5 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 năm 2017 2018 có đáp án

5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN LỚP 7
NĂM 2017-2018 (CÓ ĐÁP ÁN)


1. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn 7 năm 2017-2018
có đáp án - Phịng GD&ĐT Hậu Lộc
2. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Tốn 7 năm 2017-2018
có đáp án - Phịng GD&ĐT huyện Than Uyên
3. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 7 năm 2017-2018
có đáp án - Phịng GD&ĐT huyện Trực Ninh
4. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 7 năm 2017-2018
có đáp án - Phịng GD&ĐT huyện Vĩnh Bảo
5. Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn 7 năm 2017-2018
có đáp án - Phòng GD&ĐT Tam Dương


PHỊNG GD&ĐT
ĐỀ HSG TỐN 7

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
MƠN: TỐN 7
NĂM HỌC 2017 – 2018
Ngày thi: 26/3/2018
(Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1. (4,0 điểm).
13
19  23
2
8

.  0,5  .3    1  :1
15
 15 60  24
100
20
b) So sánh: 16 và 2

a) Tính: A = 1

Bài 2. (3,0 điểm).
1
1
1
2
2
1 n
b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 .3  4.3n  13.35

a) Tìm x biết: 2 x  7 
Bài 3. (4,5 điểm).

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
ab bc cd d a

Tính giá trị biểu thức Q, biết Q =



cd d a ab bc

a) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

x
y
z
t
với x, y, z, t là các số



x y z x yt y zt x zt
tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10  1025 .

b) Cho biểu thức M 

Bài 4. (6,5 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc
đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vng góc với đường
thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:
a) BAM = ACM và BH = AI.
b) Tam giác MHI vuông cân.
2) Cho tam giác ABC có góc  = 900. Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC). Tia
phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh
BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE.

Bài 5. (2,0 điểm).
Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 1  x  1 , 1  y  1 ,
1  z  1 . Chứng minh rằng đa thức x 2  y 4  z 6 có giá trị khơng lớn hơn 2.
-----Hết----Họ và tên thí sinh: …………………………….. Số báo danh: ..............
Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.


HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu
Bài 1.

Nội dung
7 47 47
:
5 60 24
7 2
= 
5 5

+ Biến đổi: A  
a) 2,0 đ

=1
+ Biến đổi: 1620  24.20  280
b) 2,0 đ + Có 280  2100 vì (1 < 2 ; 80 < 100)
Vậy 1620  2100
Bài 2.
1
1

 1 => 2 x  7  1
2
2
a) 2,0 đ => 2 x  7  1 hoặc 2 x  7  1

+ Ta có 2 x  7 

=> x  4 hoặc x  3
Vậy x  4 hoặc x  3 .
+ Biến đổi được 3n.(31  4)  13.35
n
6
b) 1,0 đ => 3  3
=> n = 6
KL: Vậy n = 6
Bài 3.

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 

1 
1 
1
a
b
c
d
a bc  d a b c  d a b c d a b c d



a
b
c
d
+ Nếu a + b + c + d  0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4

Điểm
4,0 đ
1,0
0,50
0,50
0,5
1,0
0,5
3,0 đ
0,5
0,5
0,5
0,5

0,25
0,25
0,25
0,25
4,5 đ

+ Biến đổi:

a)
(2,5 đ)

+ Nếu a + b + c + d = 0
thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)
=> Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4
+ KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d  0
Q = - 4 khi a + b + c + d = 0

0,5

0,25
0,25
1,0
0,25
0,25


+ Ta có:

x
x


x yz x y
y
y

x yt x y

0,1

z
z

y z t z t

b)
(2,0 đ)

t
t

x z t z t
M < (

x
y
z
t


)(

)
xy xy
zt zt

0,25

=> M < 2

0,5
0,25

+ Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025
Vậy M10 < 1025
A

I

Bài 4.
0,25
D
B

M

C

H

1.a/
2,75 đ

1.b/
2,0 đ

* Chứng minh: BAM  ACM
+ Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)
+ Lập luận được: BAM  CAM  450
+ Tính ra được ACM  450
=> BAM  ACM
* Chứng minh: BH = AI.
+ Chỉ ra: BAH  ACI (cùng phụ DAC )
+ Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)
=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)
b) Tam giác MHI vuông cân.
+ Chứng minh được AM  BC
+ Chứng minh được AM = MC
+ Chứng minh được HAM  ICM
+ Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c)
=> HM = MI
+ Do HAM = ICM => HMA  IMC => HMB  IMA (do

