, f −1 = −4

*

2

()

x = 1, f (1) = −4

i t i x = 0, f 0 = −3 và có i m c c ti u t i
và

−4


3 
3
5
x 1 = −
, f −
 = −3
 3 
3
9



f '' x = 0 ⇔ 
, f '' x
i d u hai l n qua nghi m
3  3
5
x =
 = −3
,f 
 2
 3 

3
9




 3
3
5
5
3
3
x = x1 = −
và x = x 2 =
nên U 1  −
; −3  và U 2 
; −3  là
 3

3
3
9
9


 3

hai i m u n c a th .
*
th :

( )

( )

131


Nguy n Phú Khánh – à L t
Giao i m c a

(

tr c Oy A 0; −3

f(x)=x^4-2x^2-3

)

Giao i m c a
tr c

5

th v i

) (

(

y

th v i

Ox B − 3; 0 ,C

3; 0

)

x
-8

-6

-4

-2

2

th là hàm s ch n nên
nh n tr c Oy làm tr c
i x ng

4

6

8

-5

(

)

4
2
2
4
Ví d 2: Ch ng minh r ng phương trình: x − 2 m + 2 x + m + 3 = 0

luôn có 4 nghi m phân bi t x 1, x 2 , x 3 , x 4 v i m i giá tr c a m .
2

2

2

2

Tìm giá tr m sao cho x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 = 11 .
Gi i:

(

)

x − 2 m + 2 x + m + 3 = 0 (1 )

4

2

2

4

(

)

( ) (t ≥ 0 )

t : t = x 2 , ta có : t 2 − 2 m 2 + 2 t + m 4 + 3 = 0 2

(2 ) ln có hai nghi m : 0 < t

Ta ch ng t

1

(

∆ ' = m2 + 2

2

) − (m

4

< t2 .

)

+ 3 = 4m 2 + 1 > 0 v i m i m .

()

V y 2 ln có hai nghi m phân bi t t1, t2 và t1 ⋅ t2 = m 4 + 3 > 0

(

)

t1 + t2 = 2 m 2 + 2 > 0

()

Do ó phương trình 1 có 4 nghi m : − t1 , t1 , − t2 , t2
2
2
2
2
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4
2

2

2

2

( ) + ( t ) + ( − t ) + ( t ) + ( − t ) ⋅ ( t ) ⋅ ( − t ) ⋅ ( t ) = 2 (t + t ) + t ⋅ t
x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 4 (m + 2 ) + m + 3 = m + 4m + 11
= − t1
2
1

2
1

1

2
2

2
2

2
3

2
3

2

2

4

2

1

1

2

1

2

3

2

2

4

1

4

2

1

2

2

4

2
4

x + x + x + x + x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 = 11 ⇔ m 4 + 4m 2 + 11 = 11 ⇔ m 4 + 4m 2 = 0 ⇔ m = 0

Hàm s h u t

( )

f x =

ax + b
cx + d

y=

ax + b
cx + d

( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) ⇒ f ' (x ) =

ad − bc
2

(cx + d )

132


Nguy n Phú Khánh – à L t

( )

th c a hàm s f x =

Dáng i u

y

a
c

ax + b
cx + d

I

ã cho xác

y

O

x

a
c

d
−
c

Ví d : Kh o sát s bi n thiên và v
* Hàm s

( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 )

th c a hàm s y =

x

d
c

I

2x − 1
x −1

Gi i :
nh D = » \ 1

{}

* Gi i h n :
lim− y = −∞ lim+ y = +∞ ⇒ x = 1 là ti m c n
x →1

−

ng

x →1

lim y = lim y = 2 ⇒ y = 2 là ti m c n ngang.

x →−∞

*

x →+∞

o hàm : y ' =

−1
< 0, x ≠ 1 .
(x − 1)2

(

)

(

)

th c a hàm s ngh ch bi n trên các kho ng −∞;1 và 1; +∞ .
* B ng bi n thiên :
x
−∞
y'
2
y

1

+∞

−

−
+∞
−∞

2

133


Nguy n Phú Khánh – à L t
*

th : Giao i m c a

th

( )

v i tr c Oy A 0;1

Giao i m c a th v i tr c
1 
Ox B  ; 0 
2 
th c a hàm s nh n
I 1;2 giao i m hai ư ng

( )

ti m c n làm tâm

i x ng.

