SKKN khai thác vẽ đường phụ trong giải toán hình học THCS

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập - Tự do - Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI
TOÁN HÌNH HỌC THCS

Tháng 04, năm 2019


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập - Tự do - Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI
TOÁN HÌNH HỌC THCS

Họ và tên:
Nguyễn Thị Thanh Bình
Chức vụ:
Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Mai Thủy

Tháng 04, năm 2019


1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Hình học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của toán học, cùng với

số học đã xuất hiện trong thời kì sơ khai của loài người. Hình học có một vẻ đẹp
kì diệu làm say mê từ những nhà toán học đến những em học sinh THCS. Trong
quá trình tìm kiếm lời giải hoặc có khi là tìm thêm lời giải khác, lời giải hay của
một bài toán hình học việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho việc kết nối từ giả
thiết đến kết luận của bài toán được dễ dàng hợn, thuận lợi hơn. Tuy nhiên việc
vẽ thêm hình phụ như thế nào để có lời giải hay là vấn đề khiến chúng ta phải
đầu tư suy nghĩ. Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ
thêm hình phụ khi giải các bài toán hình học. Tùy từng bài toán cụ thể mà chúng
ta có những cách vẽ thêm hình phụ hợp lý để có thể đến với lời giải của bài toán.
Sự xuất hiện của hình phụ đã thổi hồn vào bài toán mà chắc hẳn cũng đã có lần
chúng ta lúng túng, chật vật trước một bài toán hình học và rồi sẽ giật mình khi
phát hiện ra rằng chỉ cần vẽ thêm một yếu tố là đã đến được với lời giải bài toán.
Vẽ thêm hình phụ là một sự sáng tạo “nghệ thuật” tùy theo yêu cầu của
một bài toán cụ thể. Bởi vì việc vẽ thêm hình phụ cần đạt được mục đích là tạo
điều kiện để giải được bài toán thuận lợi chứ không phải là công việc tùy tiện...
Hơn nữa, việc vẽ thêm hình phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và
các bài toán dựng hình cơ bản. Vẽ thêm hình phụ nhằm giúp 3 vấn đề cơ bản
sau:
1. Giúp giải được một số bài toán hình học mà nếu không vẽ thêm hình
phụ sẽ bế tắc.
2. Trình bày lời giải một số bài toán hình học được gọn hơn, nhanh hơn.
3. Phát hiện những vấn đề mới chưa được học bằng những vốn kiến thức
hạn chế mà mặc dầu sau này các vấn đề đó khi học đến đều có thể đơn
giản.
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán
khó đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ
yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ


năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra được một đường

phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả
thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư
duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá,... Hay nói cách
khác giải một bài toán phải kẻ thêm đường phụ là một sáng tạo nhỏ, là một biểu
hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với
một định nghĩa, định lý nào đó... hay còn gọi là quy lạ về quen. Ở đó khoảng
cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó việc học tốt các
bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc
phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh.
Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có
rất nhiều thời gian nghiên cứu. Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các
cách giải bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít. Còn đối với
đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụ
cũng như kiến thức về một số loại đường phụ là còn rất hạn chế.
Chính vì những lý do trên, tôi mạnh dạn thực hiện đề tài : “Khai thác vẽ
đường phụ trong giải toán hình học THCS”, nhằm mang lại kết quả dạy và
học tốt hơn cho giáo viên, học sinh. Mong rằng với một số kinh nghiệm của
mình, tôi hy vọng đề tài này sẽ góp một phần nhỏ vào việc giảng dạy hình học ở
trường THCS đạt hiệu quả hơn.
1.2. Phạm vi của đề tài:
Nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8A năm học 2018 - 2019 của trường
nơi tôi đang công tác.
1.3. Điểm mới của đề tài:
Trong quá trình giảng dạy môn hình học ở trường THCS tôi nhận thấy
nhiều học sinh còn lúng túng khi làm bài tập chứng minh hình học, nhất là
những bài tập cần phải vẽ thêm đường phụ. Khi gặp bài tập dạng này, hầu hết
học sinh hoặc là không nghĩ gì đến việc vẽ thêm đường phụ, hoặc là vẽ đường
phụ một cách mò mẫm, thậm chí còn có học sinh còn vẽ thêm đường phụ sai cơ
bản. Bên cạnh đó dù đang áp dụng phương pháp dạy học mới nhưng đa số giáo