0,5
0,25
0,25
0,25

0,5
0,75
0,25

(*)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


AMB  AMC  900
+ Lập luận được: HMI  900

(**)

0,25
0,25

Từ (*) và (**) => MHI vuông cân
A

0,25
2)
1,5đ

B

E

H

D

C

+ Chứng minh được :
AEC  ABC  BAE  HAD  DAC  BAE  EAH  HAD  DAC  EAC
(Vì B và HAC cùng phụ với BAH )

Bài 5.
2,0 đ

Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE
+ Tương tự chứng minh được AB = BD
+ Từ (*) và (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC
+) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử x; y  0
=> z = - x - y  0
+) Vì 1  x  1 , 1  y  1 , 1  z  1 = > x2  y 4  z 6  x  y  z
=> x2  y 4  z 6  x  y  z
=> x2  y 4  z 6  2 z
+) 1  z  1 và z  0 => x2  y 4  z 6  2
KL: Vậy x2  y 4  z 6  2

Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25
(*)
(**)

0,25

0,50
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
0,25


PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THAN UN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2017 - 2018
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1. (4,0 điểm)
 2

3  193 33   7

11  1931 9 

a) Thực hiện phép tính: A  


  : 

 .
.
.
 193 386  17 34   1931 3862  25 2 
b) Rút gọn :
B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017.
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Tìm a, b, c biết

12a  15b 20c  12a 15b  20c


và a + b + c = 48.
7
9
11

b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5.
Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có
một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.
Câu 3 (4,5 điểm).
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =

| x  2017 | 2018
.
| x  2017 | 2019

3 8 15

n2  1
b) Chứng tỏ rằng S =    ...  2 không là số tự nhiên với mọi n  N, n >
4 9 16
n

2.
c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.
Câu 4 (5,5 điểm).
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC
lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN.
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c) Đường thẳng vng góc với MN tại I ln ln đi qua một điểm cố định khi D
thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5 (2,5 điểm).
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
hàm số y = f(x) = ax.
a) Tính tỉ số

y0  2
.
x0  4

b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC

------------------------------------------------------------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm – SBD: ……………


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THAN UYÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI
HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2017 - 2018
Mơn thi: TỐN
(Đáp án gồm có 04 trang)

HDC CHÍNH THỨC
Câu 1. (4,0 điểm)
 2

3  193 33   7

11  1931 9 

a) Thực hiện phép tính: A  

  : 

 .
.
.
 193 386  17 34   1931 3862  25 2 
b) Rút gọn :
B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)49 + (-5)50.
 2

3  193 33 

2 193

3 193 33

2

3

33

 
.

.

 
=
=1

  =
.
 193 386  17 34  193 17 386 17 34 17 34 34

a



1931 9 




.

.
 =   =5
 

  =
.
 1931 3862  25 2  1931 25 3862 25 2 25 50 2
7

11

A = 1 : 5 =

7

1931

11 1931 9

7

11

9

1
5

0,75
0,5

(-5)B =
(-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017 + (-5)2018.
B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + … + (-5)2016 + (-5)2017.
2018
-1
b Do đó: (-5)B – B = (-6)B = (-5)
2018
2018
(5)  1 1  5
Vậy B =
=
4
4
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Tìm a, b, c biết

0,75

0,5
0,75
0,75

12a  15b 20c  12a 15b  20c


và a + b + c = 48.
7

9
11

b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5.
Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có
một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
12a  15b 20c  12a 15b  20c 12a  15b  20c  12a  15b  20c



=0
7
9
11
27

a

b

12a  15b

 0 12a  15b 
a
b
c

7
  12a  15b  20c  1  1  1

20c  12a
 0  20c  12a 
12 15 20

9
và a + b + c = 48
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a
b
c
a bc
48



=
= 24
1
1
1
1 1 1
1
 
12 15 20 12 15 20 5
a
b
c
 240  a  20
 240  b  16
 240  c  12

1
1
1
12
15
20
Vậy a = 20; b = 16; c = 12.
Gọi tổng số đất đã phân chia cho các đội là x (m3) ĐK: x > 0.
Số đất dự định chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a, b, c (m3) ĐK: a,b,c > 0.