Hàm s h u t

y=

ax 2 + bx + c
aa ' x 2 + 2ab ' x + bb '− ca '
⇒y' =
2
a 'x + b '
a 'x + b '

(

th c a hàm s y =

Dáng i u

y

)

ax 2 + bx + c
a 'x + b '

y

15

10

I

x

I

5

x
-10

-5

5

10

-5

Dáng i u hàm s ch a giá tr tuy t i
x2
x2
f x =
C
f x =
C1
x −1
x −1

( )

( )

( )

( )

y

y

6
6

5

5

4

4

y=x+1

3

y=x+1

3
2

2

y=-x-1
1

1

x
-4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

4
-1

x=1

-1
-2

x=1

-2
-3

-3

134


Nguy n Phú Khánh – à L t

( )

f x =

x2

(C )

( )

f x =

2

x −1

x2
C3
x −1

( )

y

y

6

6
4

y=-x+1

y=x+1
4

y=x+1

2

y=-x+1
2
-4

-3

-2

-1

1

x=-1

2

3

4

x

x=1
-4

-2

-3

-2

-1

x=-1

( )

f x =

x2
x −1

(C )

( )

f x =

4

1

2

3

4

x=1

-2

x2
C5
x −1

( )
y

y

8

6
6
4
4

y=x+1

y=-x-1

y=x+1

2

x
-8

y=-x-1

-6

-4

-2

2

2
-2

-3

-2

-1

1

x=-1

2

3

6

8

x=1

-4

x
-4

4

4

-6

x=1

-8

-2
-10

Ví d 1: Kh o sát s bi n thiên và v

* Hàm s

ã cho xác

x →1

x 2 − 3x + 6
x −1

Gi i :
nh D = » \ 1

* Gi i h n :
lim− y = −∞ lim+ y = +∞
x →1

th c a hàm s y =

{}

lim y = −∞

x →−∞

lim y = +∞ ⇒ x = 1 là ti m c n

x →+∞

ng
4
4
lim y − x − 2  = lim
= 0, lim y − x − 2  = lim
= 0 là
 x →−∞ x − 1
 x →+∞ x − 1
x →−∞ 
x →+∞ 

⇒ y = x − 2 ti m c n xiên.

(

)

(

)

135


Nguy n Phú Khánh – à L t
*

o hàm : y ' =

x 2 − 2x − 3
,x ≠ 1.
(x − 1)2

x = −1, f −1 = −5
y' = 0 ⇔ 
 x = 3, f 3 = 3

* B ng bi n thiên :
x
−∞
−1

y'
+
0

( )
()

1

−

3
0

−

+∞
+

+∞

+∞

y
−∞
−∞
ng bi n trên các kho ng −∞; −1 và 3; +∞ , ngh ch bi n trên

(

Hàm s

(

)

)

(

)

( )

kho ng −1;1 và 1; 3

( )

i t i x = −1, f −1 = −5 và có i m c c ti u t i

Hàm s có i m c c

()

x = 3, f 3 = 3
*

th : Dành cho b n

Ví d 2: Cho hàm s y =

c
mx 2 + (2m − 1)x − 1
có
x +2

( )

th là C m , m là tham

s .
1.Ch ng minh r ng v i m i m > 0 hàm s ln có c c

i , c c ti u .

( )

th C c a hàm s v i m = 1 .

2.Kh o sát s bi n thiên và v

3.Vi t phương trình ti p tuy n v i

( )

th C c a hàm s bi t ti p tuy n i

( )

qua A 1; 0 .