viên vẫn còn mang nặng phương pháp dạy học truyền thống và thêm lí do nữa là
vì thời gian trên không nhiều nên giáo viên chỉ hướng dẫn học sinh vẽ các
đường phụ mà không giải thích rõ lí do vì sao lại làm như vậy dẫn đến học sinh
không hiểu hết vai trò của đường phụ và không phát huy được khả năng tư duy,
sáng tạo của bản thân.
Chính vì thế điểm mới của đề tài này là giúp học sinh khắc phục được
những yếu điểm đã nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán
nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Xây dựng được
một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được
một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ
năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu
quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
Nội dung của đề tài được chia ra từng dạng và hướng dẫn cụ thể từng bài,
học sinh dễ dàng tiếp cận gây nên tạo sự hứng thú trong học tập cho học sinh,
kích thích cho các em sự ham học, ham hiểu biết và lòng say mê học Toán, tạo
nền tảng vững chắc cho các em tiếp cận kiến thức về tính toán sau này.


2. PHẦN NỘI DUNG
2.1 Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu
Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều
các thao tác tư duy. Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình
học thuật phát triển. Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh
định lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập
đến, việc làm các ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng
này. Tuy nhiên trong các bài tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này
và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài toán khó và hay lại là những bài
toán khi giải cần phải kẻ thêm đường phụ.
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài

tập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng
quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Việc “Khai thác vẽ đường
phụ trong giải toán hình học THCS” là một yếu tố rất quan trọng của phân
môn hình học đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh phát triển
tư suy hình học, đặt điểm cao đối với các đề bài có câu hỏi khó về kiểu chứng
minh này và học tiếp sau này. Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận
thức của học sinh mà chương trình chỉ đề cập đến một số bài toán quá ít chưa đủ
để cho học sinh nhận được dạng cũng như hiểu được hết các phương pháp
chứng minh nó.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh “Khai thác vẽ đường phụ trong
giải toán hình học THCS” một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả
cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh
những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải
toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây
dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải
khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
Tồn tại nhiều học sinh còn hạn chế kĩ năng phân tích nhận xét, nhận
dạng và thực hành giải toán, phần lớn do chưa nắm vững các định lý và liên kết
các kiến thức về hình học, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương


trình lớp 7, do chay lười trong học tập, ỷ lại, trong nhờ vào kết quả người khác,
chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém.
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên
khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp,
không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp
nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.
Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu
và có kỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ đối với học sinh
như sau:

- Đối tượng điều tra lần 1: Học sinh lớp 8A, năm học 2018-2019.
- Tổng số học sinh được điều tra: 25 em.
- Thống kê điều tra như sau:
- Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng
trong giải Toán THCS có: 2 em chiếm tỉ lệ 8 %
- Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng
trong giải toán THCS có: 1 em chiếm tỉ lệ 4%.
- Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một số
bài toán trong chương trình toán lớp 8 gồm có: 1 em chiếm tỉ lệ 4%.
- Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có vẽ
thêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 20 em chiếm tỉ lệ 80 %
- Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các
bài toán tương đối khó: 1 em chiếm tỉ lệ 4%
2.2. Các giải pháp
2.2.1. Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ.
a) Vẽ đường phụ phải có mục đích:
Đường kẻ phụ, phải giúp cho được việc chứng minh bài toán. Muốn vậy
nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán
theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với
điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm. Do đó không được vẽ đường
phụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đường phụ không


giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm
cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câu
hỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mục đích mình muốn không?". Nếu
"không" nên loại bỏ ngay.
b) Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải
xác định được.
c) Lựa chọn cách dựng đường phụ thích hợp:

Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đường
phụ là rất quan trọng. Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cách
dựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau.
d) Các kĩ thuật vẽ thêm đường phụ :
* Kĩ thuật 1 : Điểm
* Kĩ thuật 2 : Đường thẳng, đoạn thẳng.
+ Vẽ thêm đường vuông góc
+ Vẽ thêm đường song song
+ Vẽ thêm tia phân giác của một góc
+ Vẽ thêm đường kính của đường tròn
+ Vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn
+ Vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau
+ Vẽ thêm dây chung của hai đường tròn cắt nhau
* Kĩ thuật 3: Tam giác vuông cân, tam giác đều, hình bình hành, đường tròn
+ Vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác đều
+ Vẽ thêm hình bình hành
+ Vẽ thêm đường tròn
* Kĩ thuật 4 : Hình duy nhất
2.2.2. Các cơ sở để xác định đường phụ:
Ta có thể đưa dựa trên các cơ sở sau để xác định đường phụ sẽ vẽ là
đường gì ? và vẽ từ đâu ?
- Kẻ thêm đường phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính
chất các hình để giải quyết bài toán.


- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý
để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối
quan hệ để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.

- Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề
tương đương để giải quyết bài toán.
2.2.3. Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường phụ:
2.2.3.1. Dựa vào các bài toán đã biết:
Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học, học
sinh nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tương đồng
rồi từ đó vẽ đường phụ thích hợp để đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen
thuộc
Ví dụ1: Cho tam giác cân ABC đáy BC. Lấy trên AB kéo dài
đoạn BD = AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác

A

một

E

ABC.
B

CMR: CE = CD
Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ.
Phân tích:

C
M

D

Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD.

Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong
các cách làm cơ bản là chia đôi đoạn thẳng kia và chuyển về bài toán chứng
minh hai đoạn thẳng bằng nhau .
Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh
CE = CM hoặc CE = DM. Chọn CE = CM.
Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh được
∆EBC = ∆ MBC thì ta có được CE = CM là điều phải chứng minh.
Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh ∆ EBC = ∆
MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c


Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta
có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:
- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh
của tam giác nào?
- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứng
minh điều gì?
- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta
phải chứng minh điều gì?
2.2.3.2. Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết
các mối quan hệ để giải quyết bài toán:
Đối với trường hợp này (dạng này) thường là các bài toán chứng minh
các đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của
một tam giác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến...
Ví dụ 2: Bài toán: Cho hình chữ nhật

E

B

ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh CD và N là

I
K

một điểm trên đường chéo AC sao cho
·
BNM
= 900 . Gọi F là điểm đối xứng của A qua

N, chứng minh:FB ⊥ AC.

C

M
F
N

A

D

Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ và gợi ý chứng minh.
Phân tích:
·
Ta thấy BFC
là một góc của ∆BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng 3 góc của
·
·
·

một tam giác bằng 180O thì có FBC
+ BCF
+ BFC
= 1800 , nhưng ta chưa thể tính
·
·
·
được FBC
bằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra được số đo góc BFC
.
+ BCF

Vậy không thể vận dụng định lý trên để chứng minh.
- Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung
điểm của đoạn thẳng, ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng
minh bài toán này bằng cách nào?


Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hướng dẫn các
em có thể tự đặt ra các câu hỏi như vậy. Liệu BF có là đường cao của ∆ BNC
được không?
Để chứng minh BF là đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh
BF đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác?
Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BNC.
Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE ⊥ BC tại E.
Gọi giao điểm của NE với BF là I. Ta suy ra rằng nếu chứng minh được
CI // MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MN⊥BN) tức CI là một
đường cao của ∆ BNC. Vậy I là trực tâm của ∆ BNC (Vì I ≡ NE ∩ CK). Do đó
suy ra điều phải chứng minh là: BF ⊥ AC
Tóm lại việc kể thêm NE⊥ BC tại E là nhằm tạo ra điểm I ≡ NE ∩ BF

