SKKN ứng dụng định lý vi et trong giải toán

NG DNG NH Lí VI-ET TRONG GII TON
1. PHN M U
1.1. Lý do chn ti:
Toỏn hc l mt b mụn khoa hc t nhiờn nghiờn cu, cú tớnh thc t cao, nh
hng ln n i sng con ngi. Cỏc cụng trỡnh nghiờn cu khoa hc u cho rng:
Tt c cỏc mụn khoa hc khỏc u liờn quan mt thit vi Toỏn hc. Vn dng kin thc
Toỏn hc gii thớch cỏc hin tng trong t nhiờn v vn dng vo thc t cuc sng
Mun vy vic ging dy Toỏn hc phi hng ti mt mc ớch ln hn, thụng qua vic
dy hc Toỏn m hc sinh phỏt trin trớ tu, hỡnh thnh phm cht t duy cn thit. Đổi
mới phơng pháp dạy học là một yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho sự phát
triển của giáo dục. Ngày nay nền kinh tế trí thức cùng với sự bùng nổ
thông tin, giáo dục đã và đang thay đổi để phù hợp với sự phát triển
của khoa học kỹ thuật, sự phát triển của xã hội. Nội dung tri thức khoa
học cùng với sự đồ sộ về lợng thông tin yêu cầu chúng ta phải đổi mới
phơng pháp dạy học. Mục tiêu giáo dục thay đổi kéo theo yêu cầu
phải đổi mới phơng pháp dạy học một cách phù hợp. giúp cho giáo
viên tháo gỡ những khó khăn trong quá trình đổi mới phơng pháp dạy
học, đã có nhiều giáo s tiến sỹ, các nhà khoa học chuyên tâm nghiên
cứu, thí điểm và triển khai đại trà về đổi mới phơng pháp dạy học.
Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng tích cực hoá hoạt động học tập của học
sinh, dới sự tổ chức hớng dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động
tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận
dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn,
trong đó có đổi mới dạy học môn Toán. Trong trờng phổ thông, dạy
Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải
Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giải
toán là quá trình rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp tìm tòi
và vận dụng kiến thức vào thực tế. Thông qua việc giải toán thực chất
là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện đợc những
1

kĩ năng cơ bản trong môn toán. Từ đó rút ra đợc nhiều phơng pháp
dạy học hay, những tiết lên lớp có hiệu quả nhằm phát huy hứng thú
học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện.
Phng trỡnh bc hai v nh lý Vi-et hc sinh c hc trong chng trỡnh i s
9 v c bit bit nh lớ Vi-et cú ng dng rt phong phỳ trong vic gii cỏc bi toỏn bc
hai nh: nhm nghim ca phng trỡnh bc hai, tỡm hai s bit tng v tớch ca chỳng,
lp phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim cho trc, tỡm mi liờn h gia cỏc nghim ca
phng trỡnh bc hai.Tuy nhiờn, trong sỏch giỏo khoa ch trỡnh by mt s ng dng c
bn vi thi lng cha nhiu.
Vi cỏc bi tp cú liờn quan n nh lớ Vi-et v phng trỡnh bc hai phn ln
hc sinh vn dng kin thc chm hoc khụng bit lm th no xut hin mi liờn h
ca cỏc d kin cn tỡm vi cỏc yu t ó bit gii bi tp.
i vi hc sinh khỏ gii thỡ cỏc dng bi tp v phng trỡnh bc hai trong SGK
thng cha lm cỏc em tho món vỡ tớnh ham hc, mun khỏm phỏ tri thc mi ca
mỡnh.
Hin nay, trong kỡ thi vo lp 10 THPT cỏc bi toỏn cú ng dng nh lớ Vi-et
khỏ ph bin.
Xột trờn thc t qua nhng nm ging dy lp 9 tụi nhn thy nhu cu hc tp ca
hc sinh, mun c tip thu cỏc kin thc b tr cú th vn dng vo vic gii cỏc
bi tp trong cỏc kỡ thi cp THCS, kỡ thi vo THPT hoc mt s trng, lp cht lng
cao l rt cn thit. Vỡ vy tụi mnh dn thc hin ti nghiờn cu: ng dng nh lý
Vi-et trong gii Toỏn.
* ti ng dng nh lý Vi-et trong gii toỏn ó cú nhiu ngi nghiờn cu
l nhng giỏo viờn ging dy lp 9 ti cỏc trng THCS. Cỏc thy cụ giỏo tp trung vo
vic nghiờn cu cỏc dng bi tp, cỏc dng toỏn c bn liờn quan n nh lý Vi-et, cỏc
dng bi tp tng hp cú liờn quan n nh lý Vi-et. im mi trong ti ny, tụi tp
trung trang b y cỏc dng bi tp vn dng nh lý Vi-et. i vi mi dng toỏn a
ra phng phỏp gii c th v tp trung phõn tớch k cỏc vớ d v bi tp ỏp dng. Trong
ti ny tụi a ra y cỏc dng toỏn t d n khú, cỏc bi tp nõng cao dnh cho

