ứng dụng định lý vi et

Thao gi¶ng
§¹i sè 9
Gv d¹y : Vâ Minh Chung



KIỂM TRA BÀI CŨ
KIỂM TRA BÀI CŨ
Dùng công thức nghiệm để giải các phương trìnhvà tính
Dùng công thức nghiệm để giải các phương trìnhvà tính
Tổng, Tích hai nghiệm của mỗi phương trình (nếu có):
Tổng, Tích hai nghiệm của mỗi phương trình (nếu có):


a/ 5x
a/ 5x
2
2
- 6x + 1 = 0
- 6x + 1 = 0


2
/ 4 4 1 0b x x− + =



KIỂM TRA BÀI CŨ
KIỂM TRA BÀI CŨ
Giải

Giải
:
:
a= 5; b = -6 ; c= 1
a= 5; b = -6 ; c= 1



= b
= b
2
2
– 4ac = (-6)
– 4ac = (-6)
2
2
– 4.5.1= 16 > 0
– 4.5.1= 16 > 0
Vậy phương trình có hai nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm
x
x
1
1
=
=
x
x
2
2

=
=
− + ∆ − − +
= =
b ( 6) 4
1
2a 2.5
− − ∆ − − −
= =
+ = + =
= =
1 2
1 2
b ( 6) 4 1
2a 2.5 5
1 6
x x 1
5 5
1 1
x .x 1.
5 5
Giải
Giải
:
:
a= 4; b = -4; c= 1
a= 4; b = -4; c= 1


= b
= b
2
2
– 4ac = (-4)
– 4ac = (-4)
2
2
– 4.4.1= 0
– 4.4.1= 0
Vậy phương trình có nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm
kép
kép
1 2
1 2
1 2
( 4) 1
2 2.4 2
1 1
1
2 2
1 1 1
. .
2 2 4
b
x x
a
x x
x x

− − −
= = = =
+ = + =
= =
2
/ 4 4 1 0b x x− + =
2
/ 5 6 1 0a x x− + =

Phrăng–xoa Vi-ét (sinh 1540 - mất 1603)
tại Pháp.
-
Ông là người đầu tiên dùng chữ để kí
hiệu các ẩn, các hệ số của phương
trình và dùng chúng để biến đổi và giải
phương trình nhờ cách đó mà nó thúc
đẩy Đại số phát triển mạnh.
- Ông là người phát hiện ra mối liên hệ
giữa các nghiệm và các hệ số của
phương trình.
- Ông là người nổi tiếng trong giải mật
mã.
- Ông còn là một luật sư, một chính trị
gia nổi tiếng.
Ti T 59:Ế
ĐẠI SỐ 9

Ví dụ
Ví dụ

Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm của
Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm của
phương trình (nếu có)
phương trình (nếu có)
a/
a/
3x
3x
2
2
– 5x – 7 = 0 (1)
– 5x – 7 = 0 (1)
b/
b/
x
x
2
2
- 6x + 9 = 0 (2)
- 6x + 9 = 0 (2)
c/
c/
x
x
2
2
+ 2x + 3 = 0 (3)

+ 2x + 3 = 0 (3)
Ti T 59:Ế
ĐẠI SỐ 9



Bài toán1 :
Bài toán1 :


Cho phương trình : 2x
Cho phương trình : 2x
2
2
– 5x + 3 = 0
– 5x + 3 = 0


a/ Xác đònh các hệ số a,b,c rồi tính a + b + c.
a/ Xác đònh các hệ số a,b,c rồi tính a + b + c.


b/ Chứng tỏ rằng x
b/ Chứng tỏ rằng x
1
1
= 1 là một nghiệm của phương trình.
= 1 là một nghiệm của phương trình.
c/ Dùng đònh lí Vi-ét để tìm x
c/ Dùng đònh lí Vi-ét để tìm x

2
2
.
.
Giải
Giải


a/
a/


a = 2; b = -5; c = 3;
a = 2; b = -5; c = 3;


a+b+c
a+b+c
= 2+(-5)+3
= 2+(-5)+3


= 0
= 0
c)Theo đònh lí Vi-ét ta có x
c)Theo đònh lí Vi-ét ta có x
1
1
x
x

2
2
=
=


mà x
mà x
1
1
= 1 nên
= 1 nên


x
x
2
2
=
=


=
=




c
a

c
a
3
2


b/ Thay vào VT của PT
b/ Thay vào VT của PT
VT = 2.1
VT = 2.1
2
2
– 5.1 + 3 = 2 +(-5) + 3 = 0 = VP
– 5.1 + 3 = 2 +(-5) + 3 = 0 = VP
suy ra
suy ra


x
x
1
1
= 1
= 1


là một nghiệm của phương trình đã cho
là một nghiệm của phương trình đã cho
1
1x =

Ti T 59:Ế
ĐẠI SỐ 9

1
2
2
2 2
2 3 2 3 2 3 0
1
(2 3) (2 3)(2 3)
(2 3)
2 3 2 ( 3)
a b c
x
c
x
a
+ + = − + − − =
=
− + − + +
= = = = − +
− −
b / Ta co ù :
suy ra phương trình (2) co ùnghiệm
Ví dụ :
Ví dụ :
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) -5x
a) -5x

2
2
+ 3x + 2 = 0 (1)
+ 3x + 2 = 0 (1)
b)
b)
2
(2 3) 2 3 (2 3) 0 (2)x x− + − + =
Giải:
Giải:
a)
a)
Ta có
Ta có
a+b+c
a+b+c
= -5+3+2 =
= -5+3+2 =
0
0