để chứng minh I là trực tâm của ∆ BNC.
Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi
mở cho học sinh tự giác, tích cực tìm lấy lời giải. Chẳng hạn có thể sử dụng
những câu hỏi như:
- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là
đường gì của ∆ BNC?
- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BCN thì ta phải có
điểm nào?
- Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với một
đường cao của ∆ BNC?
- Với NE là đường cao của ∆ BNC và NE ∩ BF tại I, ta phải chứng minh
I là điểm có tính chất gì?
Ví dụ 3: Cho ∆ ABC. M là một điểm bất kỳ trong tam giác. Nối M với các
đỉnh A, B, C cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng
song song với BC cắt A’B’; A’C’ tại K và H.
Chứng minh rằng: MK = MH


Đây là một bài toán tương đối khó với học sinh. Sau khi đã tìm nhiều
cách chứng minh không có kết quả . Ta chú ý đến giả thiết của bài toán chỉ cho
ta các yếu tố đồng quy và song song. Giả thiết của định lý nào gần với nó nhất?
Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý Talet
- Ở đây KH // BC. Đoạn thẳng BC được chia thành mấy đoạn nhỏ ?
- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’, BC
- Cần phải xác định thêm các điểm nào?
- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC
A

B'
C'

P

M
K

H

B

Q

C

A'

Ta có lời giải như sau
Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q. Theo định lý Talét
MH CA' MQ BC MP BA'
=
;
=
;
=
MP CB MK BA' MQ CA'
→

MH MQ MP CA' CB BA'
.
.
=

.
.
MP MK MQ CB BA' CA'

→

MH
= 1 → MH = MK
MK

2.2.3.3. Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ
Ví dụ 4: Cho ∆ ABC có µA = 2 Bµ . Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AC.AB
Hướng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến
công thức cần chứng minh ?
Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công
thức này, ở đây GV cần hướng dẫn học sinh loại bỏ ý định sử dụng định lý


Pitago vì không tạo ra được các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba
cạnh ngay được.
- Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?
Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng
- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về dạng tỷ số để gắn
vào tam giác đồng dạng
BC 2 = AC 2 + AC. AB ⇐ BC 2 = AC ( AC + AB )

Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đưa về bài toán quen thuộc của việc
chứng minh hệ thức ab= cd dựa vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một
đoạn thẳng bằng AB+AC.
- Từ đó học sinh đưa ra hai cách vẽ đường phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một doạn

bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB.
? Nên đặt dựa trên điểm nào ? Chọn đặt kề cạnh nào để vận dụng được giả
thiết µA = 2 Bµ ?
Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng AB
Từ đó ta có lời giải

D

Giải:
A

Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB
Khi đó ∆ ABC cân tại A nên:
·
BAC
= 2 ·ABD = 2 ·ADB

B

C

1·
·
= ·ABC = BAC
Xét ∆ ABC và ∆ BDC có: BDC
2

µ chung nên ∆ ABC đồng dạng với ∆ BDC (g.g)
C
⇒

BC AC
=
= > BC 2 = AC.CD = AC ( AC + AD) = AC ( AC + AB) = AC 2 + AC. AB
CD BC

Như vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ
thêm đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học sinh
mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, sau đó phân
dạng bài toán rồi mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải cho từng


bài toán cụ thể. Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ
đường phụ trong giải các bài toán hình học.
2.2.4. Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải ở các tiết ngoại khóa
Bài toán 1: Cho ∆ABC (AB = AC). Gọi AH là đường cao của tam giác, BD là
0
µ
phân giác của ·ABC . Biết A=108
. Chứng minh BD = 2 AH.

