Tính bất khả quy của đa thức với hệ số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------



-------------

PHẠM THỊ THU TRANG

TÍNH BẤT KHẢ QUY
CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------



-------------

PHẠM THỊ THU TRANG

TÍNH BẤT KHẢ QUY
CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn

THÁI NGUYÊN - 2019


Möc löc
Líi c£m ìn
Mð ƒu

2
3

1 Ti¶u chu'n Eisenstein v

ti¶u chu'n rót gån theo module

mºt sŁ nguy¶n tŁ
1.1 Ti¶u chu'n Eisenstein v
mºt sŁ mð rºng . . . . . . . . . .
1.2 Ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ v b i
to¡n ng÷æc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Gi¡ trà kh£ nghàch, gi¡ trà nguy¶n tŁ v t‰nh b§t kh£ quy

5
6
11

16

2.1 Gi¡ trà kh£ nghàch v
t‰nh b§t kh£ quy . . . . . . . . . . . 16
2.2 Gi¡ trà nguy¶n tŁ v
t‰nh b§t kh£ quy . . . . . . . . . . . . 21
2.3
Mºt ti¶u chu'n mîi v• t‰nh b§t kh£ quy . . . . . . . . . . . 27
2.4
Gi¡ trà nguy¶n tŁ t⁄i Łi sŁ ı lîn v t‰nh b§t kh£ quy . . . 32
K‚t lu“n
37
T i li»u tham kh£o

38

1


Lới cÊm ỡn
Trữợc tiản tổi xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh v sƠu sc nhĐt tợi GS.TS
Lả Th Thanh Nh n. Mc dũ rĐt bn rn trong cổng viằc, song ngay t
nhng ng y u tiản Cổ Â luổn tn tnh ch bÊo, hữợng dÔn v ữa ra
nhng lới khuyản cõ ch giúp tổi ho n thiằn lun vôn n y.
Tổi cụng xin gòi lới cÊm ỡn tợi cĂc thy, cổ cĂn b khoa ToĂn - Tin,
trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi Nguyản, Ban giĂm hiằu v cĂc ỗng
nghiằp trữớng Trung hồc ph thổng Ho nh Bỗ - Tnh QuÊng Ninh
cũng cĂc bn tp th lợp Cao hồc ToĂn K11D, Â khổng ch trang b cho
tổi nhng kin thức b ch m cặn luổn luổn giúp ù tổi, to iu kiằn
cho tổi trong thới gian theo hồc ti trữớng.

Cui cũng, tổi xin chƠn th nh b y tọ lặng bit ỡn n gia nh, bn b,
nhng ngữới  khổng ngng ng h, ng viản, hỉ trổ v to mồi iu kiằn
giúp tổi vữổt qua nhng khõ khôn ho n thiằn lun vôn.

2


M

u

Tnh bĐt khÊ quy ca a thức vợi hằ s nguyản trản trữớng cĂc s
phức C v trản trữớng cĂc s thỹc R Â ữổc giÊi quyt t th k 19 thổng
qua nh lỵ cỡ bÊn ca i s. Tuy nhiản, tnh bĐt khÊ quy ca a thức vợi
hằ s nguyản trản trữớng cĂc s hu t Q n nay vÔn ang thĂch thức cĂc
nh ToĂn hồc trản th giợi.
Trong lun vôn n y, tĂc giÊ trnh b y li mt s tiảu chu'n bĐt khÊ quy
ca a thức trản trữớng s hu t Q vợi hằ s nguyản trong cĂc b i bĂo gn
Ơy [8] v [11].
Lun vôn gỗm 2 chữỡng. Trong chữỡng 1, chúng tổi trnh b y hai
tiảu chu'n bĐt khÊ quy ni ting. Phn 1:1 trnh b y Tiảu chu'n
Eisenstein v cĂc m rng. Phn 1:2 trnh b y tiảu chu'n rút gồn theo
module mt s nguyản t v phĂt biu Êo ca tiảu chu'n n y. Ni dung
chữỡng 1 ữổc vit theo b i bĂo [11] cuÊ R. Thangadurai nôm 2007.
Chữỡng 2 trnh b y cĂc tiảu chu'n bĐt khÊ quy trản trữớng cĂc s hu
t Q liản quan n cĂc giĂ tr khÊ nghch v giĂ tr nguyản t ca a thức vợi
hằ s nguyản. Phn 2:1 trnh b y cĂc tiảu chu'n v sỹ liản quan gia
giĂ tr khÊ nghch vợi tnh bĐt khÊ quy ca a thức. Phn 2:2 trnh b y
v mi quan hằ gia giĂ tr nguyản t v tnh bĐt khÊ quy. CĂc kt quÊ
hai phn n y cụng ữổc vit dỹa theo b i bĂo [11] ca R. Thangadurai

nôm 2007. Phn 2:3 trnh b y mt tiảu chu'n bĐt khÊ quy mợi trản
trữớng Q cĂc s hu t liản quan n a thức cõ cĂc hằ s nguyản tông dn
theo ch s v cõ hằ s cao nhĐt nguyản t hoc nhn t nhĐt mt
giĂ tr nguyản t. Kt quÊ ca phn n y ữổc vit dỹa theo b i bĂo [8] ca
A. Jakhar v N. Sangwan nôm 2018. Phn 2:4 trnh b y v giĂ tr
nguyản t ti i s lợn v tnh bĐt khÊ quy ca a thức vợi hằ s nguyản.
Ni dung ca phn n y ữổc vit trản cỡ s ni dung b i bĂo [11] ca R.
Thangadurai nôm 2007.
3


Trong lu“n v«n n y, c¡c ti¶u chu'n trong c¡c phƒn 2:1 v• gi¡ trà kh£
nghàch v t‰nh b§t kh£ quy; phƒn 2:2 v• gi¡ trà nguy¶n tŁ v t‰nh b§t
kh£ quy; phƒn 2:3 v• ti¶u chu'n mîi cho t‰nh b§t kh£ quy l nhœng k‚t
qu£ ch÷a ÷æc tr…nh b y trong b§t cø lu“n v«n th⁄c s¾ n o tr÷îc ¥y.
Hìn th‚, trong c¡c phƒn 1:1, 1:2, 2:4, m°c dò câ mºt sŁ k‚t qu£ ¢ quen
bi‚t v ÷æc tr…nh b y trong mºt v i lu“n v«n tr÷îc ¥y (xem [1], [2]), nh÷ng
c¡ch chøng minh v v‰ du hƒu nh÷ l mîi, do ch‰nh t¡c gi£ lu“n v«n tü t
‰nh to¡n. °c bi»t n‚u trong lu“n v«n [2], Nguy„n V«n L“p chøng minh a
4

2

thøc x 2x + 9 l b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng khæng b§t kh£ quy tr¶n Z p
vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p b‹ng c¡ch sß döng ki‚n thøc v• nhâm, th… trong
4

lu“n v«n n y chøng minh a thøc x + 1 b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng kh£
quy tr¶n Zp vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p b‹ng c¡ch sß döng ki‚n thøc v• tr÷íng
hœu h⁄n.

