Tổng hợp bài tập Giải tích 2

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2
CHƯƠNG I. HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
Bài 1. Tìm miền xác định của các hàm số sau:

z = arcsin
a)

x

u=

y2

b)

lim

( x,y) �( 0,0)
Bài 2. Tìm giới hạn

f ( x, y) =
a)

trong các trường hợp:

f ( x, y) =

x2 + y2

c)

x 2 + y2

f ( x, y) =

x 2 + y2 + 4 - 2

b)

ln 1 - x 2 - y 2 - z 2

f ( x, y)

x 2 - y2

f ( x, y) =

(

1

d)

x 2 - sin 2 y
x 2 + 2y 2
x2y
x 2 + y2

Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm đã cho:

�x10 sin 1 cos 1

�
�
x10
y10
f ( x, y) = �
e
, xy �0
�
�
1,
xy = 0
�
�
a)
1
�
�
1
+
x
(
)
x cos y
e
, x �0
f ( x, y ) = �
�
�
�
e,

x =0
�
b)

c)

d)

tại điểm (0,0)

cos x
�
�
�
1
+
sin
xy
xy , xy �0
(
)
f ( x, y) = �
�
�
e,
xy = 0 tại điểm (0,0)
�
� x 2 - y2
�
sin

, xy �0
�
f ( x, y) = �
� x 2 + y2
�
�
�
0,
xy = 0
�
tại điểm (0,0)
�2
1
�
x + y 2 sin 2
, x 2 + y 2 �0
�
2
�
x +y
f ( x, y) = �
�
�
�
0,
x 2 + y2 = 0
�
tại điểm (0,0).
� x 2 - y2
�

, x 2 + y 2 �0
�
2
�
2 2
f ( x, y) = �x y +( x - y)
�
�
�
0,
x 2 + y 2 = 0 tại điểm (0,0)
�
�

(

e)

f)

tại điểm (0,0)

)

1

)


(

)

�x 2 x 2 - y2
�
�
, x 2 �y 2
� 4
4
f ( x, y) = � x - y
�
�
2
2
�
�
a,
x
=
y
�
g)
tại điểm (0,0)
Bài 4. Tìm các đạo hàm riêng

z 'x , z'y

của hàm số

x

z = arctan
y
a)

z=

x2
y

b)

x
y

2

3 xy
z 'x ( 0,0) ; z 'y ( 0,0)
z
=
Bài 5. Cho hàm số
. Tính
bằng định nghĩa. Hàm số có khả vi tại điểm

O(0,0) hay không?
Bài 6. Chứng minh rằng hàm số

z 'x ( 0,0) ; z 'y ( 0,0)

z ( x, y) = xy

liên tục taị điểm O(0,0), có cả hai đạo hàm riêng

, nhưng không khả vi tại điểm này.

��
�
e
f ( x, y) = �
�
�
�
�
0,
�
Bài 7. Khảo sát tính khả vi của hàm số
Bài 8. Cho hàm số

z = arccos ( x ln y)

. Tính

1
x 2 +y 2

, x 2 + y 2 �0
x 2 + y2 = 0

tại điểm (0,0).

dz ( 0,1) ;d 2z ( 0,1) .

Bài 9. Ứng dụng công thức số gia và vi phân toàn phần để tính gần đúng
3

a)
b)

( 1.02) + ( 1,97)
3e0,04 +( 1,02)

Bài 10. Cho

tan

3

c)

2

d)

p + 0,01
3,98

( 1,02)

4,05

z = z ( x, y ) là hàm số xác định bởi hệ thức F( x - az, y - bz ) = 0 trong đó a, b là hằng số,

�z
�z
+b
x
�y .
F là hàm khả vi. Tìm biểu thức �
a

(

)

(

)

z = yf x 2 - y 2
u = y + g x 2 - y2
f
,g
Bài 11. Giả sử
là các hàm khả vi. Đặt
và
. Chứng minh
rằng

a)

1 '
1
z
z x + z 'y = 2
x
y
y

b)

2

yu 'x + xu 'y = x

.