hc sinh khỏ gii. Khi gp dng toỏn hc sinh d nm bt v vn dng.
2


1.2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
- Đề tài thực hiện tại trường đang giảng dạy
- Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lí Vi-et trong việc
giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS.
2. PHẦN NỘI DUNG
2.1. Thực trạng việc dạy và học Toán:
a) Đối với giáo viên:
- Giáo viên đạt trình độ chuyên môn, có tinh thần trách nhiệm cao trong giảng dạy. Luôn
có ý thức học tập, bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ, năng lực sư phạm
- Luôn được ban giám hiệu Nhà trường, Tổ chuyên môn quan tâm chỉ bảo trong công tác.
Được đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ trong giảng dạy
b) Đối với học sinh:
- Học sinh đa phần chăm ngoan, có ý thức trong học tập, có tinh thần học hỏi, xây dựng
bài, lĩnh hội kiến thức tốt.
- Phần lớn học sinh là con em gia đình làm nghề nông nên nhận thức về việc học tập còn
hạn chế. Đồng thời, thời gian dành cho việc học tập của các em chưa nhiều.
- Khả năng nhận thức Toán học của một số học sinh còn chậm.
- Nội dung Ứng dụng Định lí Vi-ét để giải bài toán bậc hai rất đa dạng và tương đối khó
với học sinh. Khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của một số học sinh còn chậm.
Mặt khác, nội dung này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan như:
phương trình, hằng đẳng thức, bất đẳng thức, biến đổi biểu thức đại số…Trong khi đó, rất
nhiều học sinh không nắm vững kiến thức đã học nên việc vận dụng vào các dạng bài tập
là rất khó khăn.
c) Số liệu khảo sát trước khi áp dụng đề tài:
Trước khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan
đến Định lý Vi-ét và ứng dụng của Định lý Vi-ét trên 30 học sinh. Kết quả đạt được như

sau:
0-<2
SL
%
/
/

2-<5
SL
%
6
20

5 - < 6,5
SL
%
9
30

6,5 - < 8
SL
%
10
33,3

8 - 10
SL
5

%

16,7
3


* Kết quả:
- Cơ bản học sinh nắm được nội dung của Định lý Vi-ét và những ứng dụng của Định lý
- Bên cạnh đó còn nhều học sinh chưa vận dụng được nội dung của Định lý vào giải toán.
Các dạng bài tập liên quan đến phương trình có chứa tham số: lập phương trình bậc hai,
biến đổi các biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai, tìm giá trị của tham số thỏa
mãn biểu thức chứa nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số...
còn chậm
- Kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập của học sinh còn hạn chế, nhiều em chưa
biết cách biến đổi các biểu thức chứa nghiệm, kĩ năng giải phương trình, biến đổi biểu
thức đại số, vận dụng các hằng đẳng thức còn chậm. Đặc biệt là dạng toán tìm hệ thức
liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số nhiều em chưa nắm được cách giải
2.2. Các giải pháp
2.2.1. Cung cấp kiến thức cơ bản
a) Hệ thức Vi-ét:
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì:
b

 x1  x 2  a

 x .x  c
 1. 2 a

b) Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:
x1 = 1; x2 =

c
a

- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:
x1 = -1; x2 = -

c
a

c) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
 u  v S
thì u và v là hai nghiệm của phương trình:
 u.v  P