A
D

B

H

C

a) Hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ:
Để vẽ thêm đường phụ trước hết ta cần phân tích cặn kẽ đề bài để xem tại
sao phải vẽ đường phụ và vẽ thêm đường phụ như thế nào ?
Xuất phát từ kết luận BD = 2AH, để chứng minh BD = 2AH trong đó BD
và AH không cùng nằm trên một đường thẳng, không có quan hệ đường trung
bình và cạnh thứ ba, chưa có đoạn thẳng nào bằng

1
BD để chứng minh đoạn
2

thẳng đó bằng AH, cũng chưa có đoạn thẳng nào bằng 2AH để chứng minh đoạn
thẳng đó bằng BD, nên không thể suy ra được BD = 2AH mà không tạo ra
đường phụ (đường mới vẽ thêm).
Vấn đề đặt ra là phải vẽ thêm đường phụ như thế nào để đạt được mục
đích chứng minh BD = 2AH. Đến đây phần lớn học sinh suy luận theo hai
hướng:
- Tạo ra đoạn thẳng mới bằng 2AH và chứng minh đoạn thẳng đó bằng BD.
- Tạo ra đoạn thẳng mới bằng

1
BD và chứng minh đoạn thẳng đó bằng AH.
2

* Giả sử ta đi theo hướng thứ nhất: Tạo ra đoạn thẳng mới bằng 2AH và chứng
minh đoạn thẳng đó bằng BD.


Đến đây lại nảy sinh vấn đề tạo ra đoạn thẳng mới như thế nào cho có lợi,
để có thể liên hệ các giả thiết với nhau. Nhận thấy ∆ABC cân tại A nên đường

cao AH còn là trung tuyến và phân giác.
Sử dụng kết quả AH là trung tuyến của ∆ABC có học sinh đã tạo đoạn thẳng
mới như sau:
Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Nối EB khi đó dễ
thấy BE = 2AH.

e

Ta cần chứng minh BD = BE, điều này không
mấy khó khăn. Thật vậy ta có AH // BE (tính chất

A

đường trung bình)
·
·
⇒EAB
= CAH
=

D
0

108
= 540 ( 1) .
2

B

H

C

Mặt khác ∆ABC cân tại A nên :
0
0
µB = C
µ = 180 − 108 = 360 .
2
0

36
·
·
Xét ∆BDC có ·ADB = DCB
+ DBC
= 360 +
= 540 ( 2 )
2

Từ (1) và (2) suy ra ∆BDE cân tại B ⇒ BD = BE.
Do đó BD = 2AH (đpcm)
* Giả sử ta đi theo hướng thứ hai: Tạo ra đoạn thẳng mới bằng

1
BD và chứng
2

minh đoạn thẳng đó bằng AH.
- Vấn đề là tạo ra đoạn thẳng mới như thế nào cho có lợi ? Vì có nhiều cách tạo

ra đoạn thẳng bằng
của tam giác bằng

1
BD như lấy trung điểm của BD; tạo ra đường trung bình
2

1
BD. Căn cứ vào giả thiết AH là trung tuyến của ∆ABC, do
2

đó việc tạo ra đường trung bình của ∆BDC là rất có lợi vì đã sử dụng được trung
điểm H của BC.


- Do đó đường phụ sẽ được tạo ra như sau: Gọi E là trung điểm của DC. Khi đó
HE là đường trung bình của ∆DBC ⇒ HE =

1
BD.
2

A
D
e
B

H

C

Việc chứng minh HE = HA không mấy khó khăn, ta chỉ cần chỉ ra
·
HAE
= ·AEH = 540 là xong (việc này dành cho học sinh tự chứng minh).

b) Nhận xét:
- Khi hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ, giáo nên kết hợp thêm phương
pháp phân tích đi lên .
- Người giáo viên không nên áp đặt suy nghĩ và cách vẽ hình của mình cho học
sinh mà nên gợi ý, tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh tự giải quyết nhằm
phát huy tính sáng tạo và năng lực suy diễn của học sinh. Đôi khi có những
đường phụ và lời giải mà học sinh tự nghĩ ra dưới sự định hướng của giáo viên
lại là những lời giải rất hay làm cho giáo viên bất ngờ và thán phục.
Bài toán 2:
Cho M là điểm nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một mặt phẳng có
bờ là đường thẳng AB, ta dựng các tam giác đều AMC và BMD. Gọi E và F là
trung điểm của AD và BC. Chứng minh: EF =