�
�
x - 1 y - 2�
F�
,
=0
�
�
�
�
z = z ( x, y)
F( u, v)
�

�
z
3
z
3
Bài 12. Cho hàm số
xác định từ phương trình
(trong đó
là

u=
hàm khả vi theo

�z
�z
x- 1
y- 2
( x - 1) +( y - 2) = z - 3
,v =
�x
�y
z- 2
z - 3 . Chứng minh rằng
.
'

'

''

''

2

2

2

z , z ,z ,z
Bài 13. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tính x y xx yy biết x + y + z = 4xyz .
Bài 14. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tìm

x
z
= ln +1
dz ( 1,1) ;d z ( 1,1) biết z = z ( x, y) là hàm ẩn xác định từ z
y
a)
;
2

x
ye z

dz ( 0,1) biết z = z ( x, y) là hàm ẩn xác định từ z =0 ;
2
d
y ( 0) biết y = y ( x ) là hàm ẩn xác định từ x 3 + y3 - 3xy - 1 = 0
c)
b)

Bài 15. Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số

a)

z = x ln y + tan ( xy)

b) z = x

y

z  arctan
c)

x
y

Bài 16. Tìm đạo hàm của u tại điểm A trong đó

(

)

uuu
r
max
u = ln x + x 2 + y 2 + z 2
OA
a)
và điểm A(1,2,-2). Tìm

r r theor hướng
r
b) u = x sin yz theo hướng l = i + 2 j - k tại điểm A(1,3,0).
u = arcsin
c)

�u(A)
r
�l .

z

uuu
r
x 2 + y2 với A (1,1,1) theo hướng AN , trong đó N(3,2,3).

Bài 17.
2
2
f
x,
y
=
2x
xy
y
- 6x - 3y + 5 thành công thức Taylor trong lân
(
)
a) Khai triển hàm số

cận điểm (1,-2).
b) Khai triển hàm số

f ( x, y) = 1 - x 2 - y 2

thành công thức Macloranh đến các số hạng cấp bốn.

Bài 18. Tìm cực trị của hàm số sau
2
2
f
x,
y
=
7
2x
+
4y
x
4y
(
)
a)
f ( x, y) = arccot x 2 - y2 + 2y
b)

y2 z 2 2
f ( x, y, z ) = x + + +
(x, y, z > 0)

4x
y
z
c)
f ( x, y,z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 4y - 6z
d)
e)

f ( x, y) = x 4 + y 4 - 2( x + y)

2

3


f)

f ( x, y) = x 4 + y 4 - x 2 - 2xy - y 2
2

z ( x, y) = y 2 - ( x - 1)
g)
z ( x, y) = x 4 - 2x 2 y + y 2 - y3
h)
i)
j)

z ( x, y) = e-

x

( 3y -

y3 - x

)

z  x, y   3x 2 y  x 3  y 4

Bài 19. Tìm cực trị có điều kiện
2
u
=
x
+
y
+ z thỏa mãn điều kiện y - x =1, z - xy =1
a)
1
1
1
1 1
+ 2= 2
z= +
2
y
a
x y thỏa mãn điều kiện x
b)
2

2

2

c) u = x + y + z thỏa mãn điều kiện

x2 +

y2 z2
+ =1
2
4

2

2

2

x + y +z =9
d) u = 2x + 2y - z thỏa mãn điều kiện

�
x 2 + y2 = 2
�
(x, y,z > 0)
�
�
y

+
z
=
2
u
=
xy
+
yz
e)
thỏa mãn điều kiện �
.
Bài 20. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f trên miền đóng D.
a)
b)

f ( x, y) = 4xy 2 - x 2 y 2 - xy3 , trong đó D là D ABC với A(0,0), B(0,6), C(6,0)
f ( x, y) = x 2 + y 2 - 12x +16y, D = ( x, y ) : x 2 + y 2 �25

{

}

c)

f ( x, y) = x 2 y + xy 2 - 3xy, D = { ( x, y ) : 0 �x �2;0 �y �2}

d)

f ( x, y) = x 2 + y 2 - x - 2y, D = { ( x, y) : 0 �x;0 �y; x + y �2}

�
�
x 2 y2
�
f ( x, y) = 9x 2 - 4y 2 , D = �
x,
y
:
+
�
1
( )
�
�
�
�
4
9
�
�
e)
Đáp án chương I.
2

2

1.a) - y �x �y trừ những điểm trên Ox;
2.a) Không tồn tại;

b) 4;

2

2

2

b) x + y + z <1 trừ gốc tọa độ O

c) Không tồn tại;

d) 0

3.a) Liên tục; b) Không liên tục; c) liên tục; d) không liên tục; e) Liên tục; f) không liên tục.
g) không liên tục.

z 'x =
4. a)

y
x2 + y

; z 'y =
2

- x
x 2 + y2

z 'x =

b)

4

2x
y2

-

1 '
x 2x 2
; zy = 2 - 3
y
y
y


'

'

z ( 0,0) = z y ( 0,0) = 0
5. x
. Hàm số không khả vi tại (0,0).
7. Hàm số khả vi tại điểm (0,0).
2
dz
0,1
=
0;d

z ( 0,1) =- 2dxdy .
(
)
8.