0,25

0,5

0,5

0,5
0,25
0,25
0,25


7x
6x
5x
a b c abc x
 a  ;b  ;c 
  

(1)

18
18
18
7 6 5
18
18
Số đất sau đó chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a’, b’, c’ (m3) ĐK: a’,b’,c’ > 0.
a ' b ' c ' a ' b ' c ' x
6x
5x
4x
  

 a '  ;b '  ; c ' 
Ta có:
(2)
15
15
15
6 5 4
15
15
So sánh (1) và (2) ta có: a < a’; b = b’ ; c > c’ nên đội I nhận nhiều hơn lúc đầu.
x
7 x 6x
 4  x  360
 =6 
Vì a – a’ = 6 hay
90
18 15

Vậy tổng số đất đã phân chia cho các đội là 360m3 đất.
Câu 3 (4,5 điểm).
Ta có:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
b) Chứng tỏ rằng S =

0,25
0,25
0,25
0,25

| x  2017 | 2018
.
| x  2017 | 2019

n2  1
3 8 15
   ...  2 không là số nguyên với mọi n  Z, n > 2.
4 9 16
n

c) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0.

a

| x  2017 | 2018
=
| x  2017 | 2019

 x  2017  2019  1

1
| x  2017 | 2019
| x  2017 | 2019
Biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất khi | x  2017 | 2019 có giá trị nhỏ nhất

0,25

Mà | x  2017 | ≥ 0 nên | x  2017 | 2019 ≥ 2019.

0,25

C=

Dấu “=” xảy ra khi x = 2017  C =

= 1

2018
.
2019

2018
khi x = 2017.
2019
3 8 15
n2  1
22  1 32  1 42  1
n2  1

S =    ...  2 = 2  2  2  ...  2
4 9 16
n
2
3
4
n
1
1
1
1
= 1  2  1  2  1  2  ...  1  2
2
3
4
n
1
1
1
1

= (1  1  1  ...  1)   2  2  2  ...  2 
n 
2 3 4
1 
 1 1 1
= (n  1)   2  2  2  ...  2 
n 
2 3 4
 S < n – 1 (1)

1 1
1
1
1
1
1
1
Nhận xét: 2 <
; 2<
; 2<
; …; 2 <
(n  1).n
1.2 3
2.3 4
3.4
2
n
1 1 1
1
1
1
1
1
1
+
+
+…+
= 1– < 1.
 2  2  2  ...  2 <
(n  1).n

2 3 4
n
1.2
2.3
3.4
n
1
1
1 1 1
1 1 1
   2  2  2  ...  2  >-1  (n  1)   2  2  2  ...  2  > (n–1)–1= n – 2.
n 
n 
2 3 4
2 3 4
 S > n – 2 (2)

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là

b

c

Từ (1) và (2) suy ra n – 2 < S < n – 1 hay S khơng là số ngun.
Ta có:
x - 2xy + y = 0.
 x(1 – y) + y = 0

0,5

0,25
0,25

0,25

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,5


 (1 – y) + x(1 – y) = 1
 (1 + x)(1 – y) = 1
Ta có: 1 = 1.1 = (-1).(-1)
Ta có bảng:
1+x
1
-1
1–y
1
-1
x
0
-2
y
0
2

0,25

0,5

abccjh

0,25
Vậy (x;y) {(0;0);(-2;2)}
Câu 4 (5,5 điểm).
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy
điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC
lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN.
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
c) Đường thẳng vng góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay
đổi trên cạnh BC.
GT ∆ABC
AB = AC
BD = CE
MD  BC; NE  BC
BC  MN = {I}
0,25
KL a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
Vẽ
c) Đường thẳng vng góc với MN tại I ln ln đi qua một điểm
hình;
cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
Ghi

GTKL
0,5

a

b

c

∆MDB = ∆NEC (g.c.g)
 DM = EN (cặp cạnh tương ứng)
 MB = NC (cặp cạnh tương ứng)
Ta có:
∆MDI vng tại D: DMI  MID  900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
∆NEI vuông tại E: ENI  NIE  900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vng)
Mà MID  NIE (đối đỉnh) nên DMI = ENI
∆MDI = ∆NEI (g.c.g)
 IM = IN (cặp cạnh tương ứng)
Vậy BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN
Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC.
∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền.cạnh góc vng)