Th¡i Nguy¶n, ng y 25 th¡ng 5 n«m 2019
T¡c gi£ lu“n v«n

Ph⁄m Thà Thu Trang

4


Chữỡng 1

Tiảu chu'n Eisenstein v tiảu chu'n
rút gồn theo module mt s nguyản
t
Mt a thức vợi hằ s trản mt trữớng ữổc gồi l bĐt khÊ quy nu nõ cõ
bc dữỡng v khổng phƠn tch ữổc th nh tch ca hai a thức cõ bc
thĐp hỡn. Mt a thức bc dữỡng vợi hằ s trản mt trữớng l khÊ quy nu nõ
l tch ca hai a thức vợi bc thĐp hỡn.
Chú ỵ rng tnh bĐt khÊ quy ca a thức phử thuc v o trữớng cỡ s.
2

Chflng hn, a thức x 2 l bĐt khÊ quy trản trữớng Q cĂc s hu t , những
2

khổng bĐt khÊ quy trản trữớng R cĂc s thỹc. a thức x + 1 bĐt khÊ quy
trản trữớng R những khổng bĐt khÊ quy trản trữớng C cĂc s phức.
Tnh bĐt khÊ quy trản trữớng cĂc s phức v trản trữớng cĂc s thỹc Â
ữổc l m rê nhớ nh lỵ cỡ bÊn ca i s: Mồi a thức bc dữỡng vợi hằ s
phức u cõ t nhĐt mt nghiằm phức. V th cĂc a thức bĐt khÊ quy
trản C l v ch l cĂc a thức bc nhĐt. CĂc a thức bĐt khÊ quy trản R
l v ch l cĂc a thức bc nhĐt hoc a thức bc hai cõ biằt thức Ơm. CƠu

họi ữổc t ra l khi n o a thức f(x) Â cho l khÊ quy hay bĐt
khÊ quy trản Q? Cho n nay, khổng cõ iu kiằn cn v n o cõ th Ăp
dửng ữổc cho tĐt cÊ cĂc a thức, m ta ch cõ mt s tiảu chu'n kim tra
tnh bĐt khÊ quy ca mt s trữớng hổp cử th.
Rê r ng mồi a thức bc nhĐt u bĐt khÊ quy trản Q. CĂc a thức bc hai
v bc ba l bĐt khÊ quy trản Q nu v ch nu nõ khổng cõ nghiằm
5


hu t . i vợi a thức bc lợn hỡn 3, nu a thức cõ nghiằm hu t th nõ
khổng bĐt khÊ quy. Tuy nhiản iu ngữổc li khổng úng. Chflng hn, a
2

2

thức (x + 1) khổng cõ nghiằm hu t , những khổng bĐt khÊ quy.
Trong chữỡng n y, chúng tổi trnh b y hai tiảu chu'n ni ting v tnh
bĐt khÊ quy trản trữớng cĂc s hu t Q ca a thức vợi hằ s nguyản dỹa
theo b i bĂo [11] ca R. Thangadurai. Phn thứ nhĐt d nh trnh b y Tiảu
chu'n Eisensrein v mt s m rng ca nõ. M rng thứ nhĐt ữổc phĂt hiằn
bi H. Chao trong b i bĂo A Generalization of Eisensteins Criterion,
Mathematics Magazine, Vol. 47 (1974), 158-159 v m rng thứ hai ữổc
ữa ra bi S. H. Weintraub trong b i bĂo A mild generazation of Eisenstein
criterion, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 141
(2013), 1159-1160. Phn tip theo trnh b y mt trong nhng tiảu chu'n
bĐt khÊ quy ph bin nhĐt, õ l tiảu chu'n rút gồn theo module mt s
nguyản t. PhĂt biu Êo ca tiảu chu'n n y khổng cặn úng na, chúng
tổi ữa ra mt chứng minh chi tit minh hồa iu n y.

1.1

Tiảu chu'n Eisenstein v mt s m rng

Trong mửc n y, chúng tổi trnh b y li tiảu chu'n Eisenstein v mt s
m rng liản quan v tnh bĐt khÊ quy ca cĂc a thức vợi hằ s nguyản
trản trữớng cĂc s hu t Q. Ơy l mt trong nhng tiảu chu'n quen
thuc thữớng ữổc sò dửng khi l m cĂc b i toĂn v tnh bĐt khÊ quy ca a
thức trản Q.
Cho
n
n 1
f(x) = anx + an 1x
+
+ a1x + a0
l

a thức bc n vợi ai 2 Z; an 6= 0.

Tiảu chu'n bĐt khÊ quy ữổc bit n nhiu nhĐt hiằn nay l tiảu chu'n
Eisenstein, ữổc phĂt biu nhữ sau.
n

n 1

+ + a1x + a0

1.1.1 nh lỵ 1. Cho a thức f(x) = anx + an 1x
l a thức vợi hằ s nguyản cõ bc n > 0. Nu tỗn ti mt s nguyản t p sao
2

cho p - an; p j ai vợi mồi i = 0; 1; : : : ; n 1 v p - a0, th a thức f(x) bĐt
khÊ quy trản Q.

Chứng minh. GiÊ sò f(x) khÊ quy trản Q. Theo B Gauss, tỗn ti biu
6


m

din f(x) = g(x)h(x), trong õ g(x) = bmx + + b1x + b0 2 Z[x] v h(x) =
k

ckx + + c1x + c0 2 Z[x] vợi deg g(x) = m; deg h(x) = k v
2
m; k < n: Do p l ữợc ca a0 = b0c0 nản p j b0 hoc p j c0. Mt khĂc, p
khổng l ữợc ca a0 nản trong hai s b0 v c0, ch cõ mt v ch mt s chia
ht cho p. GiÊ thit p j c0. Khi õ b0 khổng chia ht cho p. V an = bmck
v p - an nản bm v ck u khổng chia ht cho p: Do õ tỗn ti s r b nhĐt
sao cho cr khổng l bi ca p: Ta cõ

ar = b0cr + (b1cr

1

+ b2cr

2

+

+ brc0):

V r k < n nản p j ar. Theo cĂch chồn r ta cõ

p j b1cr

1

+ b2cr

2

+

+ brc0:

Suy ra p j b0cr; iu n y l vổ l v cÊ hai s b 0 v cr u khổng l bi ca
p. Vy f(x) l bĐt khÊ quy trản Q.
CĂc a thức thọa mÂn nh lỵ 1 ữổc gồi l a thức Eisenstein. Chflng
5
4
3
2
hn, a thức x 4x + 18x + 24x + 4x + 6 l a thức Eisenstein v nõ bĐt
khÊ quy theo Tiảu chu'n Eisenstein vợi p = 2.
Thổng thữớng, Tiảu chu'n Eisenstein khổng Ăp dửng ữổc trỹc tip
cho a thức f(x), m chúng ta cõ th Ăp dửng cho a thức f(x + a) vợi a l
hng s n o õ. Chú ỵ rng a thức f(x) l bĐt khÊ quy trản Q nu
v ch nu a thức f(x + a) l bĐt khÊ quy trản Q vợi mồi s nguyản a. Do
vy, chúng ta c gng tm hng s a vợi hy vồng khi bin i a thức

f(x + a) ta ữổc mt a thức mợi thọa mÂn cĂc iu kiằn ca Tiảu chu'n
Eisenstein. Dữợi Ơy l mt v dử v tnh bĐt khÊ quy ca a thức chia ữớng
trặn thứ p vợi p l mt s nguyản t.

1.1.2 V dử 1. Cho p l s nguyản t. Khi õ a thức chia ữớng trặn thứ p

f(x) = x

p1

+x

p2

+ + x + 1 l bĐt

khÊ quy trản Q.
p 1

p 2

Chứng minh. a thức f(x) = x
+x
+ + x + 1 cõ cĂc hằ s u bng 1
nản khổng th Ăp dửng trỹc tip Tiảu chu'n Eisenstein xt tnh bĐt
khÊ quy ca f(x).