9. a) 2,95

b) 1,0129

c) 2,0327

d) 1,08

10. 1

13.

z 'x =

2yz - x '
2xz - y
; zy =
2xy - z
2xy - z

1
1
2
dz ( 1,1) = ( dx + dy ) ; d 2z ( 1,1) =- ( dx - dy )
2

8
14. a)
2
d
y ( 0) = 0
c)

dz ( 0,1) = dx + dy
b)

�u ( A ) 1
�u ( A)
1
r = ; max
r =
3
6
�l
16. a) �l

b)

-

2

f ( x, y) =1 + 2( x - 1) - ( x - 1)( y + 2) - ( y + 2)
17. a)
b)

f ( x, y) =1 -

1 2
1 2
x + y2 x + y2
2
8

(

� 1�
�
- 1; �
�
�
�
�
18. a) Cực đại � 2 �
d) Cực tiểu

( - 1;- 2;3)

)

(

b) Cực đại

2

2

�
1 �
�
;1;1�
�
�
�
�
2 �
c) Cực tiểu �

( 0;1)

e) Cực tiểu

)

1
c) 6 .

6
2

(

)(

2; 2 , -

2; -

2

) ; (0,0) không là cực trị

f) Cực tiểu (1;1), (-1;-1); (0,0) không là cực trị

g) (1;0) không là cực trị.

� 2�
�
0; �
�
�
�
�
h) Cực đại � 3 �
; (0, 0) không là cực trị.

i)

19. a) Cực tiểu (-1;0;1)
c) cực tiểu

b) cực tiểu

( �1;0;0) , cực đại ( 0;0; �2)

(- a

 1; 1

2;- a 2

b)
c)

) , cực đại ( a

2;a 2

)

d) cực đại (2;2;-1), cực tiểu (-2;-2;1).

e) Cực đại (1;1;1)
20. a)

là cực tiểu; (3;1) không là cực trị.

max f = f ( 1,2) = 4;minf = f ( 2,4) =- 64
max f = f ( - 3,4) = 125; min f = f ( 3, - 4) =- 75
max f = f ( 2, 2) = 4; min f = f ( 1,1) =- 1
5


�
� 5

1 �
max f = f ( 2,0) = 2; min f = f �
,1
=�
�
�
�
�
�
2
4
d)
e)

max f = f ( �2,0) = 36;min f = f ( 0, �3) =- 36

6

.


CHƯƠNG II. TÍCH PHÂN BỘI
Bài 1. Tính tích phân kép sau trên miền D được chỉ ra

x2

a)

�
�y2 dxdy;

D

�
�( 2 b)

c)

y - x ) dxdy;

D

�
�e

x- y

D

với D được giới hạn bởi

y) dxdy

D

7
24

.

2e - 4

x 2 dxdy; D = { ( x, y) : x �1,0 �y �2}

y) dxdy

�
�( x f)

dxdy; D = { ( x, y) : 0 �x �1,0 �y �1}

p 5
+
2 3

D

�
�( x e)

với D được giới hạn bởi y = 0, y + 2x =1, y + x = 1

D

�
� yd)

9
4

với D được giới hạn bởi x = 2, y = x, xy =1

2

y + x = 2, y - 2x +1 = 0

64
15
123
12

2

với D được giới hạn bởi y = x + 4, y + x = 2

Bài 2. Đổi thứ tự lấy tích phân rồi tính các tích phân sau
1

3

x2

�dy�e
a)

0

1

dx

3y

e9 - 1
6

b)

1

2

ye x
�dy � x3 dx
0
y

e- 1
4

Bài 3. Dùng phép đổi biến thích hợp, tính các tích phân sau

�
�( x + y)
a)

3

D

2

( x - y) dxdy

trong đó D là hình giới hạn bời các đường thẳng

x + y =1;x + y = 3;x - y =- 1;x - y =1 .

20
3

�
�xydxdy
b)

D

trong đó D là miền nằm trong góc phần tư thứ nhất giới hạn bởi các đường thẳng

2ln 3

y=x, y=3x và các hypebol xy=1, xy=3.