Suy ra phương trình (1) có
Suy ra phương trình (1) có
nghiệm là
nghiệm là


x
x

1
1
= 1, x
= 1, x
2
2
=
=
−
2
5
Ti T 59:Ế
ĐẠI SỐ 9



Bài toán 2 :
Bài toán 2 :
Cho phương trình : 3x
Cho phương trình : 3x
2
2
+ 7x + 4 = 0
+ 7x + 4 = 0


a/ Chỉ rõ các hệ số a,b,c rồi tính a - b + c.
a/ Chỉ rõ các hệ số a,b,c rồi tính a - b + c.

b/ Chứng tỏ rằng x
b/ Chứng tỏ rằng x
1
1
= -1 là một nghiệm của phương trình.
= -1 là một nghiệm của phương trình.




c/ Tìm nghiệm x
c/ Tìm nghiệm x
2
2
.
.
Giải
Giải


a/ a = 3; b = 7; c = 4
a/ a = 3; b = 7; c = 4




a-b + c
a-b + c

= 3 – 7 + 4
= 3 – 7 + 4
= 0
= 0
b/ Thay x
b/ Thay x
1
1
= -1 vào VT của phương trình
= -1 vào VT của phương trình
VT = 3.(-1)
VT = 3.(-1)
2
2
+7.(-1) + 4 = 3 – 7 + 4 = 0 = VP
+7.(-1) + 4 = 3 – 7 + 4 = 0 = VP
suy ra
suy ra


x
x
1
1
= -1
= -1


là một nghiệm của phương trình đã cho
là một nghiệm của phương trình đã cho

c)Theo đònh lí Vi-ét ta có x
c)Theo đònh lí Vi-ét ta có x
1
1
x
x
2
2
=
=


mà x
mà x
1
1
= -1 nên
= -1 nên


x
x
2
2
=
=


=
=

c
a
−c
a
−4
3
Ti T 59:Ế
ĐẠI SỐ 9

a/Ta co
a/Ta co
ù a-b+c
ù a-b+c
= 2004 -2005 +1=
= 2004 -2005 +1=
0
0
Suy ra
Suy ra
phương trình (1) có hai nghiệm là
phương trình (1) có hai nghiệm là


x
x
1

1
= -1, x
= -1, x
2
2
=
=
1
2004
−
Ví dụ :
Ví dụ :


Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 2004x
a/ 2004x
2
2
+ 2005x +1= 0 (1)
+ 2005x +1= 0 (1)
2
/ 3 (1 3) 1 0(2)b x x− − − =
1
2
3 1 3 1
Suy ra
0
1

1 3
3

3
a b c
x
c
x
a
− +
=
−
= +
=
=
=
− −
=
b/ Ta co ù:
phương trình (2) co ùnghiệm
Ti T 59:Ế
ĐẠI SỐ 9
Giải

1. HƯ thøc vi Ðt
1/§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiƯm
cđa ph ¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0(a≠0) th×







=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
2/¸p dơng
a/Tỉng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh
ax
2
+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph
¬ng tr×nh cã m«t nghiƯm x
1
=1, cßn
nghiƯm kia lµ

c
a
x
2
=
b/Tỉng qu¸t 2: NÕu ph ¬ng tr×nh
ax
2
+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+c = 0 th× ph ¬ng
tr×nh cã mét nghiƯm x
1
= -1, cßn nghiƯm
kia lµ
x
2
=
c
a
−
Bài ! : Tìm giá trò của m để phương trình
có nghiệm, rồi tính tổng và tích theo m
2 2
2( 1) 0x m x m+ − + =
Để phương trình có nghiệm
/
0
2 1 0 2 1
1
2
m m

m
⇔ ∆ ≥
⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ −
⇔ ≤
Theo hệ thức Vi-ét
1 2
2
1 2
2( 1)
.
b
x x m
a
c
x x m
a
+ = − = − −
= =
/ 2 2 2 2
/
( 1) 2 1
2 1
m m m m m
m
∆ = − − = − + −
∆ = − +
Giải
Ti T 59:Ế
ĐẠI SỐ 9

1. HƯ thøc vi Ðt
1/ §Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiƯm
cđa ph ¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0(a≠0) th×







=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
2/ ¸p dơng
a/Tỉng qu¸t 1 : NÕu ph ¬ng tr×nh
ax

2
+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph
¬ng tr×nh cã m«t nghiƯm x
1
=1, cßn
nghiƯm kia lµ
c
a
x
2
=
c/Tỉng qu¸t 2: NÕu ph ¬ng tr×nh
ax
2
+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+c = 0 th× ph ¬ng
tr×nh cã mét nghiƯm x
1
= -1, cßn nghiƯm
kia lµ
x
2
=
c
a
−
Bài 2 : Tính nhẩm nghiệm của phương
trình sau
2
( 1) (2 3) 4 0( 1)m x m x m m− − + + + = ≠
Suy ra phương trình có nghiệm

1
2
1
4
1
x
c m
x
a m
=
+
= =
−
Ta có : 1 2 3 4 0a b c m m m+ + = − − − + + =
Giải
Với m ≠ 1
Ti T 59:Ế
ĐẠI SỐ 9

H íng dÉn vÒ nhµ
- Học thuộc định lí Vi-ét .
- Nắm vững cách nhẩm nghiệm trong các trường hợp đặc
biệt: a + b + c = 0 và a – b + c = 0.
- Bài tập về nhà: 25, 26, 29 30a, 31atrang 52; 53, 54 – SGK.