7

Chú ỵ rng f(x) =

x

1
p

. Suy ra, chồn a = 1 ta cõ
x 1
f(x + 1) = (x + 1)p 1 = xp 1 + C1xp 2 + : : : + Cp 2x + Cp 1;
p
p
p
x
k
l s t hổp chp k ca p phn tò. Do p nguyản
p!
trong õ C =
p
(p k)!k!
k
p 1
t nản C l bi ca p vợi mồi k = 1; 2; : : : ; p

2v C

p

p

2

= p khổng l

bi ca p . V vy f(x + 1) l bĐt khÊ quy theo Tiảu chu'n Eisenstein (Ăp
dửng cho s nguyản t p). Do õ f(x) bĐt khÊ quy trản Q:
Nhữ vy, thổng qua tiảu chu'n Eisenstein, t b i toĂn ban u v xt t
nh bĐt khÊ quy ca a thức bc n vợi hằ s nguyản, ta ữa v b i toĂn
phƠn tch n hằ s ca a thức mợi f(x + a), sau khi bin i a thức f(x +
a) cn tm ra ữợc chung nguyản t phũ hổp ca cĂc hằ s, tr hằ s cao
nhĐt, ca a thức f(x + a). Hin nhiản, chúng ta c gng bin i a thức to
ra a thức mợi vợi hằ s lợn hỡn, những nhiằm vử sau õ l tnh toĂn v kim tra
cĂc ữợc nguyản t chung ca cĂc hằ s thọa mÂn
iu kiằn trong Tiảu chu'n Eisenstein. Tuy nhiản, chúng ta chữa chc
chn v sỹ tỗn ti ca php bin i a thức ban u chuyn th nh a thức
mợi cõ th Ăp dửng tiảu chu'n Eisenstein, tức l chữa chc  tm ữổc s
nguyản a a thức f(x + a) Ăp dửng ữổc Tiảu chu'n Eisenstein ứng vợi
4

mt s nguyản t p n o õ. V dử, ngữới ta  ch ra rng a thức x 10x
+ 1 l bĐt khÊ quy trản Q những khổng tm ữổc s nguyản a a thức

(x + a)

4

2

2

10(x + a) + 1

bĐt khÊ quy theo Tiảu chu'n Eisenstein vợi mt s nguyản t p n o õ.
Trong phn cui ca mửc n y, chúng ta nhc li mt s m rng ca
Tiảu chu'n Eisenstein. Trữợc ht chúng ta nhc li tiảu chu'n bĐt khÊ quy
ca H. Chao trong b i bĂo A Generalization of Eisensteins Criterion,
Mathematics Magazine, Vol. 47 (1974), 158-159.
n

1.1.3 nh lỵ 2. Cho f(x) = a nx + : : : + a1x + a0 l a thức bc n vợi hằ s
nguyản. GiÊ sò p l mt s nguyản t sao cho cõ hai ch s t 6= k thọa
2

mÂn: p khổng l ữợc ca at, p l ữợc ca ai vợi mồi i 6= t v p khổng l ữợc
ca ak. Khi õ nu f(x) l tch ca hai a thức vợi hằ s nguyản, th mt
trong hai a thức õ cõ bc lợn hỡn hoc bng j t k j.
8


Chứng minh. Xem [1].
Trữợc khi ữa ra mt s v dử minh hồa cho viằc Ăp dửng tiảu chu'n
trong nh lỵ 2, chúng ta chú ỵ iu kiằn v nghiằm hu t ca a thức vợi
hằ s nguyản nhữ sau: Nu r=s l phƠn s ti giÊn v l nghiằm ca a thức
f(x) vợi hằ s nguyản, th r phÊi l ữợc ca hằ s tỹ do v s l ữợc ca hằ s
cao nhĐt.
nh lỵ trản l mt m rng khổng tm thữớng ca Tiảu chu'n Eisenstein. Chú ỵ rng nu f(x) l a thức vợi hằ s nguyản phƠn tch ữổc th
nh tch ca hai a thức vợi hằ s hu t g(x) v h(x), th nõ phƠn tch
ữổc th nh tch ca hai a thức vợi hằ s nguyản g 1(x) v h1(x), trong õ
deg g(x) = deg g1(x) v deg h(x) = deg h1(x), xem B Gauss ([3, nh

lỵ 2.3.2]). V th, khi t = n v k = 0, th nh lỵ trản tr th nh Tiảu chu'n
Eisenstein. Khi t = 0 v k = n th mồi a thức thọa mÂn iu kiằn trong
nh lỵ trản vÔn l a thức bĐt khÊ quy trản Q.
1.1.4 V dử 2. CĂc a thức sau l bĐt khÊ quy trản Q.
(i) f(x) = 18x

100
4

2

50x + 40x + 1.
2

(ii) g(x) = 322x + 256x + 5x + 2.

Chứng minh.
(i) p dửng nh lỵ 2 vợi t = 0, k = 100 v p = 2, ta suy ra f(x) bĐt khÊ quy
trản Q.
(ii) p dửng nh lỵ 2 vợi t = 1, k = 4 v p = 2, ta suy ra rng nu h(x)
l mt a thức vợi hằ s nguyản v l ữợc ca g(x), th h(x) phÊi cõ bc lợn
hỡn hoc bng 3 hoc h(x) cõ bc nhọ hỡn hoc bng 1. D thĐy rng nu
g(x) cõ nhƠn tò bc 1 th nõ phÊi cõ nghiằm hu t , v nghiằm õ ch
cõ th l 1; 1; 2; 2: Rê r ng tĐt cÊ cĂc s trản u khổng l nghiằm ca g(x) ,
v th nõ khổng cõ nhƠn tò bc 1. Suy ra h(x) cõ bc 4 hoc cõ bc 0.
V th g(x) bĐt khÊ quy trản Q.
S. H. Weintraub trong b i bĂo: A mild generazation of Eisenstein
crite-rion, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 141
(2013), 1159-1160 Â ữa ra mổt m rng ca Tiảu chu'n Eisenstein, ữổc
phĂt biu nhữ sau.

n
1.1.5 nh lỵ 3. Cho f(x) = a nx + : : :+ a1x+ a0 l a thức bc n vợi hằ s
nguyản. GiÊ sò p l mt s nguyản t sao cho p khổng l ữợc ca a n, p
9


2

l ữợc ca ai vợi mồi i 6= n v p khổng l ữợc ca ak vợi 0 k n 1. Gồi k0 l s
b nhĐt trong cĂc s k thọa mÂn iu kiằn trản. Khi õ nu f(x) = g(x)h(x) l t
ch ca hai a thức vợi hằ s nguyản, th

minfdeg g(x); deg h(x)g k0:
Chứng minh. Xem [1].
nh lỵ trản cụng l mt m rng khổng tm thữớng ca Tiảu chu'n
Eisenstein. Khi k0 = 0, th ta nhn ữổc Tiảu chu'n Eisenstein. Khi k0 = 1
v f(x) khổng cõ nghiằm hu t , th f(x) cụng bĐt khÊ quy theo nh lỵ
trản. Khi k0 = 2 v f(x) khổng cõ nhƠn tò bc hai, th f(x) cụng bĐt khÊ
quy.

1.1.6 V dử 3.

a thức f(x) = x

4

2

14x + 4 l bĐt khÊ quy trản Q.

Chứng minh. p dửng nh lỵ 3 vợi n = 4, k 0 = 2 v p = 2, ta suy ra rng nu
f(x) = g(x)h(x) l tch ca hai a thức vợi hằ s nguyản, th g(x) hoc
h(x) cõ bc nhọ hỡn hoc bng 2. Khổng mĐt tnh tng quĂt ta giÊ sò
h(x) cõ bc nhọ hỡn hoc bng 2. Xt trữớng hổp h(x) cõ bc 1. Khi õ f(x)
cõ nghiằm hu t , v nghiằm õ ch cõ th l 1; 1; 2; 2; 4; 4: Rê
r ng tĐt cÊ cĂc s trản u khổng l nghiằm ca f(x), v th h(x) khổng
th cõ bc 1. GiÊ sò h(x) cõ bc 2. Theo B Gauss, ta cõ th vit

x

4

2

2

2

14x + 4 = (x + ax + b)(x + cx + d)

vợi a; b; c; d l cĂc s nguyản. ỗng nhĐt hằ s cÊ hai v ta

ữổc

a + c = 0; b + d + ac = 14; ad + bc = 0; bd = 4:
Suy ra (b; d) ch cõ th l mt trong cĂc cp sau

(1; 4); ( 1; 4); (2; 2); ( 2;

2); (4; 1); ( 4;

1):

Kim tra tĐt cÊ cĂc trữớng hổp trản ta u thĐy hoc cĂc flng thức khổng
thọa mÂn, hoc a khổng l s hu t . V th h(x) ch cõ th cõ bc 0.
Suy ra f(x) bĐt khÊ quy trản Q.