7


�
( x, y) : x 2 + y 2 �1;x 2 + y 2 �9�
�
�
y
�

�
�
�
�
x
�
�arctan x dxdy, D = �
�
�
y
�
;
y
�
3x
�
�
D
�
�
3
�
�
c)

p2
6

Bài 4. Dùng công thức đổi biến chứng minh rằng
1

1- x

�dx �e
a)

0

y
x +y

0

1- x

1

e- 1
dy =
2

x- y

�dx �cos x + y dy =

b) 0

0

sin1

2

Bài 5 Dùng đổi biến tọa độ cực tính các tích phân sau

� y2 �
�
�
�
1
dxdy, D = ( x, y) : x 2 + y 2 �p2
�
�
���
2
�
� x �
D �

{

a)

b)

c)

�
�( x

2

)

�
�e

x 2 - y2

}

2p3

{

+ y 2 dxdy, D = ( x, y) : x 2 + y 2 �2ax ( a > 0)

}

3pa 4
2

D

{

dxdy, D = ( x, y ) : x 2 + y 2 �4, x �0

(

p 1 - e-

}

4

)

2

D

dxdy

d)

�
�x 2 + y2 ,
D
2

2

trong đó D là miền nằm trong góc phần tư thứ nhất bị chặn bởi 2 đường tròn
2

p ln 2
4

2

x + y =1, x + y = 2 .

�
�x dxdy, D = {( x, y) : ( x - 1)
y

e)

}

+ y 2 �1, x 2 + y 2 �1, y �0

D

�
�
f)

2

D

y
2

4+x +y

2

{

3 - 2ln 2
4
;

dxdy, D = ( x, y ) : x 2 + y 2 �4, y �0, x �0

}
;

4
�
�
2
2�
�
�
�
x
y
xy
�
�
�
�
�
xydxdy,
D
=
x,

y
:
�
+
�
;
x
�
0,
y
�
0
(
)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4
9� 6
�
�
�
D

�
�
g)

Bài 6. Dùng tích phân hai lớp tính diện tích của các hình phẳng

8

(

8 - 2ln 1 + 2

6
12

)


1
1
y  x  1, y  x  3, y   x  1, y   x  3
2
2
a) Giới hạn bởi
2

2

2

16
3

2

b) Nằm trong cả hai đường tròn x + y = 2x và x + y = 2 3y
2

c) Bị chặn bởi các đường cong

2

y = ax, y = bx, xy =1, xy = 2( 0 < a < b )
2

d)

x 2 + y2 )
(
Giới hạn bởi đường cong (L):

2

e)

x 2 + y2 )
(
Giới hạn bởi đường cong (L):

(

= a 2 x 2 - y2

)

( a > 0)

5p
6

3

1 b
ln
3 a
a2
5p
2

= 4x 3

Bài 7. Tính diện tích của mặt cong
a) Là giao của các mặt trụ

x 2 + z 2 = a 2 , y 2 + z 2 = a 2 ( a > 0)

16a 2

2
2

2
2
2
2
x
+
y
= ay ( a > 0)
x
+
y
+
z
=
a
b) Là phần mặt cầu
nằm trong hình trụ

2pa 2 - 4a 2
2
2
x 2  y 2  2ax  a  0 
c) Là phần mặt z  x  y nằm trong hình trụ

2

2a 2

2

d) Là phần mặt paraboloid y  z  2x nằm trên miền trong góc phần tư thứ nhất (của

3 3 1

12

2
mặt Oxy) giới hạn bởi các đường x  y và x  1.

Bài 8. Tính thể tích V của vật thể

2

2

2

2

2

a) Giới hạn bởi mặt trụ x + y = 2y và mặt cầu x + y + z = 4

16( 3p- 4)
9

b) Xác định bởi các bất đẳng thức

7
24

0 �z �2 - x - y, 0 �y �1, 1 �2x + y, x + y �1
2

c) Trên mặt nón

z= x +y

2

2

2

2

và nằm dưới mặt cầu x + y + z =1

9

p
23

(

2

)

2

d) Trên mặt nón

z= x +y

2

và nằm dưới mặt cầu
2

2

2

x +y +z =z

2

2

e) Bị chặn bởi các paraboloid 2z = x + y và z = 8 - x - y
f) Bị chặn bởi paraboloid

p
8

2

64p

3

2

z = x 2 + y2 +1 và mặt phẳng z = 5

g) Giới hạn bởi các mặt cong

2

2

2

z = 6 - x - y và z = x + y
2

8p
32p
3

2

81p
4

2

h) Giới hạn bởi các mặt có phương trình 2z = x + y ; x + z = 4

16a 3
3

x 2 + y 2 = a 2 và x 2 + z 2 = a 2

i) Bị chặn bởi hai hình trụ

Bài 9. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt đóng

a)

(

x 2 + y2 + z 2

b)

(

x 2 + y2 + z 2

)

2

)

2

= 2z x 2 + y 2 ( x, y,z > 0)

p
30

=x

p
3.