1
CD.
2

a/ Nhận xét:
* Kết luận của bài toán 2 cùng dạng với kết luận của bài toán 1. Nhìn từ góc độ
vẽ thêm đường phụ thì hai bài toán này cùng dạng với nhau do vậy giáo viên chỉ
cần hướng dẫn như bài toán 1, tức là có 2 hướng vẽ thêm hình:
- Tạo ra một đoạn thẳng mới bằng

1

CD và chứng minh đoạn đó bằng EF.
2

- Tạo ra một đoạn thẳng mới bằng 2EF và chứng minh đoạn đó bằng CD.


* Vẽ thêm hình như sau:
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MC, MD.
Gọi G là trung điểm của AB.
1
CD do đó cần chứng minh: IK = EF.
2

Dễ thấy IK =

Điều này được suy ra từ ∆ GEF = ∆ MKI ( c.g.c).
Do đó EF =

1
CD (đpcm).
2
D
C
K

E

F

I

A

M

B

G

b/ Một số cách vẽ thêm đường phụ của bài toán 2:
- Sau này khi giảng lại bài toán 2 cho học sinh, tôi đã gợi ý các em chứng minh
theo 2 hướng:
+ Hướng thứ nhất: Tạo ra đoạn thẳng bằng

1
CD và chứng minh đoạn
2

thẳng đó bằng EF.
+ Hướng thứ hai: Tạo ra đoạn thẳng bằng 2EF và chứng minh đoạn đó bằng
CD.
- Kết quả thật bất ngờ:
Ngoài cách giải như trên, học sinh còn có rất nhiều cách vẽ thêm hình khác
và lời giải tương đối ngắn gọn, có thể tóm tắt các cách giải đó như sau:
Cách 1: Gọi I, K, H lần lượt là trung
điểm của AC, AM, AB. Dễ thấy IE =

D

1
CD

2

C
E

⇒ EF = IE ⇒ EF =

1
CD (đpcm).
2

F

I

Ta cần chứng minh: ∆IEK = ∆FEH (c.g.c)
A

K

M

H

B


Cách 2: Tương tự như cách 1 nhưng
lấy trung điểm của các đoạn thẳng BD, MB, BA.
Cách 3: Từ B kẻ đường thẳng song song

D

với MD cắt AF kéo dài tại I.

C

Dễ ràng chứng minh được DI = 2 EF và

E

I
F

∆MCD = ∆BID (c.g.c)
⇒ DI = CD, do đó EF =

1
CD (đpcm).
2

A

B

M

Cách 4: Tương tự như cách 3 nhưng kẻ đường thẳng từ A song song với
BD cắt BE kéo dài tại N.
Cách 5:

Kéo dài DF về phía F một đoạn

FI

D

= FD. Nối AI có ngay AI = 2EF. Ta

C
E

cần chứng minh AI = CD. Thật vậy ta

F

thấy CM // BD; CI // BD ⇒ C, M, I
thẳng hàng và ta lại có ∆ACI = ∆CMD

A

B

M

1
(c.g.c) ⇒AI = CD. Do đó EF = CD.
2

I

c) Kết luận:
- Qua bài toán 2 ta thấy sức sáng tạo của học sinh là rất lớn

, có thể nói rằng

không phải bất kì giáo viên toán nào cũng có thể nghĩ ra 5 cách vẽ thêm đường
phụ như vậy.
- Không thể phủ nhận sức sáng tạo và khả năng suy luận của học sinh. Vì thế tôi
muốn trao đổi rằng khi hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ, giáo viên không
nên áp đặt suy nghĩ của mình cho học sinh mà giáo viên nên hướng dẫn, định
hướng để học sinh tự tìm rả cách vẽ đường phụ và chứng minh bài toán.
Bài toán 3:


Trên hai cạnh AB, AC của ∆ABC lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE,
kéo dài DE cắt BC tại F. Chứng minh