Nếu có hai số u và v thoã mãn: 

x2 – Sx + P = 0.
(Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P  0)
4


- Hướng dẫn và lưu ý cho học sinh các bài toán có chứa tham số và phân loại các dạng
bài tập nhất là các bài toán có thể đưa về bài toán bậc hai quen thuộc đối với học sinh.
- Phân tích nhận biết các dấu hiệu chung, nhận biết các tính chất để làm xuất hiện các hệ
thức có chứa các dấu hiệu cần tìm.
- Trong quá trình tìm tòi và giải bài tập tôi đã hướng dẫn và phân loại cho các em một số
dạng bài tập có ứng dụng Định lí Vi-et.
2.2.2. Trang bị đủ các dạng bài tập vận dụng Định lý Vi-et cho các đối tượng học
sinh.
I. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1
Phương pháp: Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c
Ví dụ. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 3x 2  8 x  11 0

b) 2 x 2  5 x  3 0

Giải:
a) Ta có: a  b  c 3  8  ( 11) 0 nên phương trình có một nghiệm là x1 1 ,
nghiệm còn lại là x 2 

c 11

a 3

b) Ta có: a  b  c 2  5  3 0 nên phương trình có một nghiệm là x1  1 ,
c
a

nghiệm còn lại là x 2  

3
2

Bài tập. Tìm nghiệm của phương trình:
a) 5 x 2  14 x  9 0

b) 2 x 2  (m  5) x  m  3 0

2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm

nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:
Phương pháp: - Thay giá trị 1 nghiệm vào phương trình để tìm hệ số
- Áp dụng định lí Vi-et viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm (tổng hoặc
tích hai nghiệm) để tính nghiệm còn lại
Ví dụ 1:
5


a) Phương trình x 2  2 px  5 0 có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của
phương trình
b) Phương trình x 2  5 x  q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của
phương trình
Giải
a) Thay x1 2 vào phương trình ta được 4  4 p  5 0
 9  4 p 0  p 

9
4

Phương trình đã cho trở thành x 2 
5

9
x  5 0
2

5

9
9

9
5
Theo Vi-et: x1 x 2 5  x 2  x  2 ( hoặc x1  x2   x 2   x1   2  )
2
2
2
2
1

b) Thay x1 5 vào phương trình ta được 5 2  5.5  q 0
 q  50

Phương trình đã cho trở thành x 2  5 x  50 0
 50

Theo Vi-et x1 x 2  50  x 2  x  10
1
Ví dụ 2:
a) Phương trình x 2  7 x  q 0 biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
phương trình
b) Phương trình x 2  qx  50 0 có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia,
tìm q và hai nghiệm đó
Phương pháp: - Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm theo đề bài kết hợp với một hệ thức
của Định lí Vi-et để tìm các nghiệm đó
- Tìm hệ số chưa biết
Giải
a) Theo đề bài ta có x1  x 2 11
Theo định lí Vi-et: x1  x 2 7
 x  x 2 11
  1


 x1  x 2 7

 x1 9

 x 2  2

=> q = x1 x 2 9( 2)  18
6


b) Ta có x1 2x2 .
 x 5

2
2
2
Theo định lí Vi-et ta có x1 x 2 50  2 x 2 50  x2 25  
x
 2  5

Với x 2 5 thì x1 10 , q  x1  x 2 = 10 + 5 = 15
Với x 2  5 thì x1  10 , q  x1  x 2 = (- 10) + (- 5) = - 15
Bài tập: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình
a) x 2  mx  35  0 biết một nghiệm bằng – 5
b) 2 x 2  (m  4) x  m  0 biết một nghiệm bằng – 3
c) mx 2  2(m  2) x  m  3  0 biết một nghiệm bằng 3
II. Lập phương trình bậc hai
1. Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó
Phương pháp: - Từ 2 nghiệm đã cho tính tổng và tích của chúng

- Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích
Ví dụ 1. Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2
 S  x1  x 2 3  2 5
 P  x1 x 2 3.2 6

Giải: Ta có 

Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình: x 2  Sx  P  0
x 2  5 x  6

Ví dụ 2. Cho x1 

1
x2 
1 3

3 1
;
2

Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x1; x2
Giải
Ta có: x1 

3 1
2
1

1

3

x2 

1 3 1 3 1





3





3 1
2


3 1
3 1

 3
 x1  x 2 

2
2
Nên: 
 x x  3 1. 3  1  1

 1 2
2
2
2

Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 là x2 - 3 x +

1
=0
2

Hay 2x2 - 2 3 x + 1 = 0
7


Bài tập: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:
a) 8 và -3

b) 36 và – 104

c) 1  2 và 1  2

d) 2  3 và

1
2 3

2. Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm thỏa mãn biểu thức của 2 nghiệm của
phương trình cho trước
Ví dụ 1. Cho phương trình x 2  3x  2 0 có hai nghiệm x1 ; x 2 .

1

1

1

2

Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1  x 2  x ; y 2  x1  x
- Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải:

Cách 1: - Tính trực tiếp y1 ; y 2 bằng cách: Tìm nghiệm x1 ; x 2 của phương trình đã cho rồi
thay vào biểu thức tính y1 ; y 2
Phương trình x 2  3x  2 0 có a  b  c 1  ( 3)  2 0 nên phương trình có hai
nghiệm là x1 1; x 2 2
1

1

1

1

3

Ta có y1  x 2  x 2  1 3; y 2  x1  x 1  2  2
1

2

- Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1 ; y 2 (dạng 2.1)
3 9

2 2
3 9
P  y1 y 2 3. 
2 2

S  y1  y 2 3 

Phương trình cần lập có dạng: y 2  Sy  P 0 hay y 2 

9
9
y  0
2
2

hay 2 y 2  9 y  9 0
Cách 2: Không tính y1 ; y 2 mà áp dụng Định lí Vi-et tính S  y1  y 2 ; P  y1 y 2 sau đó lập
phương trình bậc hai có các nghiệm là y1 ; y 2
Theo Định lí Vi-et ta có:
S  y1  y 2  x2 

( x2 

1
x  x2
1
1

1 
3 9
 x1 
( x1  x 2 )     ( x1  x 2 )  1
3  
x1
x2
x1 x 2
2 2
 x1 x 2 

1
1
1
1 9
).( x1  )  x1 x 2  1  1 
2  1  1  
x1
x2
x1 x 2
2 2

Phương trình cần lập có dạng: y 2  Sy  P 0 hay y 2 

9
9
y  0
2
2

8


hay 2 y 2  9 y  9 0
Ví dụ 2: Cho phương trình x 2  5 x  1 0 có hai nghiệm x1 ; x 2 . Hãy lập phương trình bậc
hai có các nghiệm y1  x1 4 ; y 2  x 2 4
 x1  x 2  5
 x1 .x 2  1

Giải: Theo Định lý Vi-et ta có: 



 y  y  x 4  x 4  x 2  x 2
1
2
Ta có:  1 2 4 1 4 2
4
 y1 y 2  x1 x 2 ( x1 x 2 ) 1



2



 2 x1 x2   x1  x 2   2 x1 x 2
2

2

2



2

 2 x1 x2  727
2

Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0

Bài tập:
Bài 1. Cho phương trình x 2  2 x  8 0 có hai nghiệm x1 ; x 2 . Hãy lập phương trình bậc hai
có các nghiệm y1  x1  3; y 2  x 2  3
Bài 2. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương
trình x 2  mx  2
 x1  x 2 2

Bài 3. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn: 