(

)

Bài 10. Tính các tích phân bội ba sau

dxdydz

a)

�
�
�( x + y + z +1) 3
V

trong

đó

V

là

miền

được

giới

hạn

bởi

mặt

1�
5�
�
�
ln
2
�
�
�
�
2�
8�

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z =1
2

b)

x sin zdxdydz
�
�
�
V

phẳng

trong đó V là miền được giới hạn bởi x  0, y  0, z  0, z  , x  y  1

�
�
x2
z2
2
�
�
x
y
zdxdydz;
V
=
x,
y,
z
:
+
y

+
�
1
(
)
�
�
�
�
�
�
�
4
9
�
�
V
c)
2 2

10

0

1
6


2

�
�
�x dxdydz
d)

V

2
2
z
=
9
x
y
trong đó V giới hạn bởi (Oxy) và hai nửa mặt cầu
và

2

z = 16 - x - y
�

e)

( x + y)
�
�
��
�

2

V

2

2

- z�
dxdydz
�
�

( z - 1) = x + y
x
�
�
�ze

f)

trong đó V là vật thể bị chặn bởi (Oxy) và mặt nón

p
60

2

dxdydz

V

nón

2

2

2

trong đó V là vật thể nằm trong mặt cầu x + y + z = 2 và trên mặt

z = x 2 + y2

�
�
�z
g)

2 +y 2

1562p
15

2

p( e - 2)

x 2 + y 2 dxdydz

V

trong đó V là vật thể giới hạn bới mặt trụ

16a 2
9

x 2 + y 2 = 2x, 0 �z �a

(

4p R 5 - r 5

2
2
2
2
2
2
2
�
�
�( x + y ) dxdydz; V = {( x, y,z) : r �x + y + z �R ,z �0}

h)

i)

j)

k)

V

15

;

zxdxdydz
�
�
�
V

trong đó V là vật thể giới hạn bới

{

x 2  y 2  z 2  a 2 , z  0  z �0 

}

0

�
�
�x

2

+ y2 + z 2 dxdydz;V = ( x, y,z ) : x 2 + y 2 + z 2 �2z

�
�
�x

2

+ 4y 2 + 9z 2 dxdydz;V = ( x, y, z ) : x 2 + 4y 2 + 9z 2 �1, x, y, z �0

V

{

V

11

8p
5

}

p
; 48

)


CHƯƠNG III. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

Bài 1. Tính tích phân đường loại một sau

xyds
�

a) L

b)

c)

d)

e)



với L là đường

ds
�x - y
L



1
5 5 1
9

x  2t, y  t , t � 0,1

4

1
y= x- 2
2
với L là đoạn thẳng
nằm giữa hai điểm A(0;-2) và B(4;0)

�x

2

+ y2 ds

�x

2

�x

x 2 - y 2 ds

L

+ y2 ds

L

L

2

5 ln 2

2

với L là đường tròn x + y = ax (a > 0)

2a 2

2
2
A ( 1, - 1) đến B( 1,1)
với L là nửa đường tròn x + y = 2x , x �1 chạy từ

với L là đường

(x

2

+y

2 2

)

2

(

2

=a x - y

2

)

( x �0)

2 2a 3
3

Bài 2. Tính các tích phân đường loại hai sau:

�xydx +( x a)

y) dy

L

17
trong đó L là đường gấp khúc OAB với O(0,0); A(2,0); B(3,2). 3

�( x + y) dx + xydy
b)

L

i) y = x

trong đó L là cung nối O(0,0) với A(1,1) theo đường
2

ii) x = y

2

iii) gấp khúc OBA với B(0,1)

 1  x  dy  2xydx
I �
 1  x   y không phụ thuộc vào đường lấy tích phân
Bài 3. Chứng minh rằng tích phân
2

AB

trong miền đơn liên, liên thông

2 2

D �R 2    �1,0  

2

. Tính I nếu AB là đường bất kỳ không cắt Ox đi từ



2

A(0,0) tới B(1,1).