Gi i :
y = mx − 1 +

1. y ' = m −

1
. Hàm s cho xác
x +2
1

(x + 2 )

2

=

{ }

nh D = » \ −2

2

( ) −1.
(x + 2)

m x +2

2

V i m > 0 thì phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t khác −2 . V y hàm

s ln có c c i và c c ti u khi m > 0 .
1
2.V i m = 1, y = x − 1 +
x +2
136


Nguy n Phú Khánh – à L t

{ }

* Hàm s cho xác
*

nh D = » \ −2

lim y = −∞ và lim y = +∞

x →−∞

x →+∞

lim − y = −∞ và lim + y = +∞ nên ư ng th ng x = −2 là ti m c n ng
x →( −2 )
( )
c a th hàm s .
1
1
Vì lim y − x − 1  = lim
= 0 và lim y − x − 1  = lim

=0
 x →+∞ x + 2
 x →−∞ x + 2
x →+∞ 
x →−∞ 
nên ư ng y = x − 1 là ti m c n xiên c a th hàm s .
Vì

x → −2

(

)

(

)

2

( x + 2 ) − 1 , x ≠ −2
1
* y' =1−
=
(x + 2 ) ( x + 2 )
 x = −1, y ( −1) = −1
y ' = 0 ⇔ (x + 2 ) − 1 = 0 ⇔ 
x = −3, y ( −3 ) = −5

2

2

2

* B ng bi n thiên
x
−∞
y'
+

−3
0
−5

−2

−

−

−1
0

+∞
+

+∞

+∞

y
−∞

−∞
−1
ng bi n trên các kho ng : −∞; −3 , −1; +∞ và ngh ch

(

th c a hàm s

(

)(

bi n trên các kho ng −3; −2 , −2; −1
th c a hàm s

t i mc c

)(

)

)
( )

i t i x = −3, y −3 = −5 và

t i m c c ti u

( )

t i x = −1, y −1 = −1 .
th : H c sinh t v
3.Xét d i qua A 1; 0 và có h s góc k . Nên d : y = k x − 1

()

(d ) ti p xúc v

i

( )
th (C ) c

()

(

)

a hàm s khi h sau có nghi m:


1
= k (x − 1)
x − 1 +
x +2

5
5

⇒ k = .V y ti p tuy n là: d : y = (x − 1)

1
9
9
=k
 1−
2
x +2



()

(

)

Ví d 3: Cho hàm s

y=

x2 + 3
x −1

( 1)
137

Nguy n Phú Khánh – à L t
1. Kh o sát và v

(1 )

th c a hàm s

2. Tìm trên ư ng th ng y = 4 các i m mà t
n
th hàm s .
Gi i :

ư c úng 2 ti p tuy n

ók

x2 + 3
1. Kh o sát và v
th c a hàm s y =
x −1
Hàm s cho xác nh D = » \ 1

( 1)

{}

* y' =

x 2 − 2x − 3

( x − 1)

2

x = −1, y −1 = −2
,x ≠ 1 ⇒ y ' = 0 ⇔ 
x = 3, y 3 = 6


Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng

(

( )
()
( −1;1) , (1; 3 )

ng bi n trên các

)

kho ng −∞; −1 ,(3; +∞) .
th c a hàm s

t i mc c

(

)

* lim y = −∞, lim y = +∞ ⇒ x = 1 là ti m c n
−
+
x →1

( )

i t i −1; −2 và

t i m c c ti u t i 3; 6 .
ng.

x →1

* lim y − x + 1  = 0, lim y − x + 1  = 0 ⇒ y = x + 1 là ti m c n xiên.


x →−∞ 
x →+∞ 

(

)

(

)

* B ng bi n thiên
x
y'

−∞
+

−1
0 −
−2

th
1

3
− 0
+∞

+∞
+
+∞

y
6

−0
1

1 3

−3

y
−∞

6

−∞

( )

th : Nh n I 1;2
x ng.
2. Tìm trên ư ng th ng y = 4 các i m mà t ó k
n
th hàm s .

làm tâm

i

ư c úng 2 ti p tuy n

( ) ()

G i M a; 4 ∈ d : y = 4 là i m c n tìm .

( )

( )

(

)

Khi ó ti p tuy n v i C k t M có phương trình : ∆ : y = k x − a + 4 .