10


1.2

Tiảu chu'n rút gồn theo module mt s nguyản t v b i
toĂn ngữổc

Mt tiảu chu'n xt tnh bĐt khÊ quy trản Q cụng rĐt quen bit, ữổc
gồi l tiảu chu'n rút gồn theo module mt s nguyản t.
Trữợc khi phĂt biu tiảu chu'n rĐt quen thuc n y, chúng ta cn nhc li
mt s kỵ hiằu.
Cho n > 1 l mt s tỹ nhiản. Kỵ hiằu Z n l v nh cĂc s nguyản modulo
n. Khi õ Zn l mt trữớng (tức l mồi phn tò khĂc 0 trong Z n u cõ nghch
Êo) khi v ch khi n l s nguyản t. Chflng hn, Z 5 l mt trữớng, Z4 khổng
l trữớng. Ta quy ữợc vit a thức f(x) 2 Zp[x], vợi p
l s nguyản t, l a thức thu ữổc bng cĂch chuyn hằ s ca f(x) v o
2

2

trữớng Zp. Chflng hn, nu f(x) = 10x + 8, th f(x) = 3x + 1 2 Z7[x].
Tiảu chu'n rút gồn theo module mt s nguyản t ữổc phĂt biu nhữ

sau.
1.2.1 nh lỵ 4. Cho f(x) l
a thức vợi hằ s nguyản. Nu tỗn ti
s nguyản t p sao cho f(x) bĐt khÊ quy trản trữớng Z p v deg f(x) = deg
f(x), th f(x) bĐt khÊ quy trản Q.
Chứng minh. V a thức f(x) bĐt khÊ quy trản Z p nản deg f(x) > 0: Suy
ra deg f(x) > 0. GiÊ sò f(x) khÊ quy trản Q. Theo B Gauss, f(x) cõ
phƠn tch f(x) = g(x)h(x) trong õ g(x); h(x) 2 Z[x] v g(x); h(x) cõ bc
nhọ hỡn bc ca f(x). Chú ỵ rng f(x) = g(x)h(x). Do õ deg f(x) = deg g(x)
+ deg h(x): Rê r ng ta cõ deg g(x) deg g(x) v deg h(x) deg h(x). Do õ f(x)
phƠn tch ữổc th nh tch ca hai a thức g(x); h(x) cõ bc thĐp hỡn. iu n
y mƠu thuÔn vợi tnh bĐt khÊ quy ca f(x) trản Zp.

Tiảu chu'n rút gồn theo module mt s nguyản t l mt tiảu chu'n rĐt
hu hiằu kim tra tnh bĐt khÊ quy ca a thức vợi hằ s nguyản. Cõ
nhng a thức cõ th Ăp dửng trỹc tip tiảu chu'n n y, chflng hn vợi cĂc a
thức bc ba, ngữới ta thữớng rút gồn theo modulo mt s nguyản t p rỗi
kim tra a thức trong Zp[x] cõ nghiằm trong Zp hay khổng. V dử, a
thức
3

2

f(x) = x + 591x + 3
11

801

+ 24

240


3

2

l bĐt khÊ quy trản Q. Tht vy, trong v nh Z 2[x], a thức f(x) = x + x + 1
khổng cõ nghiằm trong Z2, v th a thức f(x) bĐt khÊ quy trản Z2. Do
deg f(x) = 3 = deg f(x), nản f(x) bĐt khÊ quy trản Q theo nh lỵ 1.2.1. Chú
ỵ rng viằc kim tra nghiằm hu t ca a thức f(x) trản l vĐn khổng khÊ
thi bng cĂc cổng cử thổng thữớng.
2

1.2.2 V dử 4. Xt tnh bĐt khÊ quy ca a thức f(x) = 5x + 20x + 19:
2

Chứng minh. V f(x) = 2x + 2x+ 1 2 Z3[x] khổng cõ nghiằm trong Z3
v deg f(x) = 2 nản f(x) bĐt khÊ quy trản Z3. Rê r ng deg f(x) = deg f(x)
nản f(x) bĐt khÊ quy trản Q theo nh lỵ 1.2.1.
1.2.3 V dử 5. Xt tnh bĐt khÊ quy ca a thức sau
4

g(x) = 6x + 10x
4

3

2

9x + 11x + 1:

2

Chứng minh. V g(x) = x + x + x + 1 2 Z5[x] khổng cõ nghiằm trong
Z5 nản nõ khổng cõ nhƠn tò bc mt. GiÊ sò g(x) khÊ quy trản Z5. Khi õ
2

2

g(x) = (x + ax + b)(x + cx + d)
vợi a; b; c; d 2 Z5. ỗng nhĐt hằ s hai v ca

flng thức n y ta

ữổc

a + c = 0; b + ac + d = 1; ad + bc = 1; bd = 1:
V bd = 1 v vai trặ ca b; d l nhữ nhau nản khổng mĐt tnh tng
quĂt ta cõ th giÊ thit (b; d) = (1; 1) hoc (b; d) = (2; 3) hoc (b; d) = (4;
4). Nu (b; d) = (1; 1) th cĂc phữỡng trnh u v cui cho ta a + c = 0 v
a + c = 1, vổ l. Nu (b; d) = (2; 3) th cĂc phữỡng trnh u v cui cho
ta a = 1; c = 4; v do õ phữỡng trnh thứ hai cho ta 4 = ac = 1, vổ l.
Nu (b; d) = (4; 4) th cĂc phữỡng trnh u v cui cho ta a + c = 0 v 4(a
+ c) = 1, vổ l. V vy h(x) bĐt khÊ quy trản Z5. V deg h(x) = 4 =
deg h(x) nản theo nh lỵ 1.2.1 a thức h(x) bĐt khÊ quy trản Q.
iu ngữổc li ca nh lỵ 4 l khổng úng, nghắa l , nu f(x) bĐt khÊ
quy trản Q th chữa chc nõ Â bĐt khÊ quy trản Z p vợi mt s nguyản t
p n o õ. D. Hilbert l ngữới u tiản ch ra v dử v mt a thức vợi hằ s
nguyản bĐt khÊ quy trản Q những khổng bĐt khÊ quy trản Z p vợi mồi s

nguyản t p. Trong lun vôn thc sắ ca Nguyn Vôn Lp (xem [2]) Â ữa ra
4

2

chứng minh chi tit rng a thức x 2x + 9 l bĐt khÊ quy trản
12


Q những khổng bĐt khÊ quy trản Zp vợi mồi s nguyản t p. Chứng
minh trnh b y trong [2] phÊi sò dửng nhng kin thức khĂ sƠu v lỵ
thuyt nhõm.
Trong lun vôn n y, chúng tổi l m rê kt quÊ ca D. Hilbert bng cĂch
4
ch ra rng a thức x + 1 bĐt khÊ quy trản Q, những khổng bĐt khÊ quy
trản Zp vợi mồi p nguyản t. Chứng minh kt quÊ n y dỹa theo b i bĂo
[8] bng cĂch sò dửng nhng kin thức v m rng trữớng. V th, trữợc
ht chúng ta cn trnh b y mt s kin thức v m rng trữớng.
1.2.4 nh nghắa 1. Cho K l mt trữớng v F l mt trữớng chứa K. Khi õ ta
nõi F l mổt m rng trữớng ca K v ta vit l F=K. Xt F nhữ mt khổng
gian vec tỡ trản trữớng K. Nu chiu ca K-khổng gian vc tỡ F l n th ta
nõi m rng trữớng F=K cõ bc n.
Chflng hn, cho K = Q v
p

p

F = Q[ 2] = fa + b 2 j a; b 2 Qg:
Khi õ F l K-khổng gian vc tỡ chiu l
2 vợi mt cỡ s l

th bc ca m rng F=K l
2.
1.2.5 Mằnh 1. Cho K l
mt trữớng v f(x) 2 K[x] l

p
f1; 2g. V
mt a thức

l mt nghiằm trong mt m
bĐt khÊ quy trản K. Cho deg f(x) = n v
rng trữớng n o õ ca K. Khi õ
K[ ] = fg( ) j g(x) 2 K[x]g
l mt m rng trữớng ca K, bc ca m rng l n v hằ f1; ; : : : ; n 1g
l mt cỡ s ca K[ ].
Chứng minh. . Xem [3, Mằnh 2.4.2]
5