3

3

 x1  x 2 26

III. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
 u  v S
 u.v  P

Phương pháp: Nếu có hai số u và v thoã mãn: 

thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0.
(Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P  0)
Ví dụ 1. Tìm hai số u và v biết u + v = - 3, uv = - 4
Giải:
Hai số u và v là nghiệm của phương trình x 2  3x  4 0
Giải phương trình trên ta được x1 1; x 2  4
Vậy nếu u = 1 thì v = - 4; nếu u = - 4 thì v = 1
Ví dụ 2. Tìm hai số u và v biết S = u + v = 3, P = uv = 6
9


Giải:
Hai số u và v là nghiệm của phương trình x 2  3x  6 0
 3 2  4.1.6 9  24  15  0

Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn đề bài
Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay
S 2  4 P 3 2  4.6 9  24  15  0 nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn yêu cầu đề bài

mà chưa cần lập phương trình
Bài tập.
Bài 1. Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20
Bài 2. Tìm hai số x, y biết:
a) x + y = 11; xy = 28

b) x – y = 5; xy = 66

Bài 3, Tìm hai số x, y biết: x 2  y 2  25; xy  12
IV. Dạng toán về biểu thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai
Biến đổi một số biểu thức thường gặp
x1  x 2  x1  x 2   2 x1 x 2
2

 x1 

2

2

x 2   x1  x 2   4 x1 x 2
2

2

x1  x 2  x1  x 2   3 x1 x 2  x1  x 2 
3

3

4

4

3



2

x1  x 2  x1  x 2



2 2



 2 x1 x 2   x1  x 2   2 x1 x 2
2

2

2



2

 2 x1 x 2 

2

x  x2
1
1

 1

x1 x 2
x1 x 2
x x
 x  x 2   2 x1 x 2
1
1
 2  1 2 22  1
2
 x1 x 2  2
x1
x2
x1 x 2
2

2

2

...

Chú ý: Mọi biểu thức đều được biến đổi xuất hiện x1 + x2 và x1 . x2
1. Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm
Phương pháp: - Không giải phương trình bậc hai, ta biến đổi biểu thức đã cho dưới dạng
tổng và tích các nghiệm
- Vận dụng Định lý Vi-et để tính giá trị của biểu thức
Ví dụ: Cho phương trình x 2  8 x  15  0 có hai nghiệm x1 ; x2 hãy tính
a) x12  x22

1

1

b) x  x
1
2

Giải
10


b
a

c
a

Theo Định lý Vi-et ta có: x1  x2    8; x1 x2   15
2
2
2
2
a) x1  x2  ( x1  x2 )  2 x1 x2  8  2.15  64  30  34

1
1
x  x2
8

 1


x1 x2
x1 x2
15

b)
Bài tập.

Bài 1. Cho phương trình x 2  5 x  3 0 có hai nghiệm x1 ; x2 hãy tính
1

a) x12  x2 2

1

b) x 2  x 2
1
2

Bài 2. Cho phương trình x 2  4 x  7 có hai nghiệm x1 ; x2 hãy tính
a) x13  x23

b)  x1  x 2  2

2. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước
Phương pháp: - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2
- Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương
trình tìm m
- Đối chiếu với điều kiện để xác định m
Ví dụ 1. Tìm giá trị của tham số m để các nghiệm x1, x2 của phương trình
mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoã mãn x12  x22 1

Giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: m  0 ; ' ≥ 0
' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4
'  0  m  4.
2(m  2)

 x1  x 2  m
Với 0  m  4, theo Định lý Vi-et: 
 x x m  3
 1 2
m

Do đó:
x12  x22 1   x1  x 2  2  2 x1 x 2 1
4 m  2 
2 m  3

1
2
m
m
2



 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m = m2
 m2 - 10m + 16 = 0
 m = 2 hoặc m = 8
Giá trị m = 8 không thoã mãn 0  m  4
Vậy với m = 2 thì x12  x22 = 1