0,75
0,25

0,5
0,75
0,25
0,25
0,25

0,25


 HAB  HAC (cặp góc tương ứng)
Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I.
∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
 OBA  OCA (cặp góc tương ứng) (1)
 OC = OB (cặp cạnh tương ứng)
∆OIM = ∆OIN (c.g.c)
 OM = ON (cặp cạnh tương ứng)
∆OBM = ∆OCN (c.c.c)
 OBM  OCN (cặp góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra OCA  OCN =900, do đó OC  AC.
Vậy điểm O cố định.
Câu 5 (2,5 điểm).
Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của
hàm số y = f(x) = ax.
y 2
.
a) Tính tỉ số 0
x0  4
b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC

a

Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ (2;1) của A phải thỏa mãn hàm số
y = ax.
1
1
Do đó, 1 = a.2  a = . Vậy hàm số được cho bởi công thức y = x.

2
2
Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của chúng tỉ
lệ thuận với nhau.
Suy ra
Vậy

y0 1 2 y0  2
  
(theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
x0 2 4 x0  4

1
y0  2
= .
x0  4
2

1
5
x0 = = 2,5.
2
2
Diện tích tam giác OBC là:
1
b
Áp dụng công thức S = (a.h) ta có:
2
1
SOBC = . 5. 2,5 = 6,25.

2
*Lưu ý. Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Nếu x0 = 5 thì y0 =

_________________Hết__________________
(Cán bộ chấm thi:………………………..)

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

0,75


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017 -2018
MƠN TỐN LỚP 7

Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang)

------------------------------Bài 1 (4,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính :

212.35  46.92

 2 .3
2

6

 8 .3
4

5



510.73  252.492

125.7 

3

 59.133

b) CMR :

1 1
1
1
1
1
1
 4  ...  4 n 2  4 n  ...  98  100 
2
7 7
7
7
7
7
50
Bài 2 (3,0 điểm)
a) Tìm x,y,z biết:
x

1
2
 y   x 2  xz  0
2
3

b) Cho đa thức f (x)  ax 2  bx  c

Biết f (0)  0; f(1)  2017; f (1)  2018 . Tính a,b,c?
Bài 3 (3,0 điểm)
a) Cho

a c
b2  a 2 b  a
 . Chứng minh rằng 2 2 
c b
a c
a

b) Tìm 1 số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1,
2 và 3
Bài 4 (8,0 điểm.) Cho ABC vuông tại A (AB > AC). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
BD = AC. Trên đường vng góc với AB tại B lấy điểm E sao cho BE = AD (E và C nằm
trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB).
1) Tam giác CDE là tam giác gì ?
2) Trên AC lấy điểm F sao cho CF = AD. Gọi giao điểm của BF và CD là O. Chứng
minh COF  450 .
3) Trên BF lấy điểm P sao cho FCO  OCP . Kẻ FH  CP( H  CP) . Chứng minh:
a) HO là tia phân giác của FHP
b) Chứng minh: OH + OC > HF + CF.
Bài 5(2,0đ)
2
Tìm x, y  N biết: 36  y 2  8  x  2018

-------------------HẾT-------------------Họ và tên thí sinh:……………..……............…… Họ, tên chữ ký GT1:……………………..
Số báo danh:……………….……..............……… Họ, tên chữ ký GT2:……………………..

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
Đáp án

Bài
a) (2đ) E 

2 .3  4 .9
12

5

 2 .3
2

6

6

2

 8 .3
4

5



5 .7  25 .49
10

3

125.7 

2

3

 59.133

212.35  212.34 510.73  54.74
 12 6 12 5  9 3 9 3
2 .3  2 .3 5 .7  5 .13
4 3
6
212.34  3  1 5 .7  5  7 
 12 5

2 .3  3  1 59.73 1  23 

Bài 1
(4đ)

Điểm

2

0,5

0,5

4 3
6
212.34.2 5 .7  5  7 
 12 5 
2 .3 .4
59.73.9
1 56  7
  5
6 5 .9
55.3  2.  56  7  2429


2.55.9
6250
1 1
1
1
1
1
1
b) (2đ) 2  4  ...  4 n2  4n  ...  98  100 
7 7
7
7
7
7
50
1 1
1

1
1
1
Đặt A  2  4  ...  4 n2  4n  ...  98  100
7 7
7
7
7
7
1
1
1
1
1
Ta có 49 A  1  2  ...  4 n4  4 n2  ...  96  98
7
7
7
7
7
1
Suy ra : 50 A  1  100  1
7
1
Vậy A 
50