V dử, cho K = Q v f(x) = x 2. Khi õ f(x) bĐt khÊ quy trản Q theo
Tiảu chu'n Eisenstein vợi p = 2. Gồi l mổt nghiằm ca f(x) trong C (chú
ỵ rng f(x) luổn cõ nghiằm trong C theo nh lỵ cỡ bÊn ca i s). Khi õ
2 3 4

Q[ ] l mt m rng bc 5 ca Q v hằ f1; ; ; ; g l mt cỡ s ca Q[ ].
1.2.6 Mằnh 2. Cho K l mt trữớng v f(x) 2 K[x]. Khi õ tỗn ti duy nhĐt
mt trữớng ti thiu chứa K v chứa tĐt cÊ cĂc nghiằm ca f(x).
Chứng minh. Xem [3, nh lỵ 2.4.7]
13

Cho K l mt trữớng v f(x) 2 K[x] l a thức cõ bc n. Trữớng ti thiu chứa
K v chứa n nghiằm ca f(x) (luổn tỗn ti theo mằnh trản) ữổc gồi l
2

trữớng phƠn r ca f(x) trản K. V dử, cho K = R v f(x) = x + 1. Khi õ
f(x) bĐt khÊ quy trản R. CĂc nghiằm ca f(x) l i v i. Do õ C l trữớng ti thiu
chứa R v chứa cĂc nghiằm ca
f(x), nõi cĂch khĂc C l trữớng phƠn r ca f(x) trản R. Cho K = Q v p
2

f(x) = x 2: Khi õ Q[ 2] l trữớng ti thiu chứa Q v cĂc nghiằm ca f(x), do õ
nõ l trữớng phƠn r ca f(x) trản Q.
Kt quÊ dữợi Ơy cho ta cĐu trúc ca trữớng hu hn.
1.2.7 Mằnh 3. CĂc phĂt biu sau l
úng.
(i) Nu K l trữớng hu hn cõ q phn tò th q l lụy tha ca mt s
nguyản t.
(ii) Nu q l lụy tha ca mt s nguyản t, th tỗn ti duy nhĐt mt trữớng
cõ q phn tò.
(iii) GiÊ sò q = pk vợi k l mt s tỹ nhiản v p l s nguyản t. Khi õ
trữớng phƠn r ca ak thức xpk x 2 Zp[x] chnh l tƠp tĐt cÊ cĂc
p

nghiằm ca a thức x
x trong mt m rng n o õ ca Zp.
Chứng minh. Xem [3, Mằnh 2.4.10].
BƠy giớ chúng ta sò dửng cĂc kt quÊ trản v m rng trữớng chứng
minh khflng nh ca D. Hilbert v sỹ tỗn ti mt a thức vợi hằ s nguyản
bĐt khÊ quy trản Q, những khÊ quy trản mồi trữớng Z p vợi p nguyản t.
4

1.2.8 nh lỵ 5. a thức f(x) = x + 1 bĐt khÊ quy trản Q những khÊ quy
trản Zp vợi mồi s nguyản t p.
4

2

2

Chứng minh. Vợi p = 2, rê r ng f(x) = x + 1 (x + 1) 2 Z2[x]. Suy ra a
thức f(x) khÊ quy trản Z2.
Cho p 3 l s nguyản t bĐt ký. Khi õ, p l s lã. Vit p = 2k + 1, ta cõ p 2
1 = 4k(k + 1) l s chia ht cho 8. Chú ỵ rng nu n l ữợc ca
n
1 l ữợc ca xm 1. Suy ra
m vợi n; m l hai s nguyản dữỡng, th x
8
p 1
1):
(x 1) j (x 2
NhƠn cÊ hai v vợi x ta suy ra
4

x(x + 1)(x

4

p2

1) j (x

14

x):


4

p

V th f(x) = x + 1 l
ữợc ca a thức x 2
x. Kỵ hiằu Fp2 l trữớng
p2
phƠn r ca a thức x
x trản trữớng Zp (luổn tỗn ti theo Mằnh 2).
p
x trong mt m rng
Khi õ Fp2 chnh l tp nghiằm ca a thức x 2
2
n o õ ca Zp (xem Mằnh 3). V Fp2 cõ p phn tò v Zp cõ p phn tò
nản Fp2 l Zp-khổng gian vc tỡ chiu 2.
Ta chứng minh nh lỵ bng phữỡng phĂp phÊn chứng.
4

GiÊ sò f(x) = x + 1 bĐt khÊ quy trản K := Zp vợi s nguyản t p 3
n o õ. Ta cn tm mƠu thuÔn.
Gồi l mt nghiằm ca f(x). Khi õ cụng l nghiằm ca a thức
p
x
x. V th l phn tò ca trữớng phƠn r Fp2 ca a thức x 2

trản K. t K1 = K[ ]. Khi õ K1 l trữớng trung gian gia K v
Fp2 .
V f(x) bĐt khÊ quy trản K v deg f(x) = 4, nản theo Mằnh 1, K 1 l mt
khổng gian vc tỡ cõ chiu bng 4 trản K. Nhữ vy, khổng gian vc tỡ
con K1 l K- khổng gian vc tỡ chiu 4, trong khi õ khổng gian vc tỡ
chứa K1 l Fp2 li l K- khổng gian vc tỡ chiu 2, iu n y l vổ lỵ.

x p2

1.2.9 Chú ỵ. Nôm 2005, E. Diver, P. A. Leonard v K. S. Williams trong
b i bĂo Irreducible quartic polynomials with factorizations modulo p,
Amer. Math. Monthly, 112, No.10, 876-890, Â ữa ra iu kiằn cn v cho
a thức bc 4 vợi hằ s nguyản l bĐt khÊ quy trản Q những khÊ quy trản
Zp vợi mồi s nguyản t p. Kt quÊ n y  ữổc Nguyn Vôn Lp trnh b y
li trong lun vôn thc sắ ca mnh (xem [2]). Cụng nôm 2005, R.
Guralnick, M. Schacher, J. Sonn trong b i bĂo Irreducible polynomials
which are locally reducible everywhere  ch ra rng, vợi mồi hổp s n
4, tỗn ti mt a thức bĐt khÊ quy f(x) 2 Z[x] cõ bc n m khÊ quy trản
trữớng Zp vợi mồi s nguyản t p.

15


Ch֓ng 2

Gi¡ trà kh£ nghàch, gi¡ trà nguy¶n tŁ
v t‰nh b§t kh£ quy
Möc ti¶u thø nh§t cıa ch÷ìng n y l tr…nh b y hai ti¶u chu'n b§t kh£
quy tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q li¶n quan ‚n c¡c gi¡ trà kh£ nghàch v
gi¡ trà nguy¶n tŁ cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n.