12


Bài 4. Chứng minh rằng tích phân





I�
2x sin ydx  x 2 cos y  3y 2 dy
C

không phụ thuộc vào đường

25sin1  1

lấy tích phân. Tính I nếu C là đường bất kỳ nối A(-1,0) tới (5,1).
Bài 5. Tính tích phân sau theo hai cách: trực tiếp và dùng công thức Green:

xy2dx  x 3dy
�
�

a) L

 5x
�

4

với L là hình chữ nhật OABC với O(0,0), A(2,0), B(2,3), C(0,3)







 4y dx  4y3  3x dy

b) L

với L là cung

x  a 2  y2

6

nối A(0,-a) đến B(0,a) trong đó

7 a 2

2

a>0.

Bài 6. Dùng công thức Green tính các tích phân sau

 yexy  2x cos y  x 2 y  dx   xexy  x 2 sin y  xy2  xy  dy
�
�

a) C

2

trong đó C là đường tròn

3
2

2

x  y  2x  0 lấy theo chiều ngược kim đồng hồ.

�x 3
�
2
x

y
cos
xy
dx



xy

x

x
cos
xy
dy
�
�
�
�3
�
�
� với L là cung tròn x  cos t; y  sin t
b) L





2

2
 3  8 
12

lấy theo chiều tăng của t: 0 �t � .

 x

�

2







y  2x  y dx  xy 2  x  2y dy

c) L

2
2
x

y
 2y  x �0  đi
với L là nửa đường tròn

3
4
4

từ O(0,0) đến A(0,2).

x 2  y 2 dx  y �
�xy  ln  x 

�
�
�
�
�
�

d) L

 x  1   y  1  1
2



�
x 2  y2 �
dy �
�
� �

2

lấy theo chiều dương.

13

trong

đó

L

là

đường

5
4

tròn


e x  cos y  1 dx  e x  y  sin y  dy
�

e) L

với L là đường cong y 

sinx chạy từ A  ,0  đến
e  1
4

O(0,0).
Bài 7. Tính các tích phân mặt loại một sau:

a)

zdS
�

�
S

với S là phần mặt paraboloid

2

b)

z dS
�
�
S

x yz
�
�
2

c)

trong đó S là phần mặt cầu
2

S

 dS

phẳng z  2 .

x 2  y2  z 2  a 2  a  0; x, y,z �0 

60

a 4
6

2
2
x

y
 9 nằm giữa hai mặt phẳng z  0 và mặt
với S là phần mặt trụ
16

d) Tính tích phân mặt:
2

z  x 2  y 2 nằm dưới mặt phẳng z  4

 391 17  1 

I�
zdS,
�
S

2

2

trong đó S là phần mặt nón tròn xoay

z  x 2  y2

bị chắn giữa

52 2

3

2

hai mặt trụ x  y  1 và x  y  9 .
Bài 8. Tính các tích phân mặt loại hai sau:
2

a)

2

2

x dydz  y dzdx  z dxdy
�
�
S

trong đó S là phía ngoài của mặt nón



(không kể đáy)

b)

ydydz  xdzdx  4dxdy
�
�
S

c)

S


2

2
2
2
trong đó S là phần mặt cầu x  y  z  1 nằm ở góc phần tám thứ



nhất và hướng ra ngoài.

xdydz  ydzdx  zdxdy
�

�

x 2  y 2  z 2  0 �z �1

trong đó S là mặt xung quanh của tứ diện giới hạn bới các mặt phẳng

x  0, y  0,z  0 và mặt x  y  z  1 và hướng ra phía ngoài.

14

1
2


d)

xdydz  ydzdx  zdxdy
�
�
S

2
2
2
2
trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x  y  z  a .

4a 3

Bài 9. Dùng định lý Stokes tính các tích phân sau:

 y  z  dx   z  x  dy   x  y  dz
�
�

2

2

2

a) L
trong đó L là elip giao bởi mặt trụ x  y  a và mặt
phẳng x  z  a (a>0) có hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Oz nhìn

4a 2

xuống.

x 2 y3dx  dy  zdz
�
�

b) L

2
2
2
trong đó L là đường tròn x  y  a , z  0 lấy theo chiều ngược chiều

a 6

8

kim đồng hồ khi nhìn từ bên trên.

x 2zdx  xy 2dy  z 2dz
�
�

c) L

2
2
trong đó L là đường cong x  y  9, x  y  z  1 có hướng ngược

81
2

chiều kim đồng hồ khi nhìn từ bên trên.
Bài 10. Dùng công thức Ostrogradski – Gauss đề tính các tích phân sau:
2

a)

xdydz  ydzdx  z dxdy
�
�
S

với S là phía ngoài của nửa mặt cầu

(không kể phần hình tròn nằm trong mặt phẳng Oxy).
2

b)

xdydz  y dzdx  dxdy
�
�
S

có S là mặt xung quanh của khối trụ

c)

S

có S là mặt xung quanh của khối trụ

x 2  y 2 �a 2  a  0  ,  a �z �a

x 2  y 2 �2ax  a  0  ,0 �z �a
4a 3

(không kể hai đáy) hướng ra ngoài.

d)

11

6

a 3

(không kể hai đáy) hướng ra ngoài.

xdydz  ydzdx  zdxdy
�
�

x 2  y 2  z 2  2x  z �0 

 y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy
�
�
S

kể đáy và hướng ra ngoài.