11


Ví dụ 2. Cho phương trình x2 + 3x – m = 0 (1)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2x1 + 3x2 = 13.
Giải
Để phương trình có 2 nghiệm thì  0  9  4m 0  m 

9
4

Theo Định lý Vi-et và theo bài ra ta có:
 x1  x 2  3

 2 x1  3 x 2 13 
 x x  m
 1 2

 x1  22

 x 2 19
 m 418


Vậy với m = 418 thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13.
Ví dụ 3. Cho phương trình bậc hai x2 – mx +m – 1 = 0
Tìm giá trị của m để A = x12 +x22 – 6 x1x2 = 8
Giải
Ta có :  ( m) 2  4(m  1) (m  2) 2 0m
Nên phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2

 x1  x 2 m
 x1 x 2 m  1

Theo Định lý Vi-et ta có: 

A = (x1 +x2)2 – 8x1x2 = m 2 - 8 (m - 1) = m2 – 8m + 8
A = 8 <=> m2 – 8m +8 = 8 <=> m2 - 8m = 0 <=> m = 0 hoặc m = 8
Vậy với m = 0 hoặc m = 8 thì A = 8
Ví dụ 4. Cho phương trình 3x2 – 4x + m + 5 = 0
1

1

4

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho : x  x  7
1
2
(Đề kiểm tra học kì II – Năm học 2009-2010)
Giải
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
'  0  4  3(m  5)  0
 11
  3m  11  0  m 
3
4

 x1  x 2  3
Theo Định lý Vi-et ta có: 
 x x m  5

 1 2
3

Ta có:
x  x2  4
1
1
4
4 m 5  4
4
 4

  1

 :



x1 x 2
7
x1 x 2
7
3
3
7
m 5
7
m  5  7  m  12 (TMDK )
1

1

4

Vậy với m = -12 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn : x  x  7
1
2

12


Bài tập:
Bài 1. Cho phương trình mx 2  2(m  1) x  3(m  2) 0 .
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  2 x 2 1
Bài 2. Cho phương trình x 2  2 m  2 x  m  4 0
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12  x2 2  2 x1 x2  0
(Đề thi thử vào THPT năm học 2013-2014)
Bài 3. Cho phương trình x 2  2(m  2) x  m 2  9  0
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1  x2  x1  x2
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của tham số
Phương pháp: - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (  ' �0 ;  �0 hoặc a.c < 0).
b
�
S

x

x



1
2
�
�
a
- Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình �
.
�P  x x  c
1 2
�
a

- Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S
và P � Đó là hệ thức độc lập với tham số.
Ví dụ 1: Cho phương trình: x 2  2 m  1 x  m  3 0
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với m
(Đề thi thử vào THPT năm học 2013-2014)
Giải

a) Ta có: '  m  1 2  (m  3) m 2  3m  4  m 


2

3
7
   0m
2
4

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
 x1  x 2 2(m  1) 2m  2
 x  x 2 2(m  1) 2m  2
 1
 x1 x 2 m  3
 2 x1 x 2 2m  6

b) Theo Định lý Vi-et ta có: 

 x1  x 2  2 x1 x 2 4 không phụ thuộc vào giá trị của m

Ví dụ 2: Cho phương trình x 2  (m  1) x  2m  2 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số m
(Đề thi thử vào THPT năm 2013-2014)
Giải
13


Ta có:   m  1 2  4 2m  2 m 2  6m  9  m  3 2 0m
Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
 x1  x 2 m  1

 x1 x 2 2m  2

Theo Định lý Vi-et ta có: 

 2( x1  x 2 ) 2m  2

 x1 x 2 2m  2

 2 x1  x 2   x1 x 2 4 không phụ thuộc vào giá trị của m

Ví dụ 3: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình (m  1) x 2  2mx  m  4  0
Chứng minh biểu thức A  3( x1  x2 )  2 x1 x2  8 không phụ thuộc giá trị của m
Giải
m �1
�
a �0
m  1 �0
�
�
�
��
�� 4
Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: �
 �0
5m  4 �0
m�
�
�
�
� 5
2m
�
x1  x2 
�
�
m 1
Theo Định lí Vi-et ta có: �

�x x  m  4
�1 2 m  1

Thay vào A ta được: A  3( x1  x2 )  2 x1 x2  8 = 3.