138


Nguy n Phú Khánh – à L t
x 2 + 3
= k x −a + 4

 x2 − 1
∆ ti p xúc v i C ⇔  x − 2x − 3
=k

2
 x −1


( )

(

( )

(

T

(1 ) , ( 2 ) ⇒ ( 3 − a ) x
t M k

2

(

)

)

)

( 1)
có nghi m x ≠ 1
(2 )

()

+ 2 a − 7 x + 3a + 7 = 0 3

ư c úng 2 ti p tuy n

n

()

th hàm s . Khi phương trình 3 có

2 nghi m phân bi t x ≠ 1
3 − a ≠ 0
a ≠ 3

a ≠ 3
2



⇔ ∆ = a − 7 − 3a + 7 . 3 − a > 0 ⇔ a 2 − 4a + 7 > 0 ⇔ 
a ≠ 1
3 − a + 2 a − 7 + 3a + 7 ≠ 0
a ≠ 1





(

) (
( )

)(

)

()

V y t p h p các i m c n tìm là ư ng th ng d : y = 4 b

i các i m

(1; 4 ) , ( 3; 4 ) .
Bài 7: GIAO I M C A HAI

TH

Phương pháp :
• L p phương trinh hoành

giao i m c a hai

( )

( )

th C : y = f x và

(C ' ) : y = g (x ) là : f (x ) = g (x ) (*) .
()

()

• Bi n lu n s nghi m c a phương trình * , s nghi m phương trình * là

( )

( )

s giao i m c a C và C ' .
x −3
có
th là C . Tìm t t c tham s th c
x −2
ư ng th ng d : y = mx + 1 c t
th c a hàm s t i 2 i m phân

Ví d 1 : Cho hàm s y =

( )

()

m

bi t.
Gi i :
th là C c t d t i 2 i m phân bi t khi và ch khi phương trình :

( )

()

x −3
= mx + 1 có 2 nghi m phân bi t khi ó phương trình
x −2

139

Nguy n Phú Khánh – à L t
g (x ) = mx 2 − 2mx + 1 = 0 có 2 nghi m phân bi t x ≠ 2 hay
m ≠ 0
m ≠ 0

m < 0


2
∆′ = m − m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 1 ⇔ m > 1
g(2) ≠ 0
4m − 4m + 1 ≠ 0




Bài t p tương t :
1. Tìm t t c tham s th c m
ư ng th ng d : y = mx + 4 c t

()

th c a

x2
t i 2 i m phân bi t.
x −1
d là ư ng th ng i qua A −3;1 và có h s góc m . Tìm t t c

hàm s y =
2. Gi s

()

(

)

()

tham s th c m

th c a hàm s y = x 3 + 3x 2 + 1 t i

ư ng th ng d c t

3 i m phân bi t.
2x − 1
có
th C . G i dm là ư ng th ng i
x +1
qua i m A −2;2 và có h s góc m . Tìm m
ư ng th ng dm c t

( )

Ví d 2 :Cho hàm s y =

(

( )

)

( )

(C )

th

• T i hai i m phân bi t?.
• T i hai i m thu c hai nhánh c a

th ?.
Gi i :

(d ) : y = mx + 2 (m + 1)
(d ) ∩ (C ) : g (x ) = mx + 3mx + 2m + 3 = 0, x ≠ −1 (*)
•
(d ) ∩ (C ) t i hai i m phân bi t khi phương trình (*) có hai nghi m
m

2

m

m

m ≠ 0
m < 0


phân bi t khác −1 . Khi ó ta có h : ∆ > 0
⇔
m > 12
g −1 ≠ 0




( )

•

(d ) ∩ (C ) t i hai
m

()

i m thu c hai nhánh khi phương trình * có hai

( )

nghi m phân bi t x 1 < −1 < x 2 ⇔ mg −1 < 0 ⇔ m < 0 .
Cách khác :

(d ) ∩ (C ) t i hai
m

i m thu c hai nhánh khi phương trình

(*) có hai nghi m phân bi t x < −1 < x . t x = t − 1 khi ó phương trình
(*) tr thành tìm m phương trình mt + mt + 3 = 0 có hai nghi m trái d u.
1