15

với S là mặt nón

x 2  y 2  z 2  0 �z �h 

không


3

e)

3

S

2

f)

g)

2

2
2
2
có S là mặt cầu x  y  z  1 hướng ra ngoài.

0

2

2

2

2

x dydz  y dzdx  z dxdy

�
�
S

x3
�
�

có S là mặt cầu x  y  z  1 hướng ra ngoài.

12
5

3

x dydz  y dzdx  z dxdy
�
�

y 2  z 2 dydz

S

2
2
2
trong đó S là mặt ngoài của vật thể V giới hạn bởi: y  z �x , 0 �x �1 ;


3

h)

xzdydz  x
�
�

2

ydzdx  y 2 zdxdy

S

có S là phía ngoài của mặt nằm trong góc phần tám thứ nhất tạo
2

2

2

2

nên bởi mặt z  x  y ; x  y  1 và các mặt phẳng tọa độ x=0,y=0,z=0.

16


6

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài 1. Giải các phương trình tách biến sau:
a)

 1  x  ydx   1  y  xdy  0

b)





1 2
e
y  ln
1  ex
2
2



1  e x yy '  e x ; y  0   1
x

3e tanydx 
c)
d)

ln xy  x  y  C

2  ex
cos 2 y



dy  0

tan y  C 2  e x

y'  e x  y  e x  y ; y  0   1





3

arctan e y  e x  arctan e  1

Bài 2. Giải các phương trình vi phân đẳng cấp (thuần nhất) sau:

y' 
a)

b)

c)

xy
xy



2

x  y  Ce



x 2 y ' x 2  y 2  0, y  1 
xy' x tan

1
2

y

y

 y  0, y  1 
x
2

e)

Ce

y
y


 sin , y  1 
x
x
2

f) xy ' 



y
x



y
1
x

cos

tan

arctan

1
x  3x tan ln x
2

x sin

y�
y
�
y ' �x sin � x  ysin
x�
x
�
d)

y' 

2

y
x

x

y
x
2x

y  x sin  ln Cx  ; y  �x

x 2  y2  y

Bài 3. Giải các phương trình đưa được về phương trình thuần nhất sau:
a)

 x  y  dx   2y  x  1 dy  0

b)

 x  y  2  dx   2x  2y  2  dy  0

c)

 x  y  2   x  y  4 y '  0

x 2  2xy  2y 2  2y  C

2  x  y  ln x  y   x  C; y   x
x 2  2xy  y 2  4x  8y  C

17


Bài 4. Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau:

a)





y

x  1 y ' xy  1, y  0   2
2

1
y '
y  x2
x 1
b)

�
1 �x 4 x 3

 C�
�
�
x 1�
3
�4
�

� 1 1  sinx
�
y  cos x �
C  ln
 sinx �
� 2 1  sinx
�

c) y ' y tan x  sin x
d) y  xy ' y 'ln y

e)



�
2  ln x  x 2  1 �
�
�
�
x 1 �
2

y

2

y' 



1

x  Cy  1  ln y

1
x cos y  sin 2y

x  Cesin y  2  sin y  1

Bài 5. Giải các phương trình vi phân Bernoulli:

a) xy ' y   xy

b)



1
 x  C  ln x 
y

2



y

2xy 2  y dx  xdy  0

y

2

c) xy ' y  y ln x

y

2
d) xy ' 2xy ln x  y  0

e)

y '

y

2
3
y   x  1 y 2  0
x 1

x
2

x C
1
Cx  ln x  1
1



x ln 2 x  C



2

 x  1

4

 C  x  1

2

;y  0

Bài 6. Giải các PTVP toàn phần sau:
a)

 2x  y  1 dx   2y  x  1 dy  0

b)