Möc ti¶u thø hai cıa ch÷ìng n y l tr…nh b y mºt ti¶u chu'n mîi v• t
‰nh b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng Q cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n sao cho c¡c
h» sŁ t«ng dƒn theo b“c v câ h» sŁ cao nh§t nguy¶n tŁ ho°c nh“n ‰t
nh§t mºt gi¡ trà nguy¶n tŁ.
C¡c k‚t qu£ ð ch÷ìng n y mºt phƒn düa theo b i b¡o [11] cıa R.
Thangadurai n«m 2007 v mºt phƒn ÷æc vi‚t düa theo b i b¡o [8] cıa A.
Jakhar v N. Sangwan n«m 2018: An irreducibility criterion for integer
polynomials, Amer. Math. Monthly, 125, 464-465.
K‚t qu£ ch‰nh cıa Ch÷ìng 2 l ành lþ 6, ành lþ 7, ành lþ 8, ành lþ 9,
ành lþ 10, ành lþ 11 v ành lþ 12.

2.1

Gi¡ trà kh£ nghàch v t‰nh b§t kh£ quy
n

Cho f(x) = anx + : : : + a1x + a0 câ b“c n vîi h» sŁ nguy¶n. Kþ hi»u
sŁ lƒn a thøc f(x) nh“n gi¡ trà kh£ nghàch tr¶n t“p sŁ nguy¶n l u(f), tøc l

u(f) := Cardfm 2 Z j f(m) 2 f1;

1gg:

4
Chflng h⁄n, n‚u f(x) = x x + 1, th… u(f) = 1. Th“t v“y, f(x) > 1 vîi måi v
2
kh¡c 0 v f(x) = 1 khi
ch¿ khi x = 0. N‚u g(x) = x + x + 1 th…
16

u(g) = 2. Th“t v“y, ta luæn câ g(x) > 0 vîi måi x. Hìn nœa, g(x) = 1 khi v
ch¿ khi x = 0 ho°c x = 1.
N‚u f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i c¡c sŁ nguy¶n x = bi vîi i = 1; 2; : : : ; m,
tøc l

m
Q

i

th… f(x) 1 = r(x)

(x bi), trong â r(x) l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n,

=1

m
Yi

f(x) = r(x) (x bi) + 1;
=1

trong â r(x) 2 Z[x]:
T÷ìng tü, n‚u f(x) nh“n gi¡ trà

1 t⁄i c¡c sŁ nguy¶n x = bi vîi i =

m

1; 2; : : : ; m, th… f(x) + 1 = r(x) (x

bi), trong â r(x) l a thøc vîi

=1

h» sŁ nguy¶n, tøc l

i

Q

Y

m

f(x) = r(x) (x

1;

bi)

i=1

trong â r(x) 2 Z[x]:
2.1.1 M»nh • 4. N‚u f(x) nh“n gi¡ trà +1 (t÷ìng øng 1) t⁄i m > 3 gi¡ trà
nguy¶n kh¡c nhau cıa bi‚n x, th… f(x) khæng th” nh“n gi¡ trà 1 (t÷ìng
øng +1).
Chøng minh. Gi£ sß m > 3 v b1; b2; : : : ; bm l c¡c sŁ nguy¶n æi mºt ph¥n

bi»t sao cho f(bi) = 1 vîi måi i = 1; : : : ; m. Khi

f(x) = (x

b1)(x

vîi g(x) 2 Z[x]. Gi£ sß bm+1 l

â

b2) : : : (x bm)g(x) + 1
sŁ nguy¶n sao cho f(bm+1) =

1. Khi â,

thay x = bm+1 v o flng thøc tr¶n ta nh“n ÷æc

1 = (bm+1

b1)(bm+1

b2) : : : (bm+1

bm)g(bm+1) + 1:

Suy ra

(b

m+1

b )(b
1

m+1

b2) : : : (bm+1

bm)g(bm+1) = 2:

1 ho°c
Do â, c¡c hi»u sŁ bm+1 bi l ÷îc cıa 2, v… th‚ nâ ch¿ câ th” l
2. V… c¡c bi l æi mºt ph¥n bi»t n¶n m 4: N‚u m = 4, th… ta câ
(

1)( 2)(1)(2)g(bm+1) =
17

2:


1
Suy ra g(bm+1) = 2, i•u n y l væ lþ. Do â m 3: Tr÷íng hæp cÆn l⁄i ÷æc
chøng minh t÷ìng tü.
Chóng ta câ th” xem chi ti‚t hìn M»nh
• 4 trong mºt b i b¡o
«ng
tr¶n t⁄p ch‰ nŒi ti‚ng Annals of Math. xu§t b£n n«m 1993 cıa hai nh
to¡n håc H. L. Dorwart v O. Ore.
2.1.2 M»nh • 5. N‚u f(x) câ b“c n v n

4, th… u(f) n.
Chøng minh. Gi£ sß u(f) > n, n 4: Khi â u(f) 5. Suy ra f(x) nh“n gi¡ trà 1
‰t nh§t 3 lƒn ho°c f(x) nh“n gi¡ trà 1 ‰t nh§t 3 lƒn. Khæng m§t t‰nh
tŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t f(x) nh“n gi¡ trà b‹ng 1 ‰t nh§t 3 lƒn. Gi£ sß
f(x) nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn 3 lƒn. Theo M»nh • 4, f(x) khæng nh“n gi¡ trà
1, suy ra f(x) nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn n lƒn, i•u n y l væ lþ v… deg f = n ( a
thøc câ b“c n câ nhi•u nh§t n nghi»m, suy ra a thøc b“c n nh“n còng
mºt gi¡ trà t⁄i nhi•u nh§t n i”m). Do â f(x) nh“n gi¡ trà b‹ng 1 t⁄i óng 3 lƒn.
Gi£ sß f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i m lƒn, th…

m = u(f)

3>n

3

2:

Gåi b1; b2; b3 l c¡c gi¡ trà nguy¶n æi mºt kh¡c nhau sao cho

f(b1) = f(b2) = f(b3) = 1:
Gåi c1; c2; : : : cm; m 2 sao cho

f(c1) = f(c2) =

= f(cm) =

1:

Suy ra

f(x) = (x
vîi g(x) l

b1)(x

b2)(x

b3)g(x) + 1;

a thøc câ h» sŁ nguy¶n. Thay x = ci vîi i = 1; 2 ta câ

2 = (ci

b1)(ci b2)(ci b3)g(ci):

Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta gi£ thi‚t b1 < b2 < b3: Khi â ci b1; ci b2;
ci b3 l ba ÷îc kh¡c nhau cıa
2, v… th‚ mºt trong 3 ÷îc â ph£i l 2
ho°c 2, v hai ÷îc cÆn l⁄i l
1v
1. Gi£ sß øng vîi c1, mºt trong ba
÷îc â l 2. Khi â c1 b1 = 2, c1 b2 = 1 v c1 b3 = 1. N‚u øng
vîi c2, mºt trong c¡c ÷îc
â công l 2 th… ta ph£i câ c2 b1 = 2 v do
â c2 = c1, væ lþ. Suy ra øng vîi c2, mºt trong c¡c ÷îc
âl
2. Suy ra
18

c2 b3 = 2, do õ c2 = b2, vổ lỵ v f(c2) = 1 trong khi õ f(b2) = 1.
Trữớng hổp ứng vợi c1, mt trong ba ữợc bng
2, ta lp lun tữỡng tỹ
v dÔn n mƠu thuÔn. Vy mằnh ữổc chứng minh.
2.1.3 Mằnh 6. Nu f(x) l a thức vợi hằ s nguyản cõ bc n th ta luổn
cõ u(f) 2n.
Chứng minh. Gồi m1 l s ln f(x) nhn giĂ tr 1 v m2 l s ln f(x) nhn giĂ
tr 1. Khi õ u(f) = m1 +m2. Ta cõ mi n v a thức f(x) 1 v a thức f(x) + 1
u cõ khổng quĂ n nghiằm. V th u(f) 2n.
nh lỵ sau y l kt quÊ chnh ca mửc n y, ữa ra mt tiảu chu'n bĐt
khÊ quy trản Q ca a thức vợi hằ s nguyản dỹa theo mi quan hằ gia
bc ca a thức v s ln nhn giĂ tr khÊ nghch ca a thức. R. Thangadurai
trong b i bĂo Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients are Integers,