2

2

140


Nguy n Phú Khánh – à L t

( )

Ví d 3 : Tìm tham s m
hàm s
ix

(

)

ư ng th ng dm : y = m x + 1 − 2 c t

1
(C ) : y = x + 1 t i hai

x−
ng nhau qua M (1; 0 ) .

th

i m phân bi t A, B sao cho hai i m A, B

(C ) t i hai i m phân
bi t A, B sao cho hai i m A, B
i x ng nhau qua M (1; 0 ) thì i m M thu c
ư ng th ng (d ) , do ó 0 = m (1 + 1) − 2 ⇔ m = 1 .
• m = 1 thì (d ) ≡ (d ) : y = x − 1 , phương trình hồnh
giao i m (d ) và
x = 0 ⇒ y = −1 ⇒ A ( 0; −1
1

(C ) là x + 1 = x − 1 ⇔ x − 3x = 0 ⇔ x = 3 ⇒ y = 2 ⇒ B ( 3;2 ) )
x−

•

( )

Gi i :
c t
th hàm s

i u ki n c n: ư ng th ng dm

m

m

2

3 1
Vì trung i m AB là  ;  ≠ M nên A, B không i x ng qua M .
2 2
Do ó khơng có giá tr nào c a m th a mãn yêu c u bài tốn.
Ví d 4: Cho hàm s y = x 3 − 3m 2x + 2m có

(Cm ) c t Ox

( )

th là C m . Tìm m

t i úng 2 i m phân bi t.
Gi i:

* Hàm s ã cho xác nh trên » .
* Ta có : y ' = 3x 2 − 3m 2

(Cm ) c t Ox

t i úng 2 i m phân bi t khi (C m ) có 2 c c tr

ng th i

yC = 0 ho c yCT = 0 .

*

(Cm ) có 2 c

c tr ⇔ y ' = 0 có 2 nghi m phân bi t ⇔ 3x 2 − 3m 2 = 0 có

2 nghi m phân bi t .Khi m ≠ 0 thì y ' = 0 ⇔ x = ±m .
B ng xét d u y ' :
x
−m
m
y'
+
0
−
0

+

3

yC = y(−m ) = 0 ⇔ 2m + 2m = 0 ⇔ m = 0 (lo i)
yCT = y(m ) = 0 ⇔ −2m 3 + 2m = 0 ⇔ m = 0 ∨ m = ±1

( )

V y, m = ±1 thì C m c t Ox t i úng 2 i m phân bi t.

Ví d 5: Tìm m

( )

th C m : y = x 3 − 3mx 2 − 3x + 3m + 2 c t tr c Ox

141


Nguy n Phú Khánh – à L t
t i 3 i m phân bi t có hồnh

2
2
2
là x 1, x 2, x 3 th a mãn x 1 + x 2 + x 3 ≥ 15 .

Gi i :

(Cm ) c t tr

c Ox : x 3 − 3mx 2 − 3x + 3m + 2 = 0

x = 1
⇔ (x − 1)[x 2 − (3m − 1)x − 3m − 2]=0 ⇔  2
x − (3m − 1)x − 3m − 2 = 0 2


()

(Cm ) c t tr

là x 1, x 2, x 3 v i x 3 = 1

c Ox t i 3 i m phân bi t có hồnh

()

thì x 1, x 2 là nghi m khác 1 c a phương trình 2 .Theo

nh lý Vi-et ta có:

x1 + x 2 = 3m − 1


x1x 2 = −3m − 2

∆ > 0
9m 2 + 6m + 9 > 0
 (2 )



Theo bài tốn ta có : 12 − (3m − 1).1 − 3m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 0
 2
 2
2
2
x 1 + x 2 + x 3 ≥ 15
9m − 9 ≥ 0



⇔ m ∈ −∞; −1 ∪ 1; +∞ .
 