1 x

2

x y

2

 dx  

2

2

x 2  x  y 2   x  1 y  C



x  y  1 ydy  0

18

y2 1 2
x
 x  y2
2 3





3
2

C


�

c)

 x  y  dx  �x 
�

1�
dy  0
�
y�

x2
 xy  ln y  C
2

Bài 7. Giải các PTVP dùng thừa số tích phân sau:
a)

e x ;e x  x sin y  y cos y  sin y   C

 x sin y  y cos y  dx   x cos y  ysin y  dy  0

�x � �x �
dx  �  1�
dy  0
�  1�
y
y
�
�
�
�
b)

y, x 2  2xy  y 2  C

1

c)



1  x 2 y dx  x 2  y  x  dy  0



x

d)

 y  x y  dx   2x  yx  dy  0

y,3xy 2  x 3 y3  C

e)

 sin

sin 2 y
, x
C
x
x2

f)



2 2

2

3

yx

2

2

, xy 2  2x 2 y  2  Cx

1

 dx  x sin 2ydy  0

1



2xy 2  y dx  xdy  0

y

2

, y

x
2

x C

Bài 8. Tìm nghiệm riêng của PTVP sau thỏa mãn điều kiện đã cho:

a)

b)

y  3cos

4y '' y  0, y  0   3, y     4

4y '' 4y ' y  0, y  0   1, y '  0   1.5

y

x
 e2

x
x
 4sin
2
2

x
 2xe 2

c) y '' y ' y  0

Bài 9. Giải các PTVP sau bằng phương pháp hệ số bất định:

a) y '' 3y ' 2y  x

b)

2

y '' y '  xe x , y  0   2, y '  0   1

2x
c) y '' 4y ' 4y  4e

1
3
7
y  C1e 2x  C 2e  x  x 2  x 
2
2
4

x
x�

2

�
y  e �  x  2�
�2
�

�
�





y  C1  C2 x  2x 2 e 2x
19


d)

y '' 3y ' 2y   12x  4  e x

e) y '' 3y ' 2y  xe
f)

y  C1e x  C 2e 2x  xe x  8  6x 
1
y  C1e x  C 2e 2x  e3x  2x  3 
4

3x

y  C1 cos 3x  C 2 sin 3x  x sin 3x

y '' 9y  6cos3x

� �

y '' y  2sin x, y  0   1, y � � 1
�2 �
g)

y  cos x  sin x  x cos x

h) y'' 2y' y  x cos x

1
1
y   C1  C 2 x  e x  cos x   x  1 sin x
2
2

i)

j)

x

y '' y  xe  2e

1
y  C1 cos x  C2 sin x  e x  x  1  e  x
2

x

x

y '' y '  e  2cos x

1
y  C1  C 2e  x  e x  cos x  sin x
2

Bài 10. Giải các PTVP sau bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange:

a)

b)

c)

d)

y '' 4y ' 5y 

y '' 2y ' y 

y '' y ' 

e 2x
cos x
ex

1 x

2

1
1 e



y  e x K1  K 2 x  x arctan x  ln x 2  1



 





 

y  A  Be x  ln 1  e x  x  1  e x ln 1  e x  x

x

y '' 3y ' 2y 

y�
ln cos x  A �
e 2x cos x   x  B  e 2x sinx
�
�

1

1 e

x





y  Ae x  Be 2x  e x (ln 1  e  x  1)  e 2x ln(1  e  x )

Bài 11. Giải các phương trình Euler sau:

a)

x 2 y '' xy ' y  cos  ln x 

b)

x 2 y '' xy ' y  2sin  ln x 

1
y  C1x  C2 x ln x  sin  ln x 
2
y  C1 cos  ln x   C2 sin  ln x   ln x.cos  ln x 
y  C1 cos  ln x   C 2 sin  ln x  

2

c) x y '' xy ' y  x

20

x
2


x
Bài 12. Giải phương trình xy '' 2y ' xy  e bằng phép đổi hàm z  yx

y
Đáp số.

1� x
1
�
C1e  C2e  x  xe x �
�
x�
2
�

Bài 13. Giải các hệ PTVP sau:

a)

�x '  2x  5y
�
�y '  3x  4y

t

7t
�
�x  5C1e  C2e
�
y  3C1e  t  C2e7t
a) �

b)

�x '  2x  y
�
�y '   x  4y

3t
�
�x   C1  C2 t  e
�
3t
�y   C1  C2  C2 t  e c)
b) �

21

c)

�x '  2x  2y
�
�y '  8x  2y

2t

�
�x   C cos 4t  Dsin 4t  e
�
2t
�
�y   2D cos 4t  2Csin 4t  e