ông trản tp ch Mathematics Newsletter thĂng 9 nôm 2007, trang
30, Â phĂt biu nhữ sau.
2.1.4 nh lỵ 6. Cho f(x) l a thức cõ hằ s nguyản. Nu f(x) cõ bc n 8 v
f(x) nhn giĂ tr 1 lợn hỡn n=2 ln hoc f(x) nhn giĂ tr 1 lợn hỡn n=2 ln
th f(x) bĐt khÊ quy trản Q.
Chứng minh. Ta chứng minh phÊn chứng. GiÊ sò f(x) khổng bĐt khÊ
quy trản Q. Theo B Gauss, f(x) = g(x)h(x) trong õ g(x) v h(x) l cĂc
nhƠn tò khổng tm thữớng ca f(x), tức l g(x) v h(x) u l a thức bc
dữỡng vợi hằ s nguyản. V bc ca f(x) l tng ca bc ca g(x) v h(x) ,
nản khổng mĐt tnh tng quĂt ta cõ th giÊ thit g(x) cõ bc m vợi m n=2
4. Theo giÊ thit, f(x) nhn giĂ tr 1 ti u(f) ln hoc f(x) nhn giĂ tr 1 ti u(f)
ln. Khổng mĐt tnh tng quĂt ta cõ th giÊ thit f(x) nhn giĂ tr 1 ti u(f)
ln.
Ta khflng nh g(x) nhn giĂ tr 1 ti u(g) ln hoc g(x) nhn giĂ tr
1 ti u(g) ln. Nu g(x) nhn giĂ tr 1 ti t nhĐt 4 ln hoc g(x) nhn

giĂ tr 1 ti t nhĐt 4 ln th khflng nh trản suy ra ngay t Mằnh 4.
GiÊ sò ngữổc li, tức l g(x) nhn giĂ tr 1 nhọ hỡn 4 ln v cụng nhn
giĂ tr 1 nhọ hỡn 4 ln. Chú ỵ rng u(g) u(f) v u(h) u(f) bi v nu f(x)
nhn giĂ tr 1 ti x = a th g(x) v h(x) cụng nhn giĂ tr 1 ti x = a. Do õ
theo giÊ thit ta cõ u(g) u(f) > n=2: Suy ra u(g) 5. Khổng mĐt tnh
tng quĂt ta cõ th giÊ thit g(x) nhn giĂ tr 1 ti úng
19


3 lƒn. Khi â g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i ‰t nh§t 2 lƒn. Theo l“p lu“n t÷ìng tü nh÷
trong chøng minh M»nh • 5, ta th§y i•u n y khæng th” x£y ra. V“y khflng
ành ÷æc chøng minh.
Theo khflng ành tr¶n, ta câ th” gi£ thi‚t g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i u(g) lƒn
vîi u(g) > n=2: Gåi a1; a2; : : : au(f) l c¡c sŁ nguy¶n ph¥n bi»t sao cho

f(ai) = 1 vîi måi i. Theo khflng ành tr¶n g(ai) = 1 vîi måi i. V… f(ai) =
g(ai)h(ai) n¶n h(ai) = 1 vîi måi i. Nh÷ v“y h(x) nh“n gi¡ trà b‹ng 1 t⁄i ‰t
nh§t u(f) lƒn. V… u(f) > n=2 n¶n deg h(x) u(f) > n=2.
Suy ra deg h(x) + deg g(x) > deg f(x). i•u n y l væ lþ.
Chøng minh t÷ìng tü, n‚u g(x) nh“n gi¡ trà
1 lîn hìn n=2 lƒn, th…
h(x) công nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn n=2 lƒn, v v… th‚ tŒng b“c cıa g(x) v
b“c cıa h(x) lîn hìn n, væ lþ. Do v“y f(x) l b§t kh£ quy tr¶n Q.
2.1.5 V‰ dö 6. X†t t‰nh b§t kh£ quy cıa c¡c a thøc sau tr¶n Q:
(i) f(x) = x

9

7

13x + 37x

(ii) g(x) = (x 1)(x

2

5

3

13x + 36x + 1.

1) 1.

Chøng minh.
4

(i) Ta câ f(x)
1 = (x
2)(x + 2)(x 3)(x + 3)x(x + 1): V… th‚ f(x)
nh“n gi¡ trà 1 t⁄i óng 5 i”m. V… deg f(x) = 9 v 5 > 9=2 n¶n theo ành lþ 6
ta suy ra f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
2

(ii) Ta câ g(x) + 1 = (x 1)(x 1). V… th‚ g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i óng 2 i”m.
deg g(x) = 3 v 2 > 3=2, nh÷ng g(x) khæng b§t kh£ quy tr¶n Q theo ành
lþ 6. Th“t v“y, ta câ g(0) = 0 do â g(x) kh£ quy tr¶n Q.
Rª r ng a thøc g(x) trong V‰ dö 6 câ sŁ lƒn nh“n gi¡ trà 1 lìn hìn deg
g(x)=2 nh÷ng khæng b§t kh£ quy theo ành lþ 6 bði v… deg g(x) < 8. Chó
þ r‹ng vi»c x†t t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc f(x) nâi tr¶n b‹ng Ti¶u chu'n

Eisenstein ho°c b‹ng ph÷ìng ph¡p rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ
•u khæng kh£ thi. Tuy nhi¶n n‚u sß döng ành lþ 6 th… vi»c x†t t‰nh b§t
kh£ quy cıa a thøc n y quy v• vi»c ph¥n t‰ch a thøc f(x) 1 th nh nh¥n tß,
v a thøc f(x) 1 câ 5 nghi»m nguy¶n n¶n vi»c ph¥n t‰ch l d„ d ng.
Trong phƒn cuŁi cıa möc n y, chóng tæi tr…nh b y kh¡i ni»m v mºt sŁ
k‚t qu£ v• a thøc b†o li¶n quan ‚n gi¡ trà kh£ nghàch cıa a thøc.
20


2.1.6

nh nghắa 2. a thức g(x) 2 Z[x]

ữổc gồi l bo nu

(g) := u(g) deg g(x) > 0:
2

Chflng hn, a thức f(x) = 2x
4x+1 l bo v deg f(x) = 2 v u(f) = 3.
2
a thức g(x) = x + 3x + 1 l
a thức bo v deg g(x) = 2 v u(g) = 4.
4
2
a thức h(x) = x + 3x + 2 khổng bo v deg h(x) = 4 v u(h) = 0.
3
2
a thức t(x) = x
x + x + 1 khổng bo v deg t(x) = 3 v u(t) = 1.

2.1.7 Mằnh 7. Nu f(x) l
a thức bo, th deg f(x) 3.
Chứng minh. GiÊ sò deg f(x)

4.

