SKKN tỉ số thể tích trong hình học không gian

Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán là môn học được nhiều học
sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học không gian thì lại mang
nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, đặc biệt là hình học không gian
tổng hợp. Đây cũng là phần thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Đại học – Cao
đẳng những năm gần đây, vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao, có
khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà chủ điểm quan trọng của hình học
không gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện. Nhằm giúp học sinh vượt qua
khó khăn, trở ngại đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi có chút kinh
nghiệm giảng dạy các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể
tích mong được chia sẻ cùng các thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn
toán .
Năm học 2014-2015 đã đến , với mong muốn có thể cung cấp cho các em học
sinh thêm một phương pháp để tính thể tích của các khối đa diện, tôi nghiên cứu và
viết đề tài: “Tỉ số thể tích trong hình học không gian ”.
2. MỤC TIÊU ,NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
Cung cấp cho học sinh một số phương pháp ứng dụng của tỉ số thể tích để
tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao khả năng phân tích tổng hợp, tư duy
cao…
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
- Khách thể nghiên cứu: học sinh 2 lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Quang
Trung.
- Đối tượng nghiên cứu: Thể tích khối đa diện
- Phạm vi nghiên cứu: các bài toán tính thể tích khối đa diện có ứng dụng
của tỉ số thể tích
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu sử dụng ứng dụng của tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện có nâng
cao chất lượng học sinh

5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tóm tắt một số nội dung quan trọng liên quan đến dạng toán tính thể tích
khối đa diện.
- Nghiên cứu ứng dụng của tỉ số thể tích
- Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối đa diện bằng ứng dụng tỉ số thể tích
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài
- Phân tích, tổng hợp,quan sát..
GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung

Trang 1


Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm: dạy học phần tính thể tích khối đa diện có
ứng dụng tỉ số thể tích.
7. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
Đề xuất cách tính thể tích khối đa diện bằng cách ứng dụng tỉ số của thể tích
trong dạy học môn hình học 12 THPT
8. CẤU TRÚC VÀ NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
Gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo. Nội dung có 3
chương:
- Chương I: Cơ sở lý thuyết
- Chương II: Các dạng toán
- Chương III: Thực nghiệm sư phạm
II.PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I: Cơ sở lý thuyết
Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó

GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung

Trang 2


Sáng kiến kinh nghiệm : Tỉ số thể tích trong hình học không gian
thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ V  B.h ,

Khối chóp V 

1
B.h , Khối hộp chữ nhật V  abc , …) rồi cộng các kết quả lại.
3

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và
khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao
hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính
thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối.
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ
Bài toán1: (Bài4 sgk HH12CB trang25)
Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm
A’,B’,C’ khác S.
V

SA '.SB'.SC '

S.A ' B ' C '

CMR: V
(1)

SA.SB.SC
S.ABC
Giải:

GV: Trần Anh Tuấn-thpt Quang Trung

Trang 3


Gọi H,H’ lần lượt là hình chiếu của A,A’ lên (SBC)

Ta có: AH // A’H’ � 3 điểm S,H,H’ thẳng hàng.
Xét  SAH có:
SA ' A 'H '

(*)
SA
AH

Do đó:
VS.A ' B ' C '
VS.ABC

1
A ' H '.SSB ' C '
A 'H ' SB ' SC ' Sin(B 'SC ')
3


.

.
.
(**)
1
AH SB SC Sin  BSC 
AH.SSBC
3

Từ (*) và (**) � đpcm
Trong (1) ,đặc biệt hóa cho B’ trùng B và C’ trùng C ta có:
VS.A ' B ' C ' SA '

(1')
VS.ABC
SA

Ta lại có: VSABC  VS.A ' BC  VA '.ABC
(1’) � VS.ABC 

SA '
.VS.ABC  VA '.ABC
SA




VA ‘ .ABC

1

SA ‘



A‘A


VS . ABC

SA

SA

Vậy:

VA ‘ .ABC
A
VS . ABC



A‘

(2)

SA

Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:
Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An ( n  3) , trên
đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có

VA '1 .A1A2 ...An
VS.A1A 2 ....An



A '1 A1
(2 ')
SA1

Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp
S.A1A2…An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)
CHƯƠNG II: Các dạng toán
Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích
của các khối đa diện và một số ứng dụng của nó
DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Ví dụ1:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm
của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
S.ICM và S.ABCD
S
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là
trọng tâm của tam giác BCD, do đó
1

1 1
 .
.V
B.SCM
3

3 2
V
1
Vậy ISCM 
VS . ABCD 12
V

VISCM


D.SBC

1 1 1
. . V
3 2 2

S . ABCD

Ví dụ2:
B
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm
của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi
mp(AB’D’)
Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao
điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’

A

D

O

M

I

C

S
C'

B'

I

A

O

D'
O'

D


Ta có

B

C


VS. AB ' C '

SB ' SC ' 1
.