0,5

0,5

0,5
0,5
0,5
0,5

a) (1,5đ)Tìm x,y,z biết:
1
2
 y   x 2  xz  0
2
3
Sử dụng tính chất A  0
x

0,25

1
2
 0; y   0; x 2  xz  0
2
3
1
2
Nên : x   y   x 2  xz  0
2
3

Suy ra x 

0,25
0,25

Bài 2
(3đ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
1
2
1
x  ; y  ;z 
2
3
2

0,5

KL

0,25

b) (1,5đ)Cho đa thức f (x)  ax  bx  c
Biết f (0)  0;f(1)  2017; f (1)  2018 . Tính a,b,c.
Tính được f(0) = c  c  0
2

f (1)  a  b c  a  b c  2017  a  b  2017
f (1)  a  b c  a  b c  2018  a  b  2018

0,25
0,25
0,25

Từ đó tính được a 

4035
1
;b 
2
2

0,5

KL:

0,25
a c
b a
ba
 . CMR : 2 2 
c b
a c
a
2

a) (1,5đ)Cho

2

a c
  c 2  ab

c b
b2  c 2 b 2  ab b  a  b  b
Khi đó : 2 2  2


a c
a  ab a  a  b  a

Từ

0,25
0,5

b2  c 2
b
1  1
2
2
a c
a
2
2
b a
ba
Hay 2 2 
a c
a

0,25

Suy ra :

Bài 3
(3đ)

0,25

KL:
b) (1,5đ)Tìm 1 số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số
của nó tỉ lệ với 1,2 và 3
Gọi 2 chữ số cân tìm là a,b,c
Số chia hết cho 18 nên chia hết cho 9 .Suy ra a  b  c 9
Lại có 1  a  b  c  27
Suy ra a+b+c nhận 1 trong 3 giá trị 9,18,27
Theo bài ra ta có :

a b c abc
abc
  
 N suy ra
mà a  N nên
1 2 3
6
6

0,25

0,25
0,25
0,25

a+b+c=18
Suy ra

a b c
   3  a  3, b  6, c  9
1 2 3

0,25

Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số cuối là chẵn
KL : Ta chọn 396 và 936
B

0,25
0,25

E

P

Bài 4
(8đ)
D
O

H

I
A

1)
2,0
điểm

M

F

C

Chứng minh: DBE  CAD(c.g.c)

0,5 đ

Suy ra: DE = DC (1)

0,25 đ

BDE  ACD; DEB  CDA

Mặt khác: DBE vng tại B có BDE  DEB  900

0,25 đ


2)
2,0
điểm

Do đó: BDE  CDA  900

0,25 đ

Từ đó suy ra: CDE  900
 CDE vuông tại D (2)

0,5 đ

Từ (1) và (2) suy ra CDE vuông cân tại D

0,25 đ

CDE vuông cân tại D  DEC  DCE  450

0,25 đ

Chứng minh: BE // AC
Suy ra: EBC  FCB

0,5 đ

Chứng minh: BEC  CFB ( vì có BE = CF (cùng bằng AD), EBC  FCB và
BC là cạnh chung)

0,5 đ

Suy ra BCE  CBF
Do đó BF // CE

0,25 đ

Khi đó DCE  COF ( vì là hai góc so le trong)

0,25 đ

Mà DCE  450 nên COF  450

0,25 đ

AFH là góc ngồi tại đỉnh F của HFC

0,5 đ



Nên AFH  FHC  HCF  900  2.OCF  2. 450  OCF



Mà AFO là góc ngồi tại đỉnh F của OFC

0,5 đ

 AFO  COF  FCO  450  FCO

3a)
2,0
điểm

1
2

Do đó: AFO  AFH

0,5 đ

Hay FO là tia phân giác của AFH
CFH có đường phân giác của góc C và đường phân giác của ngồi tại đỉnh F

0,5 đ

cắt nhau tại điểm O
Nên đường phân giác của góc ngồi tại đỉnh H của CHF cũng phải đi qua O
Tức là HO là tia phân giác của FHP

3b)
2,0
điểm

Qua H kẻ đường thẳng vng góc với OF tại I, cắt AC tại M.
Chứng minh: FIM  FIH ( g.c.g )

0,5 đ

Suy ra: MI = HI, FM = FH
Do đó OM = OH (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

0,5 đ

OMC có OM + OC > MC (bất đẳng thức tam giác)