Theo Mằnh 5, ta cõ u(f) deg f(x). M f(x) l a thức bo nản u(f) > deg
f(x). Do õ deg f(x) 3.
Nôm 1993, hai nh toĂn hồc H.L. Dorwart v O. Ore trong b i bĂo
Criteria for the irreducibility of polynomial, Annals of Math. 34, No. 1,
81-94, Â chứng minh rng nu f(x) l mt a thức bo cõ bc n, th f(x) =
hi( x a), trong õ a l mt s nguyản v hi(x); i = 1; 2; : : : ; 5 ữổc cho dữợi Ơy

h1(x) = x(x

1)(x

h2(x) = (x

1)(x

h3(x) = 2x(x
h4(x) = 2x
h5(x) = x
2.2

3) + 1; n = 3; u(f) = 4:
2)

1; n = 2; u(f) = 4:

2) + 1; n = 2; u(f) = 3:
1; n = 1; u(f) = 2:

1; n = 1; u(f) = 2:

GiĂ tr nguyản t v tnh bĐt khÊ quy

Mửc tiảu ca phn n y l trnh b y mt s tiảu chu'n bĐt khÊ quy trản
Q ca a thức vợi hằ s nguyản trong mi quan hằ vợi giĂ tr nguyản t
ca a thức.
K hiằu

P (f) := Cardfn 2 Z : f(n) =

p; trong õ p l s nguyản tg:

Khi õ P (f) l s ln f(x) nhn giĂ tr nguyản t hoc s i ca s nguyản
t. Chú ỵ rng P (f) = 1 vợi vổ hn a thức f(x) 2 Z[x]. Tht vy, nh lỵ
Dirichlet phĂt biu rng nu a; b l hai s tỹ nhiản nguyản t
21


cũng nhau, th tỗn ti vổ hn s nguyản t trong dÂy s fan + bg n2N.
V vy cõ vổ hn a thức dng f(x) = ax + b vợi a; b l cĂc s nguyản sao
cho gcd(a; b) = 1, v cĂc a thức n y thọa mÂn P (f) = 1:
nh lỵ sau Ơy l mt trong hai kt quÊ chnh ca mửc n y, ch ra rng
nu f(x) nhn giĂ tr nguyản t ti nhiu hỡn 2 ln bc ca nõ th f(x) bĐt khÊ
quy trản Q. nh lỵ n y ữổc vit dỹa theo phĂt biu ca R. Thangadurai
trong b i bĂo Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients are Integers,

Mathematics Newsletter, Vol 17, trang 31. Tiảu chu'n n y theo nghắa n
o õ l khĂ d sò dửng xt tnh bĐt khÊ quy.
2.2.1 nh lỵ 7. Cho f(x) l
a thức cõ hằ s nguyản vợi bc l n > 0.
Nu P (f) > 2n th f(x) bĐt khÊ quy trản Q.
Chứng minh. Ta chứng minh bng phÊn chứng. GiÊ sò f(x) khổng bĐt
khÊ quy. Theo B Gauss, ta cõ phƠn tch f(x) = g(x)h(x) trong õ
g(x); h(x) 2 Z[x] v bc ca g(x), bc ca h(x) u dữỡng. GiÊ sò P (f) = m. Khi
õ tỗn ti cĂc s nguyản b1; b2; : : : ; bm sao cho f(bi) l s nguyản t hoc l
s i ca s nguyản t.

GiÊ sò p = f(n) = g(n)h(n) l mt s nguyản t. Khi õ, hoc g(n) = 1
hoc h(n) = 1. Do vy, g(bi) = 1 hoc h(bi) = 1 vợi mồi i = 1; 2; : : : ; m.
Suy ra u(h) + u(g) P (f) > 2n theo giÊ thit. GiÊ sò deg g(x) = r. Khi õ deg
h(x) = n r. Theo Mằnh 2.1.3, ta cõ u(g) 2r v u(h) 2(n r). Suy ra u(g) +
u(h) 2n, iu n y l vổ lỵ. Do õ f(x) bĐt khÊ quy.

Hằ quÊ sau Ơy ữổc suy ra trỹc tip t
nh lỵ 7.
2.2.2 Hằ quÊ 1. Cho f(x) l
a thức cõ hằ s nguyản vợi bc l n > 0.
Nu P (f) = 1 th f(x) bĐt khÊ quy trản Q.
2.2.3 V dử 7. CĂc a thức sau l bĐt khÊ quy trản Q.
(i) f(x) = x

4

(ii) g(x) = x

2

10x + 11.
4

3x 3.
2

(iii) h(x) = 3x + 11x + 121.

Chứng minh.

(i) Ta cõ f(0) = 2; f(1) = 2; f( 1) = 2; f(3) = 2; f( 3) = 2; f(2) = 17; f( 2)
= 17; f(4) = 107; f( 4) = 107: V 2; 17; 107 l cĂc s
22


nguyản t nản f(x) nhn giĂ tr nguyản t ti t nhĐt 9 ln. V bc ca a
thức l 4 nản theo nh lỵ 7, a thức f(x) bĐt khÊ quy trản Q.
(ii) Ta cõ g(0) = 3, g(1) = 5, g(2) = 7, g( 2) = 19; g(4) = 241; g( 4) =
271; g(5) = 613; g( 5) = 643; g(7) = 2377.
V 3; 5; 7; 19; 241; 271; 613; 643; 2377 l cĂc s nguyản t hoc s
i ca s nguyản t v deg g(x) = 4 nản theo nh lỵ 7, a thức g(x) l bĐt
khÊ quy trản Q.
(iii) Ta cõ h( 7) = 191; h( 6) = 163; h( 1) = 113; h(3) = 181; h(5) =
251. V 113; 163; 181; 191; 251 l cĂc s nguyản t nản h(x) nhn
giĂ tr nguyản t ti t nhĐt 5 ln. V bc ca a thức l 2 nản theo nh lỵ 7,
a thức h(x) bĐt khÊ quy trản Q.
Chú ỵ rng, a thức g(x) trong V dử 7 l bĐt khÊ quy theo Tiảu chu'n
Eisenstein vợi p = 3. Tnh bĐt khÊ quy ca h(x) cõ th suy ra t thỹc
t h(x) khổng cõ nghiằm hu t (hằ s tỹ do ca h(x) cõ cĂc ữợc: 1, 11,

121 nản viằc tm nghiằm ca h(x) tữỡng ữỡng vợi viằc tm giĂ tr ca h(x)
ti nhng ữợc n y). Tuy nhiản tnh bĐt khÊ quy ca a thức f(x) trong V
dử 7 khổng th suy ra t Tiảu chu'n Eisenstein v cụng khổng th suy ra t
phữỡng phĂp rút gồn theo module mt s nguyản t.
nh lỵ sau Ơy cụng l kt quÊ ữổc vit dỹa theo ni dung b i bĂo ca
R. Thangadurai Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients are
Integers, Mathematics Newsletter, Vol 17, trang 31. Ơy l kt quÊ ch
nh thứ hai ca mửc n y, cho ta mt tiảu chu'n bĐt khÊ quy ca a thức
dỹa trản s ln nhn giĂ tr nguyản t, giĂ tr i nguyản t hoc giĂ tr
khÊ nghch. Theo nhiu nghắa n o õ, Ơy cụng l mt tiảu chu'n hu
hiằu xt tnh bĐt khÊ quy ca a thức.
2.2.4 nh lỵ 8. Cho f(x) l a thức cõ bc n vợi hằ s nguyản. Nu tỗn ti n +
1 s nguyản m1; m2; : : : ; mn+1 sao cho jmi mjj > 2 vợi mồi i 6= j v f(mi) l
s nguyản t, s i ca s nguyản t hoc s khÊ nghch, th f(x) bĐt
khÊ quy trản Q:
Chứng minh. Ta chứng minh bng phÊn chứng. GiÊ sò f(x) khổng bĐt
khÊ quy trản Q. Theo B Gauss, f(x) = g(x)h(x), trong õ g(x); h(x) l
cĂc a thức bc dữỡng cõ hằ s nguyản. Xt ti cĂc s nguyản m i, v
f(mi) = g(mi)h(mi) l s nguyản t, s i ca s nguyản t hoc khÊ
23