SC '

VS. AC ' D '



SC ' SD ' 1 SC '
.



VS . ABC

SB SC

2 SC

VS . ACD

SC SD

2 SC

1 SC '
1 SC '
.
V
) .
.V


Suy ra
(V
S .' AB '
S . ABC
S . ACD
S . ABCD
C
'S . AC ' D
2 SC
2 SC
Kẻ OO’//AC’ ( O '  SC ) . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều
V



nên ta có SC’ = C’O’ = O’C
Do đó VS . A ' B ' C ' 
D'

1 1
. .V
S.
2ABCD
3

Hay

VS. A' B ' C ' D '
1
VS . ABCD


6

* Bài tập tham khảo:
Bài1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực
tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và
M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP
ĐS:

VH.MNP 1

VS . ABC 32

Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt
phẳng (  ) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính để mặt phẳng (  )
S

M

SC

chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
ĐS:

SM
31

SC
2

DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH
Ví dụ1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD  ABC  900 ,
AB  BC  a, AD  2a, SA  (
và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
ABCD)

của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a
Giải:
Áp dụng công thức (1) ta có
VS. BCM
SM
1


VS .BCA SA 2
VS.CMN

SM SN
.


1

S
M

2a

N
2a

D


VS .CAD

SA SD

4
a

Suy ra

B

A
C

VS .BCNM  VS .BCM  VS



.CNM

1
1
VS .BCA  VS .CAD
2
4
3

3

3

a
2a
a



2.3 4.3 3

Ghi chú:
1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức V 
B.h

1

gặp nhiều

3

khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM
về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều
2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN
Ví dụ2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a.
Giải:
S
Ta có
VCMNP CN CP
.


(a)
1
VCMBD CB CD 4
VCMBD VM . BCD MB 1
(b)



VCSBD VS .BCD SB 2

Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được
VCMNP
V
VS .BCD



1



8

1


CMNP

8

M
A
H

1

.S

Vậy: VCMNP 

a

.SH

S .BCD

BCD

3

3

96

3

N

.V

D



C

P

Gọi H là trung điểm của AD ta có SH  AD mà

(SAD)  ( ABCD) nên SH  ( ABCD) .
Do đó VS .BCD 

B

1 a 3 1 2 3a
.
. a 
3
3 2 2
12

(đvtt)

Ví dụ3:
Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a, DA = 2a và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng
DB và DC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a

D
2a

N


Giải:
V
DM DN
Ta có DAMN 

.
VDABC
DB DC

AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam

M

A

a

C
a

a

B


giác vuông DAB và DAC bằng nhau nên ta có
DM DA2 4a 2
DM 4


2 
2  4 
MB AB
a
DB 5

DN 4
Tương tự

DC 5
4 4
16
9
Do đó VD.AMN = . .VD.ABC = .VD.ABC. Suy ra VA.BCMN =
.VD.ABC
5 5
25
25
1
a 2 3 a3 3
3a 3 3
Mà VD.ABC = .2a.
. Vậy VA.BCMN =
(đvtt)

3
4
6
50

Ghi chú:
Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC
sau đây

b'



A

b2

B

( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng)

c

b

c'

b'

H

C

Ví dụ4:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2
SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao
điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a.
Giải:
S
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là
trọng tâm của tam giác ABC, do đó

AI
2
AI
1
 

AO 3
AC 3
V
AI AM 1 1
nên AIMN 
.
 . 
1
VACDN AC AD 3 2 6
V
NC
Mặt khác ACDN 

1
SC 2
VACDS
V
1
Từ (1) và (2) suy ra AIMN 
VACDS 12

a

Ma

A

(1)

I

2

D

a
O

(2)

C

B
S
3

Mà VSACD
1
VAIMN 
12
.VSACD

Ví dụ5:

1
1 a 2a a 2
. Vậy
 .SA.SACD  a.

3
3
2
6
3
a 2
(đvtt)

72

M
B

A
H


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông
góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H

D

C

thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH =

AC
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC.
4

Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo
a.
Giải:
Từ giả thiết ta tính được AH 

a 2

a

, SH 

4

a 14

, CH 

4

3a 2

, SC  2  SC  AC .