(

)

()

Ví d 6: Tìm các giá tr c a tham s m sao cho d : y = x + 4 c t

(Cm ) : y = x

3

th

( )
vdt), bi t K (1; 3 ) .

+ 2mx 2 + (m + 3)x + 4 t i ba i m phân bi t A 0; 4 , B,C

sao cho tam giác KBC có di n tích b ng 8 2 (
Gi i :
Phương trình hồnh

( ) ()

i m chung c a C m và d là:

x 3 + 2mx 2 + (m + 3)x + 4 = x + 4 (1) ⇔ x (x 2 + 2mx + m + 2) = 0
x = 0
⇔
2
g(x ) = x + 2mx + m + 2 = 0


(d ) c t (Cm ) t i ba

(2 )

( )

i m phân bi t A 0; 4 , B,C ⇔ phương trình ( 2 ) có 2

nghi m phân bi t khác 0 .
∆/ = m 2 − m − 2 > 0


m ≤ −1 ∨ m ≥ 2
⇔
⇔
(* ) .
m ≠ −2
g ( 0 ) = m + 2 ≠ 0


1−3+ 4
M t khác: d(K , d ) =
= 2

2
Do ó: S∆KBC = 8 2 ⇔ 1 BC.d(K,d) = 8 2 ⇔ BC = 16 ⇔ BC 2 = 256
2

142


Nguy n Phú Khánh – à L t

⇔ (x B − xC )2 + (yB − yC )2 = 256 v i x B , xC là hai nghi m c a phương trình (2).
⇔ (x B − xC )2 + ((x B + 4) − (xC + 4))2 = 256 ⇔ 2(x B − xC )2 = 256
⇔ (x B + xC )2 − 4x B xC = 128 ⇔ 4m 2 − 4(m + 2) = 128
⇔ m 2 − m − 34 = 0 ⇔ m = 1 ± 137 (th a ( * ) ).
2
V y m = 1 ± 137 th a yêu c u bài toán.
2

ax + b
x −1
th hàm s c t tr c tung t i A 0; −1 và ti p tuy n c a

Ví d 7 :Cho hàm s y =

(

1. Tìm a, b

)

( )

th t i A có h s góc b ng −3 . Kh o sát s bi n thiên và v

th C c a

hàm s v i a, b v a tìm ư c .

(

()

)

2. Cho ư ng th ng d có h s góc m và i qua i m B −2;2 . Tìm m

(d ) c t (C ) t i hai

i m phân bi t M 1, M 2 . Các ư ng th ng i qua

M 1, M 2 song song v i các tr c to
t o thành hình ch nh t . Tính các c nh
c a hình ch nh t ó theo m , khi nào hình ch nh t này tr thành hình
vng.
Gi i :

ax + b
A 0; −1 ∈ y =

x −1
2x + 1


a = 2
1. 
⇔
⇒y =
−a − 1
x −1
= −3
b = 1
y ' =

2
x −1



(

)

(

)

(d ) i qua i m B ( −2;2 ) có phương trình y = m (x + 2 ) + 2
(d ) c t (C ) t i hai i m phân bi t M , M khi phương trình

2.

1

2

2x + 1
có hai nghi m khác 1 , hay phương trình
x −1
mx 2 + mx − 2m − 3 = 0 có hai nghi m phân bi t khác 1 , t c là
m ≠ 0
m ≠ 0

4



4
2
m < −
*
∆ = m + 4m 2m + 3 > 0 ⇔  m < − ⇔ 
3
3
m12 + m1 − 2m − 3 ≠ 0

m > 0


 m > 0



(

)

m x +2 +2 =

(

)

()

143


Nguy n Phú Khánh – à L t

(

)

(

)

Gi s M 1 x 1; y1 , M 2 x 2 ; y2 , hai c nh hình ch nh t M 1PM 2Q có

9m 2 + 12m

M 1P = x 2 − x 1 =

m

dài là

, M 1Q = y2 − y1 = 9m 2 + 12m

Hình ch nh t M 1PM 2Q tr thành hình vng khi và ch khi

9m 2 + 12m

M 1P = M 1Q ⇔

m

( ( ))