2m
m4
0
 2.
8 
0
m 1
m 1
m 1
4
5

Vậy A  3( x1  x2 )  2 x1 x2  8 = 0 với m �1 và m �
hay biểu thức A không phụ thuộc vào m
Bài tập:

Bài 1. Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
a) CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 2 Cho phương trình x 2  2(m  1) x  m2  1  0(1)
a) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 ; x2 của (1) sao cho hệ thức đó không phụ
thuộc tham số m
4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa nghiệm
Phương pháp: * Tìm giá trị nhỏ nhất của A :

- Phân tích A =  f (x) 2 + M (M là một hằng số)
- A có giá trị nhỏ nhất khi f(x) = 0
14


- Giải f(x) = 0 tìm x
- Giá trị nhỏ nhất của A là M
* Tìm giá trị lớn nhất của A:
- Phân tích A = M -  f (x) 2 (M là hằng số)
- A có giá trị lớn nhất khi f(x) = 0
- Giải f(x) = 0 tìm x
- Giá trị lớn nhất của A là M
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – 1 = 0
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

2

P  x1  x 2  x1 x 2

(Đề kiểm tra HKII – Năm học 2008-2009)
Giải
a) Ta có: ' m 2  (m1  1) 1  0m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
 x1  x 2 2m

b) Theo Định lý Vi-et ta có: 

2

 x1 x 2 m  1

P  x1  x 2  x1 x 2  x1  x 2   2 x1 x 2  x1 x 2
2

2



2



 2m   3 m 2  1 m 2  3 3m
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3 khi m = 0
Ví dụ 2. Cho phương trình x 2  (m  1) x  m 2  m  2  0
Gọi 2 nghiệm là x 1 và x 2 , tìm giá trị của m để x12  x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
 x1  x 2 m  1

Theo Định lý Vi-et ta có: 

2
 x1 x 2  m  m  2

x12  x2 2   x1  x2   2 x1 x2  (m  1) 2  2( m 2  m  2)
2

= m  2m  1  2m 2  2m  4  3m2  4m  5
2

5�
2 4 11
�2 4
 3�
m  m  � 3(m 2  2m   )
3
3�
3 9 9
�

15


2
11 11
 3(m  ) 2  �
3
3 3

Vậy GTNN của

x

2
1



 x22 là

2
11
khi m =
3
3

Ví dụ 3. Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
Giải
Để phương trình đã cho có nghiệm thì:
' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)  0
-5 m-1
 x1  x 2  (m  1)

Theo Định lý Vi-et ta có: 
m 2  4m  3
 x1 x 2 
2

2
m  4m  3
m 2  8m  7
A  x1 x 2  2 x1  2 x2 
 2(m  1) 
2
2

Vì  5 m  1 nên m 2  8m  7  m  1 m  7  0
Suy ra: A =

9
 m 2  8m  7
9  (m  4) 2
=

2
2
2

Dấu “ = ” xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là

9
khi m = - 4
2

Bài tập.
Bài 1. Tìm m để phương trình x 2  2(m  4) x  m 2  8  0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn:
a) A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất
b) B  x12  x2 2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 2. Cho phương trình: x2 – mx + (m - 2)2 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài 3. Cho phương trình x 2  (3m  1) x  2(m2  1)  0
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A  x12  x2 2

V. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Các trường hợp xét dấu của nghiệm
 �0
�
- Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu  �
P0
�
16


- Phương trình có 2 nghiệm dương

- Phương trình có 2 nghiệm âm

 �0
�
�
 �
P0
�
S0
�
 �0
�
�
 �
P0
�
S0
�

  0
P 0

- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu  

Phương pháp: - Tính tổng và tích hai nghiệm theo Định lý Vi-et
- Dựa vào điều kiện để xét dấu của tổng và tích
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + 3x – m = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
Giải
9
�
 �0 �
m �
�
9
��
4 �  �m  0
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu � �
P0
4
�
�
m  0
�

Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 - 2(m + 2)x + m = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
Giải

a) Ta có : ' (m  2) 2  m 2 4m  4
 m 0

 '  0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt  

 m 0


 4m  4  0

 m 0

m   1

Vậy với m  0 và m > - 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
2(m  2)

 S  x1  x 2  m
b) Theo Định lý Vi-et ta có: 
 P  x x  m 1
1 2

m

17


Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm





 m 0

 m 0
m   1
 m 0
 '  0




 
 1  0
 m   1

P

0



 S  0
 2(m  2)  0
   m  2  0

  m  0

m

  m  2  0
  m  0
  

 m 0

  1 m  0
m   1
 2  m  0


Vậy với  1  m  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
Bài tập:
Bài 1. Cho phương trình: x2 - 2( m - 2)x - 6m = 0
a) Giải phương trình khi m = 3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
Bài 2. Cho phương trình x 2  2(m  1) x  2m  3  0 (1)
a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 3. Xác định m để phương trình
a) mx 2  2(m  2) x  3( m  2)  0 có hai nghiệm cùng dấu
b) (m  1) x 2  2 x  m  0 có ít nhất một nghiệm không âm
II.1. Kết quả khảo sát sau khi áp dụng đề tài
Sau khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến
Định lý Vi-ét và ứng dụng của Định lý Vi-ét trên 30 học sinh. Kết quả đạt được như sau:
0-<2
SL

%
/
/

2-<5
SL
%
2
6,7

5 - < 6,5
SL
%
9
30

6,5 - < 8
SL
%
9
30

8 - 10
SL
10

%
33,3
18

*Kết quả:
- Sau khi áp dụng đề tài thì số lượng học sinh yếu giảm, số lượng học sinh đạt điểm khá
giỏi tăng lên
- Đa số học sinh nắm được nội dung của Định lý Vi-et và ứng dụng trong giải toán, nhiều
em vận dụng vào làm bài tập khá tốt
- Học sinh đã biến đổi khá thành thạo các biểu thức chứa nghiệm, biết cách tìm giá trị
tham số thỏa mãn các biểu thức chứa nghiệm, tìm hệ thức độc lập với tham số
C. PHẦN KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa của đề tài:
Trong quá trình thực hiện đề tài nay, tôi đã hướng dẫn cho học sinh phân loại các
dạng bài tập, cách phân tích tìm lời giải đối với từng dạng bài, tìm mối liên hệ giữa các
yếu tố cần tìm với các yếu tố đã biết để vận dụng các kiến thức liên quan vào việc giải
toán.
Ngoài các ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã nêu trong sách giáo khoa tôi đã cung cấp
thêm cho học sinh một số dạng bài tập khác phù hợp với năng lực của học sinh. Đồng
thời, việc tôi cùng các em học sinh trao đổi, giải bài tập giúp phát huy được tính tích cực,
chủ động, sáng tạo của học sinh, giúp các em tự tin và có hứng thú học tập hơn. Nhờ đó
khi làm bài tập học sinh đã thực hiện nhanh hơn và có hiệu quả hơn, có một số em còn
đưa ra những cách giải rất hay và ngắn gọn cho cùng một bài toán.
Trên đây là những dạng bài tập ứng dụng của Định lí Vi-ét mà tôi đã lựa chọn để
truyền đạt đến học sinh, mong rằng qua đó các em sẽ vận dụng tốt và phát huy hơn nữa
năng lực học tập bộ môn. Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tài liệu tôi đã cố gắng thể
hiện đề tài nghiên cứu này. Tuy nhiên trong quá trình thực hiện không thể tránh khỏi
những tồn tại, thiếu sót rất mong quý thầy cô, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để vấn đề mà
tôi đưa ra được ứng dụng thiết thực và có hiệu quả cao hơn.

19