0,5 đ

Từ đó suy ra: OH + OC > HF + CF

0,5 đ


Tìm x, y  N biết 36  y 2  8  x  2018

36  y 2  8  x  2018  y 2  8  x  2018  36

0,25

 x  2018 2  1

2
Vì y 2  0   x  2018   0

 x  2018 2  4


0,5

Với  x  2018  1  y 2  28 (Loại)

0,25

2

Bài 5
(2đ)

2

2

2

 x  2020
 x  2016

Với  x  2018  4  
2

0,25

 y 4 y  2
2

Với  x  2018  0  x  2018; y 2  36  y  6
KL
2

0,25
0,25


UBND HUYỆN VĨNH BẢO

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS
MƠN TỐN 7
NĂM HỌC 2017 - 2018

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề gồm 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm)
2 2
1
1 

0,4



0,25


9 11  3
5  : 2017 .
a) Tính M = 

7 7
1
 1,4  

1  0,875  0,7  2018
9 11
6


b) Tìm x, biết: 2017  x  2018  x  2019  x  2 .
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:
a bc bca ca b


c
a
b
 b  a  c 
Hãy tính giá trị của biểu thức: B  1  1  1   .
 a  c  b 
b) Cho hai đa thức: f (x)  (x 1)(x 3) và g(x)  x 3  ax 2  bx  3
Xác định hệ số a;b của đa thức g(x) biết nghiệm của đa thức f (x) cũng là nghiệm
của đa thức g(x) .
c) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x  y  z  xyz .
Câu 3 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, BH vng góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm
M bất kì (M khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB,
AC, BH.
a) Chứng minh: ∆DBM = ∆FMB.
b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị khơng đổi.
c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH.
Chứng minh BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng DK.
Câu 4 (1,0 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC, B= 600 ). Hai tia phân giác AD ( D  BC ) và CE
( E  AB ) của ABC cắt nhau ở I. Chứng minh  IDE cân.
Câu 5 (1,0 điểm)
12  1 22  1 32  1
n2 1
 2  2  ...  2
Cho Sn 
( với n  N và n >1)
1
2
3
n
Chứng minh rằng Sn không là số nguyên.

----- Hết ----Giám thị số 01
( Kí, ghi rõ họ và tên)

Giám thị số 02
( Kí, ghi rõ họ và tên)


UBND HUYỆN VĨNH BẢO
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐÁP ÁN: MƠN TỐN 7

Nội dung
2 2
1
1 


0,4



0,25


9 11  3
5  : 2017
a) Ta có: M  

7 7
1
 1,4  
1  0,875  0,7  2018
9 11
6


1 1 1 
2 2 2
 5  9  11 3  4  5  2017


:
7 7 7 7 7 7  2018
  
  
 5 9 11 6 8 10 

 1 1 1  1 1 1 
 2  5  9  11   3  4  5   2017
 
 :
 
Câu 1
 7  1  1  1  7  1  1  1   2018
  5 9 11  2  3 4 5  



 
 2 2  2017
   :
0
 7 7  2018
b) Có 2018  x  0 và
Câu

2017  x  2019  x  x  2017  2019  x  x  2017  2019  x  2
=> 2017  x  2018  x  2019  x  2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2017)(2019 – x) ≥ 0 và 2018  x = 0 ,
suy ra: 2017 ≤ x ≤ 2019 và x = 2018  x  2018
Vậy x = 2018.
a) Vì a, b,c là các số dương nên a  b  c  0
Nên theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a bc bca ca b a bcbca ca b




1
c
a
b
a bc
a bc
bca
cab

1 
1
1 2
c
a
b
ab bc ca



2
c
a
b
 b  a  c 
Câu 2
Mà: B  1  1  1  
 a  c  b 
 a  b  c  a  b  c 
B



8
 a  c  b 
Vậy: B  8
b) HS biết tìm nghiệm của f (x)  (x  1)(x  3) = 0  x  1; x  3
Nghiệm của f (x) cũng là nghiệm của g(x)  x 3  ax 2  bx  3 nên:
Thay x  1 vào g(x) ta có: 1  a  b  3  0
Thay x  3 vào g(x) ta có: 27  9a  3b  3  0

Điểm

0.25

0.5

0.25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

Từ đó HS biến đổi và tính được: a  3; b  1
c) Vì x, y,z  Z nên giả sử 1  x  y  z
1
1
1
1
1
1
3
Theo bài ra: 1 