= 9m 2 + 12m ⇔ m = 1 ⇔ m = 1 do *

Bài t p tương t :
1. Cho hàm s f x = 2x 3 + 3x 2 + 1 có

( )

(P ) : g (x ) = 2x

2

( )

th C và parabol

+1

a ) Kh o sát s bi n thiên và v

th c a hàm s . Tùy theo giá tr c a m , gi i

3

2

và bi n lu n phương trình 2x + 3x − m = 0

b ) Ch ng t r ng trong s ti p tuy n c a

( )

th C thì thi p tuy n t i i m

u n I có h s góc nh nh t . Vi t phương trình ti p tuy n ó. Ch ng t I là
tâm

( )

th C .

i x ng c a

c) G i A, B là giao i m c a

( )

( )

th C và parabol P . Vi t phương trình ti p

( )

( )
nh trên kho ng ó (C ) n m phía trên ho c phía dư i ( P ) .

tuy n c a C và parabol P t i các giao i m c a chúng .

d ) Xác

Hư ng d n :
 1 3
3
3
c) A  − ;  , B 0;1 . Ti p tuy n C t i A, B là y = − x + , y = 1 .Ti p
2
4
 2 2
1
tuy n P t i A, B là y = −2x + , y = 1 .
2
d ) Xét h x = f x − g x = 2x 3 + x 2 . L p b ng xét d u :

( )

( )

( )

( )

( )

( )


1
h x < 0, x ∈  −∞; −  ⇒ C n m phía dư i
2

 1 
P . h x > 0, x ∈  − ; 0  , 0; +∞ ⇒ C n m phía trên P .
 2 

( )

( )

( ) ( )

(

) ( )

( )

( )

2. Cho hàm s f x = x 3 − 3x + 1

144


Nguy n Phú Khánh – à L t

a ) Kh o sát s bi n thiên và v
th c a hàm s . Vi t phương trình ti p
tuy n c a
th t i i m u n I c a nó . Ch ng minh r ng trong s ti p tuy n
c a
th thì ti p tuy n t i I có h s góc nh nh t .

( )

b ) G i dm là ư ng th ng i qua i m I có h s góc m . Tìm các giá tr m

( )

sao cho ư ng th ng dm c t

th

ã cho t i ba i m phân bi t.

Hư ng d n :
a ) y = −3x + 1

b)

( )

(

)

m > −3

3. Cho hàm s f x = x − m + 1 x + m
4

2

a ) Kh o sát s bi n thiên và v
th c a hàm s v i m = 2 . Vi t phương
trình ti p tuy n t i i m u n c a
th .
b ) Tìm các giá tr c a m sao cho
th c a hàm s c t tr c hoành t i b n i m
, t o thành ba o n th ng có
dài b ng nhau .
Hư ng d n :

(

(

)

)(

)

b) x 4 − m + 1 x 2 + m = 0 ⇔ x 2 − 1 x 2 − m = 0 .

th c a hàm s c t

tr c hoành t i 4 i m phân bi t , t o thành ba o n th ng có
khi 0 < m ≠ 1 .

dài b ng nhau

( )

• m > 1, m − 1 = 1 − −1 ⇔ m = 9
1
9
Ngoài cách gi i trên các b n có th dùng c p s c ng ( l p 11) gi i .
4.
a ) V i giá tr nào c a m , ư ng th ng y = m c t ư ng cong

(

)

• 0 < m < 1,1 − m = m − − m ⇔ m =

y = x 4 − 2x 2 − 3 t i 4 i m phân bi t?.

( )

b ) Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m , ư ng th ng dm : y = x − m c t

ư ng cong y =
c) Tìm k

−x 2 + 2x
t i hai i m phân bi t.
x −1

ư ng th ng y = kx + 1 c t

th hàm s y =

x 2 + 4x + 3
t i2
x +2

i m phân bi t A, B . Tìm qu tích trung i m I c a AB .

5. Cho hàm s y =
a ) Kh o sát và v
b ) Tìm m

x 2 − 2x + 2

,C .
x −1
th

( )
hàm s (C ) .

phương trình sau có 2 nghi m phân bi t : x 2 − 2x = m x − 1 − 2 .