AB FE
=
.
AC FD

a) Nhận xét:

A

Không thể chứng minh trực tiếp
D

E

AB FE
=
ngay vì đây không phải là các
AC FD

F

cạnh tương ứng của hai tam giác đồng

C

B

dạng, cũng không thể dung tính chất đường phân giác để suy ra được. Do đo để
chứng minh

AB FE
=
ta phải dùng tỉ số trung gian để biến đổi.
AC FD

Vấn đề đặt ra là những tỉ số nào bằng

AB
? Hãy liệt kê các tỉ số đó ?
AC

Nhưng trên hình vẽ không có tỉ số nào bằng

AB
FE
hoặc . Do đó phải vẽ
AC
FD

thêm đường phụ.
Đường phụ vẽ thêm cần phải đạt được mục đích:
- Vận dụng được các giả thiết của bài toán.
- Biến đổi được các tỉ số

AB
FE
và
AC
FD

Do đó đường phụ vẽ thêm phải là đường thẳng đi qua 1 điểm và song song
với một đường thẳng cho trước.
b) Một số hướng vẽ đường phụ:
A

Cách 1 : (Hình 1)
Từ D kẻ đường thẳng song song

D

E

với AC cắt BC tại M, ta có:

F

AB DB
EC FE
=
=
=
AC DM DM FD

B

C

(H×nh 1) M

A

Cách 2 : (Hình 2)
N

D

E
F

B

(H×nh 2)

C

Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N, ta có:
AB DB EC FE
=
=
=
AC NC NC FD

Cách 3 : (Hình 3)
A

Từ E kẻ đường thẳng song
song với AB cắt BC tại K, ta có:
AB EK EK FE
=
=
=
AC EC BD FD

D

E
F

B

(H×nh 3)

K

C

A

Cách 4 : (Hình 4)

D

E

i

Từ E kẻ đường thẳng song
song với BC cắt AB tại I, ta có:

F
B

(H×nh 4)

C

AB IB
IB FE
=
=
=
AC EC BD FD

c) Kết luận:
Chỉ thông qua một số định hướng nhỏ học sinh có thể tự mình tìm ra cách vẽ
thêm đường phụ.
2.2.5. Một số bài tập luyện tập tăng cường ở nhà
Bài 1: Cho ∆ABC (AB = AC), trên cạnh AB lấy điểm D, trên phần kéo dài của
cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi F là giao điểm của DE và BC.
Chứng minh: DF = FE.
Bài 2: Cho ∆ABC, hai đường cao AK và BD cắt nhau tại H. Gọi E, F lần lượt là
trung điểm của BC và AC. Đường trung trực của BC và AC cắt nhau tại O.
Chứng minh AH = 2OE.
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi E, F lần lượt là các trung điểm của
BC và AD. Kéo dài BA, CD, EF lần lượt cắt nhau tại M, N và P. Chứng minh
·
·
.
PMN
= PNM

Bài 4: Cho ∆ABC cân tại A. Có AM là trung tuyến, kẻ AH ⊥ AC, gọi O là trung
điểm của MH. Chứng minh: AO ⊥ BH.


Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC
và CD. Chứng minh AM và AN chia hình bình hành thành ba phần bằng nhau.
Bài 6: Cho ∆ABC có BM và CN là các trung tuyến, G là trọng tâm. Gọi E, F lần
lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác MNEF là hình bình hành.
Bài 7: Cho ∆ABC có AC = 2AB. Kẻ phân giác AD. Chứng minh DC = 2DB.
Bài 8: Cho ∆ABC, trung tuyến BM. Gọi I là trung điểm của BM. Điểm D thuộc
cạnh AB sao cho BD =