 2 2 2 2
yz yx zx x
x
x
x
2
Suy ra: x  3  x  1
Thay vào đầu bài ta có:
1  y  z  yz  y  yz  1  z  0

0,5

0,25

 y 1  z   1  z   2  0
  y  1 z  1  2
y  1  1 y  2

TH1: 

z

1

2

z  3
y  1  2 y  3
TH2: 
(loại)

z

1

1
z

2


Vậy (x; y; z) = (1;2;3) và các hoán vị

0,25

0,25
0,25

A

H
D

E

F

C Q
B P

Câu 3

M I

K

a) Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)
b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh
tương ứng) (1)
+) C/m: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH
BH không đổi  MD + ME không đổi (đpcm)
c) Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là giao điểm của DK và BC
+) Chứng minh: BD = FM = EH = CK
+) Chứng minh: ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn)  DP = KQ (cạnh tương ứng)
+) Chứng minh: IDP  IKQ ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm

1,0

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


A
F

E
I
B

D

C

Ta có ABC  600  BAC  BCA  1200

1
BAC
2
1
CE là phân giác của ACB suy ra ICA = BCA
2
1

Câu 4
Suy ra IAC  ICA = .1200 = 600  AIC = 1200
2
Do đó AIE  DIC = 600
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE
Xét  EAI và  FAI có:
AE = AF
EAI  FAI
AI chung
Vậy  EAI =  FAI (c-g-c)
suy ra IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1)
AIE  AIF = 600  FIC  AIC  AIF = 600
Chứng minh  DIC =  FIC (g-c-g)
Suy ra ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra  IDE cân tại
1
1
1
1
Có Sn  1  2  1  2  1  2  ...  1  2
1
2
3
n
1 1
1
 (n  1)  ( 2  2  ...  2 )
2 3
n
1 1

1
Đặt A  2  2  ...  2
2 3
n
Câu 5 Do A > 0 nên Sn  n  1
1
1
1
1

 ... 
1
Mặt khác A 
1.2 2.3
(n  1).n
n
1
1
1
 Sn  (n  1)  (1  )  n  2   n  2 (do  0 )
n
n
n
 n  2  Sn  n  1 nên Sn không là số nguyên
AD là phân giác của BAC suy ra IAC =

Chú ý: - Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
- Hình vẽ sai khơng chấm điểm bài hình

0,25

0,25

0,25
0,25

0,25

0,25

0,25
0,25


PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ THI MƠN: TỐN 7

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang

Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay!
104.81  16.152
Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A 
44.675

Câu 2. (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:

x y z
 
và 2 x 2  2 y 2  3z 2  100 .
3 4 5

Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018  0 .
Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2.
Câu 4. (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau:
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d

Tính giá trị của biểu thức: M 

ab bc cd d a



cd d a ab bc

Câu 5. (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c

(x là ẩn; a, b, c là hệ số).

Biết rằng: f  0   2018 , f 1  2019 , f  1  2017 . Tính f  2019  .
Câu 6. (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =

27  2 x
(với x là số nguyên).
12  x

Câu 7. (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c
Câu 8. (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên
tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vng góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt
Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK.
Câu 9. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho
MA=2cm, MB=3cm và AMC  1350 . Tính MC.
Câu 10. (2,0 điểm) Từ 200 số tự nhiên 1; 2; 3;...; 200, ta lấy ra k số bất kì sao cho trong các số vừa
lấy ln tìm được 2 số mà số này là bội của số kia. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.
-------------HẾT-----------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: .................................... Số báo danh: ...............Phòng thi: .......


PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU CHỌN HSG

Năm học: 2017 – 2018
Mơn Tốn – Lớp 7
Hướng dẫn chung:
-Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lơgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm
tối đa.
-Câu hình học, học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào khơng chấm điểm phần đó.
Nội dung

10 .81  16.15
2 .5 .3  2 4.32.5 2
A
=
44.675
28.33.5 2

Câu

4

=

1

2

4

4

2 4.3 2.5 2 (5 2.3 2  1) 225  1
= 4
2 .3
2 8.33.5 2

2 5.7 14
224
= 4 = 4 =
2 .3

2 .3 3

2

x 2 y 2 z 2 2 x 2 2 y 2 3z 2 2 x 2  2 y 2  3z 2  100
x y z







4
Từ
  ta suy ra:
9 16 25 18
32
75
 25
 25
3 4 5
 x  6

2
 y  8
 x  36
 x  10
 2
Suy ra:  y  64  

( Vì x, y, z cùng dấu)
 x  6
 z 2  100
 y  8


 z  10

KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10)
4

3

2018

 0 với mọi x, y nên
Vì (x - 2)  0; (2y – 1)
4
2014
 0 với mọi x, y.
(x - 2) + (2y – 1)
4
Mà theo đề bài : (x - 2) + (2y – 1) 2014  0
Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0
Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0

suy ra x = 2, y =

1
2

Khi đó tính được: M = 24.