145


Nguy n Phú Khánh – à L t

()

c) Tìm m

ư ng th ng d : y = −x + m c t

( )

th C t i 2 i m A, B

i x ng v i nhau qua ư ng th ng y = x + 3 .

( )

d ) Ch ng minh r ng qua i m E 1; 0 ta không th k
nào

n

ư c m t ti p tuy n

th hàm s .

x +2
có
2x + 1
a ) Kh o sát s bi n thiên và v

( )

6. Cho hàm s f x =

( )

th G

th c a hàm s .

( )

b ) Ch ng minh r ng ư ng th ng dm : y = mx + m − 1 luôn i qua i m c

( )

nh c a ư ng cong G khi m thay

i.

( )

c) Tìm các giá tr c a m sao cho ư ng th ng ã cho c t ư ng cong G t i

( )

hai i m thu c cùng m t nhánh c a G .
Hư ng d n:

(

)
M ( −1; −1) ∈ (G ) .

( )

b ) M −1; −1 là i m c

nh mà dm

i qua khi m bi n thiên và

1
(d ) ∩ (G ) : m (x + 1) − 1 = 2xx ++21 , x ≠ − 2

c)

m

(

)(

)

⇔ x + 1 2mx + m − 3 = 0, x ≠ −

1
2


1
x = −1 < −
⇔
2

k x = 2mx + m − 3 = 0



( )

1
ng x = − . ư ng th ng
2
∩ G t i hai i m thu c cùng m t nhánh c a th khi phương trình

( )

Hai nhánh c a G n m v hai bên c a ti m c n

(d ) ( )
m

1
k x = 2mx + m − 3 = 0 có nghi m x < − và x ≠ −1 , khi ó ta có
2
m ≠ 0
m ≠ 0


 −3 < m < 0
3−m
1

 3
<− ⇔
<0
⇔
⇔ −3 ≠ m < 0
x =
2m
2
m < −3

 2m

k −1 ≠ 0

−m − 3 ≠ 0



( )

( )

Bài 8 :S

TI P XÚC C A HAI Ư NG CONG
146


Nguy n Phú Khánh – à L t

Bài toán 1 :
Hai ư ng cong C : y = f x và C ' : y = g x ti p xúc nhau khi và ch khi

( )

( )

( )

f x = g x

h phương trình sau: 
f ' x = g ' x


( ) ( )
( ) ( )

có nghi m.

()

Ví d 1 : Tìm tham s th c m
v i

( )

(

)

ư ng th ng d : y = m x − 3 ti p xúc

1
th C : y = − x 3 + 3x .
3

( )

Gi i :

 1 3
− x + 3x = m x − 3
d ti p xúc v i C khi h sau :  3

* có nghi m.
2
−x + 3 = m

 x = 3
x = 3 ⇒ m = −6
2
 3

2x − 9x + 27 = 0
 2

* ⇔
⇔  2x − 3x − 9 = 0 ⇔
2

x = − 3 ⇒ m = 3
m = −x + 3
m = −x 2 + 3



2
4


Ví d 2 : Tìm trên tr c hồnh nh ng i m mà t ó có th k
n
th c a
2

x
hàm s : y =
hai ti p tuy n t o v i nhau 1 góc 450 .
x −1
Gi i :

()

(

( )

)()

()

(

)

G i M ∈ Ox ⇒ M x 0 ; 0 , ư ng th ng i qua M có h s góc là k , phương

()

(

)

trình có d ng : d : y = k x − x 0 .

(d ) là ti p tuy n c

 x2
= k x − x0

 x 2− 1
th khi h sau có nghi m :  x − 2x
=k

2
 x −1


(

a

(

)

)

x2
x 2 − 2x
=
x − x 0 ⇔ x  x 0 + 1 x − 2x 0  = 0
2



x −1
x −1

(

)

(

)

(

)

x = 0

⇔
2x 0
x =
, x 0 ≠ −1

x0 + 1


147