1
DA. Chứng minh rằng D, I, C là ba điểm thẳng hàng.
2

Bài 9: Cho ∆ABC có I là giao điểm của các tia phân giác các góc B và C. Gọi M
·
là trung điểm của BC. Biết BIM
= 900 và BI = 2IM.
·
a) Tính BAC

b) Vẽ IH ⊥ AC (H ∈AC). Chứng minh BA = 3IH
Bài 10: Đường cao AH, trung tuyến AM chia góc A của ∆ABC thành ba góc
bằng nhau. Tính các góc của ∆ABC.
Bài 11: Cho ∆ABC có Bµ = 450 ; µA = 150. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho
CD = 2CB. Tính ·ADB
Bài 12: Cho ∆ABC có AB > AC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC.
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của hai đoạn thăng AD và BC. Chứng minh
MN song song với tia phân giác góc A của ∆ABC.
Bài 13: Cho Oz là tia phân giác của góc nhọn xOy. Trên tia Ox và Oy lần lượt
lấy hai điểm A,B và C, D ( A năm giữa O và B; C nằm giữa O và D) sao cho AB
= CD. Gọi H và M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Chứng
minh MH// Oz.
Bài 14: Trên hai cạnh góc vuông AB và AC của tam giác vuông cân ABC lấy
theo thứ tự hai điểm D và E sao cho AD = AE. Từ A và D vẽ các đường thẳng
vuông góc với BE cắt BC ở N và M. Chứng minh CN = BM.
2.3. Kết quả thực hiện
2.3.1. Kết quả định lượng:

Qua thời gian áp dụng các kiến thức và phương pháp dạy vừa trình bày ở trên
đối với 25 em học sinh lớp 8A năm học 2018 – 2019, tôi điều tra lần 2 (cuối
HKI) và lần 3 ( giữa HKII) và đã thu được kết quả như sau:
- Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng
trong giải Toán THCS có: 5 em chiếm tỉ lệ 20 %
- Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng
trong giải toán THCS có: 3 em chiếm tỉ lệ 12%.
- Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một số
bài toán trong chương trình toán lớp 8 gồm có: 2 em chiếm tỉ lệ 8%.
- Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có vẽ
thêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 13 em chiếm tỉ lệ 52 %
- Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các
bài toán tương đối khó: 2 em chiếm tỉ lệ 8% .
2.3.2. Kết quả định tính :
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự
hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung
chuyên đề thực hiện.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải
quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả
của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy qua quá trình hướng dẫn cho học sinh thì số học sinh giải được
dạng toán này đã tăng lên rõ rệt. Từ đó chất lượng dạy và học môn hình học nói
riêng và môn toán nói chung trong nhà trường đã được nâng lên. Bên cạnh đó
còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp

giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học,
phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán.


3. PHẦN KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa của đề tài
Trong quá trình dạy học sinh theo định hướng của đề tài “Khai thác vẽ
đường phụ trong giải toán hình học THCS” tuy chỉ mới dừng lại ở những bài
tập ở mức độ vận dụng thấp và một số bài toán vận dụng cao nhưng bước đầu
bản thân tôi nhận thấy đã phản ánh phần nào hướng đi đúng.
Sau khi thực hiện đề tài tôi nhận thấy trong các tiết học học sinh say mê,
hứng thú hơn khi làm bài tập chứng minh hình học, nhất là những bài tập cần
phải vẽ thêm đường phụ.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận
được.
3.2. Kiến nghị, đề xuất
3.2.1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT
Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo
viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên
trong tỉnh, huyện.
3.2.2. Với BGH nhà trường
Hiện nay, nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên có vẻ như
chưa đầy đủ. Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm
sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các
em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú,
kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói
chung.

3.2.3. Với phụ huynh học sinh
Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên
kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con.
Phối hợp chặt chẽ với GVBM để nắm bắt tình hình học tập của học sinh
ở trường, thường xuyên truy cập trang web để xem điểm của học sinh hàng tuần,
hằng tháng.


Trong phạm vi sáng kiến này việc phân chia dạng toán, loại toán chỉ có tính
tương đối. Hy vọng rằng đề tài này là tài liệu bổ ích để đồng nghiệp tham khảo
và rất mong được sự góp ý kiến của quý đồng nghiệp để sáng kiến này hoàn
thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!