Điểm

4

2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d
2a  b  c  d
a  2b  c  d
a  b  2c  d
a  b  c  2d
1 
1 
1 
1
Suy ra :
a
b
c
d
a bc  d a bc d a b c d a b c d




(*)

a
b
c
d
Nếu a + b + c + d = 0  a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d)
ab bc cd d a



= -4
 M 
cd d a ab bc
Nếu a + b + c + d  0 thì từ (*)  a = b = c = d
ab bc cd d a



= 4
M 
cd d a ab bc

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,5

0,5

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

Từ:

4

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25


KL: ......

5

Xét x =0: f (0)  2018  c  2018

Xét x =1: f (1)  2019  a  b  c  2018  a  b  1 (1)
Xét x =-1: f (1)  2017  a  b  c  2017  a  b  1 (2)
Cộng vế (1) và (2) suy ra a=0
Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1
Từ đó tìm được f  x   x  2018
Suy ra: f  2019   1
27  2 x
3
= 2+
.
12  x
12  x
3
Suy ra Q lớn nhất khi
lớn nhất
12  x
3
* Nếu x > 12 thì 12  x  0 
 0.
12  x
3
* Nếu x < 12 thì 12  x  0 
0.
12  x
3
Từ 2 trường hợp trên suy ra
lớn nhất khi 12-x>0
12  x
3
Vì phân số

có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử khơng đổi nên phân số có
12  x

Ta có:

6

Q=

giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất.
Hay 12  x  1  x  11
Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11

7

Do a  Z+  5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c
Vậy 5b > 5c  b>c  5b  5c
Hay (a3 + 3a2 + 5)  (a+3)
2
 a (a+3) + 5  a + 3
Mà a2 (a+3)  a + 3  5  a + 3
 a + 3  Ư (5)
Hay: a+ 3  {  1 ;  5 } (1)
Do a  Z+  a + 3  4
(2)
Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5  a =2
Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52  b = 2
Và 5c =a + 3 = 2+3= 5  c = 1
Vậy: a = 2; b = 2; c = 1

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


- Chứng minh tam giác BOM cân tại B vì

x

BOM  BMO  30

0

0,5

- BK là đường cao của tam giác cân BMO
nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1)

0,5
B

8

z

- Chứng minh BKO  OHB (c.h  g.n)
M

- Suy ra BH=OK (2)

K

0,5
0,25

O

- Từ (1) và (2) suy ra BH=MK. đpcm

0,25

H
y

9

- Dựng tam giác ADM vuông cân tại A
D
(D, B khác phía đối với AM)
- Chứng minh ABM  ACD (c.g.c) vì:
A
AD=AM ( AMD vng cân tại A)
BAM  CAD (cùng phụ với CAM
AB=AC (giả thiết)
- Suy ra: CD=BM=3cm
- Tính được MD2=AD2+AM2 = 8
- Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M
M
- Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1
B
C
=>CD=1cm
- Xét 100 số 101; 102; 103; ....; 200. Trong 100 số này rõ ràng khơng có số nào là bội
của số kia (vì 101.2>200).
Do đó k  101 (1)
- Xét 101 số bất kì lấy ra từ 200 số đã cho: 1  a1  a2  a3  ...  a101  200 .

Ta viết 101 số vừa lấy ra dưới dạng:

0,25

0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

a1  2n1.b1
a2  2n2 .b2
a3  2n3 .b3
...........

10

a101  2n101.b101

Với ni là số tự nhiên, còn bi là các các số lẻ. ( i  1;101 )
Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ...;199}.
Vì có 101 các số bi mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số bi và bj nào đó bằng
nhau.
n
Suy ra trong hai số ai  2n .bi và a j  2 .b j sẽ có một số là bội của số cịn lại.
Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì ln có 2 số mà số này là bội của số

kia (2)
Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101.
i

j

----------Hết---------

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25