4

Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA.
Ta có

VS.MBC



SM

VS . ABC
VS . ABC

SA


1
3


V

1




S .MBC

2

.SH .S ABC

1
2

V
S . ABC

1 a2
 . a. 14
6 2
4

3
a 14 (đvtt)

48

* Bài tập tham khảo:
Bài1: Cho khối tứ

diện

ABCD

có

0

0

ABC  BAD  90 , CAD  120 ,

AB  a, AC  2a, AD  3a . Tính thể tích tứ diện ABCD.

ĐS: VABCD 

a

3

2
2

Bài2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và
SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a
ĐS: VS . A ' B ' C ' D '

16a 3

45

Bài3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi M,
P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích
khối chóp S.DMNP
ĐS: VS .DMNP 

a

3

2

36

Bài4: (ĐH khối B – 2010)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt
0
phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể
tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
3
ĐS: VABC . A' B 'C ' 3a 3

8

và R 7a

12

DẠNG3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH


Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác
định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách


thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao

của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm,
AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
Giải:
2
2
2
D
Ta có AB + AC = BC  AB  AC
1
2
AB.Ac.AD  8cm
6
Mặt khác CD = 4 2 , BD = BC = 5
Nên BCD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD
1
2 2
2
 S BCD  DC.BI 
5  (2 2 )  2 34
2
2
3VABCD
3.8
6 34
Vậy d ( A, (BCD)) 


S BCD

17
2 34

Do đó VABCD 

I

4
5

4

A

C
5

3

B

Ví dụ2:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, ABC  BAD  900 , AD = 2a,
BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ
H đến mp(SCD)
S
Giải:
Ta có

VS. HCD SH

VS .BCD SB

H
SAB vuông tại A và AH là đường cao nên
SH SA2 2a 2
SH 2
2a
A
Ta có


2 
2  2 
a
HB AB
a
SB 3
2
2 1
a 2 a3 2
Vậy VS.HCD = VS.BCD = . a 2. =
3
3 3
2
9
B
C
1

Mà VS .HCD  d (H ,
.
SCD
(SCD)).S
3
SCD vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2),
3
1
1
3a
2 a
2
do đó S
2.2a  a 2 . Vậy d (H , (SCD)) 
 CD.SC 

SCD .a
2
2
2
9a 2 3
Ví dụ3:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,

D


AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và B’C
Giải:

Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’
Suy ra B’C //(AME) nên
d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))
VC . AEM
MC 1


VC . AEB
CB 2

Ta có
 VC .

1

 VEACB
2

1 1 a 2 a 2 a3 2
 . . .

2 3 2 2
24

A'

C
'

AEM

Ta có d (C, ( AME)) 

B'

3VC . AEM
SAEM

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE,
ta có BH  AE
Hơn nữa BM  ( ABE ) 
 AE , nên ta

a 2

H

E

BM

được AE  HM
a 6
Mà AE =
, ABE vuông tại B nên
2
1
1

1
3
a 3
2 
2 
2  2  BH 
BH
AB
EB
a
3
BHM vuông tại B nên MH 

2

A

a

B

M

a

C

2

a

a
a 21


4
3
6

1

1 a 6 a 21 a 2 14
.
Do đó SAEM  AE.HM  .

2
2 2
6
8
3
3a 2
a 7
Vậy: d (C, ( AME)) 

2
7
a 14
24.
8

Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính SAEM

Ví dụ4:
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông
tại A, AB = a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc
B'
C'
của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm
của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’)
Giải:
A'
2a
Theo giả thiết ta có A’H  (ABC).
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến
1
BC = a. A '
2
AH

nên AH =
A'H



vuông tại H nên ta có

B

C
A ' A2  AH 2  a 3

a

K

H
1

a.a 3

3

2

Do đó VA '.ABC  a 3



a3
2

a 3

.

A


VA ' .ABC

1

VABC . A ' B ' 3
3
C'
2
2
a
.3.

 a3
 ABC . A ' B '
3 2
Suy ra VA '.BCC ' B ' V C '
3
3VA '. BCC ' B '
Ta có d ( A ', (BCC ' B ')) 
S BCC ' B '
Vì AB  A ' H  A ' B '  A ' H  A ' vuông tại A’
B'H

Mặt khác

Suy ra B’H =



2

2

a  3a  2a  BB '  BB '

.
H

của BH, ta có B ' K  BH . Do
đó

B'K


Suy ra S BCC ' B '  B 'C '.BK  2a.

a

3a

Vậy d ( A ', (BCC ' B ')) 


a

2

14

BB '  BK 
2

a

14

3

2

cân tại B’. Gọi K là trung điểm

2

a 14
2

14

2
3 14a
14

* Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và
A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC)
ĐS: d ( A, (IBC )) 

2a 5
5

Bài2:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M

thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)
ĐS: d ( A, ( AB 'C )) 

a

2

Bài3:
Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), ABC  900 . Tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b
ĐS: d ( A, (BCD)) 

ab
a 2  b2

Bài4:
Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện.


Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện
ĐS: h 1 h 2 h h3 

4



3VABCD
2
a
S ACB

3


Bài5:
Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Gọi r1, r2, r3, r4 lần
lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện.
Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối
diện của tứ diện. CMR:

r1 r2 r3 r4



1
h1 h2 h3 h4

DẠNG4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
Việc tính diện tích đa giác phẳng được quy về việc tính diện tích tam giác theo
công thức S 

1
ah , trong đó h – chiều cao và a là độ dài cạnh đáy.
2

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là việc tính diện tích của các đa
giác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn. Khi
đó có thể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện. Sau đây là
một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ1:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M,

N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết
rằng ( AMN )  (SBC )
S
Giải:
Gọi K là trung điểm của BC và I là trung
điểm của MN. Ta có

VS. AMN



SM SN
.


N

(1)

1
VS . ABC
SB SC 4
Từ ( AMN )  (SBC )
và AI  MN (do AMN cân tại A )
nên AI  (SBC )  AI  SI
Mặt khác, MN  SI do đó SI  ( AMN )
SI .S AMN
1
1 SO
Từ (1) 

.S

 
S
AMN
ABC
SO.S ABC 4
4 SI

I

C

M

A
K

O

(O

B

là trọng tâm của tam giác ABC)
Ta có ASK cân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên
a 3
a 15
2
2

 SO  SA  OA 
2
6
2
1 a 15 a 3 a 2 10
1
a 2
Và SI = SK 
Vậy S AMN  .
.
(đvdt)

2
4
4 6a 2
4
16
4

AK = AS =


* Bài tập tham khảo:
Bài1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết ABC là tam giác vuông tại B có
2
AB = a, BC = b, AA’ = c (c  a 2  b 2 ). Một mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc
với CA’cắt lăng trụ theo một thiết diện.
a) Xác định thiết diện đó
b) Tính diện tích thiết diện xác định ở câu a)
ab a 2  b 2  c 2

ĐS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN 
2c

Bài2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc
0
BAC  CAD  DAB  90 . Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD)
a) Chứng minh rằng:

1
1
1
1
2  2 
2
2
AH
x
y
z

b) Tính diện tích tam giác BCD
1 2 2
x y  y 2 z 2  z 2 x2
ĐS: S BCD 
2


CHƯƠNG III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
- Đánh giá tính khả thi của đề tài

- Sau khi tiến hành thực nghiệm sư phạm so sánh kết quả của lớp thực
nghiệm và lớp đối chứng để đánh giá giả thuyết khoa học của đề tài
2. Nhiệm vụ của thực nghiệm
- Chọn lớp đối chứng và lớp thực nghiệm
- Tổ chức triển khai nội dung
- Xử lý, phân tích kết quả từ đó rút ra kết luận
3. Đối tượng thực nghiệm
Tiến hành dạy phần nội dung đã trình bày trên đối tượng là học sinh
2 lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Quang Trung, tỉnh Đăk Lăk. Hai
lớp được lựa chọn tham gia thực nghiệm có nhiều điểm tương đồng
nhau về ý thức, thành tích học tập, tỉ lệ giới tính, dân tộc…
4. Phương pháp thực nghiệm
- Tiến hành dạy thực nghiệm thời gian thực hành thực nghiệm vẫn
tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và thời khóa biểu để đảm
bảo tính khách quan (bao gồm chính khóa và phụ đạo).
- Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra số 1
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra số 2
- Dùng phép kiểm chứng T-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa
điểm số trung bình của 2 nhóm trước và sau khi tác động:
5. Kết quả thực nghiệm
Chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm, 12A2 làm lớp đối chứng. Lấy kết
quả bài kiểm tra chung của hai lớp làm bài kiểm tra trước tác động. Giáo viên
sử dụng kết quả của bài kiểm tra này kết hợp nghiên cứu sử dụng phương
pháp kiểm chứng T- test độc lập ở bài kiểm tra trước tác động ( p= ?> 0,05).
Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của cả hai nhóm và còn suy ra độ
chênh lệch điểm trung bình của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng trước tác
động là không có ý nghĩa. Từ đó, có thể kết luận kết quả học tập của hai lớp
trước tác động là tương đương nhau. Sau đó giáo viên lấy kết quả bài kiểm tra
chung tiếp theo làm bài kiểm tra sau tác động.